De fysiska tillämpningarna av den bestämda integralen är arbetet med variabel kraft. Mekaniska tillämpningar av den bestämda integralen. Revolutionens yta

Den bestämda integralen (OI) används ofta i praktiska tillämpningar av matematik och fysik.

I synnerhet i geometri, med hjälp av OI, hittas områdena med enkla former och komplexa ytor, volymer av revolutionskroppar och kroppar med godtycklig form, kurvlängder på ett plan och i rymden.

Inom fysik och teoretisk mekanik används OI för att beräkna statiska moment, massor och masscentrum för materialkurvor och ytor, för att beräkna arbetet med en variabel kraft längs en krökt bana, etc.

Platt figuryta

Låt någon plan figur i det kartesiska rektangulära koordinatsystemet $ xOy $ begränsas ovan av kurvan $ y = y_ (1) \ vänster (x \ höger) $, nedan av kurvan $ y = y_ (2) \ vänster (x \ höger) $ och vänster och höger vertikala linjer $ x = a $ respektive $ x = b $. I allmänhet uttrycks området för en sådan siffra med OI $ S = \ int \ gränsar _ (a) ^ (b) \ vänster (y_ (1) \ vänster (x \ höger) -y_ (2) \ vänster (x \ höger) \ höger) \ cdot dx $.

Om någon platt figur i det kartesiska rektangulära koordinatsystemet $ xOy $ begränsas till höger av kurvan $ x = x_ (1) \ vänster (y \ höger) $, till vänster - av kurvan $ x = x_ (2 ) \ vänster (y \ höger) $, och underifrån och uppifrån med horisontella linjer $ y = c $ respektive $ y = d $, sedan uttrycks området för en sådan siffra med OI $ S = \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) \ left (y \ right) -x_ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Låt en plan figur (kurvlinjär sektor), betraktad i ett polärt koordinatsystem, bildas av grafen för en kontinuerlig funktion $ \ rho = \ rho \ vänster (\ phi \ höger) $, liksom av två strålar som passerar i vinklar $ \ phi = \ alpha $ respektive $ \ phi = \ beta $. Formeln för att beräkna arean för en sådan krökt linjär sektor är: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) \ cdot d \ phi $.

Kurvbågslängd

Om på segmentet $ \ left [\ alpha, \; \ beta \ höger] $ kurvan ges av ekvationen $ \ rho = \ rho \ vänster (\ phi \ höger) $ i det polära koordinatsystemet, sedan beräknas längden på dess båge med RO $ L = \ int \ gränser _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho " ^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Om kurvan på segmentet $ \ left $ ges av ekvationen $ y = y \ left (x \ right) $, beräknas längden på dess båge med RO $ L = \ int \ limits _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ vänster (x \ höger)) \ cdot dx $.

Om på segmentet $ \ left [\ alpha, \; \ beta \ höger] $ kurvan ställs in parametriskt, det vill säga $ x = x \ vänster (t \ höger) $, $ y = y \ vänster (t \ höger) $, sedan beräknas längden på dess båge med ROI $ L = \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x " ^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Beräkning av kroppens volym genom områdena i parallella sektioner

Låt det vara nödvändigt att hitta volymen för en rumslig kropp, vars koordinater för punkter uppfyller villkoren $ a \ le x \ le b $, och för vilka områdena i sektioner $ S \ vänster (x \ höger) $ med plan vinkelräta mot axeln $ Ox $ är kända.

Formeln för att beräkna volymen för en sådan kropp är $ V = \ int \ gränsar _ (a) ^ (b) S \ vänster (x \ höger) \ cdot dx $.

Volymen av revolutionens kropp

Låt en icke -negativ kontinuerlig funktion $ y = y \ vänster (x \ höger) $ ges på segmentet $ \ vänster $ och bilda en krökt linjär trapets (KpT). Om denna KpT roteras runt $ Ox $ -axeln, bildas en kropp som kallas revolutionens kropp.

Beräkning av volymen för en varvskropp är ett speciellt fall för att beräkna volymen för en kropp från de kända områdena i dess parallella sektioner. Motsvarande formel är $ V = \ int \ limit _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ ( 2) \ vänster (x \ höger) \ cdot dx $.

Låt någon plan figur i det kartesiska rektangulära koordinatsystemet $ xOy $ begränsas ovan av kurvan $ y = y_ (1) \ vänster (x \ höger) $, nedan av kurvan $ y = y_ (2) \ vänster (x \ höger) $, där $ y_ (1) \ vänster (x \ höger) $ och $ y_ (2) \ vänster (x \ höger) $ är icke -negativa kontinuerliga funktioner, och till vänster och höger är vertikala linjer $ x = a $ respektive $ x = b $. Sedan uttrycks volymen av kroppen som bildas genom rotationen av denna siffra runt $ Ox $ -axeln med OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ vänster (x \ höger) -y_ (2) ^ (2) \ vänster (x \ höger) \ höger) \ cdot dx $.

Låt någon plan figur i det kartesiska rektangulära koordinatsystemet $ xOy $ begränsas till höger av kurvan $ x = x_ (1) \ vänster (y \ höger) $, till vänster av kurvan $ x = x_ (2) \ vänster (y \ höger) $, där $ x_ (1) \ vänster (y \ höger) $ och $ x_ (2) \ vänster (y \ höger) $ är icke -negativa kontinuerliga funktioner, och underifrån och ovanför de horisontella linjerna $ y = c $ respektive $ y = d $. Sedan uttrycks volymen av kroppen som bildas genom rotationen av denna siffra runt $ Oy $ -axeln med OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ vänster (y \ höger) -x_ (2) ^ (2) \ vänster (y \ höger) \ höger) \ cdot dy $.

Ytan på en revolutionskropp

Låt en icke -negativ funktion $ y = y \ left (x \ right) $ med ett kontinuerligt derivat $ y "\ left (x \ right) $ ges på segmentet $ \ left $. Denna funktion bildar KpT. Om du roterar detta KpT runt axeln $ Ox $, då bildar den själv en revolutionskropp och bågen КрТ - dess yta. Ytan på en sådan revolutionskropp uttrycks med formeln $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Antag att kurvan $ x = \ phi \ vänster (y \ höger) $, där $ \ phi \ vänster (y \ höger) $ är en icke-negativ funktion på segmentet $ c \ le y \ le d $, är roterade runt axeln $ Oy $. I detta fall uttrycks ytan på den bildade revolutionskroppen OI $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ right) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ vänster (y \ höger)) \ cdot dy $.

OI -fysikapplikationer

För att beräkna avståndet vid tiden $ t = T $ med en variabel rörelsehastighet $ v = v \ vänster (t \ höger) $ av materialpunkten, som började röra sig vid tiden $ t = t_ (0) $, använd OI $ S = \ int \ limit _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
För att beräkna arbetet med variabelkraften $ F = F \ vänster (x \ höger) $ applicerad på en materialpunkt som rör sig längs en rak väg längs $ Ox $ -axeln från punkten $ x = a $ till punkten $ x = b $ (kraftens verkningsriktning sammanfaller med rörelseriktningen) använd OI $ A = \ int \ gränsar _ (a) ^ (b) F \ vänster (x \ höger) \ cdot dx $.
Statiska moment om koordinataxlarna för materialkurvan $ y = y \ vänster (x \ höger) $ i intervallet $ \ vänster $ uttrycks med formlerna $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limits _ ( a) ^ (b) y \ vänster (x \ höger) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ vänster (x \ höger)) \ cdot dx $ och $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ gränsar _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ vänster (x \ höger)) \ cdot dx $, där den linjära densiteten $ \ rho $ för denna kurva anses vara konstant.
Massmitten för en materialkurva är en punkt vid vilken hela dess massa är konventionellt koncentrerad på ett sådant sätt att de statiska momenten för punkten i förhållande till koordinataxlarna är lika med motsvarande statiska moment för hela kurvan som helhet .

Formler för beräkning av koordinaterna för massans centrum för en plankurva har formen $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ vänster (x \ höger)) \ cdot dx) (\ int \ gränser _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ vänster (x \ höger)) \ cdot dx ) $ och $ y_ (C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ left (x \ höger)) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y " ^ (2) \ vänster (x \ höger)) \ cdot dx) $.

Statiska moment för en materiell platt figur i form av CT i förhållande till koordinataxlarna uttrycks med formlerna $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limits _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ vänster (x \ höger) \ cdot dx $ och $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ gränsar _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ vänster ( x \ höger) \ cdot dx $.
Koordinaterna för masscentrum för en materialplattform i form av KpT bildad av kurvan $ y = y \ vänster (x \ höger) $ i intervallet $ \ vänster $ beräknas med formlerna $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ höger) \ cdot dx) $ och $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ vänster (x \ höger ) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Ämne 6.10. Geometriska och fysiska tillämpningar av den bestämda integralen

1. Arean på en krökt trapets som avgränsas av kurvan y = f (x) (f (x)> 0), av de raka linjerna x = a, x = b och segmentet [a, b] på Oxaxel, beräknas med formeln

2. Arean på figuren begränsad av kurvorna y = f (x) och y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Om kurvan ges av de parametriska ekvationerna x = x (t), y = y (t), så är arean på den kurvlinjära trapetsformen begränsad av denna kurva och de raka linjerna x = a, x = b, finns med formeln

4. Låt S (x) vara kroppens tvärsnittsarea med ett plan vinkelrätt mot Oxaxeln, sedan är volymen av kroppsdelen innesluten mellan planen x = a och x = b vinkelrät mot axeln hittas med formeln

5. Låt den kurvlinjära trapetsformen avgränsas av kurvan y = f (x) och raka linjer y = 0, x = a och x = b, rotera runt Ox -axeln, sedan beräknas volymen av varvskroppen med formeln

6. Låt en kurvlinjig trapets avgränsas av en kurva x = g (y) och

raka linjer x = 0, y = c och y = d, roterar runt axeln O y, sedan beräknas volymen på varvskroppen med formeln

7. Om en plan kurva refereras till ett rektangulärt koordinatsystem och ges med ekvationen y = f (x) (eller x = F (y)), bestäms båglängden av formeln

1. Arean på en platt figur.

Arean på en böjd trapets som avgränsas av en icke-negativ funktion f (x), abscissa och raka linjer x = a, x = b, definieras som S = ∫ a b f x d x.

Böjt trapetsformat område

Figurens yta begränsas av funktionen f (x) skärning av abscissaxeln bestäms av formeln S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i- nollor av funktionen. Med andra ord, för att beräkna ytan på denna siffra måste du dela segmentet funktionsnollor f (x) i delar, integrera funktion föver vart och ett av de resulterande intervallerna för konstant tecken, addera separat integralerna över de intervall på vilka funktionen f tar olika tecken och subtraherar det andra från det första.

2. Området för den krökta sektorn.

Curvilinear sektorområde Tänk på kurvan ρ = ρ (φ) i ett polärt koordinatsystem, där ρ (φ) - kontinuerlig och icke-negativ på [α; β] fungera. Form begränsad av en kurva ρ (φ) och balkar φ = α , φ = β , kallas en krökt sektor. Arean för den krumlinjära sektorn är S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ.

3. Revolutionens kropps volym.

Volymen av revolutionens kropp

Låt kroppen bildas genom rotation runt axeln OX för en krökt trapets som avgränsas av en kontinuerlig på segmentet fungera f (x)... Dess volym uttrycks med formeln V = π ∫ a b f 2 x d x.

Om problemet med att hitta volymen av en kropp genom tvärsnittsområdet

Låt kroppen vara innesluten mellan planen x = a och x = b och området för dess sektion med ett plan som passerar genom punkten x, - kontinuerligt på segmentet fungera σ (x)... Då är dess volym V = ∫ a b σ x d x.

4. Kurvens båglängd.

Låt en kurva ges r → t = x t, y t, z t Sedan längden på dess segment begränsad av värdena t = a och t = p uttryckt med formeln S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt.

Båglängd på en plankurva I synnerhet längden på en plankurva definierad på koordinatplanet OXY ekvation y = f (x), a ≤ x ≤ b, uttrycks med formeln S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx.

5. Revolutionens yta.

Revolutionsyta Låt ytan specificeras genom rotation kring OX -axeln för funktionens graf y = f (x), a ≤ x ≤ b och funktionen f har ett kontinuerligt derivat på detta segment. Därefter bestäms varvningsytan av formeln Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x.

Arean på en böjd trapets som avgränsas uppifrån av grafen över funktionen y = f (x), vänster och höger - rak x = a och x = b nedanifrån - vid axeln Oxe, beräknat med formeln

Arean på en böjd trapezoid som avgränsas till höger av grafen över funktionen x = φ (y), topp och botten - rak y = d och y = c till vänster - axeln Oj:

Arean på en krökt figur som avgränsas uppifrån av grafen över en funktion y 2 = f 2 (x), nedan - diagrammet över funktionen y 1 = f 1 (x), vänster och höger - rak x = a och x = b:

Arean på en krökt figur begränsad till vänster och höger av funktionsdiagram x 1 = φ 1 (y) och x 2 = φ 2 (y), topp och botten - rak y = d och y = c respektive:

Tänk på fallet när linjen som begränsar den krökta trapetsformen uppifrån ges av de parametriska ekvationerna x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), var α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) = a, φ 1 (β) = b... Dessa ekvationer definierar någon funktion y = f (x) på segmentet [ a, b]. Arean på en krökt trapetsform beräknas med formeln

Låt oss gå vidare till en ny variabel x = φ 1 (t), då dx = φ "1 (t) dt, a y = f (x) = f (φ 1 (t)) = φ 2 (t) därav \ begin (displaymath)

Område i polära koordinater

Tänk på en krökt sektor OAB begränsad av linjen som ges av ekvationen ρ=ρ(φ) i polära koordinater, två strålar OA och OB för vilka φ=α , φ=β .

Dela upp sektorn i elementära sektorer OM k-1 M k ( k = 1,…, n, M 0 = A, M n = B). Låt oss beteckna med Δφ k vinkel mellan strålarna OM k-1 och OM k bildar vinklar med polaraxeln φ k-1 och φ k respektive. Var och en av de elementära sektorerna OM k-1 M k ersätt med en cirkulär sektor med en radie ρ k = ρ (φ "k), var φ "k- vinkelvärde φ från intervallet [ φ k-1, φ k], och den centrala vinkeln Δφ k... Området för den sista sektorn uttrycks med formeln .

uttrycker området för en "stegad" sektor, ungefär ersätter denna sektor OAB.

Sektorområde OAB kallas gränsen för området för "steg" -sektorn vid n → ∞ och λ = max Δφ k → 0:

Eftersom , då

Kurvbågslängd

Släpp på segmentet [ a, b] den differentierbara funktionen ges y = f (x) vars graf är en båge. Sektion [ a, b] delas upp i n delar efter prick x 1, x 2, …, x n-1... Dessa punkter kommer att motsvara poäng M 1, M 2, …, M n-1 bågar, anslut dem med en streckad linje, som kallas en trasig linje inskriven i en båge. Omkretsen för denna polyline betecknas med s n, det är

Definition... Längden på en båg på en linje är gränsen för omkretsen för en polylinje som är inskriven i den, när antalet länkar M k-1 M kökar på obestämd tid, och längden på den största av dem tenderar till noll:

där λ är längden på den största länken.

Vi räknar ljusbågens längd från några av dess punkter, till exempel A... Låt vid punkten M (x, y) båglängd är s, och vid punkten M "(x + Δ x, y + Δy) båglängd är s + Δs, där, i> Δs - båglängd. Ut ur triangeln MNM " hitta ackordlängden :.

Av geometriska överväganden följer det

det vill säga den oändliga bågen på linjen och ackordet som drar ihop den är likvärdiga.

Vi omvandlar formeln som uttrycker ackordets längd:

Genom att passera till gränsen i denna jämlikhet får vi en formel för derivatan av funktionen s = s (x):

varifrån vi hittar

Denna formel uttrycker skillnaden för en plan kurvbåge och har en enkel geometrisk betydelse: uttrycker Pythagoras sats för en oändlig triangel MTN (ds = MT, ).

Skillnaden mellan rymdkurvbågen bestäms av formeln

Tänk på bågen på en rumslig linje som ges av de parametriska ekvationerna

var α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i = 1, 2, 3) - argumentets differentierbara funktioner t, då

Integrera denna jämlikhet över intervallet [ α, β ], får vi formeln för att beräkna längden på denna linjebåge

Om linjen ligger i planet Oxig, då z = 0 Med allt t∈ [α, β], därför

I det fall då en plan linje ges av ekvationen y = f (x) (a≤x≤b), var f (x)är en differentierbar funktion, tar den sista formeln formen

Låt en plan linje ges av ekvationen ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) i polära koordinater. I det här fallet har vi linjens parametriska ekvationer x = ρ (φ) cos φ, y = ρ (φ) sin φ, där polarvinkeln tas som en parameter φ ... I den mån som

sedan formeln som uttrycker längden på linjens båge ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) i polära koordinater har formen

Kroppsvolym

Låt oss hitta volymen av en kropp om området för ett tvärsnitt av denna kropp, vinkelrätt mot en viss riktning, är känt.

Vi delar denna kropp i elementära lager med plan vinkelrätt mot axeln Oxe och definieras av ekvationer x = konst... För alla fasta x∈ känt område S = S (x) tvärsnitt av en given kropp.

Grundskikt klippt av plan x = x k-1, x = x k (k = 1,…, n, x 0 = a, x n = b), ersätter vi den med en cylinder med en höjd Δx k = x k -x k -1 och basyta S (ξ k), ξ k ∈.

Volymen för den angivna elementcylindern uttrycks med formeln Δv k = E (ξ k) Δx k... Låt oss sammanställa summan av alla sådana produkter

vilket är integralsumman för denna funktion S = S (x) på segmentet [ a, b]. Det uttrycker volymen för en stegad kropp, bestående av elementcylindrar och ungefär ersätter den givna kroppen.

Volymen för en given kropp kallas volymgränsen för den angivna stegade kroppen vid λ→0 , var λ - längden på det största av elementära segmenten Δx k... Låt oss beteckna med V volymen för en given kropp, sedan per definition

På andra sidan,

Därför beräknas kroppens volym för de angivna tvärsnitten med formeln

Om kroppen bildas genom rotation kring en axel Oxe en krökt trapets som avgränsas uppifrån av en båge av en kontinuerlig linje y = f (x), var a≤x≤b, då S (x) = πf 2 (x) och den sista formeln har formen:

Kommentar... Kroppens volym erhållen genom att rotera en kurvlinjig trapezoid, begränsad till höger av grafen för funktionen x = φ (y) (c ≤ x ≤ d), runt axeln Oj beräknas med formeln

Revolutionens yta

Tänk på ytan som erhålls genom att rotera linjens båge y = f (x) (a≤x≤b) runt axeln Oxe(anta att funktionen y = f (x) har ett kontinuerligt derivat). Vi fixar värdet x∈, vi ger funktionsargumentet en ökning dx, vilket motsvarar den "elementära ring" som erhålls genom att rotera en elementär båge Δl... Vi ersätter denna "ring" med en cylindrisk ring - kroppens sidoyta som bildas genom rotation av en rektangel med en bas lika med bågens differential dl och höjd h = f (x)... Genom att klippa den sista ringen och expandera den får vi en breddremsa dl och längd 2πy, var y = f (x).

Följaktligen uttrycks differentialytan med formeln

Denna formel uttrycker ytarean som erhålls genom att rotera bågen på en linje y = f (x) (a≤x≤b) runt axeln Oxe.

Hem> Föreläsning

Föreläsning 18. Tillämpningar av en bestämd integral.

18.1. Beräkning av arean med platta figurer.

Det är känt att en bestämd integral på ett segment är arean på en kurvlinjig trapets som avgränsas av grafen för funktionen f (x). Om grafen ligger under Ox -axeln, dvs. f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, då har området ett "+" tecken.

Formeln används för att hitta den totala ytan.

Området för en figur som avgränsas av vissa linjer kan hittas med hjälp av bestämda integraler om ekvationerna för dessa linjer är kända.

Exempel. Hitta området i figuren som begränsas av raderna y = x, y = x 2, x = 2.

Det önskade området (skuggat i figuren) kan hittas med formeln:

18.2. Hitta området för en krökt sektor.

För att hitta området för en krökt linjär sektor introducerar vi ett polärt koordinatsystem. Ekvationen för kurvan som begränsar sektorn i detta koordinatsystem har formen  = f (), där  är längden på radien för vektorn som förbinder polen med en godtycklig punkt i kurvan, och  är vinkeln på lutning av denna radie av vektorn till polaxeln.

Området för den krökta sektorn kan hittas med formeln

18.3. Beräknar kurvens båglängd.

y y = f (x)

S i y i

Längden på polylinjen som motsvarar bågen kan hittas som
.

Då är bågens längd
.

Av geometriska skäl:

På samma gång

Då kan det visas att

De där.

Om kurvens ekvation anges parametriskt, så får vi, med hänsyn till reglerna för beräkning av derivatet av den parametriskt givna,

där x =  (t) och y =  (t).

Om det ges rumslig kurva, och x =  (t), y =  (t) och z = Z (t), sedan

Om kurvan anges i polära koordinater, då

,  = f ().

Exempel: Hitta längden på cirkeln som ges av ekvationen x 2 + y 2 = r 2.

1 sätt. Låt oss uttrycka variabeln y från ekvationen.

Hitta derivatet

Sedan S = 2r. Fick den välkända formeln för omkretsen.

Metod 2. Om vi representerar den givna ekvationen i ett polärt koordinatsystem får vi: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, d.v.s. funktion  = f () = r,
sedan

18.4. Beräkning av kroppens volymer.

Beräkning av kroppens volym från de kända områdena i dess parallella sektioner.

Låt det finnas en volymkropp V. Området för alla tvärsnitt av kroppen Q är känt som en kontinuerlig funktion Q = Q (x). Vi delar kroppen i ”lager” genom tvärsnitt som passerar genom punkterna x i i segmentets uppdelning. Eftersom funktion Q (x) är kontinuerlig på något mellansegment av partitionen, då tar den de största och minsta värdena på den. Låt oss beteckna dem med M i respektive m i.

Om på dessa största och minsta sektioner för att konstruera cylindrar med generatorer parallella med x -axeln, kommer volymerna för dessa cylindrar att vara lika med M i x i och m i x i här x i = x i - x i -1.

Genom att göra sådana konstruktioner för alla segment av partitionen får vi cylindrar vars volymer är respektive
och
.

Eftersom delningssteget tenderar att nollas har dessa summor en gemensam gräns:

Således kan kroppens volym hittas med formeln:

Nackdelen med denna formel är att för att hitta volymen är det nödvändigt att känna till funktionen Q (x), som är mycket problematisk för komplexa kroppar.

Exempel: Hitta volymen för en boll med radie R.

I bollens tvärsnitt erhålls cirklar med variabel radie y. Beroende på den aktuella x-koordinaten uttrycks denna radie med formeln
.

Då har funktionen för tvärsnittsytorna formen: Q (x) =
.

Vi får bollens volym:

Exempel: Hitta volymen på en godtycklig pyramid med höjd H och basområde S.

När pyramiden skär med plan vinkelrätt mot höjden, i sektion får vi figurer som liknar basen. Likhetskoefficienten för dessa siffror är lika med förhållandet x / H, där x är avståndet från snittplanet till toppen av pyramiden.

Det är känt från geometri att förhållandet mellan områdena i liknande figurer är lika med likhetskoefficienten i kvadrat, d.v.s.

Härifrån får vi funktionen för tvärsnittsytorna:

Hitta pyramidens volym:

18.5. Volymen av revolutionskroppar.

Tänk på kurvan som ges av ekvationen y = f (x). Antag att funktionen f (x) är kontinuerlig på ett intervall. Om motsvarande krumlinjiga trapetsform med baserna a och b roteras runt axelaxeln får vi den s.k. revolutionens kropp.

y = f (x)

Eftersom varje del av kroppen vid planet x = const är en cirkel med radie
, sedan kan volymen av en revolution av kroppen lätt hittas med hjälp av formeln ovan:

18.6. Ytan på en revolutionskropp.

M i B

Definition: Revolutionens yta kurva AB runt denna axel kallas den gräns till vilken ytorna på rotationsytorna för de polygonala linjerna som är inskrivna i kurvan AB tenderar att, eftersom den längsta längden på länkarna på dessa polygonala linjer tenderar till noll.

Vi delar bågen AB i n delar med punkterna M 0, M 1, M 2,…, M n. Koordinaterna för hörnen för den resulterande polylinjen har koordinaterna x i och y i. När polylinjen roterar runt axeln får vi en yta bestående av sidoytorna på stympade kottar, vars yta är P i. Detta område kan hittas med formeln:

Här är iS i längden på varje ackord.

Vi tillämpar Lagranges sats (se. Lagranges sats) till förhållandet
.