Förenkla fraktionella uttryck. Hur förenklar det matematiska uttrycket

Ofta kräver uppgifterna ett förenklat svar. Även om förenklade, och olönsamma svar är trofasta, kan läraren minska din bedömning om du inte förenklar svaret. Dessutom, med ett förenklat matematiskt uttryck, är det mycket lättare att arbeta. Därför är det mycket viktigt att lära sig att förenkla uttryck.

Steg

Rätt procedur för att utföra matematiska operationer

1. Kom ihåg det korrekta förfarandet för att utföra matematiska operationer. Vid förenkling av ett matematiskt uttryck är det nödvändigt att observera ett visst förfarande, eftersom vissa matematiska operationer har prioritet över andra och måste göras först (i själva verket kommer det att leda till felaktigt resultat) . Kom ihåg nästa beställning Utför matematiska operationer: Uttryck i parentes, träna i en examen, multiplikation, division, tillsats, subtraktion.

   • Observera att kunskapen om rätt ordning gör det möjligt för dig att förenkla de flesta av de enklaste uttrycken, men för att förenkla polynomial (uttryck med variabeln) måste du veta speciella tekniker (se nästa avsnitt).

2. Börja med lösningar på uttryck i parentes. I matematik indikerar parenteserna att det uttryck som avslutas i dem bör uppfyllas i första hand. Därför, när man förenklar något matematiskt uttryck, börjar med lösningen av uttryck som är inneslutet i konsolen (oavsett vilken verksamhet som behöver utföras inuti parenteserna). Men kom ihåg att arbetet med ett uttryck som ingåtts i parentes bör följas av förfarandet för att bedriva verksamhet, det vill säga medlemmar i parentes är första multiplicerade, uppdelade, tillägg, dras av och så vidare.

   • Till exempel förenklar vi uttryck 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Här, låt oss börja med uttryck i parentes: 5 + 2 \u003d 7 och 3 + 4/2 \u003d 3 + 2 \u003d 5.
     • Uttrycket i det andra paret är förenklat till 5, eftersom du först måste dela 4/2 (enligt rätt procedur för att utföra operationer). Om du inte observerar den här beställningen får du fel svar: 3 + 4 \u003d 7 och 7 ÷ 2 \u003d 7/2.
   • Om det finns ytterligare ett par parentes i parentes, börja förenkla från att lösa ett uttryck i inre fästen och fortsätt sedan till lösningen av expression i externa konsoler.

3. Tidig examen. Beslutande uttryck i parentes, gå till övningen i den utsträckning (kom ihåg att graden är en indikator på graden och grunden för graden). Ta det lämpliga uttrycket (eller nummer) i examen och ersätta resultatet i det uttryck som ges till dig.

   • I vårt exempel är det enda uttrycket (antalet) i graden 3 2: 3 2 \u003d 9. I den här bilden kommer istället för 3 2, ersättning 9 och du får: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. Multiplicera. Kom ihåg att multiplikationsoperationen kan betecknas med följande symboler: "X", "∙" eller "*". Men om mellan numret och variabeln (till exempel 2x) eller mellan numret och numret i parentes (till exempel 4 (7)) finns det inga tecken, då är det också en multiplikationsoperation.

   • I vårt exempel finns det två multiplikationsoperationer: 2x (två multiplicera med variabeln "x") och 4 (7) (multiplicera sju). Vi vet inte meningen x, så uttrycket 2x kommer att lämna som det är. 4 (7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Nu kan du skriva om det uttrycket som ges till dig: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dela upp. Kom ihåg att divisionsoperationen kan betecknas med följande symboler: "/", "÷" eller "-" (du kan möta det sista tecknet i bedrägerierna). Till exempel är 3/4 tre dividerat med fyra.

   • I vårt exempel är divisionsoperationen inte längre, eftersom du redan har delat 4 till 2 (4/2) när du löser ett uttryck i parentes. Därför kan du gå till nästa steg. Kom ihåg att i de flesta uttryck finns det ingen matematiska operationer samtidigt (endast några av dem).

6. Vika ihop. Med tillägg av medlemmar i uttrycket kan du börja från den mest extrema (vänster) medlemmen, eller du kan först vika medlemmarna i det uttryck som är lätta att vikas. Till exempel, i uttrycket 49 + 29 + 51 +71 är det först lättare att tillföra 49 + 51 \u003d 100, sedan 29 + 71 \u003d 100 och slutligen 100 + 100 \u003d 200. Det är mycket svårare att vika detta : 49 + 29 \u003d 78; 78 + 51 \u003d 129; 129 + 71 \u003d 200.

   • I vårt exempel 2x + 28 + 9 + 5 finns två tillägg av tillsats. Låt oss börja med den mest extrema medlemmen: 2x + 28; Du kan inte vikas 2x och 28, eftersom du inte känner till värdena på variabeln "x". Därför, vik 28 + 9 \u003d 37. Nu kan uttrycket omskrivas så: 2x + 37 - 5.

7. Avlägsna. Detta är den sista operationen i rätt ordning utföra matematiska operationer. I detta skede kan du också lägga till negativa tal eller göra det på tilläggsstadiet - det kommer inte att påverka det slutliga resultatet.

   • I vårt exempel är 2x + 37 - 5 endast en subtraktionsoperation: 37 - 5 \u003d 32.

8. I detta skede, efter att ha gjort alla matematiska operationer, bör du få ett förenklat uttryck. Men om uttrycket som ges till dig innehåller en eller flera variabler, kom ihåg att medlemmen med variabeln kommer att förbli som det är. Lösningen (och inte förenkling) av uttrycket med variabeln innebär att värdet av denna variabel har. Ibland kan en uttryck med en variabel förenklas med speciella metoder (se nästa avsnitt).

   • I vårt exempel är det sista svaret: 2x + 32. Du kommer inte att kunna vika två medlemmar tills du vet värdet av variabeln "X". Att lära sig betydelsen av variabeln, du kan enkelt förenkla den här vridningen.

   Förenkla komplexa uttryck

   1. Tillsats av sådana medlemmar. Kom ihåg att det är möjligt att dra av och vika endast sådana medlemmar, det vill säga medlemmar med samma variabel och samma indikator. Till exempel kan du lägga till 7x och 5x, men det är omöjligt att vikas 7x och 5x 2 (som indikatorer på graden av olika).

      • Denna regel gäller medlemmar med flera variabler. Till exempel kan du vikas 2xy 2 och -3xy 2, men du kan inte vikas 2xy 2 och -3x 2 y eller 2xy 2 och -3y 2.
      • Tänk på ett exempel: x 2 + 3x + 6 - 8x. Här är 3x och 8x liknande medlemmar, så de kan vikas. Det förenklade uttrycket ser ut så här: x 2 - 5x + 6.

   2. Förenkla den numeriska fraktionen. I en sådan fraktion och i täljaren, och i denominatorn finns siffror (utan variabel). Den numeriska fraktionen förenklas på flera sätt. Först, skriv bara denominatorn till täljaren. För det andra, sprida siffran och nämnaren för multiplikatorer och minska samma multiplikatorer (sedan när du delar upp numret på sig, får du 1). Med andra ord, om täljaren är, och denominatorn har samma faktor, kan den kasseras och få en förenklad fraktion.

      • Tänk till exempel fraktionen 36/60. Med hjälp av en räknare, dela 36 till 60 och få 0,6. Men du kan förenkla denna fraktion och annorlunda, sönderdela täljaren och denominatorn för multiplikatorer: 36/60 \u003d (6x6) / (6x10) \u003d (6/6) * (6/10). Sedan 6/6 \u003d 1, sedan förenklad fraktion: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Men denna fraktion kan också förenklas: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Om fraktionen innehåller en variabel kan du minska samma multiplikatorer med en variabel. Spridning och täljare och nämnare för multiplikatorer och minska samma multiplikatorer, även om de innehåller en variabel (kom ihåg att samma multiplikatorer kan innehålla eller innehålla en variabel).

      • Tänk på ett exempel: (3x 2 + 3x) / (- 3x 2 + 15x). Detta uttryck kan omskrivas (sönderdelas på multiplikatorer) i formuläret: (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x). Eftersom en medlem av 3X är både i täljaren, och i denominatorn kan den minskas, och du får ett förenklat uttryck: (x + 1) / (5 - x). Tänk på ett annat exempel: (2x 2 + 4x + 6) / 2 \u003d (2 (x 2 + 2x + 3)) / 2 \u003d x 2 + 2x + 3.
      • Observera att du inte kan minska några medlemmar - endast samma multiplikatorer reduceras, vilka är närvarande både i täljaren och i nämnaren. Till exempel, i expression (X (X + 2)) / X, är variabeln (multiplikatorn) "X" både i täljaren, och i nämnaren, kan så "X" reduceras och erhålla ett förenklat uttryck: (X + 2) / 1 \u003d x + 2. Men i uttrycket (x + 2) / x variabel "x" kan inte minskas (eftersom "X" -beteckningen inte är en multiplikator).

   4. Öppen parentes. För att göra detta, multiplicera en medlem bakom konsolen för varje medlem i parentes. Ibland hjälper det till att förenkla komplex uttryck. Detta gäller både medlemmar som är enkla siffror och till medlemmar som innehåller en variabel.

      • Till exempel 3 (x 2 + 8) \u003d 3x 2 + 24 och 3x (x 2 + 8) \u003d 3x 3 + 24x.
      • Observera att i fraktionella uttryck är fästena inte nödvändiga, om i täljaren, och i denominatorn finns samma multiplikator. Till exempel, i uttrycket (3 (x 2 + 8)) / 3x-fästen är det inte nödvändigt att avslöja, eftersom det här kan minska multiplikatorn 3 och erhålla ett förenklat uttryck (x 2 + 8) / x. Med detta uttryck är det lättare att arbeta; Om du var avslöjade fästen, skulle du få följande komplexa uttryck: (3x 3 + 24x) / 3x.

   5. Spridas på multiplikatorer av polynomier. Med den här metoden kan du förenkla vissa uttryck och polynomier. Nedbrytning av multiplikatorer är en operation motsatt beskrivning av parentes, det vill säga uttrycket registreras som en produkt av två uttryck, var och en är innesluten i parentes. I vissa fall minskar expansionen av multiplikatorerna samma uttryck. I speciella fall (som regel, med kvadratiska ekvationer) Nedbrytning av multiplikatorer låter dig lösa ekvationen.

      • Tänk på uttrycket x 2 - 5x + 6. Det sönderdelas på multiplikatorerna: (x - 3) (x - 2). Således, om exempelvis uttryck (x 2 - 5x + 6) / (2 (x - 2)), kan du skriva om det i formuläret (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), minska uttrycket (X-2) och få ett förenklat uttryck (X-3) / 2.
      • Utvidgningen av polynomier på faktorer används för att lösa (finna rötter) av ekvationer (ekvation är en polynom som motsvarar 0). Tänk till exempel ekvationen x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Avsluta den till multiplikatorer kommer du att få (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Eftersom något uttryck multiplicerat med 0, lika med 0, då kan vi Skriv så: x - 3 \u003d 0 och x - 2 \u003d 0. Således, x \u003d 3 och x \u003d 2, det vill säga att du hittade två rötter av ekvationerna som ges till dig.

Bland de olika uttrycken, som anses vara i algebra, upptar mängden av homoraler en viktig plats. Vi ger exempel på sådana uttryck:
\\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \\)
\\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\)

Mängden homoraler kallas polynom. Komponenterna i polynomerna kallas medlemmar av polynom. Vi är också oavsiktligt hänvisa till polynomierna, räkningen är oavsiktligt med en polynom som består av en medlem.

Till exempel polynomiellt
\\ (8B ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ cdot (-12) b + 16 \\)
Du kan förenkla.

Föreställ dig alla villkor i form av Homorals standardvy:
\\ (8B ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \\ cdot (-12) b + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8B ^ 5 - 14B ^ 5 + 3B ^ 2 -8B -3B ^ 2 + 16 \\)

Vi ger sådana medlemmar i det resulterande polynomet:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16 \\)
Det visade sig vara en polynom, alla medlemmar är ensidiga arter, och det finns ingen liknande bland dem. Sådana polynomier kallas polynomier av standardart.

Per graden av polynom Standardarten tar de största av de grader av dess medlemmar. Således har bicked \\ (12a ^ 2b - 7b \\) en tredje grad och tre steg \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - den andra.

Typiskt placeras medlemmarna av polynomerna i en standardform som innehåller en variabel i storleksordningen av minskning i sin grad. Till exempel:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)

Summan av flera polynomier kan omvandlas (förenkla) till ett polynom av en standardart.

Ibland måste medlemmar av polynomiellt delas in i grupper genom att gå in i varje grupp i parentes. Eftersom slutsats inom parentes är en omvandling, omvänd avslöjande av parentes, är det lätt att formulera regler för att avslöja konsoler:

Om tecknet "+" är inställd framför fästena, spelas de medföljande medlemmarna i parentes med samma tecken.

Om "-" -tecknet är installerat framför parenteserna, spelas de ledamöter som ingåtts i parenteserna med motsatta tecken.

Transformation (förenkling) av verk av envinge och polynom

Med hjälp av distributionsegenskaperna för multiplicering kan du konvertera (förenkla) till ett polynom, produkten är unoblared och polynom. Till exempel:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \\ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \\ cdot (-4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)

Arbetet är unobed och polynomialen är identiskt lika med mängden verk av denna enda och var och en av medlemmarna av polynom.

Detta resultat är vanligtvis formulerat som regel.

För att multiplicera omogna av ett polynom, måste du multiplicera den här är okänd för var och en av medlemmarna i polynom.

Vi har upprepade gånger använt denna regel för multiplikation med mängden.

Produkten av polynomier. Transformation (Förenkling) Verk av två polynomier

I allmänhet är produkten av två polynomier identiskt lika med mängden av varje medlem av ett polynom och varje medlem av den andra.

Brukar njuta av följande regel.

För att multiplicera polynom till polynomialen multipliceras varje medlem i ett polynom med varje medlem av den andra och vikta de erhållna verken.

Formler av förkortad multiplikation. Kvadrater av mängden, skillnaden och skillnaden i rutor

Med vissa uttryck i algebraiska omvandlingar är det nödvändigt att hantera oftare än med andra. Kanske de vanligaste uttrycken \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) och \\ (a ^ 2 - b ^ 2 \\), dvs summan av summan, torget av skillnaden och kvadratiska skillnader. Du märkte att namnen på de angivna uttrycken inte är över, så, till exempel, \\ ((a + b) ^ 2 \\) är naturligtvis inte bara torget av mängden och torget av summan A och B. Men torget av beloppet A och B inte är så ofta, i stället för bokstäver A och B, visar det sig vara annorlunda, ibland ganska komplexa uttryck.

Uttryck \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) Det är inte svårt att konvertera (förenkla) till polynomier av en standard art, faktiskt har du redan träffat en sådan uppgift när Multiplicera polynomier:
\\ ((a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 \\)

De erhållna identiteterna är användbara för att komma ihåg och tillämpa utan mellanliggande beräkningar. En kort muntlig formulering hjälper detta.

\\ ((a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \\) - summan av summan är lika med summan av kvadraterna och det dubbla arbetet.

\\ ((a - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \\) - Kvadraten av skillnaden är lika med summan av kvadraterna utan en dubbel produkt.

\\ (A ^ 2 - B ^ 2 \u003d (a - b) (A + B) \\) - Skillnadsskillnaden är lika med produkten av skillnaden i mängden.

Dessa tre identiteter möjliggör omvandlingar för att ersätta sina vänstra delar med höger och bakre högra delar kvar. Det svåraste samtidigt - se lämpliga uttryck och förstå hur variabler A och B ersätts. Tänk på flera exempel på att använda formlerna för förkortad multiplikation.

Jag Uttryck där, tillsammans med bokstäver, siffror, märken av aritmetisk åtgärd och fästen kan användas, kallas algebraiska uttryck.

Exempel på algebraiska uttryck:

2m-N; 3. · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b. · (4a + 2b); en 2 - 2AB;

Eftersom brevet i algebraiskt uttryck kan ersättas av vissa olika siffror, då är brevet kallad variabel, och sig själv algebraiska uttryck - uttryck med en variabel.

II. Om i algebraiska uttrycksbrev (variabler), ersätt dem med värden och utför dessa åtgärder, då det resulterande numret kallas ett algebraiskt uttrycksvärde.

Exempel. Hitta värdet av uttrycket:

1) A + 2B-C vid A \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d -3,5.

2) | x | + | Y | - | z | vid x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Beslut.

1) A + 2B-C vid A \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d -3,5. Istället för variabler ersätter vi sina värden. Vi får:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - | z | vid x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Byte specificerade värden. Kom ihåg att modulen negativt tal Det är lika med det motsatta numret, och modulen av ett positivt tal är lika med numret. Vi får:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Värdena för bokstaven (variabel), under vilket det algebraiska uttrycket är vettigt, kallas de tillåtna värdena för bokstaven (variabel).

Exempel. Under vilka värden för det variabla uttrycket är inte meningsfullt?

Beslut. Vi vet att det är omöjligt att dela till noll, därför, var och en av dessa uttryck kommer inte att vara meningsfullt i värdet av bokstaven (variabel), som drar denomoten av fraktionen i noll!

I exempel 1) är detta värde A \u003d 0, om i stället och ersätt 0, måste du dela nummer 6 till 0, och det här kan inte göras. Svar: Uttryck 1) Är inte meningslöst på A \u003d 0.

I exempel 2) kan nämnaren x - 4 \u003d 0 vid x \u003d 4 därför detta värde x \u003d 4 och kan inte tas. Svar: Uttryck 2) är inte meningsfullt vid x \u003d 4.

I exempel 3) denominator x + 2 \u003d 0 vid x \u003d -2. Svar: Uttryck 3) är inte meningsfullt vid X \u003d -2.

I exempel 4) denominator 5 - | x | \u003d 0 med | x | \u003d 5. Och sedan | 5 | \u003d 5 och | -5 | \u003d 5, då är det omöjligt att ta x \u003d 5 och x \u003d -5. Svar: Uttryck 4) Gillar inte mening vid X \u003d -5 och vid x \u003d 5.
Iv. Två uttryck är identiskt lika, om med några giltiga värden av variablerna är motsvarande värden av dessa uttryck lika.

Exempel: 5 (a-b) och 5a-5b är skuggigt lika, eftersom jämlikhet 5 (a-b) \u003d 5a - 5b kommer att vara trogen vid alla värden av A och B. Jämställdhet 5 (a - b) \u003d 5a - 5b Det finns en identitet.

Identitet - Detta är jämlikhet, bara med alla tillåtna värden för de variabler som ingår i den. Exempel på identiteter som redan är kända för er är till exempel egenskaperna för tillsats och multiplikation, fördelningsegenskapen.

Utbytet av ett uttryck till ett annat, identiskt lika med det med uttrycket, kallas identisk omvandling eller helt enkelt genom omvandlingen av uttrycket. Identiska omvandlingar Expansioner med variabler utförs baserat på egenskaperna hos åtgärder över siffrorna.

Exempel.

a) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med användning av distributionsfastigheten för multiplikation:

1) 10 · (1,2x + 2,3,); 2) 1,5 · (A -2B + 4c); 3) A · (6M -2N + K).

Beslut. Återkalla distributionsfastigheten (lag) för multiplikation:

(A + B) · C \u003d A · C + B · C (Distributionslagen för multiplikation i förhållande till tillägg: För att multiplicera mängden två nummer till det tredje numret, kan du multiplicera varje komponent till det här numret och vikta resultaten).
(A-b) · c \u003d a · c-b · c (Distributionslagstiftning av multiplikation i förhållande till subtraktion: För att multiplicera skillnaden mellan två siffror för att multiplicera med det tredje numret, kan du multiplicera med detta nummer reduceras och subtrabler separat och från det första resultatet av subtraktionen av den andra).

1) 10 · (1,2x + 2,31) \u003d 10 · 1,2x + 10 · 2,3U \u003d 12x + 23W.

2) 1,5 · (A -2B + 4C) \u003d 1,5A -3B + 6C.

3) A · (6m -2N + K) \u003d 6AM -2AN + AK.

b) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med hjälp av de rörliga och modeegenskaperna (lagar) av tillägg:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3A + 2,1) + 7,8; 6) 5,4c -3 -2,5 -2,3c.

Beslut. Tillämpa lagarna (egenskaper) för tillägg:

a + B \u003d B + A (Rörelse: Beloppet ändras inte från omplacering av villkoren).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Kombinera: För att lägga till ett tredje nummer till summan av de två komponenterna kan du lägga till det andra och tredje beloppet till det första numret).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3A + 2,1) + 7,8 \u003d 3A + (2,1 + 7,8) \u003d 3A + 9,9.

6) 6) 5,4c -3 -2,5 -2,3c \u003d (5,4c -2,3c) + (-3 -2,5) \u003d 3,1 ^ 5,5.

i) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med multiplikationsmultiplikationen: multiplikation:

7) 4 · H. · (-2,5); 8) -3,5 · 2 · (-ett); 9) 3a. · (-3) · 2c.

Beslut. Tillämpa lagarna (egenskaper) för multiplikation:

a · b \u003d b · a (Rörelse: Från permutationen av multiplikatorer ändras inte arbetet).
(A · b) · c \u003d a · (b · c) (Kombinera: För att multiplicera arbetet med två nummer till det tredje numret kan du multiplicera det första numret till det andra och det tredje).

7) 4 · H. · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2 · (-1) \u003d 7U.

9) 3a. · (-3) · 2c \u003d -18As.

Om det algebraiska uttrycket ges i form av en reducerad fraktion, sedan med användning av krossningsregeln, kan den förenklas, dvs Ersätt identiskt lika med ett enklare uttryck.

Exempel. Förenkla med användning av fraktioner.

Beslut. Minska fraktionen - det betyder att dividera sin täljare och denominator till samma nummer (uttryck), skiljer sig från noll. Fraktion 10) kommer att minska på 3b.; fraktion 11) kommer att minska på men och fraktion 12) kommer att minska på 7n.. Vi får:

Algebraiska uttryck används för att kompilera formler.

Formeln är ett algebraiskt uttryck registrerat i form av jämlikhet och uttrycker förhållandet mellan två eller flera variabler. Exempel: Formel formel du vet s \u003d v · t (S är den färdiga vägen, V är hastighet, t-tid). Kom ihåg vilka andra formler du vet.

Sida 1 av 1 1

Med något språk kan du uttrycka samma information. olika ord och vänder. Inte undantag och matematiskt språk. Men samma uttryck kan spelas in ekvivalent på olika sätt. Och i vissa situationer är en av posterna enklare. Vi kommer att prata om att förenkla uttryck i den här lektionen.

Folk kommunicerar på olika språk. För oss är en viktig jämförelse ett par "ryska språket - matematiskt språk". Samma information kan rapporteras på olika språk. Men dessutom kan det också uttala sig på ett språk på olika sätt.

Till exempel: "Petya är vänner med Vasya", "Vasya är vänner med Petya", "Pete med Vejra vänner." Sagt annorlunda, men samma sak. För någon av dessa fraser, skulle vi förstå vad vi pratar om.

Låt oss titta på den här frasen: "Petyas pojke och pojke Vasya är vänner." Vi förstod vad detta är tal. Ändå gillar vi inte hur den här frasen låter. Kan vi förenkla det, säg detsamma, men lättare? "Pojke och pojke" - du kan säga än en gång: "Petya och Vasya Boys är vänner."

"Pojkar" ... är inte namnen att de inte är tjejer. Vi tar bort "pojkarna": "Petya och Vasya är vänner." Och ordet "vänner" kan ersättas med "vänner": "Peter och Vasya - vänner." Som ett resultat ersattes den första, långa fula frasen med ett likvärdigt uttalande, vilket är lättare att säga och lättare att förstå. Vi förenklade denna fras. Förenkla - det betyder att man lättare, men inte förlora, snedvrida inte meningen.

På ett matematiskt språk händer ungefär samma sak. En sak kan sägas skriva annorlunda. Vad betyder det att förenkla uttryck? Det innebär att det finns många ekvivalenta uttryck för det ursprungliga uttrycket, det vill säga de som betyder samma sak. Och från all denna uppsättning måste vi välja det enklaste, enligt vår åsikt eller de mest lämpliga för våra framtida mål.

Tänk till exempel ett numeriskt uttryck. Det kommer att vara ekvivalent.

Det kommer också att motsvara de två första: .

Det visar sig att vi har förenklat våra uttryck och hittade det mest korta motsvarande uttrycket.

För numeriska uttryck Du behöver alltid utföra alla åtgärder och få ett ekvivalent uttryck i form av ett nummer.

Tänk på ett exempel på ett alfabetiskt uttryck. . Självklart kommer det att bli enklare.

När du förenklar alfabetiska uttryck måste du utföra alla åtgärder som är möjliga.

Behöver du alltid förenkla uttryck? Nej, ibland kommer det att vara bekvämare för oss motsvarande, men en längre inspelning.

Exempel: Från det nummer du behöver ta bort numret.

Det är möjligt att beräkna, men om det första numret representerades av motsvarande rekord:, då skulle beräkningarna vara momentana :.

Det vill säga ett förenklat uttryck är inte alltid lönsamt för vidare dator.

Ändå möter vi mycket ofta en uppgift som det låter "för att förenkla uttrycket".

Förenkla uttrycket :.

Beslut

1) Utför åtgärder i första och andra fästen :.

2) Beräkna verk: .

Självklart är det sista uttrycket en enklare utsikt än den ursprungliga. Vi förenklade det.

För att förenkla uttrycket måste det ersättas med en ekvivalent (EQUAL).

För att bestämma det ekvivalenta uttrycket är det nödvändigt:

1) Utför alla möjliga åtgärder

2) Använd egenskaperna för tillägg, subtraktion, multiplikation och divisioner för att förenkla beräkningar.

Egenskaper för tillägg och subtraktion:

1. Flytta tilläggets tillägg: Beloppet ändras inte från omplacering av villkoren.

2. Kombinationsfastigheten för tillägget: För att lägga till ett tredje nummer till summan av två nummer kan du lägga till summan av det andra och tredje numret till det första numret.

3. Egenskapen för subtraktion av beloppet bland annat: För att subtrahera beloppet från numret kan du dra av varje term separat.

Egenskaper för multiplikation och division

1. Multiplikationens rörelseegenskap: Produkten ändras inte från permutationen av multiplikatorerna.

2. Modig egendom: För att multiplicera numret på arbetet med två siffror, kan du först multiplicera det till den första faktorn, och det resulterande arbetet multipliceras med den andra faktorn.

3. Distributionsfastigheten för multiplikation: För att multiplicera numret till mängden, måste du multiplicera den till varandra separat.

Låt oss se hur vi faktiskt gör beräkningar i sinnet.

Beräkna:

Beslut

1) Föreställ dig hur

2) Föreställ dig den första faktorn som summan av utmatningsvillkoren och utför multiplikation:

3) Du kan föreställa dig hur man utför multiplikation:

4) Byt ut den första faktorn för motsvarande belopp:

Distributionslagen kan användas i omvänd sida: .

Utför följande:

1) 2)

Beslut

1) För bekvämligheten kan du använda distributionslagen, bara för att använda den i motsatt riktning - för att göra en allmän faktor för parentes.

2) Jag kommer att ta med en allmän multiplikator för parentes.

Det är nödvändigt att köpa linoleum i köket och en entré. Kvadratkök -, Hallway -. Det finns tre typer av linoleums: programvara och rubel för. Hur mycket kostar var och en av tre arter Linoleum? (Figur 1)

Fikon. 1. Illustration till problemet med problemet

Beslut

Metod 1. Du kan individuellt hitta hur mycket pengar som behöver köpa ett linoleum i köket och sedan lägga till i korridoren och de erhållna verken.

Vissa algebraiska exempel kan ta med skräck på skolbarn. Långa uttryck är inte bara rädda, men gör det också svårt att beräkna. Försöker göra det möjligt att förstå vad och för vad som borde förväxlas under en kort tid. Det är av den anledningen att matematiken alltid försöker förenkla den "hemska" uppgiften så mycket som möjligt och sedan fortsätt till sitt beslut. Otroligt nog, ett sådant knep påskyndar arbetsprocessen.

Förenkling är en av de grundläggande stunderna i algebraen. Om i enkla uppgifter utan det kan du fortfarande göra, så är det svårare att beräkna exempel vara "inte på tänderna". Det är här dessa färdigheter kommer att vara till nytta! Speciellt eftersom komplex matematisk kunskap inte är nödvändig: det kommer att räcka för att bara komma ihåg och lära sig att tillämpa flera grundläggande tekniker i praktiken och formlerna.

Oavsett komplexiteten hos beräkningar för att lösa alla uttryck är det viktigt observera proceduren för att utföra operationer med siffror:

1. parentes;
2. övning;
3. multiplikation;
4. division;
5. tillägg;
6. subtraktion.

De två sista punkterna kan ändras säkert på platser och det påverkar inte resultatet. Men vikar två intilliggande tal, när ett multiplikationsskylt är kategoriskt omöjligt bredvid en av dem! Svaret är om det visar sig, då felaktigt. Därför måste du komma ihåg sekvensen.

Tillämpning av liknande

Sådana element innefattar siffror från en variabel i en order eller samma grad. Det finns så kallade gratis medlemmar som inte har alfabetisk beteckning okänd.

Kärnan är det i avsaknad av parentes du kan förenkla uttrycket, vikning eller subtrahera liknande.

Flera visuella exempel:

• 8x 2 och 3x 2 - båda siffrorna har samma andra ordervariabel, så de är likartade och när tillsatsen förenklas till (8 + 3) x 2 \u003d 11x 2, medan det vid subtraktion blir det (8-3) x 2 \u003d 5x 2;
• 4x 3 och 6x - och här "X" har en annan grad;
• 2Y 7 och 33x 7 - innehåller olika variabler, därför, som i det föregående fallet, inte avser liknande.

Multiplikatorns sönderdelning

Det här lilla matematiska tricket, om du lär dig hur du använder det korrekt, kommer det inte att kunna klara av den knepiga uppgiften. Ja, och förstå hur "system" fungerar, det är enkelt: sönderdelning hänvisa till produkten av flera element, vars beräkning ger initialvärdet. Således kan 20 representeras som 20 × 1, 2 x 10, 5 × 4, 2 × 5 × 2 eller på ett annat sätt.

På en anteckning: Multiplister sammanfaller alltid med divisorer. Så leta efter ett fungerande "par" till sönderdelning, det är nödvändigt bland de siffror som den ursprungliga är uppdelad utan återstod.

Du kan göra en sådan operation som med gratis medlemmar och med siffror med en variabel. Det viktigaste är att inte förlora den senare under datorn - även efter sönderdelning kan det okända kan inte ta och "gå ingenstans". Det är kvar med en av multiplikatorerna:

• 15x \u003d 3 (5x);
• 60u 2 \u003d (15y 2) 4.

Enkla siffror som endast kan delas på sig själva eller 1, läggs aldrig ut - det är ingen mening.

Huvudsakliga sätt att förenkla

Den första, för vilken utseendet klamrar sig:

• förekomsten av parentes;
• fraktioner;
• rötter.

Algebraiska exempel B. skolprogram Ofta sammanställas med hänsyn till det faktum att de kan förenklas vackert.

Beräkningar i parentes

Följ försiktigt tecknet mot konsolen! Multiplikation eller division gäller för varje element inuti, och minus - ändrar de befintliga tecknen "+" eller "-" motsatsen.

Brackets beräknas enligt reglerna antingen genom förkortade multiplikationsformler, varefter de som gillar.

Reducerande fraktioner

Krympa Också enkelt. De själva "villigt springa", det är värt att utföra operationer med att föra sådana medlemmar. Men du kan förenkla ett exempel förut: var uppmärksam på täljaren och denominatorn. De innehåller ofta explicit eller dolda element som kan minskas ömsesidigt. Sant, om det i det första fallet bara behöver slå sig onödigt, i det andra måste du tänka, vilket leder till en del av uttrycket till formuläret för att förenkla. Metoder som används:

• sök och inlämning till föräldrarna till den största gemensamma delaren i täljaren och denominatorn;
• avdelning av alla toppelement På denominatorn.

När ett uttryck eller en del av det är under rotenDen primära uppgiften att förenkling är nästan lik är fallet med fraktioner. Det är nödvändigt att leta efter sätt att bli av med det helt eller om det är omöjligt att minska beräkningsskylten så mycket som möjligt. Till exempel, till diskret √ (3) eller √ (7).

Sant sätt Förenkla det förflutna uttrycket - försök att sönderdela det för multiplikatorerDen del som är utrustad bortom tecknet. Visuellt exempel: √ (90) \u003d √ (9 × 10) \u003d √ (9) × √ (10) \u003d 3√ (10).

Andra små knep och nyanser:

• denna förenklingsoperation kan utföras med fraktioner, vilket gör det till ett tecken som helt och separat en täljare eller nämnare;
• lägg ut och avsluta mängden av mängden eller skillnaden från roten;
• när du arbetar med variabler, var noga med att ta hänsyn till dess grad, det måste vara lika eller en flera rot för möjligheten att göra: √ (x 2 y) \u003d x√ (y), √ (x 3) \u003d √ (x 2 × x) \u003d x√ (x);
• ibland får det bli av med den bakade variabeln genom erektion i fraktionerad grad: √ (y 3) \u003d y 3/2.

Förenkling av kraftuttryck

Om i fallet med enkla beräkningar för minus eller plus exempel förenklas på grund av att man gillar, hur man ska vara när man multiplicerar eller delar variabler med olika grader? De kan enkelt förenklas, minns två huvudpunkter:

1. Om det finns ett tecken på multiplikation mellan variabler - grader.
2. När de är uppdelade i varandra - dras det från graden av täljaren.

Det enda villkoret för en sådan förenkling - samma bas Hos båda medlemmarna. Exempel på klarhet:

• 5x 2 × 4x 7 + (Y 13 / y 11) \u003d (5 × 4) x 2 + 7 + y 13-11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2Z 3 + Z × Z2 - (3 × Z 8 / Z5) \u003d 2Z 3 + Z1 + 2 - (3 × Z 8-5) \u003d 2Z 3 + Z3 -3Z3 \u003d 3Z 3 -3Z3 \u003d 0.

Vi noterar att verksamheten med numeriska värdenViktiga variabler uppstår genom vanliga matematiska regler. Och om du tittar på blir det klart att effektelementen i uttrycket "arbete" är liknande:

• erektion av en medlem i graden hänför sig till multiplikationen av den i sig ett visst antal gånger, dvs x 2 \u003d x x x;
• divisionen är liknande: Om du sönderdelar graden av täljaren och denominatorn, kommer några av variablerna att minska, medan de återstående "samlas", vilket motsvarar subtraktion.

Som i vilket fall som helst, vid förenkling av algebraiska uttryck, är inte bara kunskap om grunderna nödvändig, men också träna. Redan i flera yrken kommer exempel, någon gång som är svår, kommer att minskas utan mycket svårighet, som går in i kort och lätt lösning.

Video

Den här videon hjälper dig att räkna ut och komma ihåg hur uttryck förenklas.

Fick inte svaret på din fråga? Erbjudande författare ämnet.