Identiska omvandlingar av uttryck. Identiskt lika uttryck: definition, exempel

Huvudegenskaperna för tillägg och multiplikation av siffror.

Flytta tilläggets tillägg: Mängden av summan ändras inte från termens permutation. För några nummer A och B är sann jämlikhet

Kombinationsegenskapen för tillägg: För att lägga till det tredje numret till summan av två siffror kan du lägga till det andra och tredje beloppet till det första numret. För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet

Multiplikationsegenskap: Från omplacering av multiplikatorer ändras inte produktvärdet. För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet

Kombinationsfastigheten för multiplikation: Att multiplicera arbetet med två siffror för att multiplicera med det tredje numret, kan du multiplicera det första numret till det andra och tredje.

För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet

Distributionsfastighet: För att multiplicera ett antal belopp kan du multiplicera detta nummer till varje inriktat och vikta resultaten. För några nummer A, B och C är sanna jämlikhet

Från tilläggets recessiva och kombinationsegenskaper följer det: I vilket belopp som helst kan du på något sätt omorganisera komponenterna och kombinera dem slumpmässigt i grupper.

Exempel 1 Beräkna mängden 1,23 + 13,5 + 4,27.

För att göra detta är det lämpligt att slå samman den första termen med den tredje. Vi får:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Från rörelsen och modeegenskaperna hos multiplikation är det nödvändigt: I vilken produkt som helst kan du snabbt omorganisera multiplikatorerna och kombinera dem slumpmässigt i grupper.

Exempel 2 Hitta värdet på produkten 1.8 · 0,25 · 64 · 0,5.

Genom att kombinera den första faktorn med den fjärde, och den andra den tredje, kommer vi att ha:

1,8 · 0,25 · 64 · 0,5 \u003d (1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) \u003d 0,9 · 16 \u003d 14,4.

Fördelningsegenskapen är giltig och i det fall då numret multipliceras med mängden av tre och fler komponenter.

Till exempel, för några nummer A, B, C och D, är jämlikhet sant

a (B + C + D) \u003d AB + AC + AD.

Vi vet att subtraktion kan ersättas genom att lägga till, lägga till ett reducerat nummer motsatt till subtrabelt:

Detta möjliggör ett numeriskt uttryck av typen AB att överväga summan av siffrorna A och -B, det numeriska uttrycket av form A + BCD anses summan av numret A, B, -C, -D, etc. Betraktas som egenskaper hos åtgärder är rättvisa och för sådana summor.

Exempel 3 Hitta uttrycksvärde på 3,27-6,5-2,5 + 1,73.

Detta uttryck är summan av siffror 3.27, -6,5, -2,5 och 1,73. Tillämpa tillsatsegenskaperna erhåller vi: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 \u003d (3,27 + 1,73) + (- 6,5-2,5) \u003d 5 + (- 9) \u003d -För.

Exempel 4 Beräkna arbetet 36 · ().

Multiplikatorn kan betraktas som summan av siffror och -. Med hjälp av distributionsfastigheten för multiplikation får vi:

36 () \u003d 36 · -36 · \u003d 9-10 \u003d -1.

Identiteter

Definition. Två uttryck, vars motsvarande värden är lika med alla värden av variabler, kallas identiskt lika.

Definition. Jämställdhet, trogen för alla värden av variabler, kallas identiteten.

Hitta värdena för uttryck 3 (x + y) och 3x + 3y vid x \u003d 5, y \u003d 4:

3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 · 9 \u003d 27,

3x + 3Y \u003d 3 · 5 + 3 · 4 \u003d 15 + 12 \u003d 27.

Vi fick samma resultat. Från fördelningsegenskapen följer det i allmänhet med alla värden av variabler, motsvarande värden av uttryck 3 (x + y) och 3x + 3y är lika.

Tänk nu uttrycket 2x + y och 2xy. Vid X \u003d 1, Y \u003d 2, tar de lika stora värden:

Du kan dock ange sådana värden X och Y, där värdena för dessa uttryck är inte lika. Till exempel, om x \u003d 3, y \u003d 4, då

Uttryck 3 (x + y) och 3x + 3y är identiskt lika, och uttrycken 2x + y och 2xy är inte identiskt lika.

Jämställdhet 3 (x + y) \u003d x + 3Y, trogen för eventuella X- och Y-värden, är en identitet.

Identiteterna i den troende numeriska jämlikheten beaktas också.

Så, identiteterna är likheter som uttrycker de viktigaste egenskaperna hos handlingar över siffrorna:

a + B \u003d B + A, (A + B) + C \u003d A + (B + C),

ab \u003d ba, (ab) c \u003d a (bc), a (b + c) \u003d ab + ac.

Andra exempel på identiteter kan också ges:

a + 0 \u003d A, A + (- A) \u003d 0, A-B \u003d A + (- B),

a · 1 \u003d A, A · (-B) \u003d - AB, (-A) (- B) \u003d AB.

Identiska omvandlingar av uttryck

Utbytet av ett uttryck till ett annat, identiskt lika med det kallas den identiska omvandlingen eller helt enkelt genom omvandlingen av uttrycket.

Identitetstransformationerna av uttryck med variabler är baserade på egenskaperna hos antalet nummer.

För att hitta värdet av XY-XZ-uttrycket vid de angivna X, Y, Z-värdena måste tre åtgärder utföras. Till exempel, vid x \u003d 2,3, y \u003d 0,8, z \u003d 0,2 får vi:

xY - XZ \u003d 2,3 · 0,8-2,3 · 0,2 \u003d 1,84-0,46 \u003d 1,38.

Detta resultat kan erhållas genom att bara utföra två åtgärder, om du använder uttrycket x (y-z), identiskt lika med uttrycket XY-XZ:

xY - XZ \u003d 2,3 (0,8-0,2) \u003d 2,3 · 0,6 \u003d 1,38.

Vi förenklade beräkningen, ersätter uttrycket XY-XZ identiskt lika med uttrycket X (Y-Z).

Identitetstransformationerna av uttryck används i stor utsträckning vid beräkning av värdena för uttryck och lösa andra uppgifter. Några identiska omvandlingar har redan vidtagits, till exempel, vilket ger sådana termer, avslöjar konsoler. Återkalla reglerna för att utföra dessa omvandlingar:

för att medföra liknande termer är det nödvändigt att vika sina koefficienter och resultatet multipliceras med ett gemensamt brevväg.

om "plus" -tecknet står framför fästena, kan fästena utelämnas, samtidigt som tecknet på varje term är innesluten i konsolen;

om det finns ett "minus" -tecken framför fästena, kan fästena utelämnas genom att ändra tecknet på varje term som är innesluten i konsolen.

Exempel 1 Vi presenterar liknande termer i mängden 5x + 2x-3x.

Vi använder regeln om att medföra liknande villkor:

5x + 2x-3x \u003d (5 + 2-3) x \u003d 4x.

Denna omvandling baseras på distributionsegenskapen för multiplikation.

Exempel 2 Recall-fästen i uttrycket 2A + (B-3C).

Applicera parentesens upplysningsregel, framför vilken "plus" -tecknet är:

2A + (B-3C) \u003d 2A + B-3C.

Transformationen är baserad på en kombinationsegenskap för tillägg.

EXEMPEL 3 Markera fästen i uttrycket A- (4b-c).

Vi använder reglerna för att avslöja konsoler, mot minustecknet:

a- (4B-C) \u003d A-4B + C.

Den utförda omvandlingen är baserad på distributionsfastigheten för multiplikation och tilläggsegenskapen för tillsats. Visa det. Föreställ dig i detta uttryck andra termen - (4b-c) som ett arbete (-1) (4b-c):

a- (4B-C) \u003d A + (- 1) (4b-c).

Applicera de angivna egenskaperna hos åtgärder, vi får:

a- (4B-C) \u003d A + (- 1) (4B-C) \u003d A + (- 4B + C) \u003d A-4B + C.

Antalet och uttryck som är sammansatta av det ursprungliga uttrycket, kan ersättas med identiskt lika uttryck. En sådan omvandling av det ursprungliga uttrycket leder till ett identiskt lika uttryck.

Till exempel, i uttrycket 3 + X, kan numret 3 ersättas med mängden 1 + 2 och uttrycket (1 + 2) + X, som är identiskt lika med det initiala uttrycket. Ett annat exempel: I uttrycket 1 + en 5 grader kan en 5 ersättas med en identiskt lika med den, till exempel formen A · A4. Detta ger oss ett uttryck 1 + A · A 4.

Denna omvandling är utan tvekan artificiellt och är vanligtvis beredd för ytterligare transformationer. Till exempel, i mängden 4 · x 3 + 2 · x 2, med tanke på egenskaperna hos graden, kan termen 4 · x 3 representeras som en bit av 2 · x 2 · 2 · x. Efter en sådan omvandling kommer det initiala uttrycket att ta en form 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Självklart har komponenterna i den totala multiplikatorn 2 · x 2 komponenterna i den resulterande mängden, så vi kan utföra följande transformation - övning för parentes. Efter det kommer vi till uttryck: 2 · x 2 · (2 \u200b\u200b· x + 1).

Justering och subtraktion av samma nummer

En annan artificiell expressionstransformation är tillsatsen och samtidig subtraktion av samma antal eller uttryck. En sådan omvandling är identisk, eftersom den faktiskt är ekvivalent med ökningen av noll och minskningen av noll ändrar inte värdena.

Tänk på ett exempel. Ta uttrycket x 2 + 2 · x. Om du lägger till en enhet för den och tar en enhet, kommer det att komplettera en annan identitetskonvertering - välj torget av studsa: x 2 + 2 · x \u003d x 2 + 2 · x + 1-1 \u003d (x + 1) 2 -1.

Bibliografi.

Algebra: studier. för 7 cl. Allmän utbildning. institutioner / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 17: e ed. - m.: Upplysning, 2008. - 240 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: studier. För 8 cl. Allmän utbildning. institutioner / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16: e ed. - M.: Upplysning, 2008. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 7 grader. I 2 tsk. 1. Tutorial för studenter av allmänna utbildningsinstitutioner / A. Mordkovich. - 17: e ed., Extra - m.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: Il. ISBN 978-5-346-02432-3.

Tänk på två jämställdheter:

1. A 12 * A3 \u003d A 7 * A 8

Denna jämlikhet kommer att utföras vid alla värden av variabeln A. Området med tillåtna värden för den jämställdheten kommer att vara alla många reella tal.

2. A 12: A3 \u003d A 2 * A 7.

Denna ojämlikhet kommer att utföras för alla värden av variabeln A, förutom noll. Området med tillåtna värden för denna ojämlikhet kommer att vara alla många reella tal, förutom noll.

Var och en av dessa likheter kan hävdas att det kommer att vara sant för eventuella tillåtna värden på variabler a. Sådana likheter i matematik kallas identiteter.

Begreppet identitet

Identiteten är jämlikhet trogen i eventuella tillåtna värden på variabler. Om i denna jämlikhet att ersätta, istället för variabler, eventuella giltiga värden, ska den korrekta numeriska jämlikheten erhållas.

Det är värt att notera att trogen numerisk jämlikhet också är identiteter. Identiteter, till exempel, kommer att vara egenskaperna hos åtgärder på siffror.

3. A + B \u003d B + A;

4. A + (B + C) \u003d (A + B) + C;

6. a * (b * c) \u003d (a * b) * c;

7. a * (b + c) \u003d a * b + a * c;

11. a * (- 1) \u003d -a.

Om två uttryck med några giltiga variabler är lika lika, kallas sådana uttryck identiskt lika. Nedan följer flera exempel på identiskt lika uttryck:

1. (A 2) 4 och A 8;

2. a * b * (- a ^ 2 * b) och - 3 * b 2;

3. ((x 3 * x 8) / x) och x 10.

Vi kan alltid ersätta ett uttryck med något annat uttryck, identiskt lika med det första. En sådan ersättning kommer att vara identisk omvandling.

Exempel på identiteter

Exempel 1: Följande likheter är identiteter:

1. A + 5 \u003d 5 + A;

2. a * (- b) \u003d -a * b;

3. 3 * A * 3 * B \u003d 9 * A * B;

Inte alla ovanstående uttryck kommer att vara identiteter. Av dessa likheter är identiteterna endast 1,2 och 3 jämlikhet. Oavsett vad vi inte sätter i dem, istället för variabler A och B, har vi fortfarande trogen numerisk jämlikhet.

Men 4 jämlikhet är inte längre identitet. Eftersom inte med alla tillåtna värden kommer denna jämlikhet att utföras. Till exempel, vid värden A \u003d 5 och B \u003d 2, kommer följande resultat att vara:

Denna jämlikhet är inte sant, eftersom nummer 3 inte är lika med numret -3.

§ 2. Identiska uttryck, identitet. Identisk omvandling av uttryck. Identitetsbevis

Hitta värdena för uttryck 2 (x - 1) 2x - 2 för dessa värden av variabeln x. Resultat Vi skriver till bordet:

Man kan dra slutsatsen att värdena för uttryck 2 (X-1) 2x - 2 för varje givet värde av variabeln X är lika med varandra. Enligt den distributionella egenskapen hos multiplikation i förhållande till subtraktion 2 (x-1) \u003d 2x - 2. Därför, för något annat värde av variabeln X, kommer expressionsvärdet 2 (X-1) 2x - 2 också att vara lika med var och en Övrig. Sådana uttryck kallas identiskt lika.

Till exempel är synonymer uttrycks 2x + 3x och 5x, eftersom varje gång värdet av variabeln X, dessa uttryck förvärvar samma värden (det här följer av distributionsfastigheten för multiplikation i förhållande till tillsats, sedan 2x + 3x \u003d 5x) .

Tänk nu på uttryck 3x + 2e och 5h. Om x \u003d 1 och b \u003d 1, är motsvarande värden av dessa uttryck lika med varandra:

3 + 2Y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5H \u003d 5 ∙ 1 ∙ 1 \u003d 5.

Det är emellertid möjligt att ange värdena på X och Y, för vilka värdena för dessa uttryck kommer inte att vara lika med varandra. Till exempel, om x \u003d 2; y \u003d 0, då

3x + 2y \u003d 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 \u003d 6, 5H \u003d 5 ∙ 20 \u003d 0.

Därför finns det sådana värden av variabler i vilka motsvarande värden av uttryck 3x + 2U och 5H inte är lika med varandra. Därför är uttryck 3x + 2e och 5H inte identiska lika.

Baserat på ovanstående är identiteter, i synnerhet jämlikhet: 2 (x-1) \u003d 2x - 2 och 2x + 3x \u003d 5x.

Identiteten är varje jämlikhet som skrivs till de välkända egenskaperna hos åtgärder över siffrorna. Till exempel,

a + B \u003d B + A; (A + B) + C \u003d A + (B + C); A (b + c) \u003d ab + ac;

ab \u003d ba; (Ab) c \u003d a (bc); A (B-C) \u003d AB - AU.

Identiteterna är så jämlikhet:

a + 0 \u003d A; A ∙ 0 \u003d 0; a ∙ (-b) \u003d -ab;

a + (-A) \u003d 0; a ∙ 1 \u003d a; A ∙ (-b) \u003d ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Om i uttrycket-5x + 2x-9 för att minska sådana termer erhåller vi den 5x + 2x-9 \u003d 7x - 9. I detta fall sägs det att uttrycket 5x + 2x-9 ersattes med ett identiskt uttryck till Det 7x - 9.

Identitetskonverteringarna av uttryck med variabler utförs med användning av egenskaperna hos antalet nummer. I synnerhet identiska omvandlingar med beskrivning av fästen, konstruktionen av sådana termer och liknande.

De identiska omvandlingarna måste utföras vid förenkling av uttrycket, det vill säga ersättning av något uttryck på uttrycket som är identiskt lika med det, vilket bör vara kortare.

Exempel 1. Förenkla uttrycket:

1) -0,3 m ∙ 5N;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5N \u003d -0,3 ^ 5MN \u003d -1,5 mn;

2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) \u003d 6 x. - 8 - 1 2x + 21 \u003d 6x + 13;

3) 2 + 5A - (A-2B) + (3B-A) \u003d 2 + 5a. - men + 2 b. + 3 b. - men \u003d 3A + 5B + 2.

För att bevisa att jämlikhet är en identitet (med andra ord, för att bevisa identitet, använd identiska omvandlingar av uttryck.

Du kan bevisa identitet på ett av följande sätt:

utför identiska omvandlingar av sin vänstra sida, varigenom den högra delen blandas.
utföra identiska omvandlingar av sin högra del, vilket minimerar arten på vänster sida;
att utföra identiska omvandlingar av båda dess delar, vilket därigenom upprättar båda delarna till samma uttryck.

Exempel 2. Bevisa identitet:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a \u003d 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b)

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) \u003d 13 (2x - 5) + 21.

R a s i 'i z och n n.

1) Vi omvandlar den vänstra delen av denna jämlikhet:

2x - (x + 5) - 11 \u003d 2x - h.- 5 - 11 \u003d X - 16.

Uttrycket på den vänstra delen av jämlikheten var identiska omvandlingar i den vänstra delen av jämlikhet och visade sig därmed att denna jämlikhet är en identitet.

2) Vi omvandlar höger sida av denna jämlikhet:

5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b) \u003d 10a. - 15 b. - 14a. + 35 b. \u003d 20b - 4a.

Den högra sidan av jämlikheten med formen av den vänstra sidan av jämlikheten, och därigenom visade sig att denna jämlikhet är identiteten.

3) I det här fallet är det lämpligt att förenkla både vänster och höger om jämlikhet och jämföra resultaten:

2 (3 - 8) + 4 (5x - 7) \u003d 6x - 16 + 20x - 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Vänster och rätt delar av jämlikheten med samma omvandlingar av vänster och höger sida av jämlikhet: 26x - 44. Därför är denna jämlikhet en identitet.

Vilka uttryck är identiska? Ge ett exempel på identiska uttryck. Vilken jämlikhet kallas identitet? Ge ett exempel på identitet. Vad kallas den identiska omvandlingen av uttrycket? Hur man bevisar identitet?

(Oralt) eller det finns uttryck identiskt lika:

1) 2A + A och 3A;

2) 7x + 6 och 6 + 7x;

3) x + x + x och x 3;

4) 2 (x - 2) och 2x - 4;

5) m - n och n-m;

6) 2A ∙ R och 2R ∙ E?

Oavsett om det är identiskt lika uttryck:

1) 7x - 2x och 5x;

2) 5a - 4 och 4 - 5a;

3) 4m + N och N + 4m;

4) A + A och A 2;

5) 3 (A-4) och 3A-12;

6) 5m ∙ n och 5m + n?

(Muntligt) är jämlikhetens identitet:

1) 2A + 106 \u003d 12AB;

2) 7p - 1 \u003d -1 + 7p;

3) 3 (x - y) \u003d 3x - 5: e?

Öppna parentes:

Öppna parentes:

Två liknande termer:

Namn flera uttryck, identiska uttryck 2a + 3a.
Förenkla uttrycket med hjälp av omplacering och anslutande egenskaper hos multiplikation:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4R ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4) - x ∙<-7у).

Förenkla uttrycket:

1) -2p ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3U);

4) - 1 m ∙ (-3N).

(Muntligt) Förenkla uttrycket:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4A ∙ (-2B).

Två liknande termer:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3r + 19;

3) 1,8 A + 1,9 B + 2,8 A - 2,9 B;

4) 5 - 7c + 1,9 g + 6,9 S - 1,7 g

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a)

3) 3 (2p - 7) - 2 (G - 3)

4) - (3m - 5) + 2 (3m - 7).

Öppna fästen och vrid liknande termer:

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3R-1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), om x \u003d 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, om A \u003d 10;

3) 1,2 (M - 5) - 1,8 (10 m), om M \u003d -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, om x \u003d -1, y \u003d 1.

Förenkla uttrycket och hitta sitt värde:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), om x \u003d -0,7;

2) 1,7 (Y-11) - 16,3, om B \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a-1), om a \u003d -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, om M \u003d 1,8; n \u003d -0,9.

Bevisidentitet:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x \u003d -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) \u003d 5x;

4) C - 2 \u003d 5 (C + 2) - 4 (C + 3).

Bevisidentitet:

1) - (m - 3n) \u003d 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7P \u003d 14;

3) 5A \u003d 3 (A-4) + 2 (A + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) \u003d 7m - 3.

Längden på en av sidorna av triangeln är en cm, och längden på var och en av de två andra sidorna är 2 cm mer än den. Spela in i form av en expression omkrets av en triangel och förenkla uttrycket.
Bredden på rektangeln är x cm, och längden är 3 cm mer bredd. Skriv ner i form av en expression omkrets av rektangeln och förenkla uttrycket.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5M - ((n - m) + 3N);

3) 4P - (3R - (2p - (R + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2: e);

5) (6a - b) - (4 A - 33b)

6) - (2,7 M - 1,5 N) + (2N - 0,48 M).

Expandera fästen och förenkla uttrycket:

1) A - (A - (3a - 1))

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5Y - (6: e - (7: e - (8: e - 1)))

6) (2,1 A - 2,8 b) - (1a - 1b).

Bevisidentitet:

1) 10x - (- (5x + 20)) \u003d 5 (3x + 4);

2) - (- 3R) - (- (8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g)

3) 3 (A-B-C) + 5 (A-B) + 3C \u003d 8 (A-B).

Bevisidentitet:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Bevis att värdet av uttrycket

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 m) + 0,2 (1,7 - 2m) beror inte på värdet av variabeln.

Bevis att om någon värde variabel är värdet av uttrycket

a - (A - (5A + 2)) - 5 (A-8)

är samma nummer.

Bevis att summan av tre på varandra följande jämnt tal är dividerat med 6.
Bevis att om n är ett naturligt tal är värdet av uttryck -2 (2,5 N - 7) + 2 (3N-6) jämnt antal.

Övningar för upprepning

Legering som väger 1,6 kg innehåller 15% koppar. Hur många koppar kg finns i denna legering?
Hur många procent är nummer 20 från dess:

1) kvadratisk;

Turist 2 h går till fots och 3 timmar cyklar. Turist överträffade 56 km. Hitta, med vilken hastighet turisten reste en cykel om hon är 12 km / h mer för den hastighet som han gick.

Intressanta uppgifter för studenter av lat

I mästerskapet i stadens fotboll deltar 11 lag. Varje lag spelar med andra en match. Bevis att konkurrensen däremot finns ett lag som kommer att hålla ett jämnt antal matchningar före detta ögonblick eller ännu inte genomfört en enda.

Under studerande Algebra mötte vi begreppen av ett polynom (till exempel ($ YX $, $ \\ 2X ^ 2-2x $, etc.) och en algebraisk fraktion (till exempel $ \\ frac (x + 5) ( X) $, $ \\ frac (2x ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \\ \\ frac (xy) (yx) $, etc.). Likheten hos dessa begrepp är att variabler och numeriska värden är närvarande i algebraiska fraktioner, aritmetiska åtgärder: tillägg, subtraktion, multiplikation, motion. Skillnaden mellan dessa begrepp är att polynomerna inte är uppdelade i variabel och i algebraiska fraktioner kan uppdelningen till en variabel framställas.

Och polynomier och algebraiska fraktioner i matematik kallas rationella algebraiska uttryck. Men polynomier är heltal rationella uttryck och algebraiska krossande rationella uttryck.

Det kan erhållas från ett fraktionellt-rationellt uttryck ett helt algebraiskt uttryck med användning av den identiska transformationen, som i detta fall kommer att vara fraktionens huvudsakliga egenskap - minskningen av fraktioner. Kontrollera det i praktiken:

Exempel 1.

Utför en konvertering: $ \\ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $

Beslut: Konvertera denna fraktionella rationella ekvation genom att använda huvudegenskapen hos krossningen, d.v.s. Delar täljaren och denominatorn på samma nummer eller uttryck annat än $ 0 $.

Omedelbart kan denna fraktion inte klippas, det är nödvändigt att omvandla täljaren.

Vi konverterar det uttryck som står i knoppens täljare, för detta använder vi den fyrkantiga kvadratformeln: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \u003d ((a-b)) ^ $ 2

Fraktionen har en vy

\\ [\\ Frac (x ^ 2-4x + 4) (x - 2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( X-2) \u003d \\ frac (\\ vänster (x-2 \\ höger) (x-2)) (x-2) \\]

Nu ser vi det i täljaren och i denominatorn finns en allmän multiplikator - det är ett uttryck för $ X-2 $, vilket kommer att ge en minskning av fraktionen

\\ [\\ Frac (x ^ 2-4x + 4) (x - 2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( X-2) \u003d \\ frac (\\ vänster (x-2 \\ höger) (x-2)) (x-2) \u003d x-2 \\]

Efter skärning erhöll vi att det ursprungliga fraktionerade rationella expressionen $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ var ett polynom $ X-2 $, d.v.s. hela rationell.

Nu kommer vi att uppmärksamma det faktum att uttrycken av $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ och $ x-2 \\ $ är identiska med uttryck av $ \\ frac (x-2 ) inte vid alla värden av variabeln, eftersom För att det fraktionella rationella uttrycket ska existera och det var möjligt att minska $ X-2 $ polynomiell nämnaren av fraktionen bör inte vara $ 0 $ (liksom multiplikatorn som vi producerar en minskning. I det här exemplet, Denominator och multiplikatorn sammanfaller, men det händer inte alltid).

Värdena för variabeln i vilken den algebraiska fraktionen kommer att existera är kallade tillåtna värden på variabeln.

Vi lägger villkoret för fraktionernas denomoter: $ X-2 ≠ 0 $, sedan $ X ≠ $ 2.

Det betyder att uttrycken av $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ och $ x-2 $ är identiska för alla värden av variabeln, förutom $ 2 $.

Definition 1.

Identiskt lika Uttryck kallas de som är lika med alla giltiga värden på variabeln.

En identisk omvandling är någon ersättning av det ursprungliga uttrycket som är identiskt lika med det. För sådana omvandlingar innefattar genomförandet av åtgärderna: tillsats, subtraktion, multiplikation, vilket gör en gemensam faktor bakom konsolen, vilket medför algebraiska fraktioner till en gemensam nämnare, reduktion av algebraiska fraktioner, vilket medför liknande termer etc. Det är nödvändigt att ta hänsyn till att ett antal transformationer, såsom förkortning, vilket ger sådana villkor kan ändra värdena på variabeln.

Mottagningar som används för att eviktera identiteter

Skapa den vänstra delen av identiteten till höger eller vice versa med hjälp av identiska omvandlingar

Ta båda delarna till samma uttryck med hjälp av identiska omvandlingar.

Överför uttrycken i en del av uttrycket till ett annat och bevisa att den mottagna skillnaden är $ 0 $

Vilken av ovanstående tekniker som ska användas för att bevisa denna identitet beror på den ursprungliga identiteten.

Exempel 2.

Bevisa identiteten $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Beslut: För att bevisa denna identitet använder vi den första av ovanstående tekniker, nämligen, vi kommer att omvandla vänster sida av identiteten före dess jämlikhet med höger.

Tänk på den vänstra delen av identiteten: $ \\ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) $ - det representerar skillnaden mellan två polynomier. Samtidigt är det första polynomet torget av summan av de tre komponenterna. För konstruktionen av summan av flera termer använder vi formeln:

\\ [((a + b + c)) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \\]

För att göra detta måste vi multiplicera multiplikationen av numret på polynom. Alternativt är det nödvändigt att multiplicera en gemensam multiplikator bakom fästena för varje komponent i den polynomiska stående i parentes. När vi får:

$ 2 (AB + AC + BC) \u003d 2AB + 2AC + 2BC $

Nu tillbaka till det ursprungliga polynomet kommer det att ta formuläret:

$ ((A + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $

Vi noterar att framför konsolen är skylten "-" betyder när de avslöjar parentes, alla tecken som ändrades till motsatta fästen.

$ ((A + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $

Vi kommer att ge liknande villkor, då får vi en $ 2AB $, $ 2AC $, $ \\ 2B $ och $ -2AB $, $ - 2AC $ och $ -2BC $, $ 2AC $, $ -2BC $ är ömsesidigt förstörda, dvs Deras belopp är $ 0 $.

$ ((A + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + 2AB + 2AC + 2BC-2AB-2AC-2BC \u003d A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 $

Så, med identiska omvandlingar, fick vi ett identiskt uttryck på vänster sida av den ursprungliga identiteten

$ ((A + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Observera att det resulterande uttrycket visar att den ursprungliga identiteten är - kort.

Vi noterar att i den ursprungliga identiteten är alla värden av variabeln tillåtna, vilket innebär att vi har bevisat identitet med hjälp av identiska omvandlingar, och det är sant för alla giltiga värden på variabeln.