Metoder för beräkning av osäkra integraler. Integralals för dummies: Hur man löser, beräkningsregler, förklaring

Är det möjligt att sätta en olinjär funktion under differentialtecknet? Ja, om ett ersättningsuttryck är en produkt av två multiplikatorer: En faktor är en komplex funktion från någon olinjär funktion, och en annan faktor är härledd från denna olinjära funktion. Tänk på vad som sägs om exemplen.

Hitta osäkra integraler.

Exempel 1.. ∫ (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 dx \u003d ∫ (x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) \u003d (x² + x + 2) 6 : 6 + C.

Vad är det här integrationen? Produkten från effektfunktionen från (x 2 + x + 2) och multiplikatorn (2x + 1), som är lika med gradderivatet: (x 2 + x + 2) "\u003d 2x + 1.

Detta gjorde det möjligt för oss att ta med (2x + 1) under skylten på differentialen:

∫u 5 du \u003d u 6 : 6+ C. (Formel 1). )

Kolla upp. (F (x) + c) "\u003d ((x ^ + x + 2) 6 : 6 + C) '\u003d 1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2) "\u003d

\u003d (x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) \u003d (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 \u003d f (x).

Exempel 2. ∫ (3x 2 - 2x + 3) (x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx \u003d ∫ (x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 - x 2 + 3x + 1) \u003d

\u003d (x³ x ^ + 3x + 1) 6 : 6 + C.

Och hur skiljer detta exempel från exempel 1? Ja, ingenting! Samma femte grad med basen (x 3 - x 2 + 3x + 1) multipliceras med tre-shred (3x 2 - 2x + 3), vilken är graden av examensderivat: (x 3 - x 2 + 3x + 1) "\u003d 3x 2 - 2x + 3. Detta är grunden för den grad vi misslyckades under tecknet på differentialen, från vilken värdet på det integrerade uttrycket inte har ändrats och applicerade sedan samma formel 1). ( Integral)

Exempel 3.

Här kommer derivatet av (2 - 3 - 3x) att ge (6x 2 - 3), och vi har

det finns (12x 2 - 6), det vill säga uttrycket i 2 Tiderna mer betyder det att vi kommer att ta med (2-3 - 3x) under skylten på differentialen och framför den integrerade sätter multiplikatorn 2 . Applicera formel 2) (ark ).

Det här är vad som händer:

Låt oss kolla, med tanke på att:

Exempel. Hitta osäkra integraler.

1. ∫ (6x + 5) 3 dx. Hur kommer vi att bestämma? Vi tittar på arket och vi argumenterar för detta: Integren är en examen, och vi har en formel för examensintegral (formel 1) ), men det finns en grund u. och integration variabel också u.

Och vi har en variabel integration H., och grunden för graden (6x + 5). Vi kommer att ersätta integrationsvariabeln: istället för DX-skriv D (6x + 5). Vad har förändrats? Eftersom det står efter differentialskillnadsskillnaden, är det differentierat,

då d (6x + 5) \u003d 6dx, dvs. Vid byte av variabel X till en variabel (6x + 5) ökade den integrerade funktionen 6 gånger, så före det integrerade tecknet sätter vi faktorn 1/6. Du kan skriva dessa argument så här:

Så vi löst det här exemplet genom introduktionen av en ny variabel (variabeln x ersattes med en variabel 6x + 5). Och var registrerade den nya variabeln (6x + 5)? Under tecknet på differentialen. Därför, den här metoden Införandet av en ny variabel kallas ofta metod (eller på ett sätt ) Spara(ny variabel ) under tecknet på differential.

I det andra exemplet fick vi först en examen med en negativ indikator och ledde sedan till tecknet på differential (7x-2) och använde graders integrerade formel 1) (integraler ).

Vi kommer att analysera exemplet exemplet 3.

Det finns en 1/5 koefficient framför det integrerade. Varför? Eftersom d (5x-2) \u003d 5dx, då funktionen hos differentialfunktionen u \u003d 5x-2, ökade vi integranduttrycket 5 gånger så att värdet av detta uttryck inte förändras - det var nödvändigt att dela upp 5, dvs. Multiplicera till 1/5. Därefter användes formeln 2) (Integraler) .

Alla de enklaste formlerna i integralerna kommer att ses:

∫F (x) dx \u003d f (x) + cDessutom bör jämställdhet utföras:

(F (x) + c) "\u003d f (x).

Integrationsformler kan erhållas genom att hänvisa till motsvarande differentieringsformler.

Verkligen,

Exponent n. Kanske fraktionerad. Ofta måste du hitta ett obestämt integrerat från funktionen y \u003d √h. Beräkna det integrerade från funktionen f (x) \u003d √x med formeln 1) .

Vi skriver detta exempel i formeln 2) .

Eftersom (x + c) "\u003d 1, sedan ∫dx \u003d x + c.

3) ∫dx \u003d x + c.

Byte av 1 / x ² på X -2, beräkna det integrerade från 1 / xx.

Och det var möjligt att få detta svar genom överklagandet av en känd formel för differentiering:

Vi skriver vår resonemang i formeln 4).

Multiplicera båda delar av jämlikheten erhållen med 2, får vi formeln 5).

Hitta integraler från huvudet trigonometriska funktioner, Att veta deras derivat: (Sinx) "\u003d Cosx; (Cosx)" \u003d - Sinx; (TGX) "\u003d 1 / COS²X; (CTGX)" \u003d - 1 / SIN²X. Vi får integrationsformulerna 6) — 9).

6) ∫COSXDX \u003d SINX + C;

7) ∫sinxdx \u003d -cosx + c;

Efter att ha studerat de vägledande och logaritmiska funktionerna, lägg till några fler formler.

Huvudegenskaperna hos ett osäkert integrerat.

Jag Derivatet av ett obestämt integrerat är lika med integrationen .

(∫F (x) dx) "\u003d f (x).

II.Differensen hos ett obestämt integrerat är lika med det ursprungliga uttrycket.

d∫f (x) dx \u003d f (x) dx.

III. Det obestämda integrationen av differential (derivat) av någon funktion är lika med summan av denna funktion och en godtycklig konstant C.

∫df (x) \u003d f (x) + celler ∫F "(x) dx \u003d f (x) + c.

Obs! I I, II och III egenskaper, differential och integrerade tecken (integrerad och differential) "äter" varandra!

Iv. En permanent multiplikator av det integrerade uttrycket kan nås med tecken på det integrerade.

∫kf (x) dx \u003d k · ∫f (x) dx,var k. - Ett konstant värde som inte är lika med noll.

V.Integreringen av den algebraiska mängden funktioner är lika med den algebraiska mängden integraler från dessa funktioner.

∫ (f (x) ± g (x)) dx \u003d ∫F (x) dx ± ∫g (x) dx.

Vi.Om f (x) är en primitiv för f (x), och k. och b. - Permanenta värden, och k.≠ 0, då (1 / k) · f (kx + b) är en primitiv för f (kx + b). I själva verket, enligt beräkningsregeln av derivatet komplexfunktion Vi har:

Du kan skriva:

För varje matematisk verkan finns det en motsatt effekt. För differentiering (hitta härledda funktioner) finns det också omvänd handling - Integration. Genom integration finns de (återställd) funktionen enligt dess derivat eller differential. Hittad funktion kallas predo-formad.

Definition. Differentialfunktion F (x) Kallas primitiv för funktion f (x) Vid ett givet intervall, om för alla h. Jämställdhet är rätt från detta gap: F '(x) \u003d f (x).

Exempel. Hitta primära funktioner: 1) f (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x.

1) Eftersom (x²) '\u003d 2x, då, per definition, kommer funktionen f (x) \u003d x ^ att vara en primitiv för funktionen f (x) \u003d 2x.

2) (Sin3x) '\u003d 3cos3x. Om du betecknar f (x) \u003d 3cos3x och f (x) \u003d sin3x, är det per definition primitivt, vi har: f '(x) \u003d f (x), och det betyder f (x) \u003d sin3x är en primitiv för f (x) \u003d 3cos3x.

Notera det och (sin3x +5 )′= 3cos3x, och (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... i allmän Du kan skriva: (sin3x + S.)′= 3cos3xvar FRÅN - Något permanent värde. Dessa exempel indikerar tvetydigheten i integrationsåtgärden, i motsats till differentieringsåtgärden, när någon annan funktion, det finns ett enda derivat.

Definition. Om funktionen F (x) är en primär för funktion f (x) Vid något intervall är uppsättningen av alla primära dessa funktioner:

F (x) + cdär C är något giltigt nummer.

Kombinationen av all den primitiva F (x) + C-funktionen F (x) på det aktuella intervallet kallas en osäker integrerad och indikerad med symbolen ∫ (integrerat tecken). Spela in: ∫F (x) dx \u003d f (x) + c.

Uttryck ∫F (x) dx De läser: "EF-integralet från x på de x".

f (x) dx - konkretist,

f (x) - Integrerad funktion,

h. - Variabel integration.

F (x) - Perfekt för funktion f (x),

FRÅN - Något permanent värde.

Nu kan de ansedda exemplen skrivas enligt följande:

1) ∫ 2xdx \u003d x² + c. 2) ∫ 3cos3xdx \u003d sin3x + C.

Vad betyder D-tecknet?

d - Differensskylt - har ett dubbel syfte: För det första separerar detta tecken den integrerade funktionen från integrationsvariabeln; För det andra är allt som står efter det här tecknet differentiellt standard och multiplicerat med integrandfunktionen.

Exempel. Hitta integraler: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Efter differentialikonen d. värt det h. H., men r

∫ 2khrdx \u003d px² + s. Jämföra med exempel 1).

Låt oss kolla. F '(x) \u003d (px² + c)' \u003d p · (x ^) '+ c' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x).

4) Efter differentialikonen d. värt det r. Så, integrationsvariabeln Roch multiplikator h. Det bör betraktas som ett visst konstant värde.

∫ 2HRDR \u003d ² + s. Jämför med exempel 1) och 3).

Låt oss kolla. F '(p) \u003d (p ^x + c)' \u003d x · (p ^) '+ c' \u003d x · 2p \u003d 2px \u003d f (p).

Sida 1 av 1 1

Lösningen av integraler är uppgiften är lätt, men endast för de utvalda. Denna artikel är för dem som vill lära sig att förstå integralerna, men vet ingenting om dem eller nästan ingenting. Integral ... Varför behövs det? Hur man beräknar det? Vad är en viss och obestämd integral? Om den enda integrerade applikationen som är känd för dig är att få en virka i form av en integrerad ikon. Något användbart från svårt att nå platser, då välkommen! Lär dig hur du löser integralerna och varför utan det är det omöjligt att göra.

Vi studerar begreppet "integral"

Integration var känd i antika Egypten. Naturligtvis, inte i modern video, men ändå. Sedan dess skrev matematik många böcker om detta ämne. Speciellt utmärkta Newton och Leibnits Men kärnan i saker har inte förändrats. Hur man förstår integraler från början? Inte på något sätt! För att förstå detta ämne kommer den grundläggande kunskapen om grunden för matematisk analys fortfarande att behöva. Det är dessa grundläggande information om dig hittar i vår blogg.

Osäker integral

Låt oss ha någon form av funktion f (x) .

Osäker integrerad funktion f (x) Den här funktionen heter F (x) , vars derivat är lika med funktionen f (x) .

Med andra ord är det integrerade ett derivat kring det motsatta eller primitiva. Förresten, om hur man läser i vår artikel.

Prediktiv finns för alla kontinuerliga funktioner. Dessutom tillsätts det konstanta tecknet ofta till primären, eftersom derivaten skiljer sig åt i den konstanta sammanfallningen. Processen att hitta integralet kallas integration.

Enkelt exempel:

För att ständigt inte beräkna de primitiva elementära funktionerna är det lämpligt att minska bordet och använda de färdiga värdena:

Viss integral

Att ha en affär med begreppet integrerat, har vi oändligt små värden. Integreringen hjälper till att beräkna figuren av figuren, den inhomogent kroppens massa, passerade under den ojämna rörelsesvägen och mycket mer. Det bör komma ihåg att det integrerade är mängden oändligt stort antal Oändligt små termer.

Som ett exempel, föreställ dig ett schema för någon funktion. Hur man hittar ett område med figurer begränsas av ett diagram över funktionen?

Med hjälp av det integrerade! Vi delar upp det krökta trapeziumet, begränsat av koordinataxlarna och grafen av funktionen, på oändligt små segment. Således kommer figuren att delas upp i tunna kolumner. Summan av kolumnernas område kommer att vara området för trapezoiden. Men kom ihåg att en sådan beräkning kommer att ge ett exemplifierande resultat. Men desto mindre är segmenten redan att vara desto mer exakt kommer beräkningen. Om vi \u200b\u200bminskar dem i en sådan utsträckning att längden kommer att sträva efter noll, kommer mängden segment att sträva efter för området i figuren. Detta är ett specifikt integrerat som skrivs enligt följande:

Punkterna A och B kallas integrationsgränser.

Baria Alibasov och gruppen "Integral"

Förresten! För våra läsare är det en 10% rabatt på

Regler för beräkning av integraler för dummies

Egenskaper hos ett osäkert integrerat

Hur löser man ett obestämt integrerat? Här kommer vi att överväga egenskaperna hos ett osäkert integrerat, vilket kommer att vara användbart vid lösning av exempel.

• Det integrerade derivatet är lika med integrandfunktionen:

• Konstanten kan göras från tecken på det integrerade:

• Det integrerade från mängden är lika med mängden integraler. Också också för skillnad:

Egenskaper för ett specifikt integrerat

• Linearitet:

• Det integrerade tecknet ändras om integrationsgränserna byts ut:

• För några Punkter a., b. och från:

Vi har redan funnit att en viss integral är gränsen för beloppet. Men hur får man ett visst värde när du löser exemplet? För detta finns det en Newton-leibnisk formel:

Exempel på lösningar av integraler

Nedan kommer att överväga flera exempel på att hitta osäkra integraler. Vi föreslår att du självständigt förstår lösningens subtiliteter, och om något är oförståeligt, ställ frågor i kommentarerna.

För att säkra materialet, se videon om hur integralerna löses i praktiken. Förtvivlan inte om det integrerade inte ges omedelbart. Fråga, och de kommer att berätta om att beräkna integralerna allt som vet själva. Med vår hjälp av någon trippel eller krivolynoe Integral Längs den slutna ytan blir krafter.

Integrerad kalkyl.

Utskriftsfunktion.

Definition: Funktionsf (x) kallas en primitiv funktionfunktionen FUNKTF (x) på segmentet, om det på något sätt i det här segmentet är sant jämlikhet:

Det bör noteras att det kan finnas oändligt många för samma funktion. De kommer att skilja sig från varandra för något konstant nummer.

F 1 (x) \u003d f 2 (x) + c.

Osäkert integrerat.

Definition: Osäker integralfunktionen (X) kallas en uppsättning primitiva funktioner som bestäms av relationen:

Spela in:

Villkoren för existensen av ett obestämt integrerat på vissa segment är kontinuiteten i funktionen på detta segment.

Egenskaper:

1.

2.

3.

4.

Exempel:

Att hitta värdet på ett obestämt integrerat är främst beroende på att en primitiv funktion upptäckt. För vissa funktioner är det här en ganska komplicerad uppgift. Följande kommer att anses vara sätt att hitta osäkra integreringar för grundläggande klasser av funktioner - rationell, irrationell, trigonometrisk, vägledande etc.

För bekvämligheten monteras betydelsen av osäkra integreringar av de flesta elementära funktioner i speciella integrerade tabeller som ibland är mycket voluminösa. De inkluderar de olika vanligaste kombinationerna av funktioner. Men de flesta formlerna som presenteras i dessa tabeller är konsekvenser av varandra, så under tabellen i de viktigaste integralerna som du kan få värdena för osäkra integreringar av olika funktioner.

Väsentlig		Värde	Väsentlig		Värde
		lnsinx + C.
		ln.

Integrationsmetoder.

Tänk på tre grundläggande integrationsmetoder.

Direkt integration.

Direktintegrationsmetoden är baserad på antagandet om ett eventuellt värde av en primitiv funktion med ytterligare verifiering av detta värde till differentiering. I allmänhet noterar vi att differentiering är ett kraftfullt verktyg för att kontrollera resultaten av integrationen.

Tänk på användningen av denna metod med hjälp av exemplet:

Det är nödvändigt att hitta det integrerade värdet. . Baserat på en känd differentieringsformel
man kan dra slutsatsen att den önskade integralen är lika
där C är ett konstant nummer. Men å andra sidan
. Således kan vi äntligen sluta:

Observera att i motsats till differentiering, där, för att finna ett derivat, tydliga tekniker och metoder användes, är reglerna för att finna ett derivat, slutligen bestämma derivatet, för integration av sådana metoder inte tillgängliga. Om vi, när du hittar derivatet, som vi använde, så att tala, konstruktiva metoder som, baserat på vissa regler, ledde till resultatet, då när man befann sig en primär, är det nödvändigt att helt förlita sig på kunskap om derivatborden och primitiv.

När det gäller den direkta integrationsmetoden är det endast tillämpligt för vissa mycket begränsade klasser av funktioner. Funktioner för vilka det är möjligt att hitta en primär väldigt lite från språng. Därför används i de flesta fall de metoder som beskrivs nedan.

Substitutionsmetoden (ersättning av variabler).

Sats: Om du vill hitta ett integrerat
Men det är svårt att hitta en primitiv, då genom att ersätta x \u003d  (t) ochdx \u003d  (t), är DTP:

Bevis : Differentiera den föreslagna jämlikheten:

På granskad av fastighetsnummer 2 i ett obestämt integrerat:

f.(x.) dx = f.[  (t.)]  (t.) dt.

vad med hänsyn till de introducerade beteckningarna och är det första antagandet. Theorem bevisas.

Exempel.Hitta en obestämd integrerad integrerad
.

Vi kommer att ersätta t. = sinx., dt. = cosxdt..

Exempel.

Ersättning
Vi får:

Nedan kommer att betraktas som andra exempel på tillämpningen av substitutionsmetoden för olika typer av funktioner.

Integration i delar.

Metoden är baserad på den välkända formeln för derivatet av arbetet:

(UV)  \u003d uv + vu

där UIV är några funktioner från x.

I differentialform: D (UV) \u003d UDV + VDU

Integrering, vi får:
, och i enlighet med egenskaperna hos ett obestämt integrerat ovanstående:

eller
;

Mottog integreringsformeln i delar, vilket möjliggör integralerna i många elementära funktioner.

Exempel.

Som det kan ses kan den sekventiella användningen av integrationsformeln i delar gradvis förenkla funktionen och ta med integralen till bordet.

Exempel.

Det kan ses att som ett resultat av återanvändningen av integration i delar misslyckades funktionen att förenkla bordet. Det sista resulterande integralet är dock inte annorlunda än källan. Därför flyttar vi det till den vänstra delen av jämlikhet.

Således finns det integrerade alls utan användning av integrerade tabeller.

Innan vi i detalj överväger integrationsmetoderna för olika klasser av funktioner, ger vi några fler exempel på att hitta osäkra integraler genom att ta med sig tabular.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Exempel.

Integrering av elementära fraktioner.

Definition: Elementärtfraktionerna av följande fyra typer kallas:

Jag
III.

II.
Iv.

m, n- heltal (M2, N2) IB 2 - 4ac<0.

De två första typerna av integraler från de elementära fraktionerna ges helt enkelt till bordsubstitutionen T \u003d AX + B.

Tänk på integrationsmetoden för elementära fraktioner av typ III.

Integreringen av fraktionen av formen III skulle presenteras i formen:

Här visas i allmänhet att det är integrerat av en bråkdel av formen IIIO till två bordsintegreringar.

Tänk på tillämpningen av ovanstående formel på exemplen.

Exempel.

I allmänhet, om tre-stjärna axel 2 + bx + ensepassb 2 - 4ac\u003e 0, då fraktionen per definition inte är elementär, men det kan ändå integrera den angivna metoden.

Exempel.

Exempel.

Vi överväger nu metoderna för att integrera de enklaste fraktionerna i IVTP.

Först, överväga det speciella fallet på m \u003d 0, n \u003d 1.

Då integralet av vyn
det är möjligt att presentera i databasen av en komplett kvadrat i form av en full kvadrat
. Låt oss göra följande omvandling:

Den andra integrerade inmatningen i denna jämlikhet kommer att ta i delar.

Beteckna:

För källintegratet får vi:

Den resulterande formeln kallas återkommande.Om du tillämpar ITN-1-tid, kommer tabellen integrerad att vara
.

Låt oss nu återvända till det integrerade från den elementära fraktionen av IVT-typen av det allmänna fallet.

I den resulterande jämlikheten är den första integrerade av substitution t. = u. 2 + s.beläget till bordet , och den återkommande formeln som anses ovan appliceras på det andra integrerade.

Trots den uppenbara komplexiteten av integrationen av den elementära fraktionen av formen IV är det lätt att använda tillräckligt för fraktioner med en liten grad n., Och mångsidigheten och generelliteten i tillvägagångssättet gör det möjligt att möjliggöra en mycket enkel implementering av den här metoden på en dator.

Exempel:

Integrera rationella funktioner.

Integrera rationella fraktioner.

För att integrera den rationella fraktionen är det nödvändigt att sönderdela det på elementära fraktioner.

Sats: Om en
- Den korrekta rationella fraktionen, vars nämnare (X) representeras som en produkt av linjära och kvadratiska multiplikatorer (vi noterar att eventuellt polynom med giltiga koefficienter kan representeras i denna form: P.(x.) = (x. - a.)  …(x. - b.)  (x. 2 + px. + q.)  …(x. 2 + rx. + s.)  ), då kan denna fraktion sönderdelas på det elementära följande schema:

där en jag, b i, m i, n jag, är jag, är jag några permanenta värden.

Vid integration av rationella fraktioner utnyttjas den nedbrytning av den ursprungliga fraktionen på elementären. För att hitta storleken på jag, b i, m i, n i, r i, s jag, använd den så kallade metod för osäkra koefficienterKärnan vars är att för att två polynomier ska vara identiskt lika är det nödvändigt och tillräckligt att vara lika med koefficienterna med samma grad X.

Tillämpning av denna metod överväga ett specifikt exempel.

Exempel.

När vi leder till en gemensam nämnare och motsvarar motsvarande siffror får vi:

Exempel.

Därför att Fraktionen är fel, då bör den vara fördröjd hela delen:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x-7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Sprid nämnaren av den resulterande fraktionen på multiplikatorerna. Det kan ses att på X \u003d 3-nämnaren blir FRACI till noll. Sedan:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x-3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Således 3x 3-4x 2-17x + 6 \u003d (x- 3) (3x 2 + 5x-2) \u003d (x-3) (x + 2) (3x-1). Sedan:

För att undvika när du hittar odefinierade upplysningskoefficienter, grupperar och löser ett system med ekvationer (som i vissa fall kan det vara ganska stort) som används så kallat metod för godtyckliga värden. Kärnan i metoden är att det ovan erhållna uttrycket är alternerande något (enligt antalet osäkra koefficienter) av godtyckliga värden X. För att förenkla beräkningarna accepteras det som godtyckligt värden för att ta punkter där denomoteren är noll, d.v.s. I vårt fall - 3, -2, 1/3. Vi får:

Vi får äntligen:

=

Exempel.

Hitta osäkra koefficienter:

Då värdet av det angivna integralet:

Integrera vissa trigonometrics

funktioner.

Integreringar från trigonometriska funktioner kan vara oändligt mycket. De flesta av dessa integraler kan inte beräknas analytiskt, så överväga några huvudtyperna funktioner som alltid kan integreras.

Integrerad syn
.

Här är R - beteckningen av någon rationell funktion från variablessinxacosx.

Integreringar av denna art beräknas genom substitution
. Denna substitution gör att du kan konvertera trigonometrisk funktion till rationell.

,

Sedan

På det här sättet:

Den ovan beskrivna transformationen kallas universell trigonometrisk substitution.

Exempel.

Den otvivelaktiga fördelen med denna substitution är att det alltid är möjligt att konvertera trigonometrisk funktion till rationell och beräkna motsvarande integrerade. Nackdelarna innefattar det faktum att när man konverterar det kan visa sig en ganska komplicerad rationell funktion, vars integration kommer att ta mycket tid och styrka.

Om det är omöjligt att tillämpa en mer rationell ersättning av variabeln är den här metoden den enda intensiv.

Exempel.

Integrerad syn
om en

fungeraR.cosx..

Trots möjligheten att beräkna en sådan integrerad med en universell trigonometrisk substitution, mer rationell att tillämpa substitution t. = sinx..

Fungera
det kan innehålla så många i jämn grad, och därför kan det omvandlas till en rationell funktion av släktingarinx.

Exempel.

Generellt sett, för användning av denna metod, behövs endast ojämnheten hos funktionen i förhållande till cosinusen, och graden av sinus, som ingår i funktionen kan vara vilken som helst, både i både fraktionerna.

Integrerad syn
om en

fungeraR. är udda omsinx..

Analogt med det ovan beskrivna ärendet, substitution t. = cosx..

Exempel.

Integrerad syn

fungeraR. även omsinx. ochcosx..

För att konvertera RV-funktionen används substitutionen

t \u003d TGX.

Exempel.

Integrerade verk av bihålor och cosinus

olika argument.

Beroende på vilken typ av produkt, kommer en av tre formler att tillämpas:

Exempel.

Exempel.

Ibland, när man integrerar trigonometriska funktioner, är det lämpligt att använda välkända trigonometriska formler för att minska funktionerna för funktioner.

Exempel.

Exempel.

Ibland tillämpas vissa icke-standardtekniker.

Exempel.

Integrera vissa irrationella funktioner.

Inte alla irrationella funktioner kan ha ett integrerat uttryckt av elementära funktioner. För att hitta det integrerade från den irrationella funktionen, tillämpa en substitution som gör det möjligt att konvertera en funktion som är rationell, vars integral alltid kan hittas.

Tänk på vissa tekniker för att integrera olika typer av irrationella funktioner.

Integrerad syn
varn.- naturligt nummer.

Med hjälp av substitution
funktionen är rationaliserad.

Exempel.

Om kompositionen av den irrationella funktionen innefattar rötterna i olika grader, då som en ny variabel, rationellt tar roten till graden lika med de minsta totala flera grader av rötterna som ingår i uttrycket.

Vi kommer att illustrera detta i exemplet.

Exempel.

Integrering av binominskillnader.

Definition: Bininominal differentialkallas uttryck

x. m. (a. + bx. n. ) p. dx

var m., n., och p.– rationella nummer.

Som bevisat av akademiker Chebyshev P.L. (1821-1894), det integrerade från binominskillnaden kan uttryckas endast genom elementära funktioner i följande tre fall:

Om en r- Ett heltal, då är integralen rationaliserad genom substitution

var - en gemensam nämnare m.och n..

Det finns en översikt över metoderna för att beräkna osäkra integraler. De viktigaste integrationsmetoderna som omfattar integrering av mängden och skillnaden, vilket gör ett permanent integrerat tecken, ersätter variabeln, integrering i delar. Särskilda metoder och tekniker för integration av fraktioner, rötter, trigonometriska och vägledande funktioner.

Pred-liknande och obestämd integral

Den primitiva F (x) från funktionen F (x) är en sådan funktion, vars derivat är lika med f (x):
F '(x) \u003d f (x), x ∈ δ,
Var Δ - Gapet på vilket denna ekvation utförs.

Total av all den primordiala kallas en osäker integral:
,
där C är en konstant, oberoende av variabeln x.

Grundläggande formler och integrationsmetoder

Bordsintegreringar

Det yttersta målet att beräkna osäkra integreringar - genom omvandlingar, klargör det angivna integralen till uttrycket som innehåller de enklaste eller tabulära integralerna.
Se tabellintegreringar \u003e\u003e\u003e

Integrationsregeln för beloppet (skillnad)

Göra ett permanent integrerat tecken

Låt c vara en konstant, oberoende av x. Då kan den lämnas in för det integrerade tecknet:

Ersätter variabeln

Låt X vara en funktion från variabeln t, x \u003d φ (t), sedan
.
Eller vice versa, t \u003d φ (x),
.

Genom att ersätta variabeln kan du inte bara beräkna enkla integraler, utan också för att förenkla beräkningen av mer komplexa.

Integrationsregel i delar

Integrering av fraktioner (rationella funktioner)

Vi presenterar beteckningen. Låt p K (x), q m (x), Rn (x) betecknas med graderna K, M, N, i förhållande till variabeln X.

Tänk på det integrerade bestående av fraktioner av polynomier (den så kallade rationella funktionen):

Om k ≥ n, måste du först markera hela delen av FRACI:
.
Det integrerade från polynomens K-N (x) beräknas av det integrerade bordet.

De integrerade kvarstår:
där M.< n .
För att beräkna det bör integrandet sönderdelas på den enklaste fraktionen.

För att göra detta, hitta ekvationens rötter:
Q n (x) \u003d 0.
Med hjälp av de erhållna rötterna måste du representera denominatorn i form av ett arbete av faktorerna:
Q N (x) \u003d s (x - a) n a (x - b) n b ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
Här är koefficienten vid x n, x 2 + ex + f\u003e 0, x 2 + gx + k\u003e 0, ....

Därefter sönderdela fraktionen på det enklaste:

Integrering, vi får ett uttryck som består av enklare integraler.
Integreringar av typ

T \u003d x - a ges till bordsstationen.

Tänk på det integrerade:

Vi omvandlar siffran:
.
Med förbehåll för integrationen får vi det uttryck där två integrerade inkluderar:
,
.
Den första substitutionen t \u003d x 2 + ex + f ges till bordet.
Den andra, enligt formeln att föra:

Beläget för att integrera

Vi ger sin nämnare till summan av rutorna:
.
Sedan substitution, integral

Det ges också till bordet.

Integrering av irrationella funktioner

Vi presenterar beteckningen. Låt r (U 1, U 2, ..., U n) betyder en rationell funktion från variabler U 1, U 2, ..., U n. Dvs
,
Var p, q är polynomier från variabler U 1, U 2, ..., U n.

Linjär irrationalitet

Tänk på integralerna i formuläret:
,
Var - rationella nummer, m 1, n 1, ..., m s, n s är heltal.
Låt n vara en vanlig nämnare av siffrorna R 1, ..., R s.
Då kommer integralen ner till integrationen från de rationella funktionerna i substitutionen:
.

Integreringar från differentialbinomer

Tänk på det integrerade:
,
där m, n, p är rationella tal, a, b - giltiga nummer.
Sådana integreringar reduceras till integreringar från rationella funktioner i tre fall.

1) Om p är ett heltal. Substitutionen x \u003d t n, där n är den totala nämnaren av fraktionerna M och N.
2) Om - hela. Substitution a x n + b \u003d t m, där m är antalet nummer s.
3) Om - en helhet. Substitution A + B X-N \u003d T m, där M är nämnaren av numret P.

Om inget av de tre siffrorna är ett heltal, då enligt Chebyshev-teoremet, kan integralerna i denna art inte uttryckas av den slutliga kombinationen av elementära funktioner.

I vissa fall är det bara användbart att bringa integralen till bekvämare M- och P-värden. Detta kan göras med formlerna:
;
.

Integraler som innehåller kvadratrot av kvadrat tre

Här anser vi integralerna i formuläret:
,

Eulersubstitutioner

Sådana integraler kan reduceras till integraler från rationella funktioner hos en av de tre substitutionerna av Euler:
, med en\u003e 0;
, med C\u003e 0;
där X 1 är roten till ekvationen A x 2 + B x + C \u003d 0. Om denna ekvation har giltiga rötter.

Trigonometriska och hyperboliska substitutioner

Direkta metoder

I de flesta fall leder Eulerns substitutioner till längre beräkningar än direkta metoder. Med direkta metoder ges integralet till en av de arter som anges nedan.

jag skriver

Formens integrerade:
,
där p n (x) är en polynomsgrad n.

Sådana integreringar är metoden för osäkra koefficienter med hjälp av identitet:

Differentiera denna ekvation och jämföra vänster och höger delar, vi hittar koefficienterna en jag.

II typ

Formens integrerade:
,
där p m (x) är en polynomial grad m.

Substitution t \u003d. (X - α) -1 Denna integrering drivs till föregående typ. Om m ≥ n, då ska fraktionen fördelas till hela delen.

III typ

Den tredje och mest komplexa typen:
.

Här måste du göra en substitution:
.
Varefter den integrerade kommer att ta formen:
.
Därefter måste permanent α, β, välja så att koefficienterna vid T till noll:
B \u003d 0, B 1 \u003d 0.
Då uppstår integrationen summan av integralerna av två typer:
;
,
som är integrerade, substitutioner:
z2 \u003d en 1 t 2 + Ci;
y 2 \u003d A 1 + Ci T -2.

Allmän

Integration av transcendentala (trigonometriska och vägledande) funktioner

Vi noterar i förväg att de metoder som är tillämpliga på trigonometriska funktioner också är tillämpliga för hyperboliska funktioner. Av den anledningen kommer vi inte att överväga integrationen av hyperboliska funktioner separat.

Integrera rationella trigonometriska funktioner från COS X och SIN X

Tänk på integralerna från formens trigonometriska funktioner:
,
där R är en rationell funktion. Detta kan också innehålla tangenter och kedjor som bör omvandlas genom bihålor och cosines.

När man integrerar sådana funktioner är det användbart att komma ihåg de tre reglerna:
1) om r ( cos x, synd x) multipliceras med -1 från förändringen av tecken framför en av värdena cos X. eller synd X., det är användbart att identifiera en annan av dem.
2) om r ( cos x, synd x) ändras inte från teckenförändringen samtidigt före cos X. och synd X., det är användbart att sätta tg x \u003d t eller ctg x \u003d t.
3) Substitutionen i alla fall leder till ett integrerat från rationell fraktion. Tyvärr leder denna substitution till längre dator än tidigare, om de är tillämpliga.

Produktion av kraftfunktioner från COS X och SIN X

Tänk på integralerna i formuläret:

Om m och n är rationella tal, då en av substitutionerna t \u003d synd X. eller t \u003d cos X. Integratet reduceras till det integrerade från differentialbinom.

Om m och n är heltal beräknas integralerna genom att integrera i delar. Samtidigt erhålles följande formler:

;
;
;
.

Integration i delar

Användningen av formeln euler

Om integrationen är linjärt i förhållande till en av funktionerna
cos axel. eller sin axel.Det är lämpligt att tillämpa Euler Formula:
e ix \u003d. cOS AX + ISIN AX (där jag 2 \u003d - 1 ),
Byte av den här funktionen e ix och markera giltig (vid byte av cos axel.) eller imaginär del (vid byte sin axel.) Från det erhållna resultatet.

Referenser:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, samling av uppgifter på högre matematik, "LAN", 2003.

Tidigare, på en given funktion, som styrdes av olika formler och regler, fann vi det härledda. Derivatet har många tillämpningar: Detta är rörelsens hastighet (eller, sammanfattande, läckagehastigheten av någon process); Hörnkoefficient tangent till funktionsgrafik; Med hjälp av ett derivat kan du utforska funktionen på monotoni och extremum; Det hjälper till att lösa optimeringsuppgifter.

Men tillsammans med uppgiften att hitta hastigheten i en välkänd lag finns det inverse problemet också - uppgiften att återställa rörelsens lag med känd hastighet. Tänk på en av dessa uppgifter.

Exempel 1. Materialpunkten rör sig längs den raka, hastigheten på dess rörelse vid tiden t ges med formeln V \u003d gt. Hitta lagen om rörelse.
Beslut. Låt s \u003d s (t) vara den önskade lagen om rörelse. Det är känt att S "(t) \u003d V (t). Så, för att lösa problemet, är det nödvändigt att välja funktionen s \u003d s (t), vars derivat är gt. Det är inte svårt att gissa det \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\). Faktiskt
\\ (s "(t) \u003d \\ vänster (\\ frac (gt ^ 2) (2) \\ höger)" \u003d \\ frac (g) (2) (t ^ 2) "\u003d \\ frac (g) (2) \\ Cdot 2t \u003d gt \\)
Svar: \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\)

Observera omedelbart att exemplet är löst rätt, men ofullständigt. Vi fick \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\). Faktum är att uppgiften har oändligt många lösningar: vilken funktion av formen \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) + c \\), där C är en godtycklig konstant, kan fungera som en lag av rörelse, eftersom \\ (\\ vänster (\\ frac (gt ^ 2) (2) + c \\ höger) "\u003d gt \\)

För uppgiften att bli mer specifik, behövde vi fixa den ursprungliga situationen: Ange koordinaten av den rörliga punkten vid någon tidpunkt, till exempel vid t \u003d 0. Om, sägs (0) \u003d s 0, då Från jämlikhet s (t) \u003d (gt2) / 2 + c erhåller vi: s (0) \u003d 0 + s, dvs C \u003d s 0. Nu definieras rörelserna unikt: s (t) \u003d (gt 2) / 2 + s 0.

I matematik tilldelas ömsesidigt omvända operationer olika namn, uppfinna speciella beteckningar, till exempel: konstruktion av en kvadrat (x 2) och extraktion roten ur (\\ (\\ sqrt (x) \\)), sinus (synd x) och arcsinus (arcsin x), etc. Processen att hitta ett derivat enligt en given funktion som kallas differentiering, och invers operation, dvs processen att hitta en funktion enligt ett givet derivat - integration.

Uttrycket "derivat" i sig kan motivera "sänkning": funktionen y \u003d f (x) "producerar en ny funktion i" \u003d f "(x). Funktionen y \u003d f (x) fungerar som det var som "förälder", men matematik, naturligtvis, kallar inte den "förälder" eller "tillverkare", säger de att detta är med avseende på funktionen "\u003d f "(x), primärbild eller primitiv.

Definition. Funktionen y \u003d f (x) kallas en primitiv för funktionen y \u003d f (x) på perioden x, om det är för \\ (x \\ i x \\) jämlikheten f "(x) \u003d f (x)

I praktiken är intervallet X vanligtvis inte angivet, men innebär (som ett naturligt fältdefinitionsområde).

Vi ger exempel.
1) Funktionen y \u003d x 2 är en primitiv för funktion y \u003d 2x, eftersom för alla x jämlikhet (x 2) "\u003d 2x
2) Funktionen Y \u003d X3 är en primitiv för funktion Y \u003d 3x 2, eftersom för alla X-jämlikhet (X3) "\u003d 3x 2
3) Funktionen y \u003d sin (x) är en primitiv för funktionen y \u003d cos (x), eftersom för någon x jämlikhet (SIN (X)) "\u003d COS (X)

När du hittar primära, såväl som derivat, används inte bara formler, men också vissa regler. De är direkt relaterade till relevanta regler för beräkning av derivat.

Vi vet att derivatet av beloppet är lika med mängden derivat. Denna regel skapar lämplig regel för primär upptäckt.

Regel 1. Den första formade mängden är lika med mängden primitiv.

Vi vet att den permanenta multiplikatorn kan nås för ett tecken på derivatet. Denna regel skapar lämplig regel för primär upptäckt.

Regel 2. Om f (x) är en primitiv för f (x), är kf (x) primitiv för kf (x).

Teorem 1. Om y \u003d f (x) är en primitiv för funktion y \u003d f (x), är funktionen \\ (y \u003d \\ frac (1) (k) f (kx + m) giltig för funktionen \\ (y \u003d \\ Frac (1) (k) f (kx + m) \\)

Teorem 2. Om y \u003d f (x) är en primitiv för funktionen y \u003d f (x) på perioden x, är funktionen y \u003d f (x) oändligt många primitiva, och de har alla formen y \u003d f (x) + C.

Integrationsmetoder

Metod för att ersätta en variabel (substitutionsmetod)

Metoden att integrera substitutionen är att införa en ny integrationsvariabel (det vill säga substitutioner). Samtidigt tillhandahålls det angivna integralen till en ny integral, som är bord eller reducerad till den. Vanliga metoder Urvalet av substitutioner existerar inte. Förmågan att korrekt bestämma substitutionen förvärvas genom praktiken.
Låt oss beräkna den integrerade \\ (\\ TextStyle \\ INT F (x) dx \\). Vi kommer att göra substitutionen \\ (x \u003d \\ varphi (t) \\) där \\ (\\ varphi (t) \\) är en funktion som har ett kontinuerligt derivat.
Sedan \\ (dx \u003d \\ varphi "(t) \\ cdot dt \\) och på grundval av egenskapen hos Invariance av integrationsformeln för ett obestämt integrerat, erhåller vi integrationsformeln för substitutionen:
\\ (\\ int f (x) dx \u003d \\ int f (\\ varphi (t)) \\ cdot \\ varphi "(t) dt \\)

Integrera uttrycken av formuläret \\ (\\ TextStyle \\ INT \\ SIN ^ N X \\ COS ^ M X DX \\)

Om m är udda, m\u003e 0, är \u200b\u200bdet bekvämare att göra substitutionen Sin x \u003d t.
Om n är udda, n\u003e 0, är \u200b\u200bdet bekvämare att göra cos x \u003d t-substitutionen.
Om n och m läses är det bekvämare att göra substitutionen Tg x \u003d t.

Integration i delar

Integration i delar - Tillämpning av följande formel för integration:
\\ (\\ TextStyle \\ INT U \\ cdot dv \u003d u \\ cdot v - \\ int v \\ cdot du \\)
eller:
\\ (\\ TextStyle \\ INT U \\ CDOT V "\\ cdot dx \u003d u \\ cdot v - \\ int v \\ cdot u" \\ cdot dx \\)

Tabell över obestämda integraler (primitiva) vissa funktioner

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d c $$$$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ INT \\ FRAC (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ Int E ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ synd x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$$$$ Int \\ Frac (DX) (\\ SQRT (1-x ^ 2)) \u003d \\ Text (Arcsin) x + C $$$$$ Int \\ Frac (DX) (1 + X ^ 2 ) \u003d \\ Text (Arctg) x + C $$$$$ Int \\ Text (CH) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) x + c $$