Hur man löser indikativa ekvationer med olika baser. Lösning av vägledande ekvationer. Exemplar

Utrustning:

en dator,
multimedia projektor,
skärm,
Bilaga 1(Bildpresentation i PowerPoint) "Metoder för att lösa vägledande ekvationer"
Bilaga 2. (Lösning av ekvationen av typ "Tre olika baser av grader" i Word)
Bilaga 3. (Distributionsmaterial i ord för praktiskt arbete).
Bilaga 4. (Distributionsmaterial i ord för läxor).

Under klasserna

1. Organisationsstadiet

meddelande ämnen Lesson (inspelad på brädet),
behovet av en generaliseringslektion i betyg 10-11:

Steg av utbildningsstudenter för aktiv inlärningskunskap

Upprepande

Definition.

En vägledande ekvation kallas en ekvation som innehåller en variabel i en indikator på examen (studenten besvaras).

Lärarens anmärkning. De vägledande ekvationerna hör till klassen av transcendentliga ekvationer. Detta svåra fungerande namn tyder på att sådana ekvationer i allmänhet inte löses som en formel.

De kan bara lösas med ungefär numeriska metoder på datorer. Men vad sägs om undersökningsuppgifterna? Allt trick är att examinator är den här uppgiften att det bara medger en analytisk lösning. Med andra ord kan du (och måste!) Gör sådana identiska omvandlingar som minskar denna vägledande ekvation till den enklaste indikativa ekvationen. Detta är den enklaste ekvationen så kallad: den enklaste vägledande ekvationen. Det är löst logaritkming.

Situationen med lösningen av den vägledande ekvationen liknar en resa genom en labyrint, som är speciellt uppfunnit av kompilatorn av uppgiften. Av dessa mycket vanliga resonemang finns det ganska konkreta rekommendationer.

För att framgångsrikt lösa de vägledande ekvationerna är det nödvändigt:

1. Inte bara aktivt känna alla demonstrationsidentiteter, men också för att hitta många variabla värden som dessa identiteter bestäms att vid användning av dessa identiteter, inte förvärva extra rötter, och ännu mer, förlorar inte lösningar av ekvationen.

2. Känn aktivt alla demonstrationsidentiteter.

3. Tydligen, i detalj och utan fel att göra matematiska omvandlingar av ekvationer (för att överföra komponenterna från en del av ekvationen till en annan, utan att glömma överskiftet, leda till den allmänna nämnaren av fraktionen och liknande) . Detta kallas matematisk kultur. Samtidigt bör beräkningarna själva göras automatiskt med händerna, och huvudet bör tänka på lösningens övergripande spårningsgänga. Att göra omvandlingar bör vara så nära som möjligt och mer. Endast detta kommer att ge en garanti för den rätta otvetydiga lösningen. Och kom ihåg: Ett litet aritmetiskt fel kan helt enkelt skapa en transcendental ekvation, som i princip inte löses analytiskt. Det visar sig, du kom av vägen och vilade i labyrintens vägg.

4. Känn metoder för att lösa problem (det vill säga känna alla sätt att passera labyrintlösningen). För korrekt orientering i varje steg kommer du att ha (medvetet eller intuitivt!):

bestämma typ av ekvation;
kom ihåg motsvarande typ beslutsmetod uppgifter.

Steg av generalisering och systematisering av det studerade materialet.

En lärare, tillsammans med studenter med en dators engagemang, en översyn av alla typer av vägledande ekvationer och metoder för deras lösning, utförs ett generellt system. (Begagnade träningsdatorprogram L.YA. BOREVSKY "Matematikkurs - 2000", författaren till presentationen i PowerPoint - så kallad. Motversova.)

Fikon. ett.Figuren visar det allmänna diagrammet för alla typer av vägledande ekvationer.

Som framgår av detta system är strategin för att lösa de vägledande ekvationerna att föra denna vägledande ekvation till ekvationen, först och främst, med samma baser av grader och sedan - och med samma indikatorer på grader.

Efter att ha mottagit ekvationen med samma baser och indikatorer i grader ersätter du denna grad till en ny variabel och får en enkel algebraisk ekvation (vanligtvis fraktionerad rationell eller kvadrat) i förhållande till den här nya variabeln.

Genom att bestämma denna ekvation och göra en ersättare, kommer du som ett resultat till aggregatet av de enklaste demonstrationens ekvationer som är löst i allmänhet med hjälp av logaritmering.

Ekvationerna är belägna, där endast verk (privata) grader hittas. Genom att utnyttja de vägledande identiteterna lyckas dessa ekvationer ta omedelbart till en bas, särskilt till den enklaste indikativa ekvationen.

Tänk på hur den vägledande ekvationen löses med tre olika baser av grader.

(Om läraren har ett träningsdatorprogram L.YA. BOREVSKY "Matematik - 2000-kurs, arbetar vi naturligtvis med en disk om inte - du kan göra en utskrift av denna typ av ekvation från den, som presenteras nedan.)

Fikon. 2. Lösningsplanen för ekvationen.

Fikon. 3. Början av lösningen av ekvationen

Fikon. fyra. Eliminering av lösningen av ekvationen.

Utför praktiskt arbete

Bestäm typ av ekvation och lösa den.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Summera upp lektionen

Installera uppskattningar för lektionen.

Lektionens slut

För lärare

Diagram över svar på praktiskt arbete.

Uppgiften: Från listan över ekvationer, välj ekvationerna för den angivna typen (№ svar på bordet):

Tre olika baser av grader
Två olika baser - olika indikatorer i examen
Grunden för grader - graden av ett nummer
Samma baser - olika indikatorer på grader
Samma baser av grader - samma indikatorer i grader
Graden av grader
Två olika baser av grader - samma indikatorer
De enklaste vägledande ekvationerna

1. (Grad av grader)

2. (Samma stiftelser är olika indikatorer på grader)

Denna lektion är utformad för dem som bara börjar studera de vägledande ekvationerna. Så alltid, låt oss börja med definitionen och enklaste exempel.

Om du läser den här lektionen misstänker jag att du redan har åtminstone en minsta idé om de enklaste ekvationerna - linjär och kvadrat: $ 56x-11 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, etc. För att kunna lösa sådana strukturer är absolut nödvändiga för att inte "hänga" i ämnet som vi pratar om.

Så de vägledande ekvationerna. Omedelbart kommer jag att ge ett par exempel:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Några av dem kan verka mer komplexa, vissa - tvärtom, för enkelt. Men alla kombinerar en viktig funktion: i sina poster finns det en vägledande funktion $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d ((a) ^ (x)) $. Således introducerar vi definitionen:

Den vägledande ekvationen är vilken ekvation som helst som innehåller en vägledande funktion, d.v.s. Uttryck av typen $ ((a) ^ (x)) $. Förutom denna funktion kan sådana ekvationer innehålla andra algebraiska mönster - polynomier, rötter, trigonometri, logaritmer, etc.

Jaja. Definierat räknat ut. Nu är frågan: hur man löser allt detta skit? Svaret är samtidigt enkelt och komplicerat.

Låt oss börja med goda nyheter: I din egen erfarenhet kan klasser med många studenter jag säga att de flesta är vägledande ekvationer är mycket enklare än samma logaritmer och ju mer trigonometri.

Men det finns också dåliga nyheter: Ibland finns det "inspiration" -uppgifter för alla typer av läroböcker och tentor, och deras inflammerade hjärna börjar utfärda sådana brutala ekvationer att det blir problematiskt inte bara för studenterna - även många lärare håller sig till sådana uppgifter.

Vi kommer emellertid inte handla om ledsen. Och tillbaka till de tre ekvationerna som presenterades i början av berättelsen. Låt oss försöka lösa var och en av dem.

Den första ekvationen: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. Tja, vilken utsträckning du behöver bygga ett nummer 2 för att få nummer 4? Förmodligen i det andra? Trots allt $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - och vi fick den rätta numeriska jämlikheten, d.v.s. verkligen $ x \u003d $ 2. Tja, tack, men den här ekvationen var så enkelt att jag ens skulle lösa min katt. :)

Låt oss titta på följande ekvation:

\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]

Och här är redan lite svårare. Många studenter vet att $ ((5) ^ (2)) \u003d $ 25 är ett multiplikationstabell. Vissa misstänker också att $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ är i huvudsak definitionen av negativa grader (analogt med $ formel ((a) ^ (- n)) \u003d \\ Frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Slutligen gissar bara favoriterna att dessa fakta kan kombineras och vid utgången för att få följande resultat:

\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Således kommer vår första ekvation att skriva om enligt följande:

\\ [(((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Sightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Men det här är redan ganska löst! Till vänster i ekvationen finns en vägledande funktion, rätten i ekvationen är den vägledande funktionen, inget annat än de är inte längre någonstans. Följaktligen är det möjligt att "kassera" grunden och dumt jämföra indikatorerna:

Fick den enklaste linjära ekvationen, som någon elev bestämmer bokstavligen i ett par linjer. Tja, i fyra linjer:

\\ [\\ inbegripa (justera) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\ ände (justera) \\]

Om du inte förstår vad som nu hände i de sista fyra linjerna - var noga med att återvända till ämnet "Linjära ekvationer" och upprepa det. För att utan en tydlig assimilering av detta ämne är det för tidigt för de vägledande ekvationerna.

\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Tja, hur man löser det här? Den första tanken: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d (((3) ^ (2)) $, så den ursprungliga ekvationen kan omskrivas så:

\\ [((\\ vänster (((3) ^ (2)) \\ höger)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]

Därefter kommer du ihåg att när graden höjs i graden är indikatorerna variabla:

\\ [((\\ vänster (((3) ^ (2)) \\ höger)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ righarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]

\\ [\\ inbegripa (justera) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ slutet (justera) \\]

Och här för ett sådant beslut kommer vi att bli ärligt förtjänt två. För vi med lugn av Pokemon skickade ett "minus" -tecken, mot de tre bästa, till grund av denna trojkas. Och det är det omöjligt. Och det är varför. Ta en titt på olika grader av trojkan:

\\ [\\ Börja (matris) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) (2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 5 (3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ ( \\ Frac (1) (3))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d \\ frac (1) (27) & ((3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ slutet (matris) \\]

Genom att göra detta tecken var jag bara inte perverterat: och ansåg positiva grader, och negativa, och till och med fraktionella ... så var är minst ett negativt tal? Hans inte! Och kan inte bero på att den vägledande funktionen är $ y \u003d (((a) ^ (x)) $, först tar alltid bara positiva värden (hur många enheter inte multiplicerar eller inte levereras till en två gånger - det kommer fortfarande Var ett positivt tal), och för det andra är grunden för en sådan funktion nummer $ a $ - per definition är ett positivt tal!

Tja, hur då för att lösa ekvationen $ ((9) ^ (x)) \u003d - $ 3? Men på något sätt: det finns inga rötter. Och i den meningen är de vägledande ekvationerna mycket lik torget - det kan inte heller vara rötter. Men om i kvadratiska ekvationer bestäms antalet rötter av diskrimineringen (diskriminering positivt - 2 rötter, negativa - inga rötter), då beror allt på vad som är värt rätten till jämställdhetsskylt.

Således formulerar vi nyckeln till den enklaste indikativa ekvationen av typen $ ((a) ^ (x)) \u003d B $ har en rot då och endast om $ b\u003e $ 0. Att veta detta enkla faktum kan du enkelt bestämma: det finns en rotekvation som föreslås för dig eller inte. De där. Är det värt att lösa det eller omedelbart skriva ner det finns inga rötter.

Denna kunskap kommer fortfarande upprepade gånger att hjälpa oss när du måste lösa mer komplexa uppgifter. Under tiden är texterna tillräckligt - det är dags att studera huvudalgoritmen för att lösa vägledande ekvationer.

Hur man löser exponentiella ekvationer

Så, vi formulerar uppgiften. Det är nödvändigt att lösa den vägledande ekvationen:

\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b\u003e 0 \\]

Enligt den "naiva" algoritmen, genom vilken vi har tidigare, är det nödvändigt att presentera nummer $ B $ som graden av $ A $:

Dessutom, om det kommer att finnas något uttryck i stället för $ X $ -variabeln får vi en ny ekvation som redan kan lösas. Till exempel:

\\ [\\ BEGINN (Justera) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Sightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ sagarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ righarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ righarrow -x \u003d 4 \\ righarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ righarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ sagarrow 2x \u003d 3 \\ sagarrow x \u003d \\ frac (3) (3) 2). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Och konstigt nog, detta system arbetar med cirka 90% av fallen. Och sedan med resten av 10%? De återstående 10% är lite "schizofrena" indikativa ekvationer i formen:

\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]

Tja, vilken utsträckning du behöver bygga 2 för att få 3? Först? Och här är inte: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - inte tillräckligt. På sekunden? Det finns också nej: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - lite för mycket. Och där då?

Att veta studenterna har redan gissat: i sådana fall, när "vackert" inte kan lösas, är "tunga artilleri" - logaritmer anslutna. Låt mig påminna dig om att med hjälp av logaritmer kan något positivt tal representeras som en grad av något annat positivt tal (förutom en):

Kom ihåg den här formeln? När jag berättar för mina elever om logaritmen varnar jag alltid den: den här formeln (det är den viktigaste logaritmiska identiteten eller, om du vill, definitionen av logaritm) ska jaga den under en mycket lång tid och "dyka upp" i det mesta oväntade platser. Jo, hon dyker upp. Låt oss titta på vår ekvation och för denna formel:

\\ [\\ Börja (justera) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ b)) a)) \\\\\\ ände (justera) \\]

Om vi \u200b\u200bantar att $ a \u003d $ 3 är vårt ursprungliga nummer, vilket är värt rätt, och $ b \u003d 2 $ är den mest basen av den vägledande funktionen som vi vill ta med den högra delen så att vi får följande:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & a \u003d (b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ sagarrow 3 \u003d (((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ rightrow ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ righarrow x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Fick ett litet konstigt svar: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) $ 3. I någon annan uppgift skulle många skratta i ett sådant svar och började kontrollera sin lösning: plötsligt var det ett misstag någonstans? Jag skyndar på att omvandla dig: inget fel är inte här, och logaritmen i de vägledande ekvationerna är en helt typisk situation. Så bli van vid. :)

Nu bestämmer vi oss av analogi av de återstående två ekvationerna:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Sightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Sagarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ sagarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ righarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt! Förresten kan det sista svaret skrivas annars:

Detta gjorde vi en multiplikator till loggarmens argument. Men ingen hindrar oss från att göra den här multiplikatorn till marken:

I det här fallet är alla tre alternativen korrekta - det här är helt enkelt olika former av inspelning av samma nummer. Vilken man väljer och skriver ner i det aktuella beslutet - att bara lösa dig.

Således lärde vi oss hur man löser några indikativa ekvationer av typen $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, där siffrorna $ a $ och $ b $ är strängt positiva. Men den hårda verkligheten i vår värld är sådan att sådana enkla uppgifter kommer att träffa dig väldigt och mycket sällan. Mycket oftare kommer du att stöta på något så här:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Tja, hur man löser det här? Är det möjligt att lösa? Och i så fall, hur?

Utan panik. Alla dessa ekvationer snabbt och enkelt minskar de enkla formlerna som vi redan har beaktat. Behöver bara veta ett par tekniker från Algebra. Och naturligtvis är här ingenstans utan regler för att arbeta med grader. Om detta kommer jag att berätta för dig nu. :)

Transformation av vägledande ekvationer

Det första som kommer ihåg är: Varje vägledande ekvation, oavsett hur svårt det ändå, bör minskas till de enklaste ekvationerna - därmed har vi redan övervägt och som vi vet hur man löser. Med andra ord är systemet att lösa någon vägledande ekvation som följer:

Registrera källekvationen. Till exempel: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
Göra lite oförståelig skit. Eller till och med några hästar, som kallas "konvertera ekvation";
Vid utgången för att erhålla de enklaste uttrycken av typen $ ((4) ^ (x)) \u003d $ 4 eller något annat i denna ande. Dessutom kan en initial ekvation ge flera sådana uttryck samtidigt.

Med det första objektet är allt klart - även min katt kommer att kunna spela in ekvationen på bladet. Med den tredje punkten verkar det mer eller mindre klart - vi har redan stötte sådana ekvationer.

Men hur man är med det andra objektet? Vilken typ av omvandling? Vad ska man konvertera i? Och hur?

Tja, låt oss förstå. Först och främst noterar jag följande. Alla vägledande ekvationer är uppdelade i två typer:

Ekvationen består av vägledande funktioner med samma bas. Exempel: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
Formeln har demonstrationsfunktioner med olika baser. Exempel: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ och $ ((100) ^ (x-1) ) \\ Cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 $.

Låt oss börja med ekvationerna för den första typen - de löses det enklaste. Och i deras lösning kommer vi att hjälpa en sådan mottagning som fördelningen av hållbara uttryck.

Tilldelning av ett stabilt uttryck

Låt oss titta på den här ekvationen igen:

\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]

Vad ser vi? Fourthkee är uppbyggd i olika grader. Men alla dessa grader är de enkla mängderna av $ X $ -variabeln med andra nummer. Därför är det nödvändigt att återkalla reglerna för att arbeta med grader:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot (a) ^ (y)); \\\\ & (a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) ((() ^ (y))). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Enkelt uttryckt kan tillägget av indikatorer omvandlas till graden av grader, och subtraktionen omvandlas enkelt till division. Låt oss försöka tillämpa dessa formler till grader från vår ekvation:

\\ [\\ Börja (justera) & ((4) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ · ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ \\\\ ände (justera) \\]

Jag skriver om den ursprungliga ekvationen, med hänsyn till detta faktum och samlar sedan alla komponenter till vänster:

\\ [\\ Börja (justera) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -elva; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

I de första fyra komponenterna finns ett element $ ((4) ^ (x)) $ - Jag kommer att ta med det för konsolen:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ vänster (1 + frac (1) (4) -4 \\ höger) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (11) (4) \\ höger) \u003d - 11. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det återstår att dela båda delar av ekvationen för fraktionen av $ - frac (11) (4) $, dvs. I huvudsak multiplicera till Overtook-fraktionen - $ - \\ frac (4) (11) $. Vi får:

\\ [\\ Börja (justera) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (11) (4) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (4) (11) \\ höger ) \u003d - 11 \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (4) (11) \\ höger); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt! Vi minskade den första ekvationen till det enklaste och fick det sista svaret.

Samtidigt, i processen med lösningar, fann vi (och till och med utförd för konsolen) den totala multiplikatorn $ ((4) ^ (x)) är ett stabilt uttryck. Det kan betecknas med en ny variabel, och du kan helt enkelt uttrycka och få svaret. I vilket fall som helst, den viktigaste principen om att lösa följande:

Hitta ett stabilt uttryck i källekvationen som innehåller en variabel som enkelt markeras från alla de vägledande funktionerna.

Den goda nyheten är att nästan varje vägledande ekvation möjliggör fördelningen av ett sådant stabilt uttryck.

Men det finns dåliga nyheter: Sådana uttryck kan vara mycket listiga, och det är ganska svårt att fördela dem. Därför kommer vi att analysera en annan uppgift:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x - 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]

Kanske har någon nu en fråga: "Pasha, vad visste du? Här, olika baser - 5 och 0,2 ". Men låt oss försöka konvertera en examen med en bas på 0,2. Till exempel, bli av med decimalfraktioner, vilket ger det normalt:

\\ [((0,2) ^ (- x - 1)) \u003d (((0,2) ^ (- vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (2) (10) \\ höger )) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \\]

Som du kan se, uppvisade numret 5 trots allt, låt det både i denominatorn. Samtidigt ompröva indikatorn i form av en negativ. Och nu kommer jag ihåg en av de viktigaste reglerna för att arbeta med grader:

\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Sightarrow ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ ( - \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (5) (1) \\ höger)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Anklagelse

Här rusade jag självklart. Eftersom för en fullständig förståelse av formeln av befrielse från negativa indikatorer var det nödvändigt att spela in så här:

\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (1) (a) \\ höger)) ^ (n )) \\ Righterrow ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (5) (1) \\ Höger)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

Å andra sidan hindrade ingenting att vi skulle arbeta med ett skott:

\\ [((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (((5) ^ (- 1)) \\ Höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((5) ^ (\\ vänster (-1 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (- \\ vänster (x + 1 \\ höger) \\ höger) )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]

Men i det här fallet måste du kunna upprepa en examen i en annan grad (påminna dig: Indikatorerna är vikta). Men jag behövde inte "vända" fraktionerna - kanske för någon det blir lättare. :)

I alla fall kommer den ursprungliga vägledande ekvationen att omskrivas som:

\\ [\\ Börja (justera) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot (5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Så det visar sig att den ursprungliga ekvationen är ännu enklare än den tidigare anses: det är inte nödvändigt att fördela ett stadigt uttryck - allting själv har minskat. Det är bara att återkalla att $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, varifrån vi får:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt beslut! Vi fick det sista svaret: $ x \u003d -2 $. Samtidigt vill jag notera en mottagning, vilket i stort sett förenklade oss alla beräkningar:

I de nedre ekvationerna, var noga med att bli av med decimalfraktioner, översätta dem till vanliga. Detta gör att du kan se samma grund för grader och kommer att väsentligt förenkla beslutet.

Låt oss nu vända oss till mer komplexa ekvationer där det finns olika fundament som inte alls är reducerade till varandra med hjälp av grader.

Använd egenskaperna för grader

Låt mig påminna dig om att vi har två mer speciellt hårda ekvationer:

\\ [\\ Börja (justera) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Huvudsvårigheten här är inte klart vad man ska ta med till vilken grund. Var är de stabila uttrycken? Var är samma stiftelser? Det finns inget behov av det.

Men låt oss försöka gå till ett annat sätt. Om det inte finns några färdiga värden kan du försöka hitta, lägga ut orsakerna till multiplikatorerna.

Låt oss börja med den första ekvationen:

\\ [\\ Börja (justera) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ sagarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ vänster (7 \\ cdot 3 \\ höger)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ CDOT ((3) ^ (3x)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Men trots allt kan du fortsätta - sminka från nummer 7 och 3 nummer 21. Särskilt det är lätt att göra till vänster, eftersom indikatorerna och båda graderna är desamma:

\\ [\\ Börja (justera) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ vänster (7 \\ cdot 3 \\ höger)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt! Du gjorde en indikator på graden utanför arbetet och fick omedelbart en vacker ekvation, som löses i ett par linjer.

Nu kommer vi att hantera den andra ekvationen. Allt är mycket svårare här:

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]

\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ vänster (\\ frac (27) (10) \\ höger)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]

I detta fall var fraktionerna bortkotiserade, men om något kunde minskas - var noga med att minska. Ofta kommer det på samma sätt intressanta grunder som du redan kan arbeta.

Också, tyvärr uppträdde ingenting verkligen. Men vi ser att indikatorerna på grader som står i arbetet till vänster är motsatta:

Låt mig påminna dig: att bli av med "minus" -tecknet i indikatorn, det är tillräckligt för att "vända" fraktionen. Tja, skriv om den ursprungliga ekvationen:

\\ [\\ Börja (justera) & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ vänster (\\ frac (10) (27) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9 ) (100); \\\\ \\ (\\ vänster (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ vänster (\\ frac (1000) (27) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ slutet (justera) \\]

I den andra raden utförde vi helt enkelt en allmän siffra från arbetet för en konsol enligt regeln $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d (((vänster (a \\ cdot b \\ höger)) ^ (x)) $, och i sistnämnda multiplicerade bara nummer 100 med fraktion.

Nu noterar vi att siffrorna står till vänster (vid basen) och till höger, är lika. Än? Ja, självklart: de är grader av samma nummer! Vi har:

\\ [\\ inbegripa (justera) \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10 ) (3) \\ höger)) ^ (3)); \\\\ \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (3) (10) \\ Höger)) ^ (2)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Således kommer vår ekvation att skriva om enligt följande:

\\ [((\\ vänster ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3)) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (3) (10) \\ höger) ^ (2)) \\]

\\ [((\\ vänster (((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3)) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10 ) (3) \\ höger)) ^ (3 \\ vänster (x - 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3x-3)) \\]

Samtidigt kan du också få en examen med samma grund, för vilken det är tillräckligt att "vända" fraktionen:

\\ [(((\\ vänster (\\ frac (3) (10) \\ höger)) ^ (2)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (- 2)) \\]

Slutligen kommer vår ekvation att ta formuläret:

\\ [\\ Börja (justera) & ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är hela beslutet. Hans huvudidé är reducerad till det faktum att vi även på olika skäl försöker av alla sanningar och inkonsekvenser för att minska dessa skäl för detsamma. Detta bidrar till grundläggande omvandlingar av ekvationer och regler för arbete med grader.

Men vad är reglerna och när du ska använda? Hur man förstår det i en ekvation måste du dela båda sidor för något, och i det andra - att lägga grunden för den vägledande funktionen på multiplikatorerna?

Svaret på denna fråga kommer med erfarenhet. Försök med din hand först på vanliga ekvationer, och sedan gradvis komplicera uppgifterna - och snart kommer dina färdigheter att räcka för att lösa någon vägledande ekvation från samma användning eller något oberoende / testarbete.

Och för att hjälpa dig i den här tiden, föreslår jag att ladda ner en uppsättning ekvationer för en oberoende lösning på min webbplats. Till alla ekvationer finns det svar, så du kan alltid kolla dig själv.

Föreläsning: "Metoder för att lösa vägledande ekvationer."

1 . Vägledande ekvationer.

Ekvationer som innehåller okända personer kallas vägledande ekvationer. Det enklaste av dem är ekvationen AX \u003d B, där A\u003e 0 och ≠ 1.

1) vid b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Vid b\u003e 0 med hjälp av monotoni av funktionen och teoret på roten har ekvationen den enda roten. För att hitta den är det nödvändigt att representera i formuläret b \u003d ax, ax \u003d bc ó x \u003d c eller x \u003d logab.

Vägledande ekvationer från algebraiska transformationer leder till standardekvationer som löses med följande metoder:

1) Metoden att tillföra en bas;

2) Bedömningsmetoden;

3) Grafisk metod;

4) Metoden för att introducera nya variabler;

5) Metoden för sönderdelning av multiplikatorer;

6) signifikant - kraftekvationer;

7) som indikerar med parametern.

2 . Metoden att föra till en bas.

Metoden är baserad på följande egenskap av grader: Om två grader är lika och deras baser är lika, är deras indikatorer lika, dvs ekvationen måste försökas att minska formuläret

Exempel. Lös ekvation:

1 . 3x \u003d 81;

Föreställ dig den högra sidan av ekvationen i formen 81 \u003d 34 och montera ekvationen, vilket motsvarar det ursprungliga 3 x \u003d 34; x \u003d 4. Svara: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "Bredd \u003d" 52 "Höjd \u003d" 49 "\u003e och fortsätt till ekvationen för indikatorerna på 3x + 1 \u003d 3 - 5x; 8x \u003d 4; x \u003d 0,5. Svar: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "Bredd \u003d" 105 "Höjd \u003d" 47 "\u003e

Observera att siffrorna 0,2, 0,04, √5 och 25 är graden av nummer 5. Vi använder detta och omvandlar den ursprungliga ekvationen enligt följande:

, varifrån 5-x-1 \u003d 5-2x-2 ó - x - 1 \u003d - 2x - 2, från vilken vi hittar lösningen x \u003d -1. Svar: -1.

5. 3x \u003d 5. Genom definition av logaritm x \u003d log35. Svar: Log35.

6. 62x + 4 \u003d 33x. 2x + 8.

Jag skriver om ekvationen i form av 32x + 4.22x + 4 \u003d 32x.2x + 8, t. E..png "Bredd \u003d" 181 "Höjd \u003d" 49 src \u003d "\u003e Härifrån x - 4 \u003d 0, x \u003d 4. Svar: fyra.

7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x \u003d 9. Använd egenskaperna i grader, skriv ekvationen i formuläret 6 ∙ 3x - 2 ∙ 3x - 3x \u003d 9 nästa 3 ∙ 3x \u003d 9, 3x + 1 \u003d 32, t. E. X + 1 \u003d 2, x \u003d 1. Svar: 1.

Bank av uppgifter nummer 1.

Lös ekvation:

Test nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 \u003d √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3.	1) 3; 1 2) -3; -1 3) 0; 2 4) Inga rötter
	1) 7; 1 2) Inga rötter 3) -7; 1 4) -1; -7
A5.	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6.	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test nummer 2.

A1.	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2.	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3.	1) 2; -1 2) Inga rötter 3) 0 4) -2; 1
A4.	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5.	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Utvärderingsmetod.

Rotteorem: Om funktionen f (x) ökar (minskar) vid intervallet I, är numret A -unotvärde mottaget av F vid detta gap, då ekvationen F (X) \u003d A har den enda roten vid intervallet I.

Vid lösning av ekvationer används denna teorem och egenskaperna hos funktionen monotonicitet.

Exempel. Lös ekvationer: 1. 4x \u003d 5 - x.

Beslut. Jag skriver om ekvationen i formuläret 4x + x \u003d 5.

1. Om x \u003d 1, då är 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 sant, det betyder 1 - ekvationens rot.

Funktionen f (x) \u003d 4x - ökar på r och g (x) \u003d x-inventerar på r \u003d\u003e h (x) \u003d f (x) + g (x) ökar på r, som summan av ökande funktioner , sedan x \u003d 1 - den enda roten av ekvation 4x \u003d 5 - x. Svar: 1.

Beslut. Skriv om ekvationen i formuläret .

1. Om x \u003d -1, då , 3 \u003d 3: e, det betyder x \u003d -1 - ekvationens rot.

2. Vi bevisar att han är den enda.

3. Funktionen f (x) \u003d - minskar på r och g (x) \u003d - x - minskar på r \u003d\u003e h (x) \u003d f (x) + g (x) - minskar på R, som summan av minskande funktioner. Därför är rotteoret, x \u003d -1 den enda roten till ekvationen. Svar: -1.

Bank av uppgifter nummer 2. Lösning ekvation

a) 4x + 1 \u003d 6 - x;

c) 2x - 2 \u003d 1 - x;

4. Metod för att introducera nya variabler.

Metoden beskrivs i punkt 2.1. Införandet av en ny variabel (substitution) görs vanligtvis efter transformations (förenkling) av ekvationsmedlemmarna. Tänk på exempel.

Exempel. Rstick ekvation: 1. .

Jag skriver om ekvationen annars: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "Bredd \u003d" 128 "Höjd \u003d" 48 src \u003d "\u003e t. E..png" Bredd \u003d "210 "Höjd \u003d" 45 "\u003e

Beslut. Jag skriver om ekvationen annars:

Beteckna https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "Bredd \u003d" 245 "Höjd \u003d" 57 "\u003e är inte lämplig.

t \u003d 4 \u003d\u003e https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "Bredd \u003d" 268 "Höjd \u003d" 51 "\u003e - Irrusation Equation. Vi noterar det

Genom att lösa är ekvationen x \u003d 2,5 ≤ 4, det betyder 2,5 - ekvationens rot. Svar: 2,5.

Beslut. Vi skriver om ekvationen i form och splittrade det båda delarna med 56x + 6 ≠ 0. Vi får ekvationen

2x2-6x-7 \u003d 2x2-6x-8 +1 \u003d 2 (x2-3x-4) +1, t..png "Bredd \u003d" 118 "Höjd \u003d" 56 "\u003e

Rötter av den kvadratiska ekvationen - T1 \u003d 1 och T2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Beslut . Skriv om ekvationen i formuläret

och vi noterar att det är en homogen ekvation i andra graden.

Vi delar upp 42x ekvationen, vi får

Byt https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "Bredd \u003d" 16 "Höjd \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Svar: 0; 0,5.

Bankuppgifter nummer 3. Lösning ekvation

Test nummer 3. Med valet av svar. Miniminivå.

A1.	1) -0,2; 2 2) log52 3) -log52 4) 2
A2 0,52x - 3 0,5x +2 \u003d 0.	1) 2; 1 2) -1; 0 3) Inga rötter 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52X-5X - 600 \u003d 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) Inga rötter 2) 2; 4 3) 3 4) -1; 2

Test nummer 4. Med valet av svar. Gemensam nivå.

A1.	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
A2 2X - (0,5) 2x - (0,5) x + 1 \u003d 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5.	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) Inga rötter

5. Metod för sönderdelning på multiplikatorer.

1. Bestäm ekvation: 5x + 1 - 5x-1 \u003d 24.

Lösning..png "Bredd \u003d" 169 "Höjd \u003d" 69 "\u003e, varifrån

2. 6x + 6x + 1 \u003d 2x + 2x + 1 + 2x + 2.

Beslut. Jag skickar in för parentes på vänster sida av 6x ekvation, och i rätt del - 2x. Vi får ekvation 6X (1 + 6) \u003d 2x (1 + 2 + 4) Ó 6x \u003d 2x.

Sedan 2x\u003e 0 för alla X kan båda delarna av denna ekvation divideras med 2x, utan rädsla för förlust av lösningar. Vi får 3x \u003d 1Ó x \u003d 0.

Beslut. Jag löser ekvationen genom sönderdelning av multiplikatorer.

Vi markerar torget av bounceren

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "Bredd \u003d" 500 "Höjd \u003d" 181 "\u003e

x \u003d -2 - Roten av ekvationen.

Ekvation x + 1 \u003d 0 "Style \u003d" Border-Collapse: Collapse; Border: None "\u003e

A1 5X-1 + 5x -5X + 1 \u003d -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3X + 1 + 3x-1 \u003d 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1 -108 \u003d 0. x \u003d 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2X-4 \u003d 15. x \u003d 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test nr 6. Gemensam nivå.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) \u003d 7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2.	1) 2,5 2) 3; 4 3) Log43 / 2 4) 0
A3 2X-1-3X \u003d 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4.	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5.	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Kontrollera - kraftekvationer.

De vägledande ekvationerna är intill de så kallade signifikanta effektekvationerna, dvs ekvationerna i formen (f (x)) g (x) \u003d (f (x)) h (x).

Om det är känt att f (x)\u003e 0 och f (x) ≠ 1, löses ekvationen, som indikativ, genom att jämföra indikatorerna G (x) \u003d f (x).

Om tillståndet inte överstiger möjligheten att f (x) \u003d 0 och f (x) \u003d 1, är det nödvändigt att överväga dessa fall vid lösning av en vägledande - effektekvation.

1..PNG "Bredd \u003d" 182 "Höjd \u003d" 116 src \u003d "\u003e

Beslut. x2 + 2x-8 - det är vettigt vid någon X, eftersom det polynomiella organet ekvation är ekvivalent med totaliteten

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "Bredd \u003d" 137 "Höjd \u003d" 35 "\u003e

7. Vägledande ekvationer med parametrar.

1. Vid vilka värden av parametern P, ekvation 4 (5 - 3) 2 + 4p2-3p \u003d 0 (1) har en enda lösning?

Beslut. Vi introducerar ersättaren 2x \u003d t, t\u003e 0, då kommer ekvationen (1) att ta formen T2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p \u003d 0. (2)

Diskriminerande ekvation (2) d \u003d (5p - 3) 2 - 4 (4p2 - 3p) \u003d 9 (p - 1) 2.

Ekvation (1) har en enda lösning om ekvation (2) har en positiv rot. Detta är möjligt i följande fall.

1. Om d \u003d 0, det vill säga p \u003d 1, kommer ekvationen (2) att ta formen T2-2T + 1 \u003d 0, följaktligen t \u003d 1, därför har ekvation (1) en enda lösning x \u003d 0 .

2. Om p1, då 9 (p - 1) 2\u003e 0, har ekvation (2) två olika rötter t1 \u003d p, t2 \u003d 4p - 3. Problemet med problemet uppfyller uppsättningen system

Att ersätta T1 och T2 i systemet, vi har

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt \u003d" (! Lang: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Beslut. Låt vara därefter kommer ekvation (3) att ta typ T2-6T - A \u003d 0. (4)

Hitta parametern A-värden av A, vid vilken åtminstone en rot av ekvation (4) uppfyller villkoret t\u003e 0.

Vi introducerar funktionen f (t) \u003d t2 - 6t - a. Följande fall är möjliga.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Ekvation (4) har ett enda positivt beslut om

D \u003d 0, om A \u003d - 9, då kommer ekvationen (4) att ta formen (t - 3) 2 \u003d 0, t \u003d 3, x \u003d - 1.

Fall 3. Ekvation (4) har två rötter, men en av dem uppfyller inte ojämlikheten T\u003e 0. Detta är möjligt om

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt \u003d" (! Lang: no35_17" width="267" height="63">!}

Således har ekvation (4) en enda positiv rot . Därefter har ekvation (3) en enda lösning

Med en.< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

om en.< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
om a \u003d - 9, då x \u003d - 1;

om en  0, då

Jämför metoder för att lösa ekvationer (1) och (3). Observera att när det löses, reducerades ekvation (1) till en fyrkantig ekvation, vars diskriminering är en full kvadrat; Således beräknas rötterna av ekvation (2) omedelbart med formeln av rötterna av den kvadratiska ekvationen, och sedan gjordes slutsatser i förhållande till dessa rötter. Ekvation (3) reducerades till den kvadratiska ekvationen (4), vars diskriminering är inte en komplett kvadrat, därför, vid lösning av ekvation (3) är det lämpligt att använda teoremen på platsen för kvadratens tre Declests och den grafiska modellen. Observera att ekvation (4) kan lösas med användning av Vieta-teorem.

Vi löser mer komplexa ekvationer.

Uppgift 3. Bestäm ekvationen

Beslut. OTZ: X1, X2.

Vi presenterar en ersättare. Låt 2x \u003d t, t\u003e 0, då som ett resultat av omvandlingarna, kommer ekvationen att ta typ T2 + 2T - 13 - A \u003d 0. (*) Hitta värdena för A, vid vilken minst en rot av ekvationen (*) uppfyller villkoret t\u003e 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt \u003d" (! Lang: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Svar: Om A\u003e - 13, A  11, A  5, då om A - 13,

a \u003d 11, A \u003d 5, då inga rötter.

Bibliografi.

1. Theguares av grunden för utbildningsteknik.

2. Guzeyev-teknik: från mottagning till filosofi.

M. "Skoldirektör" №4, 1996

3. Guzeyev och organisationsformer av utbildning.

4. Guzeyev och övningen av integrerad utbildningsteknik.

M. "Folkutbildning", 2001

5. Guzeyev från formerna av lektionen - seminariet.

Matematik i skolan №2, 1987, s.9 - 11.

6. Seleevko Educational Technologies.

M. "Folkutbildning", 1998

7. Epishevs skolbarn att lära sig matematik.

M. "Upplysning", 1990

8. Ivanov förbereda lektioner - workshops.

Matematik i skolan №6, 1990 s. 37 - 40.

9. Smirnova matematik inlärningsmodell.

Matematik i skolan №1, 1997 med. 32 - 36.

10. Tarasenko sätt att organisera praktiskt arbete.

Matematik i skolan №1, 1993 s. 27 - 28.

11. Om ett av de olika typerna av enskilt arbete.

Matematik i skolan №2, 1994, S.63 - 64.

12. Khazankin kreativa förmågor av skolbarn.

Matematik i skolan №2, 1989 med. 10.

13. Scanavi. Utgivare, 1997

14. Och andra. Algebra och början av analysen. Didaktiska material för

15. Matematikuppgifter Krivonogs.

M. "Första sidan", 2002

16. Cherkasov. Handbok för gymnasieelever och

in i universitet. "Och med T - Press School", 2002

17. Zhiewnak för att komma in i universitet.

Minsk och Ryska federationen "Recension", 1996

18. Skriven D. Förberedelser för tentamen i matematik. M. Rolf, 1999

19. Och andra lär sig att lösa ekvationer och ojämlikheter.

M. "Intellect - Center", 2003

20. et al. Utbildning och träningsmaterial för preparat för E.

M. "Intellect - Center", 2003 och 2004

21, etc. Alternativ Kim. Testcentral för Ryska federationens, 2002, 2003, 2003, 2003, 2003.

22. Goldberg ekvationer. "Kvant" №3, 1971

23. Volovich M. Hur man framgångsrikt undervisar matematik.

Matematik, 1997 №3.

24 Okunev för lektionen, barn! M. Upplysning, 1988

25. Yakimanskaya - orienterad skolinlärning.

26. Liimets arbetar i lektionen. M. Kunskap, 1975

Exempel:

\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4,8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)

Hur man löser exponentiella ekvationer

Vid lösning, strävar vi efter att leda till formuläret \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) och sedan göra övergången till jämlikhet av indikatorer, det vill säga:

\\ (A ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)

Till exempel: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)

Viktig! Från samma logik följer två krav för en sådan övergång:
- nummer B. till vänster och höger bör vara densamma;
- grader till vänster och höger bör vara "ren"det vill säga det borde finnas några, multiplikationer, divisioner etc.

Till exempel:

Att njuta av ekvationen till formuläret \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) applicera och.

Exempel . Bestäm den vägledande ekvationen \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)
Beslut:

\\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)

Vi vet att \\ (27 \u003d 3 ^ 3 \\). Med detta i åtanke omvandlar vi ekvationen.

\\ (\\ sqrt (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)

Av Rotens egendom \\ (\\ sqrt [n] (a) \u003d a ^ (\\ frac (1) (n)) \\) Vi får det \\ (\\ sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (\\ Frac (1) (2)) \\). Därefter, med hjälp av graden av grader \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\), erhåller vi \\ (((3 ^ 3)) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 \\ cdot \\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\).

\\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\ cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)

Vi vet också att \\ (a ^ b · a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\). Applicera detta på vänster sida, vi får: \\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1,5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0,5) \\).

\\ (3 ^ (x + 0,5) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)

Kom nu ihåg att: \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\). Denna formel kan också användas i motsatt riktning: \\ (\\ frac (1) (a ^ n) \u003d a ^ (- n) \\). Sedan \\ (\\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\).

\\ (3 ^ (x + 0,5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\)

Applicering av egenskapen \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\) till den högra delen, vi får: \\ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\).

\\ (3 ^ (x + 0,5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\)

Och nu har vi grundarna lika och det finns inga störande koefficienter etc. Så vi kan göra övergången.

Exempel . Lös den vägledande ekvationen \\ (4 ^ (x + 0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)
Beslut:

\\ (4 ^ (x + 0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)		Vi använder igen graden av grader \\ (a ^ b \\ cdot a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\) i motsatt riktning.
\\ (4 ^ x · 4 ^ (0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)		Nu kommer du ihåg att \\ (4 \u003d 2 ^ 2 \\).
\\ ((2 ^ 2) ^ x · (2 \u200b\u200b^ 2) ^ (0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)		Med hjälp av examensegenskaperna konverterar vi: \\ ((2 ^ 2) ^ x \u003d 2 ^ (2x) \u003d 2 ^ (x · 2) \u003d (2 ^ x) ^ 2 \\) \\ ((2 ^ 2) ^ (0,5) \u003d 2 ^ (2 · 0,5) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. \\)
\\ (2 · (2 \u200b\u200b^ x) ^ 2-5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)		Vi ser noggrant ut på ekvationen, och vi ser att det föreslår ersättning \\ (t \u003d 2 ^ x \\).

\\ (T_1 \u003d 2 \\) \\ (t_2 \u003d \\ frac (1) (2) \\)		Men vi hittade värdena \\ (t \\), och vi behöver \\ (x \\). Vi återvänder till ICS, vilket gör omvänd ersättning.
\\ (2 ^ x \u003d 2 \\) \\ (2 ^ x \u003d \\ frac (1) (2) \\)		Vi omvandlar den andra ekvationen med hjälp av egenskapen av en negativ grad ...
\\ (2 ^ x \u003d 2 ^ 1 \\) \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ (- 1) \\)		... och existerar före svaret.
\\ (x_1 \u003d 1 \\) \\ (x_2 \u003d -1 \\)

Svar : $-1; 1$.

Frågan är kvar - hur man förstår när vilken metod tillämpas? Det kommer med erfarenhet. Under tiden fungerade du inte, använd den allmänna rekommendationen för att lösa komplexa uppgifter - "du vet inte vad du ska göra - gör vad du kan". Det är, leta efter hur du kan konvertera ekvationen i princip och försök att göra det - plötsligt vad som kommer ut? Det viktigaste är att bara göra matematiskt rimliga omvandlingar.

Vägledande ekvationer som inte har lösningar

Vi kommer att analysera ytterligare två situationer som ofta läggs i studentens dödläge:
- Ett positivt tal i en grad är noll, till exempel \\ (2 ^ x \u003d 0 \\);
- Ett positivt tal är i en grad lika med ett negativt tal, till exempel \\ (2 ^ x \u003d -4 \\).

Låt oss försöka lösa bysten. Om X är ett positivt tal kommer den ökande graden \\ (2 ^ x \\) bara att växa:

\\ (x \u003d 1 \\); \\ (2 ^ 1 \u003d 2 \\)
\\ (x \u003d 2 \\); \\ (2 ^ 2 \u003d 4 \\)
\\ (x \u003d 3 \\); \\ (2 ^ 3 \u003d 8 \\).

\\ (x \u003d 0 \\); \\ (2 ^ 0 \u003d 1 \\)

Också av. Det finns negativa canes. Kom ihåg egenskapen \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\), kontrollera:

\\ (x \u003d -1 \\); \\ (2 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (x \u003d -2 \\); \\ (2 ^ (- 2) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (1) (4) \\)
\\ (x \u003d -3 \\); \\ (2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (8) \\)

Trots det faktum att numret med varje steg blir mindre, kommer det aldrig att nå noll. Så och den negativa graden räddade oss inte. Vi kommer till logisk slutsats:

Ett positivt tal i vilken utsträckning som helst kommer att förbli ett positivt tal.

Således har båda ekvationerna ovan inga lösningar.

Vägledande ekvationer med olika baser

I praktiken finns det ibland vägledande ekvationer med olika baser som inte reduceras till varandra och samtidigt med samma indikatorer. De ser ut så här: \\ (a ^ (f (x)) \u003d b ^ (f (x)) \\), där \\ (a \\) och \\ (b \\) är positiva tal.

Till exempel:

\\ (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\)
\\ (5 ^ (x + 2) \u003d 3 ^ (x + 2) \\)
\\ (15 ^ (2x-1) \u003d (\\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \\)

Sådana ekvationer kan lätt lösas genom att dividera på någon av de delar av ekvationen (vanligtvis uppdelad på höger sida, det vill säga på \\ (b ^ (f (x)) \\). Så du kan dela, eftersom ett positivt tal är i alla fall positiva (det vill säga är vi inte dividerat med noll). Vi får:

\\ (\\ Frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \\) \\ (\u003d 1 \\)

Exempel . Lös den vägledande ekvationen \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\)
Beslut:

\\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\)		Här kan vi inte visa upp de fem bästa i de tre bästa, eller motsatsen (åtminstone utan användning). Så vi kan inte komma till formuläret \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\). Samtidigt är indikatorerna desamma. Låt oss dela ekvationen på höger sida, det vill säga på \\ (3 ^ (x + 7) \\) (vi kan göra det, eftersom vi vet att den bästa kommer inte att vara noll).
\\ (\\ Frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \\)		Nu kommer du ihåg egenskapen \\ ((\\ frac (a) (b)) ^ c \u003d \\ frac (a ^ c) (b ^ c) \\) och använd den till vänster i motsatt riktning. Till höger skär vi helt enkelt fraktionen.
\\ ((\\ Frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\) \\ (\u003d 1 \\)		Det verkar bättre inte. Men kom ihåg en annan egenskap av examen: \\ (a ^ 0 \u003d 1 \\), med andra ord: "Varje nummer till noll grad är lika med \\ (1 \\)". SANT OCH INVERSE: "Enheten kan representeras som ett nummer till noll grad." Vi använder detta genom att göra basen till höger som vänster.
\\ ((\\ Frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\) \\ (\u003d \\) \\ (((\\ frac (5) (3)) ^ 0 \\)		Voila! Bli av med grunderna.
		Vi skriver svaret.

Svar : $-7$.

Ibland är "samma" indikatorer på graden inte uppenbart, men den skickliga användningen av graden av grad löser problemet.

Exempel . Lös den vägledande ekvationen \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\)
Beslut:

\\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\)		Ekvationen ser ganska ledsen ... inte bara kan inte reduceras till samma nummer (de sju kommer inte vara lika med samma \\ (\\ frac (1) (3) \\)), så också olika indikatorer ... dock ... Låt oss i indikatorn i den vänstra graden två.
\\ (7 ^ (2 (x-2)) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\)		Jag kommer ihåg egenskapen \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (b · c) \\), vi konverterar vänster: \\ (7 ^ (2 (x-2)) \u003d 7 ^ (2 · (x-2)) \u003d (7 ^ 2) ^ (x - 2) \u003d 49 ^ (x-2) \\).
\\ (49 ^ (x-2) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\)		Nu, kom ihåg egenskapen i en negativ grad \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a) ^ n \\), vi översätter till höger: \\ ((\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) \u003d 3 ^ (- 1 (-x + 2)) \u003d 3 ^ (x-2) \\)
\\ (49 ^ (x-2) \u003d 3 ^ (x-2) \\)		halleluja! Indikatorerna blev desamma! Verkar det system som redan är bekant för oss, bestämmer vi för svaret.

Svar : $2$.

På kanalen på YouTube vår webbplats för att hålla sig ajour med alla nya videolektioner.

Först, låt oss komma ihåg de grundläggande formlerna i graderna och deras egenskaper.

Antalet arbete a. Själv inträffar n gånger, det här uttrycket vi kan skriva ner som en a a ... a \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. A n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. A n B n \u003d (ab) n

7. A N / A m \u003d A N-M

Kraft eller demonstration ekvationer - Det här är ekvationer där variabler är i grader (eller indikatorer), och grunden är numret.

Exempel på vägledande ekvationer:

I det här exemplet är nummer 6 grunden den alltid står nere och variabeln x. grad eller indikator.

Låt oss ge fler exempel på de vägledande ekvationerna.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Nu kommer vi att analysera hur demonstrationsekvationerna löses?

Ta en enkel ekvation:

2 x \u003d 2 3

Detta exempel kan lösas även i sinnet. Det kan ses att x \u003d 3. När allt kommer omkring, så att vänster och höger del ska vara lika med nummer 3 istället för x.
Låt oss nu se hur det är nödvändigt att utfärda detta beslut:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

För att lösa en sådan ekvation, tog vi bort samma grunder (dvs två) och registrerade det som återstår, det är grader. Fått det önskade svaret.

Sammanfattar nu vårt beslut.

Algoritm för att lösa en vägledande ekvation:
1. Behöver kolla det samma Lee Foundations på ekvationen till höger och vänster. Om baserna inte är detsamma som att leta efter alternativ för att lösa detta exempel.
2. Efter att grunden blir desamma, likvärdig grader och lösa den resulterande nya ekvationen.

Skriv nu några exempel:

Låt oss börja med en enkel.

Baserna i vänster och höger del är lika med nummer 2, vilket innebär att vi kan avvisa och jämföra deras grader.

x + 2 \u003d 4 Det visade sig den enklaste ekvationen.
X \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Svar: x \u003d 2

I följande exempel kan det ses att baserna är olika. Det är 3 och 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Till att börja med överför vi de nio till höger, vi får:

Nu måste du göra samma grund. Vi vet att 9 \u003d 3 2. Vi använder graden formel (A n) m \u003d en nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Vi får 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Nu är det klart att i vänster och höger sida av basen samma och lika med trojkan, vilket innebär att vi kan kassera dem och jämföra grader.

3x \u003d 2x + 16 fick den enklaste ekvationen
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Svar: x \u003d 16.

Vi tittar på följande exempel:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Först tittar vi på basen, grunden är olika två och fyra. Och vi måste vara desamma. Vi konverterar de fyra med formeln (a n) m \u003d a nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Och använd också en formel A n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Lägg till i ekvation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Vi ledde ett exempel på samma skäl. Men vi stör andra nummer 10 och 24. Vad ska man göra med dem? Om du kan se att det är klart att vi har 2 2 2, det är svaret - 2 2, vi kan ta ut parenteserna:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Vi beräknar uttrycket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Alla ekvation delim till 6:

Föreställ dig 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 baser är desamma, kasta ut dem och jämföra grader.
2x \u003d 2 Det visade sig den enklaste ekvationen. Vi delar upp det på 2
x \u003d 1.
Svar: x \u003d 1.

Lösande ekvation:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Vi förvandlar:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Vi får ekvationen:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

De fundament som vi har samma är lika med tre. I det här exemplet kan det ses att den första tre graden två gånger (2x) är större än den för den andra (helt enkelt x). I det här fallet kan du lösa ersättningsmetod. Numret med den minsta examen ersätt:

Sedan 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vi ersätter i ekvation alla grader med håligheter på t:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
Vi får en fyrkantig ekvation. Vi bestämmer oss genom diskrimineringen, vi får:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Återgå till variabeln x..

Ta T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Det är,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

En rot hittad. Vi letar efter den andra, från t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Svar: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

På webbplatsen kan du i hjälp med lösa beslut att fråga dig ställa frågor. Vi kommer att svara.

Gå med i gruppen