Polynom, dess standardform, grad och termer koefficienter. Minska polynom till standardform. Typiska uppgifter

Vi sa att det finns både standard- och icke-standardiserade polynom. På samma plats noterade vi att eventuella polynom leda till standardvy ... I den här artikeln kommer vi först att ta reda på vad meningen med denna fras är. Därefter listar vi stegen som gör att du kan omvandla alla polynom till en standardform. Slutligen, överväga lösningar på typiska exempel. Vi kommer att beskriva lösningarna i detalj för att hantera alla nyanser som uppstår när man tar polynom till en standardform.

Sidnavigering.

Vad betyder det att föra ett polynom till en standardform?

Först måste du tydligt förstå vad som menas med att reducera ett polynom till en standardform. Låt oss ta reda på det.

Polynom, precis som alla andra uttryck, kan utsättas för identiska transformationer. Som ett resultat av att utföra sådana transformationer erhålls uttryck som är identiskt lika med det ursprungliga uttrycket. Så genomförandet av vissa transformationer med polynom av en icke-standardform tillåter en att gå till polynom som är identiskt lika med dem, men redan skriven i standardformen. Denna övergång kallas förminskning av polynomet till standardform.

Så, föra polynom till standardform- detta innebär att originalpolynomet ersätts med ett identiskt lika polynom av standardformen som erhållits från originalet genom att utföra identiska transformationer.

Hur tar man ett polynom till en standardform?

Låt oss tänka på vilka transformationer som hjälper oss att få polynomet till dess standardform. Vi utgår från definitionen av ett standardpolynom.

Per definition är varje medlem i ett polynom i standardform en monom i standardform, och ett polynom i standardform innehåller inte sådana medlemmar. I sin tur kan polynom skrivna i en annan form än standardformen bestå av monomialer i en icke-standardform och kan innehålla liknande medlemmar. Därför följer följande regel logiskt och förklarar hur man tar ett polynom till standardform:

först måste du reducera monomialerna som utgör det ursprungliga polynomet till standardformen,
och sedan utföra gjutning av liknande medlemmar.

Som ett resultat kommer ett polynom av standardformuläret att erhållas, eftersom alla dess medlemmar kommer att skrivas i standardformuläret och det kommer inte att innehålla sådana medlemmar.

Exempel, lösningar

Låt oss överväga exempel på att reducera polynom till standardformen. När vi beslutar kommer vi att följa stegen som dikteras av regeln från föregående stycke.

Här noterar vi att ibland alla polynomens termer omedelbart skrivs i standardformen, i det här fallet är det tillräckligt bara för att ta med liknande termer. Ibland, efter att polynommedlemmarna har reducerats till standardformen, finns det inga liknande medlemmar, varför steget med att reducera sådana termer utelämnas i detta fall. I det allmänna fallet måste du göra båda.

Exempel.

Representera polynomen i standardformen: 5 x 2 y + 2 y 3 −x y + 1, 0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5 och.

Lösning.

Alla termer i polynomet 5 · x 2 · y + 2 · y 3 −x · y + 1 är skrivna i standardformen, det har inga liknande termer, därför är detta polynom redan representerat i standardformen.

Gå till nästa polynom 0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5... Dess form är inte standard, vilket framgår av termerna 2 · a 3 · 0.6 och −b · a · b 4 · b 5 är inte standardform. Låt oss representera det i standardformuläret.

I det första stadiet av att föra det ursprungliga polynomet till en standardform måste vi presentera alla dess medlemmar i en standardform. Därför reducerar vi monomiet 2 a 3 0,6 till standardformen, vi har 2 a 3 0,6 = 1,2 a 3, varefter monomialet −b a b 4 b 5, vi har −b a b 4 b 5 = −a b 1 + 4 + 5 = −a b 10... Således, . I det resulterande polynomet skrivs alla termer i en standardform, dessutom är det uppenbart att det inte finns några liknande termer i det. Följaktligen fullbordar detta minskningen av det ursprungliga polynomet till standardformen.

Det återstår att presentera det sista av de givna polynomen i en standardform. Efter att ha tagit alla dess medlemmar till standardformuläret kommer det att skrivas som ... Den har liknande medlemmar, så du måste casta sådana medlemmar:

Så det ursprungliga polynomet tog standardformen −x · y + 1.

Svar:

5 x 2 y + 2 y 3 −x y + 1 - redan i standardformen, 0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5 = 0,8 + 1,2 a 3 −a b 10, .

Ofta är att föra ett polynom till en standardform bara ett mellanstadium i att svara på frågan i problemet. Till exempel förutsätter att hitta graden av ett polynom dess preliminära representation i en standardform.

Exempel.

Ge polynomet till standardformuläret, ange dess grad och ordna termerna i variabelns minskande krafter.

Lösning.

Först tar vi alla termerna i polynomet till standardformen: .

Nu ger vi liknande medlemmar:

Så vi tog det ursprungliga polynomet till standardformen, detta gör att vi kan bestämma graden av polynomet, vilket är lika med den största graden av monomialen som ingår i den. Självklart är det lika med 5.

Det återstår att ordna villkoren för polynomet i minskande krafter hos variablerna. För att göra detta behöver du bara ordna om termerna i den resulterande polynomen i standardformuläret, med hänsyn till kravet. Termen z 5 har den största graden, graderna av termerna −0,5 · z 2 och 11 är 3, 2 respektive 0. Därför kommer ett polynom med termer i minskande grader av variabeln att ha formen .

Svar:

Graden av polynomet är 5, och efter ordningen av dess termer i minskande grader av variabeln, tar den formen .

Bibliografi.

Algebra: studie. för 7 cl. Allmän utbildning. institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 17: e upplagan - M .: Utbildning, 2008.- 240 s. : sjuk. -ISBN 978-5-09-019315-3.
A. G. Mordkovich Algebra. 7 grader. Kl. 14 Del 1. Lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 17: e upplagan, Lägg till. - M.: Mnemozina, 2013.- 175 s.: Ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra och början på matematisk analys. Årskurs 10: lärobok. för allmänbildning. institutioner: grundläggande och profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; red. A. B. Zhizhchenko. - 3: e upplagan - M.: Utbildning, 2010.- 368 s. : sjuk. -ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual för sökande till tekniska skolor): Lärobok. manual - M. Högre. shk., 1984.-351 s., ill.

Bland de olika uttrycken som betraktas i algebra intar summorna av monomier en viktig plats. Här är exempel på sådana uttryck:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0.3a ^ 2 - 4.6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)

Summan av monomial kallas polynom. Termerna i polynomet kallas polynomets termer. Monomial kallas också polynom, med tanke på att ett monomium är ett polynom som består av en term.

Till exempel polynomet
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 \)
kan förenklas.

Vi representerar alla termer i form av monomier i standardformen:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)

Låt oss presentera liknande termer i det resulterande polynomet:
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
Resultatet är ett polynom, vars alla medlemmar är monomier av standardformen, och det finns inga liknande bland dem. Sådana polynom kallas polynom av standardformen.

Per polynom av standardformen ta den största av graderna av dess medlemmar. Så har binomien \ (12a ^ 2b - 7b \) den tredje graden, och trinomen \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - den andra.

Vanligtvis är medlemmarna i standardpolynom som innehåller en variabel ordnade i fallande ordning efter exponenterna för dess exponent. Till exempel:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)

Summan av flera polynom kan omvandlas (förenklas) till ett polynom av standardformen.

Ibland behöver medlemmarna i ett polynom delas in i grupper, som omsluter varje grupp inom parentes. Eftersom parentes är motsatsen till parentes expansion, är det lätt att formulera regler för expansion av parenteser:

Om "+" - tecknet är placerat framför parenteserna, skrivs elementen som är inbyggda inom parentes med samma tecken.

Om "-"-tecknet är placerat framför parenteserna, skrivs de med parenteser ingående elementen med motsatta tecken.

Transformation (förenkling) av produkten av en monomial och en polynom

Med hjälp av multiplikationens fördelningsegenskap kan du omvandla (förenkla) produkten från ett monomium och ett polynom till ett polynom. Till exempel:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)

Produkten av en monomial och en polynom är identiskt lika med summan av produkterna från denna monomial och var och en av polynomens medlemmar.

Detta resultat formuleras vanligtvis som regel.

För att multiplicera en monomial med en polynom måste du multiplicera denna monomial med var och en av polynomens medlemmar.

Vi har redan använt denna regel för att multiplicera med en summa många gånger.

Produkt av polynom. Transformation (förenkling) av produkten från två polynom

I allmänhet är produkten av två polynom identiskt lika med summan av produkten av varje del av ett polynom och varje del av det andra.

Vanligtvis används följande regel.

För att multiplicera ett polynom med ett polynom måste du multiplicera varje term av ett polynom med varje term av det andra och lägga till de resulterande produkterna.

Förkortade multiplikationsformler. Summa kvadrater, skillnader och skillnad på rutor

Vissa uttryck i algebraiska transformationer måste hanteras oftare än andra. Kanske de vanligaste uttrycken \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) och \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), det vill säga summan av kvadratet av skillnaden och skillnaden i rutor. Du har märkt att namnen på dessa uttryck verkar vara ofullständiga, så till exempel är \ ((a + b) ^ 2 \) naturligtvis inte bara kvadraten för summan, utan kvadraten för summan av a och b. Kvadraten för summan av a och b är emellertid inte så vanlig att den i stället för bokstäverna a och b innehåller olika, ibland ganska komplexa uttryck.

Uttryck \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) är enkla att omvandla (förenkla) till polynom i standardformen, du har faktiskt redan stött på denna uppgift när du multiplicerar polynom:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)

De erhållna identiteterna är användbara att komma ihåg och tillämpa utan mellanliggande beräkningar. Korta verbala formuleringar hjälper detta.

\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - summan av summan är lika med summan av kvadraterna och den fördubblade produkten.

\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - kvadratet för skillnaden är lika med summan av kvadrater utan den fördubblade produkten.

\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - skillnaderna i kvadraterna är lika med produkten av skillnaden med summan.

Dessa tre identiteter tillåter vid transformationer att ersätta sina vänstra sidor med de högra och tvärtom-de högra sidorna med de vänstra. Det svåraste är att se motsvarande uttryck och förstå vad som ersätter variablerna a och b i dem. Låt oss titta på några exempel på att använda förkortade multiplikationsformler.

När man studerar ämnet polynom är det värt att nämna separat att polynom finns i både standard och icke-standardform. I detta fall kan ett icke-standardiserat polynom reduceras till en standardform. Egentligen kommer denna fråga att analyseras i denna artikel. Låt oss fixa förklaringarna med exempel med detaljerade steg-för-steg-beskrivningar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Innebörden av att reducera ett polynom till en standardform

Låt oss gå lite djupare in i själva konceptet, handlingen är "att föra ett polynom till en standardform".

Polynom, precis som alla andra uttryck, kan transformeras identiskt. Som ett resultat får vi i detta fall uttryck som är identiskt lika med det ursprungliga uttrycket.

Definition 1

Minska polynom till standardform- betyder att den ursprungliga polynomen ersätts med en lika stor polynom som standardformen, erhållen från den ursprungliga polynomen med identiska transformationer.

Ett sätt att reducera ett polynom till en standardform

Vi spekulerar i ämnet identiska transformationer kommer att föra polynomet till standardformen.

Definition 2

Enligt definitionen består varje polynom i standardformen av monomier av standardformen och har inte sådana delar i sin sammansättning. Ett polynom av en icke-standardform kan innefatta icke-standardiserade monomialer och liknande medlemmar. Från det som sagts härleds naturligtvis en regel som säger hur man tar ett polynom till en standardform:

först och främst reduceras monomialerna som utgör ett givet polynom till standardformen;
då kastas liknande medlemmar.

Exempel och lösningar

Låt oss i detalj analysera exempel där vi tar polynomet till dess standardform. Vi kommer att följa regeln härledd ovan.

Observera att ibland termerna för polynomet i det ursprungliga tillståndet redan har en standardform, och det återstår bara att ta med liknande termer. Det händer att efter det första åtgärdssteget finns det inga sådana medlemmar, då hoppar vi över det andra steget. V vanliga fall det är nödvändigt att utföra båda åtgärderna från regeln ovan.

Exempel 1

Polynom ges:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0,8 + 2 a 3 0, 6 - b a b 4 b 5,

2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8.

Det är nödvändigt att ta dem till standardformuläret.

Lösning

betrakta först polynomet 5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 : dess medlemmar har en standardform, det finns inga sådana medlemmar, vilket innebär att polynomet är inställt i en standardform och inga ytterligare åtgärder krävs.

Låt oss nu analysera polynomet 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5. Den innehåller icke -standardiserade monomialer: 2 a 3 0, 6 och - b a b 4 b 5, d.v.s. vi måste föra polynomet till standardformen, för vilket det första steget är att omvandla monomierna till standardformen:

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

- b a b 4 b 5 = - a b 1 + 4 + 5 = - a b 10, så får vi följande polynom:

0,8 + 2 a 3 0, 6 - b a b 4 b 5 = 0,8 + 1, 2 a 3 - a b 10.

I det resulterande polynomet är alla medlemmar standard, det finns inga sådana medlemmar, vilket innebär att våra steg för att föra polynomet till standardformuläret är klara.

Tänk på det tredje givna polynomet: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Låt oss ta med sina medlemmar till standardformuläret och få:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8.

Vi ser att det finns liknande medlemmar i polynomet, vi tar med liknande medlemmar:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x Y + (9 - 8) = = x 2 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - xy + 1 = = x 2 17 7 - 13 7 - 4 7 - xy + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Det givna polynomet 2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 har alltså standardformen - x y + 1 ...

Svar:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- polynomet är inställt som standard;

0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5 = 0,8 + 1, 2 a 3 - a b 10;

2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 = - x y + 1.

I många problem är åtgärden att reducera ett polynom till en standardform en mellanliggande när man letar efter ett svar på frågan som ställdes... Tänk på detta exempel.

Exempel 2

Ett polynom 11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0 ges. 5 z 2 + z 3. Det är nödvändigt att ta det till en standardform, ange dess grad och ordna villkoren för det givna polynomet i minskande krafter hos variabeln.

Lösning

Låt oss föra termerna för det givna polynomet till standardformuläret:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0. 5 z 2 + z 3.

Nästa steg är att ta med liknande medlemmar:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0. 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0,5 z 2 = = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0,5 z 2

Vi har fått ett polynom av standardformen, som gör att vi kan beteckna graden av ett polynom (lika med den största graden av dess bestående monomial). Uppenbarligen är den erforderliga examen 5.

Det återstår bara att ordna termerna i minskande krafter för variablerna. För detta ändamål omorganiserar vi helt enkelt positionerna för termerna i den resulterande polynomen i standardformuläret, med hänsyn till kravet. Således får vi:

z 5 + 1 3 z 3 - 0,5 z 2 + 11.

Svar:

11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0,5 z 2 + z 3 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0,5 z 2, medan graden av polynomet - 5; som ett resultat av ordningen av polynomen i minskande krafter hos variablerna har polynomen formen: z 5 + 1 3 · z 3 - 0,5 · z 2 + 11.

Om du märker ett fel i texten, välj det och tryck på Ctrl + Enter

Till exempel uttryck:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polynom

De monomialer som utgör ett polynom kallas medlemmar av polynomet... Tänk på ett polynom:

7a + 2b - 3c - 11

uttryck: 7 a, 2b, -3c och -11 är medlemmar av polynomet. Var uppmärksam på -11 -medlemmen, den innehåller inte en variabel, sådana medlemmar som endast består av ett nummer kallas fri.

Det är allmänt accepterat att varje monomial är specialfall polynom, bestående av en term. I detta fall är en monomial namnet på ett polynom med en term. För polynom som består av två och tre medlemmar finns det också särskilda namn - binomial respektive trinomial:

7a- monomial

7a + 2b- binomial

7a + 2b - 3c- tre medlemmar

Liknande medlemmar

Liknande medlemmar- monomials som ingår i ett polynom, som endast skiljer sig från varandra genom en koefficient, ett tecken eller inte alls skiljer sig (motsatta monomial kan också kallas liknande). Till exempel i ett polynom:

3a 2 b

5abc 2

2a 2 b

7abc 2

2a 2 b

medlemmar 3 a 2 b, 2a 2 b och 2 a 2 b, liksom villkor 5 abc 2 och -7 abc 2 är liknande medlemmar.

Ta med liknande medlemmar

Om ett polynom innehåller liknande termer kan det reduceras till mer enkelt sinne genom att kombinera liknande medlemmar till en. Denna åtgärd kallas ta med liknande medlemmar... Först och främst sätter vi alla sådana medlemmar inom parentes separat:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

För att kombinera flera liknande monomialer till ett måste du lägga till deras koefficienter och lämna bokstavsfaktorerna oförändrade:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Minskning av liknande termer är att ersätta den algebraiska summan av flera liknande monomialer med en monomial.

Standardpolynom

Standardpolynomär ett polynom, varav alla medlemmar är monomier av standardformen, bland vilka det inte finns några liknande medlemmar.

För att få ett polynom till en standardform är det tillräckligt att göra en minskning av liknande termer. Tänk dig till exempel uttrycket som ett standardpolynom:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Först hittar vi liknande medlemmar:

Om alla medlemmar i ett polynom av standardformen innehåller samma variabel, ordnas dess medlemmar vanligtvis från högre grad till lägre grad. Den fria termen för polynomen, om någon, läggs på sista platsen- till höger.

Till exempel polynomet

3x + x 3 - 2x 2 - 7

ska skrivas så här:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Lektion om ämnet: "Begreppet och definitionen av ett polynom. Standardform för ett polynom"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål. Allt material har kontrollerats av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i Integral onlinebutik för årskurs 7
Elektronisk studieguide baserad på läroboken Yu.N. Makarycheva
Elektronisk studieguide baserad på läroboken Sh.A. Alimova

Killar, ni har redan studerat monomialer i ämnet: Standard monomial form. Definitioner. Exempel. Låt oss granska de grundläggande definitionerna.

Monomial- ett uttryck som består av produkten av tal och variabler. Variabler kan höjas till naturliga grader. Monomialet innehåller inga andra åtgärder än multiplikation.

Standard typ av monomial- en sådan form, när den i första hand är koefficienten (numerisk faktor), följt av graderna för olika variabler.

Liknande monomialerÄr antingen identiska monomialer eller monomialer som skiljer sig från varandra med en koefficient.

Polynom koncept

Ett polynom, liksom ett monomium, är ett generaliserat namn matematiska uttryck ett visst slag. Vi har stött på sådana generaliseringar tidigare. Till exempel "summa", "produkt", "exponentiering". När vi hör "skillnaden mellan siffror", tänker inte ens tanken på att multiplicera eller dividera. På samma sätt är ett polynom ett uttryck av ett strikt definierat slag.

Definition av ett polynom

Polynomär summan av monomialer.

De monomialer som utgör ett polynom kallas medlemmar av polynomet... Om det finns två termer, då har vi att göra med ett binomium, om tre, sedan med ett trinomial. Om de säger fler termer är det ett polynom.

Exempel på polynom.

1) 2ab + 4cd (binomial);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomial);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

Låt oss titta närmare på det sista uttrycket. Per definition är ett polynom summan av monomier, men i det sista exemplet lägger vi inte bara till, utan också subtraherar monomialer.
För att vara tydlig, låt oss titta på ett litet exempel.

Låt oss skriva uttrycket a + b - c(vi håller med om det a ≥ 0, b ≥ 0 och c ≥0) och svara på frågan: är det summan eller skillnaden? Det är svårt att säga.
Faktiskt, om du skriver om uttrycket som a + b + (-c) får vi summan av två positiva och en negativa termer.
Om du tittar på vårt exempel, då har vi att göra med summan av monomialer med koefficienter: 3, - 2, 7, -5. I matematik finns termen "algebraisk summa". Således betyder definitionen av ett polynom "algebraisk summa".

Men noteringen av formen 3a: b + 7c är inte ett polynom eftersom 3a: b inte är ett monomium.
Noteringen av formen 3b + 2a * (c 2 + d) är inte heller ett polynom, eftersom 2a * (c 2 + d) inte är ett monomium. Om du expanderar parenteserna kommer det resulterande uttrycket att vara ett polynom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Graden av polynometär den högsta graden av sina medlemmar.
Polynomet a 3 b 2 + a 4 har den femte graden, eftersom graden av monomialet a 3 b 2 är 2 + 3 = 5, och graden av monomialet a 4 är 4.

Standardform för ett polynom

Ett polynom som inte har sådana termer och är skrivet i minskande ordningsgrad av polynomtermerna är ett polynom av standardformen.

Polynomet förs till en standardform för att ta bort onödigt krångligt skrivande och förenkla ytterligare åtgärder med det.

Ja, varför till exempel skriva det långa uttrycket 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, när det kan skrivas kortare än 9b 2 + 3a 2 + 8.

För att få ett polynom till en standardformulär behöver du:
1. att föra alla sina medlemmar till en standardform,
2. lägg till liknande (identiska eller med en annan numerisk koefficient) termer. Detta förfarande kallas ofta ta med liknande.

Exempel.
Ta med polynomet aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 till dess standardform.

Lösning.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Låt oss bestämma graderna på monomialerna som ingår i uttrycket och ordna dem i fallande ordning.
11a 2 b har den tredje graden, 3 x 5 y 2 har den sjunde graden, 14 - noll grad.
Det betyder att i första hand kommer vi att sätta 3 x 5 y 2 (7 grader), i den andra - 12a 2 b (3 grad) och i den tredje - 14 (noll grad).
Som ett resultat får vi ett polynom av standardformen 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Exempel på oberoende lösning

Minska polynom till standardform.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4х 2 + 5bс - 6а - 24bс + хх 4 x (5х 6 - 19bс - 6а);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).