Föra polynom till standardform. Typiska uppgifter. Polynom och dess standardart

Efter att ha studerat hemoraler vänder vi oss till polynomier. Denna artikel kommer att berätta om all nödvändig information som är nödvändig för att utföra åtgärder på dem. Vi definierar ett polynom med de medföljande definitionerna av en medlem av polynom, det vill säga fri och liknande, överväga polynomiens av standardart, vi introducerar en examen och lär dig hur vi hittar det, vi kommer att arbeta med sina koefficienter.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Polynomerna och dess medlemmar - definitioner och exempel

Bestämningen av polynomen var fortfarande i 7 klass efter att ha studerat homoraler. Tänk på sin fulla definition.

Definition 1.

Polynom Det anses vara mängden homoraler, och oro är sig själv privatfodral polynom.

Det följer av definitionen att exempel på polynomier kan vara annorlunda: 5 , 0 , − 1 , X., 5 · A · B 3, x 2 · 0, 6 · x · (- 2) · y 12, - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z och så vidare. Från definitionen vi har det 1 + X., en 2 + B 2 och uttrycket x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x är polynomier.

Överväga fortfarande definitioner.

Definition 2.

Medlemmar av polynomialendet kallas dess komponenter delas.

Tänk på ett sådant exempel, där vi har ett polynom 3 · x 4 - 2 · x · y + 3 - y 3, bestående av 4 medlemmar: 3 · x 4, - 2 · x · y, 3 och - Y 3.. En sådan singel kan betraktas som ett polynom, som består av en medlem.

Definition 3.

Polynomier som är i deras sammansättning 2, 3 tre declections har ett respektive namn - binom och trinomial.

Därför följer det att uttrycket av formen X + Y.- Det är vridet, och uttrycket 2 · x 3 · q - q · x · x + 7 · b är trehow.

Förbi skolprogram Arbetade med linjär bikcourse av formuläret A · X + B, där A och B är några siffror och X-variabel. Tänk på exemplen på linjära tvådimensioner av formuläret: X + 1, X · 7, 2-4 med exempel på kvadratiska tre-strokes x 2 + 3 · x - 5 och 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

För transformation och lösningar är det nödvändigt att hitta och ta med liknande komponenter. Exempelvis har ett polynom av formen 1 + 5 · x - 3 + y + 2 · x liknande termer av 1 och -3, 5 x och 2 x. De är uppdelade i en speciell grupp som kallas liknande medlemmar av polynom.

Definition 4.

Liknande medlemmar av polynomialen- Det här är liknande komponenter som är i polynom.

I exemplet ovan har vi att 1 och -3, 5 x och 2 x är liknande medlemmar av polynom- eller liknande. För att förenkla uttrycket används det för att hitta och ge liknande termer.

Polynom- standardvy

Alla ensidiga och polynomier har sina egna bestämda namn.

Definition 5.

Polynom- standardvyde kallar ett polynom, där varje medlem del i den har en enda standard art och innehåller inte sådana medlemmar.

Det kan ses från definitionen att det är möjligt att få polynomerna i standardarten, till exempel 3 · x 2 - x · y + 1 och __formula__, och inspelningen är standard. Uttryck 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z och 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z polynomier av standardarten är inte, eftersom den första av dem har liknande termer i form av 3 · x 2 I. - x 2., och den andra innehåller en enda form x · y 3 · x · z 2, som skiljer sig från standardpolynom.

Om omständigheterna kräver, körs ibland polynom standard. Begreppet en fri medlem av polynomet anses också vara ett polynom.

Definition 6.

Fri medlem av polynomialendet är ett polynom av en standard art som inte har någon alfabetisk del.

Med andra ord, när inspelningen av polynomialen i standardformuläret har ett nummer, kallas det en fri medlem. Därefter är numret 5 en fri medlem av polynomiell X2 · Z + 5 och polynomen 7 · A + 4 · A · B + B3 har inte en fri del.

Graden av polynom - Hur hittar du det?

Bestämningen av graden av polynomialen är baserad på definitionen av polynom för standardtypen och på graden av envinge, vilka är dess beståndsdel.

Definition 7.

Graden av polynom av standardtypenring de största graderna som ingår i sin inspelning.

Tänk på exemplet. Graden av polynom 5 · x 3-4 är 3, eftersom de hakas, vilka ingår i dess sammansättning, har grader 3 och 0, respektive mer av dem 3. Bestämningen av graden av polynom 4 · x 2 · y3-5 · x 4 · y + 6 · x är lika med den största av siffrorna, det vill säga 2 + 3 \u003d 5, 4 + 1 \u003d 5 och 1 , det betyder 5.

Det bör hittas i hur graden är belägen.

Definition 8.

Graden av polynom av ett godtyckligt tal - Detta är graden av motsvarande polynom i standardform.

När polynomet inte spelas in inte i standardformuläret, men det är nödvändigt att hitta sin grad, är det nödvändigt att ta med till standard, varefter en önskad grad.

Exempel 1.

Hitta ett polynom 3 · A 12 - 2 · A · B · C · A · C · B + Y 2 · Z2 - 2 · A 12 - A 12.

Beslut

Först, skicka ett polynom i standardformulär. Vi får uttrycket av formuläret:

3 · A 12 - 2 · A · B · C · A · C · B + Y2 · Z2-2 · A 12 - A 12 \u003d (3 · A 12 - 2 · A 12 - A 12) - 2 · (A) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 \u003d \u003d - 2 · A 2 · B2 · C2 + Y 2 · Z 2

När vi erhåller ett polynom av en standard art, erhåller vi att två av dem är tydligt utmärkta - 2 · A 2 · B2 · C2 och Y 2 · Z 2. För att hitta grader anser vi och erhåller den 2 + 2 + 2 \u003d 6 och 2 + 2 \u003d 4. Det kan ses att den största av dem är lika med 6. Det följer av definitionen att den är 6 är graden av polynom - 2 · A 2 · B2 · C2 + Y2 · Z2 därför initialvärdet.

Svar: 6 .

Koefficienterna för medlemmarna i polynomialen

Definition 9.

När alla medlemmar av polynom är klassificerade som standard, då kallas de i det här fallet koefficienterna för medlemmarna i polynomialen.Med andra ord kan de kallas polynomkoefficienter.

När man överväger exemplet kan det ses att polynomen av formen 2 · x - 0, 5 · x · y + 3 · x + 7 har 4 polynomier i sin sammansättning: 2 · x, - 0, 5 · x · Y, 3 · X och 7 med motsvarande koefficienter 2, - 0, 5, 3 och 7. Så, 2, - 0, 5, 3 och 7 anses vara koefficienter för medlemmar av ett givet polynom av formen 2 · x - 0, 5 · x · y + 3 · x + 7. Vid omvandling är det viktigt att vara uppmärksam på de koefficienter som vetter mot variablerna.

Om du märker ett misstag i texten, välj det och tryck på CTRL + ENTER

Vid denna lektion kommer vi att återkalla de grundläggande definitionerna av detta ämne och överväga några typiska uppgifter, nämligen förtydligandet av polynomen till standardformen och beräkna det numeriska värdet vid de angivna värdena för variablerna. Vi kommer att lösa flera exempel som gäller för standardformuläret för att lösa av olika slag Uppgifter.

Ämne:Polynomier. Aritmetiska operationer över enstaka vinge

Lektion:Föra ett polynom till standardformen. Typiska uppgifter

Minns den grundläggande definitionen: Polynom är mängden enkelvinge. Varje enkla vinge, som är en del av polynomen som en komponent kallas hans medlem. Till exempel:

Binom;

Polynom;

Binom;

Eftersom polynomen består av envingen, ska den första åtgärden med ett polynom vara härifrån - du måste ta med allt till standardformuläret. Minns att för detta måste du multiplicera alla numeriska multiplikatorer - för att få en numerisk koefficient och multiplicera lämpliga grader - för att få en alfabetisk del. Dessutom kommer vi att uppmärksamma teoremet på graden av grader: när de multiplicerar grader, viks deras indikatorer.

Tänk på en viktig operation - vilket medför ett polynom med standardformuläret. Exempel:

Kommentar: För att få ett polynom till standardformuläret måste du leda till en standardform. Alla är oskyddade, vilka ingår i sin sammansättning, efter det, om det finns liknande unripes - och det är okända med samma alfabetisk del - utföra åtgärder med dem.

Så vi tittade på den första typen uppgiften - vilket medför polynom till standardformen.

Följande typiska uppgift är att beräkna det specifika värdet av polynomet vid det angivna numeriska värden Variabler ingår i den. Vi fortsätter att överväga det föregående exemplet och ställa in variablerna:

Kommentar: Minns att enheten i någon naturligt är lika med en, och noll till någon naturlig grad är noll, dessutom minns vi att när du multiplicerar ett nummer till noll får vi noll.

Tänk på ett antal exempel på typiska operationer för att få ett polynom till standardformen och beräkningen av dess värde:

Exempel 1 - Bly till standardformulär:

Kommentar: Första åtgärder - Vi ger skaka till standardformuläret, du måste ta med den första, andra och sjätte; Den andra åtgärden - vi ger sådana medlemmar, det vill säga vi utför en given aritmetisk handling på dem: den första vi viker med den femte, den andra med den tredje, resten omskrivning utan förändringar, eftersom de inte har liknande.

Exempel 2 - Beräkna värdet av polynomet från exempel 1 vid de angivna värdena för variablerna:

Kommentar: Vid beräkning bör det komma ihåg att enheten i någon naturlig utsträckning är enheten, med svårigheten med beräkningar av examensdetektering, kan du använda graden.

Exempel 3 - istället för en asterisk, sätt en sådan enda sak så att resultatet innehöll variabeln:

Kommentar: Oavsett uppgiften är den första åtgärden alltid densamma - att föra polynom till standardformuläret. I vårt exempel reduceras denna åtgärd för att få liknande medlemmar. Därefter bör det noggrant läsa tillståndet och tänka på hur vi kan bli av med fackföreningen. Det är uppenbart att du för det här behöver lägga till samma till det, men med motsatt tecken -. Därefter ersätter vi asterisken med den här kedjan och ser till att vår lösning är korrekt.

Lektion om ämnet: "Konceptet och definitionen av ett polynom. Standard typ av polynom"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål. Alla material kontrolleras av antivirusprogram.

Utbildningshandböcker och simulatorer i webbutiken "Integral" för betyg 7
E-learning manual för textboken yu.n. Makarycheva
E-learning manual för textboken sh.a. Alimova

Killar, du har redan studerat okänd i ämnet: Standard arter är obesvarad. Definitioner. Exempel. Låt oss upprepa de grundläggande definitionerna.

Monomial - Uttryck bestående av produkten av siffror och variabler. Variabler kan förhöjas i naturlig utsträckning. Unrochene innehåller inga andra åtgärder utom multiplikation.

Standardvy av singochlenna - Denna typ av när koefficienten är i första hand (numerisk faktor) och graden av olika variabler.

Liknande homoral - Det här är antingen samma skaka, eller är orakad, vilket skiljer sig från varandra med koefficienten.

Begreppet polynomiellt

Polynom, som är omog, är ett generellt namn. matematiska uttryck en viss art. Vi har redan stött på sådana generaliseringar tidigare. Till exempel, "beloppet", "arbete", "övning till examen". När vi hör "skillnaden i siffror", kommer vi inte att ha en tanke på multiplikation eller division. Polynom är också ett strikt definierat uttryck.

Definition av polynom

Polynom - Det här är summan av en-vinge.

Planerad i kompositionen av polynomen kallas medlemmar av polynomialen. Om villkoren är två, arbetar vi med twisted, de har tre, då med tre fast. Om komponenterna säger mer - ett polynom.

Exempel på polynomier.

1) 2AB + 4SD (studs);

2) 4AB + 3CD + 4X (tre-shred);

3) 4A2B4 + 4C 8 D 9 + 2xu3;

3C 7 D 8-2B 6 C2D + 7XU - 5XY 2.

Låt oss se noggrant för det senaste uttrycket. I definition är detta ett polynom - mängden enkelsvinge, men i det sista exemplet viks vi inte bara, men vi kommer att dra av oroliga.
Att klargöra ett litet exempel.

Vi skriver uttryck a + B - med (håller med om det a ≥ 0, b ≥ 0 och c ≥0) Och svara på frågan: Är det här beloppet eller skillnaden? Det är svårt att säga.
Verkligen om omskrivet uttryck som a + B + (-S), vi kommer att få summan av två positiva och negativa termer.
Om du tittar på vårt exempel, handlar vi exakt med summan av en-vinge med koefficienterna: 3, - 2, 7, -5. I matematik finns en term "algebraisk mängd". Således, i definitionen av polynom, finns det en "algebraisk mängd".

Men vyn av typen 3a: B + 7c är inte ett polynom eftersom 3A: B inte är universell.
Det är inte ett polynom och registrering av formen 3b + 2a * (C2 + D), sedan 2A * (C2 + D) - inte singel. Om du avslöjar fästena kommer det resulterande uttrycket att vara ett polynom.
3B + 2A * (C2 + D) \u003d 3B + 2As 2 + 2AD.

Graden av polynom är den högsta graden av dess medlemmar.
Polynom A3B2 + A 4 har den femtoösa graden, eftersom graden är universell och 3B2 är 2 + 3 \u003d 5 och graden av universal A4 är 4 lika med 4.

Standard typ av polynom

Ett polynom som inte har sådana medlemmar och registreras i fallande ordning av graderna av medlemmarna av polynom är ett polynom av en standardart.

Polynomierna leder till en standardform, för att avlägsna överdriven bulkhet att skriva och förenkla ytterligare åtgärder med den.

I själva verket, varför, till exempel, skriva ett långt uttryck 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + A 2 + 4 + 4, när den kan skrivas i kort 9b 2 + 3a 2 + 8.

För att få ett polynom till standardformuläret är det nödvändigt:
1. Skapa alla medlemmar till standardformuläret,
2. Komponera liknande (identiska eller olika numeriska koefficient) medlemmar. Denna procedur kallas ofta genom att föra liknande.

Exempel.
Skapa ett polynom ABA + 2U2 x 4 x + i 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 till standardform.

Beslut.

a 2 B + 2 x 5 i 2 + x 5 i 2 + 10A2B + 14 \u003d 11A2B + 3 x 5 i 2 + 14.

Vi definierar graderna av universels som ingår i uttrycket och lägger dem i fallande ordning.
11A 2 B har en tredje grad, 3 x 5 i 2 har en sjunde grad, 14 - noll grad.
Så, för det första lägger vi 3 x 5 i 2 (7 grader), på den andra - 12a 2 b (3 grader) och på den tredje - 14 (nollgraden).
Som ett resultat får vi polynom för standard typ 3x 5 i 2 + 11a 2 b + 14.

Exempel på självbeslut

Leda till vanliga polynomier.

1) 4B3 AA-5x 2 Y + 6As - 2B3A2-56 + AC + x 2 Y + 50 * (2 A2B3-4X 2 Y + 7As-6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4h + ab + 5);

3) 4CH 2 + 5BC-6A-24BC + HX 4 x (5H6-9BC-6A);

4) 7ABC 2 + 5SBS + 7AB 2 - 6BB + 2SAB (14ABC 2 + AB 2).

Vid denna lektion kommer vi att återkalla de grundläggande definitionerna av detta ämne och överväga några typiska uppgifter, nämligen förtydligandet av polynomen till standardformen och beräkna det numeriska värdet vid de angivna värdena för variablerna. Vi kommer att lösa flera exempel som gäller för standardformuläret för att lösa olika typer av uppgifter.

Ämne:Polynomier. Aritmetiska operationer över enstaka vinge

Lektion:Föra ett polynom till standardformen. Typiska uppgifter

Minns den grundläggande definitionen: Polynom är mängden enkelvinge. Varje enkla vinge, som är en del av polynomen som en komponent kallas hans medlem. Till exempel:

Binom;

Polynom;

Binom;

Eftersom polynomen består av envingen, ska den första åtgärden med ett polynom vara härifrån - du måste ta med allt till standardformuläret. Minns att för detta måste du multiplicera alla numeriska multiplikatorer - för att få en numerisk koefficient och multiplicera lämpliga grader - för att få en alfabetisk del. Dessutom kommer vi att uppmärksamma teoremet på graden av grader: när de multiplicerar grader, viks deras indikatorer.

Tänk på en viktig operation - vilket medför ett polynom med standardformuläret. Exempel:

Kommentar: För att få ett polynom till standardformuläret måste du leda till en standardform. Alla är oskyddade, vilka ingår i sin sammansättning, efter det, om det finns liknande unripes - och det är okända med samma alfabetisk del - utföra åtgärder med dem.

Så vi tittade på den första typen uppgiften - vilket medför polynom till standardformen.

Följande typiska uppgift är beräkningen av det specifika värdet av polynomen vid ett givet numeriskt värden för de variabler som ingår i den. Vi fortsätter att överväga det föregående exemplet och ställa in variablerna:

Kommentar: Minns att enheten i någon naturligt är lika med en, och noll till någon naturlig grad är noll, dessutom minns vi att när du multiplicerar ett nummer till noll får vi noll.

Tänk på ett antal exempel på typiska operationer för att få ett polynom till standardformen och beräkningen av dess värde:

Exempel 1 - Bly till standardformulär:

Kommentar: Första åtgärder - Vi ger skaka till standardformuläret, du måste ta med den första, andra och sjätte; Den andra åtgärden - vi ger sådana medlemmar, det vill säga vi utför en given aritmetisk handling på dem: den första vi viker med den femte, den andra med den tredje, resten omskrivning utan förändringar, eftersom de inte har liknande.

Exempel 2 - Beräkna värdet av polynomet från exempel 1 vid de angivna värdena för variablerna:

Kommentar: Vid beräkning bör det komma ihåg att enheten i någon naturlig utsträckning är enheten, med svårigheten med beräkningar av examensdetektering, kan du använda graden.

Exempel 3 - istället för en asterisk, sätt en sådan enda sak så att resultatet innehöll variabeln:

Kommentar: Oavsett uppgiften är den första åtgärden alltid densamma - att föra polynom till standardformuläret. I vårt exempel reduceras denna åtgärd för att få liknande medlemmar. Därefter bör det noggrant läsa tillståndet och tänka på hur vi kan bli av med fackföreningen. Det är uppenbart att du för det här behöver lägga till samma till det, men med motsatt tecken -. Därefter ersätter vi asterisken med den här kedjan och ser till att vår lösning är korrekt.