3 Pred-liknande funktion. Pred-liknande och integrerad

Primed funktion och obestämd integral

Fakta 1. Integration - Åtgärd, invers differentiering, nämligen att återställa funktionen enligt ett känt derivat av denna funktion. Funktion återställd F.(x.) Kallas predo-formad För funktion f.(x.).

Definition 1. Funktion F.(x. f.(x.) vid något intervall X.Om för alla värden x. Jämställdhet utförs från detta gap F. "(x.)=f.(x.), det vill säga den här funktionen f.(x.) härleds från pred-liknande funktion F.(x.). .

Till exempel en funktion F.(x.) \u003d Synd. x. är en primär för funktion f.(x.) \u003d Cos. x. På det hela numeriskt rakt, sedan med något värde av Iksa (synd. x.) "\u003d (Cos x.) .

Definition 2. Osäkert integrerad funktion f.(x.) Det kallas total av alla dess primitiva. Detta använder inspelning

∫

f.(x.)dx

vartecken ∫ kallas det integrerade tecknet, funktion f.(x.) - en ersättningsfunktion, och f.(x.)dx - Ett konkret uttryck.

Således, om F.(x.) - någon form av primär för f.(x.), T.

∫

f.(x.)dx = F.(x.) +C.

var C. - godtycklig konstant (konstant).

För att förstå betydelsen av många primitiva funktioner som obestämd integral är följande analogi lämplig. Låt det finnas en dörr (traditionell trädörr). Dess funktion är "att vara en dörr". Och vad är dörren gjord av? Från trä. Därför är en mångfald primitiv integrerad funktion "vara dörren", det vill säga det är en obestämd integral, är funktionen "är + C", där C är en konstant, som i detta sammanhang kan indikera exempelvis ett träd av trä. Precis som dörren är gjord av trä med hjälp av vissa verktyg, är derivatet av den "gjorda" funktionen från den primitiva funktionen med de formler som vi lärde oss genom att studera derivatet .

Sedan är tabellen över funktionerna hos vanliga föremål och motsvarande primitiva ("att vara dörren" - "vara träd", "vara en sked" - "vara metall" etc.) liknar tabellen i de viktigaste obestämda integralerna , som kommer att visas något nedan. Tabellen med osäkra integreringar listar vanliga funktioner med indikationen av den primordiala, varav dessa funktioner görs. När det gäller uppgifterna för att hitta ett obestämt integrerat, ges sådana integranter, vilket utan särskild tyngdkraft kan integreras direkt, det vill säga på bordet av osäkra integreringar. I uppgifterna är det nödvändigt att förvandla till uppgifterna till förformen så att du kan använda tabellintegreringar.

Fakta 2. Återställa funktionen som en primitiv, måste vi ta hänsyn till en godtycklig konstant (konstant) C., för att inte skriva en lista med primitiva med olika konstanter från 1 till oändlighet, måste du spela in många av de primitiva med en godtycklig konstant C.Till exempel, enligt följande: 5 x.³ + s. Så, en godtycklig konstant (konstant) går in i uttrycket av primitiva, eftersom den primitiva kan vara en funktion, till exempel 5 x.³ + 4 eller 5 x.³ + 3 och med differentiering 4 eller 3, eller någon annan konstant appliceras på noll.

Vi lägger integrationsuppgiften: För den här funktionen f.(x.) hitta en sådan funktion F.(x.), derivat av vilka likvärdig f.(x.).

Exempel 1.Hitta en mängd olika funktioner

Beslut. För den här funktionen är funktionen funktion

Fungera F.(x.) kallad primitiv för funktion f.(x.) om derivat F.(x.) Likvärdig f.(x.), eller det samma, differential F.(x.) Raven f.(x.) dx.

(2)

Följaktligen är funktionen primitiv för en funktion. Det är dock inte det enda primära för. De tjänar också som funktioner

var FRÅN - godtycklig konstant. Detta kan ses differentiering.

Således, om det finns en första primär för funktionen, har den en oändlig mängd primitiva, olika i permanent term. Alla primära funktioner är skrivna i ovanstående form. Detta följer av följande teorem.

Teorem (formellt faktum 2).Om en F.(x.) - Gäller för funktion f.(x.) vid något intervall H., då någon annan primitiv för f.(x.) I samma lucka kan presenteras i formuläret F.(x.) + C.var FRÅN- godtycklig konstant.

I ytterligare exempel Refererar redan till det integrerade tabellen, som kommer att ges i punkt 3 efter egenskaperna hos ett obestämd integrerat integrerat. Vi gör det innan du är bekant med hela bordet, så att kärnan i det föregående är förstått. Och efter bordet och egenskaperna använder vi dem när de integreras i all fullhet.

Exempel 2.Hitta flera funktioner:

Beslut. Vi hittar uppsättningarna av primitiva funktioner, varav "dessa funktioner är gjorda". När du nämner formlerna från det integrerade bordet, acceptera helt enkelt att det finns sådana formler, och vi kommer att studera tabellen med osäkra integreringar att vara helt längre.

1) Applicera formel (7) från det integrerade bordet med n. \u003d 3, vi får

2) med hjälp av formel (10) från det integrerade bordet med n. \u003d 1/3, vi har

3) som

sedan med formel (7) när n. \u003d -1/4 hitta

Under tecknet på integralet skriv inte själva funktionen f. , och hennes arbete på differentialen dx . Detta görs främst för att ange vilken variabel som letar efter en primitiv. Till exempel,

, ;

här, i båda fallen är integrandfunktionen lika, men dess obestämda integraler i de ansedda fallen är olika. I det första fallet anses denna funktion som en funktion från en variabel x. , och i den andra - som en funktion från z. .

Processen med att hitta en obestämbar integrerad funktion kallas att integrera den här funktionen.

Geometrisk mening av en obestämd integral

Låt det vara skyldigt att hitta en kurva y \u003d f (x) Och vi vet redan att tangenten av lutningsvinkeln vid var och en av dess punkt är den angivna funktionen f (x) Abscissionerna av denna punkt.

Enligt den geometriska betydelsen av derivatet, tangent lutningsvinkel vid denna punkt av kurvan y \u003d f (x) lika med derivatets värde F "(x). Så du måste hitta en sådan funktion F (x), för vilka F "(x) \u003d f (x). Funktion som krävs i uppgiften F (x) är en primär f (x). Villkoret för problemet uppfyller inte en kurva, men kurvfamiljen. y \u003d f (x) - En av sådana kurvor, och varje annan kurva kan erhållas från hennes parallella överföring längs axeln Oy..

Låt oss ringa ett diagram över en primitiv funktion från f (x) Integrerad kurva. Om en F "(x) \u003d f (x)Då grafen av funktionen y \u003d f (x) Det finns en integrerad kurva.

Fakta 3. En osäker integral är geometriskt representerad av de sju av alla integrerade kurvor Som i figuren nedan. Avlägsnandet av varje kurva från början av koordinaterna bestäms av en godtycklig konstant (konstant) integration C..

Egenskaper hos en obestämd integral

Fakta 4. Teorem 1. Derivatet av ett obestämt integrerat är lika med integrandfunktionen, och dess differential är ett källuttryck.

Fakta 5. Teorem 2. Oväntat integrerat från differentialfunktionen f.(x.) Lika funktion f.(x.) med en noggrannhet av en permanent term .

(3)

Teorems 1 och 2 visar att differentiering och integration är ömsesidigt omvända operationer.

Fakta 6. Teorem 3. En konstant multiplikator i integrationen kan göras för ett tecken på en obestämd integrerad integrerad .

En av verksamhetsdifferentieringen är grunden för derivatet (differential) och tillämpning av funktioner i studien.

Inte mindre viktigt är den motsatta uppgiften. Om funktionsbeteendet är känt i närheten av varje punkt av dess bestämning, hur man återställer funktionen som en hel, d.v.s. I hela området av dess definition. Denna uppgift är föremål för att studera den så kallade integralberäkningen.

Integration är effekten av omvänd differentiering. Eller återställer funktionen F (x) för detta derivat F` (X). Latinska ordet "integro" betyder återhämtning.

Exempel №1.

Låt (f (x)) "\u003d 3x 2. Hitta f (x).

Beslut:

Att förlita sig på differentieringsregeln är det inte svårt att gissa att f (x) \u003d x 3, för

(x 3) '\u003d 3x 2 Det kan emellertid lätt noteras att f (x) är tvetydigt. Som f (x) kan du ta f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, etc.

Därför att Derivatet av var och en av dem är 3x 2. (Derivatkonstant är 0). Alla dessa funktioner skiljer sig från varandra konstanta termer. därför gemensamt beslut Uppgifterna kan skrivas i form av f (x) \u003d x 3 + c, där C är ett konstant giltigt antal.

Några av de funna funktionerna f (x) kallas Predo-formad För funktion f` (x) \u003d 3x 2

Definition.

Funktionen f (x) kallas primitiv för funktionen f (x) vid det angivna gapet J, om för alla X från denna gap F` (x) \u003d f (x). Så är funktionen f (x) \u003d x 3 primitiv för f (x) \u003d 3x 2 på (- ∞; ∞). Eftersom, för alla X ~ R, är jämlikhet sant: f` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Som vi redan har märkt har den här funktionen en oändlig uppsättning primitiva.

Exempel nummer 2.

Funktionen är primitiv för allt på intervallet (0; + ∞), för För alla H från detta gap utförs jämlikhet.

Integrationsuppgiften är att hitta alla sina primitiva funktioner för en given funktion. För att lösa denna uppgift spelar följande uttalande en viktig roll:

Tecken på konstancy funktion. Om F "(x) \u003d 0 vid något gap I, då är funktionen f permanent med detta intervall.

Bevis.

Fixa några x 0 i gapet I. Sedan för ett antal av ett sådant gap på grund av Lagrange-formeln kan du ange ett sådant nummer C som är inneslutet mellan X och X 0

F (x) - f (x 0) \u003d f "(c) (x - x 0).

Under villkoret f '(c) \u003d 0, sedan med ∈1, därför

F (x) - f (x 0) \u003d 0.

Så för alla x från intervallet jag

t e. Funktion f behåller ett konstant värde.

Alla primitiva funktioner f kan skrivas med en enda formel som heter gemensam syn på den första som fungerar f. Rättvis följande teorem ( den grundläggande egenskapen är primitiv):

Sats. Någon först för funktion f på intervallet jag kan spelas in som

F (x) + C, (1) där f (x) är en av de primitiva funktionerna F (x) vid intervallet I och C är en godtycklig konstant.

Låt oss förklara detta uttalande där två fastigheter formuleras kort:

oavsett nummer som ska läggas i uttrycket (1) istället för att använda, får vi en primitiv för F i intervallet I;
oavsett det primitiva f för f på intervallet att jag inte tar, kan du hämta ett sådant nummer C som för alla X från intervallet kommer jag att bli jämlikhet

Bevis.

Genom tillstånd är funktionen F en primitiv för F vid intervallet I. Därför, F "(x) \u003d f (x) för vilken som helst X∈1, därför (f (x) + c)" \u003d f "(x) + C "\u003d f (x) + 0 \u003d f (x), dvs f (x) + c är en primitiv för funktion f.
Låt f (x) vara en av de primitiva funktionerna för funktionen f i samma gap I, dvs F "(x) \u003d f (x) för alla x∈i.

Då (f (x) - f (x)) "\u003d f" (x) -f '(x) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

Härifrån följer det. Kraften av ett tecken på konstantitet fungerar att skillnaden f (x) - f (x) är en funktion som tar något konstant värde från intervallet I.

Således, för alla X från gapet I, jämställdheten f (x) - f (x) \u003d c, som krävdes att bevisa. Den primitiva egenskapen kan ges en geometrisk mening: graferna av två primitiva funktioner erhålls av varandra genom parallellöverföring längs OU-axeln.

Frågor till abstrakt

Funktion F (x) är en primitiv för funktionen f (x). Hitta f (1) om f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 och f (-1) \u003d 2.

Hitta all den första som ska fungera

För en funktion (x) \u003d cos2 * sin2x, hitta den primitiva f (x) om f (0) \u003d 0.

För en funktion, hitta den primitiva, vars graf passerar genom punkten

Lösningen av integraler är uppgiften är lätt, men endast för de utvalda. Denna artikel är för dem som vill lära sig att förstå integralerna, men vet ingenting om dem eller nästan ingenting. Integral ... Varför behövs det? Hur man beräknar det? Vad är en viss och obestämd integral? Om den enda integrerade applikationen som är känd för dig är att få en virka i form av en integrerad ikon. Något användbart från svårt att nå platser, då välkommen! Lär dig hur du löser integralerna och varför utan det är det omöjligt att göra.

Vi studerar begreppet "integral"

Integration var känd i antika Egypten. Naturligtvis, inte i modern video, men ändå. Sedan dess skrev matematik många böcker om detta ämne. Speciellt utmärkta Newton och Leibnits Men kärnan i saker har inte förändrats. Hur man förstår integraler från början? Inte på något sätt! För att förstå detta ämne kommer den grundläggande kunskapen om grunden för matematisk analys fortfarande att behöva. Det är dessa grundläggande information om dig hittar i vår blogg.

Osäker integral

Låt oss ha någon form av funktion f (x) .

Osäker integrerad funktion f (x) Den här funktionen heter F (x) , vars derivat är lika med funktionen f (x) .

Med andra ord är det integrerade ett derivat kring det motsatta eller primitiva. Förresten, om hur man läser i vår artikel.

Prediktiv finns för alla kontinuerliga funktioner. Dessutom tillsätts det konstanta tecknet ofta till primären, eftersom derivaten skiljer sig åt i den konstanta sammanfallningen. Processen att hitta integralet kallas integration.

Enkelt exempel:

För att ständigt inte beräkna de primitiva elementära funktionerna är det lämpligt att minska bordet och använda de färdiga värdena:

Viss integral

Att ha en affär med begreppet integrerat, har vi oändligt små värden. Integreringen hjälper till att beräkna figuren av figuren, den inhomogent kroppens massa, passerade under den ojämna rörelsesvägen och mycket mer. Det bör komma ihåg att det integrerade är mängden oändligt stort antal Oändligt små termer.

Som ett exempel, föreställ dig ett schema för någon funktion. Hur man hittar ett område med figurer begränsas av ett diagram över funktionen?

Med hjälp av det integrerade! Vi delar upp det krökta trapeziumet, begränsat av koordinataxlarna och grafen av funktionen, på oändligt små segment. Således kommer figuren att delas upp i tunna kolumner. Summan av kolumnernas område kommer att vara området för trapezoiden. Men kom ihåg att en sådan beräkning kommer att ge ett exemplifierande resultat. Men desto mindre är segmenten redan att vara desto mer exakt kommer beräkningen. Om vi \u200b\u200bminskar dem i en sådan utsträckning att längden kommer att sträva efter noll, kommer mängden segment att sträva efter för området i figuren. Detta är ett specifikt integrerat som skrivs enligt följande:

Punkterna A och B kallas integrationsgränser.

Baria Alibasov och gruppen "Integral"

Förresten! För våra läsare är det en 10% rabatt på

Regler för beräkning av integraler för dummies

Egenskaper hos ett osäkert integrerat

Hur löser man ett obestämt integrerat? Här kommer vi att överväga egenskaperna hos ett osäkert integrerat, vilket kommer att vara användbart vid lösning av exempel.

Det integrerade derivatet är lika med integrandfunktionen:

Konstanten kan göras från tecken på det integrerade:

Det integrerade från mängden är lika med mängden integraler. Också också för skillnad:

Egenskaper för ett specifikt integrerat

Linearitet:

Det integrerade tecknet ändras om integrationsgränserna byts ut:

För några Punkter a., b. och från:

Vi har redan funnit att en viss integral är gränsen för beloppet. Men hur får man ett visst värde när du löser exemplet? För detta finns det en Newton-leibnisk formel:

Exempel på lösningar av integraler

Nedan kommer att titta på några exempel på att hitta osäkra integraler. Vi föreslår att du självständigt förstår lösningens subtiliteter, och om något är oförståeligt, ställ frågor i kommentarerna.

För att säkra materialet, se videon om hur integralerna löses i praktiken. Förtvivlan inte om det integrerade inte ges omedelbart. Fråga, och de kommer att berätta om att beräkna integralerna allt som vet själva. Med vår hjälp av någon trippel eller krivolynoe Integral Längs den slutna ytan blir krafter.

UTSKRIFT

Definition av en primitiv funktion

Fungera y \u003d f (x)kallas primitiv för funktion y \u003d f (x) Vid ett givet intervall X,om för alla h. ∈ H. Jämställdhet utförs: F '(x) \u003d f (x)

Du kan läsa på två sätt:

f. härledd funktion F.
F. Perfekt för funktion f.

Primitiv egenskap

Om en F (x)- Perfekt för funktion f (x) Vid ett givet gap har funktionen F (x) oändligt många primitiva, och alla dessa primitiva kan skrivas som F (x) + meddär C är en godtycklig konstant.

Geometrisk tolkning

Grafer av all primitiv den här funktionen. f (x) erhållen från grafen av någon primitiv parallellöverföring längs axeln om w..

Reglerna för beräkning av den primära

Det första beloppet är lika med summan av den primordiala. Om en F (x) - Pred-liknande för f (x), och g (x) är en primitiv för g (x)T. F (x) + g (x) - Pred-liknande för f (x) + g (x).
Permanent multiplikator kan göras för ett derivatmärke. Om en F (x) - Pred-liknande för f (x), I. k. - Konstant, då k · f (x) - Pred-liknande för k · f (x).
Om en F (x) - Pred-liknande för f (x), I. k, B. - Konstant, och k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - Pred-liknande för f (kx + b).

Kom ihåg!

Någon funktion F (x) \u003d x 2 + där C är en godtycklig konstant, och endast en sådan funktion är en primitiv för funktion f (x) \u003d 2x.

Till exempel:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2x, Därför att F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2x, Därför att F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Anslutningen mellan graferna av funktionen och dess primära:

Om grafen är funktion f (x)\u003e 0 F (x) Ökar vid detta intervall.
Om grafen är funktion f (x)<0 på intervallet är schemat är det primitiva F (x) minskar vid detta intervall.
Om en f (x) \u003d 0sedan grafen av hennes primitiva F (x) Vid denna tidpunkt ändras med en ökande minskning (eller vice versa).

För att beteckna används tecknet på en odefinierad integrering, det vill säga det integrerade utan att specificera integrationsgränserna.

Osäker integral

Definition:

Ett osäkert integrerat från funktionen F (x) är uttrycket F (x) + C, det vill säga kombinationen av alla primära funktioner hos F (x). Betecknar ett obestämt integrerat enligt följande: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

f (x)- Se den integrerade funktionen;
f (x) dx- kallas ett concintive uttryck;
x. - Samtalsintegration variabel;
F (x) - En av de primitiva funktionerna f (x);
FRÅN - godtycklig konstant.

Egenskaper hos en obestämd integral

Derivatet av ett obestämt integrerat är lika med integrandfunktionen: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
En permanent multiplikator av det integrerade uttrycket kan göras för ett integrerat tecken: \\ INT K \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
Det integrerade från mängden (skillnaden) av funktioner är lika med beloppet (skillnaden) av integralerna från dessa funktioner: \\ INT (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
Om en k, B.- Konstant och K ≠ 0, då \\ INT F (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

Tabell över primära och osäkra integraler

Fungera f (x)	UTSKRIFT F (x) + c	Osäkra integraler \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ INT 0 DX \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + c	\\ INT KDX \u003d KX + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ inte \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c	\\ INT X (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ utvers x \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (x) \u003d l n \\ utvers x \\ rent + c
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + c	\\ INT E (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c	\\ INT A (^ x) dx \u003d \\ frac (A ^ x) (L na) + C
f (x) \u003d \\ synd x	F (x) \u003d - \\ cos x + c	\\ INT \\ SIN X DX \u003d - \\ COS X + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ synd x + c	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ synd (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ SIN (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ SIN (^ 2) x) \u003d \\ tg x + c
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arcTG X + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (A ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ Arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (A ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (1 + X ^ 2) \u003d \\ Arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (A \\ NOT \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ utvers \\ frac (x-a) (x + a) \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ utlopp \\ frac (x-a) (x + a) \\ rent + c
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ utvers \\ cos x \\ rent + c	\\ INT \\ TG X DX \u003d - L n \\ utvers \\ cos x \\ rent + c
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ utversion \\ sin x \\ rent + c	\\ INT \\ CTG X DX \u003d L n \\ utlopp \\ sin x \\ rent + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ utvers \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sin x) \u003d l n \\ utvers \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rent + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ utvers \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ COS X) \u003d L n \\ utversion \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rent + c

Formel Newton Labitsa

Låt vara f (x) Denna funktion, F. Hennes godtyckliga primitiva.

\\ INT_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

var F (x) - Pred-liknande för F (x)

Det vill säga den integrerade funktionen f (x) Intervallet är lika med skillnaden i sevärdheterna vid punkter b. och a..

Square of Curvilinear Trapezium

Curvilinear Trapezium kallas en siffra begränsad av ett icke-negativt och kontinuerligt schema på ett segment av funktionen f., Oxaxel och rak x \u003d A. och x \u003d B..

Området av det krökta trapeziumet finns enligt Newton Labitsa formel:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Fungera F (x. ) kallad predo-formad För funktion f (x.) Vid ett givet intervall, om för alla x. Jämställdhet utförs från detta gap

F "x. ) = f.(x. ) .

Till exempel en funktion F (x) \u003d x 2 f (x. ) = 2h. , som

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Huvudfastigheten är primitiv

Om en F (x) - Perfekt för funktion f (x) Vid det angivna gapet, då funktionen f (x) Det har oändligt många primitiva, och alla dessa primitiva kan skrivas som F (x) + medvar FRÅN - godtycklig konstant.

Till exempel.

Fungera F (x) \u003d x 2 + 1 är en primär för funktion

f (x. ) = 2h. , som F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x);

fungera F (x) \u003d x 2 - 1 är en primär för funktion

f (x. ) = 2h. , som F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ;

fungera F (x) \u003d x 2 - 3 är en primär för funktion

f (x.) = 2h. , som F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x);

någon funktion F (x) \u003d x 2 + FRÅN var FRÅN - godtycklig konstant, och endast en sådan funktion är en primitiv för funktion f (x.) = 2h. . ◄

Reglerna för beräkning av den primära

Om en F (x) - Pred-liknande för F (x) , men G (x) - Pred-liknande för g (x) T. F (x) + g (x) - Pred-liknande för f (x) + g (x) . Med andra ord, det första beloppet är lika med summan av den primordiala .
Om en F (x) - Pred-liknande för F (x) , I. k. - Konstant, då k. · F (x) - Pred-liknande för k. · f (x) . Med andra ord, permanent multiplikator kan göras för ett derivatmärke .
Om en F (x) - Pred-liknande för F (x) , I. k., B.- Konstant, och k ≠ 0 T. 1 / K. · F (k. x +.b. ) - Pred-liknande för f.(k. x +. b.) .

Osäker integral

Osäker integral från funktion F (x) kallas uttryck F (x) + med, det vill säga den totala av all den primära den här funktionen f (x) . Betecknar en obestämd integral så:

∫ f (x) dx \u003d f (x) + med ,

f (x)- Ring upp integrerad funktion ;

f (x) dx - Ring upp ett konkret uttryck ;

x. - Ring upp variabel integration ;

F (x) - En av de primitiva funktionerna F (x) ;

FRÅN - godtycklig konstant.

Till exempel, ∫ 2 x dx \u003d.h. 2 + FRÅN , ∫ cos.x dx \u003d.synd. h. + FRÅN etc. ◄

Ordet "Integral" kommer från det latinska ordet heltal Vad betyder "återställd". Med tanke på ett obestämt integrerat från 2 x. Vi kommer att återställa funktionen h. 2 härledd som är lika med 2 x. . Restaurering av funktionen av sitt derivat, eller att samma, hitta en obestämd integrerad integrerad funktion, kallas integration Denna funktion. Integration är en operation, invers differentiering. För att kontrollera om integration utförs korrekt är det tillräckligt att likgiltigt resultatet och få en källfunktion.

Huvudegenskaperna hos ett obestämt integrerat

Derivatet av ett obestämt integrerat är lika med integrandfunktionen:

(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .

En permanent multiplikator av det integrerade uttrycket kan göras för ett integrerat tecken:

∫ k. · f (x) dx = k. · ∫ f (x) dx .

Det integrerade från mängden (skillnaden) av funktioner är lika med beloppet (skillnaden) av integralerna från dessa funktioner:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (X. ) dx .

Om en k., B.- Konstant, och k ≠ 0 T.

∫ f ( k. x +. b.) dx = 1 / K. · F (k. x +.b. ) + S. .

Tabell över primära och obestämda integraler

	f (x)	F (x) + c	∫ f (x) dx \u003d f (x) + med
Jag	$$0$$	$$ C $$.	$$ \\ int 0dx \u003d c $$
II.	$$ K $$	$$ KX + C $$	$$ \\ INT KDX \u003d KX + C $$
III.	$$ x ^ n ~ (n \\ neq-1) $$	$$ \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $$	$$ \\ int x ^ ndx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $$
Iv.	$$ \\ frac (1) (x) $$	$$ \\ ln \| x \| + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (x) \u003d \\ ln \| x \| + c $$
V.	$$ \\ synd x $$	$$ - \\ cos x + c $$	$$ \\ int \\ sin x ~ dx \u003d - \\ cos x + c $$
Vi.	$$ \\ cos x $$	$$ \\ synd x + c $$	$$ \\ int \\ cos x ~ dx \u003d \\ sin x + c $$
VII.	$$ \\ frac (1) (\\ cos ^ 2x) $$	$$ \\ TEXTRM (TG) ~ X + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ textrm (tg) ~ x + c $$
Viii.	$$ \\ frac (1) (\\ sin ^ 2x) $$	$$ - \\ TEXTRM (CTG) ~ X + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2x) \u003d - \\ textrm (ctg) ~ x + c $$
Ix.	$$ E ^ x $$	$$ E ^ x + c $$	$$ \\ int e ^ xdx \u003d e ^ x + c $$
X.	$$ A ^ X $$	$$ \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c $$	$$ \\ int a ^ xdx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c $$
Xi.	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$	$$ \\ Arcsin X + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c $$
XII.	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$	$$ \\ Arcsin \\ frac (x) (a) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c $$
XIII.	$$ \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ \\ Textrm (arctg) ~ x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ textrm (arctg) ~ x + c $$
XIV.	$$ \\ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \\ frac (1) (a) \\ textrm (arctg) ~ \\ frac (x) (a) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ frac (1) (a) \\ textrm (arctg) ~ \\ frac (x) (a) + c $$
Xv	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$	$$ \\ ln \| x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \| + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ ln \| x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \| + c $$
XVI.	$$ \\ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \\ neq0) $$	$$ \\ frac (1) (2a) \\ ln \\ inbegripa (vmaatrix) \\ frac (x-a) (x + a) \\ end (vmaatrix) + c $$	$$ \\ INT \\ FRAC (DX) (x ^ 2-a ^ 2) \u003d \\ frac (1) (2a) \\ ln \\ inbegripa (vmaatrix) \\ frac (xa) (x + a) \\ end (vmaatrix) + C $$.
XVII.	$$ \\ TEXTRM (TG) ~ X $$	$$ - \\ ln \| \\ cos x \| + c $$	$$ \\ INT \\ TEXTRM (TG) ~ X ~ DX \u003d - \\ LN \| \\ COS X \| + C $$
XVIII.	$$ \\ TEXTRM (CTG) ~ x $$	$$ \\ ln \| \\ sin x \| + c $$	$$ \\ INT \\ TEXTRM (CTG) ~ X ~ DX \u003d \\ LN \| \\ SIN X \| + C $$
XIX.	$$ \\ frac (1) (\\ sin x) $$	$$ \\ ln \\ BEGIN (VMATRIX) \\ TEXTRM (TG) ~ \\ frac (x) (2) \\ end (vmaatrix) + c $$	$$ \\ INT \\ FRAC (DX) (\\ SIN X) \u003d \\ ln \\ BEGIN (VMATRIX) \\ TEXTRM (TG) ~ \\ frac (x) (2) \\ end (vmaatrix) + c $$
Xx.	$$ \\ frac (1) (\\ cos x) $$	$$ \\ ln \\ BEGIN (VMATRIX) \\ TEXTRM (TG) \\ vänster (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) \\ höger) \\ end (vmaatrix) + c $$	$$ \\ INT \\ FRAC (DX) (\\ COS X) \u003d \\ ln \\ BEGIN (VMATRIX) \\ TEXTRM (TG) \\ vänster (\\ Frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) ) \\ End (VMatrix) + C $$
De första och obestämda integralerna som anges i denna tabell är vanliga. tabeller är primitiva och bordsintegreringar .

Viss integral

Låt vara på intervallet [a.; B.] Kontinuerlig funktion anges y \u003d f (x) då då definierad integrerad från A till B Funktioner f (x) Ökningen är primitiv F (x) den här funktionen, det vill säga

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ f (a) -f (b). $$

Tal a.och b. kallas respektive nizhina och Övre integrationsgränserna.

Grundläggande regler för beräkning av ett specifikt integrerat

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \\) var k. - konstant;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \\) ;

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\), var F (x) - jämn funktion;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), var f (x) - Odd Feature.

Kommentar . I alla fall antas att de integrerade funktionerna integreras i numeriska intervall vars gränser är integrationsgränser.

Geometrisk och fysisk mening av en viss integral

Geometrisk mening definierad integrerad	Fysisk mening definierad integrerad

Område S. Curvilinear Trapezium (Figur begränsad till ett kontinuerligt positivt schema på intervallet [a.; B.] Funktioner f (x) , axel OXE. Och rakt x \u003d A. , x \u003d B. ) beräknas med formeln $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Sätt s.som överträffade materiella punkten genom att röra sig strax vid hastighetsbyte enligt lag v (t) , med tiden a ; B.], sedan området i figuren, begränsad av graferna av dessa funktioner och direkt x \u003d A. , x \u003d B. , beräknad med formeln $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	Till exempel. Beräkna området för de begränsade linjerna y \u003d x. 2 och y \u003d.2 - X. . Jag kommer att visa schematiskt grafik av dessa funktioner och markera den siffra som du vill hitta området. För att hitta integrationsgränserna genom att lösa ekvation: x. 2 = 2 - X. ; x. 2 + x -2 = 0 ; x. 1 = -2, X. 2 = 1 . $$ s \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ vänster (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ Höger) \\ bigm \| (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$. ◄

Rotationsomfattning

Om kroppen erhålls som ett resultat av rotation nära axeln OXE. Curvilinear Trapezium begränsad av ett diagram över kontinuerlig och icke-negativ på intervallet [a.; B.] funktioner y \u003d f (x) Och rakt x \u003d A.och x \u003d B. Då kallas det rotationskropp .

Omfattning av rotation beräknas med formeln

$$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$

Om rotationskroppen erhålls som ett resultat av rotation av figuren, begränsad ovanifrån och under graferna av funktioner y \u003d f (x) och y \u003d g (x) , därefter då

$$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$

Till exempel. Beräkna volymen av konen med radien r. och höjd h. .

Placera en kon i ett rektangulärt koordinatsystem så att dess axel sammanfaller med axeln OXE. Och mitten av basen var belägen i början av koordinaterna. Rotation av formning Ab Bestämmer konen. Eftersom ekvation Ab

$$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$

$$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$

och för volymen av konen har vi

$$ v \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- \\ frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frac ((1- \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_ ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ vänster (0- \\ frac (1) (3) \\ höger) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$

◄