Lösa system av linjära ojämlikheter grafiskt

Att lösa ojämlikheter. Ojämlikheter uppstår olika typer och kräver annorlunda tillvägagångssätt till deras lösning. Om du inte vill lägga tid och kraft på att lösa ojämlikheter, eller du har löst ojämlikheten själv och vill kontrollera om du fått rätt svar, då föreslår vi att du löser ojämlikheter online och använder vår tjänst Math24.su för detta. Det löser både linjära och kvadratiska olikheter, inklusive irrationella och bråkdelar. Var noga med att ange båda sidor av ojämlikheten i lämpliga fält och välj olikhetstecknet mellan dem, klicka sedan på knappen "Lösning". För att visa hur tjänsten implementerar lösningen på ojämlikheter kan du se olika sorter exempel och deras lösningar (valt till höger om knappen "Lösning"). Tjänsten tillhandahåller både lösningsintervall och heltalsvärden. Användare som kommer till Math24.su för första gången beundrar tjänstens höga hastighet, eftersom du kan lösa ojämlikheter online på några sekunder, och du kan använda tjänsten helt gratis ett obegränsat antal gånger. Tjänstens arbete är automatiserat, beräkningen i den görs av ett program, inte en person. Du behöver inte installera någon programvara, registrera dig, ange personuppgifter eller e-post. Dessutom är stavfel och fel i beräkningar uteslutna, det erhållna resultatet kan litas på till 100%. Fördelar med att lösa ojämlikheter online. Tack vare hög hastighet och användarvänlighet har tjänsten Math24.su blivit en pålitlig assistent för många skolbarn och elever. Ojämlikheter är vanliga i skolans läroplaner och institutets kurs i högre matematik och de som använder vår onlinetjänst, få stora fördelar jämfört med resten. Math24.su är tillgängligt dygnet runt, kräver ingen registrering, betalning för användning och är dessutom flerspråkig. Du bör inte försumma onlinetjänsten och de som letar efter lösningar på ojämlikheter på egen hand. Math24.su är trots allt ett utmärkt tillfälle att kontrollera riktigheten i dina beräkningar, hitta var ett misstag gjordes, se hur olika typer av ojämlikheter löses. En annan anledning till att det blir mer rationellt att lösa ojämlikheter på nätet är när lösa ojämlikheter inte är huvuduppgiften, utan bara en del av den. I det här fallet är det helt enkelt ingen mening med att spendera mycket tid och ansträngning på datoranvändning, men det är bättre att anförtro det till en onlinetjänst, samtidigt som du fokuserar på att lösa huvudproblemet själv. Som du kan se kommer onlinetjänsten för att lösa ojämlikheter vara användbar som för dem som självständigt löser given syn matematiska problem och de som inte vill slösa tid och kraft på långa beräkningar, utan behöver ett snabbt svar. Därför, när du står inför ojämlikheter, glöm inte att använda vår tjänst för att lösa eventuella ojämlikheter online: linjär, kvadratisk, irrationell, trigonometrisk, logaritmisk. Vad är ojämlikheter och hur betecknas de. Ojämlikhet gynnar baksidan jämlikhet och hur begreppet är relaterat till jämförelsen av två objekt. Beroende på egenskaperna hos de jämförda objekten säger vi högre, lägre, kortare, längre, tjockare, tunnare, etc. Inom matematiken går inte ojämlikheternas betydelse förlorad, utan här det kommer redan om ojämlikheterna hos matematiska objekt: tal, uttryck, värden på kvantiteter, former, etc. Det är vanligt att använda flera olikhetstecken:, ≤, ≥. Matematiska uttryck med sådana tecken och kallas ojämlikheter. Tecknet > (större än) är placerat mellan de större och de mindre objekten.Tecknet betecknar strikta ojämlikheter. Slappande ojämlikheter beskriver en situation där ett uttryck är "inte mer" ("inte mindre") än ett annat. "Inte mer" betyder mindre eller samma, och "inte mindre" betyder mer eller samma.

I den här lektionen kommer vi att börja utforska system för ojämlikhet. Först kommer vi att överväga systemen linjära ojämlikheter... I början av lektionen kommer vi att överväga var och varför system av ojämlikheter uppstår. Därefter kommer vi att studera vad det innebär att lösa systemet och komma ihåg föreningen och skärningspunkten mellan mängder. I slutet kommer vi att lösa specifika exempel på system med linjära ojämlikheter.

Tema: DietenVerkliga ojämlikheter och deras system

Lektion:Mainkoncept, lösning av system av linjära ojämlikheter

Fram tills nu har vi löst individuella ojämlikheter och tillämpat intervallmetoden på dem, kan det vara linjära ojämlikheter, och kvadratisk och rationell. Låt oss nu gå vidare till att lösa system av ojämlikheter – först linjära system... Låt oss titta på ett exempel där behovet av att överväga system för ojämlikhet kommer från.

Hitta domänen för en funktion

Hitta domänen för en funktion

Funktionen finns när båda kvadratrötterna finns, d.v.s.

Hur löser man ett sådant system? Det är nödvändigt att hitta alla x som uppfyller både den första och andra olikheten.

Rita på oxaxeln uppsättningen av lösningar till de första och andra ojämlikheterna.

Skärningsintervallet mellan två strålar är vår lösning.

Denna metod för att skildra lösningen av ett system av ojämlikheter kallas ibland takmetoden.

Lösningen på systemet är skärningspunkten mellan två uppsättningar.

Låt oss skildra detta grafiskt. Vi har en mängd A av godtycklig natur och en mängd B av godtycklig karaktär, som skär varandra.

Definition: Skärningen mellan två set A och B är en tredje mängd som består av alla element som ingår i både A och B.

Överväg kl specifika exempel lösningar av linjära system av ojämlikheter, hur man hittar skärningspunkterna mellan uppsättningarna av lösningar av individuella ojämlikheter som ingår i systemet.

Lös ojämlikhetssystemet:

Svar: (7; 10].

4. Lös systemet

Var kommer den andra ojämlikheten i systemet ifrån? Till exempel från ojämlikheten

Låt oss grafiskt beteckna lösningarna för varje ojämlikhet och hitta intervallet för deras skärningspunkt.

Således, om vi har ett system där en av ojämlikheterna uppfyller alla värden på x, så kan den elimineras.

Svar: systemet är inkonsekvent.

Vi har övervägt typiska stödproblem, till vilka lösningen av alla linjära system av ojämlikheter reduceras.

Tänk på följande system.

7.

Ibland ges ett linjärt system av en dubbel olikhet; överväg detta fall.

8.

Vi undersökte system av linjära ojämlikheter, förstod var de kommer ifrån, betraktade typiska system, till vilket alla linjära system reduceras, och löste några av dem.

1. Mordkovich A.G. mfl. Algebra 9:e klass: Lärobok. För allmänbildning. Institutioner - 4:e uppl. - M .: Mnemosina, 2002.-192 s .: ill.

2. Mordkovich A.G. Algebra 9:e klass: Problembok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4: e uppl. - M .: Mnemozina, 2002.-143 s .: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. Årskurs 9: lärobok. för allmänbildande studerande. institutioner / Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, IE Feoktistov. - 7:e upplagan, Rev. och lägg till. - M .: Mnemosina, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Årskurs 9. 16:e uppl. - M., 2011 .-- 287 sid.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Årskurs 9. Kl 14.00 Del 1. Lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12:e upplagan, raderad. - M .: 2010 .-- 224 s .: ill.

6. Algebra. Årskurs 9. Klockan 2, del 2. Problembok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina och andra; Ed. A.G. Mordkovich. - 12:e upplagan, Rev. - M .: 2010.-223 s .: ill.

1. Naturvetenskapernas portal ().

2. Elektroniskt pedagogiskt-metodisk komplex för att förbereda 10-11 betyg för inträdesprov i datavetenskap, matematik, ryska språket ().

4. Education Center "Teaching Technology" ().

5. Sektion College.ru i matematik ().

1. Mordkovich A.G. Algebra 9:e klass: Problembok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4: e uppl. - M.: Mnemozina, 2002.-143 s .: ill. nr 53; 54; 56; 57.

Lektion och presentation på ämnet: "Ojämlikhetssystem. Exempel på lösningar"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål! Allt material har kontrollerats av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i Integrals webbutik för årskurs 9
Interaktiv handledning för årskurs 9 "Geometriregler och övningar"
Elektronisk studiehandledning "Klar geometri" för årskurs 7-9

System av ojämlikheter

Killar, ni har studerat linjära och kvadratiska ojämlikheter, lärt er hur man löser problem i dessa ämnen. Låt oss nu gå vidare till ett nytt begrepp inom matematiken - ett system av ojämlikheter. Systemet av ojämlikheter liknar ekvationssystemet. Kommer du ihåg ekvationssystemen? Ekvationssystem du studerade i sjuan, försök komma ihåg hur du löste dem.

Låt oss introducera definitionen av ett system av ojämlikheter.
Flera olikheter med någon variabel x bildar ett system av ojämlikheter om man behöver hitta alla värden på x för vilka var och en av ojämlikheterna bildar de korrekta numeriskt uttryck.

Varje värde på x som gör varje olikhet till ett giltigt numeriskt uttryck är en lösning på olikheten. Det kan också kallas en privat lösning.
Vad är en speciell lösning? Till exempel, i svaret fick vi uttrycket x> 7. Då är x = 8, eller x = 123, eller något annat tal större än sju en speciell lösning, och uttrycket x> 7 är gemensamt beslut... Den allmänna lösningen bildas av många specifika lösningar.

Hur kombinerade vi ekvationssystemet? Det stämmer, med en lockig hängslen, så de gör samma sak med ojämlikheter. Låt oss betrakta ett exempel på ett system av ojämlikheter: $ \ begin (fall) x + 7> 5 \\ x-3
Om systemet av ojämlikheter består av samma uttryck, till exempel, börjar $ \ (fall) x + 7> 5 \\ x + 7
Så vad innebär det att hitta en lösning på ett system av ojämlikheter?
En lösning på en ojämlikhet är en uppsättning specifika lösningar på en ojämlikhet som tillfredsställer båda ojämlikheterna i systemet samtidigt.

Vi skriver den allmänna formen av ojämlikhetssystemet i formen $ \ begin (fall) f (x)> 0 \\ g (x)> 0 \ slut (fall) $

Vi betecknar med $ X_1 $ den allmänna lösningen av olikheten f (x)> 0.
$ X_2 $ är en generell lösning på olikheten g (x)> 0.
$ X_1 $ och $ X_2 $ är en uppsättning specifika lösningar.
Lösningen på systemet med ojämlikheter kommer att vara tal som tillhör både $ X_1 $ och $ X_2 $.
Låt oss komma ihåg inställda operationer. Hur kan vi hitta element i en mängd som tillhör båda mängderna samtidigt? Det stämmer, det finns en korsningsoperation för det. Så lösningen på vår ojämlikhet blir mängden $ A = X_1∩ X_2 $.

Exempel på lösningar på ojämlikhetssystem

Låt oss se exempel på att lösa system av ojämlikheter.

Lös ojämlikhetssystemet.
a) $ \ börjar (fall) 3x-1> 2 \\ 5x-10 b) $ \ börjar (fall) 2x-4≤6 \\ - x-4
Lösning.
a) Vi löser varje ojämlikhet separat.
$ 3x-1> 2; \; 3x> 3; \; x> 1 $.
$ 5x-10
Låt oss markera våra intervaller på en koordinatlinje.

Lösningen av systemet kommer att vara segmentet av skärningspunkten mellan våra intervall. Ojämlikheten är strikt, då kommer segmentet att vara öppet.
Svar: (1; 3).

B) Vi löser också varje ojämlikhet separat.
$ 2x-4≤6; 2x < 10; x ≤ 5 $.
$ -x-4 -5 $.


Lösningen av systemet kommer att vara segmentet av skärningspunkten mellan våra intervall. Den andra ojämlikheten är strikt, då kommer segmentet att vara öppet till vänster.
Svar: (-5; 5].

Låt oss sammanfatta den kunskap vi fått.
Antag att det är nödvändigt att lösa systemet med ojämlikheter: $ \ börja (fall) f_1 (x)> f_2 (x) \\ g_1 (x)> g_2 (x) \ slut (fall) $.
Då är intervallet ($ x_1; x_2 $) en lösning på den första olikheten.
Intervallet ($ y_1; y_2 $) är lösningen på den andra olikheten.
Lösningen på ett system av ojämlikheter är skärningspunkten mellan lösningar på varje ojämlikhet.

System av ojämlikheter kan bestå av ojämlikheter inte bara av första ordningen, utan också av alla andra typer av ojämlikheter.

Viktiga regler för att lösa ojämlikhetssystem.
Om en av ojämlikheterna i systemet inte har några lösningar, så har hela systemet inga lösningar heller.
Om en av ojämlikheterna är uppfylld för någon av variabelns värden, kommer systemets lösning att vara lösningen av den andra ojämlikheten.

Exempel.
Lös ojämlikhetssystemet: $ \ börjar (fall) x ^ 2-16> 0 \\ x ^ 2-8x + 12≤0 \ slut (fall) $
Lösning.
Låt oss lösa varje ojämlikhet separat.
$ x ^ 2-16> 0 $.
$ (x-4) (x + 4)> 0 $.

Låt oss lösa den andra ojämlikheten.
$ x ^ 2-8x + 12≤0 $.
$ (x-6) (x-2) ≤0 $.

Lösningen på ojämlikhet är klyftan.
Låt oss rita båda intervallen på en rät linje och hitta skärningspunkten.
Skärning av intervaller - segment (4; 6].
Svar: (4; 6].

Lös ojämlikhetssystemet.
a) $ \ börjar (fall) 3x + 3> 6 \\ 2x ^ 2 + 4x + 4 b) $ \ börjar (fall) 3x + 3> 6 \\ 2x ^ 2 + 4x + 4> 0 \ slut (fall ) $.

Lösning.
a) Den första ojämlikheten har en lösning x> 1.
Låt oss hitta diskriminanten för den andra ojämlikheten.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $ D Kom ihåg regeln när en av ojämlikheterna inte har några lösningar, då har hela systemet inga lösningar.
Svar: Det finns inga lösningar.

B) Den första ojämlikheten har en lösning x> 1.
Den andra olikheten är större än noll för alla x. Då sammanfaller systemets lösning med lösningen av den första ojämlikheten.
Svar: x> 1.

Problem med ojämlikhetssystem för oberoende lösning

Lös ojämlikhetssystemen:
a) $ \ begin (case) 4x-5> 11 \\ 2x-12 b) $ \ begin (case) -3x + 1> 5 \\ 3x-11 c) $ \ begin (case) x ^ 2-25 d) $ \ början (case) x ^ 2-16x + 55> 0 \\ x ^ 2-17x + 60≥0 \ slut (case) $
e) $ \ begin (cases) x ^ 2 + 36

Systemet av ojämlikheter det är vanligt att kalla en uppsättning av två eller flera olikheter som innehåller en okänd storhet.

Denna formulering illustreras tydligt, till exempel av en sådan ojämlikhetssystem:

Lös ojämlikhetssystemet - innebär att hitta alla värden för den okända variabeln för vilken varje olikhet i systemet realiseras, eller att bevisa att det inte finns några sådana .

Alltså för varje individ ojämlikheter i systemet beräkna den okända variabeln. Vidare, från de resulterande värdena, väljer den endast de som är sanna för både den första och andra olikheten. Därför, när det valda värdet ersätts, blir båda olikheterna i systemet korrekta.

Låt oss analysera lösningen på flera ojämlikheter:

Placera ett par talrader under det andra; på toppen kommer vi att tillämpa värdet x för vilka de första ojämlikheterna om ( x> 1) blir sant, och längst ner värdet NS, som är en lösning på den andra ojämlikheten ( NS> 4).

Jämför data på numeriska raka linjer, observera att lösningen för båda ojämlikheter kommer NS> 4. Svara, NS> 4.

Exempel 2.

Beräknar den första olikhet vi får -3 NS< -6, или x> 2, den andra är NS> -8, eller NS < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения NS där den första ojämlikhet i systemet, och på den nedre sifferraden, alla dessa värden NS, vid vilken den andra ojämlikheten i systemet realiseras.

När vi jämför uppgifterna finner vi att båda ojämlikheter kommer att förverkligas för alla värden NS placerad från 2 till 8. Uppsättningar av värden NS beteckna dubbel ojämlikhet 2 < NS< 8.

Exempel 3. Hitta