Hitta en osäker integral: Starten började, exempel på lösningar. Osäkert integrerat. Detaljerade exempel på lösningar

Integrerad kalkyl.

Utskriftsfunktion.

Definition: Funktionsf (x) kallas en primitiv funktionfunktionen FUNKTF (x) på segmentet, om det på något sätt i det här segmentet är sant jämlikhet:

Det bör noteras att det kan finnas oändligt många för samma funktion. De kommer att skilja sig från varandra för något konstant nummer.

F 1 (x) \u003d f 2 (x) + c.

Inte viss integral.

Definition: Osäker integralfunktionen (X) kallas en uppsättning primitiva funktioner som bestäms av relationen:

Spela in:

Villkoren för existensen av ett obestämt integrerat på vissa segment är kontinuiteten i funktionen på detta segment.

Egenskaper:

Exempel:

Att hitta värdet på ett obestämt integrerat är främst beroende på att en primitiv funktion upptäckt. För vissa funktioner är det här en ganska komplicerad uppgift. Följande kommer att anses vara sätt att hitta osäkra integreringar för grundläggande klasser av funktioner - rationell, irrationell, trigonometrisk, vägledande etc.

För bekvämligheten monteras betydelsen av osäkra integreringar av de flesta elementära funktioner i speciella integrerade tabeller som ibland är mycket voluminösa. De inkluderar de olika vanligaste kombinationerna av funktioner. Men de flesta formlerna som presenteras i dessa tabeller är konsekvenser av varandra, så under tabellen i de viktigaste integralerna som du kan få värdena för osäkra integreringar av olika funktioner.

Väsentlig	Värde	Väsentlig	Värde

	lnsinx + C.



	ln.

Integrationsmetoder.

Tänk på tre grundläggande integrationsmetoder.

Direkt integration.

Direktintegrationsmetoden är baserad på antagandet om ett eventuellt värde av en primitiv funktion med ytterligare verifiering av detta värde till differentiering. I allmänhet noterar vi att differentiering är ett kraftfullt verktyg för att kontrollera resultaten av integrationen.

Tänk på användningen av denna metod med hjälp av exemplet:

Det är nödvändigt att hitta det integrerade värdet. . Baserat på en känd differentieringsformel
man kan dra slutsatsen att den önskade integralen är lika
där C är ett konstant nummer. Men å andra sidan
. Således kan vi äntligen sluta:

Observera att i motsats till differentiering, där, för att finna ett derivat, tydliga tekniker och metoder användes, är reglerna för att finna ett derivat, slutligen bestämma derivatet, för integration av sådana metoder inte tillgängliga. Om vi, när du hittar derivatet, som vi använde, så att tala, konstruktiva metoder som, baserat på vissa regler, ledde till resultatet, då när man befann sig en primär, är det nödvändigt att helt förlita sig på kunskap om derivatborden och primitiv.

När det gäller den direkta integrationsmetoden är det endast tillämpligt för vissa mycket begränsade klasser av funktioner. Funktioner för vilka det är möjligt att hitta en primär väldigt lite från språng. Därför används i de flesta fall de metoder som beskrivs nedan.

Substitutionsmetoden (ersättning av variabler).

Sats: Om du vill hitta ett integrerat
Men det är svårt att hitta en primitiv, då genom att ersätta x \u003d  (t) ochdx \u003d  (t), är DTP:

Bevis : Differentiera den föreslagna jämlikheten:

På granskad av fastighetsnummer 2 i ett obestämt integrerat:

f.(x.) dx = f.[  (t.)]  (t.) dt.

vad med hänsyn till de introducerade beteckningarna och är det första antagandet. Theorem bevisas.

Exempel.Hitta en obestämd integrerad integrerad
.

Vi kommer att ersätta t. = sinx., dt. = cosxdt..

Exempel.

Ersättning
Vi får:

Nedan kommer att betraktas som andra exempel på tillämpningen av substitutionsmetoden för olika typer av funktioner.

Integration i delar.

Metoden är baserad på den välkända formeln för derivatet av arbetet:

(UV)  \u003d uv + vu

där UIV är några funktioner från x.

I differentialform: D (UV) \u003d UDV + VDU

Integrering, vi får:
, och i enlighet med egenskaperna hos ett obestämt integrerat ovanstående:

eller
;

Mottog integreringsformeln i delar, vilket möjliggör integralerna i många elementära funktioner.

Exempel.

Som det kan ses kan den sekventiella användningen av integrationsformeln i delar gradvis förenkla funktionen och ta med integralen till bordet.

Exempel.

Det kan ses att som ett resultat av återanvändningen av integration i delar misslyckades funktionen att förenkla bordet. Det sista resulterande integralet är dock inte annorlunda än källan. Därför flyttar vi det till den vänstra delen av jämlikhet.

Således finns det integrerade alls utan användning av integrerade tabeller.

Innan vi i detalj överväger integrationsmetoderna för olika klasser av funktioner, ger vi några fler exempel på att hitta osäkra integraler genom att ta med sig tabular.

Exempel.

Integrering av elementära fraktioner.

Definition: Elementärtfraktionerna av följande fyra typer kallas:

Jag
III.

II.
Iv.

m, n- heltal (M2, N2) IB 2 - 4ac<0.

De två första typerna av integraler från de elementära fraktionerna ges helt enkelt till bordsubstitutionen T \u003d AX + B.

Tänk på integrationsmetoden för elementära fraktioner av typ III.

Integreringen av fraktionen av formen III skulle presenteras i formen:

Här visas i allmänhet att det är integrerat av en bråkdel av formen IIIO till två bordsintegreringar.

Tänk på tillämpningen av ovanstående formel på exemplen.

Exempel.

I allmänhet, om tre-stjärna axel 2 + bx + ensepassb 2 - 4ac\u003e 0, då fraktionen per definition inte är elementär, men det kan ändå integrera den angivna metoden.

Exempel.

Vi överväger nu metoderna för att integrera de enklaste fraktionerna i IVTP.

Först, överväga det speciella fallet på m \u003d 0, n \u003d 1.

Då integralet av vyn
det är möjligt att presentera i databasen av en komplett kvadrat i form av en full kvadrat
. Låt oss göra följande omvandling:

Den andra integrerade inmatningen i denna jämlikhet kommer att ta i delar.

Beteckna:

För källintegratet får vi:

Den resulterande formeln kallas återkommande.Om du tillämpar ITN-1-tid, kommer tabellen integrerad att vara
.

Låt oss nu återvända till det integrerade från den elementära fraktionen av IVT-typen av det allmänna fallet.

I den resulterande jämlikheten är den första integrerade av substitution t. = u. 2 + s.beläget till bordet , och den återkommande formeln som anses ovan appliceras på det andra integrerade.

Trots den uppenbara komplexiteten av integrationen av den elementära fraktionen av formen IV är det lätt att använda tillräckligt för fraktioner med en liten grad n., Och mångsidigheten och generelliteten i tillvägagångssättet gör det möjligt att möjliggöra en mycket enkel implementering av den här metoden på en dator.

Exempel:

Integrera rationella funktioner.

Integrera rationella fraktioner.

För att integrera den rationella fraktionen är det nödvändigt att sönderdela det på elementära fraktioner.

Sats: Om en
- Den korrekta rationella fraktionen, vars nämnare (X) representeras som en produkt av linjära och kvadratiska multiplikatorer (vi noterar att eventuellt polynom med giltiga koefficienter kan representeras i denna form: P.(x.) = (x. - a.)  …(x. - b.)  (x. 2 + px. + q.)  …(x. 2 + rx. + s.)  ), då kan denna fraktion sönderdelas på det elementära följande schema:

där en jag, b i, m i, n jag, är jag, är jag några permanenta värden.

Vid integration av rationella fraktioner utnyttjas den nedbrytning av den ursprungliga fraktionen på elementären. För att hitta storleken på jag, b i, m i, n i, r i, s jag, använd den så kallade metod för osäkra koefficienterKärnan vars är att för att två polynomier ska vara identiskt lika är det nödvändigt och tillräckligt att vara lika med koefficienterna med samma grad X.

Tillämpning av denna metod överväga ett specifikt exempel.

Exempel.

När vi leder till en gemensam nämnare och motsvarar motsvarande siffror får vi:

Exempel.

Därför att Fraktionen är fel, då bör den vara fördröjd hela delen:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x-7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Sprid nämnaren av den resulterande fraktionen på multiplikatorerna. Det kan ses att på X \u003d 3-nämnaren blir FRACI till noll. Sedan:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x-3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Således 3x 3-4x 2-17x + 6 \u003d (x- 3) (3x 2 + 5x-2) \u003d (x-3) (x + 2) (3x-1). Sedan:

För att undvika när du hittar odefinierade upplysningskoefficienter, grupperar och löser ett system med ekvationer (som i vissa fall kan det vara ganska stort) som används så kallat metod för godtyckliga värden. Kärnan i metoden är att det ovan erhållna uttrycket är alternerande något (enligt antalet osäkra koefficienter) av godtyckliga värden X. För att förenkla beräkningarna accepteras det som godtyckligt värden för att ta punkter där denomoteren är noll, d.v.s. I vårt fall - 3, -2, 1/3. Vi får:

Vi får äntligen:

Exempel.

Hitta osäkra koefficienter:

Då värdet av det angivna integralet:

Integrera vissa trigonometrics

funktioner.

Integreringar från trigonometriska funktioner kan vara oändligt mycket. De flesta av dessa integraler kan inte beräknas analytiskt, så överväga några huvudtyperna funktioner som alltid kan integreras.

Integrerad syn
.

Här är R - beteckningen av någon rationell funktion från variablessinxacosx.

Integreringar av denna art beräknas genom substitution
. Denna substitution gör att du kan konvertera trigonometrisk funktion till rationell.

Sedan

På det här sättet:

Den ovan beskrivna transformationen kallas universell trigonometrisk substitution.

Exempel.

Den otvivelaktiga fördelen med denna substitution är att det alltid är möjligt att konvertera trigonometrisk funktion till rationell och beräkna motsvarande integrerade. Nackdelarna innefattar det faktum att när man konverterar det kan visa sig en ganska komplicerad rationell funktion, vars integration kommer att ta mycket tid och styrka.

Om det är omöjligt att tillämpa en mer rationell ersättning av variabeln är den här metoden den enda intensiv.

Exempel.

Integrerad syn
om en

fungeraR.cosx..

Trots möjligheten att beräkna en sådan integrerad med en universell trigonometrisk substitution, mer rationell att tillämpa substitution t. = sinx..

Fungera
det kan innehålla så många i jämn grad, och därför kan det omvandlas till en rationell funktion av släktingarinx.

Exempel.

Generellt sett, för användning av denna metod, behövs endast ojämnheten hos funktionen i förhållande till cosinusen, och graden av sinus, som ingår i funktionen kan vara vilken som helst, både i både fraktionerna.

Integrerad syn
om en

fungeraR. är udda omsinx..

Analogt med det ovan beskrivna ärendet, substitution t. = cosx..

Exempel.

Integrerad syn

fungeraR. även omsinx. ochcosx..

För att konvertera RV-funktionen används substitutionen

t \u003d TGX.

Exempel.

Integrerade verk av bihålor och cosinus

olika argument.

Beroende på vilken typ av produkt, kommer en av tre formler att tillämpas:

Exempel.

Ibland, när man integrerar trigonometriska funktioner, är det lämpligt att använda välkända trigonometriska formler för att minska funktionerna för funktioner.

Exempel.

Ibland tillämpas vissa icke-standardtekniker.

Exempel.

Integrera vissa irrationella funktioner.

Inte alla irrationella funktioner kan ha ett integrerat uttryckt av elementära funktioner. För att hitta det integrerade från den irrationella funktionen, tillämpa en substitution som gör det möjligt att konvertera en funktion som är rationell, vars integral alltid kan hittas.

Tänk på vissa tekniker för att integrera olika typer av irrationella funktioner.

Integrerad syn
varn.- naturligt nummer.

Med hjälp av substitution
funktionen är rationaliserad.

Exempel.

Om kompositionen av den irrationella funktionen innefattar rötterna i olika grader, då som en ny variabel, rationellt tar roten till graden lika med de minsta totala flera grader av rötterna som ingår i uttrycket.

Vi kommer att illustrera detta i exemplet.

Exempel.

Integrering av binominskillnader.

Definition: Bininominal differentialkallas uttryck

x. m. (a. + bx. n. ) p. dx

var m., n., och p.- Rationella nummer.

Som bevisat av akademiker Chebyshev P.L. (1821-1894), det integrerade från binominskillnaden kan uttryckas endast genom elementära funktioner i följande tre fall:

Om en r- Ett heltal, då är integralen rationaliserad genom substitution

var - en gemensam nämnare m.och n..

Lösningen av integraler är uppgiften är lätt, men endast för de utvalda. Denna artikel är för dem som vill lära sig att förstå integralerna, men vet ingenting om dem eller nästan ingenting. Integral ... Varför behövs det? Hur man beräknar det? Vad är en viss och obestämd integral? Om den enda integrerade applikationen som är känd för dig är att få en virka i form av en integrerad ikon. Något användbart från svårt att nå platser, då välkommen! Lär dig hur du löser integralerna och varför utan det är det omöjligt att göra.

Vi studerar begreppet "integral"

Integration var känd i antika Egypten. Naturligtvis, inte i modern video, men ändå. Sedan dess skrev matematik många böcker om detta ämne. Speciellt utmärkta Newton och Leibnits Men kärnan i saker har inte förändrats. Hur man förstår integraler från början? Inte på något sätt! För att förstå detta ämne kommer den grundläggande kunskapen om grunden för matematisk analys fortfarande att behöva. Det är dessa grundläggande information om dig hittar i vår blogg.

Osäker integral

Låt oss ha någon form av funktion f (x) .

Osäker integrerad funktion f (x) Den här funktionen heter F (x) , vars derivat är lika med funktionen f (x) .

Med andra ord är det integrerade ett derivat kring det motsatta eller primitiva. Förresten, om hur man läser i vår artikel.

Prediktiv finns för alla kontinuerliga funktioner. Dessutom tillsätts det konstanta tecknet ofta till primären, eftersom derivaten skiljer sig åt i den konstanta sammanfallningen. Processen att hitta integralet kallas integration.

Enkelt exempel:

För att ständigt inte beräkna de primitiva elementära funktionerna är det lämpligt att minska bordet och använda de färdiga värdena:

Viss integral

Att ha en affär med begreppet integrerat, har vi oändligt små värden. Integreringen hjälper till att beräkna figuren av figuren, den inhomogent kroppens massa, passerade under den ojämna rörelsesvägen och mycket mer. Det bör komma ihåg att det integrerade är mängden oändligt stort antal Oändligt små termer.

Som ett exempel, föreställ dig ett schema för någon funktion. Hur man hittar ett område med figurer begränsas av ett diagram över funktionen?

Med hjälp av det integrerade! Vi delar upp det krökta trapeziumet, begränsat av koordinataxlarna och grafen av funktionen, på oändligt små segment. Således kommer figuren att delas upp i tunna kolumner. Summan av kolumnernas område kommer att vara området för trapezoiden. Men kom ihåg att en sådan beräkning kommer att ge ett exemplifierande resultat. Men desto mindre är segmenten redan att vara desto mer exakt kommer beräkningen. Om vi \u200b\u200bminskar dem i en sådan utsträckning att längden kommer att sträva efter noll, kommer mängden segment att sträva efter för området i figuren. Detta är ett specifikt integrerat som skrivs enligt följande:

Punkterna A och B kallas integrationsgränser.

Baria Alibasov och gruppen "Integral"

Förresten! För våra läsare är det en 10% rabatt på

Regler för beräkning av integraler för dummies

Egenskaper hos ett osäkert integrerat

Hur löser man ett obestämt integrerat? Här kommer vi att överväga egenskaperna hos ett osäkert integrerat, vilket kommer att vara användbart vid lösning av exempel.

Det integrerade derivatet är lika med integrandfunktionen:

Konstanten kan göras från tecken på det integrerade:

Det integrerade från mängden är lika med mängden integraler. Också också för skillnad:

Egenskaper för ett specifikt integrerat

Linearitet:

Det integrerade tecknet ändras om integrationsgränserna byts ut:

För några Punkter a., b. och från:

Vi har redan funnit att en viss integral är gränsen för beloppet. Men hur får man ett visst värde när du löser exemplet? För detta finns det en Newton-leibnisk formel:

Exempel på lösningar av integraler

Nedan kommer att överväga flera exempel på att hitta osäkra integraler. Vi föreslår att du självständigt förstår lösningens subtiliteter, och om något är oförståeligt, ställ frågor i kommentarerna.

För att säkra materialet, se videon om hur integralerna löses i praktiken. Förtvivlan inte om det integrerade inte ges omedelbart. Fråga, och de kommer att berätta om att beräkna integralerna allt som vet själva. Med vår hjälp kommer alla trippel eller kröklinjiga integrerade på en sluten yta att bli krafter.

Hitta ett obestämt integrerat (många primära eller "anti-derivat") betyder att man återställer funktionen enligt ett känt derivat av denna funktion. Återställd multiplicera F.(x.) + FRÅN För funktion f.(x.) tar hänsyn till integrationen konstant C.. Genom hastigheten för rörelse av materialpunkten (derivat) kan rörelsen om denna punkt (primitiv) återställas; Genom att påskynda rörelsen av punkten - dess hastighet och rörelsens lag. Som det kan ses är integrationen ett brett fält för Sherlock Holmes aktiviteter från fysik. Ja, och i ekonomin är många koncept representerade genom funktionerna och deras derivat och därför är det till exempel möjligt att återställa produktvolymen i en viss tidpunkt (derivat) för att återställa mängden produkter som utfärdas vid lämplig tidpunkt .

För att hitta ett obestämt integrerat krävs ett ganska litet antal grundläggande integrationsformler. Men processen med sin plats är mycket svårare än tillämpningen av dessa formler. All komplexitet avser inte integration, men för att få det integrerade uttrycket till denna art som gör det möjligt att hitta en obestämd integrering på ovan nämnda formler som nämns ovan. Det innebär att för att starta integrationspraxis måste du aktivera de uttryckskonverteringsfärdigheter som erhålls i gymnasiet.

Lär dig att hitta integraler vi kommer att använda egenskaper och tabell med osäkra integreringar Från lektionen på de grundläggande begreppen i det här ämnet (öppnas i ett nytt fönster).

Det finns flera metoder för att hitta en integrerad, varav metod för ersättning av variabeln och integrationsmetod i delar - Obligatorisk gentlemans uppsättning av alla som framgångsrikt passerade den högsta matematiken. För att börja masteringsintegrationen är dock mer användbar och trevligare med användningen av en sönderdelningsmetod baserat på följande två teorem på egenskaperna hos ett obestämt integrerat, vilket är lätt att hänvisa till.

Teorem 3.En permanent multiplikator i integrationen kan göras för ett tecken på en obestämd integrerad, dvs.

Theorem 4.Det obestämda integralen av den algebraiska mängden av det ändliga antalet funktioner är lika med den algebraiska summan av de obestämda integralerna hos dessa funktioner, dvs.

(2)

Dessutom kan följande regel vara användbar vid integration: om uttrycket av integrandfunktionen innehåller en permanent multiplikator, domineras uttrycket av den primitiva av numret, omvänd den konstanta faktorn, det vill säga

(3)

Eftersom denna lektion introduceras för att lösa integrationens uppgifter är det viktigt att notera två saker som antingen redan är i själva verket första scenenEller något senare kan de överraska dig. Överraskning på grund av det faktum att integration - den inverse differentieringsoperationen och en osäker integral kan med rätta kallas "anti-derivat".

Det första som inte borde bli förvånad vid integration. I det integrerade bordet det finns formler som inte har analoger bland formlerna i derivatbordet . Dessa är följande formler:

Det är emellertid möjligt att se till att derivaten av uttrycken i de högra delarna av dessa formler sammanfaller med motsvarande integrerade funktioner.

Det andra som inte borde bli förvånad vid integration. Även om derivatet av någon elementär funktion också är en elementär funktion, odefinierade integraler från vissa elementära funktioner är inte längre elementära funktioner. . Exempel på sådana integraler kan vara följande:

För utvecklingen av integrationstekniker kommer följande färdigheter att användas: reduktion av fraktioner, dividing av polynom i fraktionerad täljare på en enda vinge i nämnaren (för att erhålla mängden obestämda integraler), omvandlingen av rötter i en examen , multiplikation är oobytat till ett polynom, utrotning. Dessa färdigheter behövs för omvandling av integrationen, vilket resulterar i vilket mängden integraler som finns i det integrerade bordet bör erhållas.

Vi finner obestämda integraler tillsammans

Exempel 1.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Vi ser i denominatorn av integrandet uttryck för det polynomi, där X är på torget. Detta är ett nästan trogen tecken på att du kan tillämpa ett bordsintegral 21 (med arctangent som ett resultat). Vi utför en två gånger multiplikator från denominatorn (det finns en egenskap av det integrerade - en permanent multiplikator kan tas ut ur det integrerade tecknet ovan nämnt som teorem 3). Resultatet av allt detta:

Nu i denominatorn summan av kvadraterna, vilket innebär att vi kan tillämpa det nämnda tabulära integralet. Slutligen få svaret:

Exempel 2.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Vi tillämpar återigen teorem 3 - egenskapen hos det integrerade, på grundval av vilken den konstanta multiplikatorn kan göras för det integrerade tecknet:

Vi använder formeln 7 från det integrerade bordet (variabel till grad) till integrand-funktionen:

Vi minskar de resulterande fraktionerna och före oss Slutsvaret:

Exempel 3.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Använda första teorem 4, och sedan Teorem 3 på egenskaper, hittar vi denna integral som summan av tre integraler:

Alla tre integrerade mottagna - tabellen. Vi använder formel (7) från det integrerade bordet med n. = 1/2, n. \u003d 2 I. n. \u003d 1/5, och sedan

kombinerar alla tre godtyckliga konstanter som introducerades när tre integraler är belägna. I liknande situationer bör därför endast en godtycklig permanent (konstant) integration administreras.

Exempel 4.Hitta en osäker integrerad

Beslut. När i en denominator av den integrerade fraktionen - Unrochene kan vi minimera täljaren till denominatorn. Det ursprungliga integralen har blivit två integraler:

För att tillämpa ett bordsintegral omvandlar vi rötterna till examen och nu är det slutliga svaret:

Vi fortsätter att hitta obestämda integraler tillsammans

Exempel 7.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Om vi \u200b\u200bomvandlar en reaktiv funktion, uppstår vridna till en kvadrat och dividerar täljaren till nämnaren, blir den ursprungliga integralen summan av tre integraler.

Processen att lösa integraler i vetenskapen under namnet "matematik" heter integration. Med hjälp av integration kan du hitta några fysiska kvantiteter: Område, volym, kroppsvikt och mycket mer.

Integreringar är osäkra och definierade. Tänk på typen av ett specifikt integrerat och försök att förstå sin fysiska mening. Det verkar i detta formulär: $$ \\ int ^ a _b f (x) dx $$. Särskiljande egenskap Skriva ett specifikt integrerat från det osäkra på det faktum att det finns integrationsgränser A och B. Nu kommer vi ta reda på vad de behöver, och det betyder fortfarande en viss integrerad. I den geometriska bemärkelsen, en sådan integrerad lika med kvadrat Figurer avgränsade av kurvan F (x), linjer A och B och axeln OH.

Figur 1 visar att ett specifikt integrerat är samma område som är målat grå. Låt oss kolla det på det enklaste exemplet. Vi hittar området i figuren i bilden nedan genom integrationen, och sedan beräkna den på vanligt sätt att multiplicera längden på bredden.

Fig. 2 visar att $ y \u003d f (x) \u003d $ 3, $ a \u003d 1, b \u003d $ 2. Nu ersätter vi dem i definitionen av det integrerade, vi får det $$ s \u003d \\ int _a ^ bf (x) dx \u003d \\ int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) \\ big | _1 ^ 2 \u003d (3 \\ cdot 2) - (3 \\ cdot 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ Låt oss checka in det vanliga sättet. I vårt fall, längd \u003d 3, bredden av figuren \u003d 1. $$ s \u003d \\ text (längd) \\ cdot \\ text (width) \u003d 3 \\ cdot 1 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ som du kan se, allt perfekt sammanfaller.

Frågan visas: hur man löser integralerna är osäkra och vad är meningen? Lösningen av sådana integreringar är upptäckten av primitiva funktioner. Denna process är motsatsen att hitta derivatet. För att hitta den primära kan du använda vår hjälp för att lösa problem i matematik eller du måste självständigt inte driva integralernas egenskaper och integrationstabellen för de enklaste elementära funktionerna. Hitta är så $$ \\ INT f (x) dx \u003d f (x) + c \\ text (var) f (x) $ är en primitiv $ f (x), c \u003d const $.

För att lösa det integrerade måste du integrera funktionen $ f (x) $ via variabel. Om funktionen är ett bord, är svaret inspelat lämplig video. Om inte, reduceras processen för att få en tabellfunktion från funktionen $ f (x) $ genom att listiga matematiska omvandlingar. För detta är olika metoder och egenskaper som övervägs ytterligare.

Så, gör nu en algoritm hur man löser integraler för dummies?

Algoritm för beräkning av integraler

Vi lär oss en viss integrerad eller inte.
Om du är osäker måste du hitta utskriftsfunktion $ F (x) $ från den integrerade $ f (x) $ med matematiska omvandlingar som leder till ett bordsformulär $ f (x) $.
Om det är definierat måste du utföra steg 2 och ersätta sedan gränserna för $ en $ och $ b $ i den primitiva funktionen $ f (x) $. Vilken formel är att göra detta i artikeln "Newtons Formel Leibnitsa".

Exempel på lösningar

Så lärde du dig att lösa integraler för dummies, exempel på att lösa integraler demonterade hyllorna. De lärde sig fysisk och geometrisk mening. Beslutsmetoderna kommer att anges i andra artiklar.