Alla större trigonometriska formler. De mest nödvändiga trigonometriska formlerna

Detta är den sista och viktigaste lektionen som är nödvändig för att lösa problem B11. Vi vet redan hur man ska översätta vinklar från den radianåtgärden i en examen (se lektionens "radian och grad av hörnet") och vet också hur man identifierar tecknet på en trigonometrisk funktion, med fokus på koordinatkvarteren (se lektionen "Tecken på trigonometriska funktioner").

Poängen är kvar: För att beräkna värdet av själva funktionen - samma nummer som är skrivet som svar. Här kommer den viktigaste trigonometriska identiteten till räddningen.

Grundläggande trigonometrisk identitet. För någon vinkel α är påståendet sant:

sIN 2 α + COS 2 a \u003d 1.

Denna formel binder sinus och cosinus i en vinkel. Nu, att veta sinus, hittar vi enkelt cosinus - och vice versa. Det är nog att ta bort kvadratroten:

Var uppmärksam på "±" -skylten före rötterna. Faktum är att från den viktigaste trigonometrisk identiteten är det inte klart vad den ursprungliga sinusen och cosinusen var: positiv eller negativ. Trots allt är byggandet av en kvadrat en jämn funktion som "brinner" alla nackdelar (om de var).

Det är därför som i alla uppgifter av B11, som finns i tentamen i matematik, är det nödvändigtvis ytterligare villkor som hjälper till att bli av med osäkerhet med tecken. Vanligtvis är det en indikation på ett koordinatkvartal för vilket du kan definiera ett tecken.

Uppmärksam läsare kommer säkert att fråga: "Och vad sägs om tangent och kotangent?" Beräkna direkt dessa funktioner från ovanstående formler kan inte. Det finns emellertid viktiga konsekvenser av den viktigaste trigonometriska identiteten som redan innehåller tangenter och kedjor. Nämligen:

VIKTIGT: För varje vinkel a kan du skriva om den viktigaste trigonometrisk identitet enligt följande:

Dessa ekvationer är lätt härledda från huvudidentiteten - det är tillräckligt att dela båda sidor på COS 2 a (för att erhålla en tangent) eller synd 2 a (för cotangent).

Tänk på allt detta på specifika exempel. Nedan är de sanna B11-uppgifterna som tas från provningsmöjligheterna för EGE i matematik 2012.

Vi är kända för att cosinus, men är okänd sinus. Den viktigaste trigonometriska identiteten (i "ren" formulär) ansluter bara dessa funktioner, så vi kommer att arbeta med det. Vi har:

sIN 2 a + cos 2 α \u003d 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 \u003d 1 ⇒ sin 2 a \u003d 1/100 ⇒ synd a \u003d ± 1/10 \u003d ± 0,1.

För att lösa problemet, är det fortfarande att hitta ett sinusskylt. Eftersom vinkeln a ∈ (π / 2; π), är detta skrivet till graden: a ∈ (90 ° 180 °).

Följaktligen ligger vinkeln α i II-koordinatkvartalet - alla sinaes är positiva där. Därför synd α \u003d 0,1.

Så vi är kända för sinus, och du måste hitta en cosinus. Båda dessa funktioner är huvudsakligen trigonometrisk identitet. Vi ersätter:

sIN 2 α + COS 2 a \u003d 1 ⇒ 3/4 + COS 2 a \u003d 1 ⇒ COS 2 a \u003d 1/4 ⇒ COS α \u003d ± 1/2 \u003d ± 0,5.

Det återstår att hantera tecknet före fraktionen. Vad ska du välja: Plus eller Minus? Genom tillstånd hör vinkeln α gapet (π 3π / 2). Vi översätter vinklarna från den radianåtgärden till examen - vi får: α ∈ (180 ° 270 °).

Självklart är detta III-koordinatkvartalet, där alla cosiniser är negativa. Därför, COS α \u003d -0,5.

En uppgift. Hitta TG α om följande är känt:

Tangent och cosinus är förknippade med ekvationen enligt följande från den huvudsakliga trigonometrisk identitet:

Vi erhåller: TG α \u003d ± 3. Tangentskylten bestäms av vinkeln a. Det är känt att α ∈ (3π / 2; 2π). Vi översätter vinklar från den radianåtgärden i examen - vi får α ∈ (270 ° 360 °).

Självklart är detta ett IV-koordinatkvartal, där alla tangenter är negativa. Därför tg a \u003d -3.

En uppgift. Hitta COS α om följande är känt:

Återigen är sinus känd och okänd cosinus. Vi skriver den viktigaste trigonometrisk identitet:

sIN 2 α + COS 2 a \u003d 1 ⇒ 0,64 + COS 2 a \u003d 1 ⇒ COS 2 a \u003d 0,36 ⇒ Cos a \u003d ± 0,6.

Tecken som bestämmer hörnet. Vi har: α ∈ (3π / 2; 2π). Vi översätter vinklarna från examensmåttet till radianen: α ∈ (270 °; 360 °) är IV-koordinatkvartalet, cosinerna är positiva där. Följaktligen cos a \u003d 0,6.

En uppgift. Hitta synd α om följande är känt:

Vi skriver ner den formel som följer av den viktigaste trigonometriska identiteten och ansluter direkt sinus och Kotangent:

Härifrån får vi den synden 2 α \u003d 1/25, dvs. Synd a \u003d ± 1/5 \u003d ± 0,2. Det är känt att vinkeln a ∈ (0; π / 2). I grad är detta skrivet enligt följande: α ∈ (0 ° 90 °) - jag samordnar ett kvartal.

Så vinkeln är i det första koordinatkvartalet - alla trigonometriska funktioner är positiva där, därför synd a \u003d 0,2.

I början av den här artikeln tittade vi på begreppet trigonometriska funktioner. Huvudsyftet med deras syfte är att studera grunden för trigonometri och studien av periodiska processer. Och vi färgade inte trigonometrisk cirkel, eftersom trigonometriska funktioner i de flesta fall definieras som förhållandet mellan triangeln eller dess vissa segment i en enda cirkel. Jag nämnde också det otvivelaktigt stora värdet av trigonometri i det moderna livet. Men vetenskapen står inte stilla, som ett resultat kan vi avsevärt utöka trigonometriens omfattning och överföra sin position till verkliga, och ibland till komplexa tal.

Trigonometri formler Det finns flera typer. Tänk på dem i ordning.

Förhållandet mellan de trigonometriska funktionerna i samma vinkel

Här kontaktade vi övervägandet av en sådan sak som grundläggande trigonometriska identiteter.

Trigonometrisk identitet är jämlikhet som består av trigonometriska förhållanden och som utförs för alla värden av värdena för de hörn som ingår i den.

Tänk på de viktigaste trigonometriska identiteterna och deras bevis:

Den första identiteten följer av tangentens mycket bestämning.

Ta en rektangulär triangel där det finns en akut vinkel x på toppen av A.

För att bevisa identiteter är det nödvändigt att använda Pythagora-teoremet:

(SUN) 2 + (AC) 2 \u003d (AB) 2

Nu delar vi på (AB) 2 av båda delarna av jämlikhet och kommer ihåg definitionen av synd och cosvinkel, vi får en andra identitet:

(Sun) 2 / (ab) 2 + (AC) 2 / (ab) 2 \u003d 1

sIN X \u003d (BC) / (AB)

cos x \u003d (AC) / (AB)

synd 2 x + cos 2 x \u003d 1

För att bevisa den tredje och fjärde identiteterna använder vi tidigare bevis.

För att göra detta är båda delarna av den andra identiteten uppdelade i COS 2 x:

synd 2 x / cos 2 x + cos 2 x / cos 2 x \u003d 1 / cos 2 x

sin 2 x / cos 2 x + 1 \u003d 1 / cos 2 x

Baserat på den första identiteten av TG X \u003d SIN X / COS X får vi den tredje:

1 + Tg 2 x \u003d 1 / cos 2 x

Nu delar vi den andra identiteten på synd 2 x:

synd 2 x / synd 2 x + cos 2 x / synd 2 x \u003d 1 / synd 2 x

1+ cos 2 x / synd 2 x \u003d 1 / synd 2 x

cOS 2 X / SIN 2 X är inget annat än 1 / Tg 2 x, så vi får en fjärde identitet:

1 + 1 / tg 2 x \u003d 1 / synd 2 x

Det är dags att återkalla theorem om summan av triangelns inre vinklar, som säger att summan av hörnen av triangeln \u003d 180 0. Det visar sig att på toppen i triangeln finns en vinkel, vars värde är 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.

Minns definitionerna för SIN och COS igen och vi får femte och sjätte identiteterna:

sIN X \u003d (BC) / (AB)

cos (90 0 - x) \u003d (bc) / (ab)

cos (90 0 - x) \u003d synd x

Gör nu följande:

cos x \u003d (AC) / (AB)

sIN (90 0 - X) \u003d (AC) / (AB)

synd (90 0 - x) \u003d cos x

Som du kan se är allt elementärt här.

Det finns andra identiteter som används för att lösa matematiska identiteter, jag kommer helt enkelt i form av referensinformation, eftersom de alla beror på ovanstående.

Uttryck av trigonometriska funktioner i varandra

(Valet av tecknet innan roten bestäms av vilket hörnet är beläget i cirkeln?)

Följ sedan formlerna för tillsats och subtraherar hörnen:

Formler av dubbel, trippel och halv hörn.

Jag noterar att de alla härrör från de tidigare formulerna.

synd 2x \u003d 2sin x * cos x

cOS 2X \u003d COS 2 x -SIN 2 x \u003d 1-2SIN 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tG 2X \u003d 2TGX / (1 - Tg 2 x)

cTG 2X \u003d (CTG 2 x - 1) / 2stg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tG 3X \u003d (3TGX - Tg 3 x) / (1 - 3Tg 2 x)

cTG 3X \u003d (CTG 3 X - 3STG X) / (3CTG 2 X-1)

Trigonometriska uttryckskonverteringsformler:

Trigonometriska identiteter - Det här är likheter som etablerar en koppling mellan sinus, cosinus, tangent och catangent i en vinkel, vilket gör att du kan hitta någon av dessa funktioner, förutsatt att någon annan kommer att bli känd.

tG \\ Alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

tG \\ Alpha \\ CDOT CTG \\ ALPHA \u003d 1

Denna identitet tyder på att summan av kvadraten av sinusen i en vinkel och cosinus kvadrat i en vinkel är lika med en, vilket i praktiken gör det möjligt att beräkna sinusen i en vinkel när dess cosinus är känd och vice versa.

Vid omvandling av trigonometriska uttryck används denna identitet ofta, vilket gör att enheten kan ersätta mängden cosinus och sinus kvadrater i en vinkel och också producera en ersättningsoperation i omvänd ordning.

Hitta tangent och kotangens genom sinus och cosinus

tG \\ ALPHA \u003d \\ FRAC (\\ Sin \\ Alpha) (\\ Cos \\ Alpha), \\ EnSpace

Dessa identiteter bildas av definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangens. Trots allt, om du räknar ut det, är det med definitionen av ordinatet en sinus, och x-cosinus abscissa. Då kommer tangenten att vara lika med attityd \\ Frac (y) (x) \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)och attityd \\ Frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - kommer att vara katangent.

Vi lägger till det bara för sådana vinklar \\ Alpha, där trigonometriska funktioner som ingår i dem är meningsfullt, kommer identiteten att äga rum, ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha).

Till exempel: tG \\ Alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) är bara för vinklarna \\ Alpha, som skiljer sig från \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi z, men ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - För en vinkel \\ Alpha, annorlunda än \\ Pi Z, Z - är ett heltal.

Beroende mellan tangent och kotangen

tG \\ Alpha \\ CDOT CTG \\ ALPHA \u003d 1

Denna identitet är endast giltig för sådana vinklar \\ Alpha, som skiljer sig från \\ Frac (\\ pi) (2) z. Annars eller cotangent eller tangent kommer inte att bestämmas.

Förlita sig på ovanstående föremål, vi får det tG \\ Alpha \u003d \\ frac (y) (x), men cTG \\ Alpha \u003d \\ frac (x) (y). Därför följer det det tG \\ Alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. Således är tangent- och catangener i en vinkel, där de är meningsfulla ömsesidigt omvända nummer.

Beroenden mellan tangent och cosinus, catangenes och sinus

tG ^ (2) \\ Alpha + 1 \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha) - Summan av tangenten av tangenten av vinkeln \\ alfa och 1 är lika med den omvända kvadraten hos den här vinkeln i denna vinkel. Denna identitet är sant för alla \\ Alpha, förutom \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.

1 + CTG ^ (2) \\ Alpha \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alpha) - Belopp 1 och torget i hörnet av vinkeln \\ Alpha är lika med den omvända kvadraten i sinusens burk. Denna identitet gäller för alla \\ Alpha, annorlunda än \\ Pi Z.

Exempel med uppgiftslösningar för användning av trigonometriska identiteter

Exempel 1.

Hitta \\ Sin \\ Alpha och TG \\ Alpha om \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ frac12 och \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Visa ett beslut

Beslut

Funktioner \\ Sin \\ Alpha och \\ Cos \\ Alpha binds formel \\ Sin ^ (2) \\ Alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Ersätta denna formel \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ frac12Vi kommer få:

\\ Sin ^ (2) \\ Alpha + \\ vänster (- \\ frac12 \\ höger) ^ 2 \u003d 1

Denna ekvation har 2 lösningar:

\\ Sin \\ Alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac14) \u003d \\ pm \\ frac (\\ sqrt 3) (2)

Med villkor \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . I andra kvartalet är sinus positivt, så \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2).

För att hitta TG \\ Alpha använder vi formeln tG \\ Alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

tG \\ Alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2): \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3

Exempel 2.

Hitta \\ Cos \\ Alpha och CTG \\ Alpha, om \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Visa ett beslut

Beslut

Ersättning i formeln \\ Sin ^ (2) \\ Alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 Givet med tillståndsnummer \\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2)Motta \\ vänster (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ höger) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Denna ekvation har två lösningar \\ Cos \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ frac34) \u003d \\ pm \\ sqrt \\ frac14.

Med villkor \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Under andra kvartalet är cosinuset negativt, så \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ sqrt \\ frac14 \u003d - \\ frac12.

För att hitta CTG \\ Alpha använder vi formeln ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha). Lämpliga värden är kända för oss.

cTG \\ ALPHA \u003d - \\ FRAC12: \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d - \\ frac (1) (\\ sqrt 3).

Referensdata för trigonometriska sinusfunktioner (SIN X) och Cosinus (COS X). Geometrisk definition, egenskaper, grafer, formler. Bord av bihålor och cosiniser, derivat, integraler, sönderdelningar i ledningar, sessioner, mossens. Uttryck genom komplexa variabler. Kommunikation med hyperboliska funktioner.

Geometrisk definition av sinus och cosinus

| Bd | - Arc längd av cirkel med centrum vid punkt A..
α - Vinkel, uttryckt i radianer.

Definition
Sinus (synd α) - Det är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln a mellan hypotenooma och en styv triangelkatet, lika med förhållandet mellan längden på den motsatta kategorin | BC | Till längden på hypotenus | AC |.

Cosinus (cos α) - Det är en trigonometrisk funktion, beroende på vinkeln a mellan hypotenooma och kathe av den rektangulära triangeln, lika med förhållandet mellan längden på den intilliggande kategorin | AB | Till längden på hypotenus | AC |.

Godkända beteckningar

;
;
.

Sinusfunktion graf, y \u003d synd x

Schema Funktion Kosinus, Y \u003d Cos X

Egenskaper av sinus och cosinus

Periodicitet

Funktioner y \u003d. synd X. och y \u003d cos X. Periodisk med en period 2 π..

Paritet

Sinusfunktionen är udda. Cosine-funktionen är jämn.

Omfattning av definition och värderingar, ytterligheter, ökar, minskar

Sine och Cosine-funktionerna är kontinuerliga på deras definitionområde, det vill säga för alla X (se kontinuitetsbevis). Deras grundläggande egenskaper presenteras i tabell (n - hel).

	y \u003d. synd X.	y \u003d. cos X.
Definition och kontinuitetsområde	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Värderingsområde	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Stigande
Nedrustning
Maxima, y \u200b\u200b\u003d 1
Minima, y \u200b\u200b\u003d - 1
Nollor, y \u003d 0
Punkt av korsning med ordinataxeln, x \u003d 0	y \u003d. 0	y \u003d. 1

Grundläggande formler

Sinus och cosinus rutor

Formler av sinus och cosinus från mängden och skillnaden

;
;

Formler fungerar av bihålor och cosinus

Formler av summan och skillnaden

Sinusuttryck genom cosinus

;
;
;
.

Cosinus uttryck genom sinus

;
;
;
.

Uttryck genom tangent

; .

När vi har:
; .

Med:
; .

Sinus och Cosine Table, Tangents och Kotangers

Denna tabell visar värdena för bihålor och cosiniser vid vissa värden av argumentet.

Uttryck genom komplexa variabler

;

Formel euler

{ -∞ < x < +∞ }

Sean, Kosakhans.

Omvänd funktioner

Inverse funktioner till sinus och cosinus är arcsinus respektive arquosin.

Arksinus, Arcsin.

Arkkosinus, Arccos.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, en referensbok om matematik för ingenjörer och studenter i skötarna, "LAN", 2009.

I den här artikeln kommer vi att överväga. De viktigaste trigonometriska identiteterna är ekvivalenter som fastställer förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och catangent i en vinkel och låter dig hitta någon av dessa trigonometriska funktioner genom en välkänd.

Ange omedelbart de grundläggande trigonometriska identiteterna som vi kommer att analysera i den här artikeln. Vi skriver dem till bordet, och under kommer vi att ge produktionen av dessa formler och ge de nödvändiga förklaringarna.

Navigeringssida.

Kommunikation mellan sinus och cosinus i ett hörn

Ibland säger de inte om de grundläggande trigonometriska identiteterna som anges i tabellen ovan, men om en enda den viktigaste trigonometrisk identitet Se . Förklaring av detta faktum är ganska enkelt: jämlikhet erhålls från den viktigaste trigonometriska identiteten efter att ha delat båda delar av den och därmed och jämlikhet och Följ definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangens. Vi kommer att prata om detta i följande stycken.

Det är det är särskilt intresse för jämlikheten att namnet på den huvudsakliga trigonometriska identiteten gavs.

Innan vi bevisar den viktigaste trigonometriska identiteten, kommer vi att ge det formuleringen: summan av sinusens kvadrater och cosinusen i en vinkel är identiskt lika med en. Nu bevisar vi det.

Den viktigaste trigonometriska identiteten används ofta när transformation av trigonometriska uttryck. Det tillåter summan av sinusens kvadrater och cosinusen i en vinkel för att byta ut enheten. Inte mindre ofta används den huvudsakliga trigonometriska identiteten i omvänd ordning: enheten ersätts med summan av sinus kvadrater och cosinus i något hörn.

Tangent och Kotangenes genom sinus och Cosine

Identiteter bindning tangent och catangenes med sinus och cosinus i en typ av typ och Följ omedelbart definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangent. Faktum är att sinus det är en order Y, Cosine är Abscissa X, Tangent är förhållandet mellan ordinaten till abscissen, det vill säga , och Kothangence är Abscissa-förhållandet att ordinera, det vill säga .

På grund av bevis på identiteter och Ofta ger definitionerna av tangent och kotangener inte genom förhållandet mellan abscissen och ordinat, men genom förhållandet sinus och cosinus. Så en tangent av vinkeln kallas förhållandet mellan sinus till cosinusen i denna vinkel, och Kotangent är attityden hos Cosine till sinus.

Sammanfattningsvis bör det noteras att identiteter och De äger rum för alla sådana vinklar där trigonometriska funktioner i dem är meningsfulla. Så formeln är giltig för någon annan än (annars i denominatorn kommer att vara noll, och vi definierade inte uppdelningen till noll) och formeln - För alla andra än Z - någon.

Kommunikation mellan Tangent och Kotangen

En ännu mer uppenbar trigonometrisk identitet än två tidigare är en identitet som förbinder tangent och cotangent av en typ av typ . Det är uppenbart att det sker för andra vinklar än, annars, antingen tangent eller cotangenes definieras inte.

Bevis på formel väldigt enkelt. Per definition och var . Det var möjligt att spendera bevis och lite annorlunda. Som jag T. .

Så, tangent och kotnens av samma vinkel, där de är meningsfulla.