Multiplikation. Multiplicering av tal med olika tecken, regel, exempel

) och nämnaren av nämnaren (vi får nämnaren för produkten).

Formeln för att multiplicera fraktioner:

Till exempel:

Innan du börjar multiplicera täljare och nämnare måste du kontrollera om det är möjligt att minska fraktionen. Om du kan minska fraktionen blir det lättare för dig att göra ytterligare beräkningar.

Delning av en vanlig bråkdel i en bråkdel.

Delning av bråk med deltagande av ett naturligt tal.

Det är inte så läskigt som det låter. Som i fallet med addition, konvertera ett heltal till en bråkdel med ett i nämnaren. Till exempel:

Multiplikation av blandade fraktioner.

Reglerna för att multiplicera fraktioner (blandade):

omvandla blandade fraktioner till oregelbundna;
multiplicera täljare och nämnare för bråk;
vi minskar fraktionen;
om du fick en felaktig fraktion, konvertera sedan den felaktiga fraktionen till en blandad.

Notera! För att multiplicera en blandad fraktion med en annan blandad fraktion måste du först föra dem till formen av felaktiga fraktioner och sedan multiplicera enligt regeln för multiplikation av vanliga fraktioner.

Det andra sättet att multiplicera en bråkdel med ett naturligt tal.

Det kan vara mer bekvämt att använda den andra metoden att multiplicera en vanlig bråkdel med ett tal.

Notera! Att multiplicera en bråkdel med naturligt nummer det är nödvändigt att dela nämnaren för bråkdelen med detta tal och lämna täljaren oförändrad.

Från exemplet ovan är det klart att det här alternativet är mer bekvämt att använda när nämnaren för fraktionen divideras utan en rest med ett naturligt tal.

Fraktioner i flera våningar.

På gymnasiet finns ofta tre våningar (eller fler) fraktioner. Exempel:

För att få en sådan bråkdel till sin vanliga form används delning genom 2 poäng:

Notera! Vid uppdelning av fraktioner är uppdelningsordningen mycket viktig. Var försiktig, det är lätt att bli förvirrad här.

Notera, till exempel:

När du delar en med en bråkdel blir resultatet samma bråkdel, endast omvänt:

Praktiska tips för att multiplicera och dela bråk:

1. Det viktigaste i arbetet med fraktionsuttryck är noggrannhet och uppmärksamhet. Gör alla beräkningar noggrant och noggrant, med koncentration och tydlighet. Det är bättre att skriva några extra rader i utkastet än att bli förvirrad i beräkningarna i ditt huvud.

2. I uppgifter med olika sorter fraktioner - gå till formen av vanliga fraktioner.

3. Minska alla fraktioner tills det blir omöjligt att minska.

4. Flervåning fraktionella uttryck vi tar i form av vanliga sådana, med hjälp av division genom 2 poäng.

5. Dela enheten i en bråkdel mentalt, helt enkelt vända fraktionen.

I den här artikeln kommer vi att ta itu med multiplicera tal med olika tecken ... Här kommer vi först att formulera regeln för att multiplicera positiva och negativa tal, motivera det och sedan överväga tillämpningen av denna regel när vi löser exempel.

Sidnavigering.

Regeln för att multiplicera tal med olika tecken

Multiplicering av ett positivt tal med negativt, liksom negativt med positivt, utförs enligt följande regeln för att multiplicera tal med olika tecken: för att multiplicera siffror med olika tecken måste du multiplicera och sätta ett minustecken framför den resulterande produkten.

Låt oss skriva ner denna regel i bokstavlig form. För alla positiva reella tal a och alla verkliga negativa tal −b, likheten a (−b) = - (| a | | b |) , och även för ett negativt tal −a och ett positivt tal b, jämlikheten (−a) b = - (| a | | b |) .

Regeln för att multiplicera tal med olika tecken överensstämmer helt med egenskaper hos handlingar med verkliga tal... På grundval av dem är det verkligen lätt att visa att för reella och positiva tal a och b, en kedja av likheter i formen a (−b) + a b = a ((- b) + b) = a 0 = 0, vilket visar att a (−b) och a b är motsatta tal, vilket innebär likheten a (−b) = - (a b). Och därav följer giltigheten av multipelregeln som övervägs.

Det bör noteras att regeln för att multiplicera tal med olika tecken är giltig både för reella tal och för rationella tal och för heltal. Detta följer av det faktum att handlingar med rationella och heltal har samma egenskaper som användes i beviset ovan.

Det är klart att multiplikationen av tal med olika tecken enligt den erhållna regeln reduceras till multiplikationen av positiva tal.

Det återstår bara att överväga exempel på tillämpning av den analyserade multiplikationsregeln när tal multipliceras med olika tecken.

Exempel på att multiplicera tal med olika tecken

Låt oss analysera flera lösningar exempel på att multiplicera tal med olika tecken... Låt oss börja med ett enkelt fall för att fokusera på regelns steg snarare än beräkningskomplexiteten.

Exempel.

Multiplicera det negativa talet −4 med det positiva talet 5.

Lösning.

Enligt regeln att multiplicera tal med olika tecken måste vi först multiplicera modulerna för de ursprungliga faktorerna. Modulen −4 är 4, och modulen 5 är 5, och multiplikationen av de naturliga talen 4 och 5 ger 20. Slutligen återstår det att sätta ett minustecken framför det resulterande talet, vi har −20. Detta slutför multiplikationen.

I korthet kan lösningen skrivas enligt följande: (−4) · 5 = - (4 · 5) = - 20.

Svar:

(−4) 5 = −20.

När du multiplicerar bråktal med olika tecken måste du kunna utföra multiplikation av vanliga bråk, multiplikation av decimalbråk och deras kombinationer med naturliga och blandade nummer.

Exempel.

Multiplicera siffror med olika tecken 0, (2) och.

Lösning.

Genom att konvertera en periodisk decimalfraktion till en vanlig bråkdel, samt genomföra en övergång från ett blandat tal till en felaktig bråkdel, från originalprodukten vi kommer till produkten av vanliga fraktioner med olika tecken på formen. Denna produkt är enligt regeln för multiplikation av tal med olika tecken lika. Det återstår bara att multiplicera de vanliga fraktionerna inom parentes, vi har .

I den här artikeln kommer vi att ta itu med multiplicera tal med olika tecken... Här kommer vi först att formulera regeln för att multiplicera positiva och negativa tal, motivera det och sedan överväga tillämpningen av denna regel när vi löser exempel.

Sidnavigering.

Regeln för att multiplicera tal med olika tecken

Låt oss skriva denna regel i bokstavsform. För alla positiva reella tal a och alla verkliga negativa tal −b, likheten a (−b) = - (| a | | b |) , och även för ett negativt tal −a och ett positivt tal b, jämlikheten (−a) b = - (| a | | b |) .

Det bör noteras att den uttryckta regeln för att multiplicera tal med olika tecken är giltig både för reella tal och för rationella nummer och för heltal. Detta följer av det faktum att handlingar med rationella och heltal har samma egenskaper som användes i beviset ovan.

Det är klart att multiplikationen av tal med olika tecken enligt den erhållna regeln reduceras till multiplikationen av positiva tal.

Det återstår bara att överväga exempel på tillämpning av den analyserade multiplikationsregeln när tal multipliceras med olika tecken.

Exempel på att multiplicera tal med olika tecken

Multiplicera det negativa talet −4 med det positiva talet 5.

Enligt regeln att multiplicera tal med olika tecken måste vi först multiplicera modulerna för de ursprungliga faktorerna. Modulen på -4 är 4 och modulen 5 är 5 och multiplikationen av de naturliga talen 4 och 5 ger 20. Slutligen återstår det att sätta ett minustecken framför det resulterande talet, vi har −20. Detta slutför multiplikationen.

I korthet kan lösningen skrivas enligt följande: (−4) · 5 = - (4 · 5) = - 20.

(−4) 5 = −20.

När du multiplicerar bråktal med olika tecken måste du kunna utföra multiplikation av vanliga bråk, multiplikation av decimalbråk och deras kombinationer med naturliga och blandade tal.

Multiplicera siffror med olika tecken 0, (2) och.

Efter att ha slutfört översättningen av periodiken decimal- till en vanlig bråkdel, samt genomföra övergången från ett blandat tal till en felaktig bråkdel, från den ursprungliga produkten kommer vi till produkten av vanliga fraktioner med olika tecken på formen. Denna produkt är lika med regeln om multiplikation av tal med olika tecken. Det återstår bara att multiplicera de vanliga fraktionerna inom parentes, vi har .

Separat bör det sägas om multiplikation av tal med olika tecken, när en eller båda faktorerna är

Nu ska vi ta itu med det multiplikation och division.

Låt oss säga att vi vill multiplicera +3 med -4. Hur man gör det?

Låt oss överväga detta fall. Tre personer har skuld, och var och en har $ 4 i skuld. Vad är den totala skulden? För att hitta det måste du lägga till alla tre skulder: $ 4 + $ 4 + $ 4 = $ 12. Vi bestämde att tillägget av tre nummer 4 betecknas som 3 × 4. Eftersom vi talar om skuld i det här fallet finns det ett "-" framför 4. Vi vet att den totala skulden är $ 12, så nu ser vårt problem ut som 3x (-4) = - 12.

Vi kommer att få samma resultat om var och en av de fyra personerna har en skuld på $ 3 enligt problemmeddelandet. Med andra ord, (+4) x (-3) = - 12. Och eftersom faktorernas ordning inte spelar någon roll får vi (-4) x (+3) = - 12 och (+4) x (-3) = - 12.

Låt oss sammanfatta resultaten. När du multiplicerar ett positivt och ett negativt tal blir resultatet alltid ett negativt tal. Svarets numeriska värde kommer att vara detsamma som för positiva tal. Produkt (+4) x (+3) =+12. Förekomsten av tecknet "-" påverkar endast tecknet, men påverkar inte det numeriska värdet.

Hur multiplicerar man två negativa tal?

Tyvärr är det mycket svårt att komma med ett lämpligt exempel från livet på detta ämne. Det är lätt att föreställa sig en skuld på $ 3 eller $ 4, men det är helt omöjligt att föreställa sig en -4 eller -3 person som går i skuld.

Kanske går vi åt andra hållet. I multiplikation, när tecknet på en av faktorerna ändras, ändras produktens tecken. Om vi ändrar tecknen på båda multiplikatorerna måste vi ändra två gånger arbetsmärke, först från positivt till negativt, och sedan tvärtom, från negativt till positivt, det vill säga att produkten kommer att ha ett initialtecken.

Därför är det ganska logiskt, även om det är lite konstigt, att (-3) x (-4) = + 12.

Skyltens placering när det multipliceras ändras så här:

positivt tal x positivt tal = positivt tal;
negativt tal x positivt tal = negativt tal;
positivt tal x negativt tal = negativt tal;
negativt tal x negativt tal = positivt tal.

Med andra ord, multiplicerar två tal med samma tecken får vi ett positivt tal. Genom att multiplicera två tal med olika tecken får vi ett negativt tal.

Samma regel gäller för handlingen som är motsatt multiplikation - för.

Du kan enkelt verifiera detta genom att hålla invers multiplikationsoperationer... Om du i vart och ett av exemplen ovan multiplicerar kvoten med divisorn, får du utdelningen och ser till att den har samma tecken, till exempel (-3) x (-4) = (+ 12).

Eftersom vintern kommer är det dags att tänka på vad du ska byta skor på din järnhäst för att inte glida på isen och känna dig trygg på vintervägarna. Du kan till exempel ta Yokohama -däck på webbplatsen: mvo.ru eller några andra, det viktigaste är att det är av hög kvalitet, mer information och priser hittar du på webbplatsen Mvo.ru.

Denna artikel ger detaljerad granskning uppdelning av tal med olika tecken... För det första finns det en regel för att dela nummer med olika tecken. Nedan finns exempel på att dela positiva tal i negativa och negativa tal med positiva.

Sidnavigering.

Regeln för att dela nummer med olika tecken

I artikeln som delar heltal erhölls en regel för att dela heltal med olika tecken. Det kan utökas till både rationella tal och reella tal genom att upprepa alla resonemang från den angivna artikeln.

Så, regel för att dela nummer med olika tecken har följande formulering: för att dividera ett positivt tal med ett negativt eller negativt tal med ett positivt måste utdelningen divideras med delarens modul och ett minustecken måste placeras framför det resulterande talet.

Låt oss skriva denna delningsregel med bokstäver. Om siffrorna a och b har olika tecken är följande formel giltig a: b = - | a |: | b | .

Av den angivna regeln är det klart att resultatet av att dela tal med olika tecken är ett negativt tal. Eftersom utdelningsmodulen och avdelarens modul är mer positiv än siffran, är deras kvot ett positivt tal och minustecknet gör detta tal negativt.

Observera att den övervägda regeln minskar uppdelning av tal med olika tecken till uppdelning av positiva tal.

Du kan ge en annan formulering av regeln för att dela tal med olika tecken: för att dividera talet a med talet b måste du multiplicera talet a med talet b −1, det ömsesidiga med talet b. Det är, a: b = a b −1 .

Denna regel kan användas när det är möjligt att gå utöver uppsättningen heltal (eftersom inte alla heltal har en invers). Med andra ord, det är tillämpligt på uppsättningen av rationella tal, liksom på uppsättningen av reella tal.

Det är klart att denna regel för att dela nummer med olika tecken gör att du kan gå från division till multiplikation.

Samma regel gäller när man delar negativa tal.

Det återstår att överväga hur denna regel för att dela nummer med olika tecken tillämpas när man löser exempel.

Exempel på att dela tal med olika tecken

Tänk på lösningar på flera typiska exempel på uppdelning av tal med olika tecken att lära sig principen för att tillämpa reglerna från föregående stycke.

Dela det negativa talet −35 med det positiva talet 7.

Regeln för att dela nummer med olika tecken dikterar att du först hittar modulerna för utdelningen och delaren. Modulen -35 är 35 och modulen 7 är 7. Nu måste vi dividera utdelningens modul med delarens modul, det vill säga vi måste dela 35 med 7. Kommer vi ihåg hur uppdelningen av naturliga tal utförs får vi 35: 7 = 5. Stannade sista steget reglerna för att dela tal med olika tecken - sätt ett minus framför det resulterande talet, vi har −5.

Här är hela lösningen :.

Det var möjligt att utgå från en annan formulering av regeln för att dela nummer med olika tecken. I det här fallet hittar vi först det ömsesidiga av delaren 7. Detta nummer är den vanliga bråkdelen 1/7. Således, . Det återstår att utföra multiplikation av tal med olika tecken :. Uppenbarligen kom vi fram till samma resultat.

(−35):7=−5 .

Beräkna kvoten 8: (- 60).

Enligt regeln för att dela nummer med olika tecken har vi 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) ... Det resulterande uttrycket motsvarar en negativ vanlig bråkdel (se divisionstecknet som en rad i fraktionen), du kan minska fraktionen med 4, vi får .

Låt oss skriva ner hela lösningen kort :.

När man delar bråkiga rationella tal med olika tecken representeras deras utdelning och delare vanligtvis som vanliga bråk. Detta beror på att det inte alltid är bekvämt att utföra division med tal i en annan notation (till exempel i decimal).

Utdelningens modul är lika och delaren för modulen är 0, (23). För att dividera modulens delbara med delarens modul, vänder vi oss till vanliga fraktioner.

Vanliga bråkdelar träffar först skolelever i årskurs 5 och följer med dem under hela deras liv, eftersom det i vardagen ofta krävs att man överväger eller använder ett objekt inte helt, utan i separata bitar. Början av studien av detta ämne är aktier. Aktier är lika delar, i vilket detta eller det ämnet är uppdelat. Det är trots allt inte alltid möjligt att uttrycka till exempel längden eller priset på en vara som ett heltal, man bör ta hänsyn till delar eller fraktioner av något mått. Formad från verbet "split" - att dela upp sig i delar och ha arabiska rötter, på sjunde århundradet uppstod själva ordet "fraktion" på ryska.

Fraktionella uttryck har länge ansetts vara det svåraste inom matematik. På 1600 -talet, när de första läroböckerna om matematik dök upp, kallades de "trasiga siffror", vilket var mycket svårt att visa i människors förståelse.

Modernt utseende enkla fraktionerade rester, av vilka delar är åtskilda med en horisontell linje, bidrog först av Fibonacci - Leonardo från Pisa. Hans verk är daterade år 1202. Men syftet med denna artikel är att enkelt och tydligt förklara för läsaren hur multiplikation av blandade fraktioner med olika nämnare sker.

Multiplikation av bråk med olika nämnare

Till en början är det värt att bestämma sorter av fraktioner:

korrekt;
fel;
blandad.

Därefter måste du komma ihåg hur multiplikationen av bråktal med samma nämnare sker. Själva regeln i denna process är lätt att formulera på egen hand: resultatet av att multiplicera enkla fraktioner med samma nämnare är ett fraktionellt uttryck, vars täljare är produkten av täljarna, och nämnaren är produkten av nämnare av dessa fraktioner. Det är i själva verket den nya nämnaren som är kvadraten på en av de befintliga.

Vid multiplicering enkla fraktioner med olika nämnare För två eller flera faktorer ändras inte regeln:

a /b * c /d = a * c / b * d.

Den enda skillnaden är den bildat nummer under bråkstången kommer att vara produkten av olika nummer och, naturligtvis, kvadraten av en numeriskt uttryck det är omöjligt att namnge det.

Det är värt att överväga multiplikationen av fraktioner med olika nämnare med exempel:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplen använder sätt att minska fraktionella uttryck. Du kan bara avbryta räknarens nummer med nämnarens nummer, angränsande faktorer ovanför eller under fraktionslinjen kan inte avbrytas.

Tillsammans med enkla bråktal finns begreppet blandade bråk. Ett blandat tal består av ett heltal och en bråkdel, det vill säga det är summan av dessa tal:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hur fungerar multiplikation?

Flera exempel föreslås för övervägande.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplet använder multiplikation av ett tal med vanlig bråkdel, kan du skriva ner regeln för denna åtgärd med formeln:

a * b /c = a * b /c.

Faktum är att en sådan produkt är summan av samma fraktionerade rester, och antalet termer indikerar detta naturliga tal. Ett specialfall:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Det finns ett annat alternativ för att lösa multiplikationen av ett tal med en bråkdel. Du måste bara dela nämnaren med detta nummer:

d * e /f = e /f: d.

Det är användbart att använda denna teknik när nämnaren divideras med ett naturligt tal utan en rest, eller, som de säger, helt.

Konvertera blandade tal till felaktiga fraktioner och få produkten på det tidigare beskrivna sättet:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Detta exempel innefattar presentationsmetoden blandad fraktion fel kan den också representeras som allmän formel:

a bc = a * b + c / c, där nämnaren för den nya fraktionen bildas genom att multiplicera heltalet med nämnaren och lägga den till täljaren för den ursprungliga fraktionsresten, och nämnaren förblir densamma.

Denna process fungerar in baksidan... För att välja hela delen och den bråkdelade återstoden måste du dela täljaren för den felaktiga fraktionen med dess nämnare "hörn".

Multiplikation av felaktiga fraktioner produceras på konventionellt sätt. När posten går under en enda bråklinje, efter behov, är det nödvändigt att minska fraktioner för att minska antalet med denna metod och det är lättare att beräkna resultatet.

Det finns många hjälpare på Internet för att lösa även komplexa matteproblem v olika variationer program. Tillräckligt mycket sådana tjänster erbjuder sin hjälp med att räkna multiplikationen av bråk med olika tal i nämnare - de så kallade onlinekalkylatorerna för att beräkna bråk. De kan inte bara multiplicera, utan också att utföra alla andra enkla aritmetiska operationer med vanliga fraktioner och blandade nummer. Det är inte svårt att arbeta med det, motsvarande fält fylls i på webbplatsens sida, tecknet på den matematiska åtgärden väljs och "beräkna" trycks. Programmet beräknar automatiskt.

Ämnet aritmetiska operationer med bråktal är relevant under hela utbildningen av mellan- och äldre skolelever. På gymnasiet anses de inte längre vara de enklaste typerna, men heltal fraktionella uttryck, men kunskapen om reglerna för transformation och beräkningar, som erhållits tidigare, tillämpas i sin ursprungliga form. En väl behärskad grundkunskap ger fullständigt förtroende för ett bra beslut de svåraste uppgifterna.

Sammanfattningsvis är det vettigt att citera orden från Lev Nikolajevitsj Tolstoj, som skrev: ”Människan är en bråkdel. Det är inte människans makt att öka sin räknare - hans värdighet, men alla kan minska hans nämnare - hans åsikt om sig själv, och genom denna minskning kan han närma sig sin perfektion. "