Vietas satsformel och exempel på lösningar. Vietas sats: exempel på dess användning vid arbete med kvadratiska ekvationer

Formulering och bevis på Vietas sats för kvadratiska ekvationer. Vietas omvända sats. Vietas sats för kubikekvationer och ekvationer av godtycklig ordning.

Kvadratisk ekvation

Vietas sats

Låt och beteckna rötterna till den reducerade kvadratiska ekvationen
(1) .
Då är summan av rötterna lika med koefficienten vid, taget med motsatt tecken. Produkten av rötterna är lika med den fria termen:
;
.

En anteckning om flera rötter

Om diskriminanten av ekvation (1) är lika med noll, har denna ekvation en rot. Men för att undvika besvärliga formuleringar är det allmänt accepterat att ekvation (1) i detta fall har två multipla eller lika rötter:
.

Ett bevis

Låt oss hitta ekvationens rötter (1). För att göra detta, tillämpa formeln för rötterna i den kvadratiska ekvationen:
;
;
.

Vi hittar summan av rötterna:
.

För att hitta ett verk, tillämpa formeln:
.
Sedan

.

Satsen är bevisad.

Bevis två

Om siffrorna och är rötterna till den kvadratiska ekvationen (1), då
.
Vi utökar parenteserna.

.
Således kommer ekvation (1) att ta formen:
.
Jämförelse med (1) hittar vi:
;
.

Satsen är bevisad.

Vietas omvända sats

Låt det finnas godtyckliga siffror. Sedan och är rötterna till den kvadratiska ekvationen
,
var
(2) ;
(3) .

Bevis på Vietas omvända sats

Tänk på den kvadratiska ekvationen
(1) .
Vi måste bevisa att om och, då är u roten till ekvation (1).

Ersättare (2) och (3) i (1):
.
Vi grupperar termerna på vänster sida av ekvationen:
;
;
(4) .

Ersättare i (4):
;
.

Ersättare i (4):
;
.
Ekvationen är uppfylld. Det vill säga att talet är roten till ekvation (1).

Satsen är bevisad.

Vietas sats för en fullständig kvadratisk ekvation

Tänk nu på den fullständiga kvadratiska ekvationen
(5) ,
var, och det finns några siffror. Dessutom.

Låt oss dela ekvation (5) med:
.
Det vill säga, vi fick den reducerade ekvationen
,
var ; ...

Då har Vietas sats för den fullständiga kvadratiska ekvationen följande form.

Låt och beteckna rötterna i den fullständiga kvadratiska ekvationen
.
Sedan bestäms summan och produkten av rötterna av formlerna:
;
.

Vietas sats för kubikekvationen

På liknande sätt kan vi upprätta förbindelser mellan rötterna i en kubisk ekvation. Tänk på kubikekvationen
(6) ,
där ,,, är några siffror. Dessutom.
Låt oss dela denna ekvation i:
(7) ,
var , , .
Låt ,, vara rötterna till ekvation (7) (och ekvation (6)). Sedan

.

Jämförelse med ekvation (7) hittar vi:
;
;
.

Vietas sats för en ekvation av grad n

På samma sätt kan du hitta sambandet mellan rötterna ,, ... ,, för ekvationen n: a graden
.

Vietas sats för ekvationer av n: a examen har följande form:
;
;
;

.

För att få dessa formler skriver vi ekvationen i följande form:
.
Sedan jämställer vi koefficienterna till ,,, ..., och jämför den fria termen.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Technical Institutions, "Lan", 2009.
CENTIMETER. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: en lärobok för utbildningsinstitutioner i årskurs 8, Moskva, Education, 2006.

I. Vietas sats för den reducerade kvadratiska ekvationen.

Summan av rötterna i den reducerade kvadratiska ekvationen x 2 + px + q = 0är lika med den andra koefficienten, tagen med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.

Hitta rötterna till den reducerade kvadratiska ekvationen med Vietas sats.

Exempel 1) x 2 -x -30 = 0. Denna reducerade kvadratiska ekvation ( x 2 + px + q = 0), den andra koefficienten p = -1 och den fria terminen q = -30. Se först till att den givna ekvationen har rötter och att rötterna (om sådana finns) kommer att uttryckas i heltal. För detta är det tillräckligt att diskriminanten är den perfekta kvadraten i ett heltal.

Hitta den diskriminerande D= b 2 - 4ac = ( - 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .

Nu, enligt Vietas sats, bör summan av rötterna vara lika med den andra koefficienten som tas med motsatt tecken, d.v.s. ( -s), och produkten är lika med den fria termen, dvs. ( q). Sedan:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Vi måste välja två nummer så att deras produkt är lika -30 , och summan är enhet... Det här är siffror -5 och 6 . Svar: -5; 6.

Exempel 2) x 2 + 6x + 8 = 0. Vi har den reducerade kvadratiska ekvationen med den andra koefficienten p = 6 och en gratis medlem q = 8... Låt oss se till att det finns heltalsrötter. Hitta den diskriminerande D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Den diskriminerande D 1 är den perfekta kvadraten av talet 1 därför är denna ekvations rötter heltal. Låt oss välja rötterna enligt Vietas sats: summan av rötterna är lika med –P = -6, och produkten av rötterna är q = 8... Det här är siffror -4 och -2 .

Faktiskt: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Svar: -4; -2.

Exempel 3) x 2 + 2x-4 = 0... I denna reducerade kvadratiska ekvation, den andra koefficienten p = 2 och den fria terminen q = -4... Hitta den diskriminerande D 1 eftersom den andra koefficienten är ett jämnt tal. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskrimineraren är inte en perfekt kvadrat av antalet, därför gör vi det produktion: denna ekvations rötter är inte heltal och kan inte hittas av Vietas sats. Detta betyder att vi löser denna ekvation, som vanligt, med hjälp av formlerna (i det här fallet med hjälp av formlerna). Vi får:

Exempel 4). Gör en kvadratisk ekvation för sina rötter om x 1 = -7, x 2 = 4.

Lösning. Den önskade ekvationen kommer att skrivas i formen: x 2 + px + q = 0, och på grundval av Vietas sats –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Då kommer ekvationen att ta formen: x 2 + 3x-28 = 0.

Exempel 5). Gör en kvadratisk ekvation för sina rötter om:

II. Vietas sats för den fullständiga kvadratiska ekvationen ax 2 + bx + c = 0.

Summan av rötterna är minus b delat med a, produkten av rötterna är med delat med a:

x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.

När man studerar metoder för att lösa andra ordningens ekvationer i en skolalgebra, beaktas egenskaperna hos de erhållna rötterna. De är nu kända som Vietas sats. Exempel på dess användning ges i denna artikel.

Kvadratisk ekvation

Den andra ordningens ekvation är jämlikheten, som visas på bilden nedan.

Här är symbolerna a, b, c några tal som kallas koefficienterna för ekvationen som övervägs. För att lösa en jämlikhet måste du hitta värdena för x som gör den sann.

Observera att eftersom det maximala värdet för den grad till vilken x höjs är två, då är antalet rötter i allmänt fallär också lika med två.

Det finns flera sätt att lösa denna typ av jämlikhet. I den här artikeln kommer vi att överväga en av dem, vilket innebär användning av den så kallade Vieta-satsen.

Formulering av Vietas sats

I slutet av 1500 -talet märkte den berömda matematikern François Viet (franska), som analyserade egenskaperna hos rötterna i olika kvadratiska ekvationer, att vissa kombinationer av dem uppfyller specifika förhållanden. I synnerhet är dessa kombinationer deras produkt och summa.

Vietas sats fastställer följande: rötterna i en kvadratisk ekvation, när de summerar, ger förhållandet mellan linjärens koefficienter till kvadratet taget med motsatt tecken, och när de multipliceras leder de till förhållandet mellan den fria termen till den kvadratiska koefficienten.

Om allmän form ekvationen är skriven enligt bilden i föregående avsnitt artikel, då kan matematiken skrivas i form av två likheter:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Där r 1, r 2 är värdet på ekvationerna i fråga.

Dessa två likheter kan användas för att lösa ett antal mycket olika matematiska problem... Användningen av Vietas sats i exempel med lösningar ges i följande avsnitt i artikeln.

Diskrimineraren, liksom kvadratiska ekvationer, börjar studeras under algebra i åttonde klass. Du kan lösa den kvadratiska ekvationen genom diskriminanten och med Vietas sats. Metoden för att studera kvadratiska ekvationer, liksom de diskriminerande formlerna, är ganska utan framgång inkapslad hos skolelever, som mycket i verklig utbildning. Därför går skolåren, utbildning i årskurs 9-11 ersätter " högre utbildning"och alla tittar igen - "Hur löser man en kvadratisk ekvation?", "Hur hittar jag ekots rötter?", "Hur hittar man den diskriminerande?" och...

Diskriminerande formel

Den diskriminerande D i den kvadratiska ekvationen a * x ^ 2 + bx + c = 0 är lika med D = b ^ 2–4 * a * c.
Rötterna (lösningarna) i den kvadratiska ekvationen beror på tecknet på den diskriminerande (D):
D> 0 - ekvationen har 2 olika verkliga rötter;
D = 0 - ekvationen har 1 rot (2 sammanfallande rötter):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formeln för att beräkna diskriminanten är ganska enkel, så många webbplatser erbjuder en online -diskriminantkalkylator. Vi har inte kommit på den här typen av skript ännu, så vem vet hur man implementerar detta, skriv till posten Den här e -postadressen skyddas från spamrobotar. Du måste aktivera JavaScript för att kunna se det. .

Allmän formel för att hitta rötterna till en kvadratisk ekvation:

Vi hittar ekvationens rötter med formeln
Om koefficienten för variabeln i kvadrat är parad, är det lämpligt att beräkna inte diskriminanten, utan dess fjärde del
I sådana fall återfinns ekvationens rötter med formeln

Det andra sättet att hitta rötter är Vietas sats.

Ett teorem formuleras inte bara för kvadratiska ekvationer, utan också för polynom. Du kan läsa detta på Wikipedia eller andra elektroniska resurser. Men för enkelhetens skull kommer vi att överväga den del av den som gäller de reducerade kvadratiska ekvationerna, det vill säga formens ekvationer (a = 1)
Kärnan i Vietas formler är att summan av ekvationens rötter är lika med variabelns koefficient, taget med motsatt tecken. Produkten av ekvationens rötter är lika med den fria termen. Vietas sats är skriven i formler.
Avledningen av Vietas formel är ganska enkel. Låt oss skriva den kvadratiska ekvationen i termer av primfaktorer
Som du kan se är allt genialt enkelt samtidigt. Det är effektivt att använda Vieta -formeln när skillnaden i rötternas absoluta värde eller skillnaden i rötternas absoluta värden är lika med 1, 2. Följande ekvationer enligt Vietasatsen har till exempel rötter




Upp till 4 ekvationer ska analysen se ut så här. Produkten av ekvationens rötter är 6, därför kan rötterna vara värdena (1, 6) och (2, 3) eller par med motsatt tecken. Summan av rötterna är 7 (variabelns koefficient med motsatt tecken). Därför drar vi slutsatsen att lösningarna för den kvadratiska ekvationen är lika med x = 2; x = 3.
Det är lättare att välja ekvationens rötter bland den fria termens delare och korrigera deras tecken för att uppfylla Vieta -formlerna. I början verkar det svårt att göra, men med övning på ett antal kvadratiska ekvationer kommer denna teknik att vara mer effektiv än att beräkna diskriminanten och hitta rötterna i den kvadratiska ekvationen på det klassiska sättet.
Som du kan se är skolteorin om att studera diskriminanten och sätt att hitta lösningar på ekvationen utan praktisk mening - "Varför behöver skolelever en kvadratisk ekvation?", "Vad är den fysiska betydelsen av diskriminanten?"

Låt oss försöka lista ut det vad beskriver diskriminanten?

Algebra -kursen lär ut funktioner, funktionsstudiediagram och funktionsdiagram. Av alla funktioner upptar en viktig plats en parabel, vars ekvation kan skrivas i formen
Så den fysiska betydelsen av den kvadratiska ekvationen är parabelns nollor, det vill säga skärningspunkterna för funktionens graf med abscissaxeln Ox
Jag ber dig att komma ihåg egenskaperna hos paraboler som beskrivs nedan. Tiden kommer att passera tentor, prov eller inträdesprov och du kommer att vara tacksam för referensmaterialet. Tecknet vid variabeln i kvadraten motsvarar huruvida grenarna av parabeln på grafen går upp (a> 0),

eller en parabel med grenar nedåt (a<0) .

Parabelns toppunkt ligger i mitten mellan rötterna

Diskriminantens fysiska betydelse:

Om diskriminanten är större än noll (D> 0) har parabolen två skärningspunkter med Ox -axeln.
Om diskriminanten är noll (D = 0) berör parabolen vid hörnet abscissaxeln.
Och det sista fallet, när den diskriminerande är mindre än noll (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ofullständiga kvadratiska ekvationer

Innan vi går vidare till Vietas sats, introducerar vi en definition. Formens kvadratiska ekvation x² + px + q= 0 kallas reducerad. I denna ekvation är den ledande koefficienten en. Till exempel ekvationen x² - 3 x- 4 = 0 reduceras. Varje kvadratisk ekvation av formen yxa² + b x + c= 0 kan göras reducerad, för detta delar vi båda sidorna av ekvationen med a≠ 0. Till exempel ekvation 4 x² + 4 x- 3 = 0 genom att dela med 4 reduceras till formen: x² + x- 3/4 = 0. Vi härleder formeln för rötterna i den reducerade kvadratiska ekvationen, för detta använder vi formeln för rötterna i en kvadratisk ekvation med allmän form: yxa² + bx + c = 0

Ekvation reducerad x² + px + q= 0 sammanfaller med en ekvation av allmän form, där a = 1, b = sid, c = q. Därför, för den reducerade kvadratiska ekvationen, har formeln formen:

det sista uttrycket kallas formeln för rötterna i den reducerade kvadratiska ekvationen, det är särskilt bekvämt att använda denna formel när R- jämnt nummer. Låt oss till exempel lösa ekvationen x² - 14 x — 15 = 0

Som svar skriver vi ner ekvationen har två rötter.

För den reducerade kvadratiska ekvationen med positiv är följande sats sann.

Vietas sats

Om x 1 och x 2 - ekvationens rötter x² + px + q= 0, då är följande formler giltiga:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 = q, det vill säga summan av rötterna i den givna kvadratiska ekvationen är lika med den andra koefficienten, tagen med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen.

Baserat på formeln för rötterna i den reducerade kvadratiska ekvationen har vi:

Om vi ​​lägger till dessa likheter får vi: x 1 + x 2 = —R.

Genom att multiplicera dessa likheter med hjälp av formeln för skillnaden i kvadrater får vi:

Observera att Vietas sats också är giltig när diskriminanten är noll, om vi antar att den kvadratiska ekvationen i detta fall har två identiska rötter: x 1 = x 2 = — R/2.

Utan att lösa ekvationerna x² - 13 x+ 30 = 0 hitta summan och produkten av dess rötter x 1 och x 2. denna ekvation D= 169 - 120 = 49> 0, så Vietas sats kan tillämpas: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Tänk på några fler exempel. En av ekvationens rötter x² — px- 12 = 0 är lika x 1 = 4. Hitta koefficient R och den andra roten x 2 i denna ekvation. Enligt Vietas sats x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Eftersom x 1 = 4, sedan 4 x 2 = - 12, varifrån x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Som svar skriver du ner den andra roten x 2 = - 3, koefficient p = - 1.

Utan att lösa ekvationerna x² + 2 x- 4 = 0 hitta summan av kvadraterna i dess rötter. Låt vara x 1 och x 2 - ekvationens rötter. Enligt Vietas sats x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Eftersom x 1 ² + x 2 ² = ( x 1 + x 2) ² - 2 x 1 x 2, då x 1 ² + x 2 ² = (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

Hitta summan och produkten av ekvationernas rötter 3 x² + 4 x- 5 = 0. Denna ekvation har två olika rötter, eftersom diskriminanten D= 16 + 4 * 3 * 5> 0. För att lösa ekvationen använder vi Vietas sats. Denna sats bevisas för den reducerade kvadratiska ekvationen. Därför delar vi denna ekvation med 3.

Därför är summan av rötterna -4/3, och deras produkt är -5/3.

I det allmänna fallet är ekvationens rötter yxa² + b x + c= 0 är relaterade med följande likheter: x 1 + x 2 = — b / a, x 1 * x 2 = c / a, För att erhålla dessa formler är det tillräckligt att dividera båda sidorna av denna kvadratiska ekvation med a ≠ 0 och tillämpa Vietas sats på den resulterande reducerade kvadratiska ekvationen. Tänk på ett exempel, det är nödvändigt att komponera den reducerade kvadratiska ekvationen, vars rötter x 1 = 3, x 2 = 4. Eftersom x 1 = 3, x 2 = 4 - den kvadratiska ekvationens rötter x² + px + q= 0, sedan av Vietas sats R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Som svar skriver vi x² - 7 x+ 12 = 0. Vid lösning av vissa problem tillämpas följande sats.

Det omvända av Vietas sats

Om siffrorna R, q, x 1 , x 2 är sådana x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, då x 1 och x 2- ekvationens rötter x² + px + q= 0. Ersättare i vänster del x² + px + q istället för R uttryck - ( x 1 + x 2), och i stället för q- arbete x 1 * x 2. Vi får: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Alltså, om siffrorna R, q, x 1 och x 2 är relaterade av dessa relationer, då för alla NS jämlikhet håller x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), därav följer det x 1 och x 2 - ekvationens rötter x² + px + q= 0. Med hjälp av en sats omvänd till Vietas sats är det ibland möjligt att hitta rötterna till en kvadratisk ekvation genom selektion. Tänk på ett exempel, x² - 5 x+ 6 = 0. Här R = — 5, q= 6. Låt oss välja två nummer x 1 och x 2 så att x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. När vi märker att 6 = 2 * 3 och 2 + 3 = 5, genom ett teorem som konverserar till Vietas sats, får vi det x 1 = 2, x 2 = 3 - ekvationens rötter x² - 5 x + 6 = 0.