I början av lektionen upprepar vi de grundläggande egenskaperna hos kvadratiska rötter, och sedan överväga flera komplexa exempel För att förenkla uttryck som innehåller kvadratiska rötter.

Ämne:Fungera. Egenskaper roten ur

Lektion:Transformation och förenkling mer komplexa uttryck med rötter

1. Upprepa egenskaperna hos kvadratiska rötter

Upprepa kort teorin och påminna de grundläggande egenskaperna hos kvadratiska rötter.

Egenskaper av kvadratiska rötter:

1. Därför;

3. ;

4. .

2. Exempel på förenkling av uttryck med rötter

Låt oss vända oss till exemplen på att använda dessa egenskaper.

Exempel 1. Förenkla uttryck .

Beslut. För att förenkla numret 120 är det nödvändigt att sönderdelas på enkla faktorer:

Kvadratisk mängd kommer att avslöjas enligt motsvarande formel:

Exempel 2. Förenkla uttryck .

Beslut. Vi tar hänsyn till att detta uttryck är meningsfullt inte med alla möjliga värden på variabeln, eftersom det finns kvadratiska rötter och fraktioner, vilket leder till "smaling" av området med tillåtna värden. OTZ: ().

Vi ger uttrycket i parentes till den allmänna nämnaren och med en spinnare av den sista fraktionen som en skillnad i rutor:

Svar. på.

Exempel 3. Förenkla uttryck .

Beslut. Det kan ses att den andra numeratorfästet har ett obekväma utseende och måste förenklas, försök att sönderdela det för multiplikatorer med hjälp av grupperingsmetoden.

För möjligheten att göra en gemensam faktor förenklade vi rötterna genom sönderdelning av multiplikatorer. Vi ersätter det resulterande uttrycket i den ursprungliga fraktionen:

Efter att ha klippt fraktion, använd formeln för skillnaden i rutor.

3. Exempel på att bli av med irrationalitet

Exempel 4. Ofta från irrationalitet (rötter) i nämnaren: a); b).

Beslut. a) För att bli av med irrationalitet i denominatorn, tillämpad standardmetod Dominering och numerator och nämnare av fraktionen på faktorn konjugat till nämnaren (samma uttryck, men med ett omvändt tecken). Detta görs för att komplettera beloppet av fraktionen till skillnaden i rutor, vilket tillåter roten från roten i denominatorn. Utför den här tekniken i vårt fall:

b) Utför liknande åtgärder:

4. Exempel på bevis och frisättning av en full kvadrat i en komplex radikal

Exempel 5. Bevisa jämställdhet .

Bevis. Vi använder definitionen av kvadratroten, från vilken det följer att kvadraten av det rätta uttrycket ska vara lika med det styrda uttrycket:

. Vi kommer att avslöja fästen vid kvadratformeln:

Krävde sann jämlikhet.

Bevisade.

Exempel 6. Förenkla uttrycket.

Beslut. Det angivna uttrycket är vanligt kallat en komplex radikal (rot under roten). I detta exempel Det är nödvändigt att gissa att allokera en full kvadrat från matningsuttrycket. För att göra detta noterar vi att de två komponenterna är en utmaning för rollen som ett fördubblat arbete i formeln av kvadraten av skillnaden (skillnad, eftersom det finns en minus). Vi tar med sig det i form av ett sådant arbete:, då hävdas rollen som en av komplikationerna av hela torget och på den andra - 1.

Vi kommer att ersätta detta uttryck på roten.

Uttryck, omvandling av uttryck

Kraftfulla uttryck (uttryck med grader) och deras omvandling

I den här artikeln kommer vi att prata om att omvandla uttryck med grader. Först kommer vi att fokusera på omvandlingar som utförs med uttryck av någon art, inklusive kraftfulla uttryck, såsom att avslöja konsoler, vilket medför liknande termer. Och då kommer vi att analysera omvandlingen som är inneboende i uttryck med grader: arbeta med grunden och indikatorn i graden, användningen av grader av grader etc.

Navigeringssida.

Vad är maktuttryck?

Termen "kraftfulla uttryck" förekommer praktiskt taget inte i skoltextböcker av matematik, men det förekommer ofta i samlingar av uppgifter, speciellt utformade för att förbereda sig för EGE och OGE, till exempel. Efter att ha analyserat de uppgifter som eventuella åtgärder krävs med kraftuttryck, blir det klart att under eluttryck förstår uttrycken som innehåller i deras examensposter. Därför är det möjligt att acceptera en sådan definition för dig själv:

Definition.

Kraftuttryck - Dessa är uttryck som innehåller grader.

Här exempel på kraftuttryck. Dessutom kommer vi att skicka in dem enligt hur utvecklingen av synpunkter i grad med en naturlig indikator i graden med den faktiska indikatorn inträffar.

Som du vet, först bekantskapet med graden av antal med en naturlig figur, i detta skede de första enklaste effektuttryck av typen 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · A 2 visas -A + A 2, X3-1, (A 2) 3, etc.

Lite senare studeras graden av antal med ett heltal, vilket leder till framväxten av kraftuttryck med hela negativa grader, såsom följande: 3 -2, , A -2 + 2 · B -3 + C2.

I gymnasiet, återvände till grader igen. Det finns en examen med en rationell indikator, vilket medför utseendet på lämpliga effektuttryck: , , etc. Slutligen diskuterar grader med irrationella indikatorer och omfattar deras uttryck:.

Fallet som anges med kraftuttryck är inte begränsat till: variabeln penetrerar vidare i termer av omfattningen, och det finns sådana uttryck 2 x 2 +1 eller . Och efter bekantskap börjar uttryck med grader och logaritmer mötas, till exempel X 2 · LGX -5 · X LGX.

Så han behandlade frågan, vilket representerar kraftfulla uttryck. Vi kommer att fortsätta att lära oss att konvertera dem.

De viktigaste typerna av omvandlingar av kraftuttryck

Med strömuttryck kan du utföra någon av de viktigaste identitetsförvandlingarna av uttryck. Till exempel kan du avslöja konsoler, ersätta numeriska uttryck av sina värderingar, medföra liknande termer etc. Det bör naturligtvis vara nödvändigt att följa förfarandet för att utföra åtgärder. Vi ger exempel.

Exempel.

Beräkna värdet av effektuttrycket 2 3 · (4 2 -12).

Beslut.

Enligt förfarandet för att utföra åtgärder, utför först åtgärder inom parentes. Därför ersätter vi graden 4 2 i sitt värde 16 (se om det behövs), och för det andra beräknar vi skillnaden 16-12 \u003d 4. Ha 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

I det resulterande uttrycket ersätter vi grad 2 3 i dess värde 8, varefter vi beräknar produkten 8 · 4 \u003d 32. Detta är det önskade värdet.

Så, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

Svar:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Exempel.

Förenkla uttryck med grader 3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7.

Beslut.

Det är uppenbart att detta uttryck innehåller liknande termer 3 · A 4 · B -7 och 2 · A 4 · B -7, och vi kan leda dem :.

Svar:

3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7 \u003d 5 · A 4 · B -7 -1.

Exempel.

Presentera ett uttryck med grader i form av ett arbete.

Beslut.

Kredit med uppgiften möjliggör representation av nummer 9 i form av grad 3 2 och den efterföljande användningen av formeln för den förkortade multiplikationen. Kvadratisk skillnader:

Svar:

Det finns också ett antal identiska transformationer som är inneboende i kraftuttryck. Då kommer vi att urskilja dem.

Arbeta med grund och indikator för graden

Det finns omfattning, på basen och / eller indikatorn som inte bara är siffror eller variabler, men vissa uttryck. Som ett exempel, ge skivan (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 och (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1).

Vid arbete med liknande uttryck är det möjligt som ett uttryck vid basen av graden och uttrycket i indikatorn som ska ersättas identiskt lika uttryck På udda av sina variabler. Med andra ord kan vi separat konvertera rotering av grader till oss separat, och separat indikatorn. Det är uppenbart att som ett resultat av denna omvandling kommer ett uttryck att vara identiskt lika med den ursprungliga.

Sådana omvandlingar gör det möjligt att förenkla uttryck med grader eller nå andra ändamål vi behöver. Till exempel, i det ovannämnda effektuttrycket (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, är det möjligt att utföra åtgärder med siffror vid basen och indikatorn, vilket gör att du kan flytta till graden av 4,1 1,3. Och efter anvisningarna av fästena och med liknande villkor vid basen av graden (A · (A + 1) -A2) 2 · (x + 1) får vi ett kraftuttryck mer enkel utsikt en 2 · (x + 1).

Använd egenskaperna för grader

Ett av de viktigaste verktygen för att omvandla uttryck med grader är jämlikhet som reflekterar. Minns huvudet av dem. För några positiva nummer A och B och godtyckliga giltiga nummer är R och S rättvisa följande egenskaper grader:

• a r · a s \u003d a r + s;
• a r: a s \u003d a r-s;
• (a · b) r \u003d a r ^ b r;
• (A: B) R \u003d A R: B R;
• (a r) s \u003d a r · s.

Observera att med naturliga, heltal, liksom de positiva indikatorerna på graden av begränsning på numret A och B kanske inte är lika strikta. Till exempel för naturliga siffror M och n jämlikhet A m · a n \u003d a m + n är sant inte bara för positiv A, men också för negativ, och för a \u003d 0.

I skolan är fokus på omvandling av kraftuttryck fokuserad på möjligheten att välja en lämplig egenskap och applicera den korrekt. Samtidigt är baserna i grader vanligtvis positiva, vilket möjliggör användningen av grader av grader utan begränsningar. Detsamma gäller för omvandling av uttryck som innehåller variabler i grunden i grader - området med tillåtna värden på variabler är vanligtvis att baserna endast tas positiva betydelsersom låter dig fritt använda egenskaperna i grader. I allmänhet är det nödvändigt att ständigt undra om det är möjligt att använda någon egenskap av grader i det här fallet, eftersom den felaktiga användningen av egenskaper kan leda till en smalning av OTZ och andra problem. I detalj och i exempel demonteras dessa stunder i artikel omvandling av uttryck med hjälp av grader av grader. Här kommer vi att begränsa oss till övervägande av flera enkla exempel.

Exempel.

Förbered ett uttryck A 2,5 · (A 2) -3: A-5,5 som en grad med en bas A.

Beslut.

För det första omvandlar den andra faktorn (A 2) -3 övningen i graden i graden i graden: (A 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. Det ursprungliga effektuttrycket tar formen A 2,5 · A -6: A-5,5. Självklart är det fortfarande att utnyttja egenskaperna för multiplikation och division av grader med samma grund, vi har
a 2,5 · A -6: A -5.5 \u003d
en 2,5-6: A-5,5 \u003d A -3,5: A-5,5 \u003d
a -3,5 - (- 5.5) \u003d A 2.

Svar:

a 2,5 · (A 2) -3: A-5,5 \u003d A 2.

Egenskaperna hos grader när konvertering av effektuttryck används både från vänster till höger och höger till vänster.

Exempel.

Hitta värdet av ett effektuttryck.

Beslut.

Jämställdhet (A · B) R \u003d A R ^ B R, applicerad till höger, möjliggör från det initiala uttrycket att röra sig till produkten och vidare. Och när de multiplicerar grader med identiska grunder Indikatorer Fold: .

Det var möjligt att utföra omvandlingen av det ursprungliga uttrycket och annars:

Svar:

.

Exempel.

Effektuttrycket A 1,5-A 0,5 -6, anger en ny variabel T \u003d en 0,5.

Beslut.

Graden en 1,5 kan representeras som en 0,5 · 3 och på databasen med gradegenskapen i graden (A R) S \u003d A r · s, applicerad åt höger till vänster, omvandla den till formuläret (en 0,5) 3. På det här sättet, en 1,5 -a 0,5 -6 \u003d (en 0,5) 3-A 0,5 -6. Nu är det lätt att ange en ny variabel T \u003d en 0,5, vi får T3-T-6.

Svar:

t 3 -t-6.

Transformation av fraktioner innehållande grader

Kraftfulla uttryck kan innehålla fraktioner med grader eller representerar sådana fraktioner. Sådana fraktioner är fullt tillämpliga någon av de huvudtransformationer av fraktioner som är inneboende i fraktioner av något slag. Det vill säga att fraktioner som innehåller grader kan minskas, leder till en ny nämnare, arbetar separat med sin täljare och separat med nämnaren etc. För att illustrera orden, överväga lösningar av flera exempel.

Exempel.

Förenkla effektuttryck .

Beslut.

Detta kraftuttryck är en fraktion. Vi kommer att arbeta med sin täljare och denominator. I täljaren kommer vi att avslöja parenteserna och förenklar uttrycket erhållet efter detta med hjälp av graderna av grader och i denominatorn kommer vi att ge liknande villkor:

Och ändrar fortfarande tecken på denominatorn, placera minus före fraktionen: .

Svar:

.

Att föra graderna av fraktioner till en ny nämnare utförs på samma sätt som att föra rationella fraktioner till en ny nämnare. Samtidigt är en ytterligare faktor också placerad och multiplicera fraktionens täljare och nämnare. Genom att utföra denna åtgärd är det värt att komma ihåg att att föra till en ny nämnare kan leda till en smalning av OTZ. För detta händer det inte, det är nödvändigt att den ytterligare faktorn inte gäller noll, oavsett vilka värden av variablerna från de udda variablerna för det ursprungliga uttrycket.

Exempel.

Ge fraktioner till en ny nämnare: a) till denominatorn A, B) till denominatorn.

Beslut.

a) I det här fallet är det ganska enkelt att föreställa sig hur en ytterligare faktor hjälper till att uppnå det önskade resultatet. Detta är en multiplikator en 0,3, som en 0,7 · en 0,3 \u003d en 0,7 + 0,3 \u003d a. Observera att på det tillåtna värdena för variabeln A (det här är ett flertal av alla positiva giltiga nummer) grader en 0,3 inte till noll, därför har vi rätt att multiplicera täljaren och denominatorn för specificerad fraktion på denna ytterligare faktor:

b) Titta mer nära denominatorn, det kan hittas det

Och multiplikationen av detta uttryck på kommer att ge mängden kuber och det vill säga. Och det här är den nya denominatorn som vi behöver för att ta med den ursprungliga fraktionen.

Så vi hittade en extra faktor. På området med tillåtna värden för variablerna X och Y gäller uttrycket inte noll, därför kan vi multiplicera fraktionens täljare och denominator:

Svar:

men) b) .

Det finns inget nytt i minskningen av fraktioner som innehåller grader, det finns inget nytt: täljaren och nämnaren är representerade som ett antal multiplikatorer, och samma multiplikatorer av täljaren och nämnaren reduceras.

Exempel.

Minska fraktionen: a) , b).

Beslut.

a) För det första kan täljaren och denominatorn reduceras till nummer 30 och 45, vilket är lika med 15. Också, självklart kan du göra en minskning på x 0,5 +1 och . Det är vad vi har:

b) I det här fallet kan samma multiplikatorer i täljaren och denominatorn inte vara omedelbart synlig. För att få dem måste du utföra preliminära omvandlingar. I det här fallet ingås de i expansionen av nämnaren för multiplikatorer med hjälp av formeln för kvadratskillnaden:

Svar:

men)

b) .

Att föra fraktioner till en ny nämnare och reduktionen av fraktioner används huvudsakligen för att utföra verkan med fraktioner. Åtgärder utförs enligt de välkända reglerna. Vid tillsats av (subtrahera) fraktioner ges de till en gemensam nämnare, varefter de är färdiga (subtraherade) siffror, och nämnaren förblir densamma. Som ett resultat visar det sig en fraktion, vars täljare är produkten av siffror, och denominatorn är en produkt av nämnare. Uppdelningen av fraktionen är multiplikation med fraktion, omvänd den.

Exempel.

Följ stegen .

Beslut.

Först utför vi subtraktionen av fraktioner som ligger i parentes. För att göra detta, ta dem till en gemensam nämnare som har , varefter vi subtraherar siffrorna:

Nu multiplicerar vi fraktionerna:

Det är uppenbart att det är möjligt att minska graden av X 1/2, varefter vi har .

Du kan fortfarande förenkla effektuttrycket i nämnaren, med hjälp av formeln för kvadratskillnaden: .

Svar:

Exempel.

Förenkla effektuttryck .

Beslut.

Självklart kan denna fraktion reduceras med (x 2,7 +1) 2, det ger en fraktion . Det är klart att du behöver göra något annat med ICAs grader. För att göra detta omvandlar vi den resulterande fraktionen i arbetet. Detta ger oss möjlighet att utnyttja egenskapen i grader med samma skäl: . Och i slutsatsen fortsätt från det sista arbetet Till fraktioner.

Svar:

.

Och jag tillägger också att det är möjligt och i många fall är det önskvärt att överföra flera grader från täljaren till en denominator eller från nämnaren till en täljare, ändra indikatorskylten. Sådana omvandlingar förenklar ofta ytterligare åtgärder. Till exempel kan ett effektuttryck ersättas med.

Transformation av uttryck med rötter och grader

Ofta i uttryck som kräver några transformationer, tillsammans med grader med fraktionerade indikatorer finns rötter. Att omvandla ett liknande uttryck till lyssnandeI de flesta fall är det tillräckligt att bara gå till rötter eller bara till grader. Men eftersom det är bekvämare att arbeta med grader, gå vanligtvis från rötter till grader. Det är emellertid lämpligt att utöva en sådan övergång när OTZ-variablerna för det ursprungliga uttrycket gör det möjligt att ersätta rötterna genom grader utan att behöva vända sig till modulen eller dela OTZ till flera luckor (vi demonterade i detalj övergången från rötterna till graderna och tillbaka efter att utesluta graden med en rationell indikator introduceras graden med den irrationella indikatorn, vilket gör att du kan prata om graden med en godtycklig verklig indikator. I det här skedet börjar skolan att studera exponentiell funktion som analyellt definieras av den grad i vilken numret är beläget och i indikatorn - variabeln. Så vi konfronteras med de kraftfulla uttryck som innehåller numret i grunden för graden, och i indikatorn - uttryck med variabler, och det är naturligtvis ett behov av att utföra omvandlingar av sådana uttryck.

Det bör sägas att omvandlingen av uttrycken av de angivna arten vanligtvis måste utföras vid lösning indikatoriska ekvationer och vägledande ojämlikheter Och dessa omvandlingar är ganska enkla. I det överväldigande antalet fall är de baserade på examensegenskaperna och syftar till det mesta att komma in i en ny variabel i framtiden. Visa dem kommer att tillåta ekvationen 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.

För det första är graderna i indikatorerna som det finns en summa av vissa variabla (eller uttryck med variabler) och siffrorna ersätts av arbetena. Detta gäller för de första och sista terminen uttryck från vänster sida:
5 2 · x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · X -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Vidare utförs uppdelningen av båda delarna av jämlikhet på uttrycket 7 2 · X, vilka endast positiva värden tar på källekvationen till källekvationen (det här är standardmottagningen av att lösa ekvationer av denna typ, det är det inte Om honom nu, så fokusera på efterföljande omvandlingar av uttryck med grader):

Nu reduceras fraktionerna med grader, vilket ger .

Slutligen ersätts förhållandet mellan grader med samma indikatorer med grader av relationer, vilket leder till ekvationen Det är ekvivalent . Transformationer gör det möjligt att ange en ny variabel, vilket minskar lösningen av originalet indikativ ekvation För att lösa den kvadratiska ekvationen

I. V. Boykov, L. D. Romanova Insamling av uppgifter för förberedelse för tentamen. Del 1. Penza 2003.

Jag Uttryck där, tillsammans med bokstäver, siffror, märken av aritmetisk åtgärd och fästen kan användas, kallas algebraiska uttryck.

Exempel på algebraiska uttryck:

2m -N; 3. · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b. · (4a + 2b); en 2 - 2AB;

Eftersom brevet i algebraiskt uttryck kan ersättas av vissa olika siffror, är brevet kallat en variabel och själva algebraiska expressionen är ett uttryck med en variabel.

II. Om i algebraiska uttrycksbrev (variabler), ersätt dem med värden och utför dessa åtgärder, då det resulterande numret kallas ett algebraiskt uttrycksvärde.

Exempel. Hitta värdet av uttrycket:

1) A + 2B-C vid A \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d -3,5.

2) | x | + | Y | - | z | vid x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Beslut.

1) A + 2B-C vid A \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d -3,5. Istället för variabler ersätter vi sina värden. Vi får:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - | z | vid x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Byte specificerade värden. Kom ihåg att modulen negativt tal Det är lika med det motsatta numret, och modulen av ett positivt tal är lika med numret. Vi får:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Värdena för bokstaven (variabel), under vilket det algebraiska uttrycket är vettigt, kallas de tillåtna värdena för bokstaven (variabel).

Exempel. Under vilka värden för det variabla uttrycket är inte meningsfullt?

Beslut. Vi vet att det är omöjligt att dela till noll, därför, var och en av dessa uttryck kommer inte att vara meningsfullt i värdet av bokstaven (variabel), som drar denomoten av fraktionen i noll!

I exempel 1) är detta värde A \u003d 0, om i stället och ersätt 0, måste du dela nummer 6 till 0, och det här kan inte göras. Svar: Uttryck 1) Är inte meningslöst på A \u003d 0.

I exempel 2) kan nämnaren x - 4 \u003d 0 vid x \u003d 4 därför detta värde x \u003d 4 och kan inte tas. Svar: Uttryck 2) är inte meningsfullt vid x \u003d 4.

I exempel 3) denominator x + 2 \u003d 0 vid x \u003d -2. Svar: Uttryck 3) är inte meningsfullt vid X \u003d -2.

I exempel 4) denominator 5 - | x | \u003d 0 med | x | \u003d 5. och sedan | 5 | \u003d 5 och | -5 | \u003d 5, då är det omöjligt att ta x \u003d 5 och x \u003d -5. Svar: Uttryck 4) Gillar inte mening vid X \u003d -5 och vid x \u003d 5.
Iv. Två uttryck är identiskt lika, om med några giltiga värden av variablerna är motsvarande värden av dessa uttryck lika.

Exempel: 5 (a-b) och 5a-5b är skuggigt lika, eftersom jämlikhet 5 (a-b) \u003d 5a - 5b kommer att vara trogen vid alla värden av A och B. Jämställdhet 5 (a - b) \u003d 5a - 5b Det finns en identitet.

Identitet - Detta är jämlikhet, bara med alla tillåtna värden för de variabler som ingår i den. Exempel på identiteter som redan är kända för er är till exempel egenskaperna för tillsats och multiplikation, fördelningsegenskapen.

Utbytet av ett uttryck till ett annat, identiskt lika med det med uttrycket, kallas identisk omvandling eller helt enkelt genom omvandlingen av uttrycket. Identiska omvandlingar Expansioner med variabler utförs baserat på egenskaperna hos åtgärder över siffrorna.

Exempel.

a) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med användning av distributionsfastigheten för multiplikation:

1) 10 · (1,2x + 2,3,); 2) 1,5 · (A -2B + 4C); 3) A · (6M -2N + K).

Beslut. Återkalla distributionsfastigheten (lag) för multiplikation:

(A + B) · C \u003d A · C + B · C (Distributionslagen för multiplikation i förhållande till tillägg: För att multiplicera mängden två nummer till det tredje numret, kan du multiplicera varje komponent till det här numret och vikta resultaten).
(A-b) · c \u003d a · c-b · c (Distributionslagstiftning av multiplikation i förhållande till subtraktion: För att multiplicera skillnaden mellan två siffror för att multiplicera med det tredje numret, kan du multiplicera med detta nummer reduceras och subtrabler separat och från det första resultatet av subtraktionen av den andra).

1) 10 · (1,2x + 2,31) \u003d 10 · 1,2x + 10 · 2,3U \u003d 12x + 23W.

2) 1,5 · (A -2B + 4C) \u003d 1,5A -3B + 6C.

3) A · (6m -2N + K) \u003d 6AM -2AN + AK.

b) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med hjälp av de rörliga och modeegenskaperna (lagar) av tillägg:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3A + 2,1) + 7,8; 6) 5,4c -3 -2,5 -2,3c.

Beslut. Tillämpa lagarna (egenskaper) för tillägg:

a + B \u003d B + A (Rörelse: Beloppet ändras inte från omplacering av villkoren).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Kombinera: För att lägga till ett tredje nummer till summan av de två komponenterna kan du lägga till det andra och tredje beloppet till det första numret).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3A + 2,1) + 7,8 \u003d 3A + (2,1 + 7,8) \u003d 3A + 9,9.

6) 6) 5,4c -3 -2,5 -2,3c \u003d (5,4c -2,3c) + (-3 -2,5) \u003d 3,1 ^ 5,5.

i) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med multiplikationsmultiplikationen: multiplikation:

7) 4 · H. · (-2,5); 8) -3,5 · 2 · (-ett); 9) 3a. · (-3) · 2c.

Beslut. Tillämpa lagarna (egenskaper) för multiplikation:

a · b \u003d b · a (Rörelse: Från permutationen av multiplikatorer ändras inte arbetet).
(A · b) · c \u003d a · (b · c) (Kombinera: För att multiplicera arbetet med två nummer till det tredje numret kan du multiplicera det första numret till det andra och det tredje).

7) 4 · H. · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2 · (-1) \u003d 7U.

9) 3a. · (-3) · 2c \u003d -18As.

Om det algebraiska uttrycket ges i form av en reducerad fraktion, sedan med användning av krossningsregeln, kan den förenklas, dvs Ersätt identiskt lika med ett enklare uttryck.

Exempel. Förenkla med användning av fraktioner.

Beslut. Minska fraktionen - det betyder att dividera sin täljare och denominator till samma nummer (uttryck), skiljer sig från noll. Fraktion 10) kommer att minska på 3b.; fraktion 11) kommer att minska på men och fraktion 12) kommer att minska på 7n.. Vi får:

Algebraiska uttryck används för att kompilera formler.

Formeln är ett algebraiskt uttryck registrerat i form av jämlikhet och uttrycker förhållandet mellan två eller flera variabler. Exempel: Formel formel du vet s \u003d v · t (S är den färdiga vägen, V är hastighet, t-tid). Kom ihåg vilka andra formler du vet.

Sida 1 av 1 1

I det femte århundradet f.Kr. formulerade den antika grekiska filosofen Zenon Elayky sina berömda apiorials, vars mest kända är Achilles och Turtle Aritia. Så här låter det:

Antag att Achilles löper tio gånger snabbare än sköldpaddan, och ligger bakom det på ett avstånd av tusen steg. För tiden, för vilken Achilles som körs genom detta avstånd, kommer hundra steg att krascha på samma sida. När Achilles kör hundra steg, kommer sköldpaddan att kräva cirka tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta att vara oändlighet, Achilles kommer aldrig att komma upp till sköldpaddan.

Denna resonemang har blivit en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... alla på något sätt ansåg att Apriovetien av Zenon. Chock visade sig vara så stark att " ... Diskussionerna fortsätter och för närvarande, för att komma till den allmänna yttrandet om kärnan i paradoxerna till det vetenskapliga samfundet, har ännu inte varit möjligt ... en matematisk analys, teorin om uppsättningar, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var inblandade i studie av problemet Ingen av dem blev en allmänt accepterad fråga om frågan ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Alla förstår att de är blockerade, men ingen förstår vad bedrägeri är.

Från matematikens synvinkel visade Zeno i sin aproria tydligt övergången från värdet till. Denna övergång innebär applikation istället för konstant. Såvitt jag förstår är den matematiska apparaten med användningen av variabler av måttenheter ännu inte ännu inte utvecklad, eller det applicerades inte på aporitionen av Zenon. Användningen av vår vanliga logik leder oss till en fälla. Vi, genom tröghet att tänka, använda permanent tidsmätningsenheter till omformaren. Från en fysisk synpunkt ser det ut som en avmattning i tid till sitt kompletta stopp för tillfället när Achilles är fylld med en sköldpadda. Om tiden stannar, kan Achilles inte längre ta över sköldpaddan.

Om du vänder logiken vanligtvis blir allt på plats. Achilles körs med en konstant hastighet. Varje efterföljande segment av sin väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen den tid som spenderas på dess övervinna, tio gånger mindre än den föregående. Om du tillämpar begreppet "oändlighet" i den här situationen, kommer det att korrekt säga att "Achilles oändligt kommer snabbt att fånga upp sköldpaddan."

Hur man undviker denna logiska fälla? Stanna i permanent tidsmätningsenheter och flytta inte till omvända värden. På Zenons språk ser det ut så här:

För den tiden, för vilken Achilles driver tusen steg, kommer hundra steg att spricka sköldpaddan till samma sida. För nästa tidsintervall, lika med det första, kommer Achilles att köra ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att spricka hundra steg. Nu är Achilles ett åtta hundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver tillräckligt verklighet utan några logiska paradoxer. Men det är det inte komplett lösning Problem. På Zenonian Agrac of Achilles och Turtle liknar mycket likhet med Einstein om oemotståndligheten av ljusets hastighet. Vi måste fortfarande studera detta problem, ompröva och lösa. Och beslutet bör sökas inte i oändligt stora antal, men i måttenheter.

En annan intressant Yenon-aproria berättar om de flygande pilarna:

Den flygande pilen är fortfarande, sedan hon vid varje ögonblick vilar, och sedan det vilar vid varje ögonblick, vilar det alltid.

I den här herrgården är den logiska paradoxen väldigt enkel - det är tillräckligt att klargöra att den flygande pilen i varje ögonblick vilar på olika platser, vilket i själva verket är rörelsen. Här måste du notera ett annat ögonblick. Enligt ett foto av bilen på vägen är det omöjligt att bestämma själva rörelsen eller avståndet till det. För att bestämma det faktum att bilens rörelse behöver två bilder gjorda av en punkt på olika tidpunkter, men det är omöjligt att bestämma avståndet. För att bestämma avståndet till bilen behöver du två bilder gjorda av olika punkter Spaces vid en tidpunkt, men det är omöjligt att bestämma det faktum att rörelse (naturligtvis behövs ytterligare data för beräkningar, trigonometri för att hjälpa dig). Vad jag vill ägna särskild uppmärksamhet är att två poäng i tid och två punkter i rymden är olika saker som inte är förvirrade, eftersom de tillhandahåller olika möjligheter för forskning.

onsdagen den 4 juli 2018

Mycket bra skillnader mellan många och multiset beskrivs i Wikipedia. Vi kollar.

Som du kan se, "Det kan inte finnas två identiska element i en uppsättning", men om identiska element är i den inställda det finns en sådan uppsättning "mix". En liknande logik av absurda rimliga varelser förstår aldrig. Detta är nivån på talande papegojor och utbildade apor, som saknas från ordet "alls". Matematik fungerar som vanliga tränare, predikar våra absurda idéer.

När ingenjörerna som byggde bron under broen var i båten under bron. Om bron kollapsade, dog den talanglösa ingenjören under vrakningen av hans skapelse. Om bron har medstått belastningen byggde en begåvad ingenjör andra broar.

Eftersom matematik inte gömde sig bakom frasen "chur, jag är i ett hus", mer exakt, "matematik studerar abstrakta begrepp", det finns en navelsträng, som oupplösligt binder dem med verkligheten. Denna navelsträng är pengar. Applicera matematisk teori om uppsättningar till matematik själva.

Vi lärde matematik mycket bra och nu sitter vi vid kassan, vi utfärdar en lön. Det kommer till oss matematiker för dina pengar. Vi räknar med det hela beloppet och läggs ut på bordet på olika staplar, där vi lägger till räkningar av en värdighet. Sedan tar vi från varje stapel på en proposition och lämnar matematiken för hans "matematiska uppsättning lön". Förklara matematiken att resten av räkningarna kommer att få endast när det visar sig att uppsättningen utan samma element inte är lika med satsen med samma element. Här börjar den mest intressanta.

Först och främst kommer deputernas logik att fungera: "Det är möjligt att tillämpa det för andra, till mig - låg!". Det kommer att finnas ytterligare försäkringar för oss att det finns olika siffror på sedlar av lika värdighet, vilket innebär att de inte kan betraktas som samma element. Tja, räkna lönen med mynt - det finns inga nummer på mynt. Här börjar matematikern att tycka om fysik: På olika mynt finns det en annan mängd smuts, kristallstrukturen och platsen för atomer varje mynt är unik ...

Och nu har jag den mest intressanta frågan: Var är linjen, bakom vilken elementen i multisamentet blir till element i uppsättningen och vice versa? Ett sådant ansikte existerar inte - alla löser shamanerna, vetenskapen här och inte ligger nära.

Här ser ut. Vi tar fotbollsstadion med samma fältområde. Fältområdet är detsamma - det betyder att vi har ett multipart. Men om vi överväger namnen på samma arenor - vi har många, eftersom namnen är olika. Som du kan se är samma uppsättning element både uppsättning och multiset. Hur korrekt? Och här drar matematikern-Shaman-Shuller ut Trump Ace från ärmen och börjar berätta för oss om uppsättningen eller om multiset. I alla fall kommer han att övertyga oss om henne rätt.

För att förstå hur moderna shamaner driver teorin om uppsättningar, binda den till verkligheten, det är tillräckligt att svara på en fråga: Hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Jag kommer att visa dig, utan någon "tänkbar som inte en enda hel" eller "inte tankeväckande som helhet."

söndag den 18 mars 2018

Mängden siffror är en dans av shamaner med en tamburin, som inte har någon relation till matematik. Ja, i lektioner av matematik, lärs vi att hitta mängden antal siffror och använda det, men de är shamaner att träna dina efterkommande till sina färdigheter och visdomar, annars kommer shamanerna helt enkelt att rengöras.

Behöver du bevis? Öppna Wikipedia och försök hitta antalet nummer. Det existerar inte. Det finns ingen formel i matematik där du kan hitta mängden antal nummer. När allt kommer omkring är siffrorna grafiska symboler, med vilka vi skriver nummer och i matematiksspråk, låter uppgiften så här: "Hitta summan av grafiska tecken som visar ett nummer". Matematik kan inte lösa denna uppgift, men shamaner är elementära.

Låt oss hantera vad och hur vi gör för att hitta mängden av det angivna numret. Och så, låt oss ha ett antal 12345. Vad ska göras för att hitta antalet nummer på detta nummer? Tänk på alla steg i ordning.

1. Spela in numret på papperets papper. Vad gjorde vi? Vi förvandlade numret i den grafiska symbolen på numret. Detta är inte en matematisk verkan.

2. Vi skär en bild som erhållits i flera bilder som innehåller enskilda nummer. Skärande bilder är inte en matematisk verkan.

3. Vi konverterar enskilda grafiska tecken i siffror. Detta är inte en matematisk verkan.

4. Vi viker siffrorna. Detta är redan matematik.

Mängden antal 12345 är 15. Det här är "skärare och sömnadskurser" från shamanerna tillämpa matematiker. Men det är inte allt.

Från matematikens synvinkel spelar det ingen roll i vilket nummer system vi skriver numret. Så, i olika system Antal antal antal av samma nummer kommer att vara annorlunda. I matematik indikeras siffersystemet i form av det nedre indexet till höger om numret. FRÅN stort antal 12345 Jag vill inte lura mitt huvud, överväga nummer 26 i artikeln om. Vi skriver detta nummer i binära, oktala, decimaler och hexadecimala talsystem. Vi kommer inte att överväga varje steg under mikroskopet, vi har redan gjort. Låt oss titta på resultatet.

Som du kan se, i olika nummer system, erhålls summan av antalet samma antal olika. Detta resultat för matematik har inget att göra. Det är som att bestämma området av rektangeln i meter och centimeter du skulle få helt olika resultat.

Noll i alla överspänningssystem ser på samma sätt och antalet siffror inte har. Detta är ett annat argument för vad. Fråga till matematiker: Hur i matematik är det angivet att det inte är ett nummer? Vad, för matematiker, inget annat än siffror existerar inte? För shamaner kan jag tillåtas, men för forskare - nej. Verkligheten består inte bara av siffror.

Det erhållna resultatet bör betraktas som bevis på att siffersystemen är enheter av siffror. Vi kan trots allt inte jämföra siffrorna med olika enheter Mätningar. Om samma åtgärd med olika måttenheter av samma värde leder till olika resultat efter deras jämförelse betyder det att det inte har något att göra med matematik.

Vad är äkta matematik? Detta är när resultatet av matematisk verkan inte beror på värdet av det antal som används av mätenheten och på vem som utför denna åtgärd.

Tallrik på dörrar Öppnar dörren och säger:

åh! Är det inte en kvinnlig toalett?
- Tjej! Detta är ett laboratorium för studien av själens oberoende helighet i Ascension till himlen! Nimbi ovanifrån och pil upp. Vad mer toalett?

Kvinna ... Nimbi från ovan och arrogant ner - det är en manlig.

Om du framför dina ögon flera gånger om dagen blinkar det här är designkonstens arbete,

Då är det inte förvånande att i din bil hittar du plötsligt en konstig ikon:

Personligen gör jag ansträngning på mig själv att vara i en manschettperson (en bild), för att se en minus fyra grader (en sammansättning av flera bilder: ett minustecken, ett nummer fyra, beteckningar av grader). Och jag tror inte att den här tjejen är en dåre som inte känner till fysik. Det är helt enkelt en ARC-stereotyp av uppfattningen av grafiska bilder. Och matematik vi ständigt lärs. Här är ett exempel.

1a är inte "minus fyra grader" eller "en". Detta är en "manschettperson" eller antalet "tjugosex" i ett hexadecimalt talsystem. De personer som ständigt arbetar i detta nummer system upplever automatiskt figuren och bokstaven som en grafisk symbol.

§ 1 Begreppet förenkling av brevuttryck

I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet "liknande termer" och på exemplen kommer att lära sig att utföra anpassningen av sådana termer, förenkling, så bokstavliga uttryck.

Låt oss ta reda på meningen med begreppet "förenkling". Ordet "Förenkling" är formad av ordet "Förenkla". Förenkla - det betyder att göra det enkelt, lättare. Därför förenklar brevuttrycket för att göra det kortare, med minsta kvantitet insatser.

Tänk på uttrycket 9x + 4x. Detta är ett alfabetuttryck som är mängden. Komponenterna här presenteras i form av antal och bokstäver. Den numeriska faktorn för sådana termer kallas koefficienten. I detta uttryck kommer koefficienterna att vara nummer 9 och 4. Var uppmärksam, den multiplikator som lämnats av brevet är densamma i båda villkoren i detta belopp.

Återkalla distributionslagen för multiplikation:

För att multiplicera mängden med numret kan du multiplicera på det här numret varje komponent och de erhållna verken är vikta.

I allmän Det är skrivet enligt följande: (A + B) ∙ C \u003d AC + BC.

Denna lag utförs i båda sidor av AC + BC \u003d (A + B) ∙ med

Applicera det på vårt brevuttryck: Mängden 9x och 4X är lika med arbetet, vars första faktor är lika med mängden 9 och 4, den andra faktorn - X.

9 + 4 \u003d 13 visar det sig vara 13X.

9x + 4 x \u003d (9 + 4) x \u003d 13x.

Istället för tre åtgärder är en åtgärd kvar i uttryck - multiplikation. Så vi gjorde vårt brev uttryck enklare, d.v.s. Förenklat det.

§ 2 med liknande villkor

Komponenterna på 9x och 4x skiljer sig endast på deras koefficienter - sådana komponenter kallas liknande. Alfabetdelen av samma komponenter är densamma. En liknande term innehåller också siffror och lika villkor.

Till exempel, i uttryck 9A + 12-15, kommer dessa termer att vara 12 och -15 och i mängden av arbetet 12 och 6a, numret 14 och verken 12 och 6a (120 6a + 14 + 12 ∙ 6a ) liknar dem som är lika med de komponenter som presenteras arbete 12 och 6a.

Det är viktigt att notera att de villkor som är lika med koefficienterna, och brevmultiplikatorerna är olika, även om de ibland är användbara för att tillämpa distributionslagen av multiplikation, till exempel, mängden av verk 5x och 5: e är lika med produkten av nummer 5 och summan av x och y

5x + 5Y \u003d 5 (x + y).

Vi förenklar uttryck -9a + 15a - 4 + 10.

Liknande termer i detta fall är komponenterna -9a och 15a, eftersom de endast skiljer sig på deras koefficienter. Brevfaktorn som de har samma, liknar också komponenterna -4 och 10, eftersom de är siffror. Vi vikar liknande termer:

9A + 15A - 4 + 10

9A + 15A \u003d 6A;

Vi får: 6A + 6.

Förenkla uttrycket, vi hittade summan av sådana termer, i matematik kallas det lyft av liknande termer.

Om skapandet av sådana villkor är svårt kan du komma med ord till dem och lägga saker.

Tänk till exempel uttrycket:

För varje brev tar vi ditt föremål: B-äpple, S-päron, visar det: 2 äpplen minus 5 päron plus 8 päron.

Kan du göra patties av päron från äpplen? Självklart inte. Men till minus 5 päron lägger till 8 päron vi kan.

Vi ger liknande termer -5 päron + 8 päron. Sådan alkalisk del är densamma, därför när du tar med sådana villkor är det tillräckligt att slutföra tillägget av koefficienter och lägga till bokstavsdelen till resultatet:

(-5 + 8) Päron - det kommer att visa sig 3 päron.

Återgår till vårt brevuttryck har vi -5 C + 8C \u003d 3C. Således, efter att ha fått sådana termer, erhåller vi uttrycket 2b + 3c.

Så, i detta yrke mötte du med begreppet "liknande termer" och lärt sig att förenkla alfabetiska uttryck genom att medföra liknande termer.

Referenslista:

1. Matematik. Betyg 6: Pounding Plans för The Textbook I.I. Zubareva, A.g. Mordkovich // Författare-kompilator L.A. Topil. Mnemozina 2009.
2. Matematik. Grad 6: lärobok för studenter av allmänna utbildningsinstitutioner. I.I. ZUBAREVA, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematik. Betyg 6: lärobok för allmänna utbildningsinstitutioner / GV. Dorofeev, I.F. Sharyly, S.B. Suvorov et al. / Redigerad GV Dorofeeva, I.F. Sharyly; Ros.Akad. Nauk, Ros.Akad.d. Fortsättning. M.: "Upplysning", 2010.
4. Matematik. Betyg 6: Studier. Vi är generella bildande. Utbildning / N.i. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A. Chesnokov, S.I. Schwartzbord. - m.: Mnemozina, 2013.
5. Matematik. 6 cl.: Tutorial / g.k. Muravin, O.V. Moravin. - m.: Droppe, 2014.

Begagnade bilder: