Arean av trapetsen är integrerad. Definitiv integral. Hur man beräknar arean av en form

En figur som avgränsas av grafen för en kontinuerlig icke-negativ på segmentet $$ funktion $ f (x) $ och räta linjer $ y = 0, \ x = a $ och $ x = b $, kallas en kurvlinjär trapets.

Område motsvarande böjd trapets beräknas med formeln:

$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Vi kommer konventionellt att dela upp problemen med att hitta området för en krökt trapets i $ 4 $ typer. Låt oss överväga varje typ mer detaljerat.

Typ I: en böjd trapets är uttryckligen specificerad. Sedan tillämpar vi omedelbart formeln (*).

Hitta till exempel arean av en krökt trapets som begränsas av grafen för funktionen $ y = 4- (x-2) ^ (2) $, och av de raka linjerna $ y = 0, \ x = 1 $ och $ x = 3 $.

Låt oss rita denna böjda trapets.

Genom att tillämpa formeln (*) hittar vi arean av denna böjda trapets.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ vänster (4- (x-2) ^ (2) \ höger) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ vänster. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ höger | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ vänster ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ höger) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ vänster ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ höger) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

Typ II: en krökt trapets är implicit specificerad. I det här fallet är de raka linjerna $ x = a, \ x = b $ vanligtvis inte specificerade eller delvis specificerade. I det här fallet måste du hitta skärningspunkterna för funktionerna $ y = f (x) $ och $ y = 0 $. Dessa poäng kommer att vara poängen $ a $ och $ b $.

Hitta till exempel arean av en figur som avgränsas av graferna för funktionerna $ y = 1-x ^ (2) $ och $ y = 0 $.

Låt oss hitta skärningspunkterna. För att göra detta likställer vi funktionernas högra sida.

Så $ a = -1 $ och $ b = 1 $. Låt oss rita denna böjda trapets.

Låt oss hitta området för denna böjda trapets.

$ S = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (\ vänster (1-x ^ (2) \ höger) dx) = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ gränser _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ vänster. \ frac (x ^ (3)) (3) \ höger | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ vänster (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ höger) = 2 - \ frac (1) (3) \ vänster (1 + 1 \ höger) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

Typ III: område av en figur som begränsas av skärningspunkten mellan två kontinuerliga icke-negativa funktioner. Denna figur kommer inte att vara en krökt trapets, vilket innebär att du inte kan beräkna dess area med formeln (*). Hur man är? Det visar sig att arean av denna figur kan hittas som skillnaden mellan områdena av kurvlinjära trapetser som begränsas av den övre funktionen och $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $), och den nedre funktionen och $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), där rollen för $ x = a, \ x = b $ spelas av $ x $-koordinaterna för skärningspunkterna för dessa funktioner, dvs.

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Det viktigaste vid beräkning av sådana områden är att inte överskrida med valet av de övre och nedre funktionerna.

Hitta till exempel arean av en figur som avgränsas av funktionerna $ y = x ^ (2) $ och $ y = x + 6 $.

Låt oss hitta skärningspunkterna för dessa grafer:

Enligt Vietas teorem,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Det vill säga $ a = -2, \ b = 3 $. Låt oss rita en figur:

Så den övre funktionen är $ y = x + 6 $, och den nedre är $ y = x ^ (2) $. Hitta sedan $ S_ (uf) $ och $ S_ (lf) $ med formeln (*).

$ S_ (uf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ limits _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ vänster. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ höger | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) ) = 32 , 5 $ (enheter $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ vänster. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ höger | _ (- 2 ) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

Ersätt det som finns i (**) och få:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (enhet $ ^ (2) $).

Typ IV: area av en figur som begränsas av en funktion(er) som inte uppfyller villkoret för icke-negativitet. För att hitta arean för en sådan figur måste du symmetriskt kring axeln $ Ox $ ( med andra ord, sätt "minus" framför funktionerna) visa området och, med hjälp av metoderna som beskrivs i typerna I - III, hitta området för det visade området. Detta område kommer att vara det område som krävs. Tidigare kan man behöva hitta skärningspunkterna för funktionsgraferna.

Hitta till exempel arean av en figur som avgränsas av graferna för funktionerna $ y = x ^ (2) -1 $ och $ y = 0 $.

Låt oss hitta skärningspunkterna för graferna för funktionerna:

de där. $ a = -1 $ och $ b = 1 $. Låt oss rita området.

Visa området symmetriskt:

$ y = 0 \ \ Högerpil \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Högerpil \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

Du får en kurvlinjär trapets som begränsas av grafen för funktionen $ y = 1-x ^ (2) $ och $ y = 0 $. Detta är problemet med att hitta en kurvlinjär trapets av den andra typen. Vi har redan löst det. Svaret var: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $). Därför är arean för den erforderliga kurvlinjära trapetsen lika med:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (enhet $ ^ (2) $).

Definitiv integral. Hur man beräknar arean av en form

Vi övergår till övervägandet av tillämpningar av integralkalkyl. I den här lektionen kommer vi att analysera en typisk och vanligaste uppgift. - hur man beräknar arean av en platt figur med hjälp av en bestämd integral... Till sist betyder sökare i högre matematik - må de hitta det. Du vet aldrig. Jag måste föra det närmare i livet lantstugeområde elementära funktioner och hitta dess area med hjälp av en bestämd integral.

För att framgångsrikt bemästra materialet måste du:

1) Förstå obestämd integralåtminstone på en genomsnittlig nivå. Därför bör dummies först bekanta sig med lektionen Inte.

2) Kunna tillämpa Newton-Leibniz formel och beräkna bestämd integral... Upprätta varmt vänskapliga relationer med bestämda integraler kan du på sidan Definitiv integral. Exempel på lösningar.

Faktum är att för att hitta arean av en figur behöver man inte så mycket kunskap om den obestämda och bestämda integralen. Uppgiften "beräkna area med hjälp av en bestämd integral" innebär alltid att man bygger en ritning så mycket mer aktuell fråga kommer att vara dina kunskaper och ritfärdigheter. I detta avseende är det användbart att uppdatera minnet av graferna för de grundläggande elementära funktionerna, och åtminstone att kunna bygga en rak linje, en parabel och en hyperbel. Detta kan göras (många behöver) med hjälp av metodiskt material och artiklar om geometriska transformationer av grafer.

Egentligen är alla bekanta med problemet med att hitta området med hjälp av en bestämd integral sedan skolan, och vi kommer att gå lite längre från Läroplanen... Den här artikeln kanske inte existerar alls, men faktum är att problemet uppstår i 99 fall av 100, när en student plågas av den hatade riggen och entusiastiskt behärskar en kurs i högre matematik.

Materialet i denna workshop presenteras enkelt, i detalj och med ett minimum av teori.

Låt oss börja med en böjd trapets.

Böjd trapets kallas en platt figur som begränsas av en axel, räta linjer och en graf av en kontinuerlig funktion på ett segment, som inte ändrar tecken på detta intervall. Låt denna figur lokaliseras inte mindre abskissaxel:

Sedan arean av en kurvlinjär trapets är numeriskt lika med den bestämda integralen... Varje bestämd integral (som finns) har en mycket bra geometrisk betydelse. På lektionen Definitiv integral. Exempel på lösningar Jag sa att en bestämd integral är ett tal. Och nu är det dags att konstatera en till användbart faktum. Ur geometrins synvinkel är den bestämda integralen AREA.

Det är, en bestämd integral (om den finns) motsvarar geometriskt arean av någon figur... Tänk till exempel på en bestämd integral. Integranden sätter en kurva på planet som ligger ovanför axeln (de som vill kan rita), och den bestämda integralen själv numeriskt lika med arean motsvarande krökt trapets.

Exempel 1

Detta är en typisk formulering av uppdraget. Först och det viktigaste ögonblicket lösningar - ritning byggnad... Dessutom måste ritningen byggas HÖGER.

När du bygger en ritning rekommenderar jag nästa beställning: i början det är bättre att bygga alla raka linjer (om några) och bara efter- paraboler, hyperbler, grafer för andra funktioner. Det är mer lönsamt att bygga grafer över funktioner punktvis, tekniken för punkt-för-punkt-konstruktion finns i referensmaterial Grafer och egenskaper för elementära funktioner... Där kan du också hitta mycket användbart material i relation till vår lektion – hur man snabbt bygger en parabel.

I det här problemet kan lösningen se ut så här.
Låt oss rita en ritning (observera att ekvationen definierar axeln):

Jag kommer inte att kläcka en böjd trapets, här är det uppenbart om vilket område i fråga... Lösningen fortsätter så här:

På segmentet finns grafen för funktionen ovanför axeln, därför:

Svar:

Som har svårt att beräkna en bestämd integral och tillämpa Newton-Leibniz formel , se föreläsningen Definitiv integral. Exempel på lösningar.

När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och uppskatta om svaret är verkligt. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det ser ut som sanningen. Det är helt klart att om vi fick, säg, svaret: 20 kvadratenheter, så har uppenbarligen ett misstag gjorts någonstans - siffran som övervägs passar uppenbarligen inte 20 celler, högst tio. Om svaret är negativt så löstes uppgiften också felaktigt.

Exempel 2

Beräkna arean av en form avgränsad av linjer och en axel

Detta är ett exempel för oberoende beslut. Komplett lösning och svaret i slutet av lektionen.

Vad ska man göra om den böjda trapetsen är placerad under axeln?

Exempel 3

Beräkna arean av en form avgränsad av linjer och koordinataxlar.

Lösning: Låt oss utföra ritningen:

Om den böjda trapetsen är belägen under axeln(eller åtminstone inte högre given axel), kan dess area hittas med formeln:
I detta fall:

Uppmärksamhet! De två typerna av uppgifter ska inte förväxlas:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minus visas i den nyss betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet, och därför går vi vidare från de enklaste skolproblemen till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4

Hitta arean för en platt figur avgränsad av linjer.

Lösning: Först måste du slutföra ritningen. Generellt sett, när vi konstruerar en ritning av problem på ett område, är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter. Hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt. Vi löser ekvationen:

Därav den nedre gränsen för integration, den övre gränsen för integration.
Det är bättre att inte använda den här metoden, om möjligt..

Det är mycket mer lönsamt och snabbare att konstruera linjerna punkt för punkt, samtidigt som integrationens gränser blir tydliga så att säga "av sig själva". Tekniken att plotta punkt för punkt för olika diagram diskuteras i detalj i hjälpen. Grafer och egenskaper för elementära funktioner... Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna fortfarande tillämpas ibland om, till exempel, grafen är tillräckligt stor eller den exakta konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella). Och vi kommer också att överväga ett sådant exempel.

För att återgå till vårt problem: det är mer rationellt att först konstruera en rät linje och först sedan en parabel. Låt oss utföra ritningen:

Jag upprepar att i fallet med en punktvis konstruktion, upptäcks gränserna för integrationen oftast av en "automat".

Och nu arbetsformeln: Om på ett segment någon kontinuerlig funktion större än eller lika med av någon kontinuerlig funktion, då kan arean av figuren, avgränsad av graferna för dessa funktioner och räta linjer, hittas av formeln:

Här behöver du inte längre tänka på var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, och grovt sett, det är viktigt vilket schema som ligger OVAN(i förhållande till en annan graf), och vilken är UNDER.

I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade figuren begränsas av en parabel upptill och en rak linje längst ner.
På segmentet, enligt motsvarande formel:

Svar:

Faktum är att skolformeln för arean av en kurvlinjär trapets i det nedre halvplanet (se enkelt exempel nr 3) - specialfall formler ... Eftersom axeln ges av ekvationen, och grafen för funktionen är lokaliserad inte högre axel alltså

Och nu ett par exempel för självlösning

Exempel 5

Exempel 6

Hitta arean av figuren avgränsad av linjer,.

När man löser problem för att beräkna arean med hjälp av en bestämd integral inträffar ibland en rolig incident. Ritningen är korrekt gjord, beräkningarna är korrekta, men genom ouppmärksamhet ... området för fel figur hittas, så här skruvade din ödmjuka tjänare till flera gånger. Här är ett fall från verkligheten:

Exempel 7

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna,,,.

Lösning: Låt oss först utföra ritningen:

... Eh, en usel teckning kom ut, men allt verkar vara läsbart.

Figuren vars område vi behöver hitta är skuggad i blått(titta noga på skicket - vad siffran begränsas av!). Men i praktiken, på grund av ouppmärksamhet, uppstår ofta ett "glitch", att du måste hitta området på figuren som är skuggad i grönt!

Detta exempel är också användbart eftersom det beräknar arean av en figur med hjälp av två bestämda integraler. Verkligen:

1) En linjegraf finns på segmentet ovanför axeln;

2) Hyperbelgrafen är placerad på segmentet ovanför axeln.

Det är ganska uppenbart att områdena kan (och bör) läggas till, därför:

Svar:

Låt oss gå vidare till ytterligare en meningsfull uppgift.

Exempel 8

Beräkna arean av en form avgränsad av linjer,
Låt oss representera ekvationerna i en "skola"-form, och vi kommer att utföra en punkt-för-punkt-ritning:

Det framgår av ritningen att vår övre gräns är "bra":.
Men vad är den nedre gränsen?! Det är tydligt att detta inte är ett heltal, men vilket? Kanske ? Men var finns garantin att ritningen är gjord med perfekt noggrannhet, det kan mycket väl vara så. Eller rot. Tänk om vi plottade grafen felaktigt alls?

I sådana fall måste du lägga ytterligare tid och förfina gränserna för integration analytiskt.

Hitta skärningspunkterna för linjen och parabeln.
För att göra detta löser vi ekvationen:

,

Verkligen,.

Den ytterligare lösningen är trivial, det viktigaste är att inte bli förvirrad i byten och tecken, beräkningarna är inte de lättaste här.

På segmentet , enligt motsvarande formel:

Svar:

Tja, som avslutning på lektionen kommer vi att överväga ytterligare två svåra uppgifter.

Exempel 9

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer,

Lösning: Låt oss avbilda den här figuren på ritningen.

Fan, jag glömde skriva på schemat, men för att göra om bilden, sorry, not hotts. Inte att rita, kort sagt, idag är dagen =)

För en punkt-för-punkt-konstruktion behöver du veta utseende sinusoider (och i allmänhet är det användbart att veta grafer över alla elementära funktioner), samt vissa sinusvärden, de finns i trigonometrisk tabell... I ett antal fall (som i detta) är det tillåtet att konstruera en schematisk ritning, på vilken graferna och integrationens gränser ska visas korrekt i princip.

Det finns inga problem med gränserna för integration, de följer direkt av villkoret: - "x" ändras från noll till "pi". Vi fattar ett ytterligare beslut:

På segmentet är grafen för funktionen placerad ovanför axeln, därför:

Arean av en krökt trapets är numeriskt lika med den bestämda integralen

Varje bestämd integral (som finns) har en mycket bra geometrisk betydelse. I lektionen sa jag att en bestämd integral är ett tal. Och nu är det dags att konstatera ytterligare ett användbart faktum. Ur geometrins synvinkel är den bestämda integralen AREA.

Det är, en bestämd integral (om den finns) motsvarar geometriskt arean av någon figur... Tänk till exempel på en bestämd integral. Integranden definierar en viss kurva på planet (den kan alltid ritas om så önskas), och den bestämda integralen i sig är numeriskt lika med arean av motsvarande kurvlinjära trapets.

Exempel 1

Detta är en typisk formulering av uppdraget. Den första och viktigaste punkten i lösningen är konstruktionen av ritningen... Dessutom måste ritningen byggas HÖGER.

När du bygger en ritning rekommenderar jag följande ordning: i början det är bättre att bygga alla raka linjer (om några) och bara efter- paraboler, hyperbler, grafer för andra funktioner. Det är mer lönsamt att bygga grafer över funktioner punktvis, tekniken för punkt-för-punkt-konstruktion finns i referensmaterialet.

Där kan du också hitta mycket användbart material i relation till vår lektion – hur man snabbt bygger en parabel.

I det här problemet kan lösningen se ut så här.
Låt oss rita en ritning (observera att ekvationen definierar axeln):

Jag ska inte kläcka en böjd trapets, här är det uppenbart vilket område vi pratar om. Lösningen fortsätter så här:

På segmentet finns grafen för funktionen ovanför axeln, därför:

Svar:

Som har svårt att beräkna en bestämd integral och tillämpa Newton-Leibniz formel , se föreläsningen Definitiv integral. Exempel på lösningar.

Exempel 2

Beräkna arean av en form avgränsad av linjer och en axel

Detta är ett exempel på en gör-det-själv-lösning. Komplett lösning och svar i slutet av handledningen.

Vad ska man göra om den böjda trapetsen är placerad under axeln?

Exempel 3

Beräkna arean av en form avgränsad av linjer och koordinataxlar.

Lösning: Låt oss utföra ritningen:

Om den böjda trapetsen helt placerad under axeln, då kan dess area hittas med formeln:
I detta fall:

Uppmärksamhet! De två typerna av uppgifter bör inte förväxlas:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minus visas i den nyss betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet, och därför går vi vidare från de enklaste skolproblemen till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4

Hitta arean för en platt figur avgränsad av linjer.

Lösning: Först måste du slutföra ritningen. Generellt sett, när vi konstruerar en ritning av problem på ett område, är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter. Hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt. Vi löser ekvationen:

Därav den nedre gränsen för integration, den övre gränsen för integration.
Det är bättre att inte använda den här metoden, om möjligt.

Och nu arbetsformeln: Om på ett segment någon kontinuerlig funktion större än eller lika med av någon kontinuerlig funktion, kan området för motsvarande figur hittas med formeln:

I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade figuren begränsas av en parabel upptill och en rak linje längst ner.
På segmentet, enligt motsvarande formel:

Svar:

Faktum är att skolformeln för arean av en kurvlinjär trapets i det nedre halvplanet (se enkelt exempel nr 3) är ett specialfall av formeln ... Eftersom axeln ges av ekvationen och grafen för funktionen är placerad under axeln, så

Och nu ett par exempel för självlösning

Exempel 5

Exempel 6

Hitta arean av figuren avgränsad av linjer,.

Exempel 7

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna,,,.

Låt oss först utföra ritningen:

Figuren vars område vi behöver hitta är skuggad i blått(titta noga på skicket - vad siffran begränsas av!). Men i praktiken, på grund av ouppmärksamhet, uppstår det ofta att du måste hitta området på figuren, som är skuggad i grönt!

Detta exempel är också användbart eftersom det beräknar arean av en figur med hjälp av två bestämda integraler. Verkligen:

1) En linjegraf finns på segmentet ovanför axeln;

2) Hyperbelgrafen är placerad på segmentet ovanför axeln.

Det är ganska uppenbart att områdena kan (och bör) läggas till, därför:

Svar:

Exempel 8

I sådana fall måste du lägga ytterligare tid och förfina gränserna för integration analytiskt.

Hitta skärningspunkterna för linjen och parabeln.
För att göra detta löser vi ekvationen:

Därav, .

Den ytterligare lösningen är trivial, det viktigaste är att inte bli förvirrad i byten och tecken, beräkningarna är inte de lättaste här.

På segmentet , enligt motsvarande formel:

Svar:

Tja, som avslutning på lektionen kommer vi att överväga ytterligare två svåra uppgifter.

Exempel 9

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer,

Lösning: Rita denna figur på ritningen.

För punkt-för-punkt-konstruktion av en ritning måste du känna till utseendet på en sinusform (och i allmänhet är det användbart att veta grafer över alla elementära funktioner), samt vissa sinusvärden, de finns i trigonometrisk tabell ... I ett antal fall (som i detta) är det tillåtet att konstruera en schematisk ritning, på vilken graferna och integrationens gränser ska visas korrekt i princip.

Det finns inga problem med gränserna för integration, de följer direkt av villkoret: - "x" ändras från noll till "pi". Vi fattar ett ytterligare beslut:

På segmentet är grafen för funktionen placerad ovanför axeln, därför:

(1) Hur man integrerar sinus och cosinus i udda potenser kan ses i lektionen Integraler från trigonometriska funktioner ... Detta är en typisk teknik, vi nyper av en sinus.

(2) Vi använder den grundläggande trigonometriska identiteten i formuläret

(3) Låt oss ändra variabeln, sedan:

Nya omfördelningar av integration:

Den som har det väldigt dåligt med byten, gå gärna till lektionen Ersättningsmetod i den obestämda integralen... För den som inte riktigt förstår ersättningsalgoritmen i en viss integral, besök sidan Definitiv integral. Exempel på lösningar.

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla presentationsalternativ. Om du är intresserad av detta jobb ladda ner den fullständiga versionen.

Nyckelord: integrerad, krökt trapets, område av figurer avgränsat av liljor

Utrustning Hytt: whiteboard, dator, multimediaprojektor

Lektionstyp: lektion-föreläsning

Lektionens mål:

pedagogisk: att bilda en kultur av mentalt arbete, att skapa en framgångssituation för varje elev, att skapa positiv motivation för lärande; utveckla förmågan att tala och lyssna på andra.
utvecklande: bildandet av studenternas självständighet att tänka på tillämpningen av kunskap i olika situationer, förmågan att analysera och dra slutsatser, utvecklingen av logik, utvecklingen av förmågan att korrekt ställa frågor och hitta svar på dem. Förbättra bildandet av datoranvändning, datorkunskaper, utveckling av elevernas tänkande under loppet av att slutföra de föreslagna uppgifterna, utvecklingen av algoritmisk kultur.
pedagogisk: att bilda konceptet med en kurvlinjär trapets, en integral, behärska färdigheterna att beräkna arean av platta figurer

Undervisningsmetod: förklarande och illustrativt.

Under lektionerna

I de tidigare klasserna lärde vi oss hur man beräknar arean av former, vars gränser är polygonala linjer. Det finns metoder inom matematiken som låter dig beräkna områdena av former som är avgränsade av kurvor. Sådana former kallas kurvlinjära trapezoider, och deras yta beräknas med hjälp av antiderivat.

Böjd trapets ( glida 1)

En kurvlinjär trapets är en figur som begränsas av grafen för en funktion, ( schm.), hetero x = a och x = b och abskissan

Olika typer av böjda trapetser ( bild 2)

Överväga olika sorter krökta trapetser och observera: en av de räta linjerna urartar till en punkt, rollen för den begränsande funktionen spelas av den räta linjen

Böjt trapetsområde (bild 3)

Fixa den vänstra änden av springan en, och rätt NS vi kommer att förändras, det vill säga vi flyttar den högra väggen på den krökta trapetsen och får en förändrad form. Arean av en variabel kurvlinjär trapets, begränsad av grafen för funktionen, är antiderivatan F för funktion f

Och på segmentet [ a; b] området för den krökta trapets som bildas av funktionen f,är lika med ökningen av antiderivatan för denna funktion:

Övning 1:

Hitta arean av en krökt trapets som begränsas av grafen för funktionen: f (x) = x 2 och rak y = 0, x = 1, x = 2.

Lösning: ( enligt algoritmbild 3)

Låt oss rita en graf över funktionen och linjerna

Låt oss hitta en av dem antiderivat f (x) = x 2 :

Självtest med rutschkana

Väsentlig

Betrakta en krökt trapets som ges av funktionen f på segmentet [ a; b]. Låt oss dela upp det här segmentet i flera delar. Arean av hela trapetsen kommer att delas upp i summan av områdena för mindre böjda trapetser. ( bild 5)... Varje sådan trapets kan grovt betraktas som en rektangel. Summan av områdena för dessa rektanglar ger en ungefärlig uppfattning om hela arean av den krökta trapetsen. Ju mindre vi delar upp segmentet [ a; b], desto mer exakt beräknar vi arean.

Låt oss skriva detta resonemang i form av formler.

Dela segmentet [ a; b] i n delar efter punkter x 0 = a, x1, ..., xn = b. Längd k- th beteckna med xk = xk - xk-1... Låt oss göra upp beloppet

Geometriskt är denna summa arean av figuren skuggad i figuren ( m.)

Summor av formen kallas integralsummor för funktionen f. (schm.)

Integrala summor ger ett ungefärligt värde på området. Det exakta värdet erhålls genom att gå till gränsen. Föreställ dig att vi förfinar segmentets partition [ a; b] så att längderna på alla små segment tenderar till noll. Då kommer området för den sammansatta figuren att närma sig området för den krökta trapetsen. Vi kan säga att arean av en krökt trapets är lika med gränsen för integralsummor, Sk.t. (schm.) eller en integral, dvs.

Definition:

Funktionens integral f (x) från a innan b kallas gränsen för integralsummor

= (schm.)

Newton-Leibniz formel.

Kom ihåg att gränsen för integralsummor är lika med arean av en krökt trapets, vilket betyder att du kan skriva:

Sk.t. = (schm.)

Å andra sidan beräknas arean av en krökt trapets med formeln

S K. t. (schm.)

När vi jämför dessa formler får vi:

= (schm.)

Denna jämlikhet kallas Newton-Leibniz formel.

För att underlätta beräkningarna är formeln skriven i formen:

= = (schm.)

Uppdrag: (schm.)

1. Beräkna integralen med Newton-Leibniz formel: ( kontrollera bild 5)

2. Gör integralerna enligt ritningen ( kontrollera bild 6)

3. Hitta arean av figuren avgränsad av linjerna: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Bild 7)

Hitta områdena för platta figurer ( glida 8)

Hur hittar du området med former som inte är böjda trapetser?

Låt det ges två funktioner, vars grafer du ser på bilden ... (schm.) Det är nödvändigt att hitta området för den fyllda figuren ... (schm.)... Figuren i fråga är en böjd trapets? Och hur kan du hitta dess område med hjälp av egenskapen områdesadditivitet? Betrakta två böjda trapetser och subtrahera arean av den andra från arean av en av dem ( schm.)

Låt oss komponera en algoritm för att hitta området genom animering på en bild:

Rita funktionsgrafer
Projicera skärningspunkterna för graferna på abskissaxeln
Skugga figuren som erhålls vid skärningspunkten mellan graferna
Hitta böjda trapetser vars skärningspunkt eller förening är en given figur.
Beräkna arean för var och en av dem
Hitta skillnaden eller summan av ytor

Muntlig uppgift: Hur man får arean av en skuggad figur (berätta med hjälp av animation, bild 8 och 9)

Läxa: Utarbeta synopsis, nr 353 (a), nr 364 (a).

Bibliografi

Algebra och analysens början: en lärobok för årskurs 9-11 på kvälls(skift)skolan/red. G.D. Glazer. - M: Utbildning, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: en lärobok för 10-11 årskurser i gymnasiet / Bashmakov M.I. - M: Utbildning, 1991.
Bashmakov M.I. Matematik: en lärobok för institutioner tidigt. och onsdag. prof. utbildning / M.I. Bashmakov. - M: Akademin, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra och analysens början: en lärobok för 10-11 årskurser. utbildningsinstitutioner / A.N. Kolmogorov. - M: Utbildning, 2010.
S.L. Ostrovsky Hur gör man en presentation för en lektion? / S.L. Ostrovsky. - M .: 1 september 2010.