Definition av en oegentlig bråkdel. Oegentlig bråkdel. Grundläggande egenskap hos en bråkdel

Vid ordet "fraktioner" rinner gåshud för många. För jag minns skolan och de uppgifter som löstes i matematik. Detta var en plikt att uppfylla. Men vad händer om vi behandlar uppgifter med rätt och fel bråk som ett pussel? Trots allt löser många vuxna digitala och japanska korsord. Kom på reglerna, det var allt. Det är samma sak här. Man behöver bara fördjupa sig i teorin - och allt kommer att falla på plats. Och exempel kommer att bli ett sätt att träna din hjärna.

Vilka typer av bråk finns det?

Till att börja med, om vad det är. Ett bråk är ett tal som har en bråkdel av ett. Det kan skrivas i två former. Den första kallas vanlig. Det vill säga en som har en horisontell eller sned linje. Det är lika med divisionstecknet.

I en sådan post kallas talet ovanför bindestrecket för täljaren och under det för nämnaren.

Bland de vanliga urskiljs korrekta och felaktiga bråk. För den första är modultäljaren alltid mindre än nämnaren. De felaktiga kallas så för att de har motsatsen. En laglig bråkdel är alltid mindre än en. Medan fel är alltid större än detta antal.

Det finns också blandade tal, det vill säga de som har hela och bråkdelar.

Den andra typen av notation är ett decimaltal. Det är ett separat samtal om henne.

Hur skiljer sig oegentliga bråk från blandade tal?

I grunden ingenting. De är helt enkelt olika poster för samma nummer. Oregelbundna bråk blir lätt blandade tal efter enkla handlingar. Och vice versa.

Allt beror på den specifika situationen. Ibland i uppgifter är det bekvämare att använda fel bråkdel. Och ibland är det nödvändigt att översätta det till ett blandat nummer, och då kommer exemplet att lösas väldigt enkelt. Därför, vad man ska använda: oegentliga bråk, blandade tal, beror på problemlösarens observans.

Det blandade talet jämförs också med summan av heltalsdelen och bråkdelen. Dessutom är den andra alltid mindre än en.

Hur representerar jag ett blandat tal som ett oegentligt bråk?

Om du behöver utföra någon åtgärd med flera nummer som är skrivna i olika former, måste du göra dem likadana. En metod är att representera tal som oegentliga bråk.

För detta ändamål måste du utföra åtgärder enligt följande algoritm:

• multiplicera nämnaren med en heltalsdel;
• lägg till täljaren till resultatet;
• skriv svaret ovanför raden;
• lämna nämnaren densamma.

Här är exempel på hur man skriver oegentliga bråk från blandade tal:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Hur skriver jag ett oegentligt bråk som ett blandat tal?

Nästa teknik är motsatsen till den som diskuterades ovan. Det vill säga när alla blandade tal ersätts med oegentliga bråk. Algoritmen för åtgärder kommer att vara följande:

• dividera täljaren med nämnaren för att få resten;
• skriv ner kvoten i stället för hela delen av det blandade;
• resten bör placeras ovanför linjen;
• divisorn kommer att vara nämnaren.

Exempel på en sådan transformation:

76/14; 76:14 = 5 med en återstod av 6; svaret är 5 heltal och 6/14; bråkdelen i detta exempel måste minskas med 2, det visar sig 3/7; det slutliga svaret är 5 poäng 3/7.

108/54; efter division erhålls kvoten 2 utan rest; detta betyder att inte alla oregelbundna bråk kan representeras som ett blandat tal; svaret är hela - 2.

Hur konverterar man ett heltal till ett oegentligt bråk?

Det finns situationer då en sådan åtgärd också är nödvändig. För att få oegentliga bråk med en känd nämnare måste du utföra följande algoritm:

• multiplicera ett heltal med den önskade nämnaren;
• skriv detta värde ovanför linjen;
• placera nämnaren under den.

Det enklaste alternativet är när nämnaren är en. Då behöver du inte multiplicera något. Det räcker att bara skriva heltal, som ges i exemplet, och placera enheten under raden.

Exempel Gör 5 som ett oegentligt bråk med nämnare 3. Efter att ha multiplicerat 5 med 3 får du 15. Detta nummer kommer att vara nämnaren. Svaret på problemet är en bråkdel: 15/3.

Två tillvägagångssätt för att lösa problem med olika siffror

I exemplet måste du beräkna summan och skillnaden, samt produkten och kvoten av två tal: 2 heltal 3/5 och 14/11.

I det första tillvägagångssättet det blandade talet kommer att presenteras som en oegentlig bråkdel.

Efter att ha genomfört stegen som beskrivs ovan får du följande värde: 13/5.

För att ta reda på mängden måste du föra bråken till samma nämnare. 13/5 multiplicerat med 11 blir 143/55. Och 14/11 efter att ha multiplicerat med 5 kommer att ha formen: 70/55. För att beräkna summan behöver du bara lägga till täljarna: 143 och 70 och sedan skriva ner svaret med en nämnare. 213/55 är en felaktig bråkdel av svaret på problemet.

När man ska hitta skillnaden subtraheras samma siffror: 143 - 70 = 73. Svaret blir en bråkdel: 73/55.

När du multiplicerar 13/5 och 14/11 behöver du inte ta till en gemensam nämnare. Det räcker att multiplicera täljare och nämnare i par. Svaret är 182/55.

Det är samma sak med division. För den korrekta lösningen måste du ersätta division med multiplikation och vända på divisorn: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

I det andra tillvägagångssättet ett oegentligt bråk blir ett blandat tal.

Efter att ha slutfört stegen i algoritmen kommer 14/11 att förvandlas till ett blandat tal med heltalsdel 1 och bråktal 3/11.

När du beräknar summan måste du lägga till hela och bråkdelar separat. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Det slutliga svaret är 3 poäng 48/55. Första omgången var 213/55. Du kan kontrollera korrektheten genom att konvertera det till ett blandat tal. Efter att ha dividerat 213 med 55 får du kvoten 3 och resten 48. Det är lätt att se att svaret är rätt.

Subtraktion ersätter +-tecknet med -. 2 - 1 = 1,33/55 - 15/55 = 18/55. För att testa svaret från det tidigare tillvägagångssättet måste du översätta det till ett blandat tal: 73 delas med 55 och kvoten är 1 och resten är 18.

Det är obekvämt att använda blandade tal för att hitta arbetet och kvoten. Det rekommenderas alltid här att gå till fel fraktioner.

Uppdelat i rätt och fel.

Rätta bråk

Rätt bråkdelär ett vanligt bråk med täljaren mindre än nämnaren.

För att ta reda på om ett bråk är korrekt måste du jämföra dess medlemmar med varandra. Bråkets termer jämförs enligt regeln för jämförelse av naturliga tal.

Exempel. Tänk på en bråkdel:

7

8

Exempel:

8	= 1	1
7		7

Översättningsregler och ytterligare exempel finns i ämnet Konvertera ett oegentligt bråktal till ett blandat tal. Du kan också använda en online-kalkylator för att konvertera ett oegentligt bråktal till ett blandat tal.

Jämförelse av korrekta och oegentliga bråk

Varje oregelbunden bråkdel är större än den korrekta, eftersom en vanlig bråkdel alltid är mindre än ett, och en oregelbunden bråkdel är större än eller lika med ett.

Exempel:

3	>	99
2		100

Jämförelseregler och fler exempel finns i ämnet Jämföra bråk. För att jämföra bråk eller kontrollera jämförelser kan du också använda

Rätt bråkdel

Kvartal

1. Ordning. a och b det finns en regel som gör det möjligt att entydigt identifiera en och endast en av de tre relationerna mellan dem: "< », « >"Eller" = ". Denna regel kallas beställningsregel och formuleras enligt följande: två icke-negativa tal och är relaterade av samma relation som två heltal och; två icke-positiva tal a och bär relaterade av samma relation som två icke-negativa tal och; om plötsligt aär icke-negativ, och b– negativt alltså a > b... style = "max-bredd: 98%; höjd: auto; bredd: auto;" src = "/ bilder / wiki / filer / 57 /.png" border = "0">

   

   Summering av bråk

2. Tilläggsoperation. För alla rationella tal a och b det finns en sk summeringsregel c... Dessutom själva numret c kallad belopp tal a och b och betecknas, och processen att hitta ett sådant nummer kallas summering... Summeringsregeln är som följer: .
3. Multiplikationsoperation. För alla rationella tal a och b det finns en sk multiplikationsregel, vilket sätter dem i överensstämmelse med något rationellt tal c... Dessutom själva numret c kallad produkt tal a och b och betecknas, och processen att hitta ett sådant nummer kallas också multiplikation... Multiplikationsregeln är som följer: .
4. Transitivitet av orderrelationen. För varje trippel av rationella tal a , b och c om a mindre b och b mindre c, då a mindre c, och om a lika b och b lika c, då a lika c... 6435 "> Kommutativitet av addition. Summan ändras inte från bytet av platser av rationella termer.
5. Tillägg associativitet. Ordningen för addition av de tre rationella talen påverkar inte resultatet.
6. Närvaron av noll. Det finns ett rationellt tal 0 som bevarar alla andra rationella tal när de summeras.
7. Närvaron av motsatta siffror. Alla rationella tal har ett motsatt rationellt tal, summerat med det ger 0.
8. Kommutativitet av multiplikation. Produkten förändras inte från en förändring av platserna för de rationella faktorerna.
9. Associativitet av multiplikation. Ordningen i vilken de tre rationella talen multipliceras påverkar inte resultatet.
10. Enhetens tillgänglighet. Det finns ett rationellt tal 1 som bevarar alla andra rationella tal när det multipliceras.
11. Förekomsten av ömsesidiga siffror. Varje rationellt tal har ett inverst rationellt tal, som, multiplicerat med, ger 1.
12. Multiplikationens fördelning i förhållande till addition. Operationen av multiplikation är förenlig med operationen av addition med hjälp av distributionslagen:
13. Förhållandet mellan orderrelationen och additionsoperationen. Samma rationella tal kan läggas till på vänster och höger sida av en rationell ojämlikhet. max-bredd: 98%; höjd: auto; bredd: auto; "src =" / bilder / wiki / filer / 51 /.png "border =" 0 ">
14. Arkimedes Axiom. Oavsett det rationella antalet a, kan du ta så många enheter att deras summa kommer att överstiga a... style = "max-bredd: 98%; höjd: auto; bredd: auto;" src = "/ bilder / wiki / filer / 55 /.png" border = "0">

Ytterligare egenskaper

Alla andra egenskaper som är inneboende i rationella tal pekas inte ut som de viktigaste, eftersom de generellt sett inte längre är direkt beroende av egenskaperna hos heltal, utan kan bevisas utifrån de givna grundläggande egenskaperna eller direkt genom definitionen av en viss matematiskt objekt. Det finns många sådana ytterligare egenskaper. Det är vettigt att bara citera några av dem här.

Stil = "max-bredd: 98%; höjd: auto; bredd: auto;" src = "/ bilder / wiki / filer / 48 /.png" border = "0">

Räknebarhet för en uppsättning

Rationell numrering

För att uppskatta antalet rationella tal måste du hitta kardinaliteten för deras uppsättning. Det är lätt att bevisa att mängden rationella tal är räknebar. För att göra detta räcker det att ge en algoritm som numrerar rationella tal, det vill säga den etablerar en bijektion mellan uppsättningarna av rationella och naturliga tal.

Den enklaste av dessa algoritmer är följande. En oändlig tabell med vanliga bråk sammanställs, för varje i-th rad i varje j-th kolumn som fraktionen är belägen. För tydlighetens skull antas det att raderna och kolumnerna i denna tabell är numrerade från ett. Tabellceller är betecknade, där iär radnumret för tabellen där cellen finns, och j- kolumnnummer.

Den resulterande tabellen förbigås av "ormen" enligt följande formella algoritm.

Dessa regler skannas uppifrån och ner och nästa position väljs vid den första matchen.

I processen med en sådan genomgång associeras varje nytt rationellt tal med nästa naturliga tal. Det vill säga, bråket 1/1 tilldelas numret 1, bråket 2/1 - talet 2, etc. Det bör noteras att endast irreducerbara bråk numreras. Det formella tecknet på irreducerbarhet är likheten med en av de största gemensamma divisorerna för bråkets täljare och nämnare.

Efter denna algoritm kan alla positiva rationella tal räknas upp. Detta innebär att uppsättningen av positiva rationella tal är räknebar. Det är lätt att etablera en bijektion mellan uppsättningarna av positiva och negativa rationella tal genom att helt enkelt tilldela motsatsen till varje rationellt tal. Den där. uppsättningen negativa rationella tal kan också räknas. Deras förening kan också räknas av egendomen hos räkningsbara uppsättningar. Mängden rationella tal kan också räknas som föreningen av en räknebar mängd med en ändlig.

Påståendet att mängden rationella tal kan räknas kan orsaka viss förvirring, eftersom det vid första anblicken verkar vara mycket mer omfattande än mängden naturliga tal. I själva verket är det inte så, och det finns tillräckligt med naturliga tal för att räkna upp alla rationella.

Brist på rationella tal

Hypotenusan för en sådan triangel uttrycks inte med något rationellt tal

Rationella tal i formen 1 / n i stora drag n du kan mäta godtyckligt små kvantiteter. Detta faktum skapar det bedrägliga intrycket att vilket geometriskt avstånd som helst kan mätas med rationella tal. Det är lätt att visa att detta inte är sant.

Det är känt från Pythagoras sats att hypotenusan i en rätvinklig triangel uttrycks som kvadratroten av summan av kvadraterna på dess ben. Den där. längden på hypotenusan i en likbent rätvinklig triangel med ett enhetsben är, det vill säga ett tal vars kvadrat är 2.

Om vi ​​antar att talet representeras av något rationellt tal, så finns det ett sådant heltal m och ett sådant naturligt tal n, som dessutom är bråkdelen irreducerbar, det vill säga talen m och n- ömsesidigt enkelt.

Vanliga bråk är uppdelade i \ textit (rätt) och \ textit (felaktiga) bråk. Denna uppdelning bygger på att jämföra täljare och nämnare.

Rätta bråk

Rätt bråkdelär ett vanligt bråk $ \ frac (m) (n) $, där täljaren är mindre än nämnaren, dvs. $ m

Exempel 1

Till exempel är bråken $ \ frac (1) (3) $, $ \ frac (9) (123) $, $ \ frac (77) (78) $, $ \ frac (378567) (456298) $ korrekta , så som i var och en av dem är täljaren mindre än nämnaren, vilket motsvarar definitionen av ett korrekt bråk.

Det finns en definition av ett eget bråk, som bygger på att jämföra ett bråk med en enhet.

korrekt om det är mindre än en:

Exempel 2

Till exempel är det vanliga bråket $ \ frac (6) (13) $ korrekt eftersom skick $ \ frac (6) (13)

Felaktiga bråk

Fel bråkdelär ett vanligt bråk $ \ frac (m) (n) $, där täljaren är större än eller lika med nämnaren, dvs. $ m \ ge n $.

Exempel 3

Till exempel är bråken $ \ frac (5) (5) $, $ \ frac (24) (3) $, $ \ frac (567) (113) $, $ \ frac (100001) (100000) $ felaktiga , så som i var och en av dem är täljaren större än eller lika med nämnaren, vilket motsvarar definitionen av ett oegentligt bråk.

Låt oss ge en definition av en oegentlig bråkdel, som är baserad på dess jämförelse med en enhet.

Det vanliga bråket $ \ frac (m) (n) $ är fel om det är lika med eller större än ett:

\ [\ frac (m) (n) \ ge 1 \]

Exempel 4

Till exempel är bråket $ \ frac (21) (4) $ ogiltigt eftersom villkoret $ \ frac (21) (4)> 1 $ är uppfyllt;

det vanliga bråket $ \ frac (8) (8) $ är ogiltigt eftersom villkoret $ \ frac (8) (8) = 1 $ är uppfyllt.

Låt oss ta en närmare titt på begreppet en oegentlig bråkdel.

Ta det oegentliga bråket $ \ frac (7) (7) $ som ett exempel. Meningen med denna bråkdel är att de tog sju delar av ett föremål, som är uppdelat i sju lika delar. Av de sju aktier som finns kan du alltså göra upp hela objektet. De där. det oegentliga bråket $ \ frac (7) (7) $ beskriver ett helt objekt och $ \ frac (7) (7) = 1 $. Så, oegentliga bråk, där täljaren är lika med nämnaren, beskriver ett helt objekt och ett sådant bråk kan ersättas med ett naturligt tal $ 1 $.

$ \ frac (5) (2) $ - det är ganska uppenbart att från dessa fem sekunders andelar är det möjligt att tjäna $ 2 $ av hela objekt (ett helt objekt kommer att vara $ 2 $ aktier, och för att komponera två hela objekt behöver $ 2 + 2 = 4 $ aktier) och en sekund aktie återstår. Det vill säga, den oegentliga bråkdelen $ \ frac (5) (2) $ beskriver $ 2 $ av ett objekt och $ \ frac (1) (2) $ bråkdelen av det objektet.

$ \ frac (21) (7) $ - tjugoen sjundedels aktier kan användas för att göra $ 3 $ hela objektet ($ 3 $ objekt med $ 7 $ aktier vardera). De där. bråkdelen $ \ frac (21) (7) $ beskriver $ 3 $ av hela objekt.

Från de övervägda exemplen kan följande slutsats dras: ett felaktigt bråk kan ersättas med ett naturligt tal om täljaren är helt delbar med nämnaren (till exempel $ \ frac (7) (7) = 1 $ och $ \ frac (21) (7) = 3 $) , eller summan av ett naturligt tal och ett regelbundet bråktal, om täljaren inte är helt delbar med nämnaren (till exempel $ \ \ frac (5) (2) = 2 + \ frac (1) (2) $). Därför kallas sådana bråk fel.

Definition 1

Processen att representera ett oegentligt bråk som summan av ett naturligt tal och ett vanligt bråk (till exempel $ \ bråk (5) (2) = 2 + \ bråk (1) (2) $) kallas separera hela delen från den felaktiga fraktionen.

När man arbetar med oegentliga bråk finns det ett nära samband mellan dem och blandade tal.

Ett oegentligt bråk skrivs ofta som ett blandat tal - ett tal som består av ett heltal och en bråkdel.

För att skriva ett oegentligt bråk som ett blandat tal måste du dividera täljaren med nämnaren och resten. Kvoten kommer att vara hela delen av det blandade talet, resten kommer att vara täljaren för bråkdelen och divisorn kommer att vara nämnaren för bråkdelen.

Exempel 5

Skriv ett oegentligt bråk $ \ frac (37) (12) $ som ett blandat tal.

Lösning.

Dividera täljaren med nämnaren med en rest:

\ [\ frac (37) (12) = 37: 12 = 3 \ (resten \ 1) \] \ [\ frac (37) (12) = 3 \ frac (1) (12) \]

Svar.$ \ frac (37) (12) = 3 \ frac (1) (12) $.

För att skriva ett blandat tal som ett oegentligt bråk, måste du multiplicera nämnaren med hela delen av talet, lägga till täljaren för bråkdelen till produkten som blev och skriva den resulterande summan i bråkdelens täljare. Nämnaren för det oegentliga bråket kommer att vara lika med nämnaren för bråkdelen av det blandade talet.

Exempel 6

Skriv blandat tal $ 5 \ frac (3) (7) $ som ett oegentligt bråk.

Lösning.

Svar.$ 5 \ frac (3) (7) = \ frac (38) (7) $.

Lägga till ett blandat tal och en vanlig bråkdel

Blandad taltillägg$ a \ frac (b) (c) $ och rätt bråk$ \ frac (d) (e) $ utförs genom att addera till den givna bråkdelen bråkdelen av det givna blandade talet:

Exempel 7

Lägg till rätt bråkdel $ \ frac (4) (15) $ och det blandade talet $ 3 \ frac (2) (5) $.

Lösning.

Låt oss använda formeln för att lägga till ett blandat tal och en vanlig bråkdel:

\ [\ frac (4) (15) +3 \ frac (2) (5) = 3 + \ vänster (\ frac (2) (5) + \ frac (4) (15) \ höger) = 3 + \ vänster (\ frac (2 \ cdot 3) (5 \ cdot 3) + \ frac (4) (15) \ höger) = 3 + \ frac (6 + 4) (15) = 3 + \ frac (10) ( 15)\]

Genom att dividera med siffran \ textit (5), kan det fastställas att bråket $ \ frac (10) (15) $ är annullerbart. Låt oss utföra reduktionen och hitta resultatet av tillägget:

Så resultatet av att lägga till det korrekta bråket $ \ frac (4) (15) $ och det blandade talet $ 3 \ frac (2) (5) $ blir $ 3 \ frac (2) (3) $.

Svar:$ 3 \ frac (2) (3) $

Lägg till blandat tal och oegentlig bråkdel

Lägg till oegentlig bråkdel och blandat tal reducera till tillägg av två blandade nummer, för vilka det räcker att välja hela delen från den felaktiga fraktionen.

Exempel 8

Beräkna summan av det blandade talet $ 6 \ frac (2) (15) $ och det oegentliga bråket $ \ frac (13) (5) $.

Lösning.

Välj först heltalsdelen från det oegentliga bråket $ \ frac (13) (5) $:

Svar:$ 8 \ frac (11) (15) $.