Område curvilinear Trapezium Numeriskt lika en viss integral

Alla speciella integrerade (som existerar) har en mycket god geometrisk mening. I lektionen sa jag att ett visst integral är ett nummer. Och nu är det dags att ange en mer användbart. Ur geometri synvinkel är ett visst integral ett område.

Dvs, ett specifikt integrerat (om det existerar) geometriskt motsvarar området för någon figur. Tänk till exempel ett specifikt integrerat. Integrand-funktionen ställer in en kurva på planet (det kan alltid dras om så önskas), och en viss integral i sig är numeriskt lika med området av motsvarande kröktrapinär trapezium.

Exempel 1.

Detta är en typisk uppgiftsformulering. Först I. det viktigaste Lösningar - Byggteckning. Och ritningen måste byggas RÄTT.

När du bygger en ritning rekommenderar jag nästa beställning: först Det är bättre att bygga allt rakt (om de är) och bara senare - Paraboler, hyperbolor, scheman av andra funktioner. Funktionsgrafer är mer lönsamma att bygga potko, med tekniken för incheckningsbyggnad finns i referensmaterial.

Där kan du också hitta ett mycket användbart material i förhållande till vår lektion. Materialet - hur man snabbt bygger en parabola.

I den här uppgiften kan beslutet se ut så här.
Utför ritningen (Observera att ekvationen ställer in axeln):

Jag kommer inte att stroke en kröktrappa, här är det uppenbart om vilket område detta är tal. Beslutet fortsätter så här:

På segmentet Schema är en funktion belägen Över axeln, så:

Svar:

Vem har svårigheter med beräkningen av en viss integrerad och användningen av Newton-Leibnia-formel , hänvisa till föreläsningen Vissa integrerade. Exempel på lösningar.

Efter att uppgiften är klar är det alltid användbart att titta på ritningen och uppskatta, den verkliga som visade sig. I det här fallet, "på ögonen", räknar vi antalet celler på ritningen - ja, ungefär 9 kommer att flöda, det verkar som om sanningen. Det är helt klart att om vi hade sagt svar: 20 kvadratiska enheter är det uppenbart att ett fel görs någonstans - i den 20 cellerna är det klart inte monterat, från styrkan hos ett dussin. Om svaret visade sig, bestäms också uppgiften felaktigt.

Exempel 2.

Beräkna området för form, begränsade linjer och axel

Detta är ett exempel på självständig. Komplett lösning Och svaret i slutet av lektionen.

Vad ska man göra om det krökta trapeziet är beläget under axeln?

Exempel 3.

Beräkna området för formen, begränsade linjer och koordinataxlarna.

Lösning: Utför ritning:

Om ett curvilinear trapezium fullt beläget under axeln, då kan dess område hittas med formeln:
I detta fall:

Uppmärksamhet! Förvirra inte två typer av uppgifter:

1) Om du är inbjuden att lösa ett enkelt integrerat utan geometrisk mening, kan det vara negativt.

2) Om du är inbjuden att hitta figuren i figuren med hjälp av ett specifikt integrerat, är området alltid positivt! Det är därför i bara den ansedda formeln visas minus.

I praktiken är siffran oftast i övre och nedre halvplanet, och därför, från de enklaste skoldiagrammen, gå till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4.

Hitta området för en platt figur, begränsade linjer ,.

Lösning: Först måste du rita en ritning. Generellt sett, när vi bygger en ritning i uppgifter till området, är vi mest intresserade av korsningspunkterna i linjerna. Hitta poäng för korsning av parabola och direkt. Detta kan göras på två sätt. Den första metoden är analytisk. Vi löser ekvationen:

Så, den lägre integrationsgränsen, den övre gränsen för integration.
Det här är bättre, om möjligt, använd inte.

Det är mycket mer lönsamt och snabbare att bygga linjerna i linjen, medan integrationsgränserna klargörs som om "av sig själva". Tekniken för upphörandet för olika grafer anses i detalj i hjälpen Diagram och egenskaper hos elementära funktioner. Ett analytiskt sätt att hitta gränserna trots allt är det ibland nödvändigt att tillämpa om schemat är tillräckligt stort, eller en utbildad konstruktion avslöjade inte integrationsgränserna (de kan vara fraktionella eller irrationella). Och ett sådant exempel, vi överväger också.

Vi återvänder till vår uppgift: mer rationell först bygga en rak linje och bara då parabola. Utför ritning:

Jag upprepar att i den nuvarande konstruktionen, är integrationsgränserna oftast ut av den "automatiska".

Och nu arbetsformeln: Om på segmentet någon kontinuerlig funktion mer eller lika En del kontinuerlig funktion, området för motsvarande figur kan hittas med formeln:

Här är det inte längre nödvändigt att tänka där figuren är belägen - över axeln eller under axeln, och, ungefär, viktigt vad är grafen ovan(i förhållande till ett annat schema) och vad - nedan.

I det här exemplet är det uppenbart att på segmentet av parabol ligger ovanför rakt, och därför är det nödvändigt att subtrahera

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade siffran är begränsad till parabolen ovanifrån och direkt botten.
På segmentet, enligt motsvarande formel:

Svar:

Faktum är att skolformeln för det kröklinjiga trapezium i det nedre halvplanet (se enkelt exempel nr 3) - privatfodral Formler . Eftersom axeln definieras av ekvationen, och funktionsgrafen är belägen under axeln,

Och nu ett par exempel för ett självständigt beslut

Exempel 5.

Exempel 6.

Hitta området för de begränsade linjerna ,.

Under löpande uppgifter för att beräkna området med ett specifikt integrerat, uppstår ett roligt fall ibland. Ritningen är klar korrekt, beräkningar - rätt, men intensifierad ... hittade området är inte figurenAtt det här är hur din ödmjuka tjänare packades. Här är ett riktigt fall från livet:

Exempel 7.

Beräkna området för formen, begränsade linjer ,,,.

Förstekta ritningen:

Figur vars område vi behöver hitta är skuggat i blått(Se noggrant ut på villkoret - än figuren är begränsad!). Men i praktiken på ouppmärksamhet är det ofta att det är nödvändigt att hitta området i figuren, vilket är skuggat grön!

Detta exempel är också användbart genom att det anses vara i det storleken på två specifika integraler. Verkligen:

1) Ett rakt schema är beläget på segmentet över axeln;

2) På segmentet över axeln finns ett graf av hyperboler.

Det är uppenbart att torget kan (och behöver) att sönderdelas, så:

Svar:

Exempel 8.

Beräkna området för formen, begränsade linjer,
Föreställ dig ekvationen i "skolans" -formulär och utföra den aktuella ritningen:

Från ritningen är det klart att den övre gränsen vi har "bra" :.
Men vad är den nedre gränsen?! Det är uppenbart att detta inte är ett heltal, men vad? Kanske ? Men var är garantin att ritningen är gjord med perfekt noggrannhet, det kan väl vara det. Eller rot. Och om vi i allmänhet har ett felaktigt byggt ett schema?

I sådana fall måste du spendera extra tid och ange integrationsgränserna analytiskt.

Hitta skärningspunkterna i direkt och parabola.
För att göra detta, lösa ekvationen:

Därav, .

Ytterligare lösning är trivial, det viktigaste är att inte bli förvirrad i substitutioner och tecken, beräkningarna här är inte det enklaste.

På att skära Enligt motsvarande formel:

Svar:

Tja, och i slutsatsen av lektionen, överväga två uppgifter svårare.

Exempel 9.

Beräkna formen av formen, begränsade linjer ,,

Lösning: Visa denna form i ritningen.

För att kontrollera ritningen måste du veta utseende sinusoider (och det är allmänt användbart att veta grafer av alla elementära funktioner), liksom vissa sinusvärden, kan de hittas i trigonometriskt bord . I vissa fall (som i detta) får det bygga en schematisk ritning som graferna och integrationsgränserna måste återspeglas i princip.

Med gränserna för integration finns det inga problem här, de följer direkt från villkoret: - "X" varierar från noll till "PI". Vi utarbetar en ytterligare lösning:

På segmentet är funktionsdiagrammet ovan ovanför axeln, så:

(1) Hur man integrerar bihålor och cosines i udda grader kan ses i lektionen Integrals OT. trigonometriska funktioner . Detta är en typisk mottagning, pressning av en sinus.

(2) Vi använder den viktigaste trigonometriska identiteten i form av

(3) Vi kommer att ersätta variabeln, då:

Ny ändringsintegration:

Vem har mycket dåliga saker med ersättningar, vänligen gå till lektionen Ersättningsmetod i en obestämd integral. Vem är inte särskilt tydlig för ersättningsalgoritmen i ett visst integrerat, besök sidan Vissa integrerade. Exempel på lösningar.

EXEMPEL1 . Beräkna området i figuren, begränsade linjer: x + 2u - 4 \u003d 0, y \u003d 0, x \u003d -3 och x \u003d 2

Vi kommer att genomföra konstruktionen av figuren (se fig.) Vi bygger en rak X + 2U - 4 \u003d 0 med två punkter A (4; 0) och i (0; 2). Att uttrycka Y genom X, vi erhåller y \u003d -0.5x + 2. med formel (1), där f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vi finner

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 kV. älva

Exempel 2. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: x - 2au + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 och y \u003d 0.

Beslut. Utföra konstruktionen av figuren.

Vi konstruerar en rak x - 2au + 4 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d - 4, a (-4; 0); x \u003d 0, y \u003d 2, i (0; 2).

Vi konstruerar den raka x + y-5 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d 5, c (5; 0), x \u003d 0, y \u003d 5, d (0; 5).

Vi hittar skärningspunkten för direkt, löser systemet med ekvationer:

x \u003d 2, y \u003d 3; M (2; 3).

För att beräkna det önskade området bryter vi AMS-triangeln på två trianglar i AMN och NMS, eftersom med en förändring i X från A till N är området begränsat till direkt, och när X från N till C - direkt

För AMN-triangeln har vi:; y \u003d 0,5x + 2, dvs F (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

För triangeln NMS har vi: Y \u003d - X + 5, dvs F (x) \u003d - x + 5, a \u003d 2, b \u003d 5.

Genom att beräkna området för var och en av trianglarna och vikla resultaten, hitta:

sq. enheter.

sq. enheter.

9 + 4, 5 \u003d 13,5 kvadratmeter. enheter. Kontrollera: \u003d 0,5As \u003d 0,5 kV. enheter.

Exempel 3. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d x 2 , y \u003d 0, x \u003d 2, x \u003d 3.

I det här fallet är det nödvändigt att beräkna området för det kröklinjiga trapezium, begränsat av parabola y \u003d x 2 , rakt x \u003d 2 och x \u003d 3 och OH (se fig.) Med formel (1) hittar vi området av det krökta trapeziumet

\u003d \u003d 6kv. enheter.

Exempel 4. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d - x 2 + 4 och Y \u003d 0

Utföra konstruktionen av figuren. Det önskade området avslutas mellan parabola y \u003d - x 2 + 4 och axeln Oh.

Hitta punkter för korsning av parabola med axeln Oh. Att tro Y \u003d 0, vi hittar X \u003d Eftersom den här siffran är symmetrisk med avseende på OU-axeln, beräknar vi området av figuren som är placerad på höger om OU-axeln, och det resulterande resultatet kommer att vara dubbelt: \u003d + 4x] kv. enheter. 2 \u003d 2 kV. enheter.

Exempel 5. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y 2 \u003d x, yx \u003d 1, x \u003d 4

Det kräver beräkning av det kröklinjiga trapeziums område, begränsat till paraboliens toppgren 2 \u003d x, axel oh och rakt x \u003d 1 och \u003d 4 (se fig.)

Med formel (1), där f (x) \u003d a \u003d 1 och b \u003d 4 vi har \u003d (\u003d sq.

Exempel 6. . Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d sinx, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d.

Det önskade området är begränsat till halvvågs sinusoid och axeln OH (se fig.).

Vi har - Cosx \u003d - Cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kV. enheter.

Exempel 7. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d - 6x, y \u003d 0 och x \u003d 4.

Figuren är belägen under axeln OH (se fig.).

Följaktligen finns dess område med formel (3)

= =

Exempel 8. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d och x \u003d 2. Kurvan y \u003d konstruera med punkter (se fig.). Således finns området för figurerna med formel (4)

Exempel 9. .

h. 2 + U. 2 \u003d R. 2 .

Det kräver beräkning av området, begränsad cirkel X 2 + U. 2 \u003d R. 2 , dvs området av radiecirkeln r med mitten i början av koordinaterna. Vi hittar den fjärde delen av detta område, tar integrationsgränserna från 0

dor; Vi har: 1 = = [

Därav, 1 =

Exempel 10. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d x 2 och y \u003d 2x

Den här siffran är begränsad till parabola y \u003d x 2 och direkt Y \u003d 2x (se fig.) För att bestämma skärningspunkterna för de angivna linjerna genom att lösa systemet med ekvationer: x 2 - 2x \u003d 0 x \u003d 0 och x \u003d 2

Använda området för att hitta områdets formel (5), vi får

\u003d (Curvilinear Trapezium Base) på n lika delar; Denna partition utförs med hjälp av punkterna x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Vi kommer att spendera direkt, parallella axlar. Därefter bryts de angivna kröklinjiga trapezium på n delar, på n smala kolumner. Området av hela trapezium är lika med summan av kolonnens område.

Tänk på en separat K-B-färg, d.v.s. Ett kröktrapezium, vars bas tjänar ett segment. Byt ut den med en rektangel med samma bas och en höjd av f (x k) (se figur). Området av rektangeln är lika med \\ (f (x_k) \\ cdot \\ delta x_k \\), där \\ (\\ delta x_k \\) är längden på segmentet; Naturligtvis överväga det sammansatta arbetet med det ungefärliga värdet av k-th-kolumnens område.

Om du nu gör detsamma med alla andra kolumner kommer vi att komma till följande resultat: Area S av en given krökt trapezion är ungefär lika med området S n-stegfigur bestående av n rektanglar (se figur):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ delta x_k + \\ dots + f (x_ (n - 1)) \\ delta x_ (n - 1) \\)
Här, för enhetlighetens skull tror vi att a \u003d x 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - längden på segmentet, \\ (\\ delta x_1 \\) - längd längd, etc; Samtidigt, som vi kom överens, \\ (\\ delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ delta x_ (n-1) \\)

Så, \\ (s \\ ca s_n \\), och det här är en ungefärlig jämlikhet, ju mer exakt desto mer n.
Enligt definition antas att det önskade området för det kröklinjiga trapeziumet är lika med sekvensgränsen (S n):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Uppgift 2. (Om rörlig punkt)
Materialpunkten rör sig på den raka. Beroendet av hastigheten i tid uttrycks med formeln V \u003d V (t). Hitta punktens rörelse över tidsintervallet [a; b].
Beslut. Om rörelsen var enhetlig, skulle uppgiften vara väldigt enkel: s \u003d vt, dvs. S \u003d v (b - a). För ojämn trafik måste du använda samma idéer som beslutet om den tidigare uppgiften var baserad.
1) Vi delar tidsintervallet [a; b] på n lika delar.
2) Tänk på tidsintervallet och vi antar att hastigheten var att under denna tidsperiod var konstant, såsom vid tidpunkten för Tk. Så, vi tror att v \u003d v (t k).
3) Hitta det ungefärliga värdet av punktens rörelse över tidsintervallet, det här är ett ungefärligt värde ange s k
\\ (S_k \u003d v (t_k) \\ delta t_k \\)
4) Hitta den ungefärliga rörelsen av S:
\\ (s \\ ca s_n \\) var
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n - 1)) \\ delta t_ (n-1) \\)
5) Den önskade rörelsen är lika med sekvensgränsen: s):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Låt oss sammanfatta. Lösningar av olika uppgifter har körts till samma matematiska modell. Många utmaningar från olika områden av vetenskap och teknik leder i processen att lösa samma modell. Så den här matematiska modellen måste vara särskilt lärda.

Begreppet en specifik integral

Vi ger en matematisk beskrivning av den modell som konstruerades i de tre ansedda uppgifterna för funktionen Y \u003d F (x), kontinuerlig (men inte nödvändigtvis nonnegative, eftersom det antogs i de ansedda uppgifterna) på segmentet [A; b]:
1) Dela segmentet [A; b] på n lika delar;
2) Vi gör ett belopp $$ s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + f (x_1) \\ delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ delta x_ (n-1) $$
3) Beräkna $$ \\ Lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Under matematisk analys är det bevisat att denna gräns i fallet med en kontinuerlig (eller styckevis kontinuerlig) funktion existerar. Han kallas ett specifikt integrerat från funktionen y \u003d f (x) med segment [a; b] Och ange:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Numren A och B kallas gränserna för integration (respektive av den nedre och övre delen).

Låt oss återvända till ovanstående uppgifter. Definitionen av ett område som anges i uppgift 1 kan nu skriva om följande:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Här är området för den kröklinjiga trapezoid som avbildas i figuren ovan. Detta består den geometriska betydelsen av ett specifikt integrerat.

Bestämning av rörelsen s-punkt som rör sig i en rak linje med en hastighet V \u003d V (t) under tiden från T \u003d A till T \u003d B, som anges i uppgift 2, kan du skriva om den:

Newtons formel - Leibnia

Till att börja med kommer de att svara på frågan: Vad är förhållandet mellan en specifik integrerad och primitiv?

Svaret kan hittas i problem 2. Å ena sidan, rörelsen s-punkt som rör sig i en rak linje med en hastighet v \u003d v (t) under tiden från t \u003d a till t \u003d b och beräknas av formel
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \\)

Å andra sidan är koordinaten av den rörliga punkten en primitiv för hastigheten - betecknar sin S (t); Det betyder att rörelsen s uttrycks med formeln S \u003d s (b) - s (a). Som ett resultat får vi:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
där S (t) är primitiv för v (t).

Följande teorem bevisas under matematisk analys.
Sats. Om funktionen y \u003d f (x) är kontinuerlig på segmentet [a; b], då är formeln giltig
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
där f (x) är primitiv för f (x).

Den resulterande formeln kallas vanligtvis newton Formula - Leibnia Till ära av den engelska fysiken i Isaac Newton (1643-1727) och den tyska filosofen av Gottfried Leibnitsa (1646-1716), som mottog det självständigt från varandra och nästan samtidigt.

I praktiken, istället för att spela in f (b) - f (a), använder de posten \\ (\\ vänster. F (x) \\ höger | _a ^ b \\) (det kallas ibland det dubbel substitution) Och följaktligen omskriva Newtons formel - Leibnitsa i detta formulär:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ vänster. F (x) \\ höger | _a ^ b \\)

Beräkna en specifik integral, först hitta den primitiva och utför sedan en dubbel substitution.

Med hjälp av Newtons formel - Leibnitsa kan du få två egenskaper hos ett specifikt integrerat.

Egendom 1. Det integrerade från mängden funktioner är lika med summan av integralerna:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)

Fastighet 2. En permanent multiplikator kan nås med det integrerade tecknet:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

Beräkning av platta funktioner med hjälp av ett specifikt integrerat

Med hjälp av det integrerade kan du beräkna området inte bara kröktraper, men också platta figurer mer komplexaTill exempel presenteras det i figuren. Figur P är begränsad till rak X \u003d A, X \u003d B och grafer av kontinuerliga funktioner Y \u003d F (x), y \u003d g (x) och på segmentet [a; b] Ojämlikheten \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) utförs. För att beräkna torget S i en sådan siffra kommer vi att fungera som följer:
\\ (S \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (adcb) - s_ (aabb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Så är området s en siffra avgränsad av rak x \u003d a, x \u003d b och grafer av funktioner y \u003d f (x), y \u003d g (x), kontinuerlig på segmentet och såsom för någon x från segmentet [ A; b] ojämlikheten \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) utförs, beräknat med formeln
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Tabell över obestämda integraler (primitiva) vissa funktioner

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d c $$$$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ INT \\ FRAC (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ Int E ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ synd x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$$$$ Int \\ Frac (DX) (\\ SQRT (1-x ^ 2)) \u003d \\ Text (Arcsin) x + C $$$$$ Int \\ Frac (DX) (1 + X ^ 2 ) \u003d \\ Text (Arctg) x + C $$$$$ Int \\ Text (CH) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) x + c $$

Figuren, begränsad av ett diagram över kontinuerlig icke-negativ på ett segment $$ funktioner $ f (x) $ och direkt $ y \u003d 0, \\ x \u003d en $ och $ x \u003d b $, kallas ett kröktrapa trapezium.

Området av motsvarande kröktrapa trapezium beräknas med formeln:

$ S \u003d \\ int \\ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Uppgifter för att hitta området för det krökta trapezium som vi kommer att vara villkorligt dividerat med $ 4 $-typ. Tänk på varje typ av Läs mer.

Jag skriver: Det krökta trapeziumet är tydligt inställt. Applicera sedan omedelbart formeln (*).

Till exempel, hitta området för det krökta trapezium, begränsat av grafen av funktionen $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) $ och direkt $ y \u003d 0, \\ x \u003d 1 $ och $ x \u003d $ 3.

Rita detta curvilinear trapezium.

Med hjälp av formeln (*) hittar vi området av detta kröktrapinära trapezium.

$ S \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (\\ vänster (4- (x-2) ^ (2) \\ höger) dx) \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \\ INT \\ LIMITS_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - \\ vänster. \\ frac (x-2) ^ (3) ) (3) \\ höger | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) \\ vänster ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \\ höger) \u003d 4 \\ cdot 2 - \\ frac (1) (3) \\ vänster ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ höger) \u003d 8 - \\ frac (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- \\ frac (2) (3) \u003d 7 \\ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

II Typ: Den kröklinjiga trapezoiden definieras implicit. Detta fall anger vanligtvis inte eller specificeras delvis rakt $ X \u003d A, \\ X \u003d B $. I det här fallet måste du hitta skärningspunkterna i funktionerna $ y \u003d f (x) $ och $ y \u003d 0 $. Dessa poäng kommer att pekar på $ en $ och $ B $.

Till exempel, hitta området av figuren begränsad av graferna på funktionerna $ y \u003d 1-x ^ (2) $ och $ y \u003d 0 $.

Hitta korsningspunkterna. För att göra detta, jämföra de rätta delarna av funktioner.

Således, $ a \u003d -1 $, och $ b \u003d 1 $. Rita detta curvilinear trapezium.

Hitta området för detta kröktrapa trapezium.

$ S \u003d \\ int \\ gränser _ (- 1) ^ (1) (\\ vänster (1-x ^ (2) \\ höger) dx) \u003d \\ int \\ gränser _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \\ INT \\ gränser _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - \\ vänster. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ Höger | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - (- 1)) - \\ frac (1) (3) \\ vänster (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ höger) \u003d 2 - \\ frac (1) (3) \\ vänster (1 + 1 \\ höger) \u003d 2 - \\ frac (2) (3) \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (enheter $ ^ (2) $).

III Typ: Figurområde, begränsad av korsningen av två kontinuerliga icke-negativa funktioner. Denna siffra kommer inte att vara ett kröktrapinärt trapezium, och därmed, med hjälp av formel (*), beräknar dess område inte. Hur man är?Det visar sig att området i denna figur kan hittas som skillnaden i de kröklinjiga trapezes som är avgränsade av den övre funktionen och $ y \u003d 0 $ ($ s_ (uf) $) och den nedre funktionen och $ y \u003d 0 $ ($ s_ (LF) $), där i rollen av $ X \u003d A, \\ X \u003d B $, koordinat är koordinater av $ X $ av korsningen av dessa funktioner, dvs.

$ S \u003d s_ (uf) -s_ (lf) $. (**)

Det viktigaste när man beräknar sådana områden är inte "fröken" med valet av övre och nedre funktion.

Hitta till exempel området i figuren begränsad av funktionerna $ y \u003d x ^ (2) $ och $ y \u003d x + $ 6.

Hitta korsningspunkterna i dessa grafer:

På Vieta-teoremet,

$ x_ (1) \u003d - 2, \\ x_ (2) \u003d 3. $

Det är, $ a \u003d -2, \\ b \u003d $ 3. Jag visar figuren:

Således är den övre funktionen $ y \u003d x + $ 6, och det nedre är $ y \u003d x ^ (2) $. Därefter hittar vi $ s_ (uf) $ och $ s_ (LF) $ med formel (*).

$ S_ (uf) \u003d \\ int \\ gränser _ (- 2) ^ (3) (x + 6) dx) \u003d \\ int \\ gränser _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \\ int \\ gränser _ (- 2) ^ (3) (6dx) \u003d \\ vänster. \\ Frac (x ^ (2)) (2) \\ höger | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) \u003d 32, $ 5 (enhet $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) \u003d \\ int \\ gränser _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d \\ vänster. \\ Frac (x ^ (3)) (3) \\ höger | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

Vi ersätter hittat i (**) och vi får:

$ S \u003d 32.5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (enhet $ ^ (2) $).

IV Typ: Figurområde, begränsad av funktion (er), inte tillfredsställande (er) tillstånd av icke-negativitet. För att hitta området för en sådan figur behöver du symmetriskt i förhållande till $ OX $ AXIS ( med andra ord, Sätt "minuses" före funktioner) för att visa området och använda de metoder som anges i typerna I - III, hitta området för det visade området. Detta område kommer att vara det önskade området. Tidigare kan du behöva hitta poängen för skärningspunkten för grafer av funktioner.

Till exempel, hitta området för figuren begränsad av graferna på funktionerna $ y \u003d x ^ (2) -1 $ och $ y \u003d 0 $.

Hitta punkterna för korsning av grafer av funktioner:

de där. $ a \u003d -1 $, och $ b \u003d 1 $. Kläcker området.

Symmetriskt visa området:

$ y \u003d 0 \\ \\ rightarrow \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ rightarrow \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1-x ^ (2) $.

Det visar sig en kröklinjig trapezion, begränsad av ett diagram över funktionen $ y \u003d 1-x ^ (2) $ och $ y \u003d 0 $. Detta är uppgiften att hitta ett kröktrapinärt trapezium av den andra typen. Vi har redan löst det. Svaret var sådant: $ s \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $). Det betyder att området för det önskade kröklinjiga trapeziet är lika med:

$ S \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

Det är nödvändigt att beräkna området för det kröklinjiga trapezionen avgränsat av rakt,
,
båda kurvan
.

Vi bryter klippet
talad elementära segment, längd
th segmentet
. Återställ vinkelrätt mot separationspunkterna i segmentet till korsning med kurvan
, låt vara
. Som ett resultat får vi elementära trapeziums, summan av deras område är uppenbarligen lika med summan av ett givet kröktrapinärt trapezium.

Vi definierar de största och minsta värdena för funktionen på varje elementärt intervall, på det första intervallet.
, på den andra
etc. Beräkna summor

Den första summan är området för alla beskrivna, den andra - det finns ett område som är inskrivet i den kröklinjiga trapezion av rektanglar.

Det är uppenbart att den första summan ger det ungefärliga värdet av trapezoidområdet "med ett överskott", den andra - "med nackdelen". Den första beloppet kallas den övre mängden darboux, den andra - enligt den nedre delen av darboua. Således är området för det krökta trapeziumet uppfyller ojämlikhet
. Ta reda på hur de mängder darboux beter sig med att öka antalet segmenteringspunkter
. Låt antalet partitionspunkter ökade med en, och det är mitt i intervallet
. Nu är numret som

inspekterade och beskrivna rektanglar ökade med en. Tänk på hur den lägre mängden darbu har förändrats. Istället för kvadrat
en fisher rektangel lika
vi får mängden av två rektanglar
Eftersom längd
kan inte vara mindre
de minsta värdena på funktionen på
. Å andra sidan,
, i den mån som
kan inte vara mer
det största värdet av funktionen på intervallet
. Så, att lägga till nya segmentbrytningspunkter ökar värdet på den nedre delen av Darboux och minskar den övre mängden Darbou. Samtidigt kan den nedre delen av DarboUX med någon ökning av antalet partitionspunkter inte överstiga värdena på ett övre mängd, eftersom summan av de beskrivna rektanglarna är alltid mer summa Kvadrater inskrivna i ett kröktrapezium av rektanglar.

Sålunda ökar sekvensen av de nedre mängderna av darboux med ökande antalet punkter för att dela upp segmentet och är begränsat ovanifrån, enligt det välkända teoret, har den en gräns. Denna gräns är området för ett givet kröktrapinärt trapezium.

På liknande sätt minskar sekvensen av de övre mängderna av Darboux med en ökning av antalet intervallseparationspunkter och är begränsad till från botten av en lägre mängd darboux, det betyder att det också har en gräns, och det är också lika med området av det krökta trapeziumet.

Därför att beräkna området för det kröklinjiga trapeziumet är det tillräckligt för splittra intervallet för att bestämma antingen botten eller den övre mängden darboua och sedan beräkna
, eller
.

En sådan lösning på uppgiften förutsätter emellertid något, godtyckligt stort antal partitioner
, Hitta på varje elementärt intervall av det största eller minsta värdet av funktionen, vilket är en mycket tidskrävande uppgift.

En enklare lösning erhålls genom den integrerade mängden Riemann, som är

var
någon punkt i varje elementärt intervall, det är
. Följaktligen är den integrerade mängden Riemann summan av områdena av alla slags rektanglar, och
. Såsom visas ovan är gränserna för den övre och undre mängden darboux samma och lika med området för det kröklinjiga trapeziumet. Använda en av egenskaperna hos gränsen för funktionen (regeln för två poliser) får vi det med någon splittring av segmentet
och välja poäng området av det krökta trapeziumet kan beräknas med formeln
.