Egenskaper för linjära funktionskoefficienter. Gia. Kvadratisk funktion

"Kritiska punkter i funktionen" - Kritiska poäng. Bland kritiska punkter finns det extremt punkter. Obligatoriskt extremt tillstånd. Svar: 2. Definition. Men, om F "(x0) \u003d 0, är \u200b\u200bdet inte nödvändigt att punkten X0 är en extremitetspunkt. Extremum points (repetition). Kritisk punkter funktion av extremitetspunkten.

"Koordinera flygvärdet 6" - Matematik Grade 6. 1. H. 1.Nate och registrera koordinaterna för punkterna A, B, C, D: -6. Koordinatplanet. O. -3. 7. U.

"Funktioner och deras grafer" - kontinuitet. Funktionen den största och minsta funktionen. Begreppet omvänd funktion. Linjär. Logaritmisk. Monoton. Om K\u003e 0, då är vinkeln skarp, om K< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Funktioner 9 klass" - tillåtna aritmetiska åtgärder på funktioner. [+] - Tillägg, [-] - subtraktion, [*] - multiplikation, [:] - division. I sådana fall talar de om den grafiska uppgiften för funktionen. Utbildningsklass av elementära funktioner. Effektfunktionen y \u003d x0.5. Iovleva Maxim Nikolayevich, Student 9 Grad Rmou Raduzhskaya Oosh.

"Lektion ekvation av tangent" - 1. För att klargöra begreppet tangent till funktionen av funktionen. Leibniz ansåg uppgiften att genomföra en tangentiell kurva. Algoritmen för framställning av ekvationen tangent till grafen av funktionen Y \u003d F (x). Ämne Lektion: Test: Hitta en härledd funktion. Ekvation tangent. Flytande. Grad 10. Dechiffrera hur Isaac Newton kallas en derivatfunktion.

"Bygg ett funktionsgraf" - Y \u003d 3cosx-funktionen ges. Funktionsgraf y \u003d m * synd x. Bygg ett diagram över funktionen. Innehåll: Dana Funktion: Y \u003d Sin (X +? / 2). Stretching Graph Y \u003d Cosx längs Y-axeln. För att fortsätta klicka på l. Mus knapp. Funktionen y \u003d cosx + 1 ges. Skjuter grafen y \u003d sinx vertikalt. Funktionen y \u003d 3sinx ges. Skjuter grafen y \u003d cosx horisontellt.

Totalt i ämnet 25 presentationer

Instruktion

Om schemat är en rak linje som passerar genom koordinatens ursprung och en vinkel av a (vinkeln på den raka till den positiva halvaxeln OH). En funktion som beskriver detta direkt kommer att ses y \u003d kx. Förhållandet mellan proportionaliteten K är Tg α. Om Direct passerar genom 2: a och 4: e koordinatkvarteren, då k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 och funktionen ökar. Paus är en rak linje, som är på olika sätt i förhållande till koordinaternas axlar. Detta är en linjär funktion, och den har formen y \u003d kx + b, där variablerna X och Y är i första graden, och K och B kan ta emot både positiva och negativa värden eller noll. Direkt parallell direkt Y \u003d KX och skär av på axeln | B | enheter. Om den raka är parallell med abscissaxeln, då K \u003d 0, om axeln är ordinat, har ekvationen formen X \u003d const.

En kurva bestående av två grenar belägna i olika kvartaler och symmetriska i förhållande till koordinatens ursprung, hyperbole. Denna graf är det inverse beroende av variabeln y från X och beskrivs av Y \u003d K / X-ekvationen. Här är K ≠ 0 proportionalitetskoefficienten. I det här fallet, om K\u003e 0, minskar funktionen; Om K.< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Den kvadratiska funktionen har formen Y \u003d Ax2 + BX + C, där A, B och C-permanenta värden och A ^ 0. När tillståndet utförs B \u003d C \u003d 0, ser funktionsekvationen ut som Y \u003d AX2 ( Det enklaste fallet), och dess schema är en parabola som passerar genom koordinaternas ursprung. Grafen av funktionen Y \u003d AX2 + BX + C har samma form som det enklaste fallet med funktionen, men dess vertex (skärningspunkten med Oy-axeln) är inte i början av koordinaterna.

Parabolen är också ett diagram över en kraftfull funktion uttryckt av ekvationen y \u003d xⁿ om n är något jämnt nummer. Om n är något udda nummer, kommer grafen för en sådan kraftfunktion att ha en slags kubisk parabola.
I fallet har funktionen ekvationen uppfattningen. Grafen av funktionen med en udda n kommer att vara hyperbola, och med jämn ns kommer deras grenar att vara symmetriska i förhållande till OU-axeln.

Tillbaka i skolåren studeras funktionerna i detalj och deras grafik är byggda. Men, tyvärr, läs grafen av funktionen och hitta sin typ på den presenterade ritningen är praktiskt taget inte undervisad. Det är faktiskt ganska enkelt om du kommer ihåg de viktigaste typerna av funktioner.

Instruktion

Om det representerade schemat är, som genom koordinaternas ursprung och med OX-axelns vinkel a (som är en lutningsvinkel direkt till den positiva halvaxeln), kommer den funktionen som beskriver denna direkt att presenteras som Y \u003d KX. I det här fallet är proportionaliteten K lika med tangenten av vinkeln a.

Om den angivna raka linjen passerar genom andra och fjärde koordinatkvarteret, är K 0, och funktionen ökar. Låt det presenterade schemat vara en rak linje, som ligger på något sätt i förhållande till axlarna av koordinater. Då funktionen av detta grafik Det kommer att vara linjärt, som representeras av typen Y \u003d KX + B, där variablerna Y och X står i den första och B och K kan ta både negativa och positiva värden eller.

Om direkt är parallellt med den raka linjen med Y \u003d KX-grafen och skärs ut på den ordinat B-enhetens axel, har ekvationen formen X \u003d const om grafen är parallell med abscissa-axeln, sedan k \u003d 0.

Kurvlinjen, som består av två grenar, symmetriska om koordinatens ursprung och är belägna i olika kvartaler, hyperbole. En sådan diagram visar det inverse beroende av variabeln Y från variabeln X och beskrivs av ekvationen av formen Y \u003d K / X, där K inte skulle vara noll, eftersom det är en koefficient för omvänd proportionalitet. I det här fallet, om värdet K är större än noll, minskar funktionen; Om K är mindre än noll - ökar.

Om det föreslagna schemat är en parabola som passerar genom koordinatens ursprung, kommer dess funktion när man utför tillståndet att b \u003d c \u003d 0, kommer att ha formen y \u003d ax2. Detta är det enklaste fallet med en kvadratisk funktion. Grafen av funktionen av typ Y \u003d AX2 + BX + C kommer att ha samma utseende som det enklaste fallet, men toppen (punkt där schemat skärs med ordinataxeln) kommer inte att vara i början av koordinaterna. I den kvadratiska funktionen, representerad av typ Y \u003d AX2 + BX + C är värdena för värdena hos A, B och C konstanta, utan lika noll.

En parabola kan också vara ett diagram över en kraftfull funktion, en uttalad ekvation av formen y \u003d xⁿ, endast om n är något jämnt nummer. Om värdet n är ett udda nummer, kommer ett sådant diagram över effektfunktionen att representeras av kubisk parabola. Om variabeln n är något negativt tal, förvärvar funktionsekvationen vyn.

Video på ämnet

Koordinaten av absolut vilken punkt som helst på planet bestäms av två dess värden: längs abscissa-axeln och ordinataxeln. En kombination av många sådana punkter och representerar ett diagram över en funktion. Enligt honom ser du hur värdet av y ändras beroende på förändringen i värdet av X. Du kan också bestämma på vilken plats (gap) funktionen ökar och vad som minskar.

Instruktion

Vad kan sägas om funktionen om schemat är en rak linje? Titta, om denna raka linje passerar genom koordinatens ursprungs ursprung (det vill säga den där värdena X och Y är lika med 0). Om den passerar, beskrivs denna funktion av Y \u003d KX-ekvationen. Det är lätt att förstå att ju större värdet av k, desto närmare axeln kommer ordinatet att vara belägna här rakt. Och Y-axeln motsvarar faktiskt ett oändligt stort värde av k.

Uppgifterna för egenskaper och grafer av den kvadratiska funktionen orsakar, som övning visar allvarliga svårigheter. Det är ganska konstigt, eftersom den kvadratiska funktionen hålls i den 8: e klassen, och sedan hela första kvartalet av den 9: e klassen "överlever" egenskaperna hos parabolen och bygger sina grafer för olika parametrar.

Detta beror på det faktum att tvingar studenterna att bygga paraboler, nästan inte betala tid för läsning av diagram, det vill säga att inte utöva förståelsen av den information som erhållits från bilden. Tydligen antas att genom att bygga ett dussin två diagram, kommer en smart schoolboy självständigt att upptäcka och formulera förhållandet mellan koefficienter i formeln och utseendet på grafen. I praktiken fungerar det inte. För en sådan generalisering har en allvarlig erfarenhet av matematiska mini-studier, som de flesta nio kandidater, naturligtvis inte, det. Under tiden föreslår i GIA exakt på schemat för att bestämma tecknen på koefficienter.

Låt oss inte kräva skolbarn omöjligt och bara erbjuder en av algoritmerna för att lösa sådana problem.

Så, formen av formen y \u003d ax 2 + bx + c Det kallas en kvadratisk, schemat är parabola. Som följer av namnet är huvudperioden aX 2.. Dvs men bör inte vara noll, de återstående koefficienterna ( b. och från) kan vara noll.

Låt oss se hur tecknen på dess koefficienter påverkar utseendet på parabolen.

Det enklaste beroendet av koefficienten men. De flesta skolbarn svarar med självsäkerhet: "Om men \u003e 0, då är parabolgrenarna uppåt och om men < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой men > 0.

y \u003d 0,5x 2 - 3x + 1

I detta fall men = 0,5

Och nu för men < 0:

y \u003d - 0,5x2 - 3x + 1

I detta fall men = - 0,5

Påverkan av koefficienten från Också lätt att spåra nog. Föreställ dig att vi vill hitta värdet av funktionen vid punkten h. \u003d 0. Byt noll i formeln:

y. = a. 0 2 + b. 0 + c. = c.. Visar sig det y \u003d s. Dvs från - Detta är ordinatet för skärningspunkten för parabolen med axeln. Som regel är denna punkt lätt att hitta på diagrammet. Och bestämma över noll den ligger eller nedan. Dvs från \u003e 0 eller från < 0.

från > 0:

y \u003d x 2 + 4x + 3

från < 0

y \u003d x 2 + 4x - 3

Följaktligen, om från \u003d 0, då kommer parabolen definitivt att passera genom koordinatens ursprung:

y \u003d x 2 + 4x

Svårare med parametern b.. Den punkt som vi kommer att hitta det beror inte bara från b. Men från men. Detta är toppen av parabolen. Dess abscissa (axelkoordinat h.) finns på formeln x b \u003d - b / (2a). På det här sättet, b \u003d - 2ach in. Det är, vi agerar som följer: På diagrammet hittar vi toppen av parabolen, vi definierar tecknet på dess abscissa, det vill säga vi ser till höger om noll ( x B. \u003e 0) eller vänster ( x B. < 0) она лежит.

Men det här är inte allt. Vi behöver också vara uppmärksam på koefficienten men. Det är, för att se var grenarna av parabolen riktas. Och först efter det med formeln b \u003d - 2ach in Bestämma tecknet b..

Tänk på ett exempel:

Grenar riktas upp, det betyder men \u003e 0, korsar parabolen axeln w. under noll, då från < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x B. \u003e 0. Så b \u003d - 2ach in = -++ = -. b. < 0. Окончательно имеем: men > 0, b. < 0, från < 0.

Tänk på funktionen y \u003d k / y. Grafen av den här funktionen är en rad som heter Math Hyperbole. Allmän syn på hyperboler, som presenteras i figuren nedan. (Grafen visar funktionen Y som är lika med K dividerad med x, där K är lika med en.)

Det kan ses att schemat består av två delar. Dessa delar hänvisar till grenarna av hyperboler. Det är också värt att notera att varje gren av hyperboler är lämplig i en av anvisningarna och närmare och närmare koordinataxlarna. Koordinatens axel i detta fall kallas asymptoter.

I allmänhet är några raka linjer som är föremål för funktionen oändligt närmar sig, men inte når dem, kallas asymptoter. Hyperbolas, som en parabola, det finns symmetriaxel. För hyperboler som visas i figuren ovan är det rakt y \u003d x.

Nu ska vi räkna ut det med två allmänna fall av hyperball. Grafen av funktionen Y \u003d K / X, för K ≠ 0, kommer att vara hyperbola, vars grenar är placerade antingen i de första och tredje koordinat hörnen, vid K\u003e 0 eller i andra och fjärde koordinatvinklarna när<0.

Huvudegenskaperna hos funktionen Y \u003d K / X, när K\u003e 0

Funktionsgraf Y \u003d K / X, när K\u003e 0

5. Y\u003e 0 för x\u003e 0; Y6. Funktionen minskar både på intervallet (-∞; 0) och i intervallet (0; + ∞).

10. Funktionsvärden är två öppna luckor (-∞; 0) och (0; + ∞).

Huvudegenskaperna hos funktionen Y \u003d K / X, när K<0

Funktionsgraf Y \u003d K / X, när K<0

1. Punkt (0; 0) Centrum av symmetriska hyperboler.

2. Koordinaternas axlar - asymptoter av hyperboler.

4. Fältet för att bestämma funktionen av alla X, förutom x \u003d 0.

5. Y\u003e 0 vid X0.

6. Funktionen ökar både på intervallet (-∞; 0) och på intervallet (0; + ∞).

7. Funktionen är inte begränsad till botten, ingen.

8. Funktionen har inte störst eller de minsta värdena.

9. Funktionen är kontinuerlig på intervallet (-∞; 0) och på intervallet (0; + ∞). Den har ett gap vid punkt x \u003d 0.

Definition av linjär funktion

Vi presenterar definitionen av en linjär funktion

Definition

Funktionen av typen $ y \u003d kx + b $, där $ k $ är annorlunda än noll kallad en linjär funktion.

Grafen för den linjära funktionen är rak. Numret $ k $ kallas hörnkoefficienten för direkt.

För $ B \u003d 0 $ kallas den linjära funktionen funktionen av direkt proportionalitet $ Y \u003d KX $.

Tänk på figur 1.

Fikon. 1. Geometrisk mening med vinkelkoefficienten för direkt

Tänk på triangeln ABC. Vi ser att $ flygplan \u003d KX_0 + B $. Vi hittar skärningspunkten Direkt $ Y \u003d KX + B $ med en axel $ OX $:

\ \

Så $ AC \u003d x_0 + \\ frac (b) (k) $. Hitta dessa parters attityd:

\\ [\\ Frac (bc) (AC) \u003d \\ frac (kx_0 + b) (x_0 + \\ frac (b) (k)) \u003d \\ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) \u003d k \\]

Å andra sidan $ \\ frac (BC) (AC) \u003d TG \\ Vinkel A $.

Således kan du dra följande slutsats:

Produktion

Geometrisk mening av koefficienten på $ k $. Hörnkoefficienten för direkt $ k $ är lika med den tangentvinkel som lutar detta direkt till $ OX $-axeln.

Studie av den linjära funktionen $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d kx + b $ och dess schema

Först, överväga funktionen $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d kx + b $, där $ k\u003e 0 $.

1. $ f "\\ vänster (x \\ höger) \u003d (\\ vänster (kx + b \\ höger))" \u003d k\u003e 0 $. Följaktligen ökar denna funktion under hela definitionen. Extremums punkter är inte.
2. $ (\\ Mathop (lim) _ (x \\ to - \\ infty) kx \\) \u003d - \\ infty $, $ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to + \\ infty) kx \\) \u003d + \\ infty $
3. Graf (fig 2).

Fikon. 2. Graferna på funktionen $ y \u003d kx + b $, med $ k\u003e 0 $.

Tänk nu på funktionen $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d kx $, där $ k

1. Definitionsområdet är alla nummer.
2. Värdeområde - Alla nummer.
3. $ F \\ vänster (-x \\ höger) \u003d - kx + b $. Funktionen är varken ens eller udda.
4. På $ x \u003d 0, f \\ vänster (0 \\ höger) \u003d b $. För $ y \u003d 0,0 \u003d kx + b, \\ x \u003d - \\ frac (b) (k) $.

Korsningspunkt med axlar av koordinater: $ \\ vänster (- \\ frac (b) (k), 0 \\ höger) $ och $ \\ vänster (0, \\ b \\ höger) $

1. $ f "\\ vänster (x \\ höger) \u003d (\\ vänster (kx \\ höger))" \u003d k
2. $ F ^ ("") \\ vänster (x \\ höger) \u003d k "\u003d 0 $. Därför har funktionen inte flexionspunkterna.
3. $ (\\ Mathop (lim) _ (x \\ to - \\ infty) kx \\) \u003d + \\ infty $, $ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to + \\ infty) kx \\) \u003d - \\ infty $
4. Graf (bild 3).