Lösning av de enklaste logaritmiska ekvationerna. Logaritmiska ekvationer. Från enkel till komplex

Algebra årskurs 11

Ämne: « Lösningsmetoder logaritmiska ekvationer »

Lektionens mål:

pedagogisk: bygga kunskap om olika sätt lösa logaritmiska ekvationer, förmågan att tillämpa dem i var och en specifika situation och välj valfri metod att lösa;

utvecklande: utveckling av färdigheter att observera, jämföra, tillämpa kunskap i en ny situation, identifiera mönster, generalisera; bildning av färdigheter för ömsesidig kontroll och självkontroll;

pedagogisk: utbildning av en ansvarsfull inställning till pedagogiskt arbete, noggrann uppfattning om materialet i lektionen, noggrannhet i journalföring.

Lektionstyp : en lektion av bekantskap med nytt material.

"Uppfinnandet av logaritmer, genom att förkorta astronomens arbete, har förlängt hans liv."
Den franske matematikern och astronomen P.S. Laplace

Under lektionerna

I. Att sätta målet för lektionen

Den studerade definitionen av logaritmen, logaritmernas egenskaper och den logaritmiska funktionen kommer att tillåta oss att lösa logaritmiska ekvationer. Alla logaritmiska ekvationer, oavsett hur komplexa de är, löses med samma algoritmer. Vi kommer att överväga dessa algoritmer idag i lektionen. Det finns få av dem. Om du behärskar dem kommer alla ekvationer med logaritmer att vara genomförbara för var och en av er.

Skriv i din anteckningsbok ämnet för lektionen: "Metoder för att lösa logaritmiska ekvationer." Jag inbjuder alla till samarbete.

II. Uppdatering grundläggande kunskap

Låt oss göra oss redo att studera ämnet för lektionen. Du löser varje uppgift och skriver ner svaret, du kan inte skriva villkoret. Arbeta i par.

1) För vilka värden på x är funktionen vettig:

(Svaren kontrolleras för varje bild och fel sorteras ut)

2) Stämmer funktionsgraferna?

a) y = x och

b)och

3) Skriv om likheterna som logaritmiska likheter:

4) Skriv talen som logaritmer med bas 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Beräkna :

6) Försök att återställa eller komplettera de saknade elementen i dessa likheter.

III. Introduktion till nytt material

Uttalandet visas på skärmen:

"Ekvationen är den gyllene nyckeln som låser upp all matematisk sesam."
Modern polsk matematiker S. Koval

Försök att formulera definitionen av en logaritmisk ekvation. (En ekvation som innehåller en okänd under logaritmens tecken ).

Övervägaden enklaste logaritmiska ekvationen: logga a x = b (där a>0, a ≠ 1). Eftersom den logaritmiska funktionen ökar (eller minskar) på mängden positiva tal och tar alla reella värden, följer det av rotsatsen att för vilket b som helst har denna ekvation, och dessutom, bara en lösning, och en positiv.

Kom ihåg definitionen av en logaritm. (Logaritmen för talet x till basen a är exponenten till vilken basen a måste höjas för att få talet x ). Det följer omedelbart av definitionen av logaritmen atta v är en sådan lösning.

Skriv ner rubriken:Metoder för att lösa logaritmiska ekvationer

1. Per definition av logaritmen .

Så här är formens enklaste ekvationer.

Överväganr 514(a ): Lös ekvationen

Hur tänker du lösa det? (Per definition av logaritmen )

Lösning . , Därför 2x - 4 = 4; x = 4.

Svar: 4.

I denna uppgift, 2x - 4 > 0, sedan> 0, så inga främmande rötter kan dyka upp, ochverifiering är inte nödvändig . Villkoret 2x - 4 > 0 i denna uppgift är inte nödvändigt att skriva ut.

2. Potentiering (övergång från logaritmen för det givna uttrycket till detta uttryck i sig).

Överväganr 519(g): logga 5 ( x 2 +8)- logga 5 ( x+1)=3 logga 5 2

Vilken funktion märkte du?(Baserna är desamma och logaritmerna för de två uttrycken är lika) . Vad kan göras?(potentiera).

I det här fallet bör det tas med i beräkningen att alla lösningar finns bland alla x för vilka logaritmuttrycken är positiva.

Lösning: ODZ:

X 2 +8>0 extra ojämlikhet

logga 5 ( x 2 +8) = logga 5 2 3 + logga 5 ( x+1)

logga 5 ( x 2 +8)= logga 5 (8 x+8)

Potentiera den ursprungliga ekvationen

x 2 +8= 8 x+8

vi får ekvationenx 2 +8= 8 x+8

Låt oss lösa det:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Svar: 0; åtta

I allmänhetövergång till ett likvärdigt system :

Ekvationen

(Systemet innehåller ett redundant villkor - en av ojämlikheterna kan ignoreras).

Fråga till klassen : Vilken av dessa tre lösningar gillade du mest? (Diskussion av metoder).

Du har rätt att bestämma på vilket sätt som helst.

3. Införande av en ny variabel .

Överväganr 520(g) . .

Vad märkte du? (Detta andragradsekvation i förhållande till log3x) Dina förslag? (Introducera ny variabel)

Lösning . ODZ: x > 0.

Låta, då kommer ekvationen att ha formen:. Diskriminant D > 0. Rötter från Vietas sats:.

Tillbaka till ersättning:eller.

När vi löser de enklaste logaritmiska ekvationerna får vi:

; .

Svar : 27;

4. Logaritm av båda sidor av ekvationen.

Lös ekvationen:.

Lösning : ODZ: x>0, vi tar logaritmen för båda sidor av ekvationen i bas 10:

. Tillämpa egenskapen för gradens logaritm:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Låt lgx = y, sedan (y + 3)y = 4

, (D > 0) rötterna enligt Vieta-satsen: y1 = -4 och y2 = 1.

Låt oss gå tillbaka till ersättaren, vi får: lgx = -4,; logx = 1,. . Det är som följer: om en av funktionerna y = f(x) ökar och det andra y = g(x) minskar på intervallet X, sedan ekvationen f(x)=g(x) har högst en rot på intervallet X .

Om det finns en rot, så kan den gissas. .

Svar : 2

« Rätt tillämpning metoder kan läras
endast genom att tillämpa dem på olika exempel.
Danske matematikhistorikern G. G. Zeiten

jag v. Läxa

S. 39 betrakta exempel 3, lös nr. 514 (b), nr. 529 (b), nr. 520 (b), nr. 523 (b)

V. Sammanfattning av lektionen

Vilka metoder för att lösa logaritmiska ekvationer övervägde vi i lektionen?

I nästa lektion kommer vi att titta på mer komplexa ekvationer. För att lösa dem är de studerade metoderna användbara.

Visar den sista bilden:

"Vad är mer än något annat i världen?
Plats.
Vad är klokast?
Tid.
Vad är roligast?
Uppnå vad du vill."
Thales

Jag vill att alla ska uppnå det de vill. Tack för ditt samarbete och din förståelse.

Instruktion

Skriv ner det givna logaritmiskt uttryck. Om uttrycket använder logaritmen 10, förkortas dess notation och ser ut så här: lg b är decimallogaritmen. Om logaritmen har talet e som bas, så skrivs uttrycket: ln b - naturlig logaritm. Det är underförstått att resultatet av någon är den potens till vilken bastalet måste höjas för att få talet b.

När du hittar summan av två funktioner behöver du bara skilja dem åt en efter en och lägga till resultaten: (u+v)" = u"+v";

När man hittar derivatan av produkten av två funktioner är det nödvändigt att multiplicera derivatan av den första funktionen med den andra och addera derivatan av den andra funktionen, multiplicerad med den första funktionen: (u*v)" = u"* v+v"*u;

För att hitta derivatan av kvoten av två funktioner är det nödvändigt, från produkten av derivatan av utdelningen multiplicerat med divisorfunktionen, att subtrahera produkten av derivatan av divisorn multiplicerad med divisorfunktionen och dividera allt detta med divisorfunktionen i kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Om det ges komplex funktion, då är det nödvändigt att multiplicera derivatan av den inre funktionen och derivatan av den yttre. Låt y=u(v(x)), sedan y"(x)=y"(u)*v"(x).

Med hjälp av ovanstående kan du skilja nästan vilken funktion som helst. Så låt oss titta på några exempel:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Det finns också uppgifter för att beräkna derivatan vid en punkt. Låt funktionen y=e^(x^2+6x+5) ges, du måste hitta värdet på funktionen i punkten x=1.
1) Hitta derivatan av funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beräkna värdet på funktionen vid den givna punkten y"(1)=8*e^0=8

Relaterade videoklipp

Användbart råd

Lär dig tabellen över elementära derivator. Detta kommer att spara mycket tid.

Källor:

konstant derivata

Så vad är skillnaden mellan en irrationell ekvation och en rationell? Om den okända variabeln står under tecknet roten ur, då anses ekvationen vara irrationell.

Instruktion

Den huvudsakliga metoden för att lösa sådana ekvationer är metoden att höja båda delarna ekvationer till en kvadrat. Dock. detta är naturligt, det första steget är att bli av med skylten. Tekniskt sett är denna metod inte svår, men ibland kan den leda till problem. Till exempel, ekvationen v(2x-5)=v(4x-7). Genom att kvadrera båda sidor får du 2x-5=4x-7. En sådan ekvation är inte svår att lösa; x=1. Men nummer 1 kommer inte att ges ekvationer. Varför? Ersätt enheten i ekvationen istället för värdet x. Och höger och vänster sida kommer att innehålla uttryck som inte är vettiga, det vill säga. Ett sådant värde är inte giltigt för en kvadratrot. Därför är 1 en främmande rot, och därför har denna ekvation inga rötter.

Så den irrationella ekvationen löses med metoden att kvadrera båda dess delar. Och efter att ha löst ekvationen är det nödvändigt att skära av främmande rötter. För att göra detta, ersätt de hittade rötterna i den ursprungliga ekvationen.

Överväg en annan.
2x+vx-3=0
Naturligtvis kan denna ekvation lösas med samma ekvation som den föregående. Överföringsföreningar ekvationer, som inte har en kvadratrot, till höger sida och använd sedan kvadratmetoden. lösa den resulterande rationella ekvationen och rötter. Men en annan, mer elegant. Ange en ny variabel; vx=y. Följaktligen kommer du att få en ekvation som 2y2+y-3=0. Det är den vanliga andragradsekvationen. Hitta dess rötter; y1=1 och y2=-3/2. Lös sedan två ekvationer vx=1; vx \u003d -3/2. Den andra ekvationen har inga rötter, från den första finner vi att x=1. Glöm inte behovet av att kontrollera rötterna.

Att lösa identiteter är ganska enkelt. Detta kräver att man gör identiska transformationer tills målet är nått. Således kommer uppgiften att lösas med hjälp av de enklaste aritmetiska operationerna.

Du kommer behöva

- papper;
- penna.

Instruktion

De enklaste sådana transformationerna är algebraiska förkortade multiplikationer (som summans kvadrat (skillnad), skillnaden av kvadrater, summan (skillnaden), kuben av summan (skillnaden)). Dessutom finns det många trigonometriska formler, som i huvudsak är samma identiteter.

Faktum är att kvadraten på summan av två termer är lika med kvadraten på det första plus två gånger produkten av det första och det andra plus kvadraten på det andra, det vill säga (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Förenkla båda

Allmänna principer för lösning

Upprepa från en lärobok om matematisk analys eller högre matematik, vilket är en bestämd integral. Som ni vet, lösningen bestämd integral det finns en funktion vars derivata ger en integrand. Denna funktion kallas antiderivata. Enligt denna princip konstrueras de grundläggande integralerna.
Bestäm med formen av integranden vilken av tabellintegralerna som är lämplig i detta fall. Det är inte alltid möjligt att fastställa detta omedelbart. Ofta blir tabellformen märkbar först efter flera transformationer för att förenkla integranden.

Variabel substitutionsmetod

Om integranden är trigonometrisk funktion, vars argument är något polynom, försök sedan använda variabelsubstitutionsmetoden. För att göra detta, ersätt polynomet i integrandens argument med någon ny variabel. Baserat på förhållandet mellan den nya och gamla variabeln, bestäm de nya gränserna för integration. Genom att differentiera detta uttryck, hitta en ny differential i . Så får du den nya sorten den förra integralen, nära eller till och med motsvarande vilken som helst i tabellform.

Lösning av integraler av det andra slaget

Om integralen är en integral av det andra slaget, vektorformen för integranden, måste du använda reglerna för att gå från dessa integraler till skalära. En sådan regel är förhållandet Ostrogradsky-Gauss. Denna lag gör det möjligt att övergå från rotorflödet för någon vektorfunktion till en trippelintegral över divergensen för ett givet vektorfält.

Substitution av integrationsgränser

Efter att ha hittat antiderivatet är det nödvändigt att ersätta integrationens gränser. Byt först ut värdet på den övre gränsen med uttrycket för antiderivatan. Du får ett nummer. Subtrahera sedan ett annat tal från det resulterande talet, den resulterande nedre gränsen till antiderivatan. Om en av integrationsgränserna är oändlig, byt ut den i antiderivatfunktion det är nödvändigt att gå till gränsen och hitta vad uttrycket tenderar mot.
Om integralen är tvådimensionell eller tredimensionell, måste du representera de geometriska gränserna för integration för att förstå hur man beräknar integralen. När allt kommer omkring, i fallet med, säg, en tredimensionell integral, kan integrationens gränser vara hela plan som begränsar volymen som ska integreras.

Lösning av logaritmiska ekvationer. Del 1.

Logaritmisk ekvation kallas en ekvation där det okända finns under logaritmens tecken (särskilt i basen av logaritmen).

Protozoer logaritmisk ekvation ser ut som:

Lösa alla logaritmiska ekvationer innebär övergången från logaritmer till uttryck under logaritmers tecken. Den här åtgärden utökar dock ekvationens giltiga värden och kan leda till uppkomsten av främmande rötter. För att undvika uppkomsten av främmande rötter du kan göra det på ett av tre sätt:

1. Gör en motsvarande övergång från den ursprungliga ekvationen till ett system inklusive

beroende på vilken ojämlikhet eller lättare.

Om ekvationen innehåller en okänd vid basen av logaritmen:

sedan går vi till systemet:

2. Hitta separat intervallet av tillåtna värden för ekvationen, lös sedan ekvationen och kontrollera om de hittade lösningarna uppfyller ekvationen.

3. Lös ekvationen och sedan gör en kontroll: ersätt de hittade lösningarna i den ursprungliga ekvationen och kontrollera om vi får rätt likhet.

En logaritmisk ekvation av vilken komplexitetsnivå som helst reduceras alltid så småningom till den enklaste logaritmiska ekvationen.

Alla logaritmiska ekvationer kan delas in i fyra typer:

1 . Ekvationer som innehåller logaritmer endast i första potens. Med hjälp av transformationer och användning reduceras de till formen

Exempel. Låt oss lösa ekvationen:

Jämför uttrycken under logaritmens tecken:

Låt oss kontrollera om vår rot av ekvationen uppfyller:

Ja, det tillfredsställer.

Svar: x=5

2 . Ekvationer som innehåller logaritmer till en annan potens än 1 (särskilt i nämnaren av ett bråk). Dessa ekvationer löses med hjälp av införa en förändring av variabel.

Exempel. Låt oss lösa ekvationen:

Låt oss hitta ODZ-ekvationen:

Ekvationen innehåller logaritmer i kvadrat, så den löses med en ändring av variabel.

Viktig! Innan du introducerar en ersättare måste du "dra" logaritmerna som är en del av ekvationen till "tegelstenar" med hjälp av logaritmernas egenskaper.

När du "drar" logaritmer är det viktigt att tillämpa logaritmers egenskaper mycket noggrant:

Dessutom finns det en mer subtil plats här, och för att undvika ett vanligt misstag kommer vi att använda en mellanliggande likhet: vi skriver graden av logaritmen i denna form:

Likaså,

Vi ersätter de erhållna uttrycken i den ursprungliga ekvationen. Vi får:

Nu ser vi att det okända finns i ekvationen som en del av . Vi introducerar ersättaren: . Eftersom det kan ta vilket verkligt värde som helst, lägger vi inga restriktioner på variabeln.

grundläggande egenskaper.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

samma grunder

log6 4 + log6 9.

Låt oss nu komplicera uppgiften lite.

Exempel på att lösa logaritmer

Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x >

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Övergång till ny stiftelse

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Se även:

Grundläggande egenskaper hos logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponenten är 2,718281828…. För att komma ihåg exponenten kan du studera regeln: exponenten är 2,7 och två gånger Leo Tolstojs födelseår.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Genom att känna till denna regel kommer du att veta både det exakta värdet på exponenten och Leo Tolstojs födelsedatum.

Exempel på logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 beräknar vi

4. var .

Exempel 2 Hitta x if

Exempel 3. Låt värdet på logaritmer anges

Beräkna log(x) if

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Notera: nyckelmoment här - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 − log2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log3 135 − log3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Baserat på detta faktum, många testpapper. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log7 496.

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren.

Formler för logaritmer. Logaritmer är exempel på lösningar.

De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log2 7. Eftersom log2 7 ≠ 0 kan vi minska bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma nummer?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att basen och argumentet för logaritmen kan bytas ut, men hela uttrycket "vänds om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls kan lösas förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Ja, vad händer om talet b höjs till en sådan grad att talet b i denna grad ger talet a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för att multiplicera potenser med samma bas, vi får:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

logaa = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
loga 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Se även:

Logaritmen för talet b till basen a betecknar uttrycket. Att beräkna logaritmen innebär att hitta en sådan potens x () vid vilken likheten är sann

Grundläggande egenskaper hos logaritmen

Ovanstående egenskaper måste vara kända, eftersom nästan alla problem och exempel på grundval av dem löses baserat på logaritmer. De återstående exotiska egenskaperna kan härledas genom matematiska manipulationer med dessa formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Vid beräkning av formlerna för summan och skillnaden av logaritmer (3.4) påträffas ganska ofta. Resten är något komplext, men i ett antal uppgifter är de oumbärliga för att förenkla komplexa uttryck och beräkna deras värden.

Vanliga fall av logaritmer

Några av de vanliga logaritmerna är de där basen till och med är tio, exponentiell eller deuce.
Bas tio logaritmen brukar kallas för bas tio logaritmen och betecknas helt enkelt lg(x).

Av journalen framgår att grunderna inte finns inskrivna i journalen. Till exempel

Den naturliga logaritmen är den logaritm vars grund är exponenten (betecknad ln(x)).

Exponenten är 2,718281828…. För att komma ihåg exponenten kan du studera regeln: exponenten är 2,7 och två gånger Leo Tolstojs födelseår. Genom att känna till denna regel kommer du att veta både det exakta värdet på exponenten och Leo Tolstojs födelsedatum.

Och en annan viktig bas två-logaritm är

Derivatan av funktionens logaritm är lika med en dividerad med variabeln

Integral- eller antiderivatlogaritmen bestäms av beroendet

Ovanstående material är tillräckligt för att du ska lösa en bred klass av problem relaterade till logaritmer och logaritmer. För att förstå materialet kommer jag bara att ge några vanliga exempel från Läroplanen och universitet.

Exempel på logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 beräknar vi

2.
Genom skillnadsegenskapen hos logaritmer har vi

3.
Med hjälp av egenskaper 3.5 hittar vi

4. var .

Utifrån utseendet sammansatt uttryck att använda en serie regler förenklas till formen

Hitta logaritmvärden

Exempel 2 Hitta x if

Lösning. För beräkningen tillämpar vi fastigheterna 5 och 13 fram till sista terminen

Ersättare i protokollet och sörja

Eftersom baserna är lika likställer vi uttrycken

Logaritmer. Första nivån.

Låt värdet på logaritmerna anges

Beräkna log(x) if

Lösning: Ta variabelns logaritm för att skriva logaritmen genom summan av termerna

Detta är bara början på bekantskapen med logaritmer och deras egenskaper. Öva beräkningar, berika dina praktiska färdigheter - du kommer snart att behöva de förvärvade kunskaperna för att lösa logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat de grundläggande metoderna för att lösa sådana ekvationer kommer vi att utöka dina kunskaper för ett annat lika viktigt ämne - logaritmiska ojämlikheter ...

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log6 4 + log6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 − log2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log3 135 − log3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Hur man löser logaritmer

Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log7 496.

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Övergång till ny stiftelse

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logax ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att basen och argumentet för logaritmen kan bytas ut, men hela uttrycket "vänds om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls kan lösas förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

logaa = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
loga 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

I den här lektionen kommer vi att upprepa de grundläggande teoretiska fakta om logaritmer och överväga lösningen av de enklaste logaritmiska ekvationerna.

Kom ihåg den centrala definitionen - definitionen av logaritmen. Det är relaterat till beslutet exponentiell ekvation. Denna ekvation har en enda rot, den kallas logaritmen av b till basen a:

Definition:

Logaritmen för talet b till basen a är exponenten till vilken basen a måste höjas för att få talet b.

Återkallelse grundläggande logaritmisk identitet.

Uttrycket (uttryck 1) är roten till ekvationen (uttryck 2). Vi ersätter värdet av x från uttryck 1 istället för x i uttryck 2 och vi får den grundläggande logaritmiska identiteten:

Så vi ser att varje värde tilldelas ett värde. Vi betecknar b för x (), c för y, och därmed får vi den logaritmiska funktionen:

Till exempel:

Kom ihåg de grundläggande egenskaperna hos den logaritmiska funktionen.

Låt oss återigen vara uppmärksamma här, för under logaritmen kan det finnas ett strikt positivt uttryck, som basen för logaritmen.

Ris. 1. Graf över logaritmfunktionen för olika baser

Grafen för funktionen vid visas i svart. Ris. 1. Om argumentet ökar från noll till oändlighet, ökar funktionen från minus till plus oändligt.

Grafen för funktionen vid visas i rött. Ris. ett.

Egenskaper för denna funktion:

Domän: ;

Värdeintervall: ;

Funktionen är monoton över hela sin definitionsdomän. För monotona (strikt) ökningar, större värde argument motsvarar det större värdet av funktionen. När monotont (strikt) minskar, motsvarar det större värdet av argumentet det mindre värdet på funktionen.

Egenskaperna för den logaritmiska funktionen är nyckeln till att lösa olika logaritmiska ekvationer.

Betrakta den enklaste logaritmiska ekvationen; alla andra logaritmiska ekvationer reduceras som regel till denna form.

Eftersom logaritmernas baser och själva logaritmerna är lika, är även funktionerna under logaritmen lika, men vi får inte tappa omfattningen. Endast ett positivt tal kan stå under logaritmen, vi har:

Vi fick reda på att funktionerna f och g är lika, så det räcker att välja vilken olikhet som helst för att följa ODZ.

Så vi fick blandat system, där det finns en ekvation och en olikhet:

Ojämlikhet är som regel inte nödvändigt att lösa, det räcker med att lösa ekvationen och ersätta de hittade rötterna i ojämlikheten och på så sätt utföra en kontroll.

Låt oss formulera en metod för att lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna:

Utjämna baserna för logaritmer;

Jämställa sublogaritmiska funktioner;

Kör en kontroll.

Låt oss överväga specifika exempel.

Exempel 1 - lös ekvationen:

Baserna för logaritmerna är initialt lika;