Derivatet av funktionen Y 2 rot X. Derivatet av effektfunktionen (grad och rötter)

I den här lektionen lär vi oss att tillämpa formler och differentieringsbestämmelser.

Exempel. Hitta härledda funktioner.

1. Y \u003d x 7 + x 5-x 4 + x 3-x 2 + x-9. Applicera regel Jag, Formler 4, 2 och 1. Vi får:

y '\u003d 7x 6 + 5x 4 -4x 3 + 3x 2 -2x + 1.

2. y \u003d 3x 6 -2x + 5. Vi bestämmer liknande med samma formler och formel 3.

y '\u003d 3 ∙ 6x 5 -2 \u003d 18x 5 -2.

Applicera regel Jag, Formler 3, 5 och 6 och 1.

Applicera regel Iv., Formler 5 och 1 .

I det femte exemplet av regeln Jag Derivatet av mängden är lika med summan av derivaten och derivatet av de 1: e termerna vi just hittat (ett exempel 4 ) Vi hittar därför derivat 2: aoch 3: e Slantic, A. för den 1: a Stiftelsen kan omedelbart skriva resultatet.

Differentiell 2: a och 3-e. Formler 4 . För att göra detta förvandlar vi rötterna i den tredje och fjärde graderna i nämnare till grader med negativa indikatorer, och sedan 4 Formel, vi finner derivat av grader.

Titta på detta exempel och resultatet. Fångad regelbundenhet? Okej. Det innebär att vi har fått en ny formel och kan lägga till det i vårt derivatbord.

Jag löser det sjätte exemplet och dra tillbaka en annan formel.

Vi använder regeln Iv. och formel 4 . De resulterande fraktionerna kommer att skära.

Vi tittar på den här funktionen och på dess derivat. Naturligtvis förstod du mönstret och är redo att ringa till formeln:

Vi lär oss nya formler!

Exempel.

1. Hitta inkrementet av argumentet och ökningen av funktionen y \u003d x 2Om argumentets ursprungliga värde var lika 4 och ny - 4,01 .

Beslut.

Nytt värde av argumentet x \u003d x 0 + Δx. Ersätta data: 4.01 \u003d 4 + Δh, följaktligen ökningen av argumentet Δх.\u003d 4,01-4 \u003d 0,01. Inkrementet av funktionen, per definition, är lika med skillnaden mellan de nya och tidigare värdena för funktionen, d.v.s. Δy \u003d f (x 0 + Δh) - f (x 0). Eftersom vi har en funktion y \u003d x 2T. Δu\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · ΔX + (Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ΔX + (Δx) 2 \u003d

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Svar: Argumentkrement Δх.\u003d 0,01; Skyddsfunktion Δu=0,0801.

Det var möjligt att öka funktionen annorlunda: Δy.\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -u (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Hitta en lutningsvinkel Tangent till grafikfunktion y \u003d f (x) På punkten x 0, Om en f "(x 0) \u003d 1.

Beslut.

Värdet av derivatet vid beröringspunkten x 0 Och det finns en tangent lutningsvinkel av tangent (geometrisk mening derivat). Vi har: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → a \u003d 45 °,som TG45 ° \u003d 1.

Svar: Tangent av grafik av denna funktion bildas med en positiv axelriktning OH en vinkel lika 45 °.

3. Härleda en derivatformel y \u003d x n.

Differentiering - Det här är åtgärden att hitta en härledd funktion.

När derivaten används, är formlerna som härleddes på basis av bestämningen av derivatet, såväl som vi härledde en derivatformel: (x n) "\u003d nx n-1.

Här är dessa formler.

Bordderivat Det blir lättare att memorera, säger verbal formulering:

1. Det konstanta värdetivatet är noll.

2. XO streckkod är lika med en.

3. En permanent multiplikator kan nås för ett tecken på derivatet.

4. Derivatet av graden är lika med produkten enligt denna grad i examen med samma bas, men indikatorn per enhet är mindre.

5. Rotderivatet är lika med en uppdelad i två av samma rot.

6. Derivatet av enheten dividerat med X är lika med minusenhet uppdelad i X-kvadrat.

7. Sine derivat är lika med cosinus.

8. Cosinderivatet är minus sinus.

9. Tangentderivatet är lika med en enhet uppdelad i en cosinus kvadrat.

10. Kotannce-derivatet är minus en enhet uppdelad i kvadratisk sinus.

Inlärning differentieringsbestämmelser.

1. Derivatet av det algebraiska mängden är lika med den algebraiska mängden av derivaten av termerna.

2. Arbetets derivat är lika med produkten av derivatet av den första faktorn på den andra plus produkten av den första faktorn på derivatet av den andra.

3. Derivatet av "Y", uppdelat i "ve" är lika med fraktionen, i vilken som "i streckkoden multiplicerade till" vi "minus" y, multiplicerad av badern "och i nämnaren -" Vi på en fyrkant ".

4. Privatfodral Formler 3.

Lär dig tillsammans!

Sida 1 av 1 1

Drift av att hitta ett derivat kallas differentiering.

Som ett resultat av att lösa problem med att finna derivat från de enklaste (och inte mycket enkla) fungerar för att bestämma derivatet som en gräns för attityden mot ökningen av argumentet, uppträdde en tabell med derivat och exakt vissa regler Differentiering. Isaac Newton (1643-1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) var först för fältet av derivat.

Därför är det i vår tid att hitta ett derivat av någon funktion, det är inte nödvändigt att beräkna ovanstående gräns för förhållandet mellan funktionen för att öka argumentet, och du behöver bara använda tabellen över derivat och differentieringsbestämmelser . För att hitta derivatet är följande algoritm lämplig.

Att hitta ett derivat, det är nödvändigt för uttryck under strokeens tecken demontera komponenterna i enkla funktioner och bestämma vilka åtgärder (Arbete, belopp, privat) Dessa funktioner är anslutna. Därefter finns derivat av elementära funktioner i tabellen av derivat och formler av derivat, mängder och privata - i differentieringsbestämmelserna. Tabell av derivat och differentieringsbestämmelser ges efter de två första exemplen.

Exempel 1. Hitta en derivatfunktion

Beslut. Från differentieringsreglerna upptäcker vi att derivatet av funktionen av funktionen är mängden derivat, dvs

Från tabellen av derivat upptäcker vi att derivatet av "ICCA" är lika med ett, och sinusderivatet är cosinus. Vi ersätter dessa värden i mängden derivat och vi finner det nödvändiga villkoret för uppgiftderivatet:

Exempel 2. Hitta en derivatfunktion

Beslut. Differentiering som en derivativ summa, i vilken den andra termen med en konstant faktor kan nås med ett derivatskylt:

Om det finns frågor ännu, varifrån det är taget, är de vanligtvis klargjorda efter bekant med bordderivaten och de enklaste differentieringsreglerna. Vi går till dem just nu.

Tabell över härledda enkla funktioner

1. Derivatkonstant (nummer). Vilket nummer som helst (1, 2, 5, 200 ...), som är i uttrycket av funktionen. Alltid lika med noll. Det är mycket viktigt att komma ihåg eftersom det är nödvändigt mycket ofta
2. Derivatet av en oberoende variabel. Oftast "Iksa". Alltid lika med en. Det är också viktigt att komma ihåg länge.
3. Avledad grad. Graden i att lösa uppgifter du behöver konvertera unquadant rötter.
4. Variabel derivat till grad -1
5. Derivat roten ur
6. sinusderivat
7. Cosine Derivat
8. Derivat Tangent
9. Derivatet av Kotangens
10. Arksinus derivat
11. Arckosinus derivat
12. Arctangenderivat
13. Arkkotangenderivat
14. Derivat av naturlig logaritm
15. Derivatlogaritmisk funktion
16. Utställ derivat
17. Derivat indikativ funktion

Differentieringsbestämmelser

1. Derivatbelopp eller skillnad
2. Derivatarbete
2a. Derivatet av uttrycket multiplicerat med den konstanta multiplikatorn
3. Privat derivat
4. Derivatkomplexfunktion

Regel 1. Om funktioner

differentiellt vid någon tidpunkt, sedan på samma punkt differentiera och funktioner

och

de där. Derivatet av den algebraiska mängden funktioner är lika med den algebraiska mängden derivat av dessa funktioner.

Naturlig följd. Om två differentierbara funktioner skiljer sig på en permanent term är deras derivat lika.

Regel 2.Om funktioner

differentiellt vid någon tidpunkt, sedan på samma punkt annorlunda och deras arbete

och

de där. Derivatet av de två funktionerna är lika med mängden av verken hos var och en av dessa funktioner på det olika derivatet.

Corollary 1. Permanent multiplikator kan göras för ett derivatmärke:

Corollary 2. Derivatet av arbetet med flera differentierbara funktioner är lika med mängden produkter av derivatet av var och en av faktorerna till alla andra.

Till exempel, för tre multiplikatorer:

Regel 3.Om funktioner

differential vid någon tidpunkt och , då på den här punkten annorlunda och deras privatau / V, och

de där. Derivatet av de privata två funktionerna är lika med fraktionen, vars täljare är skillnaden i nämnda nämnda produkter på derivatet av täljaren och täljaren på nämnaren derivat och denominatorn är kvadraten i den tidigare talan .

Var vad man ska leta efter på andra sidor

När man hittar ett derivat av arbetet och privat i verkliga uppgifter kan flera differentieringsbestämmelser alltid tillämpas, så fler exempel för dessa derivat - i artikeln"Derivatarbete och privata funktioner".

Kommentar.Det bör inte förväxlas av en konstant (det vill säga numret) som termen i mängden och som en konstant multiplikator! I fallet med stiftelsen är dess derivat noll, och i fallet med en konstant multiplikator är den inlämnad för tecknet på derivat. Det typiskt felsom möter på första scenen Studera derivat, men som flera enskilda exempel redan har löst, är den genomsnittliga studenten av detta fel inte längre gjort.

Och om du, med differentieringen av arbetet eller privat, har en term uppträdde u."v. , i vilken u. - Ett tal, till exempel 2 eller 5, det vill säga en konstant, derivatet av detta tal kommer att vara noll och därför kommer hela termen att vara noll (ett sådant fall är demonterat i exempel 10).

Övrig frekventa fel - Mekanisk lösning av derivatkomplexet som ett derivat av en enkel funktion. därför derivatkomplexfunktion Dedikerad separat artikel. Men först kommer vi att lära oss att hitta derivat enkla funktioner.

I kursen gör du inte utan omvandlingar av uttryck. För att göra detta kan du behöva öppna fördelarna i nya fönster. Åtgärder med grader och rötter och Åtgärder med fraktioner .

Om du letar efter lösningar av derivat med grader och rötter, det vill säga när funktionen är som ett slag , Följ ockupationen "derivat av fraktioner med grader och rötter".

Om du har en uppgift som , då är du på "derivat av enkla trigonometriska funktioner".

Steg-för-steg-exempel - hur man hittar ett derivat

Exempel 3. Hitta en derivatfunktion

Beslut. Vi bestämmer den del av uttrycket av funktionen: hela uttrycket representerar arbetet, och dess faktorer är summor, i den andra av vilka ett av villkoren innehåller en permanent multiplikator. Vi använder en derivering av produkten: ett derivat av arbetet med två funktioner är lika med mängden verk av var och en av dessa funktioner på det olika derivatet:

Ange sedan mängden differentieringsbelopp: Derivatet av den algebraiska mängden funktioner är lika med den algebraiska mängden derivat av dessa funktioner. I vårt fall är varje summa den andra termen med ett minustecken. I varje summa ser vi och en oberoende variabel, vars derivat är lika med ett och konstant (antal), vars derivat är noll. Så, "X" Vi blir till en, och minus 5 - i noll. I det andra uttrycket multipliceras "X" med 2, så de två multipliceras med samma enhet som ett derivat av "IKSA". Motta följande värden derivat:

Vi ersätter de hittade derivaten i mängden verk och erhåller det önskade tillståndet för problemet med derivatet av hela funktionen:

Exempel 4. Hitta en derivatfunktion

Beslut. Vi måste hitta ett privat derivat. Med hjälp av formeln för differentiering av privat: Derivatet av de privata två funktionerna är lika med fraktionen, vars täljare är skillnaden mellan de nämnda nämnda produkterna på derivatet av täljaren och täljaren på nämnda derivat och Denominator är torget i den tidigare numeratorn. Vi får:

Vi har redan hittat ett derivat av faktorerna i numerten i exemplet 2. Jag kommer inte ens att glömma att det arbete som är den andra fabriken i täljaren i det aktuella exemplet tas med ett minustecken:

Om du letar efter lösningar på sådana uppgifter där det är nödvändigt att hitta en derivatfunktion, där de fasta raserna av rötterna och graderna, till exempel, till exempel, , då välkommen till ockupation "Derivatet av fraktioner med grader och rötter" .

Om du behöver lära dig mer om sinusderivat, cosinus, tangenter och andra trigonometriska funktioner, det vill säga när funktionen verkar som Då är du på lektionen "Derivat av enkla trigonometriska funktioner" .

Exempel 5. Hitta en derivatfunktion

Beslut. I den här funktionen ser vi arbetet, vars faktorer är en kvadratisk rot av en oberoende variabel, med det derivat som vi har läst tabellen av derivat. Enligt derivatet av produkten och tabellvärdet av kvadratrotsderivatet får vi:

Exempel 6. Hitta en derivatfunktion

Beslut. I den här funktionen ser vi privat, vilket är en kvadratisk rot från en oberoende variabel. Enligt regeln för differentiering av den privata, som vi upprepade och tillämpade i exempel 4, erhåller vi tablettbarvärdet av kvadratrotderivatet:

För att bli av med fraktionen i täljaren, multiplicera täljaren och denominatorn på.

Hej, kära läsare. Efter att ha läst artikeln kommer du förmodligen att ha en naturlig fråga: "Varför är det faktiskt nödvändigt?". På grund av detta anser jag först att det är nödvändigt att informera dig i förväg att den önskade metoden för att lösa kvadratiska ekvationer representeras snarare från den moraliska och estetiska sidan av matematiken än från sidan av praktisk torr användning. Jag ber om ursäkt i förväg innan läsarna som överväger mina amatöriska ord oacceptabla. Så, låt oss börja göra naglarna med ett mikroskop.

Vi har en algebraisk ekvation i andra graden (den är kvadratisk) i allmän form:

Låt oss gå fel kvadratisk ekvation till kvadratisk funktion:

Var är det självklart nödvändigt att hitta sådana värden för det funktionsargument där dessa skulle återvända noll.

Det verkar som om det är nödvändigt att helt enkelt lösa den kvadratiska ekvationen med hjälp av Vieta-teoremet eller genom diskrimineringen. Men vi har inte samlat här för detta. Låt oss bättre ta ett derivat!

Baserat på definitionen av den fysiska betydelsen av derivatet i den första ordern är det uppenbart att ersätter argumentet i den resulterande funktionen vi (i synnerhet) vi erhåller hastighet Förändringar i funktionen i den punkt som ges av detta argument.

Den här gången fick vi en "hastighetshastighet" ändring av funktionen (då menar du acceleration) Vid en viss punkt. Efter att ha analyserat det mottagna kan vi dra slutsatsen att "accelerationen" är en konstant som inte beror på funktionsargumentet - vi kommer ihåg det här.

Nu återkalla en fysik och motsvarande rörelse (malm). Vad har vi i Arsenal? Det är sant, det finns en formel för bestämning av koordinaten att röra sig längs axeln med den önskade rörelsen:

Där - tid, - initial hastighet, - acceleration.
Det är lätt att se att vår ursprungliga funktion är bara en malm.

Fick förskjutningsformeln för malmer inte en följd av lösningen av den kvadratiska ekvationen?

Inte. Formeln för malmer är högre i själva verket är resultatet av att ta en integrerad från hastighetsformeln med en damm. Eller från diagrammet kan du hitta figuren i figuren. Det kommer att komma ut trapezen.
Förskjutningsformeln för malm följer inte från lösningen av alla kvadratiska ekvationer. Det är mycket viktigt, annars skulle det inte finnas någon mening i artikeln.

Nu är det fortfarande att ta reda på vad som är det, och vad vi saknar.

"Acceleration" vi har redan - de är det andra ordningsderivatet, härledda ovan. Men för att få den ursprungliga hastigheten måste vi i allmänhet ta någon (vi betecknar det) och ersätter det i ett derivat som nu redan är första order - för det kommer att vara önskat.

I det här fallet uppstår frågan, vad som behöver tas? Sådana, så att initialhastigheten är lika med noll, så att "rörelsen av malm" formel kommer att ses:

I det här fallet, gör en sökekvation:

[Substituerad i det första beställningsderivatet]

Roten till en sådan ekvation är avseende:

Och värdet av den ursprungliga funktionen med detta argument kommer att vara:

Nu blir det uppenbart att:

Anslut alla "pussel detaljer" tillsammans:

Så vi fick den slutliga lösningen på uppgiften. I allmänhet öppnade vi inte Amerika - vi kom helt enkelt till formeln för att lösa den kvadratiska ekvationen genom distriktets diskriminering. Det gör inte praktisk mening (det här bär inte detta (ungefär samma sätt som du kan lösa ekvationerna i den första / andra graden av någon (inte nödvändigtvis generellt).

Syftet med denna artikel är i synnerhet uppvärmt intresse för att analysera mattan. funktioner och i allmänhet till matematik.

Jag var Peter, tack för din uppmärksamhet!

Definition. Låt funktionen \\ (y \u003d f (x) \\) definiera i ett visst intervall som innehåller i sig punkten \\ (x_0 \\). Vi ger argumentet inkrementen \\ (\\ delta x \\) är så att det inte går ut ur detta intervall. Hitta lämplig ökning av funktionen \\ (\\ delta y \\) (när du flyttar från punkt \\ (x_0 \\) till punkten \\ (x_0 + \\ deelta x \\)) och uppgick till relationen \\ (\\ frac (\\ delta y ) (\\ Delta x) \\). Om det finns en gräns för detta förhållande med \\ (\\ Delta X \\ Sightarrow 0 \\), kallas den angivna gränsen härledd funktion \\ (y \u003d f (x) \\) vid punkt \\ (x_0 \\) och ange \\ (f "(x_0) \\).

$$ \\ LIM _ (\\ Delta x \\ till 0) \\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \u003d f "(x_0) $$

För att beteckna derivatet använder Y-symbolen ofta. Observera att y "\u003d f (x) är en ny funktion, men naturligt associerad med funktionen y \u003d f (x) definierad i alla punkter x, i vilken ovanstående gräns existerar. Den här funktionen kallas detta: derivatfunktion y \u003d f (x).

Geometrisk mening av derivatet Den består nästa. Om funktionen av funktionen y \u003d f (x) vid abscisspunkten x \u003d a kan utföras av en tangent, icke-parallell axel Y, uttrycker F (a) tangentens vinkelkoefficient:
\\ (k \u003d f "(a) \\)

Sedan \\ (k \u003d tg (a) \\) är jämlikheten \\ (f "(a) \u003d tg (a) \\) sant.

Och nu tolkar vi definitionen av derivatet ur synvinkel. Låt funktionen \\ (y \u003d f (x) \\) har ett derivat vid en specifik punkt \\ (x \\):
$$ \\ lim _ (\\ delta x \\ till 0) \\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \u003d f "(x) $$
Det betyder att ungefärlig jämlikhet \\ (\\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \\ ca f "(x) \\), dvs \\ (\\ delta y \\ caf" (x) \\ cdot \\ delta x \\). Den meningsfulla betydelsen av den erhållna ungefärliga jämlikheten är som följer: Inkrementet av funktionen är "nästan proportionell mot" argumentets ökning, och proportionalitetskoefficienten är värdet av derivatet vid en given punkt X. Till exempel, för funktionen \\ (y \u003d x ^ 2 \\) är den ungefärliga jämlikheten \\ (\\ delta y \\ ca 2x \\ cdot \\ delta x \\) sanna. Om du noggrant analyserar definitionen av derivatet, så kommer vi att upptäcka att det sätts på IT-algoritmen.

Ord det.

Hur hittar du derivatfunktionen y \u003d f (x)?

1. Fixa värdet \\ (x \\), för att hitta \\ (f (x) \\)
2. Ge argument \\ (x \\) inkrement \\ (\\ delta x \\), gå till en ny punkt \\ (x + \\ delta x \\), för att hitta \\ (f (x + \\ delta x) \\)
3. Hitta inkrementet av funktionen: \\ (\\ delta y \u003d f (x + \\ delta x) - f (x) \\)
4. Gör en relation \\ (\\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) \\)
5. Beräkna $$ \\ LIM _ (\\ Delta x \\ till 0) \\ frac (\\ delta y) (\\ delta x) $$
Denna gräns är härledd från punkten x.

Om funktionen y \u003d f (x) har ett derivat vid punkt X, kallas det differentierbart vid punkt X. Förfarandet för att hitta derivatfunktionen y \u003d f (x) kallas differentiering Funktioner y \u003d f (x).

Låt oss diskutera en sådan fråga: Hur är kontinuiteten i kontinuiteten och differentialiteten av funktionen vid punkten.

Låt funktionen y \u003d f (x) differentiera vid punkten x. Sedan till grafen av funktionen vid punkten M (X; F (x)) är det möjligt att utföra en tangent och vi minns, tangentkoefficienten är F "(x). Ett sådant diagram kan inte "Break" vid punkten m, dvs funktionen är skyldig att vara kontinuerlig vid punkt X.

Dessa var motiverade "på fingrarna". Vi ger en strängare resonemang. Om funktionen y \u003d f (x) är differentierbar vid punkten X, utförs approximativ jämlikhet \\ (\\ Delta y \\ Cirka F "(x) \\ cdot \\ delta x \\). Om i denna jämlikhet \\ (\\ Delta X \\) rusade till noll, då kommer \\ (\\ delta y \\) att sträva efter noll, och det här är villkoret för kontinuiteten i funktionen vid punkten.

Så, om funktionen är differentierbar vid punkten X är den kontinuerlig vid denna tidpunkt.

Det motsatta uttalandet är felaktigt. Till exempel: Funktion y \u003d | x | Kontinuerlig överallt, i synnerhet vid punkt X \u003d 0, men tangent till grafiken i funktionen i "ledens punkt" (0; 0) existerar inte. Om det inte finns någon punkt till grafiken i funktionen kan det inte vara underbart, då det inte finns något derivat.

Ett annat exempel. Funktionen \\ (y \u003d \\ sqrt (x) \\) är kontinuerlig på hela numeriska linjen, inklusive vid punkten x \u003d 0. och funktionen till den grafiska funktionen finns vid vilken som helst punkt, inklusive vid punkten x \u003d 0. men Vid denna tidpunkt sammanfaller tangenten med Y-axeln, dvs vinkelrätt mot abscissaxeln, dess ekvation har formen X \u003d 0. Det finns inget hörn av koefficienten, det betyder att det inte finns något och \\ (f "(0) \\)

Så fick vi bekanta med den nya funktionen i funktionen - differentialitet. Och hur kan funktionen av funktionen avslutas om dess differentialitet?

Svaret är faktiskt erhållet ovan. Om du på något sätt på funktionen kan spendera en tangentiell, icke-vinkelrät abscissaxel, då är funktionen på den här tiden. Om vid någon tidpunkt tangent till grafikfunktionen inte existerar eller det är vinkelrätt mot abscissaxeln, är funktionen inte differentierad.

Differentieringsbestämmelser

Operation hitta ett derivat som kallas differentiering. När du utför den här funktionen måste det ofta fungera med privata summor, funktioner av funktioner, såväl som med "funktioner", det vill säga komplexa funktioner. Baserat på definitionen av derivatet kan du dra tillbaka de differentieringsbestämmelser som underlättar detta arbete. Om C är ett konstant nummer och f \u003d f (x), g \u003d g (x) - några differentierbara funktioner, är följande giltiga differentieringsbestämmelser:

$$ C "\u003d 0 $$$$ X" \u003d 1 $$$$$ (F + G) "\u003d F" + G "$$$$ (FG)" \u003d F "G + FG" $$$$ (Cf) "\u003d cf" $$$$ \\ vänster (\\ frac (f) (g) \\ höger) "\u003d \\ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$$$ \\ vänster (\\ Frac (c) (g) \\ höger) "\u003d - \\ frac (cg") (g ^ 2) $$ derivat komplexfunktion:
$$ F "_X (g (x)) \u003d f" _g \\ cdot g "_x $$

Tabell av derivat av vissa funktioner

$$ \\ vänster (\\ frac (1) (x) \\ höger) "\u003d - \\ frac (1) (x ^ 2) $$$$ (\\ sqrt (x))" \u003d \\ frac (1) (2 \\ Sqrt (x)) $$$$ \\ vänster (x ^ a \\ höger) "\u003d ax ^ (a - 1) $$$$ \\ vänster (a ^ x \\ höger)" \u003d a ^ x \\ cdot \\ ln a $$$$ \\ vänster (e ^ x \\ höger) "\u003d e ^ x $$$$ (\\ ln x)" \u003d \\ frac (1) (x) $$$$ (\\ log_a x) "\u003d \\ frac (1) (x \\ ln a) $$$$ (\\ sin x) "\u003d \\ cos x $$$$ (\\ cos x)" \u003d - \\ synd x $$$$ (\\ text (tg) x) "\u003d \\ Frac (1) (\\ cos ^ 2 x) $$$$ (\\ Text (CTG) x)" \u003d - \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 x) $$$$ (\\ Arcsin x) "\u003d \\ Frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$$$ (\\ arccos x)" \u003d \\ frac (-1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$$$ (\\ Text (arctg) x) "\u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $$$$ (\\ text (arcctg) x)" \u003d \\ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $