Funktionen kallas primitiv för en funktion om. En extracurricular lektion är primitiv. Integration. Regler för beräkning av integraler för dummies

UTSKRIFT

Definition av en primitiv funktion

Fungera y \u003d f (x)kallas primitiv för funktion y \u003d f (x) Vid ett givet intervall X,om för alla h. ∈ H. Jämställdhet utförs: F '(x) \u003d f (x)

Du kan läsa på två sätt:

f. härledd funktion F.
F. Perfekt för funktion f.

Primitiv egenskap

Om en F (x)- Perfekt för funktion f (x) Vid ett givet gap har funktionen F (x) oändligt många primitiva, och alla dessa primitiva kan skrivas som F (x) + meddär C är en godtycklig konstant.

Geometrisk tolkning

Grafer av all primitiv den här funktionen. F (x) erhållen från grafen av någon primitiv parallellöverföring längs axeln om w..

Reglerna för beräkning av den primära

Det första beloppet är lika med summan av den primordiala. Om en F (x) - Pred-liknande för f (x), och g (x) är en primitiv för g (x)T. F (x) + g (x) - Pred-liknande för f (x) + g (x).
Permanent multiplikator kan göras för ett derivatmärke. Om en F (x) - Pred-liknande för f (x), I. k. - Konstant, då k · f (x) - Pred-liknande för k · f (x).
Om en F (x) - Pred-liknande för f (x), I. k, B. - Konstant, och k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - Pred-liknande för f (kx + b).

Kom ihåg!

Någon funktion F (x) \u003d x 2 + där C är en godtycklig konstant, och endast en sådan funktion är en primitiv för funktion f (x) \u003d 2x.

Till exempel:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2x, Därför att F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2x, Därför att F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Anslutningen mellan graferna av funktionen och dess primära:

Om grafen är funktion f (x)\u003e 0 F (x) Ökar vid detta intervall.
Om grafen är funktion f (x)<0 på intervallet är schemat är det primitiva F (x) minskar vid detta intervall.
Om en f (x) \u003d 0sedan grafen av hennes primitiva F (x) Vid denna tidpunkt ändras med en ökande minskning (eller vice versa).

För att beteckna används tecknet på en odefinierad integrering, det vill säga det integrerade utan att specificera integrationsgränserna.

Osäker integral

Definition:

Ett osäkert integrerat från funktionen F (x) är uttrycket F (x) + C, det vill säga kombinationen av alla primära funktioner hos F (X). Betecknar ett obestämt integrerat enligt följande: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

f (x)- Se den integrerade funktionen;
f (x) dx- kallas ett concintive uttryck;
x. - Samtalsintegration variabel;
F (x) - En av de primitiva funktionerna f (x);
FRÅN - godtycklig konstant.

Egenskaper hos en obestämd integral

Derivatet av ett obestämt integrerat är lika med integrandfunktionen: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
En permanent multiplikator av det integrerade uttrycket kan göras för ett integrerat tecken: \\ INT K \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
Det integrerade från mängden (skillnaden) av funktioner är lika med beloppet (skillnaden) av integralerna från dessa funktioner: \\ INT (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
Om en k, B.- Konstant och K ≠ 0, då \\ INT F (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

Tabell över primära och osäkra integraler

Fungera f (x)	UTSKRIFT F (x) + c	Osäkra integraler \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ INT 0 DX \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + c	\\ INT KDX \u003d KX + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ inte \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c	\\ INT X (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ utvers x \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (x) \u003d l n \\ utvers x \\ rent + c
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + c	\\ INT E (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + c	\\ INT A (^ x) dx \u003d \\ frac (A ^ x) (L na) + C
f (x) \u003d \\ synd x	F (x) \u003d - \\ cos x + c	\\ INT \\ SIN X DX \u003d - \\ COS X + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ synd x + c	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ synd (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ SIN (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ SIN (^ 2) x) \u003d \\ tg x + c
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arcTG X + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (A ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ Arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (A ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (1 + X ^ 2) \u003d \\ Arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (A \\ NOT \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ utvers \\ frac (x-a) (x + a) \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ utlopp \\ frac (x-a) (x + a) \\ rent + c
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ utvers \\ cos x \\ rent + c	\\ INT \\ TG X DX \u003d - L n \\ utvers \\ cos x \\ rent + c
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ utversion \\ sin x \\ rent + c	\\ INT \\ CTG X DX \u003d L n \\ utlopp \\ sin x \\ rent + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ utvers \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sin x) \u003d l n \\ utvers \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rent + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ utvers \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rent + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ COS X) \u003d L n \\ utversion \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rent + c

Formel Newton Labitsa

Låt vara f (x) Denna funktion, F. Hennes godtyckliga primitiva.

\\ INT_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

var F (x) - Pred-liknande för f (x)

Det vill säga den integrerade funktionen f (x) Intervallet är lika med skillnaden i sevärdheterna vid punkter b. och a..

Square of Curvilinear Trapezium

Curvilinear Trapezium kallas en siffra begränsad av ett icke-negativt och kontinuerligt schema på ett segment av funktionen f., Oxaxel och rak x \u003d A. och x \u003d B..

Området av det krökta trapeziumet finns enligt Newton Labitsa formel:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Definition av primitiv.

Den primitiva funktionen f (x) på intervallet (a; b) kallas en sådan funktion f (x), vilken utförs för någon x från det angivna gapet.

Om du tar hänsyn till det faktum att derivatet av den konstanta C är noll, är jämlikhet rätt . Således har funktionen F (x) många primitiva f (x) + C, för en godtycklig konstant C, och dessa förstformade skiljer sig från varandra till ett godtyckligt konstant värde.

Definition av en odefinierad integrerad.

Alla många primära funktioner f (x) kallas en osäker integrering av denna funktion och indikeras .

Uttrycket kallas ett konkret uttryckoch f (x) - integrerad funktion. Integren är differentialfunktionen f (x).

Åtgärden att hitta en okänd funktion enligt dess definierade differential kallas osäker Integration, eftersom resultatet av integrationen inte är en funktion F (x), men uppsättningen av dess primitiva f (x) + c.

Baserat på derivatets egenskaper kan du formulera och bevisa egenskaper hos ett osäkert integrerat (Proph-formade egenskaper).

Interim är lika med de första och andra egenskaperna hos en osäker integrering ges till förklaring.

För att bevisa de tredje och fjärde egenskaperna är det tillräckligt att hitta derivat från de rätta delarna av jämlikhet:

Dessa derivat är lika med de inhiberande funktionerna, vilket är bevis på grund av den första egenskapen. Den används i de senaste övergångarna.

Således är integrationsuppgiften det inverse differentieringsproblemet, och det finns mycket nära relation mellan dessa uppgifter:

den första fastigheten låter dig kontrollera integrationen. För att kontrollera korrektheten av den utförda integrationen, är det tillräckligt att beräkna derivatet av det erhållna resultatet. Om funktionen som erhållits som ett resultat av differentiering kommer att vara lika med integrandfunktionen, innebär det att integrationen utförs korrekt.
den andra egenskapen hos ett obestämt integrerat kan du hitta sin primitiva funktion på en välkänd differential. På den här egenskapen är den direkta beräkningen av osäkra integreringar baserad.

Tänk på ett exempel.

Exempel.

Hitta en primitiv funktion vars värde är United på x \u003d 1.

Beslut.

Vi vet från differentialkalkyler som (Det är tillräckligt att titta på bordderivaten av de viktigaste elementära funktionerna). På det här sättet, . Enligt den andra egenskapen . Det är, vi har många primitiva. Vid x \u003d 1 får vi ett värde. Genom tillstånd bör detta värde vara lika med en, därför c \u003d 1. Den önskade primitiva kommer att ta en titt.

Exempel.

Hitta en obestämd integrerad integrerad Och resultatet kontrollerar differentieringen.

Beslut.

Enligt sinusformeln för en dubbelvinkel från trigonometri , så

Primed funktion och obestämd integral

Fakta 1. Integration - Åtgärd, invers differentiering, nämligen att återställa funktionen enligt ett känt derivat av denna funktion. Funktion återställd F.(x.) Kallas predo-formad För funktion f.(x.).

Definition 1. Funktion F.(x. f.(x.) vid något intervall X.Om för alla värden x. Jämställdhet utförs från detta gap F. "(x.)=f.(x.), det vill säga den här funktionen f.(x.) är ett derivat av en primitiv funktion F.(x.). .

Till exempel en funktion F.(x.) \u003d synd. x. är en primär för funktion f.(x.) \u003d Cos. x. På det hela numeriskt rakt, sedan med något värde av Iksa (synd. x.) "\u003d (Cos x.) .

Definition 2. Osäkert integrerad funktion f.(x.) Det kallas total av alla dess primitiva. Detta använder inspelning

∫

f.(x.)dX.

vartecken ∫ kallas det integrerade tecknet, funktion f.(x.) - en ersättningsfunktion, och f.(x.)dX. - ett konkret uttryck.

Således, om F.(x.) - någon form av primär för f.(x.), T.

∫

f.(x.)dX. = F.(x.) +C.

var C. - godtycklig konstant (konstant).

För att förstå betydelsen av många primitiva funktioner som obestämd integral är följande analogi lämplig. Låt det finnas en dörr (traditionell trädörr). Dess funktion är "att vara en dörr". Och vad är dörren gjord av? Från trä. Därför är en mångfald primitiv integrerad funktion "vara dörren", det vill säga det är en obestämd integral, är funktionen "är + C", där C är en konstant, som i detta sammanhang kan indikera exempelvis ett träd av trä. Precis som dörren är gjord av trä med hjälp av vissa verktyg, är derivatet av den "gjorda" funktionen från den primitiva funktionen med de formler som vi lärde oss genom att studera derivatet .

Sedan är tabellen över funktionerna hos vanliga föremål och motsvarande primitiva ("att vara dörren" - "vara träd", "vara en sked" - "vara metall" etc.) liknar tabellen i de viktigaste obestämda integralerna , som kommer att visas något nedan. Tabellen med osäkra integreringar listar vanliga funktioner med indikationen av den primordiala, varav dessa funktioner görs. När det gäller uppgifterna för att hitta ett obestämt integrerat, ges sådana integranter, vilket utan särskild tyngdkraft kan integreras direkt, det vill säga på bordet av osäkra integreringar. I uppgifterna är det nödvändigt att förvandla till uppgifterna till förformen så att du kan använda tabellintegreringar.

Fakta 2. Återställa funktionen som en primitiv, måste vi ta hänsyn till en godtycklig konstant (konstant) C., för att inte skriva en lista med primitiva med olika konstanter från 1 till oändlighet, måste du spela in många av de primitiva med en godtycklig konstant C.Till exempel, enligt följande: 5 x.³ + s. Så, en godtycklig konstant (konstant) går in i uttrycket av primitiva, eftersom den primitiva kan vara en funktion, till exempel 5 x.³ + 4 eller 5 x.³ + 3 och med differentiering 4 eller 3, eller någon annan konstant appliceras på noll.

Vi lägger integrationsuppgiften: För den här funktionen f.(x.) hitta en sådan funktion F.(x.), derivat av vilka likvärdig f.(x.).

Exempel 1.Hitta en mängd olika funktioner

Beslut. För den här funktionen är funktionen funktion

Fungera F.(x.) kallad primitiv för funktion f.(x.) om derivat F.(x.) Likvärdig f.(x.), eller det samma, differential F.(x.) Raven f.(x.) dX..

(2)

Följaktligen är funktionen primitiv för en funktion. Det är dock inte det enda primära för. De tjänar också som funktioner

var FRÅN - godtycklig konstant. Detta kan ses differentiering.

Således, om det finns en första primär för funktionen, har den en oändlig mängd primitiva, olika i permanent term. Alla primära funktioner är skrivna i ovanstående form. Detta följer av följande teorem.

Teorem (formellt faktum 2).Om en F.(x.) - Gäller för funktion f.(x.) vid något intervall H., då någon annan primitiv för f.(x.) I samma lucka kan presenteras i formuläret F.(x.) + C.var FRÅN- godtycklig konstant.

I följande exempel vädjar vi redan till det integrerade tabellen, som kommer att ges i punkt 3 efter egenskaperna hos ett obestämt integrerat. Vi gör det innan du är bekant med hela bordet, så att kärnan i det föregående är förstått. Och efter bordet och egenskaperna använder vi dem när de integreras i all fullhet.

Exempel 2.Hitta flera funktioner:

Beslut. Vi hittar uppsättningarna av primitiva funktioner, varav "dessa funktioner är gjorda". När du nämner formlerna från det integrerade bordet, acceptera helt enkelt att det finns sådana formler, och vi kommer att studera tabellen med osäkra integreringar att vara helt längre.

1) Applicera formel (7) från det integrerade bordet med n. \u003d 3, vi får

2) med hjälp av formel (10) från det integrerade bordet med n. \u003d 1/3, vi har

3) som

sedan med formel (7) när n. \u003d -1/4 hitta

Under tecknet på integralet skriv inte själva funktionen f. , och hennes arbete på differentialen dX. . Detta görs främst för att ange vilken variabel som letar efter en primitiv. Till exempel,

, ;

här, i båda fallen är integrandfunktionen lika, men dess obestämda integraler i de ansedda fallen är olika. I det första fallet anses denna funktion som en funktion från en variabel x. , och i den andra - som en funktion från z. .

Processen med att hitta en obestämbar integrerad funktion kallas att integrera den här funktionen.

Geometrisk mening av en obestämd integral

Låt det vara skyldigt att hitta en kurva y \u003d f (x) Och vi vet redan att tangenten av lutningsvinkeln vid var och en av dess punkt är den angivna funktionen f (x) Abscissionerna av denna punkt.

Enligt den geometriska betydelsen av derivatet, tangent lutningsvinkel vid denna punkt av kurvan y \u003d f (x) lika med derivatets värde F "(x). Så du måste hitta en sådan funktion F (x), för vilka F "(x) \u003d f (x). Funktion som krävs i uppgiften F (x) är en primär f (x). Villkoret för problemet uppfyller inte en kurva, men kurvfamiljen. y \u003d f (x) - En av sådana kurvor, och varje annan kurva kan erhållas från hennes parallella överföring längs axeln Oy..

Låt oss ringa ett diagram över en primitiv funktion från f (x) Integrerad kurva. Om en F "(x) \u003d f (x)Då grafen av funktionen y \u003d f (x) Det finns en integrerad kurva.

Fakta 3. En osäker integral är geometriskt representerad av de sju av alla integrerade kurvor Som i figuren nedan. Avlägsnandet av varje kurva från början av koordinaterna bestäms av en godtycklig konstant (konstant) integration C..

Egenskaper hos en obestämd integral

Fakta 4. Teorem 1. Derivatet av ett obestämt integrerat är lika med integrandfunktionen, och dess differential är ett källuttryck.

Fakta 5. Teorem 2. Oväntat integrerat från differentialfunktionen f.(x.) Lika funktion f.(x.) med en noggrannhet av en permanent term .

(3)

Teorems 1 och 2 visar att differentiering och integration är ömsesidigt omvända operationer.

Fakta 6. Teorem 3. En konstant multiplikator i integrationen kan göras för ett tecken på en obestämd integrerad integrerad .

Definition. Funktionen F (x) kallas primitiv för funktionen f (x) vid ett givet gap, om för någon x från det här gapet "(x) \u003d f (x).

Den främsta egenskapen hos den primordiala.

Om f (x) är en primitiv funktion f (x), är funktionen f (x) + c, där c är en perfekt konstant, det är också en primitiv funktion f (x) (dvs alla de primitiva funktionerna f ( x) spelas in i formuläret f (x) + s).

Geometrisk tolkning.

Graferna av alla primära funktioner hos F (x) erhålles från grafen av några primitiva parallella överföringar längs OU-axeln.

Utskriftsbord.

Regler för att hitta primär .

Låt f (x) och g (x) vara de primitiva respektive funktionerna f (x) och g (x). Sedan:

1. f ( X.) ± g ( X.) - Pred-liknande för F.( X.) ± G.( X.);

2. men F ( X.) - Pred-liknande för men F.( X.);

3. - Genomträngande för men F.( KX +. B.).

Uppgifter och tester på ämnet "Pred-liknande"

UTSKRIFT
Lektioner: 1 Uppgifter: 11 Test: 1
Derivat och primitiv - Förberedelse för tentamen i matematik EGE om matematik
Uppgifter: 3.
Väsentlig - Prediknande och integrerad grad 11
Lektioner: 4 uppgifter: 13 Test: 1
Beräkning av områden med hjälp av integraler - Prediknande och integrerad grad 11
Lektioner: 1 Uppgifter: 10 Test: 1

Efter att ha studerat detta ämne måste du veta vad som kallas en primitiv, dess huvudsakliga egendom, geometrisk tolkning, reglerna att hitta primitiva; För att kunna hitta alla primitiva funktioner med tabellen och reglerna för att hitta primitiva, såväl som den primitiva, passerar genom den angivna punkten. Överväg att lösa problem med detta ämne på exemplen. Var uppmärksam på besluten.

Exempel.

1. Ta reda på om funktionen f ( x.) = h. 3 – 3h. + 1 Primär för funktion f.(x.) = 3(h. 2 – 1).

Beslut: F " x.) = (h. 3 – 3h. + 1) '\u003d 3 h. 2 – 3 = 3(h. 2 – 1) = f.(x.), d.v.s. F " x.) = f.(x.) är därför f (x) en primitiv för funktionen f (x).

2. Hitta alla primitiva funktioner f (x):

men) f.(x.) = h. 4 + 3h. 2 + 5

Beslut: Med hjälp av bordet och reglerna för att hitta primitiva får vi:

Svar:

b) f.(x.) \u003d synd (3 x. – 2)

Beslut:

Perfekt. Vackert ord.) Att börja lite ryska. Detta ord uttalas detta sätt, och inte "Pred-liknande" Hur det kan tyckas. Predikan är det grundläggande begreppet för alla integrerade kalkyler. Alla integraler - obestämd, definierad (med dem du kommer att bli bekant redan i denna termin), såväl som dubbel, trippel, kröklinjig, ytlig (och det är de viktigaste hjältarna i den andra kursen) - är byggda på detta nyckelbegrepp. Den har en komplett känsla att behärska. Gå.)

Innan du får bekanta med begreppet primitiva, låt oss komma ihåg det vanligaste derivat. Utan fördjupning i en tråkig teori om gränser, ökning av argument och andra saker, kan vi säga att derivatet hittas (eller differentiering) Är bara en matematisk operation fungera. Och det är allt. Någon funktion tas (låt oss säga f (x) \u003d x 2) I. enligt vissa regleromvandlas genom att vända sig till ny funktion. Och det här är det mesta ny funktion och kallas derivat.

I vårt fall, före differentieringen var det en funktion f (x) \u003d x 2, och efter differentiering blev det redan en annan funktion f '(x) \u003d 2x.

Derivat - Eftersom vår nya funktion f '(x) \u003d 2x inträffade från funktion f (x) \u003d x 2. Som ett resultat av differentieringsoperationen. Och med det, och inte från någon annan funktion ( x 3., t.ex).

På ett ungefär, f (x) \u003d x 2 - Det här är mamma, och f '(x) \u003d 2x - Hennes älskade dotter.) Det är förståeligt. Varsågod.

Matematik - folket är rastlöst. För varje åtgärd försöker de att hitta motstånd. :) Det finns tillägg - det finns en subtraktion. Det finns multiplikation - det finns en division. Etablering - extraktion av roten. Sinus - Arksinus. På samma sätt finns det differentiering- Så det finns och ... integration.)

Och nu lägger vi en sådan intressant uppgift. Vi har, låt oss säga, en så enkel funktion f (x) \u003d 1. Och vi måste svara på en sådan fråga:

Härledd vilken funktion som ger oss en funktionf.(x.) = 1?

Med andra ord, att se dotter, med hjälp av DNA-analys, beräkna, vem är hennes milf. :) så från vad källa Funktioner (låt oss kalla det f (x)) vår inträffade derivat Funktion f (x) \u003d 1? Eller i matematisk form, för vad Funktioner F (x) Jämställdhet utförs:

F '(x) \u003d f (x) \u003d 1?

Ett exempel är elementärt. Jag försökte.) Vi väljer helt enkelt funktionen F (x) så att jämlikheten fungerade. :) Tja, hur hämtade? Ja självklart! F (x) \u003d x. Därför att:

F '(x) \u003d x' \u003d 1 \u003d f (x).

Naturligtvis hittade mammyn F (x) \u003d x Vi måste på något sätt ringa, ja.) Möt!

Perfekt för funktionf.(x.) Den här funktionen heterF.(x.), vars derivat är likaf.(x.), d.v.s. för vilken jämställdhet är rättF.’(x.) = f.(x.).

Det är allt. Mer vetenskapliga tricks. I strikt definition läggs en ytterligare fras "Vid intervallet". Men hittills kommer vi inte att dyka in i dessa subtiliteter, eftersom vår primära uppgift är att lära sig att hitta dessa mycket primitiva.

I vårt fall visar det sig att funktionen F (x) \u003d x är en predo-formad För funktion f (x) \u003d 1.

Varför? Därför att F '(x) \u003d f (x) \u003d 1. ICA: s derivat är en enhet. Inga invändningar.)

Uttrycket "primitiv" längs filistéen betyder "rhodonachable", "förälder", "förfader". Kom omedelbart komma ihåg den inhemska och älskade.) Och själva sökningen är en primitiv - det här är restaureringen av den ursprungliga funktionen enligt dess kända derivat. Med andra ord är det en åtgärd, inverse differentiering. Och det är allt! Denna fascinerande process kallas också ganska vetenskaplig integration. Men integral - senare. Tålamod, vänner!)

Kom ihåg:

Integration är en matematisk funktion av en funktion (såväl som differentiering).

Integration - Operation, inverse differentiering.

Pred-liknande - resultatet av integration.

Och komplicera nu uppgiften. Vi hittar nu en primitiv för funktion f (x) \u003d x. Det vill säga vi hittar en sådan funktion F (x) till dess derivat Jag skulle vara lika med ICSU:

F '(x) \u003d x

Vem är vänner med derivat, kanske något som något som:

(x 2) '\u003d 2x.

Tja, respekt och respekt för dem som kommer ihåg bordet av derivat!) Sann. Men det finns ett problem. Vår första funktion f (x) \u003d x, men (x 2) '\u003d 2 x.. Två X. Och vi har efter differentiering bör visa sig bara x.. Inte okej. Men…

Vi är en forskare med dig. Certifikat mottagna.) Och vi vet från skolan att båda delar av någon jämlikhet kan multipliceras och uppdelas i ett och samma nummer (förutom noll, förstås)! Så det här ordnade. Så vi inser denna möjlighet för dig själv för gott.)

När allt kommer omkring vill vi rätt att förbli rena x, eller hur? Och deuce stör ... här och ta förhållandet för derivatet (x 2) '\u003d 2x och dela båda dess delar på det här två gånger:

Så, rensa redan något. Varsågod. Vi vet att någon konstant burk ta ut ett derivatskylt.Så här:

Alla formler i matematik fungerar både från vänster till höger och tvärtom - höger till vänster. Det betyder att, med samma framgång, någon konstant kan och Gör under tecknet på derivatet:

I vårt fall gömmer sig en två i nämnaren (eller det samma, koefficienten 1/2) under derivatets tecken:

Och nu noggrant Vi tittar på vår rekord. Vad ser vi? Vi ser jämlikhet som säger det derivatet något (detta är något - i parentes) är lika med iCSU.

Den resulterande jämlikheten innebär att den önskade primitiva för funktionen f (x) \u003d x Serverar funktion F (x) \u003d x 2/2 . Det som står i parentes under kontakten. Direkt i den känsla av primitiv.) Tja, kontrollera resultatet. Hitta ett derivat:

Excellent! Den ursprungliga funktionen erhölls f (x) \u003d x. Från det som dansades, till det och återvände. Det betyder att vår primitiva hittade rätt.)

Tänk om f (x) \u003d x 2? Vad är dess primitiva? Inga problem! Vi vet med dig (igen, från differentieringsreglerna) som:

3x 2 \u003d (x 3) '

OCH, det är,

Fångad? Nu, vi, omärkligt för sig själva, lärde oss att överväga först för någon power Function f (x) \u003d x n. I sinnet.) Ta källan n., öka den per enhet, och i kompensationskvaliteten delar vi hela designen på n + 1.:

Den resulterande formeln är förresten giltig inte bara för en naturlig figur grad n.Men för någon annan - negativ, fraktionerad. Detta gör det enkelt att hitta primitivt från enkla frän och rötter.

Till exempel:

Naturligtvis, n ≠ -1. Annars, i den nämnaren av formeln, visar det sig noll, och formeln förlorar sin mening.) Om detta speciella fall n \u003d -1. Ett litet tag senare.)

Vad är en osäker integrerad? Tabellintegreringar.

Låt oss säga vad som är lika med funktionen F (x) \u003d x? Tja, enheten, en - jag hör missnöjda svar ... allt är sant. Enhet. Men ... för funktion G (x) \u003d x + 1 derivat kommer också att vara lika med en:

Dessutom kommer derivatet att vara lika med en och för funktionen x + 1234. och för funktion x-10 och för någon annan typ av typ x + C. var FRÅN - någon konstant. För derivatet av någon konstant är noll, och från tillsats / subtraktion av noll är ingen kall eller varm.)

Det visar sig tvetydighet. Det visar sig att för funktionen f (x) \u003d 1 Pred-liknande tjäna inte bara en funktion F (x) \u003d x , men också en funktion F 1 (x) \u003d x + 1234 och funktion F 2 (x) \u003d x-10 etc!

Ja. Det är vägen.) Du någon ( kontinuerlig på intervallet) Funktioner Det finns ingen väldigt primitiv, men oändligt mycket - Hela familjen! Inte en mamma eller pappa, men en hel stamtavla, ja.)

Men! Alla våra släktingar-face kombinerar en viktig egendom. Att de är släktingar.) Fastigheten är så viktig att vi i färd med analys av integrationsteknikerna har upprepade gånger ihåg. Och vi kommer ihåg länge.)

Här är det, den här egenskapen:

Några två primitiva F. 1 (x.) I.F. 2 (x.) Från samma funktionf.(x.) skiljer sig åt i konstanten:

F. 1 (x.) - F. 2 (x.) \u003d S.

Vem är intresserad av bevis - stater litteraturen eller abstrakta föreläsningar.) Okej, så var, jag kommer att bevisa. Fördelen med beviset här är elementär, i en åtgärd. Få jämställdhet

F. 1 (x.) - F. 2 (x.) \u003d S.

och differentiera båda delarna av det. Det är bara dumt sätta stroke:

Det är allt. Som de säger, chetd. :)

Vad säger den här egenskapen? Och det två olika primära från samma funktion f (x) kan inte vara annorlunda något uttryck med x . Bara strängt till den konstanta! Med andra ord, om vi har någon form av schema en av de primordiala (Låt det vara f (x)), sedan grafik alla andra Våra primitiva är byggda av parallell överföring av grafen F (x) längs spelets axel.

Låt oss se hur det ser ut som ett exempel f (x) \u003d x. All dess primära, som vi redan vet, har en allmän vy. F (x) \u003d x 2/2 + c . På bilden ser det ut oändlig många parabolerhållen från den "huvudsakliga" parabolen y \u003d x 2/2-skiftet längs axeln Oy upp eller ner beroende på det konstanta värdet FRÅN.

Kom ihåg skolbyggnadsfunktionen y \u003d f (x) + a Skiftgrafik y \u003d f (x) På "A" -enheter längs spelets axel?) Så här är detsamma.)

Och uppmärksamma: våra paraboler ingenstans är inte korsande!Det är naturligt. När allt kommer omkring kommer två olika funktioner y 1 (x) och y 2 (x) oundvikligen att motsvara två olika värden av konstanten – Med 1. och Med 2.

Därför har ekvationen y 1 (x) \u003d y 2 (x) aldrig lösningar:

Ci \u003d C2

x ε ∅ , som C 1 ≠ C2

Och nu närmar oss smidigt det andra hörnstenskonceptet för integrerad kalkyl. Som vi just har installerat, i vilken funktion F (x) finns det en oändlig uppsättning primitiv F (x) + C, som skiljer sig från varandra till konstanten. Detta är den mest oändliga uppsättningen har också sitt eget speciella namn.) Tja, jag ber dig att älska och klaga!

Vad är en osäker integrerad?

Många av alla primitiva för funktion f.(x.) Kallas osäker integralfrån funktionf.(x.).

Det är all definition.)

"Osäker" - Eftersom uppsättningen av alla primitiva för samma funktion oändligt. För många olika alternativ.)

"Väsentlig" - Med en detaljerad avkodning av detta brutala ord kommer vi att bekanta oss i nästa stora sektion dedikerad till definierade integraler. Under tiden, i grov form, kommer vi att överväga något av integrerade allmänt, singel, helhet. Och integration - en förening, generaliseringI det här fallet, övergången från det privata (derivat) till generellt (primitiv). Något sådant.

Betecknar ett obestämt integrerat så här:

Läs på samma sätt som skrivet: integral EF från X de X. Eller väsentlig från EF från X de X.Tja, du förstod.)

Nu kommer vi att ta itu med notationen.

∫ - integrerad ikon. Poängen är densamma som streckkoden för derivatet.)

d. - ikondifferentiell. Inte rädd! Varför det behövs där - strax nedanför.

f (x) - integration (genom "s").

f (x) dx - hämmande uttryck. Eller, grovt talande, "fyllning" integrerad.

Enligt betydelsen av en obestämd integral,

Här F (x) - den samia uTSKRIFT För funktion f (x)att vi på något sätt är befann sig.Hur exakt hittades - inte väsen. Till exempel fann vi det F (x) \u003d x 2/2 för f (x) \u003d x.

"FRÅN" - godtycklig konstant. Eller, mer vetenskapligt, integral Constanta. Eller integrationskonstant. Alla.)

Och låt oss nu återvända till våra första exempel på sökandet efter en primitiv. När det gäller en obestämd integral kan du nu djärvt skriva:

Vad är en integrerad konstant och varför behövs det?

Frågan är mycket intressant. Och mycket (mycket!) Viktigt. Den integrerade konstanten från hela oändliga uppsättningen primitiva belyser linjen, som passerar genom en angiven punkt.

Vad är poängen. Från den ursprungliga oändliga uppsättningen av primitiv (dvs. obestämd integral) Det är nödvändigt att markera kurvan som passerar genom den angivna punkten. Med på något sätt specifika koordinater.En sådan uppgift är alltid och överallt på en initial bekant med integraler. Både i skolan och på universitetet.

Typiskt problem:

Bland uppsättningarna av alla primitiva funktioner f \u003d x, välj den som passerar genom punkten (2; 2).

Vi börjar tänka på ditt huvud ... Många av alla förstahands - det betyder, du måste först integrera vår ursprungliga funktion.Det vill säga x (x). Med detta var vi förlovade något högre och fick ett sådant svar:

Och nu förstår vi vad vi fick. Vi fick inte en funktion, men hela familjen av funktioner. Vilka? Se y \u003d x 2/2 + c . Genomföra värdet av den konstanta C. Och det här är meningen med konstanten för oss och nu måste "fånga".) Tja, vad fångar du?)

Vår fiskestång - familj av kurvor (parabola) y \u003d x 2/2 + c.

Konstant - dessa är fiske. Många många. Men var och en är en krok och bete.)

Och vad är betet? Rätt! Vår punkt (-2; 2).

Så vi ersätter koordinaterna för vår punkt i den allmänna syn på den primordiala! Vi får:

y (2) \u003d 2

Härifrån sökts lätt C \u003d 0..

Vad betyder det här? Det betyder att från hela oändliga uppsättning paraboltypy \u003d x 2/2 + cendast parabola med konstant c \u003d 0 Det är lämpligt för oss! Nämligen:y \u003d x 2/2. Och bara hon. Endast den här parabolen kommer att passera genom den punkt du behöver (-2; 2). En B.ses andra paraboler från vår familj passera igenom denna punkt var inte längre.Genom några andra punkter i planet - ja, men genom punkten (2; 2) - inte längre. Fångad?

För tydligheten här är två bilder - alla parabolfamiljen (dvs. en obestämd integral) och något slag betong parabolamotsvarande specifikt värde av konstanten och passerar genom specifik punkt:

Se hur viktigt det är att ta hänsyn till den ständiga FRÅN När du integrerar! Så vi försummar inte denna näbb "c" och glöm inte att tillskriva det sista svaret.

Och nu kommer vi att räkna ut det, varför i integralerna överallt hänger symbolen dX. . Eleverna glömmer honom ofta ... och det här är förresten också ett misstag! Och ganska oförskämd. Saken är att integrationen är en operation, invers differentiering. Och vad exakt är differentiering? Derivat? Sant, men inte riktigt. Differentiell!

I vårt fall, för funktion f (x) Differential dess primära F (x), kommer vara:

Till vilken denna kedja är oförståelig - upprepa definitionen och betydelsen av skillnaden och hur den avslöjas! Annars, i de integrals kommer du att sakta ner nådelös ....

Låt mig påminna dig i den grova filistéen som skillnaden för någon funktion f (x) bara är ett arbete f '(x) dx. Och det är allt! Ta ett derivat och multiplicera henne på differentialargumentet (dvs dx). Det vill säga någon skillnad, kommer faktiskt ner till beräkningen av det vanliga derivat.

Därför, strängt talande, det integrerade "tar inte" från funktioner f (x)Som det anses, och från differentiell f (x) dx! Men i den förenklade versionen är det vanligt att säga det "Integralet tas från funktionen". Eller: "Funktionen F integrerar(x)". Detta är detsamma. Och vi kommer att prata på samma sätt. Men om ikonen dX. Samtidigt kommer du inte att glömma! :)

Och nu ska jag berätta för hur du inte glömmer det vid inspelning. Föreställ dig först att du beräknar det vanliga derivatet av ICS-variabeln. Hur skriver du vanligtvis det?

Så: F '(x), y' (x), y 'x. Eller mer fast, genom förhållandet mellan differentialer: DY / DX. Alla dessa poster visar oss att derivatet tas på ICSU. Och inte av "igrek", "te" eller någon annan variabel där.)

Också i integraler. Spela in ∫ f (x) dx vi också som om Indikerar att integrationen utförs exakt av variabel IX. Naturligtvis är det väldigt enkelt och oförskämt, men det är klart, jag hoppas. Och chanser glömma bort attribut allibresent dX. skarpt nedgång.)

Så att samma osäkra integrerade - behandlas. Perfekt.) Nu skulle det vara trevligt att lära sig dessa mest obestämda integraler beräkna. Eller, helt enkelt, "ta". :) Och här väntar eleverna på två nyheter - bra och inte så mycket. Hittills börjar vi med bra.)

Nyheten är bra. För integraler, såväl som för derivat, finns det sin egen platta. Och alla integreringar som vi kommer att träffas på vägen, även de mest hemska och betrodda, vi enligt vissa regler Vi kommer på något sätt att minska den mest tabelliska.)

Så här är hon tabellintegraler!

Här är ett så vackert tecken på integraler från de mest populära funktionerna. Jag rekommenderar att du betalar separat uppmärksamhet åt gruppen av formlerna 1-2 (konstant och kraftfunktion). Det här är de vanligaste formlerna i integralerna!

Den tredje gruppen av formlerna (trigonometri), som kan gissas, erhålls genom att helt enkelt tilltala motsvarande formler för derivat.

Till exempel:

Med den fjärde gruppen av formler (vägledande funktion) - allt är liknande.

Men de fyra senaste grupperna av formlerna (5-8) för oss ny. Hur kom de från och för vilka sådana meriter är de just dessa exotiska funktioner, plötsligt, gick plötsligt in i tabellen i de viktigaste integralerna? Vad är dessa grupper av funktioner tilldelade mot bakgrunden av andra funktioner?

Så utvecklades historiskt i utvecklingsprocessen integrationsmetoder . När vi tränar för att ta de mest och mest olika integralerna, förstår du att integralerna från de funktioner som anges i tabellen är mycket och mycket ofta. Det är ofta så ofta att matematik tillskrivs dem till tabell.) Genom dem är mycket många andra integraler, från mer komplexa strukturer.

För intresse av intresse kan du ta några av dessa hemska formler och differentiera. :) Till exempel den mest brutala 7: e formeln.

Allt är bra. Lurade inte matematik. :)

Tabell över integraler, liksom en tabell med derivat, är det önskvärt att veta av hjärtat. I alla fall de första fyra grupperna av formler. Det är inte så svårt som det verkar vid första anblicken. Förstå från hjärtat de sista fyra grupperna (med fraktioner och rötter) fram tills Låt bli. Hur som helst, först kommer du att vara förvirrad där logaritmen är att skriva, där arcthanener, där Arksinus, där 1 / a, där 1 / 2a ... utgången här är en - för att lösa fler exempel. Sedan kommer bordet själv gradvis och minns, och tvivelbble nibble kommer att sluta.)

Särskilt nyfikna ansikten, tittar på bordet, kan fråga: Och var i bordet integrerar från andra elementära "skola" -funktioner - Tangent, logaritm, "bågar"? Låt oss säga varför bordet har ett integrerat från sinus, men det finns nej, låt oss säga, det integrerade från tangent tg X.? Eller inte det är integrerat från logaritm ln x.? Från Arksinus arcsin X.? Vad är de värre? Men det är fullt av "vänster" -funktioner - med rötter, fraktioner, rutor ...

Svar. Det är inte värre.) Bara ovannämnda integraler (från tangent, logaritm, arxinus etc.) är inte tabelliska . Och de är i praktiken mycket mindre ofta än de som presenteras i tabellen. Vet därför utantillVad de är lika, inte nödvändigtvis. Bara vet tillräckligt som de beräkna.)

Vad är någon fortfarande outhärdlig? Så var, speciellt för dig!

Hur kommer du att memorera? :) Vill du inte? Och gör det inte.) Men oroa dig inte, vi kommer definitivt hitta alla sådana integraler. I lämpliga lektioner. :)

Tja, gå nu till egenskaperna hos ett obestämt integrerat. Ja, ja, inget att göra! Ett nytt koncept introduceras - omedelbart och några av dess egenskaper beaktas.

Egenskaper hos ett obestämt integrerat.

Nu inte mycket goda nyheter.

I motsats till differentiering, allmänna standard integrationsreglerRättvis för alla tillfällen, i matematik finns det ingen. Det är fantastiskt!

Till exempel vet du allt perfekt (jag hoppas!) Det någon sammansättning några Två funktioner f (x) · g (x) differentieras enligt följande:

(f (x) · g (x)) '\u003d f' (x) · g (x) + f (x) · g '(x).

Någon Privat differentier så här:

Och någon komplex funktion, oavsett med det, är differentierad enligt följande:

Och vilka funktioner som är dolda enligt bokstäverna F och G, kommer de allmänna reglerna fortfarande att fungera och derivatet, på ett eller annat sätt kommer att hittas.

Men med integraler kommer ett sådant nummer inte längre att passera: För arbetet, privat (fraktion), liksom den komplexa funktionen av allmänna integrationsformler existerar inte! Det finns inga standardregler! Snarare är de. Det är förgäves förgäves matematik.) Men först är de mycket mindre än de allmänna reglerna för differentiering. Och för det andra, de flesta integrationsmetoder vi kommer att prata om i följande lektioner, mycket, mycket specifika. Och är endast giltiga för en viss, mycket begränsad klass av funktioner. Låt oss bara säga för fraktionella rationella funktioner. Eller lite mer.

Och några integraler, även om det finns i naturen, men alls inte uttrycks på något sätt genom de elementära "skolan" -funktionerna! Ja, och sådana integreringar är fulla! :)

Det är därför integrationen är en mycket mer tidskrävande och noggranna lektion än differentiering. Men det finns också sin egen höjdpunkt. Yrken är kreativ och väldigt spännande.) Och om du är väl smälter på det integrerade bordet och mästar minst två grundläggande mottagningar, som vi kommer att prata om (och), så kommer du att tycka om integrationen. :)

Låt oss nu bekanta, faktiskt med egenskaperna hos ett obestämt integrerat. De är allting. Här är de.

De två första egenskaperna liknar samma egenskaper för derivat och kallas. egenskaper av linjäriteten hos en obestämd integral . Allt är enkelt och logiskt här: Integratet från mängden / skillnaden är lika med mängden / skillnaden i integralerna, och den konstanta multiplikatorn kan tas ut ur det integrerade tecknet.

Och här är följande tre egenskaper för oss fundamentalt nya. Vi kommer att analysera dem mer detaljerat. De låter på ryska enligt följande.

Tredje fastighet

Det integrerade derivatet är lika med integrandfunktionen

Allt är enkelt, som i en saga. Om du integrerar funktionen, och sedan tillbaka för att hitta ett derivat av resultatet, då visar det till den ursprungliga integrandfunktionen. :) Den här egenskapen kan alltid (och nödvändig) använda för att verifiera det slutliga integrationsresultatet. Beräknat det integrerade - Differentiera svaret! Fick en detaljerad funktion - ca. De fick inte - det betyder någonstans de har ackumulerats. Leta efter ett fel.)

Naturligtvis kan i svaret erhållas så brutala och skrymmande funktioner, vilket är tillbaka för att differentiera deras motvilja, ja. Men bättre, om möjligt, försök att kontrollera oss själva. Åtminstone i de exempel där det är lätt.)

Fjärde egendom

Differential från det integrerade är lika med bilden .

Inget speciellt här. Kärnan är densamma, bara DX visas i slutet. Enligt föregående egendom och regler för offentliggörande av differential.

Femte egendom

Integratet av differentialen av någon funktion är lika med summan av denna funktion och godtycklig konstant .

Också en mycket enkel egendom. Vi kommer också regelbundet att använda den integrerade lösningen i processen att lösa integralerna. Framförallt - in och.

Dessa är de användbara egenskaperna. Jag kommer inte att uppmuntra med sina strikta bevis. Önskar att erbjuda det själv. Direkt över derivat och differential. Jag kommer bara att bevisa den sista, femte egenskapen, för det är mindre uppenbart.

Så vi har ett uttalande:

Jag drar ut "fyllningen" av vårt integrerade och avslöjar, enligt definitionen av differential:

Bara om jag påminner om det, enligt vår beteckning derivat och primitiv, F.’(x.) = f.(x.) .

Infoga nu vårt resultat tillbaka inuti det integrerade:

Mottagen exakt definition av en obestämd integral (Låt mig förlåta mig ryska)! :)

Det är allt.)

Väl. Detta är vår första bekanta med den mystiska världen av integraler, jag anser det. Idag föreslår jag att runda. Vi är redan beväpnade nog att gå in i intelligens. Om inte en maskinpistol, sedan åtminstone en vattenpistol basiska egenskaper och bord. :) I nästa lektion väntar vi redan på de enklaste oskyldiga exemplen på integraler om den direkta tillämpningen av tabellen och skriftliga egenskaper.

Vi ses!