Vad är en logaritmisk ekvation. Lösa logaritmiska ekvationer. Den kompletta guiden (2019)

Logaritmiska ekvationer. Från enkelt till komplext.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt ..."
Och för dem som är "mycket jämna ...")

Vad är en logaritmisk ekvation?

Detta är en ekvation med logaritmer. Jag blev förvånad, eller hur?) Då ska jag förtydliga. Detta är en ekvation där de okända (x) och uttryck med dem är inre logaritmer. Och bara där! Det är viktigt.

Här är några exempel logaritmiska ekvationer:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x + 1) +10 = 11 lg (x + 1)

Tja, ni fattar... )

Notera! En mängd olika uttryck med x finns uteslutande inom logaritmerna. Om det plötsligt finns ett x i ekvationen någonstans utanför, till exempel:

log 2 x = 3 + x,

detta kommer redan att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa. Vi kommer inte att överväga dem ännu. Förresten, det finns ekvationer där inne i logaritmerna bara siffror... Till exempel:

Vad kan jag säga? Tur du om du stöter på detta! Logaritm med tal är något nummer. Och det är allt. Det räcker att känna till logaritmernas egenskaper för att lösa en sådan ekvation. Kunskaper om speciella regler, tekniker anpassade specifikt för att lösa logaritmiska ekvationer, krävs inte här.

Så, vad är logaritmisk ekvation- tänkte ut det.

Hur löser man logaritmiska ekvationer?

Lösning logaritmiska ekvationer– grejen är faktiskt inte särskilt enkel. Så avsnittet vi har - för fyra ... Kräver ett anständigt lager av kunskap om alla möjliga relaterade ämnen. Dessutom finns det en speciell egenskap i dessa ekvationer. Och denna funktion är så viktig att den säkert kan kallas huvudproblemet vid lösning av logaritmiska ekvationer. Vi kommer att behandla detta problem i detalj i nästa lektion.

För nu, oroa dig inte. Vi går rätt väg från enkel till komplex. På specifika exempel... Det viktigaste är att fördjupa sig i enkla saker och inte vara lat för att följa länkarna, jag lade dem inte bara ... och du kommer att lyckas. Nödvändigtvis.

Låt oss börja med de mest elementära, enklaste ekvationerna. För att lösa dem är det önskvärt att ha en uppfattning om logaritmen, men inget mer. Bara ingen aning logaritm, ta itu med en lösning logaritmisk ekvationer - på något sätt pinsamt till och med ... Mycket djärvt, skulle jag säga).

De enklaste logaritmiska ekvationerna.

Dessa är ekvationer av formen:

1.log 3 x = log 3 9

2.log 7 (2x-3) = stock 7x

3.log 7 (50x-1) = 2

Beslutsprocess någon logaritmisk ekvation består i övergången från en ekvation med logaritmer till en ekvation utan dem. I de enklaste ekvationerna utförs denna övergång i ett steg. Därför det enklaste.)

Och att lösa sådana logaritmiska ekvationer är förvånansvärt enkelt. Se efter själv.

Att lösa det första exemplet:

log 3 x = log 3 9

För att lösa det här exemplet behöver du inte kunna nästan någonting, ja ... Rent intuition!) framförallt gillar inte det här exemplet? Vad-vad... Logaritmer är inte trevliga! Höger. Så låt oss bli av med dem. Vi tittar noga på ett exempel, och vi har en naturlig önskan ... Rätt oemotståndlig! Ta och kasta ut logaritmer helt och hållet. Och det som gläder mig är burk do! Matematik tillåter. Logaritmer försvinner svaret är:

Bra, inte sant? Du kan (och bör) alltid göra detta. Att eliminera logaritmer på detta sätt är ett av de viktigaste sätten att lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. I matematik kallas denna operation potentiering. Det finns förstås egna regler för sådan likvidation, men de är få. Kom ihåg:

Du kan eliminera logaritmer utan rädsla om de har:

a) identiska numeriska baser

c) vänster-höger-logaritmer är rena (utan några koefficienter) och är utmärkta isolerade.

Låt mig förklara den sista punkten. I en ekvation, säg

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

du kan inte ta bort logaritmer. Tvåan till höger tillåter inte. Koefficient, du vet ... I exemplet

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

det är också omöjligt att potentiera ekvationen. Det finns ingen ensam logaritm till vänster. Det finns två av dem.

Kort sagt, du kan ta bort logaritmerna om ekvationen ser ut så här och bara så här:

log a (.....) = log a (.....)

Inom parentes, där ellips kan vara några uttryck. Enkel, superkomplicerad, alla möjliga. Något. Det viktiga är att efter elimineringen av logaritmer har vi fortfarande en enklare ekvation. Det antas, naturligtvis, att du redan vet hur man löser linjära, kvadratiska, bråk-, exponential- och andra ekvationer utan logaritmer.)

Nu kan det andra exemplet enkelt lösas:

stock 7 (2x-3) = stock 7 x

Egentligen bestäms det i sinnet. Potentierande får vi:

Tja, är det väldigt svårt?) Som du kan se, logaritmisk en del av lösningen till ekvationen är bara i eliminering av logaritmer ... Och sedan går lösningen av den återstående ekvationen utan dem. Triviala affärer.

Låt oss lösa det tredje exemplet:

log 7 (50x-1) = 2

Vi ser att logaritmen är till vänster:

Vi minns att denna logaritm är ett tal som basen (dvs. sju) måste höjas till för att få ett sublogaritmuttryck, dvs. (50x-1).

Men den siffran är två! Enligt ekvationen. Det är:

Det är i huvudsak allt. Logaritm försvann, det finns en ofarlig ekvation kvar:

Vi löste denna logaritmiska ekvation endast baserat på logaritmens betydelse. Är det lättare att eliminera logaritmerna?) Jag håller med. Förresten, om du gör en logaritm av två kan du lösa detta exempel genom likvidation. Från valfritt tal kan du göra en logaritm. Dessutom så som vi behöver det. I hög grad användbart knep i att lösa logaritmiska ekvationer och (särskilt!) ojämlikheter.

Vet du inte hur man gör en logaritm från ett tal!? Det är ok. Avsnitt 555 beskriver denna teknik i detalj. Du kan bemästra och tillämpa det till fullo! Det minskar antalet fel avsevärt.

Den fjärde ekvationen löses på exakt samma sätt (per definition):

Det är allt som finns.

Låt oss sammanfatta den här lektionen. Vi har genom exempel betraktat lösningen av de enklaste logaritmiska ekvationerna. Det är väldigt viktigt. Och inte bara för att sådana ekvationer finns på kontrollproven. Faktum är att även de mest onda och förvirrade ekvationer måste reduceras till de enklaste!

Egentligen är de enklaste ekvationerna den avslutande delen av lösningen. några ekvationer. Och denna avslutningsdel måste förstås som en självklarhet! Och vidare. Se till att läsa denna sida till slutet. Det finns en överraskning där...)

Nu bestämmer vi själva. Vi fyller vår hand så att säga...)

Hitta roten (eller summan av rötterna, om det finns flera) av ekvationerna:

ln (7x + 2) = ln (5x + 20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Svar (i oordning, förstås): 42; 12; nio; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Vadå, allt fungerar inte? Det händer. Sörj inte! Avsnitt 555 beskriver lösningen på alla dessa exempel på ett tydligt och detaljerat sätt. Du kommer säkert att ta reda på det där. Behärska dessutom användbara praktiska tekniker.

Allt löste sig!? Alla exempel är "ett kvar"?) Grattis!

Det är dags att avslöja den bittra sanningen för dig. En framgångsrik lösning av dessa exempel garanterar inte alls framgång med att lösa alla andra logaritmiska ekvationer. Även de enklaste som dessa. Ack.

Faktum är att lösningen på vilken logaritmisk ekvation som helst (även den mest elementära!) består av två lika delar. Lösa ekvationen och arbeta med ODZ. En del – att lösa själva ekvationen – har vi bemästrat. Det är inte så svårt höger?

För den här lektionen har jag speciellt valt ut sådana exempel där LDO inte påverkar svaret på något sätt. Men alla är inte lika snälla som jag, eller hur? ...)

Därför är det absolut nödvändigt att behärska den andra delen. ODZ. Detta är huvudproblemet vid lösning av logaritmiska ekvationer. Och inte för att det är svårt – den här delen är ännu lättare än den första. Men för att ODZ helt enkelt är bortglömd. Eller så vet de inte. Eller båda). Och faller ut ur det blå...

I nästa lektion kommer vi att ta itu med detta problem. Då kan du självsäkert bestämma dig några enkla logaritmiska ekvationer och få till ganska gedigna uppgifter.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Omedelbar valideringstestning. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Förberedelserna för det slutliga provet i matematik innehåller ett viktigt avsnitt - "Logarithms". Uppgifter från detta ämne ingår nödvändigtvis i provet. De senaste årens erfarenheter visar att logaritmiska ekvationer har orsakat svårigheter för många skolbarn. Därför bör elever med olika utbildningsnivåer förstå hur man hittar rätt svar och snabbt hantera dem.

Passera certifieringstestet framgångsrikt med hjälp av utbildningsportalen "Shkolkovo"!

När de förbereder sig för det enhetliga provet behöver gymnasieutexaminerade en pålitlig källa som ger den mest fullständiga och korrekta informationen för en framgångsrik lösning av testproblem. Läroboken finns dock inte alltid till hands och att hitta nödvändiga regler och formler på Internet tar ofta tid.

Utbildningsportalen "Shkolkovo" låter dig förbereda dig för Unified State Exam var som helst när som helst. Vår webbplats erbjuder den mest bekväma metoden för upprepning och assimilering av en stor mängd information om logaritmer, såväl som med en och flera okända. Börja med enkla ekvationer. Om du hanterade dem lätt, gå vidare till mer komplexa. Om du har problem med att lösa en viss ojämlikhet kan du lägga till den i dina favoriter så att du kan återvända till den senare.

Hitta nödvändiga formler för att slutföra uppgiften kan du upprepa specialfallen och metoderna för att beräkna roten av den logaritmiska standardekvationen genom att titta på avsnittet "Teoretisk referens". Shkolkovo-lärarna har samlat, systematiserat och presenterat allt material som behövs för framgångsrik leverans i den mest enkla och begripliga formen.

För att enkelt hantera uppgifter av vilken komplexitet som helst kan du på vår portal bekanta dig med lösningen av några typiska logaritmiska ekvationer. För att göra detta, gå till avsnittet "Kataloger". Vi har presenterat Ett stort antal exempel, inklusive ekvationer profilnivå Unified State Exam i matematik.

Elever från skolor i hela Ryssland kan använda vår portal. För att komma igång är det bara att registrera sig i systemet och börja lösa ekvationer. För att konsolidera resultaten rekommenderar vi att du återvänder till Shkolkovos webbplats varje dag.

Med den här videon börjar jag en lång serie tutorials om logaritmiska ekvationer. Nu har du tre exempel på en gång, på grundval av vilka vi kommer att lära oss att lösa de enklaste uppgifterna, som kallas så - protozoer.

log 0,5 (3x - 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Låt mig påminna dig om att den enklaste logaritmiska ekvationen är följande:

log a f (x) = b

I det här fallet är det viktigt att variabeln x endast finns i argumentet, det vill säga endast i funktionen f (x). Och talen a och b är exakt siffror, och i inget fall är funktioner som innehåller variabeln x.

Grundläggande lösningsmetoder

Det finns många sätt att lösa sådana konstruktioner. Till exempel föreslår de flesta lärarna i skolan så här: Uttryck omedelbart funktionen f (x) med formeln f ( x) = a b. Det vill säga när du möter den enklaste konstruktionen kan du gå direkt till lösningen utan ytterligare åtgärder och konstruktioner.

Ja, självklart kommer beslutet att visa sig vara korrekt. Men problemet med denna formel är att de flesta studenter förstår inte, varifrån det kommer och varför vi höjer bokstaven a till bokstaven b.

Det gör att jag ofta ser väldigt kränkande misstag när till exempel dessa bokstäver byts ut. Denna formel måste antingen förstås eller fullproppad, och den andra metoden leder till misstag vid de mest olämpliga och mest avgörande ögonblicken: vid tentor, tester etc.

Det är därför jag föreslår alla mina elever att överge standardskolans formel och använda den andra metoden för att lösa logaritmiska ekvationer, som, som du förmodligen redan gissat från namnet, kallas kanonisk form.

Tanken bakom den kanoniska formen är enkel. Låt oss ta en ny titt på vårt problem: till vänster har vi log a, medan bokstaven a betyder exakt ett tal, och i inget fall en funktion som innehåller en variabel x. Därför är denna bokstav föremål för alla restriktioner som läggs på basen av logaritmen. nämligen:

1 ≠ a> 0

Å andra sidan, från samma ekvation, ser vi att logaritmen borde vara lika med antalet b, och inga begränsningar införs för detta brev, eftersom det kan ta alla värden - både positiva och negativa. Allt beror på vilka värden funktionen f (x) tar.

Och här minns vi vår underbara regel att vilket tal b som helst kan representeras som en logaritm till basen a från a till b potens:

b = log a a b

Hur minns du denna formel? Det är väldigt enkelt. Låt oss skriva följande konstruktion:

b = b 1 = b log a a

Naturligtvis uppstår alla restriktioner som vi skrev ner i början. Låt oss nu använda den grundläggande egenskapen för logaritmen och introducera faktorn b som potensen av a. Vi får:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Som ett resultat kommer den ursprungliga ekvationen att skrivas om enligt följande:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Det är allt. Den nya funktionen innehåller inte längre logaritmen och löses med vanliga algebraiska tekniker.

Naturligtvis kommer någon nu att invända: varför bry sig om att komma på någon form av kanonisk formel, varför utföra ytterligare två onödiga steg, om man omedelbart kunde gå från den initiala konstruktionen till den slutliga formeln? Ja, även då, att majoriteten av eleverna inte förstår var denna formel kommer ifrån och som ett resultat regelbundet gör misstag när de tillämpar den.

Men denna sekvens av åtgärder, som består av tre steg, låter dig lösa den ursprungliga logaritmiska ekvationen, även om du inte förstår var den slutliga formeln kommer ifrån. Förresten, denna post kallas den kanoniska formeln:

log a f (x) = log a a b

Bekvämligheten med den kanoniska formen ligger också i det faktum att den kan användas för att lösa en mycket bred klass av logaritmiska ekvationer, och inte bara de enklaste som vi överväger idag.

Lösningsexempel

Låt oss nu överväga verkliga exempel... Så vi bestämmer:

log 0,5 (3x - 1) = −3

Låt oss skriva om det så här:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 −3

Många elever har bråttom och försöker omedelbart höja siffran 0,5 till den makt som kom till oss från det ursprungliga problemet. Faktum är att när du redan är väl utbildad i att lösa sådana problem, kan du omedelbart följa detta steg.

Men om du precis har börjat studera detta ämne nu, är det bättre att inte rusa någonstans för att inte göra stötande misstag. Så vi har framför oss den kanoniska formen. Vi har:

3x - 1 = 0,5 -3

Detta är inte längre en logaritmisk ekvation, utan en linjär med avseende på variabeln x. För att lösa detta, låt oss först ta itu med talet 0,5 till −3 potens. Observera att 0,5 är 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Allt decimaler konvertera till normal när du löser en logaritmisk ekvation.

Vi skriver om och får:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

Det är det, vi fick ett svar. Den första uppgiften är löst.

Andra uppgiften

Låt oss gå vidare till den andra uppgiften:

Som du kan se är denna ekvation inte längre den enklaste. Om så bara för att skillnaden är till vänster, och inte en enda logaritm i en bas.

Därför måste du på något sätt bli av med denna skillnad. I det här fallet är allt väldigt enkelt. Låt oss ta en närmare titt på baserna: till vänster är numret under roten:

Allmän rekommendation: i alla logaritmiska ekvationer, försök att bli av med radikaler, det vill säga från poster med rötter och gå till kraftfunktioner, helt enkelt för att exponenterna för dessa grader lätt tas ut ur logaritmens tecken, och i slutändan förenklar och påskyndar en sådan post beräkningarna avsevärt. Så låt oss skriva det så här:

Nu minns vi den anmärkningsvärda egenskapen hos logaritmen: från argumentet, såväl som från basen, kan du härleda grader. När det gäller grunder sker följande:

log a k b = 1 / k loga b

Med andra ord, talet som stod i basens grad förs vidare och vänder samtidigt, det vill säga det blir bakåt... I vårt fall fanns det en grundgrad med en exponent på 1/2. Därför kan vi återge det som 2/1. Vi får:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Observera: i inget fall bör du bli av med logaritmerna i detta steg. Kom ihåg matematiken i årskurserna 4-5 och proceduren: först utförs multiplikation, och först sedan addition och subtraktion. I det här fallet subtraherar vi en av desamma från 10 element:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nu ser vår ekvation ut som den borde. den enklaste designen och vi löser det med den kanoniska formen:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Det är allt. Den andra uppgiften är löst.

Tredje exemplet

Låt oss gå vidare till den tredje uppgiften:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Låt mig påminna dig om följande formel:

lg b = log 10 b

Om du av någon anledning är förvirrad av loggen b, kan du helt enkelt logga 10 b när du utför alla beräkningar. Du kan arbeta med decimallogaritmer på samma sätt som med andra: ta ut grader, addera och representera valfria tal i formen lg 10.

Det är dessa egenskaper som vi nu kommer att använda för att lösa problemet, eftersom det inte är den enklaste som vi skrev ner i början av vår lektion.

Notera till att börja med att faktorn 2 före lg 5 kan introduceras och blir en potens av basen 5. Dessutom kan den fria termen 3 också representeras som en logaritm - detta är mycket lätt att observera från vår notation.

Bedöm själv: vilket tal som helst kan representeras som logbas 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Låt oss skriva om det ursprungliga problemet med hänsyn till de mottagna ändringarna:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
log (x - 3) = log 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Vi har framför oss den kanoniska formen igen, och vi fick den förbi transformationsstadiet, det vill säga den enklaste logaritmiska ekvationen dök inte upp någonstans i vårt land.

Det är precis det jag pratade om i början av lektionen. Den kanoniska formen tillåter att lösa en bredare klass av problem än den vanliga skolformeln som ges av de flesta skollärare.

Tja, det är allt, vi blir av med tecknet för decimallogaritmen, och vi får en enkel linjär konstruktion:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Allt! Problemet är löst.

En notering om omfattning

Här skulle jag vilja göra en viktig anmärkning om definitionens omfattning. Nu finns det säkert elever och lärare som kommer att säga: "När vi löser uttryck med logaritmer är det absolut nödvändigt att komma ihåg att argumentet f (x) måste vara större än noll!" I detta avseende uppstår en logisk fråga: varför i inget av de övervägda problemen krävde vi att denna ojämlikhet skulle uppfyllas?

Oroa dig inte. Inga extra rötter kommer att uppstå i dessa fall. Och det här är ett annat bra trick som låter dig snabba på lösningen. Vet bara att om variabeln x i ett problem bara förekommer på ett ställe (eller snarare, i ett enda argument av en enda logaritm), och ingen annanstans i vårt fall finns det en variabel x, skriv då domänen inte nödvändigt eftersom det kommer att köras automatiskt.

Döm själv: i den första ekvationen fick vi att 3x - 1, det vill säga argumentet ska vara lika med 8. Det betyder automatiskt att 3x - 1 blir större än noll.

Med samma framgång kan vi skriva att i det andra fallet måste x vara lika med 5 2, det vill säga det är säkert större än noll. Och i det tredje fallet, där x + 3 = 25 000, det vill säga återigen uppenbarligen större än noll. Med andra ord är domänen automatiskt uppfylld, men bara om x endast förekommer i argumentet för endast en logaritm.

Det är allt som finns att veta för grundläggande uppgifter. Enbart denna regel, tillsammans med transformationsregler, gör att du kan lösa en mycket bred klass av problem.

Men låt oss vara ärliga: för att äntligen förstå denna teknik, för att lära sig hur man tillämpar den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, räcker det inte bara att titta på en videohandledning. Ladda därför ner alternativen för oberoende beslut som är bifogade till denna självstudievideo och börja lösa minst ett av dessa två oberoende verk.

Det tar bara några minuter. Men effekten av sådan träning kommer att vara mycket högre jämfört med om du bara tittade på den här videohandledningen.

Jag hoppas att denna handledning hjälper dig att förstå logaritmiska ekvationer. Använd den kanoniska formen, förenkla uttryck med regler för att arbeta med logaritmer - och inga problem kommer att vara skrämmande för dig. Och jag har allt för idag.

Hänsyn till omfattningen

Låt oss nu prata om domänen för den logaritmiska funktionen, samt hur detta påverkar lösningen av logaritmiska ekvationer. Överväg en konstruktion av formen

log a f (x) = b

Ett sådant uttryck kallas det enklaste - det finns bara en funktion i det, och talen a och b är exakt tal, och i inget fall är de en funktion som beror på variabeln x. Det är löst väldigt enkelt. Du behöver bara använda formeln:

b = log a a b

Denna formel är en av logaritmens nyckelegenskaper, och när den ersätts i vårt ursprungliga uttryck får vi följande:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Detta är en bekant formel från skolböckerna. Många elever kommer förmodligen att ha en fråga: eftersom funktionen f (x) i det ursprungliga uttrycket står under logtecknet, är följande begränsningar pålagda för den:

f (x)> 0

Denna begränsning är i kraft eftersom logaritmen för negativa tal existerar inte. Så, kanske på grund av denna begränsning, bör du införa en kontroll för svar? Kanske måste de ersättas i källan?

Nej, i de enklaste logaritmiska ekvationerna är en extra kontroll onödig. Och det är varför. Ta en titt på vår slutliga formel:

f (x) = a b

Faktum är att talet a i alla fall är större än 0 - detta krav ställs också av logaritmen. Talet a är basen. I detta fall finns inga begränsningar för numret b. Men detta spelar ingen roll, för oavsett i vilken grad vi höjer ett positivt tal, vid utgången kommer vi fortfarande att få ett positivt tal. Således uppfylls kravet f (x)> 0 automatiskt.

Det som verkligen är värt att kolla upp är omfattningen av funktionen under logtecknet. Det kan finnas ganska komplicerade strukturer, och i processen att lösa dem måste du definitivt följa dem. Låt oss se.

Första uppgiften:

Första steget: transformera bråket till höger. Vi får:

Vi blir av med logaritmens tecken och får den vanliga irrationella ekvationen:

Av de resulterande rötterna är det bara den första som passar oss, eftersom den andra roten är mindre än noll. Det enda svaret kommer att vara siffran 9. Det är allt, problemet är löst. Inga ytterligare kontroller av att uttrycket under logaritmens tecken är större än 0 krävs inte, eftersom det inte bara är större än 0, utan enligt ekvationens villkor är det lika med 2. Därför är kravet ”större än noll ” uppfylls automatiskt.

Låt oss gå vidare till den andra uppgiften:

Allting är likadant här. Vi skriver om konstruktionen och ersätter de tre:

Vi blir av med logaritmens tecken och får en irrationell ekvation:

Vi kvadrerar båda sidor, med hänsyn till begränsningarna, och vi får:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

Vi löser den resulterande ekvationen genom diskriminanten:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Men x = −6 passar oss inte, för om vi ersätter detta tal med vår ojämlikhet får vi:

−6 + 4 = −2 < 0

I vårt fall krävs det att det är större än 0 eller i extrema fall lika. Men x = −1 passar oss:

−1 + 4 = 3 > 0

Det enda svaret i vårt fall är x = −1. Det är hela lösningen. Låt oss gå tillbaka till början av våra beräkningar.

Det viktigaste med den här lektionen är att du inte behöver kontrollera begränsningarna för en funktion i de enklaste logaritmiska ekvationerna. Eftersom i processen att lösa alla begränsningar uppfylls automatiskt.

Detta betyder dock inte på något sätt att du kan glömma att kolla helt och hållet. I processen att arbeta med en logaritmisk ekvation kan den mycket väl förvandlas till en irrationell, som kommer att ha sina egna begränsningar och krav på högersidan, som vi har sett idag på två olika exempel.

Lös gärna sådana problem och var extra försiktig om det finns en rot i argumentationen.

Logaritmiska ekvationer med olika baser

Vi fortsätter att studera logaritmiska ekvationer och analyserar ytterligare två ganska intressanta knep med vilka det är på modet att lösa fler komplexa strukturer... Men först, låt oss komma ihåg hur de enklaste uppgifterna löses:

log a f (x) = b

I denna notation är a och b exakt tal, och i funktionen f (x) måste variabeln x finnas, och bara där, det vill säga x måste bara finnas i argumentet. Vi kommer att transformera sådana logaritmiska ekvationer med den kanoniska formen. För att göra detta, notera det

b = log a a b

Dessutom är a b exakt argumentet. Låt oss skriva om detta uttryck enligt följande:

log a f (x) = log a a b

Detta är precis vad vi försöker uppnå, så att både vänster och höger är logaritmen till basen a. I det här fallet kan vi bildligt talat stryka loggtecknen, och ur matematikens synvinkel kan vi säga att vi helt enkelt likställer argumenten:

f (x) = a b

Som ett resultat kommer vi att få ett nytt uttryck, som blir mycket lättare att lösa. Låt oss tillämpa denna regel på våra uppgifter idag.

Så den första konstruktionen:

Först och främst, notera att till höger finns en bråkdel med logga i nämnaren. När du ser ett sådant uttryck kommer det inte att vara överflödigt att komma ihåg logaritmers underbara egenskap:

Översatt till ryska betyder detta att vilken logaritm som helst kan representeras som en kvot av två logaritmer med valfri bas s. Naturligtvis 0< с ≠ 1.

Så: denna formel har en underbar specialfall när variabel c är lika med variabel b. I det här fallet får vi en konstruktion av formen:

Det är denna konstruktion som vi observerar från tecknet till höger i vår ekvation. Låt oss ersätta denna konstruktion med log a b, vi får:

Med andra ord, jämfört med det ursprungliga problemet, har vi bytt argument och basen för logaritmen. Istället fick vi vända bråkdelen.

Vi minns att vilken grad som helst kan härledas från basen enligt följande regel:

Med andra ord tas koefficienten k, som är graden av basen, ut som en inverterad bråkdel. Låt oss ta ut det som en inverterad bråkdel:

Bråkfaktorn kan inte lämnas framför, eftersom vi i det här fallet inte kommer att kunna representera denna post som en kanonisk form (i den kanoniska formen finns det trots allt ingen ytterligare faktor framför den andra logaritmen). Låt oss därför lägga till bråkdelen 1/4 till exponentargumentet:

Nu sätter vi likhetstecken mellan argumenten, vars grunder är desamma (och vi har verkligen samma baser), och skriver:

x + 5 = 1

x = −4

Det är allt. Vi fick svaret på den första logaritmiska ekvationen. Observera: i det ursprungliga problemet förekommer variabeln x endast i en logg, och den finns i dess argument. Därför finns det inget behov av att kontrollera domänen, och vårt nummer x = −4 är verkligen svaret.

Låt oss nu gå vidare till det andra uttrycket:

lg 56 = lg 2 log 2 7 - 3 lg (x + 4)

Här kommer vi, förutom de vanliga logaritmerna, att behöva arbeta med lg f (x). Hur löser man en sådan ekvation? Det kan tyckas för en otränad elev att det här är någon form av tuffhet, men i själva verket är allt löst på ett elementärt sätt.

Ta en närmare titt på begreppet lg 2 log 2 7. Vad kan vi säga om det? Skälen och argumenten för log och lg är desamma, och det borde vara suggestivt. Låt oss komma ihåg igen hur graderna tas ut från logaritmens tecken:

log a b n = nlog a b

Med andra ord, vad som var styrkan av talet b i argumentet blir en faktor framför själva loggen. Låt oss använda den här formeln för att uttrycka lg 2 log 2 7. Låt oss inte skrämmas av lg 2 - det här är det vanligaste uttrycket. Du kan skriva om det så här:

Alla regler som gäller för någon annan logaritm är sanna för det. I synnerhet kan faktorn framför läggas till argumentets kraft. Låt oss skriva:

Mycket ofta ser eleverna inte denna åtgärdspunkt tom, eftersom det inte är bra att ange en logg under tecknet för en annan. Det är faktiskt inget brottsligt i detta. Dessutom får vi en formel som lätt kan beräknas om du kommer ihåg en viktig regel:

Denna formel kan betraktas både som en definition och som en av dess egenskaper. I vilket fall som helst, om du transformerar en logaritmisk ekvation, bör du känna till denna formel på samma sätt som att representera vilket tal som helst i form av log.

Vi återgår till vår uppgift. Vi skriver om det med hänsyn till det faktum att den första termen till höger om likhetstecknet helt enkelt kommer att vara lika med lg 7. Vi har:

lg 56 = lg 7 - 3 lg (x + 4)

Låt oss flytta lg 7 till vänster, vi får:

lg 56 - lg 7 = −3 lg (x + 4)

Subtrahera uttrycken till vänster eftersom de har samma bas:

lg (56/7) = −3 lg (x + 4)

Låt oss nu titta närmare på ekvationen vi fick. Det är praktiskt taget den kanoniska formen, men det finns en faktor på −3 till höger. Låt oss lägga det i rätt lg-argument:

log 8 = log (x + 4) −3

Före oss är den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi stryker över tecknen på lg och likställer argumenten:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Det är allt! Vi har löst den andra logaritmiska ekvationen. I det här fallet krävs inga ytterligare kontroller, eftersom i det ursprungliga problemet fanns x endast i ett argument.

Jag kommer att lista igen nyckelord av denna handledning.

Huvudformeln som studeras i alla lektioner på den här sidan tillägnad att lösa logaritmiska ekvationer är den kanoniska formen. Och låt dig inte skrämmas av att de flesta skolböcker lär dig att lösa sådana problem på ett annat sätt. Det här verktyget fungerar mycket effektivt och låter dig lösa en mycket bredare klass av problem än de enklaste som vi studerade i början av vår lektion.

Dessutom kommer det att vara användbart att känna till de grundläggande egenskaperna för att lösa logaritmiska ekvationer. Nämligen:

1. Formeln för övergången till en bas och specialfallet när vi vänder log (detta var mycket användbart för oss i det första problemet);
2. Formeln för att lägga till och ta bort grader från logaritmens tecken. Här fryser många elever och ser inte på nära håll att den exponentiella och insatta graden i sig kan innehålla log f (x). Inget fel med det. Vi kan introducera en logg med tecknet på den andra och samtidigt avsevärt förenkla lösningen av problemet, som vi observerar i det andra fallet.

Sammanfattningsvis skulle jag vilja tillägga att det inte är nödvändigt att kontrollera omfattningen i vart och ett av dessa fall, eftersom variabeln x överallt bara finns i ett tecken på log, och samtidigt finns det i dess argument. Som en konsekvens uppfylls alla krav i omfattningen automatiskt.

Variabel radix problem

Idag ska vi titta på logaritmiska ekvationer, som för många elever verkar vara icke-standardiserade, om inte helt olösliga. Det är om uttryck som inte baseras på tal, utan på variabler och jämna funktioner. Vi kommer att lösa sådana konstruktioner med vår standardteknik, nämligen genom den kanoniska formen.

Till att börja med, låt oss komma ihåg hur de enklaste problemen löses, som är baserade på vanliga siffror. Så det enklaste är en konstruktion av formen

log a f (x) = b

För att lösa sådana problem kan vi använda följande formel:

b = log a a b

Vi skriver om vårt ursprungliga uttryck och får:

log a f (x) = log a a b

Sedan likställer vi argumenten, det vill säga vi skriver:

f (x) = a b

Därmed blir vi av med loggtecknet och löser det redan vanliga problemet. I detta fall kommer rötterna som erhålls i lösningen att vara rötterna till den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Dessutom kallas posten, när både vänster och höger är på samma logaritm med samma bas, den kanoniska formen. Det är till ett sådant rekord som vi ska försöka minska dagens konstruktioner. Låt oss gå.

Första uppgiften:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Byt ut 1 med stock x - 2 (x - 2) 1. Graden som vi observerar i argumentationen är i själva verket talet b som stod till höger om likhetstecknet. Därför kommer vi att skriva om vårt uttryck. Vi får:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Vad ser vi? Före oss är den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi kan säkert likställa argumenten. Vi får:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Men lösningen slutar inte där, eftersom denna ekvation inte är likvärdig med den ursprungliga. När allt kommer omkring består den resulterande konstruktionen av funktioner som är definierade på hela tallinjen, och våra initiala logaritmer är inte definierade överallt och inte alltid.

Därför måste vi skriva ner omfattningen separat. Låt oss inte vara smarta och först skriva ner alla krav:

Först måste argumentet för var och en av logaritmerna vara större än 0:

2x 2 - 13x + 18> 0

x - 2> 0

För det andra måste basen inte bara vara större än 0, utan också skilja sig från 1:

x - 2 ≠ 1

Som ett resultat får vi systemet:

Men var inte orolig: vid bearbetning av logaritmiska ekvationer kan ett sådant system avsevärt förenklas.

Bedöm själv: dels krävs att andragradsfunktionen är större än noll, dels är denna kvadratiska funktion likställt med ett visst linjärt uttryck, som också krävs för att vara större än noll.

I det här fallet, om vi kräver att x - 2> 0, så kommer kravet 2x 2 - 13x + 18> 0 automatiskt att uppfyllas. Därför kan vi säkert stryka ut olikheten som innehåller kvadratisk funktion... Således kommer antalet uttryck som finns i vårt system att reduceras till tre.

Självklart kunde vi lika gärna stryka och linjär ojämlikhet, det vill säga ta bort x - 2> 0 och kräva att 2x 2 - 13x + 18> 0. Men du måste hålla med om att det är mycket snabbare och lättare att lösa den enklaste linjära olikheten än den kvadratiska, även om villkoret är att som en resultat av att lösa hela detta system får vi samma rötter.

Försök i allmänhet att optimera dina beräkningar när det är möjligt. Och i fallet med logaritmiska ekvationer, stryk över de svåraste ojämlikheterna.

Låt oss skriva om vårt system:

Här är ett sådant system med tre uttryck, med två av vilka vi faktiskt redan har listat ut. Låt oss skriva det separat andragradsekvation och lös det:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Före oss finns det givna kvadrattrinomialet och därför kan vi använda Vietas formler. Vi får:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Nu återgår vi till vårt system och finner att x = 2 inte passar oss, eftersom vi kräver att x är strikt större än 2.

Men x = 5 passar oss perfekt: talet 5 är större än 2, och samtidigt är 5 inte lika med 3. Därför kommer den enda lösningen på detta system att vara x = 5.

Det är det, problemet har lösts, inklusive att ta hänsyn till ODZ. Låt oss gå vidare till den andra ekvationen. Här hittar vi mer intressanta och informativa beräkningar:

Det första steget: precis som förra gången tar vi det hela till den kanoniska formen. För detta kan vi skriva siffran 9 enligt följande:

Du behöver inte röra roten med roten, men det är bättre att omvandla argumentet. Låt oss gå från rot till rationell exponent. Låt oss skriva ner:

Låt mig inte skriva om hela vår stora logaritmiska ekvation, utan bara likställa argumenten direkt:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Framför oss är det nygivna kvadrattrinomialet, vi använder Vietas formler och skriver:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Så vi fick rötterna, men ingen garanterade oss att de skulle passa den ursprungliga logaritmiska ekvationen. När allt kommer omkring lägger loggskyltarna ytterligare begränsningar (här skulle vi behöva skriva systemet, men på grund av krångligheten i hela strukturen bestämde jag mig för att beräkna domänen separat).

Först och främst, kom ihåg att argumenten måste vara större än 0, nämligen:

Detta är de krav som definitionsdomänen ställer.

Omedelbart noterar vi att eftersom vi likställer de två första uttrycken av systemet med varandra, så kan vi ta bort vilket som helst av dem. Låt oss ta bort den första eftersom den ser mer hotfull ut än den andra.

Observera dessutom att lösningen på den andra och tredje olikheten kommer att vara samma mängder (kuben för ett tal är större än noll, om detta tal i sig är större än noll; på samma sätt med en rot av tredje graden - dessa olikheter är helt analogt, så en av dem kan vi stryka över).

Men med den tredje ojämlikheten kommer detta inte att fungera. Låt oss bli av med det radikala tecknet till vänster, för vilket vi kommer att bygga båda delarna till en kub. Vi får:

Så vi får följande krav:

- 2 ≠ x> −3

Vilken av våra rötter: x 1 = −3 eller x 2 = −1 uppfyller dessa krav? Uppenbarligen är det bara x = −1, eftersom x = −3 inte uppfyller den första ojämlikheten (eftersom vår ojämlikhet är strikt). Så, för att återgå till vårt problem, får vi en rot: x = −1. Det är allt, problemet är löst.

Återigen, nyckelpunkterna i denna uppgift:

1. Applicera och lös gärna logaritmiska ekvationer med den kanoniska formen. Elever som gör en sådan post, och inte går direkt från det ursprungliga problemet till en konstruktion som log a f (x) = b, gör mycket färre misstag än de som rusar någonstans och hoppar över mellanliggande beräkningssteg;
2. Så snart en variabel bas dyker upp i logaritmen upphör problemet att vara det enklaste. Därför, när du löser det, är det nödvändigt att ta hänsyn till definitionsdomänen: argumenten måste vara större än noll, och baserna måste inte bara vara större än 0, utan de får inte heller vara lika med 1.

Det finns olika sätt att ställa slutkraven på de slutliga svaren. Du kan till exempel lösa hela systemet som innehåller alla krav för definitionsdomänen. Å andra sidan kan du först lösa själva problemet och sedan komma ihåg definitionsdomänen, arbeta ut det separat i form av ett system och lägga det ovanpå de resulterande rötterna.

Vilket sätt du ska välja när du löser en specifik logaritmisk ekvation är upp till dig. Svaret blir i alla fall detsamma.

I den här lektionen kommer vi att gå igenom de grundläggande teoretiska fakta om logaritmer och överväga att lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna.

Låt oss komma ihåg den centrala definitionen - definitionen av logaritmen. Det är relaterat till beslutet exponentiell ekvation... Denna ekvation har en enda rot, den kallas logaritmen av b för att basera a:

Definition:

Logaritmen för talet b till basen a är exponenten till vilken basen a måste höjas för att få talet b.

Återkallelse grundläggande logaritmisk identitet.

Uttryck (uttryck 1) är roten till ekvationen (uttryck 2). Byt ut värdet på x från uttryck 1 istället för x med uttryck 2 och få den grundläggande logaritmiska identiteten:

Så vi ser att varje värde tilldelas ett värde. Vi betecknar b med x (), c med y, och därmed får vi en logaritmisk funktion:

Till exempel:

Låt oss komma ihåg huvudegenskaperna för den logaritmiska funktionen.

Låt oss vara uppmärksamma igen, här, för under logaritmen kan det finnas ett strikt positivt uttryck, som basen för logaritmen.

Ris. 1. Graf över den logaritmiska funktionen vid olika baser

Funktionsdiagrammet för visas i svart. Ris. 1. Om argumentet ökar från noll till oändlighet, ökar funktionen från minus till plus oändligt.

Funktionsdiagrammet för visas i rött. Ris. 1.

Egenskaper för denna funktion:

Domän: ;

Värdeintervall:;

Funktionen är monoton över hela sin definitionsdomän. När monotont (strikt) ökar, mer mening argumentet matchar det större värdet på funktionen. När monotont (strikt) minskar, motsvarar det större värdet av argumentet det mindre värdet på funktionen.

Egenskaperna för den logaritmiska funktionen är nyckeln till att lösa en mängd olika logaritmiska ekvationer.

Betrakta den enklaste logaritmiska ekvationen, alla andra logaritmiska ekvationer reduceras som regel till denna form.

Eftersom logaritmernas baser och själva logaritmerna är lika, är även funktionerna under logaritmen lika, men vi får inte missa definitionsdomänen. Endast ett positivt tal kan stå under logaritmen, vi har:

Vi fick reda på att funktionerna f och g är lika, så det räcker att välja vilken ojämlikhet som helst för att följa DHS.

Så vi fick blandat system, där det finns en ekvation och olikhet:

Som regel är det inte nödvändigt att lösa en ojämlikhet, det räcker att lösa ekvationen och ersätta de hittade rötterna i ojämlikheten och på så sätt utföra en kontroll.

Låt oss formulera en metod för att lösa de enklaste logaritmiska ekvationerna:

Utjämna baserna för logaritmer;

Jämställa sublogaritmiska funktioner;

Kontrollera.

Låt oss titta på specifika exempel.

Exempel 1 - Lös ekvationen:

Logaritmernas baser är initialt lika, vi har rätt att likställa sublogaritmiska uttryck, glöm inte ODZ, vi kommer att välja den första logaritmen för att komponera olikheten:

Exempel 2 - Lös ekvationen:

Denna ekvation skiljer sig från den föregående genom att baserna för logaritmerna är mindre än en, men detta påverkar inte lösningen på något sätt:

Hitta roten och ersätt den med ojämlikheten:

Vi fick fel ojämlikhet, vilket innebär att den hittade roten inte uppfyller ODV.

Exempel 3 - Lös ekvationen:

Logaritmernas baser är initialt lika, vi har rätt att likställa sublogaritmiska uttryck, glöm inte ODZ, vi kommer att välja den andra logaritmen för att komponera olikheten:

Hitta roten och ersätt den med ojämlikheten:

Uppenbarligen uppfyller endast den första roten ODV.

Logaritmiska ekvationer. Vi fortsätter att överväga problemen från del B av provet i matematik. Vi har redan övervägt lösningarna för några ekvationer i artiklarna "", "". I den här artikeln ska vi titta på logaritmiska ekvationer. Jag måste genast säga att det inte blir några komplexa transformationer när man löser sådana ekvationer på provet. De är enkla.

Det räcker att känna till och förstå den grundläggande logaritmiska identiteten, att känna till logaritmens egenskaper. Var uppmärksam på att efter lösningen MÅSTE du göra en kontroll - ersätt det resulterande värdet i den ursprungliga ekvationen och beräkna, i slutändan bör du få rätt likhet.

Definition:

Logaritmen för talet a till bas b är exponenten,som du måste höja b till för att få a.

Till exempel:

Logga 3 9 = 2 eftersom 3 2 = 9

Logaritmegenskaper:

Specialfall av logaritmer:

Vi kommer att lösa problemen. I det första exemplet kommer vi att göra en kontroll. I efterföljande kontroller, gör det själv.

Hitta roten till ekvationen: log 3 (4 – x) = 4

Eftersom log b a = x b x = a, alltså

3 4 = 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Undersökning:

log 3 (4 - (- 77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Rätt.

Svar: - 77

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen: log 2 (4 - x) = 7

Hitta roten till ekvationen log 5(4 + x) = 2

Vi använder den grundläggande logaritmiska identiteten.

Eftersom log a b = x b x = a, alltså

5 2 = 4 + x

x = 5 2 - 4

x = 21

Undersökning:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Rätt.

Svar: 21

Hitta roten till ekvationen log 3 (14 - x) = log 3 5.

Förekommer nästa fastighet, dess betydelse är följande: om vi har logaritmer på vänster och höger sida av ekvationen på samma grund, då kan vi likställa uttrycken under logaritmernas tecken.

14 - x = 5

x = 9

Kolla in det.

Svar: 9

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen log 5 (5 - x) = log 5 3.

Hitta roten till ekvationen: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Om log c a = log c b, då a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x = 6

Kolla in det.

Svar: 6

Hitta roten till ekvationen log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) –2 = 13 - x

8 2 = 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Kolla in det.

Ett litet tillägg - här används fastigheten

grad ().

Svar: - 51

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen: log 1/7 (7 - x) = - 2

Hitta roten till ekvationen log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Låt oss förvandla den högra sidan. låt oss använda egenskapen:

log a b m = m ∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Om log c a = log c b, då a = b

4 - x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Kolla in det.

Svar: - 21

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Lös ekvationen log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Om log c a = log c b, då a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Kolla in det.

Svar: 2,75

Bestäm själv:

Hitta roten till ekvationen log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lös ekvationen log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Det är nödvändigt att få ett uttryck av formen på höger sida av ekvationen:

log 2 (......)

Skriv om 1 som en logaritm till bas 2:

1 = log 2 2

logga med (ab) = logga med a + logga med b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Vi får:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Om log c a = log c b, då a = b, då

2 - x = 4 - 6x

5x = 2

x = 0,4

Kolla in det.

Svar: 0,4

Bestäm själv: Därefter måste du lösa andragradsekvationen. Förresten,

rötter är 6 och -4.

rot "-4 "är ingen lösning, eftersom basen för logaritmen måste vara större än noll, och för"– 4 "det är lika med" – 5". Lösningen är rot 6.Kolla in det.

Svar: 6.

R Ät själv:

Lös ekvationsloggen x –5 49 = 2. Om ekvationen har mer än en rot, fyll i svaret med den mindre roten.

Som du kan se, inga komplicerade transformationer med logaritmiska ekvationerNej. Det räcker att känna till logaritmens egenskaper och kunna tillämpa dem. I tentamens uppgifter relaterade till omvandlingen logaritmiska uttryck, mer seriösa transformationer utförs och djupare lösningsförmåga krävs. Vi kommer att överväga sådana exempel, missa inte!Jag önskar er framgång!!!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du kunde berätta om webbplatsen på sociala nätverk.