Den reducerade ekvationen. Lösning av kvadratiska ekvationer: Formula Roots, exempel

Copsevskaya landsbygdens gymnasium

10 sätt att lösa kvadratiska ekvationer

Leader: Patreikeva Galina Anatolyevna,

matematiklärare

s.Kopievo, 2007.

1. Historien om utvecklingen av kvadratiska ekvationer

1.1 kvadratiska ekvationer i antikens babylon

1,2 som svarat och löst Diofant kvadratiska ekvationer

1.3 kvadratiska ekvationer i Indien

1.4 kvadratiska ekvationer i Alcohise

1,5 kvadratiska ekvationer i Europa XIII - XVII århundraden

1.6 Om Vieta-teorem

2. Metoder för att lösa kvadratiska ekvationer

Slutsats

Litteratur

1. Historien om utvecklingen av kvadratiska ekvationer

1.1 kvadratiska ekvationer i antikens babylon

Behovet av att lösa ekvationer, inte bara den första, men också en andra grad i antiken orsakades av behovet av att lösa de uppgifter som är relaterade till platsen för markområden och med jordarbeten av en militär natur, liksom med utvecklingen av astronomi och matematik själv. Kvadratiska ekvationer kunde lösa cirka 2000 år tidigare. e. Babylonian.

Genom att tillämpa en modern algebraisk rekord kan vi säga att i sina klinoxtexter finns det, med undantag för ofullständiga och till exempel fulla fyrkantiga ekvationer:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Att lösa dessa ekvationer som anges i de babyloniska texterna sammanfaller i huvudsak med moderna, men det är inte känt hur Babylonierna nådde denna regel. Nästan alla Clinbow-texter hittades förrän nu, endast uppgifter med beslut som anges i form av recept, utan indikation på hur de hittades.

Trots den höga utvecklingen av algebra i Babylon saknas begreppet negativt antal och allmänna metoder för att lösa kvadratiska ekvationer i klinoxtexter.

1,2 som svarat och löst Diofant kvadratiska ekvationer.

I den "aritmetiska" av Diophanta finns det ingen systematisk presentation av algebraen, men den innehåller ett systematiskt antal uppgifter åtföljda av förklaringar och lösas med framställning av ekvationer av olika grader.

Vid utarbetandet av de diofanta ekvationerna för att förenkla lösningen väljer skickligt okänt.

Här, till exempel, en av hans uppgifter.

Uppgift 11. "Hitta två nummer, vet att deras summa är 20, och arbetet är 96"

Diofant hävdar som följer: från problemets tillstånd följer det att de önskade siffrorna inte är lika, eftersom om de var lika, skulle deras arbete inte vara 96 \u200b\u200boch 100. Således kommer en av dem att vara mer än hälften av deras summa, dvs. 10 + H. Den andra är mindre, d.v.s. 10 - H. . Skillnaden mellan dem 2x .

Därför ekvationen:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Härifrån x \u003d 2. . Ett av de önskade siffrorna är 12 , Övrig 8 . Beslut x \u003d -2. Det finns inte för diophanta, eftersom grekisk matematik bara visste positiva siffror.

Om vi \u200b\u200bbestämmer denna uppgift, väljer vi ett av de önskade siffrorna som ett okänt, kommer vi att lösa ekvationen

y (20 - y) \u003d 96,

i 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Det är uppenbart att Diofant väljer som ett okänt spel av de önskade siffrorna, förenklar beslutet. Han kan minska uppgiften att lösa en ofullständig kvadratisk ekvation (1).

1.3 Kvadratiska ekvationer i Indien

Uppgifterna per kvadratiska ekvationer finns redan i det astronomiska området "Ariabhatti", sammanställd i 499. Indisk matematiker och astronom Ariabhatta. En annan indisk forskare, Brahmagupta (VII-talet), skisserade den allmänna regeln att lösa kvadratiska ekvationerna som ges till en enda kanonisk form:

Ah 2 +. b. x \u003d s, a\u003e 0. (1)

I ekvation (1) koefficienter utom men kan vara negativ. Brahmagupta regeln sammanfaller i huvudsak med vår.

I det antika Indien distribuerades offentliga tävlingar för att lösa svåra uppgifter. I en av de gamla indiska böckerna sägs följande tävlingar om sådana tävlingar: "När solen är glittrande med sina egna stjärnor, så är forskaren överskuggat förfalskningarna av en annan i nationalförsamlingen, erbjuder och löser algebraiska uppgifter." Uppgifterna njuter ofta i en poetisk form.

Här är en av uppgifterna för det kända indiska matematik XII-talet. Bhaskara.

Uppgift 13.

"Stating apor och tolv på Lianam ...

Kraften i den vända, ha kul. Började hoppa, hänga ...

De är i den fyrkantiga delen av den åttonde hur många apor var,

I glade var amused. Berätta du, i den här stacken? "

Beslutet från Bhaskara vittnar om att han visste om fördubblingen av rötterna av kvadratiska ekvationer (fig 3).

Motsvarande uppgift 13 ekvation:

( x. /8) 2 + 12 = x.

Bhaskara skriver under skytten av:

x 2 - 64x \u003d -768

och att komplettera den vänstra delen av denna ekvation till torget tillägger båda delarna 32 2 , få då:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1,4 kvadratiska ekvationer i al - khorezmi

I den algebraiska behandlingen Al-Khorezmi ger klassificeringen av linjära och kvadratiska ekvationer. Författaren innehåller 6 ekvationer, som uttrycker dem enligt följande:

1) "rutor är rötter", d.v.s. Ah 2 + C \u003d b. x.

2) "rutor är lika med numret", d.v.s. ah 2 \u003d s.

3) "Rötterna är lika med numret", d.v.s. ah \u003d s.

4) "rutor och siffror är lika med rötter", d.v.s. AH 2 + C \u003d b. x.

5) "Kvadrater och rötter är lika med numret", d.v.s. AH 2 +. bx. \u003d s.

6) "Rötter och siffror är lika med kvadrater", d.v.s. bx. + C \u003d AH2.

För Al-Khorezmi, undviker användningen av negativa tal, är medlemmarna av var och en av dessa ekvationer komponenterna och inte subtraherade. Samtidigt beaktas det inte självklart de ekvationer som inte har några positiva lösningar. Författaren anger sätt att lösa dessa ekvationer, med hjälp av teknikerna för Al-Jabr och Al-Mukabala. Hans beslut, naturligtvis, sammanfaller inte med vår. Det är redan för att inte tala om att det är rent retoriskt, det bör noteras, till exempel, när man löser en ofullständig kvadratisk ekvation av den första typen

al - Khorezmi, som all matematik fram till XVII-talet, tar hänsyn till nolllösningen, förmodligen eftersom det inte spelar någon roll i specifika praktiska uppgifter. Vid löstning av kompletta kvadratiska al-sysslor på privata numeriska exempel, beskriver bestämmelserna, och sedan geometriska bevis.

Uppgift 14. "Square och nummer 21 är lika med 10 rötter. Hitta root » (Det är förstås som roten till ekvationen x 2 + 21 \u003d 10x).

Beslutet från författaren läser något så här: Vi delar upp antalet rötter, du kommer att få 5, du kommer att föröka sig själv, från en 21 års arbete kommer att förbli 4. Ta bort roten av 4, kommer du att få 2 . ONDE 2 OT5, du får 3, det blir den önskade roten. Eller tillsätt 2 till 5, vilket ger 7, det har också en rot.

Al-Khorezmi-avhandlingen är den första, som kom till den bok där klassificeringen av kvadratiska ekvationer systematiskt satt ut och formlerna ges.

1,5 kvadratiska ekvationer i Europa XIII. - Xvii Bb

Formlerna för att lösa kvadratiska ekvationer för Al-Khorezmi i Europa sattes först i "Abaka-boken", skrivet i 1202 av den italienska matematikern Leonardo Fibonacci. Detta grundliga arbete, som speglar matematikens inflytande, båda länderna i islam och antika Grekland, kännetecknas av både fullständighet och tydlighet i presentationen. Författaren utvecklades självständigt några nya algebraiska exempel på att lösa problem och den första i Europa närmade sig införandet av negativa tal. Hans bok främjade spridningen av algebraisk kunskap, inte bara i Italien, men också i Tyskland, Frankrike och andra europeiska länder. Många utmaningar från "Abaka Book" passerade nästan alla europeiska läroböcker XVI - XVII-århundraden. och delvis XVIII.

Den allmänna regeln att lösa de kvadratiska ekvationerna som ges till samma kanoniska form:

x 2 +. bx. \u003d C,

för alla typer av kombinationer av koefficientskyltar b. , från Det formulerades endast i Europa i 1544 M. Stiffel.

Utgången av formeln för lösningen av den kvadratiska ekvationen i allmänhet finns i Vieta, men Viet erkände endast positiva rötter. Italienska matematiker Tartalia, Kardano, Bombelly bland de första i XVI-talet. Ges, förutom positiva och negativa rötter. Endast i XVII-talet. På grund av Girards arbete, Descartes, Newton och andra forskare, tar metoden för att lösa kvadratiska ekvationer ett modernt utseende.

1.6 Om Vieta-teorem

Teorem som uttrycker förhållandet mellan kabelns koefficienter och dess rötter, som är VIETAs namn, formulerades för första gången år 1591 enligt följande: "Om B. + D. multiplicerat med A. - A. 2 väl Bd. T. A. lika I Och lika D. ».

För att förstå Vieta, bör du komma ihåg det MEN som varje vokalbrev menade att han har ett okänt (vår h.), vokaler I, D. - Koefficienterna vid det okända. På språket i modern algebra ovan betyder formuleringen av Vieta: Om det finns

(A +. b. ) x - x 2 \u003d ab ,

x 2 - (A + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Att uttrycka förhållandet mellan rötterna och koefficienterna för ekvationerna med vanliga formler som registrerats med symboler har visiet satt enhetlighet i metoderna för att lösa ekvationer. Men symboliken av Viet är fortfarande långt ifrån den aktuella arten. Han kände inte igen de negativa siffrorna och för detta, när man löser ekvationerna, endast betraktade fall när alla rötter är positiva.

2. Metoder för att lösa kvadratiska ekvationer

Kvadratiska ekvationer är en grund som den majestätiska byggnaden av algebra vilar. Fyrkantiga ekvationer används i stor utsträckning för att lösa trigonometriska, indikativa, logaritmiska, irrationella och transcendentala ekvationer och ojämlikheter. Vi vet alla hur man löser kvadratiska ekvationer från skolbänken (grad 8) före universitetets slut.

Mål:

• Introducera begreppet en given kvadratisk ekvation;
• "Öppet" beroende mellan rötter och koefficienter för en given kvadratisk ekvation;
• utveckla intresse för matematik, som visar exemplet i Vieta, att matematik kan vara hobbies.

Under klasserna

1. Kontrollera läxor

№ 309 (g) x 1 \u003d 7, x 2 \u003d

№ 311 (g) x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

№ 312 (d) inga rötter

2. Repetition av det studerade materialet

Alla har ett bord. Hitta matchen mellan vänster och höger bord i tabellerna.

Undrar formulering	Bokstavligt uttryck
1. Kvadrate threechests	A. Ah 2 \u003d 0
2. Diskriminering	B. Ah 2 + C \u003d 0, med< 0
3. En ofullständig kvadratisk ekvation som har en rot är lika med 0.	I. D\u003e 0.
4. En ofullständig kvadratisk ekvation, en rot av vilken 0, och den andra är inte lika med 0.	G. D.< 0
5. Inte en komplett kvadratisk ekvation, vars rötter är lika med modulen, men motsätter sig tecknet.	D. AH 2 + WX + C \u003d 0
6. Inte en komplett kvadratisk ekvation som inte har giltiga rötter.	E. D \u003d i 2 + 4as
7. Allmän syn på den kvadratiska ekvationen.	J. x 2 + rh + q \u003d 0
8. tillstånd där den kvadratiska ekvationen har två rötter	Z. AH 2 + VX + med
9. Villkor där den kvadratiska ekvationen inte har rötter	OCH. AH 2 + C \u003d 0, C\u003e 0
10. Det tillstånd där den kvadratiska ekvationen har två lika rötter	TILL. AH 2 + VH \u003d 0
11. Den reducerade kvadratiska ekvationen.	L. D \u003d 0.

Rätt svar ger till bordet.

1-S; 2: a; 3-A; 4-K; 5 b; 6: e; 7-D; 8-in; 9-g; 10-l; 11: e.

3. Fäste materialet som studerats

Bestäm ekvationer:

a) -5x 2 + 8x -3 \u003d 0;

Beslut:

D \u003d 64 - 4 (-5) (- 3) \u003d 4,

x 1 \u003d x 2 \u003d \u003d a + i + c \u003d -5 + 8-3 \u003d 0

b) 2 x 2 + 6x - 8 \u003d 0;

Beslut:

D \u003d 36 - 4 2 (-8) \u003d 100,

x 1 \u003d \u003d x 2 \u003d a + b + c \u003d 2 + 6-8 \u003d 0

c) 2009 x 2 + x - 2010 \u003d 0

Beslut:

a + B + C \u003d 2009 + 1 + (-2010) \u003d 0, sedan x 1 \u003d 1 x 2 \u003d

4. Förlängning av skolan mod

aH 2 + VKH + C \u003d 0, om A + B + C \u003d 0, sedan X 1 \u003d 1 x 2 \u003d

Tänk på lösningen av ekvationer

a) 2x 2 + 5x +3 \u003d 0

Beslut:

D \u003d 25 -24 \u003d 1 x 1 \u003d x 2 \u003d a - b + c \u003d 2-5 + 3 \u003d 0

b) -4x 2 -5x -1 \u003d 0

Beslut:

D \u003d 25 - 16 \u003d 9 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d a-b + c \u003d -4 - (- 5) - 1 \u003d 0

c) 1150x 2 + 1135x -15 \u003d 0

Beslut:

a - B + C \u003d 1150-1135 + (- 15) \u003d 0 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d

aH 2 + VX + C \u003d 0, om A-B + C \u003d 0, sedan x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d

5. Nytt ämne

Kontrollera din första uppgift. Vilka nya begrepp utsträcktes. 11 - Jo, dvs.

Den reducerade kvadratiska ekvationen - x 2 + px + q \u003d 0.

Temat för vår lektion.
Fyll i följande tabell.
Den vänstra kolumnen själva i anteckningsböckerna och en student i styrelsen.
Lösningsekvation aH 2 + WX + C \u003d 0
Höger kolumn, mer beredd student i styrelsen
Lösningsekvation x 2 + px + q \u003d 0, vid a \u003d 1, i \u003d p, c \u003d q

Läraren (om nödvändigt) hjälper, resten i anteckningsböckerna.

6. Praktisk del

X 2 - 6 h. + 8 = 0,	D \u003d 9 - 8 \u003d 1,	x 1 \u003d 3 - 1 \u003d 2	x 2 \u003d 3 + 1 \u003d 4
X 2 + 6 h. + 8 = 0,	D \u003d 9 - 8 \u003d 0,	x 1 \u003d -3 - 1 \u003d -4	x 2 \u003d -3 + 1 \u003d -2
X 2 + 20 h. + 51 = 0,	D \u003d 100 - 51 \u003d 49	x 1 \u003d 10 - 7 \u003d 3	x 2 \u003d 10 + 7 \u003d 17
X 2 - 20 h. – 69 = 0,	D \u003d 100 - 69 \u003d 31

Enligt resultaten av våra beräkningar fyll i tabellen.

Nr. Ekvation	r	x 1+ x 2	q.	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Jämför resultaten erhållna med koefficienterna för kvadratiska ekvationer.
Vilken slutsats kan göras?

7. Historiskt certifikat

För första gången fastställdes beroendet mellan rötterna och koefficienterna för den kvadratiska ekvationen av den berömda franska forskaren Francois Viet (1540-1603).

Francois Viet var i ett yrke till en advokat och arbetade i många år som rådgivare till kungen. Och även om matematik var hans hobby, eller som hobbyen säger, tack vare hans envisa arbete, uppnådde han stora resultat i det. WIETS I 1591 introducerade alfabetisk beteckning för okända och ekvationskoefficienter. Vad gjorde det möjligt att registrera huvudformlerna för rötterna och andra egenskaper hos ekvationen.

Nackdelen med Vieta Algebra var att han bara erkände positiva tal. För att undvika negativa lösningar ersatte den ekvationen eller sökte efter artificiella tekniker för lösningar, vilket tog lång tid, komplicerat lösningen och ledde ofta till fel.

Många olika upptäckter gjorde Vieta, men han själv är mest lämplig för att etablera förhållandet mellan rötterna och koefficienterna i den kvadratiska ekvationen, det vill säga beroendet kallas "Vieta-teorem".

Vi kommer att överväga detta teorem i nästa lektion.

8. Sammanfattning av kunskap

Frågor:

1. Vilken ekvation kallas den givna kvadratiska ekvationen?
2. Vilken formel kan du hitta rötterna på den givna kvadratiska ekvationen?
3. Vad beror på antalet rötter av den givna kvadratiska ekvationen?
4. Vad kallas diskriminering av den givna kvadratiska ekvationen?
5. Hur är rötterna i den nuvarande kvadratiska ekvationen och dess koefficienter?
6. Vem installerade den här anslutningen?

9. Läxa

s. 4,5, №321 (B, E) №322 (A, G, G, S)

Fyll i tabellen.

Ekvationen	Rötter	Summan av rötterna	Produktion av rötter
X 2 - 8x + 7 \u003d 0	1 och 7.	8	7

Litteratur

CENTIMETER. Nikolskyet al., "Algebra 8" Tutorial of the Mgu-School Series - M.: Upplysning, 2007.

"Det vill säga, den första gradens ekvationer. I den här lektionen kommer vi att analysera vad kallas en kvadratisk ekvation Och hur man löser det.

Vad kallas en kvadratisk ekvation

Viktig!

Ekvationens grad bestäms i största möjliga utsträckning där en okänd är.

Om den maximala graden i vilken den okända är "2" betyder det att du är en fyrkantig ekvation.

Exempel på kvadratiska ekvationer

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + X +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Viktig! Den allmänna uppfattningen av den kvadratiska ekvationen ser ut så här:

A x 2 + B x + C \u003d 0

"A", "B" och "C" - specificerade siffror.

• "A" är den första eller senior koefficienten;
• "B" - den andra koefficienten;
• "C" är en ledig medlem.

För att hitta "A", "B" och "C" måste du jämföra din ekvation med en gemensam syn på den kvadratiska ekvationen "AX 2 + BX + C \u003d 0".

Låt oss ta hand om att bestämma koefficienterna "A", "B" och "C" i kvadratiska ekvationer.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7X 2 - 13X + 8 \u003d 0 -X 2 + X +

Ekvationen	Faktorer
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13 c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0,25
• c \u003d 0.

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Hur man löser kvadratiska ekvationer

I motsats till linjära ekvationer för att lösa kvadratiska ekvationer, en speciell formel för att hitta rötter.

Kom ihåg!

För att lösa den kvadratiska ekvationen behöver du:

• skapa en kvadratisk ekvation till den totala typen "AX 2 + BX + C \u003d 0". Det är bara "0" borde förbli i den högra delen.
• använd rotformeln:

Låt oss analysera i exemplet, hur man tillämpar formeln för att hitta rötterna i den kvadratiska ekvationen. Låt den kvadratiska ekvationen.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

Ekvationen "X 2 - 3x - 4 \u003d 0" ges redan till det totala utseendet på "AX 2 + BX + C \u003d 0" och kräver inte ytterligare förenklingar. För att lösa det, har vi nog att ansöka formeln att hitta rötterna på den kvadratiska ekvationen.

Vi definierar koefficienterna "A", "B" och "C" för denna ekvation.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

Med det löses någon kvadratisk ekvation.

I formeln "x 1; 2 \u003d" ersätter ofta det styrda uttrycket
"B 2 - 4ac" på brevet "D" och kallas diskriminering. Begreppet diskriminering anses närmare i lektionen "Vad är det diskriminerande".

Tänk på ett annat exempel på en fyrkantig ekvation.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

I denna form bestämmer koefficienterna "A", "B" och "C" är ganska svårt. Låt oss först ge ekvationen till den allmänna typen "AX 2 + BX + C \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Nu kan du använda rotformeln.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3.
Svar: x \u003d 3

Det finns fall när det inte finns några rötter i kvadratiska ekvationer. Denna situation uppstår när ett negativt tal är under roten.

I det moderna samhället kan förmågan att utföra handlingar med ekvationerna som innehåller variabeln som uppstod till torget vara användbara inom många verksamhetsområden och används i stor utsträckning i praktiken i vetenskaplig och teknisk utveckling. Bevis på detta kan betjäna designen av marina och flodfartyg, flygplan och missiler. Med hjälp av sådana beräkningar, banan på rörelsen hos olika kroppar, inklusive rymdobjekt. Exempel med en lösning av kvadratiska ekvationer används inte bara i ekonomisk prognos, i konstruktion och konstruktion av byggnader, men också i de vanligaste vardagliga omständigheterna. De kan behövas i turistkampanjer, i sport, i shoppingbutiker och i andra mycket vanliga situationer.

Vi bryter uttrycket på multiplikatorernas komponenter

Ekvationens grad bestäms av det maximala värdet av graden i variabeln, som innehåller detta uttryck. I händelse av att det är 2, kallas en sådan ekvation bara kvadrat.

Om formlerna uttrycks, kan de angivna uttrycken, oavsett hur de ser, alltid orsakas av formuläret när den vänstra delen av uttrycket består av tre termer. Bland dem: Ax 2 (det vill säga variabeln uppfördes i en kvadrat med dess koefficient), BX (okänd utan en kvadrat med dess koefficient) och C (fri komponent, det vill säga det vanliga numret). Allt detta på höger sida är lika med 0. I det fall då det inte finns någon av dess komponenter i termerna, med undantag av Ax 2, kallas det en ofullständig kvadratisk ekvation. Exempel med att lösa sådana uppgifter, värdet av variablerna där det är lätt att hitta, bör övervägas först.

Om uttrycket visas i formen ser det på ett sådant sätt att två, mer exakt, ax 2 och bx, är uttrycket på uttrycket på uttrycket på höger sida, lättast att hitta en variabel för parentes. Nu kommer vår ekvation att se ut så här: X (AX + B). Därefter blir det uppenbart att eller x \u003d 0, eller uppgiften reduceras för att hitta en variabel från följande uttryck: AX + B \u003d 0. Den angivna dikterade en av multiplikationsegenskaperna. Regeln säger att produkten av två faktorer ger som ett resultat av 0 endast om en av dem är noll.

Exempel

x \u003d 0 eller 8x - 3 \u003d 0

Som ett resultat får vi två rötter av ekvationen: 0 och 0,375.

Ekvationerna av detta slag kan beskriva rörelsen av kroppar under påverkan av tyngdkraften, som började rörelse från en viss punkt som antogs i början av koordinaterna. Här krävs den matematiska posten följande form: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Att ersätta de nödvändiga värdena, som liknar höger sida 0 och hitta eventuella okända, du kan ta reda på den tid som passerar från kroppens uppkomst till dess fall, liksom många andra värden. Men vi kommer att prata om det senare.

Sönderdelning av uttrycket på multiplikatorerna

Den ovan beskrivna regeln gör det möjligt att lösa de angivna uppgifterna och i mer komplexa fall. Tänk på exempel med att lösa kvadratiska ekvationer av denna typ.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Denna torg trippel är klar. Till att börja med omvandlar vi uttrycket och sönderdelas för multiplikatorer. De erhålls två: (x-8) och (x-25) \u003d 0. Som ett resultat har vi två rötter 8 och 25.

Exempel med lösning av kvadratiska ekvationer i klass 9 tillåter denna metod att hitta en variabel i uttryck, inte bara den andra, men även den tredje och fjärde beställningarna.

Till exempel: 2x 3 + 2x 2-18x-18 \u003d 0. Med sönderdelningen av den högra delen av multiplikatorerna med en variabel, erhålls de tre, det vill säga (x + 1), (x-3) och ( x + 3).

Som ett resultat blir det uppenbart att denna ekvation har tre rötter: -3; -ett; 3.

Extrahera kvadratrot

Ett annat fall av den ofullständiga ekvationen av den andra ordningen är uttrycket, på språket i bokstäverna som presenteras på ett sådant sätt att den högra sidan är byggd från komponenterna i Ax 2 och C. Här, för värdet av variabeln, överförs den fria delen till höger och sedan extraheras en kvadratrot från båda delarna av jämlikhet. Det bör noteras att i detta fall är ekvationens rötter vanligtvis två. Ett undantag kan bara vara lika med jämlikhet, i allmänhet inte innehållande termen C, där variabeln är noll, liksom alternativen för uttryck, när höger sida visar sig vara negativ. I det senare fallet existerar lösningarna inte alls, eftersom ovanstående åtgärd inte kan produceras med rötter. Exempel på lösningar av kvadratiska ekvationer av denna typ måste övervägas.

I detta fall kommer ekvationens rötter att vara -4 och 4.

Beräkning av en markplot

Behovet av sådana beräkningar uppträdde i djup antikvitet, eftersom utvecklingen av matematik i många avseenden i de avlägsna tiderna berodde på behovet av att bestämma områdets mest noggrannhet och omkretsen av markplaner.

Exempel med lösning av kvadratiska ekvationer som utarbetats på grundval av detta slags uppgifter bör anses vara.

Så, låt oss säga att det finns en rektangulär tomt, vars längd är 16 meter mer än bredden. Det bör hittas en längd, bredd och omkrets på platsen, om det är känt att dess område är lika med 612 m 2.

Börjar en fråga, först göra den nödvändiga ekvationen. Beteckna med x bredden på platsen, då kommer dess längd att vara (x + 16). Från det skrivna följer att området bestäms av uttrycket x (x + 16), som enligt villkoret för vårt problem är 612. Det betyder att x (x + 16) \u003d 612.

Lösningen av kompletta kvadratiska ekvationer, och detta uttryck är exakt sådant, kan inte utföras på samma sätt. Varför? Fastän den vänstra sidan av den fortfarande innehåller två faktorer är produkten inte alls lika med 0, så andra metoder används här.

Diskriminerande

Först och främst kommer vi att producera den nödvändiga omvandlingen, då utseendet på detta uttryck kommer att se ut så här: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Det betyder att vi fick ett uttryck i formuläret som motsvarar den tidigare angivna standarden, där A \u003d 1, B \u003d 16, C \u003d -612.

Detta kan vara ett exempel på att lösa kvadratiska ekvationer genom diskriminering. Här görs de erforderliga beräkningarna enligt systemet: D \u003d B 2 - 4Ac. Detta extravärde gör det inte bara möjligt att hitta de önskade värdena i den andra orderekvationen, det bestämmer antalet möjliga alternativ. I fall d\u003e 0 finns det två; När d \u003d 0 finns det en rot. I fall d<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om rötter och deras formel

I vårt fall är diskrimineringen: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Detta tyder på att svaret från vår uppgift existerar. Om du vet, K, måste lösningen av fyrkantiga ekvationer fortsätt med formeln nedan. Det låter dig beräkna rötterna.

Detta innebär att i det fall som presenteras: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Den andra versionen i detta dilemma kan inte vara en lösning, eftersom markens dimensioner inte kan mätas i negativa värden, betyder det att x (dvs. sitens bredd) är 18 m. Härifrån beräknar vi längden: 18 + 16 \u003d 34 och omkrets 2 (34 + 18) \u003d 104 (m ^).

Exempel och mål

Vi fortsätter att studera kvadratiska ekvationer. Exempel och en detaljerad lösning av flera av dem kommer att ges senare.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Vi överför allt till den vänstra delen av jämlikhet, vi kommer att göra en omvandling, det vill säga, vi får formen av ekvationen som kallas standard och utjämnar den med noll.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Efter att ha viks som, definierar vi diskrimineringen: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Så kommer vår ekvation att ha två rötter. Vi beräknar dem enligt ovanstående formel, vilket innebär att den första av dem är 4/3 och den andra.

2) avslöjar nu gåtorna av ett annat slag.

Ta reda på, Finns det några rötter här x 2 - 4x + 5 \u003d 1? För att få ett omfattande svar, ger vi ett polynom till lämplig förtrogenhet och beräknar diskrimineringen. I det angivna exemplet är lösningen av den kvadratiska ekvationen inte nödvändig, eftersom essensen av uppgiften inte alls är. I detta fall, d \u003d 16 - 20 \u003d 4, vilket betyder att det verkligen finns inga rötter.

Vieta teorem

Kvadratiska ekvationer löstes bekvämt genom ovanstående formler och diskriminering när kvadratroten extraheras från det sista värdet. Men det händer inte alltid. Det finns dock många sätt att få variabler i det här fallet. Exempel: Lösningar av kvadratiska ekvationer på Vieta-teorem. Hon är uppkallad efter vilken bodde i XVI-talet i Frankrike och gjorde en strålande karriär på grund av hans matematiska talang och gårdar. Porträtt av det kan ses i artikeln.

Mönstret som den berömda franska noterade var som följer. Han visade att rötterna i ekvationen i mängden är numeriskt lika med -P \u003d B / A, och deras produkt motsvarar Q \u003d C / A.

Tänk nu specifika uppgifter.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

För enkelhet förvandlar vi uttrycket:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Vi använder Vieta-teoret, det kommer att ge oss följande: Mängden av rötterna är -7, och deras arbete -18. Härifrån erhåller vi att ekvationens rötter är nummer -9 och 2. Efter att ha gjort en check, se till att dessa värden på variabler verkligen är lämpliga i uttrycket.

Graf och parabolekvation

Begrepp Den kvadratisk funktion och kvadratiska ekvationerna är nära anslutna. Exempel på detta har redan visats tidigare. Nu överväga några matematiska gåtor lite mer. Eventuell ekvation av den beskrivna typen kan föreställas. Ett liknande beroende som dras i form av ett diagram kallas en parabola. Hennes olika typer visas i figuren nedan.

Varje parabola har ett vertex, det vill säga den punkt från vilken dess grenar kommer ut. Om A\u003e 0 lämnar de högt i oändligheten, och när en<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuella bilder av funktioner hjälper till att lösa alla ekvationer, inklusive torg. Denna metod kallas grafik. Och värdet av variabeln X är koordinatet av abscissen vid punkter där grafen av grafen passerar från 0x. Koordinaterna för vertikalerna kan hittas enligt den givna formeln X 0 \u003d -B / 2A. Och att ersätta det resulterande värdet till den första ekvationen av funktionen, kan du lära dig Y 0, det vill säga den andra koordinaten av pearabol-vertex som tillhör ordinataxeln.

Korsar grenarna av parabolen med abscissaxeln

Exempel med lösningar av kvadratiska ekvationer är väldigt mycket, men det finns allmänna mönster. Tänk på dem. Det är uppenbart att skärningspunkten för grafen med axeln 0x vid a\u003e 0 är endast möjlig om 0 mottar negativa värden. Och för A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Annars d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Enligt diagrammet kan parabolerna definieras och rötter. Det motsatta är också sant. Det är, om du får en visuell bild av en kvadratisk funktion, inte lätt, kan du jämföra den högra sidan av uttrycket till 0 och lösa den erhållna ekvationen. Och att veta korsningspunkterna med 0x-axeln är det lättare att bygga ett schema.

Från historien

Med hjälp av ekvationer som innehåller variabeln som uppstod till torget, gjorde inte bara matematiska beräkningar och bestämde området för geometriska figurer. Liknande beräkningar av de gamla var nödvändiga för stora upptäckter inom fysik och astronomi, liksom att sammanställa astrologiska prognoser.

Eftersom de moderna vetenskapssiffrorna föreslår, bland de första lösningarna av kvadratiska ekvationer, tog boende i Babylon upp. Det hände i fyra århundraden före starten av vår era. Naturligtvis skilde sig deras beräkningar i roten från nu och visade sig vara mycket primitiva. Till exempel hade mesopotamiska matematiker ingen aning om förekomsten av negativa tal. Strangers hade också andra subtiliteter från dem som känner till någon elev i vår tid.

Kanske även tidigare forskare i Babylon, lösningen av kvadratiska ekvationer, var en salvia Budhoyama förlovad. Det hände på cirka åtta århundraden före Kristi era. Det är sant, ekvationen i den andra ordningen, de lösningsmetoder som han ledde var det mest samtidigt. Förutom honom var sådana frågor intresserade av gamla och kinesiska matematiker. I Europa började de kvadratiska ekvationerna bara lösa i det tidiga XIII-talet, men senare användes de i sitt arbete så stora forskare som Newton, Descartes och många andra.

Fyrkantiga ekvationer studeras i klass 8, så det är inget svårt här. Möjligheten att lösa dem är absolut nödvändigt.

Den kvadratiska ekvationen är ekvationen av formen AX 2 + BX + C \u003d 0, där koefficienterna A, B och C är godtyckliga tal och A ^ 0.

Innan vi studerar specifika beslutsmetoder noterar vi att alla kvadratiska ekvationer kan delas upp i tre klasser:

1. Har inte rötter;
2. Har exakt en rot;
3. Har två olika rötter.

Detta är en viktig skillnad mellan kvadratiska ekvationer från linjär, där roten alltid existerar och är unik. Hur man bestämmer hur många rötter har en ekvation? För detta finns det en underbar sak - diskriminerande.

Diskriminerande

Låt den kvadratiska ekvationen AX 2 + BX + C \u003d 0. Då är diskrimineringen bara numret D \u003d B 2 - 4Ac.

Denna formel måste vara känd av hjärtat. Där hon tar - nu spelar det ingen roll. Övrigt Det är viktigt: Det diskriminerande tecknet kan bestämmas hur många rötter har en fyrkantig ekvation. Nämligen:

1. Om d< 0, корней нет;
2. Om d \u003d 0 är det exakt en rot;
3. Om d\u003e 0 kommer det att finnas två rötter.

Observera: Diskriminering anger antalet rötter, och inte alls på deras tecken, som av någon anledning, många anser. Ta en titt på exemplen - och du kommer att förstå allt:

En uppgift. Hur många rötter är kvadratiska ekvationer:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Vi avstöter koefficienterna för den första ekvationen och hitta diskrimineringen:
a \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Så är diskrimineringen positiv, så ekvationen har två olika rötter. På samma sätt demontera den andra ekvationen:
a \u003d 5; B \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminering är negativ, inga rötter. Den sista ekvationen förblir:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminering är noll - roten blir en.

Observera att för varje ekvation utmatades koefficienterna. Ja, det är en lång tid, ja det är en tråkig - men du kommer inte att förvirra koefficienterna och tillåta inte dumma misstag. Välj själv: hastighet eller kvalitet.

Förresten, om du "fyller handen", efter ett tag behöver inte längre skriva alla koefficienter. Sådana operationer som du kommer att utföras i ditt huvud. De flesta börjar att göra det någonstans efter 50-70 lösta ekvationer - i allmänhet, inte så mycket.

Roots Square Equation

Vi vänder nu, faktiskt till beslutet. Om diskriminering d\u003e 0, kan rötter hittas av formler:

Den grundläggande formeln för rötterna av den kvadratiska ekvationen

När D \u003d 0 kan du använda någon av dessa formler - det kommer att bli samma nummer som kommer att vara svaret. Slutligen, om d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Första ekvationen:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Ekvationen har två rötter. Hitta dem:

Andra ekvationen:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Ekvationen har igen två rötter. Vi hittar dem

\\ [\\ Börja (justera) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ vänster (-1 \\ höger)) \u003d - 5; \\\\ & (x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ vänster (-1 \\ höger)) \u003d 3. \\\\ \\ \\ end (justera) \\]

Slutligen, den tredje ekvationen:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Ekvationen har en rot. Du kan använda någon formel. Till exempel, den första:

Som det kan ses från exempel är allt väldigt enkelt. Om du känner till formeln och kunna överväga kommer det inga problem. Oftast uppstår fel under substitution i formeln av negativa koefficienter. Här, igen, mottagaren som beskrivs ovan hjälper: Titta på formeln bokstavligen, måla varje steg - och blir snart av misstag.

Ofullständiga kvadratiska ekvationer

Det händer att den kvadratiska ekvationen är något annorlunda än vad som ges i definitionen. Till exempel:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Det är lätt att se det i dessa ekvationer finns det ingen av villkoren. Sådana kvadratiska ekvationer är ännu enklare än standard: de behöver inte ens överväga diskriminering. Så vi introducerar ett nytt koncept:

Axe 2 + BX + C \u003d 0 ekvation kallas en ofullständig kvadratisk ekvation om b \u003d 0 eller c \u003d 0, dvs. Koefficienten med en variabel X eller det fria elementet är noll.

Naturligtvis är ett helt svårt fall möjligt när båda dessa koefficienter är noll: B \u003d C \u003d 0. I det här fallet tar ekvationen formen axel 2 \u003d 0. Självklart har en sådan ekvation en enda rot: X \u003d 0 .

Tänk på de återstående fallen. Låt b \u003d 0 vara 0, då får vi en ofullständig kvadratisk ekvation av formen AX 2 + C \u003d 0. Vi omvandlar det lite:

Eftersom den aritmetiska kvadratroten existerar bara från ett icke-negativt tal, är den senare jämlikheten att uteslutande vara (-C / A) ≥ 0. Slutsats:

1. Om i en ofullständig kvadratisk ekvation av formen AX 2 + C \u003d 0 utförs ojämlikhet (-C / A) ≥ 0, kommer det att finnas två rötter. Formeln ges ovan;
2. Om (-C / A)< 0, корней нет.

Som du kan se, behövde diskrimineringen inte - i ofullständiga kvadratiska ekvationer finns det ingen komplex dator. Faktum är att det inte är nödvändigt att komma ihåg ojämlikheten (-c / a) ≥ 0. Det är tillräckligt att uttrycka värdet av x 2 och se vad som står på andra sidan jämställdhetsskylten. Om det finns ett positivt tal - kommer rötterna två. Om negativ - rötterna kommer inte att vara alls.

Nu förstår vi med ekvationerna i formuläret AX 2 + BX \u003d 0, där det fria elementet är noll. Allt är enkelt här: Rötterna kommer alltid att vara två. Det är nog att sönderdela ett polynom till multiplikatorer:

Multiplikator för konsol

Arbetet är noll, när minst en av multiplikatorerna är noll. Härifrån finns rötter. Sammanfattningsvis kommer vi att analysera flera sådana ekvationer:

En uppgift. Kvadratiska kvadratiska ekvationer:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Inga rötter, för Kvadraten kan inte vara lika med ett negativt tal.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1,5.