Uppgift 1. (Vid beräkningen av området för det krökta trapeziumet).

I ett decartulärt rektangulärt Xoy-koordinatsystem ges en figur (se figur), avgränsad av Axis X, rakt X \u003d A, X \u003d B (ett kröktrapinärt trapezium. Det är nödvändigt att beräkna området för det krökta trapeziumet.
Beslut. Geometri ger oss recept för att beräkna områdena av polygoner och vissa delar av cirkeln (sektor, segment). Med hjälp av geometriska överväganden kommer vi att kunna hitta det ungefärliga värdet av det önskade området, vilket hävdar som följer.

Vi bryter segmentet [a; b] (grunden för det kröklinjiga trapezium) på n lika delar; Denna partition utförs med hjälp av punkterna x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Vi kommer att spendera direkt, parallella axlar. Därefter bryts de angivna kröklinjiga trapezium på n delar, på n smala kolumner. Området av hela trapezium är lika med summan av kolonnens område.

Tänk på en separat K-B-färg, d.v.s. Ett kröktrapezium, vars bas tjänar ett segment. Byt ut den med en rektangel med samma bas och en höjd av f (x k) (se figur). Området av rektangeln är lika med \\ (f (x_k) \\ cdot \\ delta x_k \\), där \\ (\\ delta x_k \\) är längden på segmentet; Naturligtvis överväga det sammansatta arbetet med det ungefärliga värdet av k-th-kolumnens område.

Om du nu gör detsamma med alla andra kolumner kommer vi att komma till följande resultat: Area S av en given krökt trapezion är ungefär lika med området S n-stegfigur bestående av n rektanglar (se figur):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ delta x_k + \\ dots + f (x_ (n - 1)) \\ delta x_ (n - 1) \\)
Här, för enhetlighetens skull tror vi att a \u003d x 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - längden på segmentet, \\ (\\ delta x_1 \\) - längd längd, etc; Samtidigt, som vi kom överens, \\ (\\ delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ delta x_ (n-1) \\)

Så, \\ (s \\ ca s_n \\), och det här är en ungefärlig jämlikhet, ju mer exakt desto mer n.
Enligt definition antas att det önskade området för det kröklinjiga trapeziumet är lika med sekvensgränsen (S n):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Uppgift 2. (Om rörlig punkt)
Materialpunkten rör sig på den raka. Beroendet av hastigheten i tid uttrycks med formeln V \u003d V (t). Hitta punktens rörelse över tidsintervallet [a; b].
Beslut. Om rörelsen var enhetlig, skulle uppgiften vara väldigt enkel: s \u003d vt, dvs. S \u003d v (b - a). För ojämn trafik måste du använda samma idéer som beslutet om den tidigare uppgiften var baserad.
1) Vi delar tidsintervallet [a; b] på n lika delar.
2) Tänk på tidsintervallet och vi antar att hastigheten var att under denna tidsperiod var konstant, såsom vid tidpunkten för Tk. Så, vi tror att v \u003d v (t k).
3) Hitta det ungefärliga värdet av punktens rörelse över tidsintervallet, det här är ett ungefärligt värde ange s k
\\ (S_k \u003d v (t_k) \\ delta t_k \\)
4) Hitta den ungefärliga rörelsen av S:
\\ (s \\ ca s_n \\) var
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n - 1)) \\ delta t_ (n - 1) \\)
5) Den önskade rörelsen är lika med sekvensgränsen: s):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Låt oss sammanfatta. Lösningar av olika uppgifter har körts till samma matematiska modell. Många utmaningar från olika områden av vetenskap och teknik leder i processen att lösa samma modell. Så den här matematiska modellen måste vara särskilt lärda.

Begreppet en specifik integral

Vi ger en matematisk beskrivning av den modell som konstruerades i de tre ansedda uppgifterna för funktionen Y \u003d F (x), kontinuerlig (men inte nödvändigtvis nonnegative, eftersom det antogs i de ansedda uppgifterna) på segmentet [A; b]:
1) Dela segmentet [A; b] på n lika delar;
2) Vi gör ett belopp $$ s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + f (x_1) \\ delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ delta x_ (n-1) $$
3) Beräkna $$ \\ Lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Under matematisk analys är det bevisat att denna gräns i fallet med en kontinuerlig (eller styckevis kontinuerlig) funktion existerar. Han kallas ett specifikt integrerat från funktionen y \u003d f (x) med segment [a; b] Och ange:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Numren A och B kallas gränserna för integration (respektive av den nedre och övre delen).

Låt oss återvända till ovanstående uppgifter. Definitionen av ett område som anges i uppgift 1 kan nu skriva om följande:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Här är området för den kröklinjiga trapezoid som avbildas i figuren ovan. Detta består den geometriska betydelsen av ett specifikt integrerat.

Bestämning av rörelsen s-punkt som rör sig i en rak linje med en hastighet V \u003d V (t) under tiden från T \u003d A till T \u003d B, som anges i uppgift 2, kan du skriva om den:

Newtons formel - Leibnia

Till att börja med kommer de att svara på frågan: Vad är förhållandet mellan en specifik integrerad och primitiv?

Svaret kan hittas i problem 2. Å ena sidan, rörelsen s-punkt som rör sig i en rak linje med en hastighet v \u003d v (t) under tiden från t \u003d a till t \u003d b och beräknas av formel
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \\)

Å andra sidan är koordinaten av den rörliga punkten en primitiv för hastigheten - betecknar sin S (t); Det betyder att rörelsen s uttrycks med formeln S \u003d s (b) - s (a). Som ett resultat får vi:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
där S (t) är primitiv för v (t).

Följande teorem bevisas under matematisk analys.
Sats. Om funktionen y \u003d f (x) är kontinuerlig på segmentet [a; b], då är formeln giltig
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
där f (x) är primitiv för f (x).

Den resulterande formeln kallas vanligtvis newton Formula - Leibnia Till ära av den engelska fysiken i Isaac Newton (1643-1727) och den tyska filosofen av Gottfried Leibnitsa (1646-1716), som mottog det självständigt från varandra och nästan samtidigt.

I praktiken, istället för att spela in f (b) - f (a), använder de posten \\ (\\ vänster. F (x) \\ höger | _a ^ b \\) (det kallas ibland det dubbel substitution) Och följaktligen omskriva Newtons formel - Leibnitsa i detta formulär:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ vänster. F (x) \\ höger | _a ^ b \\)

Datoranvändning viss integral, hitta först den primitiva och utför sedan en dubbel substitution.

Med hjälp av Newtons formel - Leibnitsa kan du få två egenskaper hos ett specifikt integrerat.

Egendom 1. Det integrerade från mängden funktioner är lika med summan av integralerna:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)

Fastighet 2. En permanent multiplikator kan nås med det integrerade tecknet:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

Beräkning av platta funktioner med hjälp av ett specifikt integrerat

Med hjälp av det integrerade kan du beräkna området inte bara kröktraper, men också platta figurer mer komplexaTill exempel presenteras det i figuren. Figur P är begränsad till rak X \u003d A, X \u003d B och grafer av kontinuerliga funktioner Y \u003d F (x), y \u003d g (x) och på segmentet [a; b] Ojämlikheten \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) utförs. För att beräkna torget S i en sådan siffra kommer vi att fungera som följer:
\\ (S \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (adcb) - s_ (aabb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Så är området s en siffra avgränsad av rak x \u003d a, x \u003d b och grafer av funktioner y \u003d f (x), y \u003d g (x), kontinuerlig på segmentet och såsom för någon x från segmentet [ A; b] ojämlikheten \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) utförs, beräknat med formeln
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Tabell över obestämda integraler (primitiva) vissa funktioner

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d c $$$$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ INT \\ FRAC (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ Int E ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ synd x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$$$$ Int \\ Frac (DX) (\\ SQRT (1-x ^ 2)) \u003d \\ Text (Arcsin) x + C $$$$$ Int \\ Frac (DX) (1 + X ^ 2 ) \u003d \\ Text (Arctg) x + C $$$$$ Int \\ Text (CH) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) x + c $$

Vissa integrerade. Hur man beräknar området i figuren

Gå till beaktande av integrerade applikationsapplikationer. I den här lektionen kommer vi att analysera den typiska och vanligaste uppgiften. - Hur man beräknar planformen med en specifik integrerad. Äntligen se mening I den högsta matematiken - låt honom hitta den. Liten. Vi måste ta närmare i livet country Cottage Area Elementära funktioner och hitta sitt område med ett specifikt integrerat.

För framgångsrik materialutveckling är det nödvändigt:

1) förstå osäker integral åtminstone på genomsnittsnivå. Således bör tekanna vara bekanta med lektionen Inte.

2) För att kunna tillämpa Newton Labnic-formeln och beräkna ett specifikt integrerat. Att etablera varma vänliga relationer Med vissa integraler kan du på sidan Vissa integrerade. Exempel på lösningar.

I själva verket, för att hitta området i figuren, det finns ingen sådan kunskap om det osäkra och definierade integrerade. Uppgiften "Beräkna området med hjälp av ett specifikt integrerat" innebär alltid att konstruktionen av ritningen, så mycket mer verklig fråga Det kommer att bli din kunskap och färdigheter att bygga ritningar. I detta avseende är det användbart att uppdatera i minnet av grafiken hos de huvudsakliga elementära funktionerna, och åtminstone kunna bygga en rak, parabola och hyperbola. Det kan göras (många - behövs) med metodiskt material och artiklar om geometriska omvandlingar av grafer.

Egentligen, med uppgiften att hitta ett område med hjälp av ett specifikt integrerat, är alla bekanta från skolan, och vi kommer att äta lite framåt från skolprogram. Denna artikel kunde inte ens vara, men faktum är att uppgiften finns i 99 fall av 100, när studenten lider av ett hatligt torn med entusiasm som avgår med högre matematik.

Material av denna workshop presenteras helt enkelt, i detalj och med ett minimum av teori.

Låt oss börja med ett curvilinear trapezium.

Curvilinear Trapezium En platt figur kallas en begränsad axel, rakt och ett kontinuerligt schema på ett segment av en funktion som inte ändrar tecknet på detta intervall. Låt den här siffran vara belägen inte mindre Abscissa-axeln:

Sedan det kröklinjiga trapeziumets område är numeriskt lika med en specifik integral. Alla speciella integrerade (som existerar) har en mycket god geometrisk mening. På lektionen Vissa integrerade. Exempel på lösningar Jag sa att ett visst integral är ett nummer. Och nu är det dags att ange en mer användbart. Ur geometri synvinkel är ett visst integral ett område.

Dvs, ett specifikt integrerat (om det existerar) geometriskt motsvarar området för någon figur. Tänk till exempel ett specifikt integrerat. Integrand-funktionen ställer in kurvan på planet, som ligger ovanför axeln (som önskemål kan göra ritningen), och den bestämda integralen är numeriskt lika med kvadrat Motsvarande kröklinjiga trapezium.

Exempel 1.

Detta är en typisk uppgiftsformulering. Först I. det viktigaste ögonblicket Lösningar - Byggteckning. Och ritningen måste byggas RÄTT.

När du bygger en ritning rekommenderar jag nästa beställning: först Det är bättre att bygga allt rakt (om de är) och bara senare - Paraboler, hyperbolor, scheman av andra funktioner. Funktionsgrafer är mer lönsamma att bygga potko, med tekniken för incheckningsbyggnad finns i referensmaterial Diagram och egenskaper hos elementära funktioner. Där kan du också hitta ett mycket användbart material i förhållande till vår lektion. Materialet - hur man snabbt bygger en parabola.

I den här uppgiften kan beslutet se ut så här.
Utför ritningen (Observera att ekvationen ställer in axeln):

Jag kommer inte att stroke en kröktrappa, här är det uppenbart om vilket område detta är tal. Beslutet fortsätter så här:

På segmentet Schema är en funktion belägen Över axeln, så:

Svar:

Vem har svårigheter med beräkningen av en viss integrerad och användningen av Newton-Leibnia-formel , hänvisa till föreläsningen Vissa integrerade. Exempel på lösningar.

Efter att uppgiften är klar är det alltid användbart att titta på ritningen och uppskatta, den verkliga som visade sig. I det här fallet, "på ögonen", räknar vi antalet celler på ritningen - ja, ungefär 9 kommer att flöda, det verkar som om sanningen. Det är helt klart att om vi hade sagt svar: 20 kvadratiska enheter är det uppenbart att ett fel görs någonstans - i den 20 cellerna är det klart inte monterat, från styrkan hos ett dussin. Om svaret visade sig, bestäms också uppgiften felaktigt.

Exempel 2.

Beräkna området för form, begränsade linjer och axel

Detta är ett exempel på självständig. Komplett lösning Och svaret i slutet av lektionen.

Vad ska man göra om det krökta trapeziet är beläget under axeln?

Exempel 3.

Beräkna området för formen, begränsade linjer och koordinataxlarna.

Beslut: Utför ritning:

Om det krökta trapeziet är beläget under axeln (eller åtminstone inte högre Denna axel), då kan dess område hittas med formeln:
I detta fall:

Uppmärksamhet! Förvirra inte två typer av uppgifter:

1) Om du är inbjuden att lösa ett enkelt integrerat utan geometrisk mening, kan det vara negativt.

2) Om du är inbjuden att hitta figuren i figuren med hjälp av ett specifikt integrerat, är området alltid positivt! Det är därför i bara den ansedda formeln visas minus.

I praktiken är siffran oftast i övre och nedre halvplanet, och därför, från de enklaste skoldiagrammen, gå till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4.

Hitta området för en platt figur, begränsade linjer ,.

Beslut: Först måste du rita en ritning. Generellt sett, när vi bygger en ritning i uppgifter till området, är vi mest intresserade av korsningspunkterna i linjerna. Hitta poäng för korsning av parabola och direkt. Detta kan göras på två sätt. Den första metoden är analytisk. Vi löser ekvationen:

Så, den lägre integrationsgränsen, den övre gränsen för integration.
Det här sättet är bättre, om möjligt, använd inte.

Det är mycket mer lönsamt och snabbare att bygga linjerna i linjen, medan integrationsgränserna klargörs som om "av sig själva". Tekniken för upphörandet för olika grafer anses i detalj i hjälpen Diagram och egenskaper hos elementära funktioner . Ett analytiskt sätt att hitta gränserna trots allt är det ibland nödvändigt att tillämpa om schemat är tillräckligt stort, eller en utbildad konstruktion avslöjade inte integrationsgränserna (de kan vara fraktionella eller irrationella). Och ett sådant exempel, vi överväger också.

Vi återvänder till vår uppgift: mer rationell först bygga en rak linje och bara då parabola. Utför ritning:

Jag upprepar att i den nuvarande konstruktionen, är integrationsgränserna oftast ut av den "automatiska".

Och nu arbetsformeln: Om på segmentet någon kontinuerlig funktion mer eller lika Någon kontinuerlig funktion, området i figuren, begränsad av grafer av dessa funktioner och direkt, kan hittas med formeln:

Här är det inte längre nödvändigt att tänka där figuren är belägen - över axeln eller under axeln, och, ungefär, viktigt vad är grafen ovan(i förhållande till ett annat schema) och vad - nedan.

I det här exemplet är det uppenbart att på segmentet av parabol ligger ovanför rakt, och därför är det nödvändigt att subtrahera

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade siffran är begränsad till parabolen ovanifrån och direkt botten.
På segmentet, enligt motsvarande formel:

Svar:

Faktum är att skolformeln för det kröklinjiga trapezium i det nedre halvplanet (se enkelt exempel nr 3) - privatfodral Formler . Eftersom axeln definieras av ekvationen, och funktionsgrafen är belägen inte högre Axis, T.

Och nu ett par exempel för ett självständigt beslut

Exempel 5.

Exempel 6.

Hitta området för de begränsade linjerna ,.

Under löpande uppgifter för att beräkna området med ett specifikt integrerat, uppstår ett roligt fall ibland. Ritningen är klar korrekt, beräkningar - rätt, men intensifierad ... hittade området är inte figurenAtt det här är hur din ödmjuka tjänare packades. Här är ett riktigt fall från livet:

Exempel 7.

Beräkna området för formen, begränsade linjer ,,,.

Beslut: Först gör ritningen:

... Åh, ritningen av Khrenovynsky kom ut, men allt verkar hämtas.

Figur vars område vi behöver hitta är skuggat i blått (Se noggrant ut på villkoret - än figuren är begränsad!). Men i praktiken, "glitch" uppstår ofta i mindfulness, som du behöver hitta ett område i figuren, som är skuggad grön!

Detta exempel är fortfarande användbart och det faktum att det i det är området för figuren anses med användning av två specifika integraler. Verkligen:

1) Ett rakt schema är beläget på segmentet över axeln;

2) På segmentet över axeln finns ett graf av hyperboler.

Det är uppenbart att torget kan (och behöver) att sönderdelas, så:

Svar:

Gå till en annan materiell uppgift.

Exempel 8.

Beräkna området för formen, begränsade linjer,
Föreställ dig ekvationen i "skolans" -formulär och utföra den aktuella ritningen:

Från ritningen är det klart att den övre gränsen vi har "bra" :.
Men vad är den nedre gränsen?! Det är uppenbart att detta inte är ett heltal, men vad? Kanske ? Men var är garantin att ritningen är gjord med perfekt noggrannhet, det kan väl vara det. Eller rot. Och om vi i allmänhet har ett felaktigt byggt ett schema?

I sådana fall måste du spendera extra tid och ange integrationsgränserna analytiskt.

Hitta skärningspunkterna i direkt och parabola.
För att göra detta, lösa ekvationen:


,

Verkligen.

Ytterligare lösning är trivial, det viktigaste är att inte bli förvirrad i substitutioner och tecken, beräkningarna här är inte det enklaste.

På att skära Enligt motsvarande formel:

Svar:

Tja, och i slutsatsen av lektionen, överväga två uppgifter svårare.

Exempel 9.

Beräkna formen av formen, begränsade linjer ,,

Beslut: Visa denna form i ritningen.

Jävla, glömde schemat för att underteckna, men för att göra om bilden, ledsen, inte en hotz. Ej ärvt, kortare, dag idag \u003d)

För incheckningskonstruktion behöver du veta utseende sinusoider (och det är allmänt användbart att veta grafer av alla elementära funktioner), liksom vissa sinusvärden, kan de hittas i trigonometriskt bord. I vissa fall (som i detta) får det bygga en schematisk ritning som graferna och integrationsgränserna måste återspeglas i princip.

Med gränserna för integration finns det inga problem här, de följer direkt från villkoret: - "X" varierar från noll till "PI". Vi utarbetar en ytterligare lösning:

På segmentet är funktionsdiagrammet ovan ovanför axeln, så:

Antag att funktionen är icke-negativ och kontinuerlig på segmentet. Därefter, enligt den geometriska betydelsen av ett specifikt integrerat, området för ett kröktrapinärt trapezium, begränsat från toppen av grafen av denna funktion, från bottenaxeln, till vänster och höger - direkt och (se fig. 2) beräknas med formeln

Exempel 9. Hitta området i figuren, begränsad linje och axel.

Beslut. Funktionens graf är parabola, vars grenar riktas ner. Vi konstruerar det (fig 3). För att bestämma integrationsgränserna, hitta linjekorsningen (parabola) med axel (rak). För att göra detta, lösa systemet med ekvationer

Vi får:, varifrån ,; därav, .

Fikon. 3

Figurområde Formel (5):

Om funktionen är icke-positiv och kontinuerlig på segmentet, är området för det kröklinjiga trapezium, begränsat till botten med ett diagram över den här funktionen, toppaxeln, till vänster och höger - direkt och beräknad av formel

Om funktionen är kontinuerlig på segmentet och ändrar tecknet i slutet antal punkter, är området för den skuggade figuren (fig 4) lika med algebraiska summan av motsvarande specifika integreringar:

Fikon. 4

Exempel 10. Beräkna området i figuren, begränsad av axeln och grafen för funktionen vid.

Fikon. 5

Beslut. Låt oss rita en ritning (bild 5). Det önskade området är summan av torget och. Vi hittar var och en av dessa områden. Inledningsvis definierar vi integrationsgränserna, löser det system vi får ,. Därav:

Således är området för den skuggade siffran lika med

Fikon. 6

Låt slutligen det kröklinjiga trapeziumet begränsas ovanifrån och under diagrammen av kontinuerliga funktioner på segmentet och och till vänster och höger - rak och (fig 6). Sedan beräknas dess område med formeln

Exempel 11. Hitta området för de begränsade linjerna och.

Beslut. Denna figur är avbildad i fig. 7. Området beräknas med formel (8). Att lösa systemet med ekvationer vi finner, därav, . På segmentet har vi :. Det betyder att i formel (8) när vi tar X, och som -. Vi får:

Mer komplicerade uppgifter för beräkning av områden löses genom att splittra figuren på de inversa delarna och beräkna området för hela figuren som summan av områdena i dessa delar.

EXEMPEL1 . Beräkna området i figuren, begränsade linjer: x + 2u - 4 \u003d 0, y \u003d 0, x \u003d -3 och x \u003d 2

Vi kommer att genomföra konstruktionen av figuren (se fig.) Vi bygger en rak X + 2U - 4 \u003d 0 med två punkter A (4; 0) och i (0; 2). Att uttrycka Y genom X, vi erhåller y \u003d -0.5x + 2. med formel (1), där f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vi finner

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 kv. älva

Exempel 2. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: x - 2au + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 och y \u003d 0.

Beslut. Utföra konstruktionen av figuren.

Vi konstruerar en rak x - 2au + 4 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d - 4, a (-4; 0); x \u003d 0, y \u003d 2, i (0; 2).

Vi konstruerar den raka x + y-5 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d 5, c (5; 0), x \u003d 0, y \u003d 5, d (0; 5).

Vi hittar skärningspunkten för direkt, löser systemet med ekvationer:

x \u003d 2, y \u003d 3; M (2; 3).

För att beräkna det önskade området bryter vi AMS-triangeln på två trianglar i AMN och NMS, eftersom med en förändring i X från A till N är området begränsat till direkt, och när X från N till C - direkt

För AMN-triangeln har vi :; y \u003d 0,5x + 2, dvs F (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

För triangeln NMS har vi: Y \u003d - X + 5, dvs F (x) \u003d - x + 5, a \u003d 2, b \u003d 5.

Genom att beräkna området för var och en av trianglarna och vikla resultaten, hitta:

sq. enheter.

sq. enheter.

9 + 4, 5 \u003d 13,5 kvadratmeter. enheter. Kontrollera: \u003d 0,5As \u003d 0,5 kV. enheter.

Exempel 3. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d x 2 , y \u003d 0, x \u003d 2, x \u003d 3.

I det här fallet är det nödvändigt att beräkna området för det kröklinjiga trapezium, begränsat av parabola y \u003d x 2 , rakt x \u003d 2 och x \u003d 3 och OH (se fig.) Med formel (1) hittar vi området av det krökta trapeziumet

\u003d \u003d 6kv. enheter.

Exempel 4. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d - x 2 + 4 och Y \u003d 0

Utföra konstruktionen av figuren. Det önskade området avslutas mellan parabola y \u003d - x 2 + 4 och axeln Oh.

Hitta punkter för korsning av parabola med axeln Oh. Att tro Y \u003d 0, vi hittar X \u003d Eftersom den här siffran är symmetrisk med avseende på OU-axeln, beräknar vi området av figuren som är placerad på höger om OU-axeln, och det resulterande resultatet kommer att vara dubbelt: \u003d + 4x] kv. enheter. 2 \u003d 2 kV. enheter.

Exempel 5. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y 2 \u003d x, yx \u003d 1, x \u003d 4

Det kräver beräkning av det kröklinjiga trapeziums område, begränsat till paraboliens toppgren 2 \u003d x, axel oh och rakt x \u003d 1 och \u003d 4 (se fig.)

Med formel (1), där f (x) \u003d a \u003d 1 och b \u003d 4 vi har \u003d (\u003d sq.

Exempel 6. . Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d sinx, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d.

Det önskade området är begränsat till halvvågs sinusoid och axeln OH (se fig.).

Vi har - Cosx \u003d - Cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kV. enheter.

Exempel 7. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d - 6x, y \u003d 0 och x \u003d 4.

Figuren är belägen under axeln OH (se fig.).

Följaktligen finns dess område med formel (3)

= =

Exempel 8. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d och x \u003d 2. Kurvan y \u003d konstruera med punkter (se fig.). Således finns området för figurerna med formel (4)

Exempel 9. .

h. 2 + U. 2 \u003d R. 2 .

Det kräver beräkning av området, begränsad cirkel x 2 + U. 2 \u003d R. 2 , dvs området av radiecirkeln r med mitten i början av koordinaterna. Vi hittar den fjärde delen av detta område, tar integrationsgränserna från 0

dor; Vi har: 1 = = [

Därav, 1 =

Exempel 10. Beräkna området i figuren, begränsade linjer: y \u003d x 2 och y \u003d 2x

Den här siffran är begränsad till parabola y \u003d x 2 och direkt Y \u003d 2x (se fig.) För att bestämma skärningspunkterna för de angivna linjerna genom att lösa systemet med ekvationer: x 2 - 2x \u003d 0 x \u003d 0 och x \u003d 2

Använda området för att hitta områdets formel (5), vi får

\u003d Området för det kröklinjiga trapezium som bildas av funktionen f,lika med ökningen av en primitiv funktion:

Övning 1:

Hitta området för den krökta trapezoiden, begränsad av grafen av funktionen: f (x) \u003d x 2 Och rakt y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2.

Beslut: ( enligt algoritmen Slide 3)

Rita ett funktionschema och rakt

Hitta en av giltiga funktioner f (x) \u003d x 2 :

Självtest på bilden

Väsentlig

Tänk på en kröktrapezion som anges av funktionen f. På segmentet [ a; B.]. Diskutera detta segment i flera delar. Området av hela trapezium kommer att bryta upp mängden av kvadraterna av mindre kröklinjiga trapezes. ( slide 5). Varje ett sådant trapezium kan vara ungefär som en rektangel. Mängden av området för dessa rektanglar ger en ungefärlig idé om hela det kröklinjiga trapeziumområdet. Ju mindre bryter vi segmentet [ a; B.], desto mer exakt beräknar området.

Vi skriver dessa argument i formelformulerna.

Vi delar upp segmentet [ a; B.] på n delar poäng x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Längd k-gÅ beteckna xk \u003d xk - xk-1. Låt oss bli sams

Geometriskt är det här beloppet ett formområde, skuggat i figuren ( sch..)

Summan av arten kallas integrerade summor för funktionen. f.. (Sch.M.)

Integrerade summor ger ett ungefärligt värde av området. Det exakta värdet erhålls med hjälp av gränsövergången. Föreställ dig att vi krossar splittringen av segmentet [ a; B.] Så att längderna på alla små segment tenderar att noll. Sedan kommer området för den sammansatta figuren att närma sig området för det krökta trapeziumet. Det kan sägas att området för det krökta trapeziumet är lika med gränsen för integrerade summor, Skvaller (Sch.M.)eller integral, d.v.s.

Definition:

Integrerad funktion f (x) från a. innan b. kallas gränsen för integrerade belopp

= (Sch.M.)

Formel Newton Labitsa.

Kom ihåg att gränsen för integrerade mängder är lika med det kröklinjiga trapezionsområdet, det betyder att du kan skriva:

Skvaller \u003d. (Sch.M.)

Å andra sidan beräknas det kryvilinära trapeziumområdet med formeln

S k. T. (Sch.M.)

Jämför dessa formler, vi får:

= (Sch.M.)

Denna jämlikhet kallas Newton Labits Formula.

För bekvämligheten av beräkningar skrivs formeln i formuläret:

= = (Sch.M.)

Uppgifter: (SHCH.M.)

1. Beräkna integralet enligt Newton Labits Formel: ( kontrollera bilden 5)

2. Skapa integraler enligt ritningen ( vi kolla på bilden 6)

3. Hitta området för figursbegränsade linjer: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7.)

Hitta kvadraterna av platta figurer ( slide 8.)

Hur hittar du torget i figurerna som inte är krökta trapezes?

Låt två funktioner ges, de grafer som du ser på bilden . (Sch.M.) Det är nödvändigt att hitta området för den målade figuren . (Sch.M.). Figuren om vilken talas är en kröklinjig trapeze? Och hur kan jag hitta sitt område med hjälp av egenskapen i området? Tänk på två kröktrapaffärer och från torget av en av dem för att subtrahera området av en annan ( sch.M.)

Vi kommer att göra en algoritm för att hitta ett animationsområde på en bild:

1. Bygg grafer av funktioner
2. Sprackit punkterna för skärningspunkten för grafer på abscissens axel
3. Skarp figuren erhållen vid korsning av graferna
4. Hitta curvilinear Trapeats, korsning eller kombination som är en given figur.
5. Beräkna området för var och en av dem
6. Hitta en skillnad eller mängd utrymme

Oral uppgift: Hur får du området för den skuggade figuren (berätta för hjälp av animering, slide 8 och 9)

Läxa:Arbeta abstrakt, №353 (A), nr 364 (A).

Bibliografi

1. Algebra och början av analysen: En lärobok för 9-11 klass av kväll (utbytbar) skola / ed. Gd Glaser. - M: Utbildning, 1983.
2. Bashmakov M.i. Algebra och Startanalys: Handledning för 10-11 kl.sed.shk. / Bashmakov M.i. - M: Utbildning, 1991.
3. Bashmakov M.i. Matematik: Tutorial för institutioner i början. och media. prof. Utbildning / M.i. Skor. - M: Akademi, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra och startanalys: Tutorial för 10-11 celler. Utbildningsinstitut / A.n. Kolmogorov. - M: Upplysning, 2010.
5. Ostrovsky s.l. Hur man gör en presentation till lektionen? / C.L. Ostrovsky. - m.: Den första september 2010.