Multiplikation och delning av negativa tal. Fraktioner. Multiplikation och delning av bråk

) och nämnaren av nämnaren (vi får nämnaren för produkten).

Formeln för att multiplicera fraktioner:

Till exempel:

Innan du börjar multiplicera täljare och nämnare måste du kontrollera om det är möjligt fraktionsminskning... Om du kan minska fraktionen blir det lättare för dig att göra ytterligare beräkningar.

Delning av en vanlig bråkdel i en bråkdel.

Delning av bråk med deltagande av ett naturligt tal.

Det är inte så läskigt som det låter. Som med tillägg, omvandla ett heltal till en bråkdel med ett i nämnaren. Till exempel:

Multiplikation av blandade fraktioner.

Reglerna för att multiplicera fraktioner (blandade):

• omvandla blandade fraktioner till oregelbundna;
• multiplicera täljare och nämnare för bråk;
• vi minskar fraktionen;
• om du fick en felaktig fraktion, konvertera sedan den felaktiga fraktionen till en blandad.

Notera! Att multiplicera blandat skott till en annan blandad fraktion måste du först ta dem till formen av oregelbundna fraktioner och sedan multiplicera enligt multiplikationsregeln vanliga fraktioner.

Det andra sättet att multiplicera en bråkdel med ett naturligt tal.

Det kan vara mer bekvämt att använda den andra metoden att multiplicera en vanlig bråkdel med ett tal.

Notera! Att multiplicera en bråkdel med naturligt nummer det är nödvändigt att dela nämnaren för bråkdelen med detta tal och lämna täljaren oförändrad.

Från exemplet ovan är det klart att det här alternativet är bekvämare att använda när nämnaren för fraktionen divideras utan en rest med ett naturligt tal.

Fraktioner i flera våningar.

På gymnasiet finns ofta tre våningar (eller fler) fraktioner. Exempel:

För att få en sådan bråkdel till sin vanliga form, använd uppdelning genom 2 punkter:

Notera! Vid uppdelning av fraktioner är uppdelningsordningen mycket viktig. Var försiktig, det är lätt att bli förvirrad här.

Notera, till exempel:

När du delar en med en bråkdel blir resultatet samma bråkdel, endast omvänt:

Praktiska tips för att multiplicera och dela bråk:

1. Det viktigaste i arbetet med fraktionsuttryck är noggrannhet och omsorg. Gör alla beräkningar noggrant och noggrant, med koncentration och tydlighet. Det är bättre att skriva några extra rader i utkastet än att bli förvirrad i beräkningarna i ditt huvud.

2. I uppgifter med olika sorter fraktioner - gå till formen av vanliga fraktioner.

3. Minska alla fraktioner tills det blir omöjligt att minska.

4. Flervåning fraktionella uttryck vi tar i form av vanliga sådana, med hjälp av division genom 2 poäng.

5. Dela enheten i en bråkdel mentalt, helt enkelt vända fraktionen.

Nu ska vi ta itu med det multiplikation och division.

Låt oss säga att vi vill multiplicera +3 med -4. Hur man gör det?

Låt oss överväga detta fall. Tre personer har skuld, och var och en har $ 4 i skuld. Vad är den totala skulden? För att hitta det måste du lägga till alla tre skulder: $ 4 + $ 4 + $ 4 = $ 12. Vi bestämde att tillägget av tre nummer 4 betecknas som 3 × 4. Eftersom vi talar om skuld i det här fallet finns det ett "-" framför 4. Vi vet att den totala skulden är $ 12, så vårt problem ser nu ut som 3x (-4) = - 12.

Vi kommer att få samma resultat om var och en av de fyra personerna har en skuld på $ 3 enligt problemmeddelandet. Med andra ord, (+4) x (-3) = - 12. Och eftersom faktorernas ordning inte spelar någon roll får vi (-4) x (+3) = - 12 och (+4) x (-3) = - 12.

Låt oss sammanfatta resultaten. När du multiplicerar ett positivt och ett negativt tal blir resultatet alltid negativt. Svarets numeriska värde kommer att vara detsamma som för positiva tal. Produkt (+4) x (+3) =+12. Förekomsten av tecknet "-" påverkar endast tecknet, men påverkar inte det numeriska värdet.

Hur multiplicerar man två negativa tal?

Tyvärr är det mycket svårt att komma med ett lämpligt exempel från livet på detta ämne. Det är lätt att föreställa sig en skuld på $ 3 eller $ 4, men det är helt omöjligt att föreställa sig en -4 eller -3 person som går i skuld.

Kanske går vi åt andra hållet. I multiplikation, när tecknet på en av faktorerna ändras, ändras produktens tecken. Om vi ​​ändrar tecknen på båda multiplikatorerna måste vi ändra två gånger arbetsmärke, först från positivt till negativt, och sedan tvärtom, från negativt till positivt, det vill säga att produkten kommer att ha ett initialtecken.

Därför är det ganska logiskt, även om det är lite konstigt, att (-3) x (-4) = + 12.

Skyltens placering när det multipliceras ändras så här:

• positivt tal x positivt tal = positivt tal;
• negativt tal x positivt tal = negativt tal;
• positivt tal x negativt tal = negativt tal;
• negativt tal x negativt tal = positivt tal.

Med andra ord, multiplicerar två tal med samma tecken får vi ett positivt tal. Multiplicera två nummer med olika tecken får vi ett negativt tal.

Samma regel gäller för handlingen som är motsatt multiplikation - för.

Du kan enkelt verifiera detta genom att hålla invers multiplikationsoperationer... Om du i vart och ett av exemplen ovan multiplicerar kvoten med divisorn, får du utdelningen och ser till att den har samma tecken, till exempel (-3) x (-4) = (+ 12).

Eftersom vintern kommer är det dags att tänka på vad du ska byta skor på din järnhäst för att inte glida på isen och känna dig trygg på vintervägarna. Du kan till exempel ta Yokohama -däck på webbplatsen: mvo.ru eller några andra, det viktigaste är att det är av hög kvalitet, mer information och priser hittar du på webbplatsen Mvo.ru.

Denna lektion omfattar multiplikation och division. rationella nummer.

Lektionens innehåll

Multiplikation av rationella tal

Reglerna för att multiplicera heltal gäller även för rationella tal. Med andra ord, för att multiplicera rationella tal måste du kunna

Du måste också känna till de grundläggande multiplikationslagarna, till exempel: multiplikationslagen för multiplikation, multiplikationslagen för multiplikation, multiplikationslagen för multiplikation och multiplikation med noll.

Exempel 1. Hitta värdet på ett uttryck

Detta är multiplikationen av rationella tal med olika tecken. För att multiplicera rationella tal med olika tecken måste du multiplicera deras moduler och sätta ett minus framför svaret.

För att se att vi har att göra med siffror som har olika tecken, bifogar vi varje rationellt tal inom parentes tillsammans med dess tecken.

Talets modul är och talets modul är. Multiplicera de resulterande modulerna som positiva fraktioner, vi fick ett svar, men satte ett minus framför svaret, som regeln krävde av oss. För att säkerställa detta minus framför svaret utfördes multiplikationen av moduler inom parentes, framför vilket ett minus sattes.

Den korta lösningen ser ut så här:

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck

Detta är multiplikationen av negativa rationella tal. För att multiplicera negativa rationella tal måste du multiplicera deras moduler och sätta ett plus framför det mottagna svaret

Lösning för detta exempel kan skrivas kortare:

Exempel 4. Hitta värdet på ett uttryck

Lösningen för detta exempel kan skrivas kortare:

Exempel 5. Hitta värdet på ett uttryck

Detta är multiplikationen av rationella tal med olika tecken. Låt oss multiplicera modulerna för dessa nummer och sätta ett minus framför det mottagna svaret

En kort lösning kommer att se mycket enklare ut:

Exempel 6. Hitta värdet på ett uttryck

Låt oss konvertera det blandade talet till en felaktig bråkdel. Låt oss skriva om resten som det är

Vi fick multiplikationen av rationella tal med olika tecken. Låt oss multiplicera modulerna för dessa nummer och sätta ett minus framför det mottagna svaret. Du kan hoppa över posten med moduler för att inte störa uttrycket

Lösningen för detta exempel kan skrivas kortare

Exempel 7. Hitta värdet på ett uttryck

Detta är multiplikationen av rationella tal med olika tecken. Låt oss multiplicera modulerna för dessa nummer och sätta ett minus framför det mottagna svaret

Först visade sig svaret vara en felaktig fraktion, men vi valde hela delen i den. anteckna det hela delen separerades från fraktionsmodulen. Det resulterande blandade antalet var inneslutet inom parentes, föregående av ett minus. Detta görs för att uppfylla kravet i regeln. Och regeln krävde ett minustecken framför det mottagna svaret.

Lösningen för detta exempel kan skrivas kortare:

Exempel 8. Hitta värdet på ett uttryck

Först multiplicera och multiplicera det resulterande talet med det återstående talet 5. Hoppa över posten med moduler för att inte störa uttrycket.

Svar: uttrycksvärde är lika med −2.

Exempel 9. Hitta värdet på ett uttryck:

Låt oss översätta blandade nummer i felaktiga fraktioner:

Fick multiplikationen av negativa rationella tal. Låt oss multiplicera modulerna för dessa nummer och sätta ett plus framför det mottagna svaret. Du kan hoppa över posten med moduler för att inte störa uttrycket

Exempel 10. Hitta värdet på ett uttryck

Uttrycket består av flera faktorer. Enligt kombinationslagen för multiplikation, om uttrycket består av flera faktorer, kommer produkten inte att bero på åtgärdsordningen. Detta gör att vi kan utvärdera det givna uttrycket i valfri ordning.

Vi kommer inte att uppfinna hjulet på nytt, utan beräkna detta uttryck från vänster till höger i faktorernas ordning. Låt oss hoppa över posten med moduler för att inte störa uttrycket

Tredje åtgärd:

Fjärde åtgärden:

Svar: uttrycksvärde är

Exempel 11. Hitta värdet på ett uttryck

Kom ihåg lagen om multiplikation med noll. Denna lag säger att produkten är noll om minst en av faktorerna är noll.

I vårt exempel är en av faktorerna noll, så utan att slösa tid svarar vi att värdet på uttrycket är noll:

Exempel 12. Hitta värdet på ett uttryck

Produkten är lika med noll om minst en av faktorerna är lika med noll.

I vårt exempel är en av faktorerna noll, så utan att slösa tid svarar vi på värdet av uttrycket är lika med noll:

Exempel 13. Hitta värdet på ett uttryck

Du kan använda ordningsföljden och först utvärdera uttrycket inom parentes och multiplicera det resulterande svaret med en bråkdel.

Du kan också använda fördelningslagen för multiplikation - multiplicera varje term i summan med en bråkdel och lägg till de erhållna resultaten. Vi kommer att använda denna metod.

Enligt ordningsföljden, om uttrycket innehåller addition och multiplikation, måste multiplikationen utföras först. Därför, i det resulterande nya uttrycket, tar vi inom parentes de parametrar som bör multipliceras. Så vi kommer att se väl vilka åtgärder som ska utföras tidigare och vilka senare:

Tredje åtgärd:

Svar: uttrycksvärde lika med

Lösningen för detta exempel kan skrivas mycket kortare. Det kommer att se ut så här:

Det kan ses att detta exempel kan lösas även i åtanke. Därför bör du utveckla färdigheten att analysera uttrycket innan du börjar lösa det. Det är troligt att det kan lösas i ditt huvud och kommer att spara mycket tid och nerver. Och på tester och tentor, som du vet, är tiden väldigt dyr.

Exempel 14. Hitta värdet på uttrycket −4,2 × 3,2

Detta är multiplikationen av rationella tal med olika tecken. Låt oss multiplicera modulerna för dessa nummer och sätta ett minus framför det mottagna svaret

Lägg märke till hur modulerna för de rationella talen multipliceras. I detta fall tog det att multiplicera modulerna för de rationella talen.

Exempel 15. Hitta värdet på uttrycket −0,15 × 4

Detta är multiplikationen av rationella tal med olika tecken. Låt oss multiplicera modulerna för dessa nummer och sätta ett minus framför det mottagna svaret

Lägg märke till hur modulerna för de rationella talen multipliceras. I detta fall, för att multiplicera modulerna med rationella tal, var det nödvändigt att kunna.

Exempel 16. Hitta värdet på uttrycket −4,2 × (−7,5)

Detta är multiplikationen av negativa rationella tal. Vi multiplicerar modulerna med dessa nummer och sätter ett plus framför det mottagna svaret

Uppdelning av rationella tal

Reglerna för att dela heltal gäller även för rationella tal. Med andra ord, för att kunna dela rationella tal måste du kunna

Annars används samma metoder för att dela upp vanliga och decimala bråk. För att dela en vanlig bråkdel med en annan bråkdel måste du multiplicera den första fraktionen med den inversa av den andra.

Och att dela decimal- med en annan decimal bråk, måste du flytta komma till höger i utdelningen och i divisorn med lika många siffror som det finns efter decimalpunkten i divisorn, sedan utföra divisionen som med ett vanligt tal.

Exempel 1. Hitta värdet på ett uttryck:

Detta är uppdelningen av rationella tal med olika tecken. För att beräkna ett sådant uttryck måste du multiplicera den första fraktionen med den inversa av den andra.

Så, låt oss multiplicera den första fraktionen med den inversa fraktionen av den andra.

Vi fick multiplikationen av rationella tal med olika tecken. Vi vet redan hur man beräknar sådana uttryck. För att göra detta måste du multiplicera modulerna för dessa rationella tal och sätta ett minus framför svaret.

Låt oss avsluta detta exempel till slutet. Du kan hoppa över posten med moduler för att inte störa uttrycket

Således är uttryckets värde

En detaljerad lösning ser ut så här:

En kort lösning skulle se ut så här:

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Detta är uppdelningen av rationella tal med olika tecken. För att beräkna detta uttryck måste du multiplicera den första fraktionen med den inversa av den andra.

Inversen för den andra fraktionen är en bråkdel. Vi multiplicerar den första fraktionen med den:

En kort lösning skulle se ut så här:

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck

Detta är uppdelningen av negativa rationella tal. För att beräkna detta uttryck måste du igen multiplicera den första fraktionen med den andra ömsesidiga.

Inversen för den andra fraktionen är en bråkdel. Vi multiplicerar den första fraktionen med den:

Fick multiplikationen av negativa rationella tal. Vi vet redan hur ett sådant uttryck beräknas. Det är nödvändigt att multiplicera modulerna för de rationella talen och sätta ett plus framför det mottagna svaret.

Låt oss avsluta detta exempel till slutet. Du kan hoppa över posten med moduler för att inte störa uttrycket:

Exempel 4. Hitta värdet på ett uttryck

För att beräkna detta uttryck måste du multiplicera det första talet −3 med en bråkdel, en invers bråkdel.

Det omvända av en bråkdel är en bråkdel. Med det och multiplicera det första talet −3

Exempel 6. Hitta värdet på ett uttryck

För att beräkna detta uttryck måste du multiplicera den första bråkdelen med ett tal, omvänd 4.

Inversen av 4 är en bråkdel. Vi multiplicerar den första fraktionen med den.

Exempel 5. Hitta värdet på ett uttryck

För att beräkna detta uttryck måste du multiplicera den första fraktionen med ömsesidigheten −3

Inversen av -3 är en bråkdel. Vi multiplicerar den första fraktionen med den:

Exempel 6. Hitta värdeuttrycket −14,4: 1,8

Detta är uppdelningen av rationella tal med olika tecken. För att beräkna detta uttryck måste du dividera utdelningsmodulen med delarens modul och sätta ett minus framför det mottagna svaret

Lägg märke till hur utdelningens modul har delats upp i avdelarens modul. I det här fallet tog det lite skicklighet att göra det rätt.

Om det inte finns någon önskan att röra med decimalbråk (och detta händer ofta), översätt sedan dessa blandade tal till oregelbundna fraktioner och handla sedan direkt med division.

Låt oss beräkna det tidigare uttrycket −14.4: 1.8 på detta sätt. Låt oss konvertera decimalbråk till blandade tal:

Låt oss nu konvertera de resulterande blandade talen till felaktiga bråk:

Nu kan du hantera direkt division, nämligen att dela en bråkdel i en bråkdel. För att göra detta måste du multiplicera den första fraktionen med inversen av den andra:

Exempel 7. Hitta värdet på ett uttryck

Konvertera decimalen −2.06 till en felaktig bråkdel och multiplicera bråkdelen med inversen av den andra:

Fraktioner i flera våningar

Du kan ofta hitta ett uttryck där delningen av fraktioner skrivs med en bråkstång. Ett uttryck kan till exempel skrivas så här:

Vad är skillnaden mellan uttryck och? Det är faktiskt ingen skillnad. Dessa två uttryck har samma betydelse och du kan sätta ett likhetstecken mellan dem:

I det första fallet är delningstecknet ett kolon och uttrycket skrivs på en rad. I det andra fallet skrivs uppdelningen av fraktioner med en bråkstång. Resultatet är en bråkdel, som folket gick med på att ringa flera våningar.

När man ställs inför sådana uttryck på flera nivåer bör samma regler för uppdelning av vanliga fraktioner tillämpas. Den första fraktionen måste multipliceras med inversen av den andra.

Det är extremt obekvämt att använda sådana fraktioner i lösningen, så du kan skriva dem i en begriplig form, med hjälp av ett kolon som ett delningstecken, inte en bråkstång.

Låt oss till exempel skriva ner en fraktion på flera våningar på ett förståeligt sätt. För att göra detta måste du först ta reda på var den första fraktionen är och var den andra är, eftersom det inte alltid är möjligt att göra det korrekt. Flervåningsfraktioner har flera snedstreck som kan vara förvirrande. Det ledande snedstrecket som skiljer den första fraktionen från den andra är vanligtvis längre än de andra.

Efter att ha bestämt huvudfraktionslinjen kan du enkelt förstå var den första fraktionen är och var är den andra:

Exempel 2.

Vi hittar huvudfraktionslinjen (den är den längsta) och ser att delningen av ett heltal -3 med en vanlig bråkdel utförs

Och om vi av misstag tog den andra bråkstången för huvudet (den som är kortare), så skulle det visa sig att vi delar fraktionen med ett heltal 5 I det här fallet, även om detta uttryck beräknas korrekt, kommer problemet att lösas felaktigt, eftersom det delbara fallet är talet −3, och divisorn är fraktionen.

Exempel 3. Låt oss skriva ner multistory -fraktionen i en begriplig form

Vi hittar huvudfraktionslinjen (den är den längsta) och ser att fraktionen divideras med ett heltal 2

Och om vi av misstag tog den första bråkstången för den ledande (den som är kortare), skulle det visa sig att vi delar heltalet -5 med en bråkdel. I det här fallet, även om detta uttryck beräknas korrekt, problemet kommer att lösas felaktigt, eftersom delbart i detta fall är det en bråkdel och divisorn är ett heltal 2.

Trots att fraktioner i flera våningar är obekväma att arbeta med kommer vi att stöta på dem väldigt ofta, särskilt när vi studerar högre matematik.

Naturligtvis tar det extra tid och utrymme att översätta en fraktion i flera våningar till en begriplig form. Därför kan du använda mer snabb metod... Denna metod är bekväm och vid utgången kan du få ett färdigt uttryck där den första fraktionen redan har multiplicerats med den inversa av den andra.

Denna metod implementeras enligt följande:

Om fraktionen till exempel är fyra våningar, höjs siffran på första våningen till den högsta våningen. Och figuren på andra våningen höjs till tredje våningen. De resulterande siffrorna måste anslutas med multiplikationssymboler (×)

Som ett resultat, kringgå mellannotationen, får vi ett nytt uttryck där den första fraktionen redan har multiplicerats med den inversa av den andra. Bekvämlighet och mer!

För att undvika misstag vid användning den här metoden, kan du styras av följande regel:

Från första till fjärde. Från den andra till den tredje.

I regeln det kommer om golven. Figuren från första våningen måste höjas till fjärde våningen. Och figuren från andra våningen måste höjas till tredje våningen.

Låt oss försöka beräkna flervåningsfraktionen med hjälp av ovanstående regel.

Så vi höjer siffran på första våningen till fjärde våningen och figuren på andra våningen höjs till tredje våningen

Som ett resultat, kringgå mellannotationen, får vi ett nytt uttryck där den första fraktionen redan har multiplicerats med den inversa av den andra. Då kan du använda den befintliga kunskapen:

Låt oss försöka beräkna flervåningsfraktionen med det nya schemat.

Det finns bara första, andra och fjärde våningen här. Tredje våningen saknas. Men vi avviker inte från grundschemat: vi höjer siffran från första våningen till fjärde våningen. Och eftersom tredje våningen saknas lämnar vi figuren på andra våningen som den är

Som ett resultat, genom att kringgå mellannotationen, fick vi ett nytt uttryck där det första talet −3 redan har multiplicerats med det inversa av det andra. Då kan du använda den befintliga kunskapen:

Låt oss försöka beräkna flervåningsfraktionen med det nya schemat.

Det finns bara andra, tredje och fjärde våningen här. Första våningen saknas. Eftersom första våningen saknas finns det inget att gå upp till fjärde våningen, men vi kan höja antalet från andra våningen till den tredje:

Som ett resultat, genom att kringgå mellannotationen, fick vi ett nytt uttryck där den första fraktionen redan har multiplicerats med den ömsesidiga avdelaren. Då kan du använda den befintliga kunskapen:

Använda variabler

Om uttrycket är komplext och det verkar för dig att det kommer att förvirra dig i processen att lösa problemet, kan en del av uttrycket skrivas in i en variabel och sedan arbeta med denna variabel.

Matematiker gör ofta detta. Ett komplext problem delas upp i enklare deluppgifter och löses. Sedan samlar de de lösta deluppgifterna i en enda helhet. Detta är en kreativ process och lärs genom åren med hård träning.

Användningen av variabler är motiverad när man arbetar med flernivåfraktioner. Till exempel:

Hitta värdet på ett uttryck

Så det finns ett fraktionsuttryck i täljaren och i nämnaren som det finns fraktionella uttryck för. Med andra ord har vi framför oss en flervåningsfraktion som vi inte gillar så mycket.

Uttrycket i täljaren kan anges i en variabel med valfritt namn, till exempel:

Men i matematik är det i ett sådant fall vanligt att ge variabler ett namn från latinska versaler. Låt oss inte bryta denna tradition och utse det första uttrycket genom huvudstaden A

Och uttrycket i nämnaren kan betecknas genom versalen B

Nu tar vårt ursprungliga uttryck formen. Det vill säga, vi gjorde en ersättare numeriskt uttryck genom att alfabetiskt skriva in preliminärt täljaren och nämnaren i variablerna A och B.

Nu kan vi separat beräkna värdena för variabeln A och värdet för variabeln B. Vi kommer att infoga de förberedda värdena i uttrycket.

Hitta variabelns värde A

Hitta variabelns värde B

Låt oss nu ersätta deras värden i huvuduttrycket istället för variablerna A och B:

Vi fick en flervåningsfraktion där du kan använda schemat "från den första till den fjärde, från den andra till den tredje", det vill säga höja siffran på första våningen till fjärde våningen och höja siffran på andra våningen till tredje våningen. Ytterligare beräkning kommer inte att vara svårt:

Således är värdet på uttrycket −1.

Naturligtvis har vi övervägt enklaste exemplet, men vårt mål var att ta reda på hur du kan använda variabler för att göra saker enklare för dig själv, för att minimera att göra misstag.

Observera också att lösningen för detta exempel kan skrivas utan att använda variabler. Det kommer att se ut

Denna lösning är snabbare och kortare, och i det här fallet är det mer ändamålsenligt att skriva det på det sättet, men om uttrycket visar sig vara komplext, som består av flera parametrar, parenteser, rötter och krafter, är det lämpligt att beräkna det i flera steg, vilket sätter några av dess uttryck i variabler.

Gillade du lektionen?
Gå med i vår nya Vkontakte -grupp och börja ta emot aviseringar om nya lektioner