Kvadratisk ekvation - lätt att lösa! * Vidare i texten "KU". Det verkar som om vänner kan vara enklare i matematik än att lösa en sådan ekvation. Men något sa till mig att många har problem med honom. Jag bestämde mig för att se hur många intryck per månad Yandex. Här är vad som hände, ta en titt:

Vad betyder det? Det betyder att cirka 70 000 personer i månaden letar efter denna information, och vad som kommer att hända mitt i läsåret - det kommer att bli dubbelt så många förfrågningar. Detta är inte förvånande, för de killar och tjejer som tog examen från skolan för länge sedan och förbereder sig för Unified State Exam letar efter denna information, och skolbarn försöker också uppdatera den i minnet.

Trots att det finns massor av webbplatser som berättar hur man löser den här ekvationen, bestämde jag mig för att göra min del också och publicera materialet. För det första vill jag att besökare ska komma till min webbplats för denna begäran; för det andra, i andra artiklar, när "KU" -talet kommer, kommer jag att ge en länk till denna artikel; för det tredje kommer jag att berätta lite mer om dess lösning än vad som vanligtvis anges på andra webbplatser. Låt oss börja! Innehållet i artikeln:

En kvadratisk ekvation är en ekvation med formen:

där koefficienterna a,boch med godtyckliga nummer, med en ≠ 0.

I skolkursen ges materialet i följande form - ekvationerna är villkorligt uppdelade i tre klasser:

1. De har två rötter.

2. * Har bara en rot.

3. Har inga rötter. Det är värt att notera här att de inte har några giltiga rötter.

Hur beräknas rötterna? Bara!

Vi räknar ut den diskriminerande. Under detta "fruktansvärda" ord ligger en ganska enkel formel:

Rotformlerna är följande:

* Dessa formler måste kännas utantill.

Du kan genast skriva ner och bestämma:

Exempel:

1. Om D> 0 har ekvationen två rötter.

2. Om D = 0 har ekvationen en rot.

3. Om D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Låt oss titta på ekvationen:

I detta avseende, när diskriminanten är noll, sägs det i skolkursen att en rot erhålls, här är det lika med nio. Allt stämmer, men ...

Denna framställning är något felaktig. Det finns faktiskt två rötter. Ja, ja, bli inte förvånad, det visar sig två lika rötter, och för att vara matematiskt exakt, då ska svaret skrivas två rötter:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det här är så - en liten avvikelse. I skolan kan du skriva ner och säga att det finns en rot.

Nu är nästa exempel:

Som vi vet, roten till negativt tal hämtas inte, så det finns ingen lösning i det här fallet.

Det är hela lösningen.

Kvadratisk funktion.

Så här ser lösningen ut geometriskt. Det är oerhört viktigt att förstå detta (i framtiden kommer vi i en av artiklarna att analysera i detalj lösningen på kvadratisk ojämlikhet).

Detta är en funktion av formuläret:

där x och y är variabler

a, b, c - givna nummer, med a ≠ 0

Diagrammet är en parabel:

Det vill säga det visar sig att genom att lösa den kvadratiska ekvationen med "y" lika med noll hittar vi skärningspunkterna för parabolen med oxaxeln. Det kan finnas två av dessa punkter (den diskriminerande är positiv), en (den diskriminerande är noll) och ingen (den diskriminerande är negativ). Detaljer om kvadratisk funktion Du kan se artikel av Inna Feldman.

Låt oss titta på några exempel:

Exempel 1: Lös 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = –12

* Det var möjligt att omedelbart dela vänster och höger sida av ekvationen med 2, det vill säga för att förenkla den. Beräkningarna blir enklare.

Exempel 2: Besluta x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Vi fick det x 1 = 11 och x 2 = 11

I svaret är det tillåtet att skriva x = 11.

Svar: x = 11

Exempel 3: Besluta x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskrimineraren är negativ, det finns ingen lösning i reella tal.

Svar: ingen lösning

Diskrimineraren är negativ. Det finns en lösning!

Här kommer vi att prata om att lösa ekvationen i fallet när en negativ diskriminant erhålls. Vet du något om komplexa tal? Jag kommer inte att gå in på detaljer här om varför och var de kom ifrån och vad deras specifika roll och behov i matematik är, detta är ett ämne för en stor separat artikel.

Begreppet komplext tal.

Lite teori.

Ett komplext tal z är ett tal i formen

z = a + bi

där a och b är reella tal är i den så kallade imaginära enheten.

a + bi Är ett ENKELT NUMMER, inte tillägg.

Den imaginära enheten är lika med roten till minus ett:

Tänk nu på ekvationen:

Vi fick två konjugerade rötter.

Ofullständig kvadratisk ekvation.

Tänk på speciella fall, detta är när koefficienten "b" eller "c" är lika med noll (eller båda är lika med noll). De löses enkelt utan diskriminering.

Fall 1. Koefficient b = 0.

Ekvationen har formen:

Låt oss förvandla:

Exempel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Fall 2. Koefficient med = 0.

Ekvationen har formen:

Vi omvandlar, faktoriserar:

* Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Exempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 eller x - 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koefficienter b = 0 och c = 0.

Det är klart här att lösningen på ekvationen alltid kommer att vara x = 0.

Användbara egenskaper och mönster för koefficienter.

Det finns egenskaper som låter dig lösa ekvationer med stora koefficienter.

ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet håller

a + b+ c = 0, sedan

- om för ekvationens koefficienter ax 2 + bx+ c=0 jämlikhet håller

a+ c =b, sedan

Dessa egenskaper hjälper till att lösa en viss typ av ekvation.

Exempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summan av oddsen är 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, alltså

Exempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jämställdhet uppfylls a+ c =b, innebär att

Regelbundenheter för koefficienterna.

1. Om i ekvationen ax 2 + bx + c = 0 är koefficienten "b" lika med (a 2 +1) och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter lika

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Exempel. Tänk på ekvationen 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Om i ekvationen ax 2 - bx + c = 0 är koefficienten "b" lika med (a 2 +1), och koefficienten "c" är numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Exempel. Betrakta ekvationen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Om i ekvationen ax 2 + bx - c = 0 koefficient "b" är lika med (a 2 - 1) och koefficienten "c" numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter lika

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Exempel. Tänk på ekvationen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Om i ekvationen ax 2 - bx - c = 0 är koefficienten "b" lika med (a 2 - 1), och koefficienten c är numeriskt lika med koefficienten "a", då är dess rötter

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Exempel. Tänk på ekvationen 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietas sats.

Vietas sats är uppkallad efter den berömda franska matematikern François Vieta. Med Vietas sats kan vi uttrycka summan och produkten av rötterna i ett godtyckligt KE i termer av dess koefficienter.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Totalt ger siffran 14 bara 5 och 9. Det här är rötterna. Med en viss skicklighet, med hjälp av den presenterade satsen, kan du lösa många kvadratiska ekvationer verbalt.

Vietas sats, dessutom. bekvämt genom att efter att ha löst den kvadratiska ekvationen på vanligt sätt (genom diskriminanten) kan de erhållna rötterna kontrolleras. Jag rekommenderar att du gör det hela tiden.

ÖVERFÖRINGSMETOD

Med denna metod multipliceras koefficienten "a" med den fria termen, som om den "kastas" till den, därför kallas den med "överförings" -metoden. Denna metod används när du enkelt kan hitta rötterna till en ekvation med Vietas sats och, viktigast av allt, när diskrimineraren är en exakt kvadrat.

Om a± b + c≠ 0, då används överföringstekniken, till exempel:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Med Vietas sats i ekvation (2) är det lätt att bestämma att x 1 = 10 x 2 = 1

De erhållna rötterna i ekvationen måste divideras med 2 (eftersom två "kastades" från x 2) får vi

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Vad är motiveringen? Se vad som händer.

Skillnaderna i ekvationerna (1) och (2) är lika:

Om du tittar på ekvationernas rötter, erhålls endast olika nämnare, och resultatet beror exakt på koefficienten vid x 2:

De andra (modifierade) rötterna är 2 gånger större.

Därför delar vi resultatet med 2.

* Om vi ​​rullar om en trea så delar vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ye och tentamen.

Jag kommer att säga kort om dess betydelse - DU MÅSTE LÖSA snabbt och utan tvekan, rötternas och diskriminantens formler måste vara kända utantill. Många av de uppgifter som ingår i USE -uppgifterna reduceras till att lösa en kvadratisk ekvation (inklusive geometriska).

Vad är värt att notera!

1. Formen för att skriva ekvationen kan vara "implicit". Till exempel är följande post möjlig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 eller 15 -5x + 10x 2 = 0.

Du måste ta den till en standardformulär (för att inte bli förvirrad när du löser).

2. Kom ihåg att x är en okänd kvantitet och den kan betecknas med valfri annan bokstav - t, q, p, h och andra.

Med detta matteprogram kan du lösa kvadratisk ekvation.

Programmet ger inte bara ett svar på problemet, utan visar också lösningen på två sätt:
- använder den diskriminerande
- med Vietas sats (om möjligt).

Dessutom visas svaret exakt, inte ungefärligt.
Till exempel, för ekvationen \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), visas svaret i denna form:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ och inte så här: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Detta program kan vara användbart för gymnasieelever som förberedelse inför kontroll fungerar och tentor, när du kontrollerar kunskap före tentamen, föräldrar att kontrollera lösningen på många problem i matematik och algebra. Eller kanske är det för dyrt för dig att anlita en handledare eller köpa nya läroböcker? Eller vill du bara göra så snabbt som möjligt läxa i matte eller algebra? I det här fallet kan du också använda våra program med en detaljerad lösning.

På så sätt kan du genomföra din egen utbildning och / eller din egen yngre bröder eller systrar, medan utbildningsnivån inom de problem som löses stiger.

Om du inte är bekant med reglerna för att ange ett fyrkantigt polynom, rekommenderar vi att du gör dig bekant med dem.

Regler för inmatning av ett fyrkantigt polynom

Vilken latinsk bokstav som helst kan användas som en variabel.
Till exempel: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Siffror kan anges som hel- eller bråknummer.
Dessutom kan bråktal anges inte bara i form av en decimal, utan också i form av en vanlig bråkdel.

Regler för att ange decimalbråk.
I decimalbråk kan bråkdelen från helheten separeras med antingen en punkt eller ett komma.
Du kan till exempel skriva in decimaler alltså: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regler för att ange vanliga fraktioner.
Endast ett heltal kan användas som täljare, nämnare och hela delen av en bråkdel.

Nämnaren kan inte vara negativ.

När du anger en numerisk bråkdel är täljaren separerad från nämnaren med ett delningstecken: /
Hel del avskilt från fraktionen med ett ampersand: &
Ingång: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

När du anger ett uttryck fästen kan användas... I detta fall, när man löser en kvadratisk ekvation, förenklas det introducerade uttrycket först.
Till exempel: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)

=0

Besluta

Det visade sig att vissa skript som behövs för att lösa detta problem inte laddades och att programmet kanske inte fungerar.
Kanske har du aktiverat AdBlock.
Inaktivera i så fall den och uppdatera sidan.

JavaScript är inaktiverat i din webbläsare.
För att lösningen ska visas måste du aktivera JavaScript.
Här finns instruktioner om hur du aktiverar JavaScript i din webbläsare.

Eftersom Det är många människor som vill lösa problemet, din förfrågan står i kö.
Efter några sekunder visas lösningen nedan.
Vänta är du snäll sek ...

Om du märkte ett fel i beslutet, då kan du skriva om detta i feedbackformuläret.
Glöm inte ange vilken uppgift du bestämmer och vad ange i fälten.

Våra spel, pussel, emulatorer:

Lite teori.

Kvadratisk ekvation och dess rötter. Ofullständiga kvadratiska ekvationer

Var och en av ekvationerna
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
har formen
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
där x är en variabel är a, b och c tal.
I den första ekvationen a = -1, b = 6 och c = 1,4, i den andra a = 8, b = -7 och c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 och c = 4/9. Sådana ekvationer kallas Kvadratisk ekvation.

Definition.
Kvadratisk ekvationär en ekvation med formen ax 2 + bx + c = 0, där x är en variabel, a, b och c är några tal, och \ (a \ neq 0 \).

Siffrorna a, b och c är koefficienterna för den kvadratiska ekvationen. Talet a kallas den första koefficienten, talet b - den andra koefficienten och talet c - den fria termen.

I var och en av ekvationerna i formen ax 2 + bx + c = 0, där \ (a \ neq 0 \), är variabelns x största kraft fyrkanten. Därav namnet: kvadratisk ekvation.

Observera att en kvadratisk ekvation också kallas en ekvation för den andra graden, eftersom dess vänstra sida är ett polynom av den andra graden.

En kvadratisk ekvation där koefficienten vid x 2 är 1 kallas reducerad kvadratisk ekvation... Till exempel är de reducerade kvadratiska ekvationerna ekvationerna
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Om i den kvadratiska ekvationen ax 2 + bx + c = 0 minst en av koefficienterna b eller c är lika med noll, kallas en sådan ekvation ofullständig kvadratisk ekvation... Så ekvationerna -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 är ofullständiga kvadratiska ekvationer. I den första av dem b = 0, i den andra c = 0, i den tredje b = 0 och c = 0.

Ofullständiga kvadratiska ekvationer är av tre typer:
1) ax 2 + c = 0, där \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, där \ (b \ neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Låt oss överväga lösningen av ekvationer av var och en av dessa typer.

För att lösa en ofullständig kvadratisk ekvation med formen ax 2 + c = 0 för \ (c \ neq 0 \), överför dess fria term till höger sida och dela båda sidorna av ekvationen med a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Högerpil x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)

Eftersom \ (c \ neq 0 \), då \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Om \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), har ekvationen två rötter.

Om \ (- \ frac (c) (a) För att lösa en ofullständig kvadratisk ekvation med formen ax 2 + bx = 0 med \ (b \ neq 0 \) faktor dess vänstra sida till faktorer och erhåll ekvationen
\ (x (ax + b) = 0 \ Högerpil \ vänster \ (\ börja (matris) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ slut (matris) \ höger. \ Högerpil \ vänster \ (\ börja (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

Därför har en ofullständig kvadratisk ekvation med formen ax 2 + bx = 0 för \ (b \ neq 0 \) alltid två rötter.

En ofullständig kvadratisk ekvation med formen ax 2 = 0 är ekvivalent med ekvationen x 2 = 0 och har därför en unik rot 0.

Formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation

Låt oss nu överväga hur kvadratiska ekvationer löses där både koefficienterna för de okända och den fria termen är noll.

Lös den kvadratiska ekvationen i allmän syn och som ett resultat får vi formeln för rötterna. Sedan kan denna formel tillämpas för att lösa alla kvadratiska ekvationer.

Lös den kvadratiska ekvationen ax 2 + bx + c = 0

Genom att dela båda dess delar med a får vi ekvivalent reducerad kvadratisk ekvation
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Vi omvandlar denna ekvation genom att välja kvadraten på binomialet:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vänster (\ frac (b) (2a) \ höger) ^ 2- \ vänster (\ frac (b) (2a) \ höger) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Högerpil \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vänster (\ frac (b) (2a) \ höger) ^ 2 = \ vänster (\ frac (b) (2a) \ höger) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \) \ (\ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (c) (a) \ Högerpil \ vänster (x + \ frac (b) (2a) \ höger) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Högerpil \) \ (x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Rightarrow \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Det radikala uttrycket kallas diskriminanten av den kvadratiska ekvationen ax 2 + bx + c = 0 ("diskriminant" på latin - diskriminator). Det betecknas med bokstaven D, d.v.s.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nu, med hjälp av notering av diskriminanten, skriver vi om formeln för den kvadratiska ekvationens rötter:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), där \ (D = b ^ 2-4ac \)

Det är uppenbart att:
1) Om D> 0, har den kvadratiska ekvationen två rötter.
2) Om D = 0 har den kvadratiska ekvationen en rot \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Om D Den kvadratiska ekvationen kan således, beroende på diskriminantens värde, ha två rötter (för D> 0), en rot (för D = 0) eller inte ha rötter (för D Vid lösning av en kvadratisk ekvation med denna formel, är det lämpligt att fortsätta på följande sätt:
1) beräkna diskrimineraren och jämför den med noll;
2) om diskriminanten är positiv eller lika med noll, använd sedan rotformeln, om diskriminanten är negativ, skriv sedan ner att det inte finns några rötter.

Vietas sats

Den angivna kvadratiska ekvationen ax 2 -7x + 10 = 0 har rötterna 2 och 5. Rotsumman är 7 och produkten är 10. Vi ser att summan av rötterna är lika med den andra koefficienten som tas med motsatsen tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Varje given kvadratisk ekvation som har rötter har denna egenskap.

Summan av rötterna i den givna kvadratiska ekvationen är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen.

De där. Vietas sats säger att rötterna x 1 och x 2 i den reducerade kvadratiska ekvationen x 2 + px + q = 0 har egenskapen:
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

Kvadratiska ekvationer studeras i årskurs 8, så det är inget komplicerat här. Möjligheten att lösa dem är absolut nödvändig.

En kvadratisk ekvation är en ekvation med formen ax 2 + bx + c = 0, där koefficienterna a, b och c är godtyckliga tal och a ≠ 0.

Innan vi studerar specifika metoder för lösning noterar vi att alla kvadratiska ekvationer villkorligt kan delas in i tre klasser:

1. Har inga rötter;
2. Har exakt en rot;
3. De har två olika rötter.

Detta är en viktig skillnad. Kvadratisk ekvation från linjär, där roten alltid finns och är unik. Hur bestämmer du hur många rötter en ekvation har? Det finns en underbar sak för detta - diskriminerande.

Diskriminerande

Låt den kvadratiska ekvationen ax 2 + bx + c = 0. Då är diskriminanten bara talet D = b 2 - 4ac.

Du måste kunna denna formel utantill. Varifrån det kommer - det spelar ingen roll nu. En annan sak är viktig: genom tecknet på den diskriminerande kan du avgöra hur många rötter den kvadratiska ekvationen har. Nämligen:

1. Om D< 0, корней нет;
2. Om D = 0 finns det exakt en rot;
3. Om D> 0 kommer det att finnas två rötter.

Observera: den diskriminerande anger antalet rötter, och inte alls deras tecken, som av någon anledning många tror. Ta en titt på exemplen - så förstår du själv allt:

Uppgift. Hur många rötter har kvadratiska ekvationer:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Låt oss skriva ner koefficienterna för den första ekvationen och hitta den diskriminerande:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Så diskriminanten är positiv, så ekvationen har två olika rötter. Vi analyserar den andra ekvationen på ett liknande sätt:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Diskrimineraren är negativ, det finns inga rötter. Den sista ekvationen kvarstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Den diskriminerande är noll - det kommer att finnas en rot.

Observera att koefficienter har skrivits för varje ekvation. Ja, det är långt, ja, det är tråkigt - men du blandar inte ihop koefficienterna och gör inga dumma misstag. Välj själv: hastighet eller kvalitet.

Förresten, om du "fyller din hand" behöver du efter ett tag inte längre skriva ut alla koefficienter. Du kommer att utföra sådana operationer i ditt huvud. De flesta börjar göra detta någonstans efter att 50-70 ekvationer är lösta - i allmänhet inte så många.

Kvadratiska rötter

Låt oss nu gå vidare till lösningen. Om den diskriminerande D> 0 kan rötterna hittas med formlerna:

Grundformel för rötterna i en kvadratisk ekvation

När D = 0 kan du använda vilken som helst av dessa formler - du får samma nummer, vilket blir svaret. Slutligen, om D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Första ekvationen:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2-4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ ekvationen har två rötter. Låt oss hitta dem:

Andra ekvationen:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ ekvationen har två rötter igen. Låt oss hitta dem

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vänster (-1 \ höger)) = 3. \\ \ end (align) \]

Slutligen, den tredje ekvationen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekvationen har en rot. Vilken formel som helst kan användas. Till exempel den första:

Som du kan se från exemplen är allt väldigt enkelt. Om du känner till formlerna och kan räkna blir det inga problem. Oftast uppstår fel vid ersättning av negativa koefficienter i formeln. Här kommer tekniken som beskrivs ovan att hjälpa: titta på formeln bokstavligen, beskriv varje steg - och snart kommer du att bli av med misstag.

Ofullständiga kvadratiska ekvationer

Det händer att den kvadratiska ekvationen är något annorlunda än vad som ges i definitionen. Till exempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Det är lätt att se att en av termerna saknas i dessa ekvationer. Sådana kvadratiska ekvationer är ännu enklare att lösa än vanliga: de behöver inte ens beräkna diskriminanten. Så, låt oss introducera ett nytt koncept:

Ekvationen ax 2 + bx + c = 0 kallas en ofullständig kvadratisk ekvation om b = 0 eller c = 0, dvs. koefficienten vid variabel x eller fritt element är lika med noll.

Naturligtvis är ett mycket svårt fall möjligt när båda dessa koefficienter är lika med noll: b = c = 0. I detta fall har ekvationen formen ax 2 = 0. Uppenbarligen har en sådan ekvation en enda rot: x = 0.

Låt oss överväga resten av fallen. Låt b = 0, då får vi en ofullständig kvadratisk ekvation av formen ax 2 + c = 0. Låt oss transformera det lite:

Eftersom den aritmetiska kvadratroten bara existerar från ett icke-negativt tal, är den sista jämlikheten meningsfull endast för (−c / a) ≥ 0. Slutsats:

1. Om ojämlikheten (−c / a) ≥ 0 håller i en ofullständig kvadratisk ekvation med formen ax 2 + c = 0 kommer det att finnas två rötter. Formeln ges ovan;
2. Om (−c / a)< 0, корней нет.

Som du kan se krävdes inte diskriminanten - i ofullständiga kvadratiska ekvationer finns inga komplicerade beräkningar alls. I själva verket är det inte ens nödvändigt att komma ihåg ojämlikheten (−c / a) ≥ 0. Det räcker med att uttrycka värdet x 2 och se vad som står på andra sidan av likhetstecknet. Om det finns ett positivt tal kommer det att finnas två rötter. Om det är negativt kommer det inte att finnas några rötter alls.

Låt oss nu ta itu med ekvationer av formen ax 2 + bx = 0, där det fria elementet är lika med noll. Allt är enkelt här: det kommer alltid att finnas två rötter. Det räcker med att ta bort polynomet:

Bracketing är en gemensam faktor

Produkten är noll när minst en av faktorerna är noll. Härifrån är rötterna. Sammanfattningsvis kommer vi att analysera flera sådana ekvationer:

Uppgift. Lös kvadratiska ekvationer:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - ( - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det finns inga rötter, tk. en kvadrat kan inte vara lika med ett negativt tal.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Detta ämne kan verka komplicerat till en början på grund av de många svåra formlerna. Inte bara själva de kvadratiska ekvationerna har långa rekord, utan också rötterna finns genom diskriminanten. Det finns totalt tre nya formler. Det är inte lätt att komma ihåg. Detta är endast möjligt efter frekvent lösning av sådana ekvationer. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.

Allmän uppfattning om den kvadratiska ekvationen

Här föreslås deras tydliga inspelning, när den högsta graden registreras först och sedan i fallande ordning. Det finns ofta situationer när villkoren är ur funktion. Då är det bättre att skriva om ekvationen i minskande ordning av variabelns grad.

Låt oss introducera notationen. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi ​​accepterar dessa beteckningar reduceras alla kvadratiska ekvationer till följande rekord.

Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas med nummer ett.

När ekvationen ges är det inte klart hur många rötter det kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:

• det kommer att finnas två rötter i lösningen;
• svaret är ett nummer;
• ekvationen har inga rötter alls.

Och tills beslutet inte har avslutats är det svårt att förstå vilket av alternativen som faller ut i ett visst fall.

Typer av poster för kvadratiska ekvationer

Uppgifter kan innehålla sina olika poster. De kommer inte alltid att se ut allmän formel kvadratisk ekvation. Ibland kommer det att sakna vissa termer. Det som skrevs ovan är en fullständig ekvation. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annorlunda. Dessa poster kallas också kvadratiska ekvationer, bara ofullständiga.

Dessutom är det bara de termer där koefficienterna "b" och "c" kan försvinna. Talet "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i detta fall blir formeln till en linjär ekvation. Formler för en ofullständig form av ekvationer kommer att vara följande:

Så det finns bara två typer, förutom de fullständiga, finns det också ofullständiga kvadratiska ekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra siffran tre.

Diskriminerande och beroende av antalet rötter på dess värde

Du måste känna till detta nummer för att kunna beräkna ekvationens rötter. Det kan alltid beräknas, oavsett formeln för den kvadratiska ekvationen. För att beräkna diskrimineraren måste du använda jämlikheten som skrivs nedan, som kommer att ha siffran fyra.

När du har ersatt koefficienternas värden i denna formel kan du få tal med olika tecken... Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Om talet är negativt kommer rötterna i den kvadratiska ekvationen att vara frånvarande. Om det är lika med noll blir svaret ett.

Hur löses en fullständig kvadratisk ekvation?

Faktum är att behandlingen av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta den diskriminerande. När det har konstaterats att det finns rötter till den kvadratiska ekvationen och deras antal är känt måste du använda formlerna för variablerna. Om det finns två rötter måste du tillämpa denna formel.

Eftersom det innehåller tecknet "±" kommer det att finnas två värden. Signerat uttryck roten urÄr diskriminerande. Därför kan formeln skrivas om på ett annat sätt.

Formel nummer fem. Samma post visar att om diskriminanten är noll, kommer båda rötterna att ta samma värden.

Om lösningen av kvadratiska ekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan de diskriminerande och variabla formlerna tillämpas. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början finns det förvirring.

Hur löses en ofullständig kvadratisk ekvation?

Allt är mycket enklare här. Det finns inte ens behov av ytterligare formler. Och du behöver inte de som redan har spelats in för diskriminerande och okända.

Tänk först på den ofullständiga ekvationen nummer två. I denna jämlikhet är det tänkt att ta den okända storleken ur parentesen och lösa den linjära ekvationen, som finns kvar inom parentesen. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en faktor som består av variabeln själv. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.

Ofullständig ekvation nummer tre löses genom att överföra talet från ekvationens vänstra sida till höger. Då måste du dividera med faktorn framför det okända. Det återstår bara att extrahera kvadratroten och komma ihåg att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.

Följande är några steg som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av ekvationer som förvandlas till kvadratiska ekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika slarviga misstag. Dessa brister är orsaken dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Kvadratiska ekvationer (årskurs 8)". Därefter behöver dessa åtgärder inte ständigt utföras. För en stabil skicklighet kommer att dyka upp.

• Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den högsta graden av variabeln, och sedan - utan graden och den sista - bara ett tal.

• Om ett minus visas framför koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare att studera kvadratiska ekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all jämlikhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra sitt tecken till det motsatta.

• På samma sätt rekommenderas att bli av med fraktioner. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor för att avbryta nämnarna.

Exempel på

Det krävs för att lösa följande kvadratiska ekvationer:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Den första ekvationen: x 2 - 7x = 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formeln nummer två.

Efter att ha lämnat parenteserna visar det sig: x (x - 7) = 0.

Den första roten tar värdet: x 1 = 0. Den andra kommer att hittas från den linjära ekvationen: x - 7 = 0. Det är lätt att se att x 2 = 7.

Andra ekvationen: 5x 2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Endast det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.

Efter att ha överfört 30 till den högra sidan av jämlikheten: 5x 2 = 30. Nu måste du dela med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir siffror: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Den tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 = 0. Härefter kommer lösningen av kvadratiska ekvationer att börja med att de skrivs om till standardvy: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nu är det dags att använda den andra användbart råd och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 = 0. Enligt den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. Det är ett positivt tal. Av det som sagts ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas med den femte formeln. Det visar sig att x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 = 3, x 2 =-5.

Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x = 0 transformeras till detta: x 2 + 3x + 8 = 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt blir svaret på denna uppgift följande post: "Det finns inga rötter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 bör skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att formeln för diskriminanten har tillämpats erhålls siffran noll. Det betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Den sjätte ekvationen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kräver transformationer, som består i att du måste ta med liknande termer innan du öppnar parenteserna. I stället för det första kommer det att finnas ett sådant uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likvärdigheten kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att sådana termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x = 0. Det blev ofullständigt ... Liknande det har redan ansetts lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.

Vi fortsätter att studera ämnet ” lösa ekvationer". Vi har redan mött linjära ekvationer och går vidare för att bekanta oss med Kvadratisk ekvation.

Först analyserar vi vad en kvadratisk ekvation är, hur den skrivs i allmän form och ger relaterade definitioner. Därefter analyserar vi i detalj hur ofullständiga kvadratiska ekvationer löses. Låt oss sedan gå vidare till lösningen kompletta ekvationer, vi får formeln för rötterna, bekantar oss med den kvadratiska ekvationens diskriminant och överväger lösningarna av typiska exempel. Slutligen, låt oss spåra förhållandet mellan rötter och koefficienter.

Sidnavigering.

Vad är en kvadratisk ekvation? Deras typer

Först måste du tydligt förstå vad en kvadratisk ekvation är. Därför är det logiskt att börja prata om kvadratiska ekvationer med definitionen av en kvadratisk ekvation, liksom relaterade definitioner. Därefter kan du överväga huvudtyperna av kvadratiska ekvationer: reducerade och icke-reducerade, liksom fullständiga och ofullständiga ekvationer.

Definition och exempel på kvadratiska ekvationer

Definition.

Kvadratisk ekvationÄr en ekvation av formen a x 2 + b x + c = 0, där x är en variabel, a, b och c är några tal, och a är noll.

Låt oss direkt säga att kvadratiska ekvationer ofta kallas ekvationer av andra graden. Detta beror på att den kvadratiska ekvationen är algebraisk ekvation andra graden.

Den upplösta definitionen låter dig ge exempel på kvadratiska ekvationer. Så 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, etc. Är kvadratiska ekvationer.

Definition.

Siffrorna a, b och c kallas koefficienterna för den kvadratiska ekvationen a x 2 + b x + c = 0, och koefficienten a kallas den första, eller den högsta, eller koefficienten vid x 2, b är den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, och c är den fria termen.

Låt oss till exempel ta en kvadratisk ekvation av formen 5x2 −2x - 3 = 0, här är den ledande koefficienten 5, den andra koefficienten är −2 och avlyssningen är −3. Observera att när koefficienterna b och / eller c är negativa, som i exemplet precis, används den kort form skriva en kvadratisk ekvation med formen 5 x 2 −2 x- 3 = 0, inte 5 x 2 + (- 2) x + (- 3) = 0.

Det är värt att notera att när koefficienterna a och / eller b är lika med 1 eller −1, så är de vanligtvis inte uttryckligen närvarande i den kvadratiska ekvationen, vilket beror på särdragen i att skriva sådana. Till exempel, i en kvadratisk ekvation y 2 −y + 3 = 0, är ​​den ledande koefficienten en, och koefficienten vid y är −1.

Minskade och oreducerade kvadratiska ekvationer

Minskade och icke-reducerade kvadratiska ekvationer skiljer sig beroende på värdet på den ledande koefficienten. Låt oss ge motsvarande definitioner.

Definition.

En kvadratisk ekvation där den ledande koefficienten är 1 kallas reducerad kvadratisk ekvation... Annars är den kvadratiska ekvationen oreducerat.

Enligt denna definition, kvadratiska ekvationer x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x - 2/3 = 0, etc. - givet, i var och en av dem är den första koefficienten lika med en. Och 5 x 2 −x - 1 = 0, etc. - oreducerade kvadratiska ekvationer, deras ledande koefficienter skiljer sig från 1.

Från en icke-reducerad kvadratisk ekvation genom att dela båda delarna av den med den ledande koefficienten kan du gå till den reducerade. Denna handling är en ekvivalent transformation, det vill säga den reducerade kvadratiska ekvationen som erhålls på detta sätt har samma rötter som den ursprungliga, oreducerade kvadratiska ekvationen, eller, liksom den, har inga rötter.

Låt oss analysera genom exempel hur övergången från en oreducerad kvadratisk ekvation till en reducerad utförs.

Exempel.

Från ekvationen 3 x 2 + 12 x - 7 = 0, gå till motsvarande reducerade kvadratiska ekvation.

Lösning.

Det är tillräckligt för oss att dela båda sidorna av den ursprungliga ekvationen med den ledande faktorn 3, det är icke -noll, så vi kan utföra denna åtgärd. Vi har (3 x 2 + 12 x - 7): 3 = 0: 3, vilket är detsamma, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0 och vidare (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0, varifrån. Så vi fick den reducerade kvadratiska ekvationen, vilket motsvarar den ursprungliga.

Svar:

Kompletta och ofullständiga kvadratiska ekvationer

Definitionen av en kvadratisk ekvation innehåller villkoret a ≠ 0. Detta villkor är nödvändigt för att ekvationen a x 2 + b x + c = 0 ska vara exakt kvadratisk, eftersom det vid a = 0 faktiskt blir en linjär ekvation av formen b x + c = 0.

När det gäller koefficienterna b och c kan de vara noll, både separat och tillsammans. I dessa fall kallas den kvadratiska ekvationen ofullständig.

Definition.

Den kvadratiska ekvationen a x 2 + b x + c = 0 kallas Ofullständig om minst en av koefficienterna b, c är lika med noll.

I tur och ordning

Definition.

Full kvadratisk ekvationÄr en ekvation där alla koefficienter är noll.

Sådana namn ges inte av en slump. Detta kommer att framgå av följande överväganden.

Om koefficienten b är lika med noll, har den kvadratiska ekvationen formen a x 2 + 0 x + c = 0, och det är ekvivalent med ekvationen a x 2 + c = 0. Om c = 0, det vill säga den kvadratiska ekvationen har formen a x 2 + b x + 0 = 0, kan den skrivas om till x 2 + b x = 0. Och med b = 0 och c = 0 får vi den kvadratiska ekvationen a · x 2 = 0. De resulterande ekvationerna skiljer sig från den fullständiga kvadratiska ekvationen genom att deras vänstra sidor inte innehåller antingen en term med variabel x, eller en fri term, eller båda. Därav deras namn - ofullständiga kvadratiska ekvationer.

Så ekvationerna x 2 + x + 1 = 0 och −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 är exempel på fullständiga kvadratiska ekvationer, och x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, - x 2 −5 · x = 0 är ofullständiga kvadratiska ekvationer.

Lösa ofullständiga kvadratiska ekvationer

Av informationen i föregående stycke följer att det finns tre typer av ofullständiga kvadratiska ekvationer:

• a · x 2 = 0, koefficienterna b = 0 och c = 0 motsvarar det;
• a x 2 + c = 0 när b = 0;
• och a x 2 + b x = 0 när c = 0.

Låt oss analysera i ordning hur ofullständiga kvadratiska ekvationer av var och en av dessa typer löses.

a x 2 = 0

Låt oss börja med att lösa ofullständiga kvadratiska ekvationer där koefficienterna b och c är lika med noll, det vill säga med ekvationer med formen a · x 2 = 0. Ekvationen a · x 2 = 0 är ekvivalent med ekvationen x 2 = 0, som erhålls från originalet genom att dela båda delarna av det med ett icke -nollnummer a. Uppenbarligen är roten till ekvationen x 2 = 0 noll, eftersom 0 2 = 0. Denna ekvation har inga andra rötter, vilket förklaras för alla icke -nolltal p, håller ojämlikheten p 2> 0, varifrån det följer att för p ≠ 0 uppnås jämlikheten p 2 = 0 aldrig.

Så den ofullständiga kvadratiska ekvationen a · x 2 = 0 har en enda rot x = 0.

Som ett exempel, låt oss ge lösningen på den ofullständiga kvadratiska ekvationen −4 · x 2 = 0. Det är ekvivalent med ekvationen x 2 = 0, dess enda rot är x = 0, därför har den ursprungliga ekvationen också en unik rotnolla.

En kort lösning i detta fall kan formuleras enligt följande:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Låt oss nu överväga hur ofullständiga kvadratiska ekvationer löses, där koefficienten b är noll, och c ≠ 0, det vill säga ekvationer med formen a · x 2 + c = 0. Vi vet att överföring av en term från en sida av ekvationen till en annan med motsatt tecken, samt att dela båda sidorna av ekvationen med ett icke -nolltal, ger en ekvivalent ekvation. Därför är det möjligt att utföra följande ekvivalenta transformationer av den ofullständiga kvadratiska ekvationen a x 2 + c = 0:

• flytta c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 = −c,
• och dela båda dess delar med a, vi får.

Den resulterande ekvationen gör att vi kan dra slutsatser om dess rötter. Beroende på värdena för a och c kan värdet på uttrycket vara negativt (till exempel om a = 1 och c = 2, då) eller positivt, (till exempel om a = −2 och c = 6 , då), är det inte lika med noll, eftersom hypotesen c ≠ 0. Låt oss granska fallen och.

Om, så har ekvationen inga rötter. Detta uttalande följer av det faktum att kvadraten av valfritt tal är ett icke-negativt tal. Det följer av detta att när, för valfritt tal p, kan likvärdigheten inte vara sann.

Om, då är situationen med ekvationens rötter en annan. I det här fallet, om du kommer ihåg ungefär, blir roten till ekvationen omedelbart uppenbar, det är ett tal sedan. Det är lätt att gissa att numret också är roten till ekvationen. Denna ekvation har inga andra rötter, som till exempel kan visas med den motsägelsefulla metoden. Vi gör det.

Låt oss beteckna rötterna till ekvationen som just lät som x 1 och −x 1. Antag att ekvationen har ytterligare en rot x 2, annorlunda än de angivna rötterna x 1 och −x 1. Det är känt att substitution av dess rötter i en ekvation istället för x förvandlar ekvationen till en verklig numerisk jämlikhet. För x 1 och −x 1 har vi, och för x 2 har vi. Egenskaperna för numeriska likheter gör att vi kan utföra term-för-term subtraktion av sanna numeriska likheter, så att subtrahera motsvarande delar av likheterna ger x 1 2 −x 2 2 = 0. Egenskaperna för handlingar med tal gör att du kan skriva om den resulterande jämlikheten som (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Vi vet att produkten av två tal är noll om och bara om minst ett av dem är noll. Därför följer det av den erhållna jämlikheten att x 1 - x 2 = 0 och / eller x 1 + x 2 = 0, vilket är samma, x 2 = x 1 och / eller x 2 = −x 1. Så här kom vi till en motsättning, eftersom vi i början sa att roten till ekvationen x 2 skiljer sig från x 1 och −x 1. Detta bevisar att ekvationen inte har några andra rötter än och.

Låt oss sammanfatta informationen om detta objekt. Den ofullständiga kvadratiska ekvationen a x 2 + c = 0 är ekvivalent med ekvationen som

• har inga rötter om,
• har två rötter och om.

Tänk på exempel på att lösa ofullständiga kvadratiska ekvationer med formen a · x 2 + c = 0.

Låt oss börja med den kvadratiska ekvationen 9 x 2 + 7 = 0. Efter att den fria termen har överförts till den högra sidan av ekvationen kommer den att ha formen 9 · x 2 = −7. Genom att dela båda sidorna av den resulterande ekvationen med 9 kommer vi fram till. Eftersom ett negativt tal erhålls på höger sida har denna ekvation inga rötter, därför har den ursprungliga ofullständiga kvadratiska ekvationen 9 · x 2 + 7 = 0 inga rötter.

Lös en annan ofullständig kvadratisk ekvation −x 2 + 9 = 0. Flytta nio till höger: −x 2 = −9. Nu delar vi båda sidor med −1, vi får x 2 = 9. På höger sida finns det ett positivt tal, från vilket vi drar slutsatsen att eller. Sedan skriver vi ner det slutliga svaret: den ofullständiga kvadratiska ekvationen −x 2 + 9 = 0 har två rötter x = 3 eller x = −3.

a x 2 + b x = 0

Det återstår att ta itu med lösningen av den sista typen av ofullständiga kvadratiska ekvationer för c = 0. Ofullständiga kvadratiska ekvationer av formen a x 2 + b x = 0 låter dig lösa faktoriseringsmetod... Uppenbarligen kan vi, som ligger på vänster sida av ekvationen, för vilken det räcker att ta bort den gemensamma faktorn x. Detta gör att vi kan gå från den ursprungliga ofullständiga kvadratiska ekvationen till en ekvivalent ekvation med formen x · (a · x + b) = 0. Och denna ekvation motsvarar kombinationen av två ekvationer x = 0 och a x + b = 0, den sista är linjär och har en rot x = −b / a.

Så den ofullständiga kvadratiska ekvationen a x 2 + b x = 0 har två rötter x = 0 och x = −b / a.

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera lösningen på ett specifikt exempel.

Exempel.

Lös ekvationen.

Lösning.

Att flytta x från parentes ger ekvationen. Det motsvarar två ekvationer x = 0 och. Vi löser den resulterande linjära ekvationen :, och utför division blandat antal på vanlig bråkdel, vi hittar. Därför är rötterna i den ursprungliga ekvationen x = 0 och.

Efter att ha fått den nödvändiga praxisen kan lösningarna på sådana ekvationer skrivas kort:

Svar:

x = 0 ,.

Diskriminerande, formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation

Det finns en rotformel för att lösa kvadratiska ekvationer. Låt oss skriva ner kvadratiska formel: , var D = b 2 −4 a c- så kallade kvadratisk diskriminant... Beteckningen betyder i huvudsak att.

Det är användbart att veta hur rotformeln erhölls och hur den tillämpas när man hittar rötterna till kvadratiska ekvationer. Låt oss ta reda på det.

Avledning av formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation

Antag att vi behöver lösa den kvadratiska ekvationen a x 2 + b x + c = 0. Låt oss utföra några likvärdiga transformationer:

• Vi kan dela båda sidorna av denna ekvation med ett icke -nollnummer a, som ett resultat får vi den reducerade kvadratiska ekvationen.
• Nu välj en fullständig ruta på vänster sida :. Efter det kommer ekvationen att ta formen.
• I detta skede är det möjligt att utföra överföringen av de två sista termerna till höger med det motsatta tecknet, vi har.
• Och vi förvandlar också uttrycket på höger sida :.

Som ett resultat kommer vi till en ekvation som motsvarar den ursprungliga kvadratiska ekvationen a x 2 + b x + c = 0.

Vi har redan löst ekvationer med liknande form i föregående stycken när vi analyserade dem. Detta gör att vi kan dra följande slutsatser angående ekvationens rötter:

• om, då har ekvationen inga riktiga lösningar;
• om, då har ekvationen formen, varifrån dess enda rot är synlig;
• om, då eller, som är samma eller, det vill säga, ekvationen har två rötter.

Således är närvaron eller frånvaron av ekvationens rötter, och därmed den ursprungliga kvadratiska ekvationen, beroende av uttrycket på höger sida. I sin tur bestäms tecknet på detta uttryck av täljarens tecken, eftersom nämnaren 4 · a 2 alltid är positiv, det vill säga tecknet för uttrycket b 2 −4 · a · c. Detta uttryck b 2 −4 a c kallades diskriminanten av den kvadratiska ekvationen och märkt med bokstaven D... Av detta är diskriminantens väsen klar - genom dess värde och tecken dras slutsatsen om den kvadratiska ekvationen har verkliga rötter, och i så fall vad är deras nummer - ett eller två.

Återgå till ekvationen, skriv om den med den diskriminerande notationen :. Och vi drar slutsatser:

• om D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• om D = 0, så har denna ekvation en enda rot;
• slutligen, om D> 0, så har ekvationen två rötter eller, som i kraft kan skrivas om i form eller, och efter att vi har expanderat och reducerat fraktionerna till en gemensam nämnare, får vi.

Så vi härledde formler för rötterna i en kvadratisk ekvation, de har formen, där diskriminanten D beräknas med formeln D = b 2 −4 · a · c.

Med deras hjälp, med en positiv diskriminant, kan du beräkna båda verkliga rötterna i den kvadratiska ekvationen. När diskriminanten är lika med noll ger båda formlerna samma rotvärde som motsvarar den enda lösningen av den kvadratiska ekvationen. Och med en negativ diskriminant, när vi försöker använda formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation, står vi inför att extrahera kvadratroten av ett negativt tal, vilket tar oss ur rutan och Läroplanen... Med en negativ diskriminant har den kvadratiska ekvationen inga riktiga rötter, utan har ett par komplext konjugat rötter, som kan hittas med samma rotformler som vi erhållit.

Algoritm för att lösa kvadratiska ekvationer med hjälp av rotformler

I praktiken, när du löser kvadratiska ekvationer, kan du omedelbart använda rotformeln, med vilken du kan beräkna deras värden. Men det här handlar mer om att hitta komplexa rötter.

Men i en skolalgebra, vanligtvis det kommer inte om komplex, utan om verkliga rötter i den kvadratiska ekvationen. I det här fallet är det lämpligt att först hitta den diskriminerande innan du använder formlerna för den kvadratiska ekvationens rötter, se till att den är icke-negativ (annars kan vi dra slutsatsen att ekvationen inte har några verkliga rötter), och först efter som beräknar värdena på rötterna.

Ovanstående resonemang gör att vi kan skriva kvadratisk ekvationslösare... För att lösa den kvadratiska ekvationen a x 2 + b x + c = 0 behöver du:

• med den diskriminerande formeln D = b 2 −4 · a · c beräkna dess värde;
• drar slutsatsen att den kvadratiska ekvationen inte har några verkliga rötter om diskriminanten är negativ;
• beräkna ekvationens enda rot med formeln om D = 0;
• hitta två verkliga rötter i en kvadratisk ekvation med hjälp av rotformeln om diskriminanten är positiv.

Här noterar vi bara att om diskriminanten är lika med noll kan formeln också användas, den kommer att ge samma värde som.

Du kan gå vidare till exempel på hur du använder algoritmen för att lösa kvadratiska ekvationer.

Exempel på att lösa kvadratiska ekvationer

Tänk på lösningar på tre kvadratiska ekvationer med positiva, negativa och noll diskriminanter. Efter att ha behandlat deras lösning kommer det analogt att vara möjligt att lösa alla andra kvadratiska ekvationer. Låt oss börja.

Exempel.

Hitta ekots rötter x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lösning.

I detta fall har vi följande koefficienter för den kvadratiska ekvationen: a = 1, b = 2 och c = −6. Enligt algoritmen måste du först beräkna diskriminanten, för detta ersätter vi det angivna a, b och c i den diskriminerande formeln, vi har D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Eftersom 28> 0, det vill säga att diskriminanten är större än noll, har den kvadratiska ekvationen två verkliga rötter. Vi hittar dem med hjälp av rotformeln, vi får, här kan du förenkla de uttryck som erhålls genom att göra ta bort rotens tecken med den efterföljande minskningen av fraktionen:

Svar:

Låt oss gå vidare till nästa typiska exempel.

Exempel.

Lös den kvadratiska ekvationen −4x2 + 28x - 49 = 0.

Lösning.

Vi börjar med att hitta den diskriminerande: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Därför har denna kvadratiska ekvation en enda rot, som vi finner som, det vill säga

Svar:

x = 3,5.

Det återstår att överväga lösningen av kvadratiska ekvationer med negativ diskriminant.

Exempel.

Lös ekvationen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Lösning.

Här är koefficienterna för den kvadratiska ekvationen: a = 5, b = 6 och c = 2. Vi har satt in dessa värden i den diskriminerande formeln D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskrimineraren är negativ, därför har denna kvadratiska ekvation inga riktiga rötter.

Om du behöver ange komplexa rötter använder vi den välkända formeln för den kvadratiska ekvationens rötter och utför komplexa taloperationer:

Svar:

det finns inga riktiga rötter, komplexa rötter är följande :.

Återigen noterar vi att om den kvadratiska ekvations diskriminant är negativ, skriver de i skolan vanligtvis omedelbart ett svar där de indikerar att det inte finns några riktiga rötter och att komplexa rötter inte hittas.

Rotformel för jämn andra koefficienter

Formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation, där D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Låt oss ta ut det.

Låt oss säga att vi måste lösa en kvadratisk ekvation med formen a x 2 + 2 n x + c = 0. Låt oss hitta sina rötter med hjälp av den formel vi känner till. För att göra detta, beräkna diskriminanten D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), och sedan använder vi formeln för rötter:

Låt oss beteckna uttrycket n 2 - a · c som D 1 (ibland betecknas det med D "). Sedan tar formeln för rötterna i den övervägda kvadratiska ekvationen med den andra koefficienten 2 n formen , där D 1 = n 2 - a · c.

Det är lätt att se att D = 4 · D 1, eller D 1 = D / 4. Med andra ord är Di den fjärde delen av diskriminanten. Det är klart att tecknet på D 1 är detsamma som tecknet på D. Det vill säga, tecknet på Di är också en indikator på närvaron eller frånvaron av rötterna i en kvadratisk ekvation.

Så, för att lösa den kvadratiska ekvationen med den andra koefficienten 2 n, behöver du

• Beräkna D 1 = n 2 −a · c;
• Om D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Om D 1 = 0 beräknar du den enda roten i ekvationen med formeln;
• Om D 1> 0, hitta sedan två riktiga rötter med formeln.

Överväg att lösa ett exempel med hjälp av rotformeln som erhålls i detta stycke.

Exempel.

Lös den kvadratiska ekvationen 5x2 −6x - 32 = 0.

Lösning.

Den andra koefficienten för denna ekvation kan representeras som 2 · (−3). Det vill säga, du kan skriva om den ursprungliga kvadratiska ekvationen i formen 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 = 0, här a = 5, n = −3 och c = −32, och beräkna den fjärde delen av diskriminerande: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Eftersom dess värde är positivt har ekvationen två verkliga rötter. Låt oss hitta dem med motsvarande rotformel:

Observera att det var möjligt att använda den vanliga formeln för rötterna till en kvadratisk ekvation, men i det här fallet måste mer beräkningsarbete utföras.

Svar:

Förenkla synen på kvadratiska ekvationer

Ibland, innan man börjar beräkna rötterna i en kvadratisk ekvation med formler, skadar det inte att ställa frågan: "Är det möjligt att förenkla formen för denna ekvation?" Håller med om att när det gäller beräkningar blir det lättare att lösa kvadratiska ekvationen 11 · x 2 −4 · x - 6 = 0 än 1100 · x 2 −400 · x - 600 = 0.

Vanligtvis uppnås en förenkling av formen för en kvadratisk ekvation genom att multiplicera eller dividera båda delarna av den med något tal. I föregående stycke lyckades vi till exempel förenkla ekvationen 1100x2 −400x - 600 = 0 genom att dela båda sidorna med 100.

En liknande transformation utförs med kvadratiska ekvationer, vars koefficienter inte är det. I detta fall divideras vanligtvis båda sidorna av ekvationen med de absoluta värdena för dess koefficienter. Låt oss till exempel ta den kvadratiska ekvationen 12 x 2 −42 x + 48 = 0. de absoluta värdena för dess koefficienter: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Om vi ​​delar båda sidorna av den ursprungliga kvadratiska ekvationen med 6 kommer vi fram till den ekvivalenta kvadratiska ekvationen 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

Och multiplikationen av båda sidor av den kvadratiska ekvationen görs vanligtvis för att bli av med fraktionskoefficienter. I detta fall utförs multiplikationen av nämnare av dess koefficienter. Om till exempel båda sidorna av den kvadratiska ekvationen multipliceras med LCM (6, 3, 1) = 6, kommer den att anta en enklare form x 2 + 4 x - 18 = 0.

Som avslutning på detta stycke noterar vi att nästan alltid bli av med minus vid den ledande koefficienten för den kvadratiska ekvationen, ändra tecknen på alla termer, vilket motsvarar att multiplicera (eller dela) båda delarna med −1. Till exempel, vanligtvis från den kvadratiska ekvationen −2x2 −3x + 7 = 0 går man över till lösningen 2x2 + 3x - 7 = 0.

Förhållandet mellan rötter och koefficienter för en kvadratisk ekvation

Formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation uttrycker rötterna till en ekvation i termer av dess koefficienter. Baserat på rotformeln kan du få andra beroenden mellan rötterna och koefficienterna.

De mest kända och mest tillämpliga formlerna är från Vietas teorem om formen och. I synnerhet för den givna kvadratiska ekvationen är summan av rötterna lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Till exempel, genom formen av den kvadratiska ekvationen 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kan du omedelbart säga att summan av dess rötter är 7/3, och produkten av rötterna är 22/3.

Med hjälp av de redan skrivna formlerna kan du få ett antal andra samband mellan rötterna och koefficienterna för den kvadratiska ekvationen. Till exempel kan du uttrycka summan av kvadraterna i rötterna i en kvadratisk ekvation genom dess koefficienter :.

Bibliografi.

• Algebra: studie. för 8 cl. Allmän utbildning. institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 16: e upplagan - M .: Utbildning, 2008.- 271 s. : sjuk. -ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8: e klass. Kl. 14 Del 1. Lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11: e upplagan, raderad. - M.: Mnemozina, 2009.- 215 s .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.