Typer av trigonometriska ekvationer. Trigonometriska ekvationer. Omfattande guide (2019)

Många matematiska problem , särskilt de som inträffar före årskurs 10, är ​​ordningen på de åtgärder som utförs som leder till målet klart definierad. Dessa uppgifter inkluderar till exempel linjära och Kvadratisk ekvation, linjära och kvadratiska ojämlikheter, fraktionella ekvationer och ekvationer som reduceras till kvadratiska. Principen för framgångsrik lösning av var och en av de nämnda uppgifterna är följande: det är nödvändigt att fastställa vilken typ av problem som ska lösas, att komma ihåg den nödvändiga sekvensen av åtgärder som kommer att leda till önskat resultat, d.v.s. svara och följ dessa steg.

Det är uppenbart att framgången eller misslyckandet med att lösa ett visst problem huvudsakligen beror på hur korrekt typen av ekvationen som ska lösas bestäms, hur korrekt sekvensen för alla steg i dess lösning återges. Naturligtvis måste du i detta fall ha färdigheterna att utföra identiska transformationer och datorer.

Situationen är annorlunda med trigonometriska ekvationer. Att fastställa det faktum att ekvationen är trigonometrisk är inte alls svårt. Svårigheter uppstår för att bestämma sekvensen av åtgärder som skulle leda till rätt svar.

Förbi utseende ekvationen är ibland svår att avgöra dess typ. Och utan att känna till ekvationstypen är det nästan omöjligt att välja rätt bland flera tiotals trigonometriska formler.

För att lösa den trigonometriska ekvationen bör man försöka:

1. föra alla funktioner som ingår i ekvationen till "samma vinklar";
2. att föra ekvationen till "samma funktioner";
3. faktor vänster sida av ekvationen, etc.

Överväga grundläggande lösningsmetoder trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

Lösningsplan

Steg 1. Uttryck en trigonometrisk funktion när det gäller kända komponenter.

Steg 2. Hitta argumentet för en funktion med formlerna:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n bågar i a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Steg 3. Hitta okänd variabel.

Exempel.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Lösning.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Svar: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Variabel ersättning

Lösningsplan

Steg 1. Minska ekvationen till en algebraisk form med avseende på en av trigonometriska funktioner.

Steg 2. Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inför vid behov restriktioner för t).

Steg 3. Skriv ner och lösa den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4. Gör en omvänd ersättning.

Steg 5. Lös den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Lösning.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Låt synd (x / 2) = t, där | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, uppfyller inte villkoret | t | ≤ 1.

4) sin (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod för ekvationsorder

Lösningsplan

Steg 1. Ersätt denna ekvation med en linjär, med hjälp av formlerna för gradreducering för detta:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen med metoder I och II.

Exempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösning.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

Lösningsplan

Steg 1. Ta med denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation för första graden)

eller tänk på

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av den andra graden).

Steg 2. Dela ekvationerna på båda sidor med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

och få ekvationen för tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

Steg 3. Lös ekvationen med hjälp av kända metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösning.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Låt tg x = t, då

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, alltså

tg x = 1 eller tg x = -4.

Från den första ekvationen x = π / 4 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metod för att transformera en ekvation med hjälp av trigonometriska formler

Lösningsplan

Steg 1. Använd alla typer av trigonometriska formler och föra denna ekvation till ekvationen som löses med metoder I, II, III, IV.

Steg 2. Lös den resulterande ekvationen med kända metoder.

Exempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Lösning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Från den första ekvationen 2x = π / 2 + πn, n Є Z; från den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; från den andra ekvationen x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Som ett resultat, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Färdigheter och färdigheter för att lösa trigonometriska ekvationer är mycket viktigt, deras utveckling kräver betydande insatser, både från studentens sida och från lärarens sida.

Många problem med stereometri, fysik etc. är kopplade till lösningen av trigonometriska ekvationer. Processen för att lösa sådana problem innehåller så gott som många kunskaper och färdigheter som man förvärvar när man studerar elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer spelar en viktig roll i inlärningsprocessen för matematik och personlighetsutveckling i allmänhet.

Har du fortfarande frågor? Är du osäker på hur du löser trigonometriska ekvationer?
För att få hjälp av en handledare -.
Första lektionen är gratis!

blogg. med fullständig eller delvis kopiering av materialet krävs en länk till källan.

Kräver kunskap om trigonometriens grundformler - summan av sinus och cosinus kvadrater, tangentens uttryck genom sinus och cosinus och andra. För dem som har glömt dem eller inte vet, rekommenderar vi att du läser artikeln "".
Så vi känner till de grundläggande trigonometriska formlerna, det är dags att använda dem i praktiken. Lösa trigonometriska ekvationer med rätt tillvägagångssätt är det en ganska spännande aktivitet, till exempel att lösa en Rubiks kub.

Baserat på själva namnet är det klart att en trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända är under tecknet på den trigonometriska funktionen.
Det finns de så kallade enklaste trigonometriska ekvationerna. Så här ser de ut: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Överväga hur man löser sådana trigonometriska ekvationer För tydlighetens skull kommer vi att använda den redan välkända trigonometriska cirkeln.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

barnsäng x = a

Varje trigonometrisk ekvation löses i två steg: vi tar ekvationen till den enklaste formen och löser den sedan som den enklaste trigonometriska ekvationen.
Det finns 7 huvudmetoder för att trigonometriska ekvationer löses.

1. Variabel substitution och substitutionsmetod

Lös ekvationen 2cos 2 (x + / 6) - 3sin ( / 3 - x) +1 = 0

Med hjälp av formlerna för reduktion får vi:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Ersätt cos (x + / 6) med y för enkelhet och få den vanliga kvadratiska ekvationen:

2y 2 - 3y + 1 + 0

Vems rötter y 1 = 1, y 2 = 1/2

Låt oss nu gå i omvänd ordning

Vi ersätter de hittade y -värdena och vi får två svar:

2. Lösa trigonometriska ekvationer genom faktorisering

Hur löser jag ekvationen sin x + cos x = 1?

Flytta allt åt vänster så att 0 blir kvar till höger:

sin x + cos x - 1 = 0

Vi kommer att använda ovanstående identiteter för att förenkla ekvationen:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

Vi gör faktoriseringen:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Vi får två ekvationer

3. Reduktion till en homogen ekvation

En ekvation är homogen med avseende på sinus och cosinus om alla dess termer med avseende på sinus och cosinus är samma kraft i samma vinkel. Gör så här för att lösa en homogen ekvation:

a) överföra alla dess medlemmar till vänster sida;

b) ta ut alla vanliga faktorer inom parentes;

c) likställa alla faktorer och parenteser till 0;

d) en homogen ekvation av mindre grad erhålls inom parentes, den i sin tur delas upp i sinus eller cosinus i högsta grad;

e) lösa den resulterande ekvationen för tg.

Lös ekvationen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Låt oss använda formeln sin 2 x + cos 2 x = 1 och bli av med de två öppna till höger:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Dela med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Ersätt tg x med y och få en kvadratisk ekvation:

y 2 + 4y +3 = 0, vars rötter y 1 = 1, y 2 = 3

Härifrån hittar vi två lösningar på den ursprungliga ekvationen:

x 2 = arctan 3 + k

4. Lösa ekvationer genom att gå till halv vinkel

Lös ekvationen 3sin x - 5cos x = 7

Gå vidare till x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Flytta allt åt vänster:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Dela med cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. Vi introducerar en extra vinkel

För övervägande tar vi en ekvation av formen: a sin x + b cos x = c,

där a, b, c är några godtyckliga koefficienter och x är okänt.

Dela upp båda sidorna av ekvationen i:



Nu är ekvationens koefficienter enligt trigonometriska formler har egenskaperna sin och cos, nämligen: deras modul är inte mer än 1 och summan av kvadrater = 1. Låt oss beteckna dem som cos respektive sin, var är den så kallade hjälpvinkeln. Då kommer ekvationen att ta formen:

cos * sin x + sin * cos x = С

eller sin (x +) = C

Lösningen på denna enklaste trigonometriska ekvation blir

x = (-1) k * arcsin С - + k, var



Det bör noteras att cos och synd används omväxlande.

Lös ekvationen sin 3x - cos 3x = 1

I denna ekvation är koefficienterna:

a =, b = -1, så vi delar båda sidorna med = 2

Lektion i den komplexa tillämpningen av kunskap.

Lektionens mål.

1. Överväga olika metoder lösningar av trigonometriska ekvationer.
2. Utveckla elevernas kreativitet genom att lösa ekvationer.
3. Uppmuntra eleverna till självkontroll, ömsesidig kontroll, introspektion av sina utbildningsaktiviteter.

Utrustning: skärm, projektor, referensmaterial.

Under lektionerna

Inledande samtal.

Huvudmetoden för att lösa trigonometriska ekvationer är att reducera dem till det enklaste. I detta fall används de vanliga metoderna, till exempel faktorisering, liksom tekniker som endast används för att lösa trigonometriska ekvationer. Det finns ganska många av dessa tekniker, till exempel olika trigonometriska substitutioner, vinkeltransformationer, transformationer av trigonometriska funktioner. Den urskillningslösa tillämpningen av alla trigonometriska transformationer förenklar vanligtvis inte ekvationen, men komplicerar den katastrofalt. För att generellt utarbeta en plan för att lösa ekvationen, för att beskriva sättet att minska ekvationen till den enklaste, är det först och främst nödvändigt att analysera vinklarna - argumenten för de trigonometriska funktionerna som ingår i ekvationen.

Idag kommer vi att prata om metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. En korrekt vald metod gör det ofta möjligt att väsentligt förenkla lösningen, därför bör alla metoder vi har studerat alltid hållas inom vårt uppmärksamhetsområde för att lösa trigonometriska ekvationer med den mest lämpliga metoden.

II. (Med hjälp av projektorn upprepar vi metoderna för att lösa ekvationer.)

1. Metoden för att reducera en trigonometrisk ekvation till en algebraisk ekvation.

Det är nödvändigt att uttrycka alla trigonometriska funktioner i termer av en, med samma argument. Detta kan göras med hjälp av den grundläggande trigonometriska identiteten och dess konsekvenser. Låt oss få en ekvation med en trigonometrisk funktion. Om vi ​​tar det som ett nytt okänt får vi en algebraisk ekvation. Vi hittar sina rötter och återvänder till det gamla okända och löser de enklaste trigonometriska ekvationerna.

2. Metod för faktorisering.

För att ändra vinklarna är konverteringsformler, summan och skillnaden i argument, liksom formler för att konvertera summan (skillnaden) av trigonometriska funktioner till en produkt och vice versa ofta användbara.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Metod för att införa en extra vinkel.

4. Metod för att använda universell substitution.

Ekvationer med formen F (sinx, cosx, tgx) = 0 reduceras till algebraiska med hjälp av den universella trigonometriska substitutionen

Genom att uttrycka sinus, cosinus och tangent i form av tangenten för halvvinkeln. Detta trick kan leda till en högre ordning ekvation. Lösningen är svår.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi utvecklat en sekretesspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och meddela oss om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Personlig information avser data som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta honom.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan följer några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilka personuppgifter vi samlar in:

• När du lämnar en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Samlad av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och rapportera unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden.
• Vi kan också använda personlig information för interna ändamål, till exempel genomföra revisioner, dataanalys och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en dragning, tävling eller liknande reklamevenemang kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det är nödvändigt - i enlighet med lag, domstolsbeslut, i domstolsförfaranden och / eller på grundval av offentliga begäranden eller begäranden från myndigheter på Ryska federationens territorium - att lämna ut dina personuppgifter. Vi kan också lämna ut information om dig om vi finner att sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra socialt viktiga skäl.
• I händelse av en omorganisation, fusion eller försäljning kan vi överföra den personliga informationen vi samlar in till lämplig tredje part - den juridiska efterträdaren.

Skydd av personuppgifter

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativ, teknisk och fysisk - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, samt från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker tar vi med sekretess- och säkerhetsreglerna till våra anställda och övervakar strikt genomförandet av sekretessåtgärder.

Trigonometriska ekvationer är inte det enklaste ämnet. Smärtsamt är de olika.) Till exempel följande:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men dessa (och alla andra) trigonometriska monster har två gemensamma och obligatoriska egenskaper. Den första - du kommer inte tro - det finns trigonometriska funktioner i ekvationerna.) För det andra: alla uttryck med x finns inne i samma funktioner. Och bara där! Om x visas någonstans utanför, till exempel, sin2x + 3x = 3, detta kommer redan att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer kräver ett individuellt tillvägagångssätt. Vi kommer inte att överväga dem här.

Vi kommer inte heller att lösa onda ekvationer i den här lektionen.) Här kommer vi att ta itu med de enklaste trigonometriska ekvationerna. Varför? Ja, för lösningen några trigonometriska ekvationer har två steg. I det första stadiet reduceras den onda ekvationen till en enkel med hjälp av olika transformationer. På den andra är denna enklaste ekvation löst. Inget annat sätt.

Så, om du har problem i det andra steget, är det första steget inte mycket meningsfullt.)

Hur ser elementära trigonometriska ekvationer ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Här a betecknar valfritt tal. Någon.

Förresten, inne i funktionen kanske det inte finns ett rent x, men något slags uttryck, till exempel:

cos (3x + π / 3) = 1/2

etc. Detta komplicerar livet, men det påverkar inte metoden för att lösa den trigonometriska ekvationen på något sätt.

Hur löser man trigonometriska ekvationer?

Trigonometriska ekvationer kan lösas på två sätt. Första sättet: använder logik och trigonometrisk cirkel. Vi kommer att överväga denna väg här. Det andra sättet - att använda minne och formler - kommer att diskuteras i nästa lektion.

Det första sättet är tydligt, pålitligt och svårt att glömma.) Det är bra för att lösa trigonometriska ekvationer, ojämlikheter och alla slags knepiga icke-standardiserade exempel... Logiken är starkare än minnet!)

Lösa ekvationer med hjälp av den trigonometriska cirkeln.

Vi inkluderar elementär logik och möjligheten att använda den trigonometriska cirkeln. Kan du inte !? Men ... Det är svårt för dig i trigonometri ...) Men det spelar ingen roll. Ta en titt på lektionerna "Trigonometrisk cirkel ...... Vad är det?" och "Räkna vinklar på en trigonometrisk cirkel". Allt är enkelt där. Till skillnad från självstudier ...)

Åh du vet !? Och till och med behärskar "Praktiskt arbete med den trigonometriska cirkeln"!? Grattis. Detta ämne kommer att vara nära och förståeligt för dig.) Vad som är särskilt tilltalande, den trigonometriska cirkeln bryr sig inte om vilken ekvation du löser. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - allt är ett för honom. Det finns bara en lösningsprincip.

Så vi tar vilken elementär trigonometrisk ekvation som helst. Åtminstone detta:

cosx = 0,5

Jag måste hitta X. I mänskliga termer behöver du hitta vinkeln (x), vars cosinus är 0,5.

Hur använde vi cirkeln tidigare? Vi drog ett hörn på den. I grader eller radianer. Och direkt sett trigonometriska funktioner i denna vinkel. Låt oss nu göra tvärtom. Låt oss rita en cosinus lika med 0,5 på cirkeln och omedelbart ser injektion. Det återstår bara att skriva ner svaret.) Ja, ja!

Rita en cirkel och markera en cosinus på 0,5. På cosinusaxeln, förstås. Så här:

Låt oss nu rita vinkeln som denna cosinus ger oss. Flytta muspekaren över ritningen (eller tryck på bilden på surfplattan) och ser just detta hörn NS.

Vilken vinkel är cosinus 0,5?

x = π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Någon kommer att skratta skeptiskt, ja ... De säger, var det värt cirkeln, när allt redan är klart ... Du kan naturligtvis skratta ...) Men faktum är att detta är ett felaktigt svar. Eller snarare otillräcklig. Cirkelexperter förstår att det fortfarande finns ett helt gäng vinklar här, vilket också ger en cosinus lika med 0,5.

Om du vrider den rörliga sidan av OA full sväng, punkt A återgår till sin ursprungliga position. Med samma cosinus lika med 0,5. De där. vinkeln kommer att förändras 360 ° eller 2π radianer, och cosinus är det inte. Den nya vinkeln 60 ° + 360 ° = 420 ° kommer också att vara lösningen på vår ekvation

Du kan snurra ett oändligt antal sådana hela varv ... Och alla dessa nya vinklar kommer att vara lösningar på vår trigonometriska ekvation. Och alla måste på något sätt skrivas ned som svar. Allt. Annars räknas inte beslutet, ja ...)

Matematik vet hur man gör detta på ett enkelt och elegant sätt. Skriv i ett kort svar oändligt set lösningar. Så här ser det ut för vår ekvation:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Jag kommer att dechiffrera. Skriv fortfarande meningsfullt trevligare än att dumt rita några mystiska bokstäver, eller hur?)

π / 3 - det här är samma hörn som vi fick syn på på cirkeln och identifierade enligt cosinusbordet.

2π är en fullständig revolution inom radianer.

n är antalet fulla, d.v.s. hela revolutioner. Det är tydligt att n kan vara 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... och så vidare. Vilket anges en kort anteckning:

n ∈ Z

n tillhör ( ∈ ) till uppsättningen heltal ( Z ). Förresten, istället för bokstaven n bokstäver kan mycket väl användas k, m, t etc.

Denna post betyder att du kan ta vilken helhet som helst n ... Minst -3, minst 0, minst +55. Vad du vill. Om du ansluter det här numret till svaret får du en specifik vinkel som nödvändigtvis kommer att vara lösningen på vår hårda ekvation.)

Eller med andra ord, x = π / 3 är den enda roten till den oändliga uppsättningen. För att få alla andra rötter är det tillräckligt att lägga till valfritt antal hela varv till π / 3 ( n ) i radianer. De där. 2π n radian.

Allt? Nej. Jag sträcker medvetet nöjet. För att komma ihåg det bättre.) Vi fick bara en del av svaren på vår ekvation. Jag kommer att skriva denna första del av lösningen enligt följande:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - inte en rot, det är en hel rad rötter, skriven i kort form.

Men det finns också vinklar som också ger en cosinus på 0,5!

Låt oss gå tillbaka till vår bild, som användes för att skriva ner svaret. Där är hon:

För musen över bilden och ser ett annat hörn som ger också en cosinus på 0,5. Vad tror du att det är lika med? Trianglarna är desamma ... Ja! Det är lika med hörnet NS sätts bara tillbaka i negativ riktning. Det här är hörnet -NS. Men vi har redan räknat ut x. π / 3 eller 60 °. Därför kan vi säkert skriva:

x 2 = - π / 3

Tja, och, naturligtvis, lägg till alla vinklar som uppnås genom fulla varv:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Nu är det det.) I den trigonometriska cirkeln, vi fick syn på(vem förstår förstås)) Allt vinklar som ger en cosinus lika med 0,5. Och de skrev dessa vinklar i kort matematisk form. Svaret gav två oändliga serier av rötter:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Detta är det rätta svaret.

Hoppas, allmän princip för att lösa trigonometriska ekvationer att använda en cirkel är tydlig. Vi markerar cosinus (sinus, tangent, cotangent) på cirkeln från den givna ekvationen, ritar de vinklar som motsvarar den och skriver ner svaret. Naturligtvis måste du ta reda på vilken typ av hörn vi är fick syn på på cirkeln. Ibland är det inte så självklart. Som sagt, logik krävs här.)

Låt oss till exempel analysera ytterligare en trigonometrisk ekvation:

Observera att talet 0,5 inte är det enda möjliga talet i ekvationerna!) Det är bara mer bekvämt för mig att skriva det än rötter och bråk.

Vi arbetar enligt den allmänna principen. Rita en cirkel, markera (på sinusaxeln, förstås!) 0,5. Vi ritar genast alla vinklar som motsvarar denna sinus. Låt oss få följande bild:

Hantera vinkeln först NS under första kvartalet. Vi återkallar syndabellen och bestämmer värdet av denna vinkel. Det är en enkel sak:

x = π / 6

Vi minns fulla revolutioner och, med rent samvete, vi skriver ner den första serien med svar:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Hälften klar. Men nu måste vi definiera andra hörnet ... Det här är mer listigt än i cosinus, ja ... Men logiken kommer att rädda oss! Hur man bestämmer den andra vinkeln genom x? Ja enkelt! Trianglarna på bilden är desamma och det röda hörnet NS lika med vinkeln NS ... Bara det räknas från vinkeln π i negativ riktning. Därför är den röd.) Och för svaret behöver vi en vinkel, mätt korrekt, från den positiva OX -semiaxen, d.v.s. från en vinkel på 0 grader.

Håll muspekaren över bilden och se allt. Jag tog bort det första hörnet för att inte komplicera bilden. Vinkeln vi är intresserade av (ritad i grönt) kommer att vara lika med:

π - x

X vi vet det π / 6 ... Därför blir det andra hörnet:

π - π / 6 = 5π / 6

Vi minns återigen tillägget av hela revolutioner och skriver ner den andra serien av svar:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Det är allt. Det fullständiga svaret består av två serier av rötter:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Ekvationer med tangent och cotangent kan enkelt lösas med samma allmänna princip för att lösa trigonometriska ekvationer. Om du naturligtvis vet hur du ritar tangent och cotangent på en trigonometrisk cirkel.

I exemplen ovan använde jag tabellssinus och cosinusvärdet: 0,5. De där. en av de betydelser som eleven känner till måste. Låt oss nu utöka våra möjligheter till alla andra värden. Bestäm, så bestäm dig!)

Så, låt oss säga att vi måste lösa denna trigonometriska ekvation:

Detta värde av cosinus i korta bord Nej. Vi ignorerar detta hemska faktum med kallt blod. Rita en cirkel, markera 2/3 på cosinusaxeln och rita motsvarande vinklar. Vi får den här bilden.

Låt oss ta reda på det, till en början, med en vinkel i det första kvartalet. Om jag hade vetat vad X var lika med hade de skrivit ner svaret direkt! Vi vet inte ... Misslyckande!? Lugna! Matematik överger inte sin egen i trubbel! Hon kom med arkosiner för detta fall. Vet inte? Förgäves. Ta reda på, det är mycket lättare än du tror. Under denna länk finns det inte en enda knepig besvärjelse om "inversa trigonometriska funktioner" ... Detta är överflödigt i detta ämne.

Om du är medveten är det tillräckligt att säga till dig själv: "X är vinkeln, vars cosinus är 2/3". Och direkt, rent enligt definitionen av arccosine, kan du skriva:

Vi minns ytterligare vändningar och skriver lugnt ner den första serien av rötter i vår trigonometriska ekvation:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andra serien av rötter spelas också in nästan automatiskt för den andra vinkeln. Allt är detsamma, bara x (arccos 2/3) kommer att vara med ett minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Och det är allt! Detta är det rätta svaret. Ännu enklare än med tabellvärden. Du behöver inte komma ihåg någonting.) Förresten kommer de mest uppmärksamma att märka att denna bild med lösningen genom den inversa kosinusen i huvudsak skiljer sig inte från bilden för ekvationen cosx = 0,5.

Exakt! Allmän princip för det och generellt! Jag ritade speciellt två nästan identiska bilder. Cirkeln visar oss vinkeln NS med dess cosinus. Bordet är en cosinus eller inte - cirkeln vet inte. Vad är denna vinkel, π / 3, eller vilken typ av invers cosinus - det är upp till oss.

Med sinus, samma låt. Till exempel:

Rita cirkeln igen, markera sinus lika med 1/3, rita hörnen. Bilden ser ut så här:

Återigen är bilden nästan densamma som för ekvationen sinx = 0,5.Återigen, börja i hörnet under det första kvartalet. Vad är x om sin sinus är 1/3? Inga problem!

Så det första packet med rötter är klart:

x 1 = bågsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Vi tar itu med det andra hörnet. I exemplet med ett tabellvärde på 0,5 var det:

π - x

Så här blir det exakt samma! Endast x är annorlunda, bågar 1/3. Än sen då!? Du kan säkert skriva ner det andra packet med rötter:

x 2 = π - bågsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Detta är ett helt korrekt svar. Även om det inte ser särskilt bekant ut. Men det är förståeligt, hoppas jag.)

Så här löses trigonometriska ekvationer med hjälp av en cirkel. Denna väg är tydlig och begriplig. Det är han som sparar i trigonometriska ekvationer med valet av rötter på ett givet intervall, i trigonometriska ojämlikheter - de löses i allmänhet nästan alltid i en cirkel. Kort sagt, i alla uppgifter som är lite svårare än de vanliga.

Låt oss tillämpa vår kunskap i praktiken?)

Lös trigonometriska ekvationer:

Först är det enklare, direkt från den här lektionen.

Nu svårare.

Tips: Det är här du måste reflektera över cirkeln. Personligen.)

Och nu är de utåt anspråkslösa ... De kallas också specialfall.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tips: här måste du räkna ut i en cirkel där det finns två serier av svar, och var är ett ... Och hur, istället för två serier av svar, skriver ett. Ja, så att inte en enda rot av det oändliga antalet går förlorad!)

Tja, ganska enkla sådana):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tips: här behöver du veta vad som är en arcsine, en arcsine? Vad är bågtangent, bågkotangent? Mest enkla definitioner... Men du behöver inte komma ihåg några tabellvärden!)

Svaren är naturligtvis en röra):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Allt fungerar inte? Det händer. Läs lektionen igen. Endast eftertänksamt(det finns ett så föråldrat ord ...) Och följ länkarna. Huvudlänkarna handlar om cirkeln. Utan det, i trigonometri - som att korsa vägen med ögonbindel. Ibland fungerar det.)

Om du gillar den här webbplatsen ...

Förresten, jag har ett par fler intressanta platser för dig.)

Du kan öva på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Omedelbar valideringstest. Lärande - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivat.