System av linjära ojämlikheter. Lösning av ojämlikheter. Tillgänglig om hur man löser ojämlikheter

Den här artikeln har samlat in första information om system för ojämlikhet. Här ger vi en definition av ett system av ojämlikheter och en definition av en lösning på ett system av ojämlikheter. Den listar också de huvudtyper av system som du oftast måste arbeta med på algebra-lektionerna i skolan, och exempel ges.

Sidnavigering.

Vad är ett system av ojämlikheter?

Det är bekvämt att definiera system av ojämlikheter på samma sätt som vi introducerade definitionen av ett ekvationssystem, det vill säga enligt typen av post och betydelsen inbäddad i den.

Definition.

System av ojämlikheterär en post som representerar ett visst antal ojämlikheter skrivna under varandra, förenade till vänster med en krullig parentes, och betecknar uppsättningen av alla lösningar som samtidigt är lösningar på varje olikhet i systemet.

Låt oss ge ett exempel på ett system av ojämlikheter. Ta två godtyckliga , till exempel 2 x−3>0 och 5−x≥4 x−11 , skriv dem under varandra
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
och förena sig med systemets tecken - en lockig parentes, som ett resultat får vi ett system av ojämlikheter av följande form:

På samma sätt ges en idé om system för ojämlikhet i skolböcker. Det är värt att notera att definitionerna i dem ges mer snävt: för ojämlikheter med en variabel eller med två variabler.

De viktigaste typerna av system för ojämlikhet

Det är klart att det finns oändligt många olika system ojämlikheter. För att inte gå vilse i denna mångfald är det tillrådligt att överväga dem av grupper som har sina egna funktioner. Alla system av ojämlikhet kan delas in i grupper enligt följande kriterier:

• genom antalet ojämlikheter i systemet;
• genom antalet variabler som är involverade i registreringen;
• av ojämlikheternas natur.

Beroende på antalet ojämlikheter som ingår i journalen särskiljs system av två, tre, fyra osv. ojämlikheter. I föregående stycke gav vi ett exempel på ett system som är ett system med två ojämlikheter. Låt oss visa ett annat exempel på ett system med fyra ojämlikheter .

Separat säger vi att det inte är meningsfullt att tala om ett system med en ojämlikhet, i det här fallet faktiskt vi pratar om ojämlikheten i sig, inte om systemet.

Om man tittar på antalet variabler så finns det system av ojämlikheter med en, två, tre osv. variabler (eller, som man säger, okända). Titta på det sista systemet av ojämlikheter som skrevs två stycken ovan. Detta är ett system med tre variabler x , y och z . Observera att hennes två första ojämlikheter inte innehåller alla tre variablerna, utan bara en av dem. I sammanhanget av detta system ska de förstås som olikheter med tre variabler av formen x+0 y+0 z≥−2 respektive 0 x+y+0 z≤5. Observera att skolan fokuserar på ojämlikheter med en variabel.

Det återstår att diskutera vilka typer av ojämlikheter som finns i skrivsystem. I skolan överväger de främst system med två ojämlikheter (mindre ofta - tre, ännu mer sällan - fyra eller fler) med en eller två variabler, och själva ojämlikheterna är vanligtvis heltalsojämlikheter första eller andra graden (mindre ofta - högre grader eller bråkdel rationell). Men bli inte förvånad om du i förberedelsematerialet för OGE stöter på system av ojämlikheter som innehåller irrationella, logaritmiska, exponentiella och andra ojämlikheter. Som ett exempel presenterar vi systemet med ojämlikheter , den är hämtad från .

Vad är lösningen på ett system av ojämlikheter?

Vi introducerar en annan definition relaterad till system av ojämlikhet - definitionen av en lösning på ett system av ojämlikhet:

Definition.

Att lösa ett system av ojämlikheter med en variabel ett sådant värde på en variabel kallas som förvandlar var och en av systemets ojämlikheter till sanna, med andra ord är lösningen på varje olikhet i systemet.

Låt oss förklara med ett exempel. Låt oss ta ett system med två olikheter med en variabel . Låt oss ta värdet av variabeln x lika med 8 , det är en lösning på vårt system av ojämlikheter per definition, eftersom dess substitution i systemets olikheter ger två korrekta numeriska olikheter 8>7 och 2−3 8≤0 . Tvärtom är enheten inte en lösning på systemet, eftersom när den ersätts med variabeln x kommer den första olikheten att förvandlas till en felaktig numerisk olikhet 1>7 .

På liknande sätt kan vi introducera definitionen av en lösning på ett system av ojämlikheter med två, tre och ett stort antal variabler:

Definition.

Att lösa ett system av ojämlikheter med två, tre osv. variabler kallas ett par, trippel osv. värden för dessa variabler, som samtidigt är en lösning på varje olikhet i systemet, det vill säga det förvandlar varje olikhet i systemet till en sann numerisk olikhet.

Till exempel är värdeparet x=1 , y=2 eller på annat sätt (1, 2) en lösning på ett system av ojämlikheter med två variabler, eftersom 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

System av ojämlikheter kanske inte har några lösningar, kan ha ett ändligt antal lösningar eller kan ha oändligt många lösningar. Man talar ofta om en uppsättning lösningar på ett system av ojämlikheter. När ett system inte har några lösningar, finns det en tom uppsättning av dess lösningar. När det finns ett ändligt antal lösningar innehåller lösningsmängden ett ändligt antal element, och när det finns oändligt många lösningar, så består mängden lösningar av ett oändligt antal element.

Vissa källor introducerar definitioner av en särskild och generell lösning på ett system av ojämlikheter, som till exempel i Mordkovichs läroböcker. Under en särskild lösning på ojämlikhetssystemet förstår dess enda lösning. I sin tur allmän lösning av ojämlikhetssystemet- det här är alla hennes privata beslut. Dessa termer är dock meningsfulla bara när det krävs för att betona vilken lösning som diskuteras, men vanligtvis framgår detta redan av sammanhanget, så det är mycket vanligare att helt enkelt säga "lösning av ett system av ojämlikheter".

Av definitionerna av ett system av ojämlikheter och dess lösningar som introduceras i denna artikel, följer att lösningen av ett system av ojämlikheter är skärningspunkten mellan uppsättningarna av lösningar för alla ojämlikheter i detta system.

Bibliografi.

1. Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra:Årskurs 9: lärobok. för allmänbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M. : Utbildning, 2009. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algebra. Årskurs 9 Kl 14.00 Del 1. Lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13:e upplagan, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Algebra och början av matematisk analys. Årskurs 11. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2:a uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ANVÄNDA SIG AV-2013. Matematik: typiska examinationsalternativ: 30 alternativ / utg. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Förlaget "National Education", 2012. - 192 sid. - (USE-2013. FIPI - skola).

Ojämlikheter och system för ojämlikhet är ett av de ämnen som lärs ut på gymnasiet i algebra. När det gäller svårighetsgrad är det inte det svåraste, eftersom det har enkla regler (om dem lite senare). Som regel lär sig skolbarn lösningen av ojämlikhetssystem ganska lätt. Detta beror också på att lärare helt enkelt "utbildar" sina elever i detta ämne. Och de kan inte annat än att göra detta, eftersom det studeras i framtiden med användning av andra matematiska storheter, och kontrolleras även för OGE och Unified State Examination. I skolböcker behandlas ämnet ojämlikheter och system för ojämlikhet i detalj, så om du ska studera det är det bäst att ta till dem. Den här artikeln återberättar bara stora material, och det kan finnas vissa brister i den.

Konceptet med ett system av ojämlikheter

Om vi ​​vänder oss till det vetenskapliga språket kan vi definiera begreppet "system av ojämlikheter". Detta är en sådan matematisk modell, som representerar flera ojämlikheter. Denna modell kräver naturligtvis en lösning, och den kommer att vara det allmänna svaret för alla ojämlikheter i systemet som föreslås i uppgiften (vanligtvis skrivs det i den, till exempel: "Lös systemet med ojämlikheter 4 x + 1 > 2 och 30 - x > 6..."). Men innan du går vidare till typerna och metoderna för lösningar måste du förstå något annat.

Ojämlikhetssystem och ekvationssystem

I processen att lära sig ett nytt ämne uppstår ofta missförstånd. Å ena sidan är allt klart och jag vill hellre börja lösa uppgifter, men å andra sidan ligger vissa stunder kvar i "skuggan", de förstås inte så bra. Vissa delar av redan förvärvad kunskap kan också flätas samman med nya. Som ett resultat av denna "överlagring" uppstår ofta fel.

Därför, innan vi går vidare till analysen av vårt ämne, bör vi komma ihåg skillnaderna mellan ekvationer och ojämlikheter, deras system. För att göra detta måste du återigen förklara vad dessa matematiska begrepp är. En ekvation är alltid en likhet, och den är alltid lika med något (i matematik betecknas detta ord med tecknet "="). Ojämlikhet är en modell där ett värde antingen är större eller mindre än ett annat, eller innehåller påståendet att de inte är samma. I det första fallet är det alltså lämpligt att tala om jämlikhet, och i det andra, hur självklart det än kan låta från själva namnet, om ojämlikheten i de initiala uppgifterna. Ekvationssystem och ojämlikheter skiljer sig praktiskt taget inte från varandra och metoderna för deras lösning är desamma. Den enda skillnaden är att den förra använder jämlikheter, medan den senare använder ojämlikheter.

Typer av ojämlikheter

Det finns två typer av ojämlikheter: numeriska och med en okänd variabel. Den första typen tillhandahålls värden (siffror) som är ojämlika med varandra, till exempel 8 > 10. Den andra är ojämlikheter som innehåller en okänd variabel (anges med någon bokstav i det latinska alfabetet, oftast X). Denna variabel måste hittas. Beroende på hur många det finns skiljer den matematiska modellen på ojämlikheter med en (de utgör ett system av ojämlikheter med en variabel) eller flera variabler (de utgör ett system av ojämlikheter med flera variabler).

De två sista typerna, beroende på graden av deras konstruktion och lösningens komplexitetsnivå, är indelade i enkla och komplexa. Enkla sådana kallas också linjära ojämlikheter. De är i sin tur uppdelade i strikta och icke-stränga. Strikt specifikt "säg" att ett värde nödvändigtvis måste vara antingen mindre eller mer, så detta är i ren form olikhet. Det finns flera exempel: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Icke-stränga sådana inkluderar också jämlikhet. Det vill säga, ett värde kan vara större än eller lika med ett annat värde (tecken "≥") eller mindre än eller lika med ett annat värde (tecken "≤"). Också i linjära ojämlikheter ah variabeln är inte vid roten, kvadraten, delbar med någonting, vilket är anledningen till att de kallas "enkla". Komplexa inkluderar okända variabler, vars upptäckt kräver exekvering Mer matematiska operationer. De är ofta i en kvadrat, kub eller under roten, de kan vara modulära, logaritmiska, bråkdelar etc. Men eftersom vår uppgift är att förstå lösningen av system av ojämlikheter kommer vi att prata om ett system av linjära ojämlikheter. Men innan dess bör några ord sägas om deras egenskaper.

Egenskaper av ojämlikheter

Egenskaperna för ojämlikheter inkluderar följande bestämmelser:

1. Olikhetstecknet vänds om operationen att ändra sekvensen av sidor tillämpas (till exempel om t 1 ≤ t 2, då t 2 ≥ t 1).
2. Båda delarna av olikheten låter dig lägga till samma tal till dig själv (till exempel om t 1 ≤ t 2, då t 1 + nummer ≤ t 2 + tal).
3. Två eller flera olikheter som har tecknet för samma riktning låter dig lägga till deras vänstra och högra delar (till exempel om t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, då t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Båda delarna av olikheten låter sig multipliceras eller divideras med samma positiva tal (till exempel om t 1 ≤ t 2 och talet ≤ 0, då talet t 1 ≥ talet t 2).
5. Två eller flera olikheter som har positiva termer och ett tecken i samma riktning låter sig multipliceras med varandra (till exempel om t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 sedan t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Båda delarna av ojämlikheten låter sig multipliceras eller divideras med densamma ett negativt tal, men olikhetstecknet ändras (till exempel om t 1 ≤ t 2 och nummer ≤ 0, då talet t 1 ≥ nummer t 2).
7. Alla ojämlikheter har egenskapen transitivitet (till exempel om t 1 ≤ t 2 och t 2 ≤ t 3, då t 1 ≤ t 3).

Nu, efter att ha studerat de viktigaste bestämmelserna i teorin relaterade till ojämlikheter, kan vi gå direkt vidare till övervägandet av reglerna för att lösa deras system.

Lösning av ojämlikhetssystem. Allmän information. Lösningar

Som nämnts ovan är lösningen värdena för variabeln som passar alla olikheter i det givna systemet. Lösningen av system av ojämlikheter är implementeringen av matematiska operationer som i slutändan leder till lösningen av hela systemet eller bevisar att det inte har några lösningar. I det här fallet sägs variabeln referera till den tomma numeriska uppsättningen (skriven så här: en bokstav som betecknar en variabel∈ (tecken "tillhör") ø (tecken "tom mängd"), till exempel x ∈ ø (det står: "Variabeln "x" tillhör den tomma mängden"). Det finns flera sätt att lösa system av ojämlikheter: grafisk, algebraisk, substitutionsmetod. Det är värt att notera att de hänvisar till de matematiska modeller som har flera okända variabler. I det fall det bara finns en är intervallmetoden lämplig.

Grafiskt sätt

Låter dig lösa ett system av ojämlikheter med flera okända (från två eller fler). Tack vare denna metod löses systemet med linjära ojämlikheter ganska enkelt och snabbt, så det är den vanligaste metoden. Detta beror på att plottning minskar mängden matematiska operationer att skriva. Det blir särskilt trevligt att ta en liten paus från pennan, ta upp en penna med en linjal och fortsätta med ytterligare åtgärder med deras hjälp när mycket arbete har gjorts och du vill ha lite variation. i alla fall den här metoden vissa ogillar det på grund av att du måste bryta dig från uppgiften och byta din mentala aktivitet till att rita. Det är dock ett mycket effektivt sätt.

För att lösa ett system av ojämlikheter med hjälp av en grafisk metod är det nödvändigt att överföra alla medlemmar av varje ojämlikhet till deras vänstra sida. Tecknen kommer att vara omvända, noll ska skrivas till höger, sedan ska varje olikhet skrivas separat. Som ett resultat kommer funktioner att erhållas från ojämlikheter. Efter det kan du få en penna och en linjal: nu måste du rita en graf för varje erhållen funktion. Hela uppsättningen av tal som kommer att vara i intervallet för deras skärningspunkt kommer att vara lösningen av systemet av ojämlikheter.

Algebraiskt sätt

Låter dig lösa ett system av ojämlikheter med två okända variabler. Ojämlikheter måste också ha samma olikhetstecken (dvs. de måste innehålla antingen bara "större än"-tecknet eller bara "mindre än"-tecknet etc.) Trots dess begränsningar är denna metod också mer komplicerad. Den appliceras i två steg.

Den första inkluderar åtgärderna för att bli av med en av de okända variablerna. Först måste du välja den och sedan kontrollera förekomsten av siffror framför denna variabel. Om det inte finns några (då kommer variabeln att se ut som en enstaka bokstav), så ändrar vi ingenting, om det finns (variabeltypen kommer till exempel att vara 5y eller 12y), då är det nödvändigt att se till att i varje olikhet är talet framför den valda variabeln detsamma. För att göra detta måste du multiplicera varje medlem av ojämlikheterna med en gemensam faktor, till exempel om 3y skrivs i den första olikheten och 5y skrivs i den andra, då måste du multiplicera alla medlemmarna i den första ojämlikheten med 5, och den andra med 3. Det kommer att visa sig 15y respektive 15y.

Den andra etappen av beslutet. Det är nödvändigt att överföra den vänstra sidan av varje olikhet till deras högra sidor med en förändring av tecknet för varje term till det motsatta, skriv noll till höger. Sedan kommer den roliga delen: att bli av med den valda variabeln (annars känd som "reduktion") samtidigt som man lägger ihop ojämlikheterna. Du kommer att få en ojämlikhet med en variabel som behöver lösas. Efter det bör du göra samma sak, bara med en annan okänd variabel. Resultaten som erhålls kommer att vara systemets lösning.

Substitutionsmetod

Låter dig lösa ett system av ojämlikheter när det är möjligt att införa en ny variabel. Vanligtvis används denna metod när den okända variabeln i en term av ojämlikheten höjs till fjärde potens, och i den andra termen kvadreras den. Denna metod syftar således till att minska graden av ojämlikheter i systemet. Sampelolikheten x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 löses på detta sätt enligt följande. En ny variabel introduceras, till exempel t. De skriver: "Låt t = x 2", sedan skrivs modellen om i ny form. I vårt fall får vi t 2 - t - 1 ≤0. Denna ojämlikhet måste lösas med intervallmetoden (om det lite senare), gå sedan tillbaka till variabeln X och gör sedan samma sak med en annan olikhet. De svar som kommer att vara systemets beslut.

Avståndsmetod

Detta är det enklaste sättet att lösa system av ojämlikhet, och samtidigt är det universellt och utbrett. Det används i gymnasiet, och även i gymnasiet. Dess väsen ligger i det faktum att eleven letar efter intervall av ojämlikhet på tallinjen, som ritas i en anteckningsbok (detta är inte en graf, utan bara en vanlig rak linje med siffror). Där intervallen för ojämlikheter skär varandra, hittas systemets lösning. För att använda avståndsmetoden måste du följa dessa steg:

1. Alla medlemmar av varje ojämlikhet överförs till vänster sida med en teckenändring till motsatsen (noll skrivs till höger).
2. Ojämlikheterna skrivs ut separat, lösningen för var och en av dem bestäms.
3. Skärningspunkterna för ojämlikheterna på den reella linjen hittas. Alla siffror i dessa korsningar kommer att vara lösningen.

Vilket sätt att använda?

Uppenbarligen den som verkar lättast och bekvämast, men det finns tillfällen då uppgifter kräver en viss metod. Oftast säger de att man måste lösa antingen med en graf eller med intervallmetoden. Den algebraiska metoden och substitutionen används extremt sällan eller inte alls, eftersom de är ganska komplexa och förvirrande, och dessutom används de mer för att lösa ekvationssystem snarare än ojämlikheter, så du bör tillgripa att rita grafer och intervall. De ger synlighet, som inte kan annat än bidra till ett effektivt och snabbt genomförande av matematiska operationer.

Om något inte fungerar

Under studiet av ett visst ämne i algebra kan förstås problem med dess förståelse uppstå. Och detta är normalt, eftersom vår hjärna är utformad på ett sådant sätt att den inte kan förstå komplext material på en gång. Ofta behöver du läsa om ett stycke, ta hjälp av en lärare eller träna på att lösa typiska problem. I vårt fall ser de till exempel ut så här: "Lös systemet med ojämlikheter 3 x + 1 ≥ 0 och 2 x - 1 > 3". Så personlig strävan, hjälp från tredje part och övning hjälper till att förstå ett komplext ämne.

Reshebnik?

Och lösningsboken lämpar sig också väldigt bra, men inte för fuskläxor utan för självhjälp. Du kan hitta system av ojämlikheter med en lösning i dem, se på dem (som mönster), försöka förstå hur exakt författaren till lösningen klarade uppgiften och sedan försöka göra det på egen hand.

Slutsatser

Algebra är ett av de svåraste ämnena i skolan. Vad kan du göra? Matematik har alltid varit så här: för vissa går det lätt, och för andra är det svårt. Men man ska i alla fall komma ihåg att det allmänna utbildningsprogrammet är utformat på ett sådant sätt att vilken elev som helst kan klara av det. Dessutom måste du tänka på ett stort antal assistenter. Några av dem har nämnts ovan.

se även Lösa ett linjärt programmeringsproblem grafiskt, Kanonisk form av linjära programmeringsproblem

Systemet med begränsningar för ett sådant problem består av ojämlikheter i två variabler:
och den objektiva funktionen har formen F = C 1 x + C 2 y, som ska maximeras.

Låt oss svara på frågan: vilka nummerpar ( x; y) är lösningar till systemet av ojämlikheter, d.v.s. tillfredsställer de var och en av ojämlikheterna samtidigt? Med andra ord, vad innebär det att lösa ett system grafiskt?
Först måste du förstå vad som är lösningen av en linjär olikhet med två okända.
Att lösa en linjär olikhet med två okända innebär att bestämma alla värdepar av de okända för vilka olikheten är uppfylld.
Till exempel ojämlikhet 3 x – 5y≥ 42 tillfredsställer paren ( x , y) : (100, 2); (3, –10), etc. Problemet är att hitta alla sådana par.
Tänk på två ojämlikheter: yxa + förbi≤ c, yxa + förbi≥ c. Hetero yxa + förbi = c delar upp planet i två halvplan så att koordinaterna för punkterna för en av dem uppfyller olikheten yxa + förbi >c, och den andra ojämlikheten yxa + +förbi <c.
Ta verkligen en punkt med koordinat x = x 0; sedan en punkt som ligger på en rak linje och har en abskissa x 0 , har en ordinata

Låt för bestämdhet a<0, b>0, c>0. Alla punkter med abskiss x 0 ovan P(t.ex. prick M), har yM>y 0 , och alla punkter under punkten P, med abskiss x 0, har yN<y 0 . Eftersom det x 0 är en godtycklig punkt, då kommer det alltid att finnas punkter på ena sidan av linjen för vilken yxa+ förbi > c, bildar ett halvplan, och å andra sidan, punkter för vilka yxa + förbi< c.

Bild 1

Olikhetstecknet i halvplanet beror på siffrorna a, b , c.
Detta innebär följande metod för grafisk lösning av system med linjära olikheter i två variabler. För att lösa systemet behöver du:

1. För varje olikhet, skriv ner ekvationen som motsvarar den givna olikheten.
2. Konstruera linjer som är grafer över funktioner som ges av ekvationer.
3. För varje rät linje, bestäm halvplanet, som ges av olikheten. För att göra detta, ta en godtycklig punkt som inte ligger på en rät linje, ersätt dess koordinater med ojämlikheten. om ojämlikheten är sann, så är halvplanet som innehåller den valda punkten lösningen på den ursprungliga ojämlikheten. Om ojämlikheten är falsk, är halvplanet på andra sidan linjen uppsättningen av lösningar på denna ojämlikhet.
4. För att lösa ett system av ojämlikheter är det nödvändigt att hitta skärningsområdet för alla halvplan som är lösningen på varje ojämlikhet i systemet.

Detta område kan visa sig vara tomt, då har systemet med ojämlikheter inga lösningar, det är inkonsekvent. Annars sägs systemet vara kompatibelt.
Lösningar kan vara ett ändligt antal och en oändlig mängd. Området kan vara en sluten polygon eller det kan vara obegränsat.

Låt oss titta på tre relevanta exempel.

Exempel 1. Lös systemet grafiskt:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

• betrakta ekvationerna x+y–1=0 och –2x–2y+5=0 som motsvarar olikheterna;
• låt oss konstruera de räta linjerna som ges av dessa ekvationer.

figur 2

Låt oss definiera halvplanen som ges av ojämlikheterna. Ta en godtycklig punkt, låt (0; 0). Överväga x+ y– 1 0, ersätter vi punkten (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Därför, i halvplanet där punkten (0; 0) ligger, x + y – 1 ≤ 0, dvs. halvplanet som ligger under den räta linjen är lösningen på den första ojämlikheten. Genom att ersätta denna punkt (0; 0) i den andra får vi: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. i halvplanet där punkten (0; 0) ligger, -2 x – 2y+ 5≥ 0, och vi fick frågan var -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, alltså i ett annat halvplan - i det ovanför den räta linjen.
Hitta skärningspunkten mellan dessa två halvplan. Linjerna är parallella, så planen skär inte varandra någonstans, vilket betyder att systemet med dessa ojämlikheter inte har några lösningar, det är inkonsekvent.

Exempel 2. Hitta grafiska lösningar på systemet med ojämlikheter:

Figur 3
1. Skriv ner ekvationerna som motsvarar ojämlikheterna och konstruera räta linjer.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Efter att ha valt punkten (0; 0), bestämmer vi tecknen på ojämlikheter i halvplanen:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, dvs. x + 2y– 2 ≤ 0 i halvplanet under den räta linjen;
0 – 0 – 1 ≤ 0, dvs. y –x– 1 ≤ 0 i halvplanet under den räta linjen;
0 + 2 =2 ≥ 0, dvs. y+ 2 ≥ 0 i halvplanet ovanför linjen.
3. Skärningen mellan dessa tre halvplan kommer att vara ett område som är en triangel. Det är inte svårt att hitta områdets hörn som skärningspunkterna för motsvarande linjer


På det här sättet, MEN(–3; –2), PÅ(0; 1), FRÅN(6; –2).

Låt oss överväga ytterligare ett exempel, där den resulterande domänen för systemets lösning inte är begränsad.

I artikeln kommer vi att överväga lösning av ojämlikheter. Låt oss tala tydligt om hur man bygger en lösning på ojämlikheter med tydliga exempel!

Innan vi överväger lösningen av ojämlikheter med exempel, låt oss ta itu med de grundläggande begreppen.

Introduktion till ojämlikheter

olikhet kallas ett uttryck där funktioner är förbundna med relationstecken >, . Ojämlikheter kan vara både numeriska och alfabetiska.
Ojämlikheter med två relationstecken kallas dubbel, med tre - trippel osv. Till exempel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ojämlikheter som innehåller tecknet > eller eller är inte strikta.
Ojämlikhetslösningär vilket värde på variabeln som denna olikhet är sann för.
"Lös ojämlikheten betyder att du måste hitta alla dess lösningar. Det finns olika metoder för att lösa ojämlikheter. För ojämlikhetslösningar använd en tallinje som är oändlig. Till exempel, lösa ojämlikheten x > 3 är ett intervall från 3 till +, och talet 3 ingår inte i detta intervall, så punkten på linjen betecknas med en tom cirkel, eftersom ojämlikheten är strikt.
+
Svaret blir: x (3; +).
Värdet x=3 ingår inte i uppsättningen lösningar, så parentesen är rund. Oändlighetstecknet är alltid inom en parentes. Tecknet betyder "tillhörighet".
Fundera på hur man löser ojämlikheter med ett annat exempel med tecknet:
x2
-+
Värdet x=2 ingår i uppsättningen lösningar, så hakparentesen och punkten på linjen betecknas med en fylld cirkel.
Svaret blir: x)