Vad är en exponentiell ekvation? Exempel.

Så, en exponentiell ekvation ... En ny unik utställning på vår gemensamma utställning med en mängd olika ekvationer!) Som det nästan alltid händer är nyckelordet för varje ny matematisk term motsvarande adjektiv som kännetecknar det. Så det är här. Nyckelordet i termen "exponentiell ekvation" är ordet "Indikativ"... Vad betyder det? Detta ord betyder att det okända (x) är när det gäller vilken grad som helst. Och bara där! Detta är oerhört viktigt.

Till exempel sådant enkla ekvationer:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Eller till och med monster så här:

2 sin x = 0,5

Jag ber dig att genast uppmärksamma en viktig sak: in grunder grader (botten) - bara siffror... Men i indikatorer grader (överst) - en mängd olika uttryck med x. Absolut alla.) Allt beror på den specifika ekvationen. Om x plötsligt visas i ekvationen någon annanstans, förutom indikatorn (säg 3 x = 18 + x 2), så kommer en sådan ekvation redan att vara en ekvation blandad typ... Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa. Därför kommer vi inte att överväga dem i den här lektionen. Till elevernas glädje.) Här kommer vi bara att överväga exponentiella ekvationer i en "ren" form.

Generellt sett är till och med rena exponentiella ekvationer långt ifrån lösta tydligt och inte alltid. Men bland alla de många exponentiella ekvationerna finns det vissa typer som kan och bör lösas. Det är dessa typer av ekvationer som vi kommer att överväga. Och vi kommer definitivt att lösa exemplen.) Så låt oss bli bekväma och - iväg! Som i dataskyttar kommer vår resa att ske genom nivåerna.) Från elementärt till enkelt, från enkelt till mellanligt och från mellan till svårt. På vägen hittar du också en hemlig nivå - tekniker och metoder för att lösa icke -standardiserade exempel. De som du inte kommer att läsa om i de flesta skolböcker ... Tja, i slutändan finns det förstås en sista chef i form av läxor.)

Nivå 0. Vad är den enklaste exponentiella ekvationen? Lösning av de enklaste exponentiella ekvationerna.

Till att börja med, överväga några uppriktiga elementära saker. Du måste börja någonstans, eller hur? Till exempel en ekvation som denna:

2 x = 2 2

Även utan några teorier är det tydligt med enkel logik och sunt förnuft att x = 2. Det finns inget annat sätt, eller hur? Ingen annan betydelse av x kommer att göra ... Låt oss nu rikta vår uppmärksamhet till beslutspost denna coola exponentiella ekvation:

2 x = 2 2

X = 2

Vad hände med oss? Och följande hände. Vi tog faktiskt och ... kastade precis ut samma baser (deuces)! Kasta ut helt. Och vad glädjande, träffa tjur!

Ja, verkligen, om den exponentiella ekvationen till vänster och höger innehåller det samma siffror i alla befogenheter, då kan dessa siffror kasseras och helt enkelt jämföra exponenterna. Matematik löser.) Och sedan kan du arbeta separat med indikatorerna och lösa en mycket enklare ekvation. Bra, eller hur?

Detta är nyckeltanken för att lösa någon (ja, vilken som helst!) Exponentiell ekvation: genom att använda identiska transformationer det är nödvändigt att se till att vänster och höger i ekvationen står det samma basnummer i varierande grad. Och då kan du säkert ta bort samma baser och jämföra gradindikatorerna. Och arbeta med en enklare ekvation.

Och nu kommer vi ihåg järnregeln: det är möjligt att ta bort identiska baser om och endast om ekvationen till vänster och till höger är basnumren i stolt ensamhet.

Vad betyder det, i fantastisk isolering? Detta innebär, utan några grannar och koefficienter. Låt mig förklara.

Till exempel i ekvationen

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Du kan inte ta bort trillingarna! Varför? För till vänster har vi inte bara en ensam tre i grad, utan arbete 3 3 x-5. De tre extra kommer i vägen: koefficienten, du vet.)

Detsamma kan sägas om ekvationen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Även här är alla baser desamma - fem. Men till höger har vi inte en ensam grad på fem: det är summan av graderna!

Kort sagt, vi har rätt att ta bort samma baser endast när vår exponentiella ekvation ser ut så här och bara så här:

af (x) = en g (x)

Denna typ av exponentiell ekvation kallas det enklaste... Eller vetenskapligt kanonisk ... Och oavsett vilken vriden ekvation vi har framför oss, kommer vi på ett eller annat sätt att reducera den till denna mycket enkla (kanoniska) form. Eller, i vissa fall, till aggregatet ekvationer av detta slag. Då kan vår enklaste ekvation vara in allmän syn skriva om så här:

F (x) = g (x)

Och det är allt. Detta blir motsvarande konvertering. I detta fall kan absolut alla uttryck med x användas som f (x) och g (x). Något.

Kanske kommer en särskilt nyfiken elev att fråga: varför i helvete slänger vi så enkelt och enkelt samma baser till vänster och höger och jämställer gradindikatorerna? Intuition av intuition, men plötsligt, i någon ekvation och av någon anledning, visar sig detta tillvägagångssätt vara fel? Är det alltid lagligt att slänga ut samma grunder? Tyvärr, för ett noggrant matematiskt svar på denna intressanta fråga, måste man fördjupa sig ganska djupt och allvarligt i den allmänna teorin om funktioners struktur och beteende. Och lite mer specifikt - in i ett fenomen strikt monotoni. I synnerhet den strikta monotoniciteten exponentiell funktiony= yxa... Eftersom det är exponentiell funktion och dess egenskaper ligger till grund för lösningen av exponentiella ekvationer, ja.) Ett detaljerat svar på denna fråga kommer att ges i en särskild speciallektion som ägnas åt att lösa komplexa icke-standardiserade ekvationer med hjälp av monotoniciteten hos olika funktioner.)

Att förklara detta ögonblick i detalj nu är bara att ta ut hjärnan hos den vanliga skolpojken och skrämma honom för tidigt med en torr och tung teori. Jag kommer inte att göra detta.) För vår huvudsakliga är det här ögonblicket uppgift - lär dig att lösa exponentiella ekvationer! Mest, enklast! Därför - tills vi tar ett ångbad och djärvt kastar ut samma baser. den burk, ta mitt ord för det!) Och sedan löser vi ekvivalenten ekvation f (x) = g (x). Typiskt enklare än den ursprungliga indikationen.

Det antas naturligtvis att människor åtminstone kan lösa ekvationerna, redan utan x i indikatorerna, för tillfället.) Vem vet fortfarande inte hur - stäng gärna den här sidan, följ motsvarande länkar och fyll i gamla luckor. Annars kommer du ha svårt, ja ...

Jag är redan tyst om de irrationella, trigonometriska och andra brutala ekvationerna, som också kan dyka upp i processen att eliminera grunderna. Men oroa dig inte, vi tänker inte överväga en direkt plåt i grader: det är för tidigt. Vi tränar endast på de enklaste ekvationerna.)

Låt oss nu titta på ekvationer som kräver lite extra ansträngning för att minska dem till de enklaste. För skillnadens skull, låt oss kalla dem enkla exponentiella ekvationer... Så låt oss gå till nästa nivå!

Nivå 1. Enkla exponentiella ekvationer. Vi känner igen graderna! Naturliga indikatorer.

De viktigaste reglerna för att lösa eventuella exponentiella ekvationer är maktregler... Utan denna kunskap och färdigheter kommer ingenting att fungera. Ack. Så om du har problemets grader är du först välkommen. Dessutom kommer vi att behöva mer. Dessa transformationer (så många som två!) Är grunden för att lösa alla ekvationer av matematik i allmänhet. Och inte bara vägledande. Så, som har glömt, ta också en promenad på länken: Jag lägger dem av en anledning.

Men handlingar med grader och identiska transformationer räcker inte ensam. Du behöver också personlig observation och uppfinningsrikedom. Vi behöver samma skäl, eller hur? Så vi undersöker exemplet och letar efter dem i en uttrycklig eller förklädd form!

Till exempel en ekvation som denna:

3 2 x - 27 x +2 = 0

Första titt på stiftelser... De är olika! Tre tjugosju. Men det är för tidigt att få panik och förtvivlan. Det är dags att komma ihåg det

27 = 3 3

Nummer 3 och 27 är släktingar i examen! Och anhöriga.) Därför har vi all rätt att skriva:

27 x +2 = (3 3) x + 2

Och nu kopplar vi ihop vår kunskap om handlingar med grader(och jag varnade dig!). Det finns en mycket användbar formel där:

(a m) n = a mn

Om du startar det nu, i allmänhet blir det bra:

27 x +2 = (3 3) x +2 = 3 3 (x +2)

Det ursprungliga exemplet ser nu ut så här:

3 2 x - 3 3 (x +2) = 0

Bra, botten av graderna har planat ut. Vilket är vad vi ville. Halva striden är klar.) Och nu startar vi den grundläggande identitetstransformationen - flytta 3 3 (x +2) åt höger. Ingen avbröt matematikens elementära åtgärder, ja.) Vi får:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Vad ger denna typ av ekvation oss? Och det faktum att nu min ekvation minskar till kanonisk form: till vänster och till höger är samma nummer (trillingar) i makter. Dessutom är båda trillingarna i utmärkt isolering. Ta gärna bort trillingarna och få:

2x = 3 (x + 2)

Vi löser detta och får:

X = -6

Det är allt som finns. Detta är det rätta svaret.)

Och nu förstår vi beslutets gång. Vad räddade oss i det här exemplet? Vi räddades av kunskapen om de tre graderna. Hur exakt? Vi identifierade i nummer 27 krypterade tre! Detta trick (kryptering av samma bas under olika nummer) är ett av de mest populära inom exponentiella ekvationer! Om inte den mest populära. Och på samma sätt, förresten. Det är därför som observation och förmågan att känna igen andra talers makt i exponentialekvationer är så viktiga i exponentialekvationer!

Praktiskt råd:

Du måste veta graden av populära nummer. I ansiktet!

Naturligtvis kan alla höja en tvåa till den sjunde eller tre till den femte. Inte i mitt sinne, så åtminstone på ett utkast. Men i exponentiella ekvationer är det mycket oftare nödvändigt att inte höja till en makt, utan tvärtom - för att ta reda på vilket antal och i vilken utsträckning som är dolt bakom ett tal, säg 128 eller 243. Och detta är mer komplicerat än en enkel konstruktion måste du hålla med om. Känn skillnaden, som de säger!

Eftersom förmågan att känna igen grader i ansiktet kommer att vara till nytta inte bara på denna nivå, utan också på nästa, här är en liten uppgift för dig:

Bestäm vilka befogenheter och vilka siffror som är tal:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Svar (slumpmässigt, naturligt):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Jaja! Bli inte förvånad över att det finns fler svar än uppgifter. Till exempel är 2 8, 4 4 och 16 2 alla 256.

Nivå 2. Enkla exponentiella ekvationer. Vi känner igen graderna! Negativa och fraktionerade indikatorer.

På denna nivå använder vi redan vår kunskap om grader till fullo. Vi involverar nämligen negativa och fraktionella indikatorer i denna fascinerande process! Jaja! Vi måste bygga upp kraft, eller hur?

Till exempel den här läskiga ekvationen:

Återigen är den första blicken vid grunderna. Grunderna är olika! Och den här gången, till och med på avstånd från varandra! 5 och 0,04 ... Och för att eliminera grunderna behöver du samma ... Vad ska jag göra?

Det är ok! Faktum är att allt är detsamma, bara kopplingen mellan de fem och 0,04 är visuellt dåligt synlig. Hur kommer vi ut? Och låt oss gå vidare med talet 0,04 till vanlig bråkdel! Och där ser du att allt kommer att bildas.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Det visar sig att 0,04 är 1/25! Tja, vem skulle ha trott!)

Hur är det? Är det lättare att se sambandet mellan 5 och 1/25 nu? Det är allt ...

Och nu, enligt handlingsreglerna med befogenheter med negativ indikator du kan skriva ner med en fast hand:

Det är toppen. Så vi kom till samma bas - femmor. Nu ersätter vi det obekväma talet 0,04 i ekvationen med 5 -2 och vi får:

Återigen, enligt reglerna för hantering av befogenheter, kan du nu skriva:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

För säkerhets skull påminner jag (plötsligt, vem vet inte) om det grundläggande regler handlingar med befogenheter gäller några indikatorer! Inklusive för negativa.) Så vi kan säkert ta och multiplicera indikatorerna (-2) och (x-1) enligt lämplig regel. Vår ekvation fortsätter att bli bättre och bättre:

Allt! Förutom de ensamma femmorna i graderna till vänster och till höger finns det inget annat. Ekvationen reduceras till den kanoniska formen. Och sedan - längs det räfflade spåret. Vi tar bort femorna och likställer indikatorerna:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Exemplet är nästan löst. Den elementära matematiken för medelklasserna kvarstår - vi öppnar (höger!) Parenteserna och samlar allt till vänster:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Vi löser detta och får två rötter:

x 1 = 1; x 2 = 3

Det är allt.)

Låt oss nu tänka om. I det här exemplet måste vi igen känna igen samma tal i varierande grad! Nämligen - för att se de krypterade femman i talet 0,04. Och den här gången - in negativ grad! Hur gjorde vi det? På resande fot - ingenting. Men efter övergången från en decimalfraktion på 0,04 till en vanlig bråkdel av 1/25 var allt markerat! Och sedan gick hela beslutet som ett urverk.)

Därför ytterligare ett grönt praktiskt råd.

Om decimalfraktioner finns i den exponentiella ekvationen går vi från decimalfraktioner till vanliga. V vanliga fraktioner det är mycket lättare att känna igen krafterna hos många populära nummer! Efter erkännande går vi från fraktioner till makter med negativa exponenter.

Tänk på att ett sådant trick i exponentiella ekvationer förekommer väldigt, väldigt ofta! Och personen är inte i ämnet. Han tittar till exempel på siffrorna 32 och 0,125 och är upprörd. Okänt för honom är detta en och samma duuc, bara i olika grader ... Men du är redan i ämnet!)

Lös ekvationen:

I! Det ser ut som en tyst skräck ... Men utseende bedrar. Detta är den enklaste exponentiella ekvationen, trots dess skrämmande utseende... Och nu ska jag visa dig.)

Först behandlar vi alla siffror som sitter i baserna och i koefficienterna. De är naturligtvis olika, ja. Men vi tar fortfarande risken och försöker göra dem det samma! Låt oss försöka komma till samma antal i olika grader... Och helst antalet minsta möjliga. Så, låt oss börja dekryptera!

Tja, med en fyra är allt klart på en gång - det är 22. Så, redan något.)

Med en bråkdel av 0,25 - är det ännu inte klart. Det är nödvändigt att kontrollera. Vi använder ett praktiskt råd - vi går från decimalbråk till en vanlig:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mycket bättre. För närvarande är det redan klart synligt att 1/4 är 2 -2. Bra, och siffran 0,25 liknade också en tvåa.)

Än så länge är allt bra. Men det värsta antalet finns kvar - kvadratroten av två! Och vad ska man göra med denna peppar? Kan den också representeras som en makt av två? Och vem vet ...

Återigen klättrar vi in ​​i vår skattkammare av kunskaper om grader! Den här gången kopplar vi dessutom ihop vår kunskap om rötterna... Från 9: e klassens kurs borde du och jag ha lärt oss att varje rot, om så önskas, alltid kan förvandlas till en examen med en fraktionell exponent.

Så här:

I vårat fall:

Hur! Det visar sig att kvadratroten av två är 2 1/2. Det är allt!

Det är okej! Alla våra obekväma nummer visade sig faktiskt vara en krypterad tvåa.) Jag argumenterar inte, någonstans mycket sofistikerat krypterad. Men även vi förbättrar vår professionalism när det gäller att lösa sådana chiffer! Och då är allt redan uppenbart. Vi ersätter i vår ekvation siffrorna 4, 0,25 och roten av två med tvåmakter:

Allt! Grunderna för alla grader i exemplet blev desamma - två. Och nu används standardåtgärderna med befogenheter:

en mett = en m + n

a m: a n = a m-n

(a m) n = a mn

För vänster sida får du:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

För höger sida kommer det att vara:

Och nu ser vår onda ekvation ut så här:

Vem har inte förstått exakt hur denna ekvation kom till, då handlar frågan inte om exponentiella ekvationer. Frågan handlar om handlingar med grader. Jag bad dig att omgående upprepa det för dem som har problem!

Här är hemmaplan! Den kanoniska formen för den exponentiella ekvationen erhålls! Hur är det? Har jag övertygat dig om att allt inte är så skrämmande? ;) Vi tar bort deuces och likställer indikatorerna:

Det återstår bara att lösa denna linjära ekvation. Hur? Med hjälp av identiska transformationer, uppenbarligen.) Gör det, vad som redan finns! Multiplicera båda delarna med två (för att ta bort fraktionen 3/2), överför termer med x till vänster, utan x till höger, ta med liknande, räkna - så blir du glad!

Allt ska bli vackert:

X = 4

Och nu förstår vi igen beslutets gång. I det här exemplet fick vi hjälp av övergången från roten ur Till grad med exponent 1/2... Dessutom var det bara en sådan listig förändring som hjälpte oss överallt att nå samma bas (två), vilket räddade situationen! Och, om inte för det, då skulle vi ha alla chanser att frysa för alltid och aldrig klara detta exempel, ja ...

Därför försummar vi inte ett annat praktiskt råd:

Om den exponentiella ekvationen innehåller rötter, går vi från rötterna till makter med fraktionerade exponenter. Mycket ofta är det bara en sådan omvandling som klargör den fortsatta situationen.

Naturligtvis är negativa och fraktionerade grader redan mycket mer komplicerade än naturliga grader. Åtminstone ur synvinkeln och framför allt igenkänning från höger till vänster!

Det är klart att direkt höjning av exempelvis två till -3 -effekten eller fyra till -3/2 -effekten inte är ett så stort problem. För de som vet.)

Men gå till exempel, räkna ut det direkt

0,125 = 2 -3

Eller

Här gäller bara övning och rik erfarenhet, ja. Och, naturligtvis, en tydlig idé, vad är negativ och bråkgrad. Och - praktiskt råd! Ja, ja, de där grön.) Jag hoppas att de fortfarande kommer att hjälpa dig att bättre navigera i alla brokiga grader och kommer att öka dina chanser att lyckas avsevärt! Så försumma dem inte. Jag är inte förgäves grön Jag skriver ibland.)

Men om du blir bekant även med sådana exotiska grader som negativ och fraktionell, kommer dina möjligheter att lösa exponentiella ekvationer att expandera enormt, och du kommer redan att kunna hantera nästan alla typer av exponentiella ekvationer. Tja, om inte någon, då 80 procent av alla exponentiella ekvationer - säkert! Ja, jag skojar inte!

Så vår första del av att lära känna de exponentiella ekvationerna har kommit till sin logiska slutsats. Och som ett mellanträning föreslår jag traditionellt att du gör lite på egen hand.)

Övning 1.

Så att mina ord om avkodning negativ och fraktionella krafter gick inte till spillo, jag föreslår att spela ett litet spel!

Föreställ dig siffrorna som en kraft av två:

Svar (i oordning):

Hände? Bra! Sedan gör vi ett stridsuppdrag - vi löser de enklaste och enklaste exponentiella ekvationerna!

Uppgift 2.

Lös ekvationer (alla svar är i ordning!):

5 2x-8 = 25

2 5x -4 - 16 x + 3 = 0

Svar:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Hände? Det är verkligen mycket lättare!

Sedan löser vi följande spel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1 -x = 0,2 - x 7 x

Svar:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Och dessa exempel är en kvar? Bra! Du växer! Här är några fler exempel på ett mellanmål:

Svar:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Och är det avgjort? Tja, respekt! Jag tar av hatten.) Så lektionen var inte förgäves, och Första nivån lösningar av exponentiella ekvationer kan anses framgångsrikt behärskade. Fler nivåer och mer utmanande ekvationer väntar! Och nya tekniker och tillvägagångssätt. OCH icke-standardiserade exempel... Och nya överraskningar.) Allt detta är i nästa lektion!

Gick något fel? Detta innebär sannolikt problem i. Eller in. Eller båda samtidigt. Här är jag maktlös. Jag kan återigen bara erbjuda en sak - att inte vara lat och ta en promenad genom länkarna.)

Fortsättning följer.)

Exponentiella ekvationer. Som du vet innehåller USE enkla ekvationer. Vi har redan övervägt några av dem - dessa är logaritmiska, trigonometriska, rationella. Här är vägledande ekvationer.

I en ny artikel arbetade vi med exponentiella uttryck, det kommer att vara användbart. Själva ekvationerna är enkla och snabba att lösa. Du behöver bara veta egenskaperna hos exponenter och ... Om dettaYtterligare.

Låt oss lista egenskaperna för exponenter:

Nollgraden för valfritt tal är lika med ett.

Konsekvens av denna egendom:

Lite mer teori.

En exponentiell ekvation är en ekvation som innehåller en variabel i en indikator, det vill säga en ekvation med formen:

f(x) ett uttryck som innehåller en variabel

Metoder för att lösa exponentiella ekvationer

1. Som ett resultat av transformationer kan ekvationen reduceras till formen:

Sedan tillämpar vi fastigheten:

2. När du får en ekvation av formuläret a f (x) = b definitionen av logaritmen används får vi:

3. Som ett resultat av transformationer kan en ekvation av formen erhållas:

Logaritmen tillämpas:

Vi uttrycker och hittar x.

I uppgifter alternativ för tentamen det räcker att använda den första metoden.

Det vill säga att det är nödvändigt att representera vänster och höger delar i form av grader med samma bas, och sedan likställer vi indikatorerna och löser den vanliga linjära ekvationen.

Tänk på ekvationerna:

Hitta roten till ekvation 4 1–2x = 64.

Det är nödvändigt att se till att det finns vägledande uttryck på vänster och höger sida med en bas. 64 kan vi representera som 4 till kraften av 3. Vi får:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

- 2x = 2

x = - 1

Undersökning:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Svar: -1

Hitta roten till ekvation 3 x - 18 = 1/9.

Det är känt att

Så 3 x -18 = 3 -2

Baserna är lika, vi kan jämföra indikatorerna:

x - 18 = - 2

x = 16

Undersökning:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Svar: 16

Hitta roten till ekvationen:

Vi representerar fraktionen 1/64 som en fjärdedel till den tredje kraften:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Undersökning:

Svar: 11

Hitta roten till ekvationen:

Låt oss representera 1/3 som 3 –1 och 9 som 3 i kvadrat, vi får:

(3 –1) 8–2x = 32

3 -1 ∙ (8-2x) = 32

3 –8 + 2x = 3 2

Nu kan vi jämföra indikatorerna:

- 8 + 2x = 2

2x = 10

x = 5

Undersökning:

Svar: 5

26654. Hitta roten till ekvationen:

Lösning:

Svar: 8,75

Oavsett vilken grad vi höjer ett positivt tal a, kan vi inte få ett negativt tal på något sätt.

Varje exponentiell ekvation efter lämpliga transformationer reduceras till att lösa en eller flera enklaste.I det här avsnittet kommer vi också att titta på lösningen på några ekvationer, missa inte det!Det är allt. Framgång till dig!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du kunde berätta om webbplatsen på sociala nätverk.

Exempel:

\ (4 ^ x = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4.8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)

Hur man löser exponentiella ekvationer

När vi löser en exponentiell ekvation strävar vi efter att reducera till formen \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), och sedan göra övergången till likvärdighet mellan indikatorer, det vill säga:

\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)

Till exempel:\ (2 ^ (x + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (x + 1 = 2 \)

Viktig! Från samma logik finns det två krav för en sådan övergång:
- nummer in vänster och höger ska vara desamma;
- grader vänster och höger måste vara "rena", det vill säga det ska inte finnas några multiplikationer, divisioner, etc.

Till exempel:

För att minska ekvationen till formen \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), och används.

Exempel ... Lös den exponentiella ekvationen \ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)
Lösning:

\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)		Vi vet att \ (27 = 3 ^ 3 \). Med detta i åtanke omvandlar vi ekvationen.
\ (\ sqrt (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)		Genom rotens egenskap \ (\ sqrt [n] (a) = a ^ (\ frac (1) (n)) \) får vi \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) \). Genom att använda gradenegenskapen \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) får vi \ (((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \).
\ (3 ^ (\ frac (3) (2)) \ cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)		Vi vet också att \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c) \). Om vi ​​applicerar detta på vänster sida får vi: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (\ frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1,5 + x-1) = 3 ^ (x + 0,5) \).
\ (3 ^ (x + 0,5) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)		Kom nu ihåg att: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \). Denna formel kan användas i baksidan: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n) \). Sedan \ (\ frac (1) (3) = \ frac (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1) \).
\ (3 ^ (x + 0,5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \)		Genom att använda egenskapen \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) till höger får vi: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- 1) 2x) = 3 ^ (- 2x) \).
\ (3 ^ (x + 0,5) = 3 ^ (- 2x) \)		Och nu är våra baser lika och det finns inga störande koefficienter etc. Det betyder att vi kan göra övergången.
		Exempel ... Lös den exponentiella ekvationen \ (4 ^ (x + 0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Lösning: \ (4 ^ (x + 0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Vi använder igen egenskapen grad \ (a ^ b \ cdot a ^ c = a ^ (b + c) \) i motsatt riktning. \ (4 ^ x 4 ^ (0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Kom nu ihåg att \ (4 = 2 ^ 2 \). \ ((2 ^ 2) ^ x (2 ^ 2) ^ (0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \) Med hjälp av gradens egenskaper transformerar vi: \ ((2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) = 2 ^ (x 2) = (2 ^ x) ^ 2 \) \ ((2 ^ 2) ^ (0,5) = 2 ^ (2 0,5) = 2 ^ 1 = 2. \) \ (2 (2 ^ x) ^ 2-5 2 ^ x + 2 = 0 \) Vi tittar noga på ekvationen och ser att ersättningen \ (t = 2 ^ x \) föreslår sig själv. \ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = \ frac (1) (2) \) Vi hittade dock värdena \ (t \), men vi behöver \ (x \). Vi återvänder till Xs och gör omvänd ersättning. \ (2 ^ x = 2 \) \ (2 ^ x = \ frac (1) (2) \) Transformera den andra ekvationen med hjälp av egenskapen negativ effekt ... \ (2 ^ x = 2 ^ 1 \) \ (2 ^ x = 2 ^ (- 1) \) ... och vi bestämmer oss för att svara. \ (x_1 = 1 \) \ (x_2 = -1 \) Svar : \(-1; 1\). Frågan kvarstår - hur ska man förstå när man ska tillämpa vilken metod? Det kommer med erfarenhet. Tills du får det, använd allmän rekommendation att lösa komplexa problem - ”du vet inte vad du ska göra - gör vad du kan”. Det vill säga, leta efter hur du kan omvandla ekvationen i princip och försök att göra det - plötsligt vad händer? Det viktigaste är att bara göra matematiskt motiverade transformationer. Exponentiella ekvationer utan lösningar Låt oss titta på ytterligare två situationer som ofta förvirrar studenter: - ett positivt tal till effekten är lika med noll, till exempel \ (2 ^ x = 0 \); - ett positivt tal till makten är negativt tal, till exempel \ (2 ^ x = -4 \). Låt oss försöka lösa det med brutal kraft. Om x är ett positivt tal, då x växer, kommer hela kraften för \ (2 ^ x \) bara att växa: \ (x = 1 \); \ (2 ^ 1 = 2 \) \ (x = 2 \); \ (2 ^ 2 = 4 \) \ (x = 3 \); \ (2 ^ 3 = 8 \). \ (x = 0 \); \ (2 ^ 0 = 1 \) Även av. Det finns negativa x: or kvar. När vi kommer ihåg egenskapen \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \), kontrollerar vi: \ (x = -1 \); \ (2 ^ (- 1) = \ frac (1) (2 ^ 1) = \ frac (1) (2) \) \ (x = -2 \); \ (2 ^ (- 2) = \ frac (1) (2 ^ 2) = \ frac (1) (4) \) \ (x = -3 \); \ (2 ^ (- 3) = \ frac (1) (2 ^ 3) = \ frac (1) (8) \) Trots att antalet blir mindre för varje steg kommer det aldrig att nå noll. Så den negativa graden räddade oss inte heller. Vi kommer till en logisk slutsats: Ett positivt antal kommer att förbli positivt i vilken utsträckning som helst. Således har båda ekvationerna ovan inga lösningar. Exponentiella ekvationer med olika baser I praktiken finns det ibland exponentiella ekvationer med olika baser, som inte kan reduceras till varandra, och samtidigt med samma exponenter. De ser ut så här: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \), där \ (a \) och \ (b \) är positiva tal. Till exempel: \ (7 ^ (x) = 11 ^ (x) \) \ (5 ^ (x + 2) = 3 ^ (x + 2) \) \ (15 ^ (2x-1) = (\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \) Sådana ekvationer kan enkelt lösas genom att dividera med någon av ekvationsdelarna (vanligtvis dividerat med höger sida, det vill säga med \ (b ^ (f (x)) \). Du kan dela på detta sätt, eftersom ett positivt tal är positivt i vilken grad som helst (det vill säga vi delar inte med noll) .Vi får: \ (\ frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \) \ (= 1 \) Exempel ... Lös den exponentiella ekvationen \ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \) Lösning: \ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \) Här kommer vi inte att kunna göra de fem till en tre, eller vice versa (åtminstone utan att använda den). Så vi kan inte komma till formen \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \). I det här fallet är indikatorerna desamma. Låt oss dela ekvationen med den högra sidan, det vill säga med \ (3 ^ (x + 7) \) (vi kan göra detta eftersom vi vet att trippeln inte är noll på något sätt). \ (\ frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \) \ (= \) \ (\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \) Nu återkallar vi egenskapen \ ((\ frac (a) (b)) ^ c = \ frac (a ^ c) (b ^ c) \) och använder den från vänster i motsatt riktning. Till höger reducerar vi helt enkelt fraktionen. \ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= 1 \) Det verkar som att det inte blev bättre. Men kom ihåg ytterligare en egenskap hos graden: \ (a ^ 0 = 1 \), med andra ord: "valfritt tal i nollgraden är lika med \ (1 \)". Det motsatta är också sant: "man kan representeras som valfritt tal till nollgrad." Vi använder detta genom att göra basen till höger densamma som till vänster. \ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= \) \ ((\ frac (5) (3)) ^ 0 \) Voila! Vi blir av med baserna. Vi skriver svaret. Svar : \(-7\). Ibland är "likheten" hos exponenterna inte uppenbar, men den skickliga användningen av examens egenskaper löser detta problem. Exempel ... Lös den exponentiella ekvationen \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) Lösning: \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) Ekvationen ser ganska trist ut ... Inte bara kan baserna inte reduceras till samma antal (de sju kommer inte att vara lika med \ (\ frac (1) (3) \)), men också indikatorerna är olika .. .Låt oss dock i vänster exponent två. \ (7 ^ (2 (x-2)) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) Kom ihåg egenskapen \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (b c) \), transformera från vänster: \ (7 ^ (2 (x-2)) = 7 ^ (2 (x-2)) = (7 ^ 2) ^ (x-2) = 49 ^ (x-2) \). \ (49 ^ (x-2) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) När vi påminner om egenskapen med negativ grad \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a) ^ n \), transformerar vi från höger: \ ((\ frac (1) (3)) ^ ( - x + 2) = (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) = 3 ^ (- 1 (-x + 2)) = 3 ^ (x-2) \) \ (49 ^ (x-2) = 3 ^ (x-2) \) halleluja! Indikatorerna har blivit desamma! I enlighet med det system som vi redan känner till bestämmer vi innan vi svarar. Svar : \(2\).

Första nivån

Exponentiella ekvationer. Omfattande guide (2019)

Hallå! Idag kommer vi att diskutera med dig hur man löser ekvationer, som kan vara både elementära (och jag hoppas att efter att ha läst den här artikeln kommer nästan alla att vara för dig) och de som vanligtvis ges "att fylla i". Tydligen att somna helt. Men jag ska försöka göra mitt bästa så att du nu inte blir förkyld när du står inför den här typen av ekvationer. Jag kommer inte att slå runt busken längre, men jag öppnar genast liten hemlighet: idag kommer vi att vara förlovade exponentiella ekvationer.

Innan jag går vidare till en analys av sätten att lösa dem, kommer jag omedelbart att skissera en cirkel av frågor (ganska små) framför dig, som du bör upprepa innan du rusar att storma detta ämne. Så, för det bästa resultatet, tack upprepa:

1. Egenskaper och
2. Lösning och ekvationer

Upprepade? Underbar! Då blir det inte svårt för dig att märka att roten till ekvationen är ett tal. Förstår du exakt hur jag gjorde? Sanning? Låt oss fortsätta. Svara mig nu på frågan, vad är den tredje graden? Du har helt rätt: . Och åtta är vilken kraft av två? Just det - det tredje! Eftersom. Låt oss nu försöka lösa följande problem: Låt mig multiplicera talet med mig själv en gång och få resultatet. Frågan är, hur många gånger har jag multiplicerat med mig själv? Du kan naturligtvis kontrollera detta direkt:

\ begin (align) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ end ( justera)

Då kan du dra slutsatsen att jag har mångdubblat mig själv. Hur kan du annars kontrollera? Och så här: direkt per definition av examen :. Men du måste erkänna att om jag frågade hur många gånger två måste multipliceras med sig själv för att få säga att du skulle ha sagt till mig: Jag kommer inte att lura mig själv och föröka mig själv förrän jag är blå i ansiktet. Och han skulle ha helt rätt. För hur kan du skriv ner alla åtgärder kort(och kortfattat är talangens syster)

var - det här är själva "Tider" när du multiplicerar dig själv.

Jag tror att du vet (och om du inte vet, upprepa omedelbart, mycket brådskande graderna!) Då kommer mitt problem att skrivas i formuläret:

Var kan du dra en fullt berättigad slutsats att:

Så omärkligt skrev jag ner det enklaste exponentiell ekvation:

Och hittade honom till och med rot... Tycker du inte att allt är helt trivialt? Så jag tycker exakt samma sak. Här är ett annat exempel för dig:

Men vad ska man göra? Du kan inte skriva ner det som ett (rimligt) tal. Låt oss inte förtvivla och notera att båda dessa tal uttrycks perfekt i termer av samma tal. Vilken? Höger: . Sedan omvandlas den ursprungliga ekvationen till formen:

Var, som du redan förstod. Låt oss inte dra längre och skriva definition:

I vårat fall:.

Dessa ekvationer löses genom att reducera dem till formen:

med den efterföljande lösningen av ekvationen

Vi gjorde faktiskt detta i föregående exempel: vi fick det. Och vi löste den enklaste ekvationen med dig.

Det verkar inte vara något komplicerat, eller hur? Låt oss träna de enklaste först. exempel:

Vi ser igen att ekvationens högra och vänstra sida måste representeras som en kraft på ett tal. Visserligen har detta redan gjorts till vänster, men till höger finns det ett nummer. Men det är okej, för min ekvation kommer mirakulöst att förvandlas till detta:

Vad hade jag att använda här? Vad är regeln? Grad till examens regel som lyder:

Tänk om:

Innan vi svarar på denna fråga, låt oss fylla i följande platta:

Det är inte svårt för oss att märka att ju mindre, ju mindre värde men ändå är alla dessa värden större än noll. OCH DETTA KOMMER ALLTID !!! Samma egenskap gäller för alla baser med någon indikator !! (för alla och). Vad kan vi då dra slutsatsen om ekvationen? Och här är vad: det har inga rötter! Som har inga rötter och någon ekvation. Låt oss nu öva och Låt oss lösa enkla exempel:

Låt oss kolla:

1. Inget krävs av dig här förutom kunskap om egenskaperna hos graderna (vilket jag förresten bad dig upprepa!) Som regel leder allt till minsta anledning:,. Då kommer den ursprungliga ekvationen att motsvara följande: Allt jag behöver är att använda egenskaperna för graderna: när man multiplicerar tal med samma bas läggs krafterna till och när de delas subtraheras de. Då får jag: Tja, nu, med gott samvete, kommer jag att gå från en exponentiell ekvation till en linjär: \ begin (align)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& x = 0. \\
\ end (justera)

2. I det andra exemplet måste du vara mer försiktig: problemet är att vi på vänster sida inte kommer att kunna presentera det i form av en effekt med samma nummer. I det här fallet är det ibland användbart representerar tal som en produkt av grader med olika baser, men samma indikatorer:

Ekvens vänstra sida kommer att ta formen: Vad gav detta oss? Här är vad: Tal med olika baser, men samma indikatorer kan multipliceras.I detta fall multipliceras baserna och indikatorn ändras inte:

Tillämplig på min situation kommer detta att ge:

\ begin (align)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400, \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ end (justera)

Inte illa, eller hur?

3. Jag gillar det inte när det onödigtvis finns två termer på ena sidan av ekvationen, och på den andra - ingen (ibland är det naturligtvis motiverat, men så är inte fallet nu). Flytta minustermen till höger:

Nu som tidigare kommer jag att skriva allt i termer av en trippel:

Lägg till krafterna till vänster och få motsvarande ekvation

Du kan enkelt hitta roten:

4. Som i exempel tre är termen med minus en plats på höger sida!

Till vänster mår jag nästan bra, förutom vad? Ja, "fel grad" i deucen stör mig. Men jag kan enkelt fixa det genom att skriva :. Eureka - till vänster är alla baser olika, men alla grader är desamma! Multiplicera snabbt!

Här är allting igen klart: (om du inte förstod hur magiskt jag fick den sista jämlikheten, ta en paus i en minut, ta en paus och läs examens egenskaper igen mycket noga. Vem sa att du kan hoppa över en grad med en negativ exponent? Tja, här är jag ungefär detsamma som ingen). Nu får jag:

\ begin (align)
& ((2) ^ (4 \ vänster ((x) -9 \ höger))) = ((2) ^ ( - 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
\ end (justera)

Här är uppgifterna för utbildning, som jag bara kommer att ge svaren (men i en "blandad" form). Klipp ner dem, kolla dem, så fortsätter du och jag vår forskning!

Redo? Svar som dessa:

1. vilket nummer som helst

Okej, okej, jag skojade! Här är en översikt över lösningarna (vissa är väldigt korta!)

Tror du inte att det är en slump att en bråkdel till vänster är en ”omvänd” annan? Det vore synd att inte dra nytta av detta:

Denna regel används väldigt ofta när man löser exponentiella ekvationer, kom ihåg det väl!

Då kommer den ursprungliga ekvationen att vara så här:

Efter att ha löst detta kvadratisk ekvation, får du dessa rötter:

2. En annan lösning: dela båda sidorna av ekvationen med uttrycket till vänster (eller höger). Jag delar med det som är till höger, då får jag:

Var (varför?!)

3. Jag vill inte ens upprepa mig själv, allt är redan "tuggat upp" så mycket.

4. lika med en kvadratisk ekvation, rötter

5. Du måste använda formeln i det första problemet, då får du det:

Ekvationen har blivit en trivial identitet, vilket är sant för alla. Då är svaret vilket reellt tal som helst.

Tja, så du har övat på att lösa de enklaste exponentiella ekvationerna. Nu vill jag ge dig några livsexempel som hjälper dig att förstå varför de i princip behövs. Jag kommer att ge två exempel här. En av dem är ganska vardaglig, men den andra är mer sannolikt av vetenskapligt snarare än praktiskt intresse.

Exempel 1 (merkantil) Antag att du har rubel, och du vill göra det till rubel. Banken erbjuder dig att ta dessa pengar från dig till en årlig ränta med månatlig räntekapitalisering (månatlig periodisering). Frågan är, hur många månader behöver du öppna en insättning för att samla in det slutliga beloppet? Ganska vardaglig uppgift, eller hur? Ändå är dess lösning associerad med konstruktionen av motsvarande exponentiell ekvation: Låt - det ursprungliga beloppet, - det slutliga beloppet, - räntan för perioden, - antalet perioder. Sedan:

I vårt fall (om avgiften är per år debiteras den per månad). Varför delas det med? Om du inte vet svaret på denna fråga, kom ihåg ämnet ""! Då får vi följande ekvation:

Denna exponentiella ekvation kan redan lösas endast med hjälp av en räknare (dess utseende antyder detta, och detta kräver kunskap om logaritmer, som vi kommer att lära känna lite senare), vilket jag kommer att göra: ... Således, för att få en miljon, vi måste göra ett bidrag i en månad (inte särskilt snabbt, eller hur?).

Exempel 2 (mer vetenskapligt). Trots hans, lite "isolering", rekommenderar jag att du uppmärksammar honom: han glider regelbundet i provet !! (problemet är hämtat från den "riktiga" versionen) Under förfallet av en radioaktiv isotop minskar dess massa enligt lagen, där (mg) är isotopens initialmassa, (min.) är den tid som förflutit från initiala ögonblicket, (min.) är halveringstiden. Vid den första tidpunkten är isotopens massa mg. Dess halveringstid är min. Om hur många minuter är isotopens massa lika med mg? Det är okej: vi tar och ersätter alla data i formeln som föreslås för oss:

Dela in båda delarna i "i hopp" att vi till vänster får något smältbart:

Tja, vi har mycket tur! Den står till vänster, sedan vänder vi oss till ekvivalent ekvation:

Var är min.

Som du kan se har de exponentiella ekvationerna en mycket verklig tillämpning i praktiken. Nu vill jag diskutera med dig ett annat (enkelt) sätt att lösa exponentiella ekvationer, som bygger på att ta den gemensamma faktorn ur parenteserna, följt av att gruppera termerna. Låt dig inte skrämmas av mina ord, du har redan stött på den här metoden i sjunde klass, när du studerade polynom. Till exempel, om du behövde faktorera uttrycket:

Låt oss gruppera: den första och tredje termen, liksom den andra och fjärde. Det är klart att den första och den tredje är skillnaden mellan rutorna:

och den andra och den fjärde har en gemensam faktor på tre:

Då motsvarar det ursprungliga uttrycket detta:

Var man ska ta ut den gemensamma faktorn är inte längre svårt:

Därav,

Detta är ungefär hur vi kommer att agera när vi löser exponentiella ekvationer: leta efter "gemensamhet" bland termerna och lägg det utanför parenteserna, väl då - vad som än händer, jag tror att vi kommer att ha tur =)) Till exempel:

Till höger är det långt ifrån en effekt på sju (jag kollade det!) Och till vänster - lite bättre, du kan naturligtvis "hugga av" faktorn a från den andra och sedan hantera resultatet, men låt oss göra det mer förnuftigt med dig. Jag vill inte hantera fraktioner, som oundvikligen kommer från att ”markera”, så vore det inte bättre för mig att hålla ut? Då kommer jag inte att ha fraktioner: som de säger, både vargarna matas och fåren är säkra:

Räkna uttrycket inom parentes. På ett magiskt, magiskt sätt visar det sig (överraskande, men vad mer kan vi förvänta oss?).

Då kommer vi att avbryta båda sidorna av ekvationen med denna faktor. Vi får :, varifrån.

Här är ett mer komplicerat exempel (ganska mycket, verkligen):

Vilken olycka! Vi har ingen gemensam grund här! Det är inte helt klart vad man ska göra nu. Låt oss göra vad vi kan: först, låt oss flytta "fyrorna" till ena sidan och "femmorna" till den andra:

Låt oss nu flytta det "vanliga" till vänster och höger:

Så vad nu? Vad är fördelen med en så dum grupp? Vid första anblicken är det inte alls synligt, men låt oss ta en djupare titt:

Tja, nu ska vi göra det så att vi till vänster bara har uttrycket med, och till höger - allt annat. Hur gör vi detta? Och så här: Dividera båda sidorna av ekvationen först med (på så sätt blir vi av med graden till höger) och dividera sedan båda sidorna med (på så sätt blir vi av med den numeriska faktorn till vänster). Vi får äntligen:

Otrolig! Till vänster har vi ett uttryck, och till höger har vi ett enkelt. Då drar vi direkt slutsatsen att

Här är ett annat exempel för dig att konsolidera:

Jag tar med honom kort lösning(stör dig inte riktigt med förklaringar), försök själv räkna ut alla "finesser" i lösningen.

Nu är den slutliga konsolideringen av det godkända materialet. Försök att lösa följande problem själv. Jag kommer bara att ge korta rekommendationer och tips för att lösa dem:

1. Låt oss ta den gemensamma faktorn ur parenteserna:
2. Vi representerar det första uttrycket i formen :, dela upp båda delarna i och få det
3. , då omvandlas den ursprungliga ekvationen till formen: Nåväl, nu en ledtråd - se var du och jag redan har löst denna ekvation!
4. Tänk dig hur, hur och väl, dividera sedan båda delarna med så att du får den enklaste exponentiella ekvationen.
5. Ta ut från fästena.
6. Ta ut från fästena.

EXPLORATIVA EKVATIONER. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Jag antar att efter att ha läst den första artikeln som berättade vad är exponentiella ekvationer och hur man löser dem du behärskade nödvändigt minimum kunskap som krävs för att lösa de enklaste exemplen.

Nu ska jag analysera en annan metod för att lösa exponentiella ekvationer, detta är

"Metod för att införa en ny variabel" (eller ersättning). Han löser de flesta "svåra" problemen inom ämnet exponentiella ekvationer (och inte bara ekvationer). Denna metod är en av de mest använda i praktiken. Först rekommenderar jag att du bekantar dig med ämnet.

Som du redan förstod från namnet är essensen i denna metod att införa en sådan variabeländring att din exponentiella ekvation mirakulöst förvandlas till en som du enkelt kan lösa. Allt som återstår för dig efter att ha löst denna mycket "förenklade ekvation" är att göra en "omvänd ersättning": det vill säga att återvända från den ersatta till den ersatta. Låt oss illustrera vad vi just sa med ett mycket enkelt exempel:

Exempel 1:

Denna ekvation löses med "enkel substitution", som matematiker nedvärderande kallar det. Faktum är att ersättningen här är den mest uppenbara. Man måste bara se det

Då blir den ursprungliga ekvationen till detta:

Om vi ​​dessutom presenterar hur, är det helt klart vad som behöver bytas ut: naturligtvis. Vad blir då den ursprungliga ekvationen till? Och här är vad:

Du kan enkelt hitta sina rötter på egen hand :. Vad ska vi göra nu? Det är dags att gå tillbaka till den ursprungliga variabeln. Vad glömde jag att ange? Nämligen: när jag ersätter en viss grad med en ny variabel (det vill säga när du ändrar en vy) kommer jag att vara intresserad av bara positiva rötter! Du kan själv enkelt svara på varför. Således är du och jag inte intresserade, men den andra roten är ganska lämplig för oss:

Sedan var.

Svar:

Som du kan se, i föregående exempel, bad ersättaren om våra händer. Tyvärr är det inte alltid så. Låt oss dock inte gå direkt till den sorgliga, men låt oss öva med ett exempel till med en ganska enkel ersättning

Exempel 2.

Det är klart att det troligtvis kommer att bli nödvändigt att byta ut (detta är den minsta av de befogenheter som ingår i vår ekvation), men innan ersättningen införs måste vår ekvation vara "förberedd" för den, nämligen:,. Sedan kan du ersätta, som ett resultat får jag följande uttryck:

Åh skräck: en kubisk ekvation med helt läskiga formler för sin lösning (ja, i allmänna termer). Men låt oss inte förtvivla direkt, utan tänk på vad vi ska göra. Jag kommer att föreslå fusk: vi vet att för att få ett "trevligt" svar måste vi få det i form av någon kraft av en trilling (varför skulle det vara, va?). Låt oss försöka gissa minst en rot av vår ekvation (jag börjar gissa med tre krafter).

Första antagandet. Det är inte en rot. Ack och ah ...

.
Vänster sida är lika.
Rätt del:!
Det finns! Du gissade den första roten. Nu blir det lättare!

Känner du till "hörn" -delningssystemet? Naturligtvis vet du att du använder det när du delar ett nummer med ett annat. Men få människor vet att samma sak kan göras med polynom. Det finns en stor sats:

Tillämplig på min situation berättar detta vad som är delbart med. Hur sker uppdelningen? Det är hur:

Jag tittar på vilken monomial jag måste multiplicera för att få klart vad som står på, då:

Subtrahera det resulterande uttrycket från, få:

Vad behöver jag nu multiplicera med för att få? Det är klart att på, då får jag:

och subtrahera återigen det resulterande uttrycket från det återstående:

Väl sista steget, multiplicera med och subtrahera från det återstående uttrycket:

Hurra, uppdelningen är över! Vad har vi sparat privat? Av sig själv: .

Sedan fick vi följande sönderdelning av det ursprungliga polynomet:

Låt oss lösa den andra ekvationen:

Den har rötter:

Då är den ursprungliga ekvationen:

har tre rötter:

Vi kommer naturligtvis att kasta den sista roten, eftersom den är mindre än noll. Och de två första efter omvänd ersättning kommer att ge oss två rötter:

Svar: ..

Med det här exemplet ville jag inte alls skrämma dig, snarare var mitt mål att visa att även om vi hade en ganska enkel ersättning, ledde det ändå till en ganska komplex ekvation vars lösning krävde vissa specialkunskaper från oss. Ingen är immun mot detta. Men ersättningen i det här fallet var ganska uppenbar.

Här är ett exempel med en något mindre uppenbar ersättning:

Det är inte alls klart vad vi ska göra: problemet är att det finns två i vår ekvation olika anledningar och en grund erhålls inte från en annan genom att höja den till någon (rimlig, naturligt) grad. Men vad ser vi? Båda baserna skiljer sig bara i tecken, och deras produkt är skillnaden i kvadrater lika med en:

Definition:

Sålunda är de siffror som är baserna i vårt exempel konjugerade.

I det här fallet vore ett smart drag multiplicera båda sidorna av ekvationen med det konjugerade talet.

Till exempel på, då blir vänster sida av ekvationen lika, och den högra. Om vi ​​gör ett substitution blir vår ursprungliga ekvation med dig så här:

dess rötter, och när vi kommer ihåg det, får vi det.

Svar:,.

Som regel är ersättningsmetoden tillräcklig för att lösa de flesta "skolans" exponentiella ekvationer. Följande uppgifter är hämtade från Unified State Exam C1 (avancerad svårighetsgrad). Du är redan kompetent nog att självständigt lösa dessa exempel. Jag ger bara den nödvändiga ersättaren.

1. Lös ekvationen:
2. Hitta ekvationens rötter:
3. Lös ekvationen :. Hitta alla rötter till denna ekvation som tillhör segmentet:

Och nu, korta förklaringar och svar:

1. Här räcker det för oss att notera att och. Då kommer den ursprungliga ekvationen att motsvara följande: Denna ekvation löses genom att ersätta Ytterligare beräkningar gör det själv. I slutändan kommer din uppgift att reduceras till att lösa det enklaste trigonometriska (beroende på sinus eller cosinus). Vi kommer att analysera lösningen av sådana exempel i andra avsnitt.
2. Här kan du till och med klara dig utan att ersätta: det är tillräckligt att flytta det subtraherade till höger och representera båda baserna genom krafter på två :, och sedan gå direkt till den kvadratiska ekvationen.
3. Den tredje ekvationen är också löst på ett ganska standardiserat sätt: låt oss föreställa oss hur. När vi ersätter får vi en kvadratisk ekvation: då,

   Vet du redan vad en logaritm är? Nej? Läs sedan ämnet snarast!

   Den första roten tillhör uppenbarligen inte segmentet, och den andra är obegriplig! Men vi får veta mycket snart! Sedan då (detta är en egenskap hos logaritmen!) Jämför:

   Subtrahera från båda delarna, då får vi:

   Vänster sida kan representeras som:

   multiplicera båda delarna med:

   kan multipliceras med då

   Låt oss sedan jämföra:

   sedan dess:

   Sedan hör den andra roten till det nödvändiga intervallet

   Svar:

Som du ser, valet av rötter för exponentiella ekvationer kräver en tillräckligt djup kunskap om egenskaperna hos logaritmer så jag råder dig att vara så försiktig som möjligt när du löser de exponentiella ekvationerna. Som du kan föreställa dig, i matematik är allt sammankopplat! Som min mattelärare brukade säga: "Matte, liksom historia, kan du inte läsa över en natt."

Som regel alla svårigheten att lösa problem C1 är just valet av ekvationens rötter. Låt oss öva med ytterligare ett exempel:

Det är klart att ekvationen i sig är ganska enkel att lösa. Genom att byta ut kommer vi att minska vår ursprungliga ekvation till följande:

Låt oss först titta på den första roten. Jämför och: sedan dess. (egenskap hos den logaritmiska funktionen, at). Då är det klart att den första roten inte tillhör vårt intervall heller. Nu den andra roten :. Det är klart att (eftersom funktionen vid ökar). Det återstår att jämföra och.

sedan, samtidigt. På så sätt kan jag "köra en pinne" mellan och. Denna pinne är ett nummer. Det första uttrycket är mindre och det andra är större. Då är det andra uttrycket större än det första och roten tillhör intervallet.

Svar:.

För att avsluta, låt oss titta på ett annat exempel på en ekvation där ersättningen är ganska icke-standard:

Låt oss börja direkt med vad du kan göra, och vad - i princip kan du, men det är bättre att inte göra det. Du kan - representera allt genom krafter på tre, två och sex. Vart leder det? Ja, det kommer inte att leda till någonting: en hodgepodge av grader, och några av dem kommer att vara ganska svåra att bli av med. Och vad behövs då? Låt oss märka det Och vad kommer det att ge oss? Och det faktum att vi kan minska lösningen detta exempel till lösningen av en enkel exponentiell ekvation! Låt oss först skriva om vår ekvation som:

Nu delar vi båda sidorna av den resulterande ekvationen med:

Eureka! Nu kan vi ersätta, vi får:

Tja, nu är det din tur att lösa demonstrationsproblem, och jag kommer bara att ge korta kommentarer till dem så att du inte går vilse! Lycka till!

1. Det svåraste! Det är inte lätt att hitta en ersättare här! Men ändå är detta exempel helt lösbart med hjälp av val av en hel kvadrat... För att lösa det är det tillräckligt att notera att:

Här är en ersättare för dig:

(Observera att här under vår ersättning kan vi inte släppa den negativa roten !!! Och varför tror du?)

För att lösa exemplet måste du lösa två ekvationer:

Båda löses med "standardersättningen" (men det andra i ett exempel!)

2. Notera det och gör en ersättning.

3. Sönderdela numret till coprime -faktorer och förenkla det resulterande uttrycket.

4. Dela täljaren och nämnaren för bråkdelen med (eller, om du föredrar) och ersätt eller.

5. Observera att siffrorna och är konjugerade.

EXPLORATIVA EKVATIONER. AVANCERAD NIVÅ

Låt oss dessutom överväga ett annat sätt - lösning av exponentiella ekvationer med logaritmmetoden... Jag kan inte säga att lösningen av exponentiella ekvationer med denna metod är mycket populär, men i vissa fall kan det bara leda oss till rätt beslut vår ekvation. Det används särskilt ofta för att lösa den så kallade " blandade ekvationer": Det vill säga de där funktioner av olika typer möts.

Till exempel en ekvation av formen:

v allmänt fall kan bara lösas genom att ta logaritmen på båda sidor (till exempel basen), där den ursprungliga ekvationen blir till följande:

Låt oss överväga följande exempel:

Det är klart att enligt ODZ för den logaritmiska funktionen är vi bara intresserade av. Detta följer dock inte bara från logaritmens ODZ, utan av en annan anledning. Jag tror att det inte blir svårt för dig att gissa vilken.

Låt oss logga båda sidorna av vår ekvation till basen:

Som du kan se tog logaritmen för vår ursprungliga ekvation tillräckligt snabbt oss till det rätta (och vackra!) Svaret. Låt oss öva med ytterligare ett exempel:

Det är inget fel här heller: vi logaritmerar båda sidorna av ekvationen med basen, då får vi:

Låt oss göra en ersättare:

Vi saknar dock något! Har du märkt var jag gick fel? När allt kommer omkring då:

som inte uppfyller kravet (tänk var det kom ifrån!)

Svar:

Försök att skriva ner lösningen för de exponentialekvationer som ges nedan:

Kontrollera nu ditt beslut mot detta:

1. Logaritm båda sidor till basen, med hänsyn till att:

(den andra roten passar oss inte på grund av ersättningen)

2. Vi logaritmer till basen:

Vi omvandlar det resulterande uttrycket till följande form:

EXPLORATIVA EKVATIONER. KORT BESKRIVNING OCH GRUNDLÄGGANDE FORMULER

Exponentiell ekvation

Formelens ekvation:

kallad den enklaste exponentiella ekvationen.

Effektegenskaper

Tillvägagångssätt till lösningen

• Att ta till på samma grund
• Konvertering till samma exponent
• Variabel ersättning
• Förenkling av uttryck och tillämpning av något av ovanstående.

I den här artikeln lär du dig om alla typer exponentiella ekvationer och algoritmer för deras lösning, lär dig känna igen vilken typ den tillhör exponentiell ekvation som du behöver lösa och tillämpa lämplig metod för att lösa det. Detaljerad lösning av exempel exponentiella ekvationer du kan titta på varje typ i motsvarande VIDEOUTLEDNINGAR.

En exponentiell ekvation är en ekvation där det okända finns i exponenten.

Innan du börjar lösa den exponentiella ekvationen är det bra att göra några förberedande åtgärder , vilket i hög grad kan underlätta lösningens gång. Detta är stegen:

1. Faktorera alla maktens grunder.

2. Presentera rötterna i form av en examen.

3. Decimalbråk tänk som vanligt.

4. Blandade nummer skriv ner det som felaktiga fraktioner.

Du kommer att inse fördelarna med dessa åtgärder i processen att lösa ekvationer.

Låt oss överväga huvudtyperna exponentiella ekvationer och algoritmer för deras lösning.

1. Formelens ekvation

Denna ekvation motsvarar ekvationen

Titta i denna VIDEO -TUTORIAL för att lösa ekvationen av denna typ.

2. Formelens ekvation

I ekvationer av denna typ:

b) koefficienterna för det okända i exponenten är lika.

För att lösa denna ekvation måste du fäste faktorn till den minsta effekten.

Ett exempel på att lösa denna typ av ekvation:

titta i VIDEO -LEKTIONEN.

3. Formelens ekvation

Ekvationer av denna typ skiljer sig åt i det

a) alla grader har samma baser

b) koefficienterna för det okända i exponenten är olika.

Ekvationer av denna typ löses genom att ändra variabler. Innan en ersättare introduceras är det lämpligt att bli av med gratis medlemmar i exponenten. (, , etc)

Se VIDEO -TUTORIAL för att lösa denna typ av ekvation:

4. Homogena ekvationer snäll

Särdrag hos homogena ekvationer:

a) alla monomialer har samma grad,

b) den fria termen är noll,

c) ekvationen innehåller grader med två olika baser.

Homogena ekvationer löses med en liknande algoritm.

För att lösa en ekvation av denna typ, dela båda sidorna av ekvationen med (kan delas med eller med)

Uppmärksamhet! När du delar ekvationens högra och vänstra sida med ett uttryck som innehåller det okända kan du förlora rötter. Därför är det nödvändigt att kontrollera om rötterna i uttrycket genom vilka vi delar båda sidorna av ekvationen inte är rötterna i den ursprungliga ekvationen.

I vårt fall, eftersom uttrycket inte är lika med noll för alla värden av det okända, kan vi dela med det utan rädsla. Dela ekvationens vänstra sida med detta uttryck term för term. Vi får:

Minska täljaren och nämnaren för den andra och tredje fraktionen:

Låt oss introducera en ersättare:

Dessutom är title = "(! LANG: t> 0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Vi får en kvadratisk ekvation:

Låt oss lösa den kvadratiska ekvationen, hitta de värden som uppfyller villkorstiteln = "(! LANG: t> 0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Se i VIDEO -LEKTIONEN detaljerad lösning homogen ekvation:

5. Formelens ekvation

När vi löser denna ekvation kommer vi att utgå från att title = "(! LANG: f (x)> 0">!}

Den ursprungliga jämlikheten gäller i två fall:

1. Om, eftersom 1 är lika med 1 till någon effekt,

2. När två villkor är uppfyllda:

Title = "(! LANG: delim (lbrace) (matris (2) (1) ((f (x)> 0) (g (x) = h (x)) (x-8y + 9z = 0))) ()">!}

Titta på VIDEO LESSON för en detaljerad lösning på ekvationen