Identiska omvandlingar av uttryck. Identiteter, definition, beteckning, exempel
Tänk på två jämställdheter:
1. A 12 * A3 \u003d A 7 * A 8
Denna jämlikhet kommer att utföras vid alla värden av variabeln A. Området med tillåtna värden för den jämställdheten kommer att vara alla många reella tal.
2. A 12: A3 \u003d A 2 * A 7.
Denna ojämlikhet kommer att utföras för alla värden av variabeln A, förutom noll. Området med tillåtna värden för denna ojämlikhet kommer att vara alla många reella tal, förutom noll.
Var och en av dessa likheter kan hävdas att det kommer att vara sant för eventuella tillåtna värden på variabler a. Sådana likheter i matematik kallas identiteter.
Begreppet identitet
Identiteten är jämlikhet trogen i eventuella tillåtna värden på variabler. Om i denna jämlikhet att ersätta, istället för variabler, eventuella giltiga värden, ska den korrekta numeriska jämlikheten erhållas.
Det är värt att notera att trogen numerisk jämlikhet också är identiteter. Identiteter, till exempel, kommer att vara egenskaperna hos åtgärder på siffror.
3. A + B \u003d B + A;
4. A + (B + C) \u003d (A + B) + C;
6. a * (b * c) \u003d (a * b) * c;
7. a * (b + c) \u003d a * b + a * c;
11. a * (- 1) \u003d -a.
Om två uttryck med några giltiga variabler är lika lika, kallas sådana uttryck identiskt lika. Nedan följer flera exempel på identiskt lika uttryck:
1. (A 2) 4 och A 8;
2. a * b * (- a ^ 2 * b) och - 3 * b 2;
3. ((x 3 * x 8) / x) och x 10.
Vi kan alltid ersätta ett uttryck med något annat uttryck, identiskt lika med den första. En sådan ersättning kommer att vara identisk omvandling.
Exempel på identiteter
Exempel 1: Följande likheter är identiteter:
1. A + 5 \u003d 5 + A;
2. a * (- b) \u003d -a * b;
3. 3 * A * 3 * B \u003d 9 * A * B;
Inte alla ovanstående uttryck kommer att vara identiteter. Av dessa likheter är identiteterna endast 1,2 och 3 jämlikhet. Oavsett vad vi inte sätter i dem, istället för variabler A och B, har vi fortfarande trogen numerisk jämlikhet.
Men 4 jämlikhet är inte längre identitet. Eftersom inte med alla tillåtna värden kommer denna jämlikhet att utföras. Till exempel, vid värden A \u003d 5 och B \u003d 2, kommer följande resultat att vara:
Denna jämlikhet är inte sant, eftersom nummer 3 inte är lika med numret -3.
Ämne "Identitetsbevis»Grad 7 (CRO)
Tutorial Makarychev Yu.n., Mindyuk n.g.
Mål lektion
Pedagogisk:
att bekanta och främst konsolidera begreppen "identiskt lika uttryck", "identitet", "identiska omvandlingar";
Överväga sätt att bevisa identiteter, för att främja skapandet av bevis på identiteter.
kontrollera assimileringen av det student som reste materialet, bilda förmågan att tillämpa den nya ansökan som lärt sig att uppfatta den nya.
Utvecklande:
Utveckla ett kompetent matematiskt tal av studenter (berika och komplicera ordförråd när du använder speciella matematiska termer),
utveckla tänkande
Utbildning: Att utbilda hårt arbete, noggrannhet, korrekthet av inspelningslösningar.
Typ av lektion: Att lära sig ett nytt material
Under klasserna
1 . Organiseringstid.
Kontrollera dina läxor.
Hemfrågor.
Placera beslutet i styrelsen.
Matematik behöver
Utan det omöjligt
Lär dig, vi lär oss, vänner,
Vad kommer vi ihåg på morgonen?
2 . Vi kommer att värma upp.
Resultat av tillägg. (Belopp)
Hur många siffror vet du? (Tio)
Stuga del av numret. (Procent)
Resultatet av division? (Privat)
Det minsta naturliga numret? (ett)
Är det möjligt när du delar naturliga nummer för att få noll? (inte)
Namn det största heltalet negativt nummer. (-ett)
Vilket nummer kan inte delas in? (0)
Multiplikationsresultat? (Sammansättning)
Resultatet av subtraktion. (Skillnad)
Flytta tilläggets egendom. (Från permutationen av de villkor som beloppet inte ändras)
Flytta multiplikationsfastigheten. (Från permutationen av multiplikatorer ändras inte arbetet)
Studera ett nytt ämne (definition med en anteckningsbok)
Hitta värdet av uttryck vid X \u003d 5 och Y \u003d 4
3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27
3 + 3Y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27
Vi fick samma resultat. Från fördelningsegenskapen följer det i allmänhet med alla värden av variabler är värdena för uttryck 3 (x + y) och 3x + 3u lika.
Tänk nu på uttryck 2x + y och 2h. Vid X \u003d 1 och Y \u003d 2 tar de lika stora värden:
Du kan dock ange sådana värden på X och Y, där värdena för dessa uttryck är inte lika. Till exempel, om x \u003d 3, y \u003d 4, då
Definition: Två uttryck, vars värden är lika för alla värden av variabler, kallas identiskt lika.
Uttryck 3 (x + y) och 3x + 3ow är identiskt lika, och uttrycken 2x + y och 2h är inte identiskt lika.
Jämställdhet 3 (x + y) och 3x + 3a är sant för alla värden av x och y. Sådana likheter kallas identiteter.
Definition: Jämställdhet, trogen för alla värden av variabler, kallas identiteten.
Identiteterna i den troende numeriska jämlikheten beaktas också. Med de identiteter vi redan har träffat. Identiteterna är likheter som uttrycker de grundläggande egenskaperna hos åtgärder över siffrorna (studenterna kommenterar varje egendom, uttalande).
a + B \u003d B + A
ab \u003d ba.
(A + B) + C \u003d A + (B + C)
(Ab) c \u003d a (bc)
a (B + C) \u003d AB + AC
Ge andra exempel på identiteter
Definition: Byt ut ett uttryck till ett annat, identiskt lika med uttrycket, kallas identisk omvandling eller helt enkelt genom transformationen av uttrycket.
Identitetstransformationerna av uttryck med variabler är baserade på egenskaperna hos antalet nummer.
Identitetstransformationerna av uttryck används i stor utsträckning vid beräkning av värdena för uttryck och lösa andra uppgifter. Några identiska omvandlingar du måste utföra, till exempel, medföra sådana komponenter, avslöja parentes.
5 . № 691, № 692 (med uttalande reglerna för att avslöja fästen, multiplikation av negativa och positiva siffror)
Identiteter för att välja en rationell lösning:(Front arbete)
6 . Summera upp lektionen.
Läraren frågar frågor, och eleverna svarar på dem på vilja.
Vilka två uttryck kallas identiskt lika? Ge exempel.
Vilken jämlikhet kallas identitet? Leda ett exempel.
Vilka identitetskonverteringar är du känt?
7. Läxa. Lär dig definitioner, ta exempel på identiska uttryck (minst 5), skriv dem ner i en anteckningsbok
Huvudegenskaperna för tillägg och multiplikation av siffror.
Flytta tilläggets tillägg: Mängden av summan ändras inte från termens permutation. För några nummer A och B är sann jämlikhet
Kombinationsegenskapen för tillägg: För att lägga till det tredje numret till summan av två siffror kan du lägga till det andra och tredje beloppet till det första numret. För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet
Multiplikationsegenskap: Från omplacering av multiplikatorer ändras inte produktvärdet. För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet
Kombinationsfastigheten för multiplikation: Att multiplicera arbetet med två siffror för att multiplicera med det tredje numret, kan du multiplicera det första numret till det andra och tredje.
För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet
Distributionsfastighet: För att multiplicera ett antal belopp kan du multiplicera detta nummer till varje inriktat och vikta resultaten. För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet
Från tilläggets recessiva och kombinationsegenskaper följer det: I vilket belopp som helst kan du på något sätt omorganisera komponenterna och kombinera dem slumpmässigt i grupper.
Exempel 1 Beräkna mängden 1,23 + 13,5 + 4,27.
För att göra detta är det lämpligt att slå samman den första termen med den tredje. Vi får:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Från rörelsen och modeegenskaperna hos multiplikation är det nödvändigt: I vilken produkt som helst kan du snabbt omorganisera multiplikatorerna och kombinera dem slumpmässigt i grupper.
Exempel 2 Hitta värdet på produkten 1.8 · 0,25 · 64 · 0,5.
Genom att kombinera den första faktorn med den fjärde, och den andra den tredje, kommer vi att ha:
1,8 · 0,25 · 64 · 0,5 \u003d (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) \u003d 0,9 · 16 \u003d 14,4.
Fördelningsegenskapen är giltig och i det fall då numret multipliceras med mängden av tre och fler komponenter.
Till exempel, för några nummer A, B, C och D, är jämlikhet sant
a (B + C + D) \u003d AB + AC + AD.
Vi vet att subtraktion kan ersättas genom att lägga till, lägga till ett reducerat nummer motsatt till subtrabelt:
Detta möjliggör ett numeriskt uttryck av typen AB att överväga summan av siffrorna A och -B, det numeriska uttrycket av form A + BCD anses summan av numret A, B, -C, -D, etc. Betraktas som egenskaper hos åtgärder är rättvisa och för sådana summor.
Exempel 3 Hitta uttrycksvärde på 3,27-6,5-2,5 + 1,73.
Detta uttryck är summan av siffror 3.27, -6,5, -2,5 och 1,73. Tillämpa tillsatsegenskaperna erhåller vi: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 \u003d (3,27 + 1,73) + (- 6,5-2,5) \u003d 5 + (- 9) \u003d -För.
Exempel 4 Beräkna arbetet 36 · ().
Multiplikatorn kan betraktas som summan av siffror och -. Med hjälp av distributionsfastigheten för multiplikation får vi:
36 () \u003d 36 · -36 · \u003d 9-10 \u003d -1.
Identiteter
Definition. Två uttryck, vars motsvarande värden är lika med alla värden av variabler, kallas identiskt lika.
Definition. Jämställdhet, trogen för alla värden av variabler, kallas identiteten.
Hitta värdena för uttryck 3 (x + y) och 3x + 3y vid x \u003d 5, y \u003d 4:
3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 · 9 \u003d 27,
3x + 3Y \u003d 3 · 5 + 3 · 4 \u003d 15 + 12 \u003d 27.
Vi fick samma resultat. Från fördelningsegenskapen följer det i allmänhet med alla värden av variabler, motsvarande värden av uttryck 3 (x + y) och 3x + 3y är lika.
Tänk nu uttrycket 2x + y och 2xy. Vid X \u003d 1, Y \u003d 2, tar de lika stora värden:
Du kan dock ange sådana värden X och Y, där värdena för dessa uttryck är inte lika. Till exempel, om x \u003d 3, y \u003d 4, då
Uttryck 3 (x + y) och 3x + 3y är identiskt lika, och uttrycken 2x + y och 2xy är inte identiskt lika.
Jämställdhet 3 (x + y) \u003d x + 3Y, trogen för eventuella X- och Y-värden, är en identitet.
Identiteterna i den troende numeriska jämlikheten beaktas också.
Så, identiteterna är likheter som uttrycker de viktigaste egenskaperna hos handlingar över siffrorna:
a + B \u003d B + A, (A + B) + C \u003d A + (B + C),
ab \u003d ba, (ab) c \u003d a (bc), a (b + c) \u003d ab + ac.
Andra exempel på identiteter kan också ges:
a + 0 \u003d A, A + (- A) \u003d 0, A-B \u003d A + (- B),
a · 1 \u003d A, A · (-B) \u003d - AB, (-A) (- B) \u003d AB.
Identiska omvandlingar av uttryck
Utbytet av ett uttryck till ett annat, identiskt lika med det kallas den identiska omvandlingen eller helt enkelt genom omvandlingen av uttrycket.
Identitetstransformationerna av uttryck med variabler är baserade på egenskaperna hos antalet nummer.
För att hitta värdet av XY-XZ-uttrycket vid de angivna X, Y, Z-värdena måste tre åtgärder utföras. Till exempel, vid x \u003d 2,3, y \u003d 0,8, z \u003d 0,2 får vi:
xY - XZ \u003d 2,3 · 0,8-2,3 · 0,2 \u003d 1,84-0,46 \u003d 1,38.
Detta resultat kan erhållas genom att bara utföra två åtgärder, om du använder uttrycket x (y-z), identiskt lika med uttrycket XY-XZ:
xY - XZ \u003d 2,3 (0,8-0,2) \u003d 2,3 · 0,6 \u003d 1,38.
Vi förenklade beräkningen, ersätter uttrycket XY-XZ identiskt lika med uttrycket X (Y-Z).
Identitetstransformationerna av uttryck används i stor utsträckning vid beräkning av värdena för uttryck och lösa andra uppgifter. Några identiska omvandlingar har redan vidtagits, till exempel, vilket ger sådana termer, avslöjar konsoler. Återkalla reglerna för att utföra dessa omvandlingar:
för att medföra liknande termer är det nödvändigt att vika sina koefficienter och resultatet multipliceras med ett gemensamt brevväg;
om "plus" -tecknet står framför fästena, kan fästena utelämnas, samtidigt som tecknet på varje term är innesluten i konsolen;
om det finns ett "minus" -tecken framför fästena, kan fästena utelämnas genom att ändra tecknet på varje term som är innesluten i konsolen.
Exempel 1 Vi presenterar liknande termer i mängden 5x + 2x-3x.
Vi använder regeln om att medföra liknande villkor:
5x + 2x-3x \u003d (5 + 2-3) x \u003d 4x.
Denna omvandling baseras på distributionsegenskapen för multiplikation.
Exempel 2 Recall-fästen i uttrycket 2A + (B-3C).
Applicera parentesens upplysningsregel, framför vilken "plus" -tecknet är:
2A + (B-3C) \u003d 2A + B-3C.
Transformationen är baserad på en kombinationsegenskap för tillägg.
EXEMPEL 3 Markera fästen i uttrycket A- (4b-c).
Vi använder reglerna för att avslöja konsoler, mot minustecknet:
a- (4B-C) \u003d A-4B + C.
Den utförda omvandlingen är baserad på distributionsfastigheten för multiplikation och tilläggsegenskapen för tillsats. Visa det. Föreställ dig i detta uttryck andra termen - (4b-c) som ett arbete (-1) (4b-c):
a- (4B-C) \u003d A + (- 1) (4b-c).
Applicera de angivna egenskaperna hos åtgärder, vi får:
a- (4B-C) \u003d A + (- 1) (4B-C) \u003d A + (- 4B + C) \u003d A-4B + C.
Den här artikeln ger den ursprungliga presentation av identiteter. Här kommer vi att definiera identitet, vi introducerar den använda beteckningen, och vi ger naturligtvis olika exempel på identiteter.
Navigeringssida.
Vad är identitet?
Starta logiskt presentationen av material med definitioner av identitet. I textboken Makarychev Yu. N. Algebra för 7 klasser Definitionen av identitet ges så här:
Definition.
Identitet - Detta är jämlikhet trogen i alla värden av variabler; Varje troende numerisk jämlikhet är också identitet.
Samtidigt föreskrivs författaren omedelbart att denna definition i framtiden klargörs. Denna förtydligande sker i klass 8 efter bekantskap med definitionen av tillåtna värden på variabler och OTZ. Definitionen blir så här:
Definition.
Identiteter - Det här är trogen numeriska jämlikhet, liksom jämlikhet som är sanna för alla tillåtna värden på de variabler som ingår i dem.
Så varför, bestämma identiteten, i den 7: e klassen talar vi om alla värden av variabler, och i den 8: e klassen börjar man prata om värdena på variablerna från OTZ? Upp till klass 8 utförs arbete uteslutande med övergripande uttryck (i synnerhet med enkelvingar och polynomier), och de är meningsfulla för alla värden av de variabler som ingår i dem. Därför säger vi i klass 7 att identiteten är jämlikhet trogen i alla värden av variabler. Och i 8: e klass visas uttryck, som redan är meningsfulla inte för alla värden av variabler, men endast för värden av deras OTZ. Därför börjar vi att kalla de allra bästa med alla giltiga värden för variabler.
Så identitet är ett speciellt fall av jämlikhet. Det vill säga, vilken identitet som helst är jämlikhet. Men inte någon jämlikhet är en identitet, men endast sådan jämlikhet, vilket är sant för alla värden av variabler från deras tillåtna värderingar.
Tecken på identitet
Det är känt att utjämningen av jämlikheten av formen "\u003d", till vänster och höger om det finns några siffror eller uttryck. Om det här tecknet lägger till en annan horisontell linje, visar det tecken på identitet "≡", eller som det också kallas tecken på identisk jämlikhet.
Tecknet på identitet används vanligtvis endast när det är nödvändigt att betona att vi inte bara är jämlikhet, nämligen identiteten. I andra fall skiljer sig inte in registrering av identiteter från jämställdhet.
Exempel på identiteter
Det är dags att ta med exempel på identiteter. Detta kommer att hjälpa oss att bestämma identiteten som anges i första stycket.
Numeriska likheter 2 \u003d 2 är exempel på identiteter, eftersom dessa likheter är korrekta, och eventuella korrekta numeriska jämlikhet per definition är en identitet. De kan skrivas som 2≡2 och.
Identiteterna är den numeriska jämlikheten hos formen 2 + 3 \u003d 5 och 7-1 \u003d 2 · 3, eftersom dessa likheter är korrekta. Det vill säga 2 + 3≡5 och 7-1≡2 · 3.
Gå till exempel på identiteter som inte bara innehåller siffror i din post, men också variabler.
Tänk på jämlikhet 3 · (x + 1) \u003d 3 · x + 3. Med något värde av variabeln X är den inspelade jämlikheten korrekt på grund av fördelningsegenskaperna för multiplikation i förhållande till tillsatsen, därför är den ursprungliga jämlikheten ett exempel på identitet. Här är ett annat exempel på identitet: y · (x - 1) ≡ (x - 1) · x: x · y 2: yHär utgör området med tillåtna värden på variablerna X och Y alla par (X, Y), där X och Y är några nummer, med undantag för noll.
Men likheterna x + 1 \u003d x - 1 och a + 2 · b \u003d b + 2 · a är inte identiteter, eftersom det finns värderingar av variabler där dessa likheter kommer att vara felaktiga. Till exempel, vid X \u003d 2, applicerar jämlikheten x + 1 \u003d x - 1 till den felaktiga jämlikheten 2 + 1 \u003d 2-1. Dessutom är jämlikheten x + 1 \u003d x - 1 inte alls nås på oavsett värdena för variabeln x. Och jämlikhet A + 2 · B \u003d B + 2 · A kommer att bli felaktig jämlikhet om du tar några olika värden på variabler A och B. Till exempel, vid A \u003d 0 och B \u003d 1, kommer vi till felaktig jämlikhet 0 + 2 · 1 \u003d 1 + 2 · 0. Jämställdhet | X | \u003d x, var | x | - Variabeln X är inte heller en identitet, eftersom den är felaktig för negativa värden X.
Exempel på de mest kända identiteterna är arten SIN 2 a + COS 2 a \u003d 1 och en logg A b \u003d b.
Sammanfattningsvis skulle jag vilja notera att vi när vi studerar matematik, konfronteras ständigt med identiteter. Rekorden av egenskaperna hos åtgärder med siffror är identiteter, till exempel A + B \u003d B + A, 1 · A \u003d A, 0 · A \u003d 0 och A + (- A) \u003d 0. Också identiteter är
Efter att ha fått en idé om identiteter är den logisk att gå till bekantskap med. I den här artikeln kommer vi att svara på frågan att sådana identiskt lika uttryck, liksom i exemplen vi kommer att förstå vilka uttryck som är identiskt lika, och vilka - nej.
Navigeringssida.
Vad är identiskt lika uttryck?
Definitionen av identiskt lika uttryck ges parallellt med definitionen av identiteten. Detta händer på lärdomarna av algebra i klass 7. I läroboken på algebra för de 7 klasserna av författaren Yu. N. Makarychev, denna formulering ges:
Definition.
- Det här är de uttryck vars värden är lika med alla värden på de variabler som ingår i dem. Numeriska uttryck som motsvarar samma värden kallas också identiskt lika.
Denna definition används upp till betyg 8, den är giltig för heltal uttryck, eftersom de är vettiga för alla värden av de variabler som ingår i dem. Och i klass 8 anges definitionen av identiskt lika uttryck. Låt oss förklara vad den är kopplad till.
I klass 8 kan studien av andra typer av uttryck, som i motsats till hela uttrycken inte vara meningsfulla på vissa värden av variabler. Detta tvingar det att införa definitionerna av tillåtna och oacceptabla värden av variabler, liksom området med tillåtna värden för OTZ-variabeln, och som ett resultat - att klargöra definitionen av identiskt lika uttryck.
Definition.
Två uttryck vars värden är lika med alla giltiga värden på de variabler som ingår i dem kallas identiskt lika uttryck. Två numeriska uttryck som har samma värden kallas också identiskt lika.
I denna definition av identiskt lika uttryck är det värt att förtydliga meningen med frasen "med alla tillåtna värden för de variabler som ingår i dem." Det innebär alla sådana värden av variabler i vilka både identiskt lika uttryck samtidigt är meningsfulla. Denna idé förklaras i nästa stycke, med tanke på exempel.
Definitionen av identiskt lika uttryck i textboken Mordkovich A. G. är lite annorlunda:
Definition.
Identiskt lika uttryck - Det här är uttrycken i vänstra och rätt delar av identiteten.
I mening sammanfaller detta och den tidigare definitionen.
Exempel på identiskt lika uttryck
Definitionerna som anges i föregående stycke tillåter exempel på identiskt lika uttryck.
Låt oss börja med identiskt lika med numeriska uttryck. Numeriska uttryck 1 + 2 och 2 + 1 är identiskt lika, eftersom de motsvarar lika värden på 3 och 3. Också identiskt lika med uttryck 5 och 30: 6, såväl som uttryck (2 2) 3 och 2 6 (värdena för de senaste uttrycken är lika med kraft). Men de numeriska uttrycken 3 + 2 och 3-2 är inte identiskt lika, eftersom det motsvarar värden 5 respektive 1, och de är inte lika.
Nu kommer vi att ge exempel på identiskt lika uttryck med variabler. Sådana är uttrycken A + B och B + A. I själva verket, med några värden av variabler A och B, tar inspelade uttryck samma värden (som följer av siffror). Till exempel vid A \u003d 1 och B \u003d 2 har vi A + B \u003d 1 + 2 \u003d 3 och B + A \u003d 2 + 1 \u003d 3. För andra värden av variabler A och B erhåller vi också lika stora värden av dessa uttryck. Uttryck 0 · x · y · z och 0 är också identiskt lika med alla värden av variablerna x, y och z. Men uttryck 2 · x och 3 · x är inte identiskt lika, eftersom till exempel med X \u003d 1, är deras värden inte lika. Faktum är att vid X \u003d 1 är uttrycket 2 · x 2 · 1 \u003d 2 och uttrycket 3 · x är 3 · 1 \u003d 3.
När värdena på tillåtna värden för variabler i uttryck sammanfaller, som till exempel i uttryck A + 1 och 1 + A eller A-B · 0 och 0, eller, och värdena för dessa uttryck är lika med alla värden av variablerna från dessa områden, då är allt klart - dessa uttryck är identiskt lika med alla tillåtna värden för de variabler som ingår i dem. Så A + 1≡1 + A för alla A, uttryck a · B · 0 och 0 är identiskt lika med eventuella värden av variabler A och B, och uttryck är identiskt lika med X; Ed. S. A. Telikovsky. - 17: e ed. - m.: Upplysning, 2008. - 240 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Hur man återvänder sin mans kärlek till sin fru - tips av psykologen
Varför kan du inte ge ikoner