I början av lektionen kommer vi att upprepa de grundläggande egenskaperna kvadratiska rötteroch överväga sedan några komplexa exempel För att förenkla uttryck som innehåller kvadratiska rötter.

Ämne:Fungera. Egenskaper av kvadratrot

Lektion:Transformation och förenkling av mer komplexa uttryck med rötter

1. Upprepa egenskaperna hos kvadratiska rötter

Upprepa kort teorin och påminna de grundläggande egenskaperna hos kvadratiska rötter.

Egenskaper av kvadratiska rötter:

1. Därför;

3. ;

4. .

2. Exempel på förenkling av uttryck med rötter

Låt oss vända oss till exemplen på att använda dessa egenskaper.

Exempel 1. Förenkla uttryck .

Beslut. För att förenkla numret 120 är det nödvändigt att sönderdelas på enkla faktorer:

Kvadratisk mängd kommer att avslöjas enligt motsvarande formel:

Exempel 2. Förenkla uttryck .

Beslut. Vi tar hänsyn till att detta uttryck är meningsfullt inte med alla möjliga värden på variabeln, eftersom det finns kvadratiska rötter och fraktioner, vilket leder till "smaling" av området med tillåtna värden. OTZ: ().

Vi ger uttrycket i parentes till den allmänna nämnaren och med en spinnare av den sista fraktionen som en skillnad i rutor:

Svar. på.

Exempel 3. Förenkla uttryck .

Beslut. Det kan ses att den andra numeratorfästet har ett obekväma utseende och måste förenklas, försök att sönderdela det för multiplikatorer med hjälp av grupperingsmetoden.

För möjligheten att göra en gemensam faktor förenklade vi rötterna genom sönderdelning av multiplikatorer. Vi ersätter det resulterande uttrycket i den ursprungliga fraktionen:

Efter att ha klippt fraktion, använd formeln för skillnaden i rutor.

3. Exempel på att bli av med irrationalitet

Exempel 4. Ofta från irrationalitet (rötter) i nämnaren: a); b).

Beslut. a) För att bli av med irrationalitet i denominatorn, tillämpad standardmetod Dominering och numerator och nämnare av fraktionen på faktorn konjugat till nämnaren (samma uttryck, men med ett omvändt tecken). Detta görs för att komplettera beloppet av fraktionen till skillnaden i rutor, vilket tillåter roten från roten i denominatorn. Utför den här tekniken i vårt fall:

b) Utför liknande åtgärder:

4. Exempel på bevis och frisättning av en full kvadrat i en komplex radikal

Exempel 5. Bevisa jämställdhet .

Bevis. Vi använder definitionen av kvadratroten, från vilken det följer att kvadraten av det rätta uttrycket ska vara lika med det styrda uttrycket:

. Vi kommer att avslöja fästen vid kvadratformeln:

Krävde sann jämlikhet.

Bevisade.

Exempel 6. Förenkla uttrycket.

Beslut. Det angivna uttrycket är vanligt kallat en komplex radikal (rot under roten). I detta exempel Det är nödvändigt att gissa att allokera en full kvadrat från matningsuttrycket. För att göra detta noterar vi att de två komponenterna är en utmaning för rollen som ett fördubblat arbete i formeln av kvadraten av skillnaden (skillnad, eftersom det finns en minus). Vi tar med sig det i form av ett sådant arbete:, då hävdas rollen som en av komplikationerna av hela torget och på den andra - 1.

Vi kommer att ersätta detta uttryck på roten.

Ett alpunktuttryck (eller uttryck med variabler) är ett matematiskt uttryck som består av siffror, bokstäver och tecken på matematiska operationer. Till exempel är följande uttryck alfabetiskt:

a + B + 4

Med hjälp av brevuttryck kan du registrera lagar, formler, ekvationer och funktioner. Möjligheten att manipulera brevbeständiga uttryck är nyckeln till god kunskap om algebra och högre matematik.

Eventuell allvarlig uppgift i matematik reduceras för att lösa ekvationer. Och för att kunna lösa ekvationer måste du kunna arbeta med brevuttryck.

För att arbeta med brevbeständiga uttryck måste du studera väl den grundläggande aritmetiken: tillägg, subtraktion, multiplikation, division, grundläggande lagar i matematik, fraktioner, action med fraktioner, proportioner. Och inte bara utforska, men att förstå grundligt.

Utformning av lektion

Variabler

Brev som finns i alfabetuttryck kallas variabler. Till exempel, i uttryck a + B + 4 Ändringar är bokstäver a. och b.. Om istället för dessa variabler, ersätter några nummer, då bokstavsuttrycket a + B + 4 Kontakta det numeriska uttrycket vars värde kan hittas.

Siffror som är substituerade istället för variabler samtal värden av variabler. Ändra till exempel värdena för variabler a. och b.. För att ändra värdena används ett lika tecken

a \u003d 2, b \u003d 3

Vi ändrade värdena för variabler a. och b.. Variabel a. Tilldelad betydelse 2 , variabel b. Tilldelad betydelse 3 . Som ett resultat, ett alfabetiskt uttryck a + B + 4 appellerar till det vanliga numeriska uttrycket 2+3+4 Vems värde kan hittas:

2 + 3 + 4 = 9

När multiplicering av variabler uppstår, spelas de ihop. Till exempel skriva ab betyder detsamma som inspelning en × B.. Om vi \u200b\u200bersätter istället för variabler a.och B. tal 2 och 3 Då får vi 6

2 × 3 \u003d 6

Det kan också ska överensstämma med multiplikationen av numret på uttrycket i parentes. Till exempel istället en × (b + c) kan spelas in a (B + C). Tillämpning av distributionslagen i multiplikationen, vi får a (B + C) \u003d AB + AC.

Faktorer

I brevuttryck kan du ofta hitta en post där numret och variabeln spelas in tillsammans, till exempel 3a . Det är faktiskt en kort inspelning av multiplikation av nummer 3 till variabeln a. Och den här posten ser ut 3 × A. .

Med andra ord uttrycker uttryck 3a Det är en produkt av nummer 3 och variabeln a.. siffra 3 I det här arbetet ringer de koefficient. Denna koefficient visar hur många gånger variabeln kommer att ökas. a.. Detta uttryck kan läsas som " a. tre gånger "eller" tre gånger men", Eller" öka värdet på variabeln a. tre gånger ", men oftast läsas som" tre a.«

Till exempel, om variabeln a. likvärdig 5 då värdet av uttrycket 3adet blir 15.

3 × 5 \u003d 15

Tala enkelt språk, Koefficienten är ett tal som står inför bokstaven (före variabeln).

Brev kan vara något, till exempel 5ABC.. Här är koefficienten numret 5 . Denna koefficient visar att produkten av variabler abc Ökar fem gånger. Detta uttryck kan läsas som " abc fem gånger "antingen" öka uttrycksvärde abc fem gånger "eller" fem abc«.

Om istället istället för variabler abc ersättningsnummer 2, 3 och 4, sedan värdet av uttrycket 5ABC. kommer att vara lika 120

5 × 2 × 3 × 4 \u003d 120

Du kan mentalt föreställa dig hur första siffrorna 2, 3 och 4 mediteras och det resulterande värdet ökade fem gånger:

Koefficientmärket gäller endast koefficienten och relaterar inte till variabler.

Överväga uttryck -6b.. Minusfaktor 6 , gäller endast koefficienten 6 och gäller inte variabeln b.. Att förstå detta faktum kommer inte att göra misstag i framtiden med tecken.

Hitta värdet av uttrycket -6b. för b \u003d 3..

-6b. -6 × B.. För tydlighet, skriv uttrycket -6b. i utplacering och ersätta värdet av variabeln b.

-6B \u003d -6 × B \u003d -6 × 3 \u003d -18

Exempel 2. Hitta ett uttrycksvärde -6b. för b \u003d -5

Vi skriver uttryck -6b. i utplacerad video

-6B \u003d -6 × B \u003d -6 × (-5) \u003d 30

Exempel 3. Hitta ett uttrycksvärde -5a + B. för A \u003d 3.och B \u003d 2.

-5a + B. Detta är en kort form av inspelning från -5 × A + B , så för tydlighet skriver vi uttrycket -5 × A + B Vid utplacering och ersätta värdena för variabler a. och b.

-5A + B \u003d -5 × A + B \u003d -5 × 3 + 2 \u003d -15 + 2 \u003d -13

Ibland skrivs bokstäver utan en koefficient, till exempel a. eller ab . I det här fallet är koefficienten en enhet:

men enheten enligt tradition är inte inspelad, så de skriver bara a. eller ab

Om det finns en minus före brevet, är koefficienten numret −1 . Till exempel uttryck -A. ser faktiskt ut -1a.. Detta är en produkt minus enheter och variabel en.Det var som följer:

-1 × A \u003d -1a

Här ligger lite fångst. I uttryck -A. minus motvariabel a. refererar faktiskt till den "osynliga enheten", och inte till variabeln a. . Därför bör det därför vara uppmärksamma när de löser uppgiften.

Till exempel, om uttrycket ges -A. och vi blir ombedda att hitta sin mening när a \u003d 2. Sedan i skolan ersatte vi en två istället för en variabel a. och fick svaret −2 , inte särskilt dokumenterad på hur det visade sig. Faktum är att det fanns en multiplikation av minusenheter på ett positivt nummer 2

-A \u003d -1 × A

-1 × A \u003d -1 × 2 \u003d -2

Om uttrycket ges -A. och det är nödvändigt att hitta sin mening när a \u003d -2. Sedan ersätter vi −2 Istället för en variabel a.

-A \u003d -1 × A

-1 × A \u003d -1 × (-2) \u003d 2

För att undvika fel kan de första gången osynliga enheter skrivas uttryckligen.

Exempel 4. Hitta ett uttrycksvärde abc för a \u003d 2. , b \u003d 3. och c \u003d 4.

Uttryck abc 1 × A × B × c. För tydlighet, skriv uttrycket abc a, B. och c.

1 × A × B × C \u003d 1 × 2 × 3 × 4 \u003d 24

Exempel 5. Hitta ett uttrycksvärde abc för a \u003d -2, B \u003d -3och C \u003d -4.

Vi skriver uttryck abc Vid utplacering och ersätta värdena för variabler a, B.och C.

1 × A × B × C \u003d 1 × (-2) × (-3) × (-4) \u003d -24

Exempel 6. Hitta ett uttrycksvärde − abc för a \u003d 3, B \u003d 5 och C \u003d 7

Uttryck − abc Detta är en kort form av inspelning från -1 × A × B × c. För tydlighet, skriv uttrycket − abc Vid utplacering och ersätta värdena för variabler a, B. och c.

-BC \u003d -1 × A × B × C \u003d -1 × 3 × 5 × 7 \u003d -105

Exempel 7. Hitta ett uttrycksvärde − abc för a \u003d -2, B \u003d 4 och C \u003d -3

Vi skriver uttryck − abc I en expanderad form:

-BC \u003d -1 × A × B × C

Vi ersätter värdet av variabler a. , b. och c.

-BC \u003d -1 × A × B × C \u003d -1 × (-2) × (-4) × (-3) \u003d 24

Hur man bestämmer koefficienten

Ibland är det nödvändigt att lösa den uppgift där uttryckskoefficienten krävs. I princip är denna uppgift mycket enkel. Det är tillräckligt att kunna multiplicera siffrorna korrekt.

För att bestämma koefficienten i uttrycket är det nödvändigt att multiplicera de siffror som ingår i detta uttryck och multiplicera de bokstäver. Den resulterande numeriska fabriken och kommer att vara en koefficient.

Exempel 1. 7m × 5a × (-3) × n

Uttrycket består av flera faktorer. Det kan tydligt ses om du skriver ett uttryck i utplaceringen. Det vill säga verk 7m. och 5a Spela in i formuläret 7 × M. och 5 × A.

7 × M × 5 × A × (-3) × n

Vi tillämpar en kombination av multiplikationslag, vilket tillåter multiplikatorer att multiplicera i vilken ordning som helst. Namnlösa: Namnlösa: Namnlösa: Namnlösa: nämligen med bokstäverna (variabler):

-3 × 7 × 5 × m × a × n \u003d -105man

Koefficienten är lika −105 . Efter avslutad, är brevdelen önskvärt att ordna i alfabetisk ordning:

-105amn.

Exempel 2. Bestäm koefficienten i uttryck: -A × (-3) × 2

-A × (-3) × 2 \u003d -3 × 2 × (-a) \u003d -6 × (-a) \u003d 6a

Koefficienten är 6.

Exempel 3. Bestäm koefficienten i uttryck:

Flytta separat siffror och bokstäver:

Koefficienten är -1. Observera att enheten inte är inspelad eftersom koefficienten 1 inte spelas in för att inte spela in.

Dessa till synes de enklaste uppgifterna kan leka med oss \u200b\u200bett mycket ont skämt. Det finner ofta att koefficientens tecken är felaktigt: antingen missade minus eller vice versa det är förgäves. För att undvika dessa irriterande fel, bör studeras på en bra nivå.

Medvetenhet i alfabetiska uttryck

När du lägger till flera siffror erhålls summan av dessa nummer. Numren som kallas kallas villkoren. Komponenterna kan vara flera, till exempel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

När uttrycket består av komponenterna är det mycket lättare att beräkna det, eftersom det är lättare att lägga till än att dra av. Men i uttrycket kan det inte vara tillägg, utan också subtraktion, till exempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I detta uttryck är numret 3 och 5 subtraherade, och inte villkoren. Men det stör inte oss, ersätter subtraktion genom att lägga till. Då får vi igen ett uttryck som består av villkoren:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Flytta inte det numren -3 och -5 nu med ett minustecken. Det viktigaste är att alla siffror i detta uttryck är anslutna med tilläggsmärket, det vill säga uttrycket är mängden.

Båda uttrycken 1 + 2 − 3 + 4 − 5 och 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lika med ett och det värdet - minus en

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Således lider inte värdet av uttrycket av det faktum att vi kommer att ersätta subtrahering genom att lägga till.

Byte av subtraktion genom att lägga till kan också vara i alfabetuttryck. Tänk till exempel följande uttryck:

7A + 6B - 3C + 2D - 4S

7A + 6B + (-3C) + 2D + (-4S)

Med eventuella värden av variabler a, B, C, D och s. Uttryck 7A + 6B - 3C + 2D - 4S och 7A + 6B + (-3C) + 2D + (-4S) kommer att vara lika med samma värde.

Du måste vara beredd på det faktum att läraren i skolan eller läraren vid institutet kan ringa in anpassningarna även de siffrorna (eller variablerna) som de inte är.

Till exempel, om en skillnad kommer att spelas in på brädet a - B. Då kommer läraren inte att säga det a. - Detta minskas, och b. - subtraheras. Båda variablerna, han kommer att ringa ett allmänt ord - sammansättning . Och allt för att uttrycket av formen a - B. Matematik ser hur beloppet a + (-B) . I det här fallet blir uttrycket mängden och variablerna a. och (-B) bli villkoren.

Liknande

Liknande - Det här är de termer som har samma alfabetiska del. Tänk till exempel uttryck 7A + 6B + 2A . Sammansättning 7a. och 2a. har samma alfabetisk del - variabel a.. Så komponenterna 7a. och 2a.är lika.

Vanligtvis viks de liknande komponenterna för att förenkla uttrycket eller lösa viss ekvation. Denna operation kallas genom att föra liknande termer.

För att medföra liknande villkor måste du vika koefficienterna för dessa termer, och det resulterande resultatet multipliceras med det totala brevet.

Till exempel ger vi liknande termer i uttrycket 3A + 4A + 5A . I det här fallet är dessa alla villkor. Flytta sina koefficienter och resultatet att multiplicera på den allmänna bokstäverna - till variabeln a.

3A + 4A + 5A \u003d (3 + 4 + 5) × A \u003d 12a

Liknande termer leder vanligen i åtanke och resultatet registreras omedelbart:

3A + 4A + 5A \u003d 12A

Dessutom kan man argumentera enligt följande:

Det fanns 3 variabler A, de tillade ytterligare 4 variabler A och 5 mer variabler a. Som ett resultat erhölls 12 variabler

Tänk på flera exempel på att skapa liknande termer. Med tanke på att det här ämnet Det är mycket viktigt, först kommer vi att skriva i detalj varje liten sak. Trots det faktum att allt är väldigt enkelt här, tillåter de flesta människor många misstag. I grund och botten intensifiera, och inte för okunnighet.

Exempel 1. 3A + 2A + 6A + 8a.

Flytta koefficienterna i detta uttryck och det erhållna resultatet för att multiplicera på den allmänna bokstäverna:

3A + 2A + 6A + 8A \u003d (3 + 2 + 6 + 8) × A \u003d 19a

Design (3 + 2 + 6 + 8) × A Du kan inte spela in, så du skriver omedelbart svaret

3A + 2A + 6A + 8A \u003d 19A

Exempel 2. Skapa liknande komponenter i uttryck 2A + A.

Andra terminen a. inspelad utan koefficient, men det finns faktiskt en koefficient 1 som vi inte ser på grund av det faktum att det inte är skrivet. Därför ser uttrycket så här:

2A + 1A.

Nu ger vi liknande termer. Det vill säga lägga koefficienterna och resultatet att multiplicera på den allmänna bokstäverna:

2A + 1A \u003d (2 + 1) × A \u003d 3a

Skriv beslutet kortare:

2A + A \u003d 3A

2A + A., det kan vara motiverat och annorlunda:

Exempel 3. Skapa liknande komponenter i uttryck 2a - A.

Byt ut subtraktion genom att lägga till:

2A + (-A)

Andra terminen (-A) skrivet utan koefficient, men det ser ut som (-1a).Koefficient −1 Återigen, osynlig på grund av det faktum att det inte är skrivet. Därför ser uttrycket så här:

2A + (-1a)

Nu ger vi liknande termer. Blanda koefficienterna och resultatet för att multiplicera på det övergripande bokstaven:

2A + (-1a) \u003d (2 + (-1)) × a \u003d la \u003d a

Vanligtvis inspelad kort sagt:

2a - a \u003d a

Ledande liknande komponenter i uttryck 2a-a. Det kan motiveras på ett annat sätt:

Det fanns 2 variabler A, detekterade en variabel A, som ett resultat, en enda variabel kvarstod

Exempel 4. Skapa liknande komponenter i uttryck 6a - 3a + 4a - 8a

6a - 3a + 4a - 8a \u003d 6a + (-3a) + 4A + (-8A)

Nu ger vi liknande termer. Blanda koefficienterna och resultatet för att multiplicera på den totala bokstaven

(6 + (-3) + 4 + (-8)) × A \u003d -1a \u003d -a

Skriv beslutet kortare:

6a - 3a + 4a - 8a \u003d -a

Det finns uttryck som innehåller flera olika grupper av liknande termer. Till exempel, 3A + 3B + 7A + 2B . För sådana uttryck är samma regler giltiga som för resten, nämligen vikningen av koefficienterna och multiplikationen av resultatet som erhållits på den totala bokstaven. Men för att förhindra fel är det lämpligt att betona olika linjer av komponenter.

Till exempel, i uttryck 3A + 3B + 7A + 2B de termer som innehåller en variabel a., du kan betona med en rad, och de komponenter som innehåller en variabel b., du kan betona två linjer:

Nu kan du medföra liknande villkor. Det vill säga, vik koefficienterna och det resulterande resultatet multipliceras med den allmänna bokstaven. Detta är nödvändigt för båda grupperna av termer: för termer som innehåller en variabel a. Och för komponenterna som innehåller en variabel b..

3A + 3B + 7A + 2B \u003d (3 + 7) × A + (3 + 2) × B \u003d 10A + 5B

Återigen upprepar vi, uttrycket är enkelt, och liknande komponenter kan ges i åtanke:

3A + 3B + 7A + 2B \u003d 10A + 5B

Exempel 5. Skapa liknande komponenter i uttryck 5A - 6A -7B + B

Byt ut subtraktion tillägg där det kan vara:

5A -6A -7B + B \u003d 5A + (-6A) + (-7B) + B

Vi betonar liknande termer av olika linjer. Condventables innehållande variabler a. Vi betonar en linje, och komponenterna i variablerna b. , vi betonar de två linjerna:

Nu kan du medföra liknande villkor. Det vill säga, vik koefficienterna och det erhållna resultatet multiplicerat med den allmänna bokstaven:

5A + (-6A) + (-7B) + B \u003d (5 + (-6)) × A + ((-7) + 1) × B \u003d -A + (-6B)

Om uttrycket innehåller vanliga nummer utan påstådda faktorer, lägger de sig separat.

Exempel 6. Skapa liknande komponenter i uttryck 4A + 3A - 5 + 2B + 7

Byt ut subtraktion genom att lägga till var det kan vara:

4A + 3A-5 + 2B + 7 \u003d 4A + 3A + (-5) + 2B + 7

Vi ger liknande termer. Tal −5 och 7 har inte alfabet, men de är liknande termer - de behöver bara vika. Och stiftelsen 2b. kommer att förbli oförändrad eftersom det är det enda i detta uttryck som har ett alfabet b, Och inget att vika det med:

4A + 3A + (-5) + 2B + 7 \u003d (4 + 3) × A + 2B + (-5) + 7 \u003d 7A + 2B + 2

Skriv beslutet kortare:

4A + 3A - 5 + 2B + 7 \u003d 7A + 2B + 2

Komponenterna kan organiseras så att de termer som har samma alfabetiska del är belägna i en del av uttrycket.

Exempel 7. Skapa liknande komponenter i uttryck 5T + 2X + 3X + 5T + X

Eftersom uttrycket är summan av flera termer gör det möjligt för oss att beräkna det i vilken ordning som helst. Därför, komponenterna som innehåller en variabel t. kan skrivas i början av uttrycket, och komponenterna som innehåller variabeln x. I slutet av uttrycket:

5T + 5T + 2X + 3X + X

Nu kan du medföra liknande villkor:

5T + 5T + 2x + 3x + x \u003d (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x \u003d 10t + 6x

Skriv beslutet kortare:

5T + 2X + 3X + 5T + X \u003d 10T + 6X

Summan av motsatta tal är noll. Denna regel fungerar för alfabetiska uttryck. Om uttrycket kommer att uppfylla samma termer, men med motsatta tecken, kan de bli av med dem på scenen att föra liknande termer. Med andra ord, helt enkelt stänga ut dem från uttrycket, eftersom deras summa är noll.

Exempel 8. Skapa liknande komponenter i uttryck 3T - 4T - 3T + 2T

Byt ut subtraktion genom att lägga till var det kan vara:

3T - 4T - 3T + 2T \u003d 3T + (-4T) + (-3T) + 2T

Sammansättning 3T och (-3t) är motsatta. Summan av motsatta termer är noll. Om du tar bort det här noll från uttrycket ändras inte värdet av uttrycket, så vi tar bort det. Och vi kommer att ta bort det med de vanliga strikeouten av villkoren 3T och (-3t)

Som ett resultat kommer vi att ha ett uttryck (-4t) + 2T. I detta uttryck kan en sådan komponent ges och få det slutliga svaret:

(-4t) + 2T \u003d ((-4) + 2) × t \u003d -2t

Skriv beslutet kortare:

Förenkling av uttryck

"Liknar uttrycket" Och sedan ges uttrycket för att förenkla. Förenkla uttryck Så gör det enklare och kortare.

Faktum är att vi redan har förenklat uttryck när fraktionerna har krympt. Efter skärning blev fraktionen kortare och lättare för uppfattning.

Överväga ytterligare exempel. Förenkla uttrycket.

Denna uppgift kan bokstavligen förstå detta sätt: "Tillämpa eventuella tillåtna åtgärder på detta uttryck, men gör det enklare." .

I detta fall kan fraktionen minskas, nämligen delad numerator och nämnaren av fraktionen 2:

Vad mer kan jag göra? Du kan beräkna den resulterande fraktionen. Då får vi en decimalfraktion 0,5

Som ett resultat förenklas fraktionen helt enkelt till 0,5.

Den första frågan som behöver bli ombedd att lösa sådana uppgifter bör vara "Vad kan jag göra?" . Eftersom det finns handlingar som kan göras, och det finns åtgärder som inte kan göras.

Annan viktigt ögonblickVad som behöver komma ihåg är att uttrycksvärde inte bör förändras efter att ha förenat uttrycket. Låt oss återvända till uttryck. Detta uttryck är en division som kan utföras. Genom att göra denna division får vi värdet av detta uttryck, vilket är 0,5

Men vi förenklade uttrycket och fick ett nytt förenklat uttryck. Värdet av det nya förenklade uttrycket är fortfarande 0,5

Men uttrycket vi försökte förenkla, beräkna det. Som ett resultat fick de det slutliga svaret 0,5.

Således, oavsett hur vi förenklar uttrycket, är värdet av de erhållna uttrycken fortfarande 0,5. Så förenkling utfördes korrekt i varje steg. Det är för detta att det är nödvändigt att sträva efter att förenkla uttryck - valet av uttrycket bör inte lida av våra handlingar.

Ofta är det nödvändigt att förenkla brevuttryck. För dem är samma anläggningar rättvisa som för numeriska uttryck. Du kan utföra eventuella tillåtna åtgärder, bara för att inte ändra värdet av uttrycket.

Tänk på flera exempel.

Exempel 1. Förenkla uttryck 5,21s × t × 2,5

För att förenkla detta uttryck kan du multiplicera siffrorna separat och multiplicera bokstäverna. Denna uppgift är mycket lik den som vi har övervägt när de lärde sig att bestämma koefficienten:

5,21 × t × 2,5 \u003d 5,21 × 2,5 × s × t \u003d 13,025 × st \u003d 13,025st

Så uttrycket 5,21s × t × 2,5 Förenklad förut 13,025st.

Exempel 2. Förenkla uttryck -0,4 × (-6,3b) × 2

Andra arbete (-6,3b) kan översättas till förståeligt för oss, nämligen skriv i formuläret ( -6.3) × B,skicka sedan siffrorna separat och multiplicera bokstäverna separat:

− 0,4 × (-6,3b) × 2 = − 0,4 × (-6,3) × b × 2 \u003d 5,04b

Så uttrycket -0,4 × (-6,3b) × 2 Förenklad förut 5,04b

Exempel 3. Förenkla uttryck

Klipp detta uttryck mer detaljerat för att se bra där siffror, och där bokstäver:

Nu separat alternativa siffror och separat växlar bokstäverna:

Så uttrycket Förenklad förut -BC.Denna lösning kan skrivas kortare:

Vid förenkling av uttryck kan fraktionen minskas under lösningen, och inte i slutet, som vi gjorde med vanliga fraktioner. Till exempel, om under lösningen vi observerar uttrycket av formen, är det inte nödvändigt att beräkna täljaren och denominatorn och gör något så här:

Fraktionen kan minskas genom att välja i en multiplikator i en täljare och i nämnaren och skära dessa faktorer till sin största vanliga divisor. Med andra ord, att använda där vi inte målar i detalj vad täljaren och denominatorn delades upp.

Till exempel, i täljaren multiplikatorn 12 och i nämnaren, kan multiplikatorn 4 reduceras med 4. Den fjärde lagras i sinnet och dela 12 och 4 till den fjärde, svaren registreras bredvid dessa nummer efter följa dem

Nu kan du multiplicera de resulterande lilla multiplikatorerna. I det här fallet är de lite och kan multiplicera i sinnet:

Med tiden kan det konstateras att lösa en eller annan uppgift, uttryck börjar "feta", så det är önskvärt att lära sig att snabbt beräkna beräkningar. Vad som kan beräknas i sinnet måste beräknas i sinnet. Vad du snabbt kan klippa, måste du snabbt klippa.

Exempel 4. Förenkla uttryck

Så uttrycket Förenklad förut

Exempel 5. Förenkla uttryck

Flytta separat siffrorna och separata bokstäver:

Så uttrycket Förenklad förut mn.

Exempel 6. Förenkla uttryck

Vi skriver detta uttryck mer detaljerat för att se bra där siffror, och där bokstäver:

Nu separat alternera numret och separata bokstäver. För bekvämligheten med att beräkna decimalfraktion -6,4 och blandat antal Du kan översätta till vanliga fraktioner:

Så uttrycket Förenklad förut

Lösningen för detta exempel kan registreras signifikant kortare. Det kommer att se ut så här:

Exempel 7. Förenkla uttryck

Flytta separat siffrorna och separata bokstäver. För enkelhets skyld att beräkna ett blandat antal och decimalfraktioner 0,1 och 0,6 kan översättas till vanliga fraktioner:

Så uttrycket Förenklad förut aBCD.. Om du hoppar över detaljerna, kan detta beslut registreras betydligt på kort sagt:

Var uppmärksam på hur fraktionen har minskat. Nya multiplikatorer som erhålls som ett resultat av minskningen av tidigare multiplikatorer får också minska.

Låt oss nu prata om vad du inte kan göra. När du förenklar uttryck är det kategoriskt omöjligt att multiplicera siffrorna och bokstäverna, om uttrycket är summan och inte av arbetet.

Till exempel, om du behöver förenkla uttryck 5A + 4B.Du kan inte skriva som följer:

Det motsvarar det faktum att om vi blev ombedda att vika två nummer, och vi skulle multiplicera dem istället för att vikas.

Vid utbyte av alla värden av variabler a. och b. uttryck 5A + 4B. hänvisar till ett vanligt numeriskt uttryck. Antag att variablerna a. och b. har följande värden:

a \u003d 2, b \u003d 3

Därefter kommer expressionsvärdet att vara lika med 22

5A + 4B \u003d 5 × 2 + 4 × 3 \u003d 10 + 12 \u003d 22

Först utförs multiplikationen, och sedan viks resultaten. Och om vi försökte förenkla detta uttryck, flytta siffrorna och bokstäverna, skulle det ha hänt:

5A + 4B \u003d 5 × 4 × A × B \u003d 20ab

20AB \u003d 20 × 2 × 3 \u003d 120

Det visar sig ett helt annat värde av uttrycket. I det första fallet visade det sig 22 I det andra fallet 120 . Det betyder att förenkling av uttryck 5A + 4B. Det var felaktigt.

Efter att ha förenat uttrycket bör dess värde inte ändras med samma värden av variabler. Om under substitution till det initiala uttrycket av eventuella värden av variabler erhålles ett värde, sedan efter förenkling av uttrycket, bör samma värde erhållas som före förenkling.

Med ett uttryck 5A + 4B. Faktum är att du inte kan göra någonting. Det är inte förenklat.

Om uttrycket innehåller liknande komponenter kan de vikas om vårt mål är att förenkla uttryck.

Exempel 8. Förenkla uttryck 03a-0,4a + a

0,3A-0,4A + A \u003d 0,3A + (-0.4A) + A \u003d (0,3 + (-0,4) + 1) × A \u003d 0,9

eller kortare: 0,3a - 0,4a + a = 0.9a.

Så uttrycket 03a-0,4a + a Förenklad förut 0.9a.

Exempel 9. Förenkla uttryck -7,5a - 2,5b + 4a

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

-7,5A-2,5B + 4A \u003d -7,5A + (-2,5b) + 4A \u003d ((-7,5) + 4) × A + (-2,5b) \u003d -3,5A + ( -2,5b)

eller kortare -7,5a - 2,5b + 4a \u003d -3,5a + (-2,5b)

Hastighet (-2,5b) Det är oförändrat, eftersom det inte har något att vikas.

Exempel 10. Förenkla uttryck

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

Koefficienten var för bekvämligheten att beräkna.

Så uttrycket Förenklad förut

Exempel 11. Förenkla uttryck

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

Så uttrycket Förenklad förut.

I det här exemplet skulle det vara mer lämpligt att vika den första och sista koefficienten i första hand. I det här fallet skulle vi få ett kort beslut. Det såg ut som följer:

Exempel 12. Förenkla uttryck

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

Så uttrycket Förenklad förut .

Termen förblev oförändrad, eftersom den inte har vikas.

Denna lösning kan registreras signifikant kortare. Det kommer att se ut så här:

I kort beslut Stegen av ersättning av subtraktion genom tillsats och den detaljerade posten, eftersom fraktionen bringades till en gemensam nämnare.

En annan distinktion är det detaljerat beslut Svaret ser ut , och kort sagt som. Det är faktiskt samma uttryck. Skillnaden är att i det första fallet ersätts subtraktion genom att lägga till, för i början när vi registrerade beslutet i detaljeradVi är överallt där du kan ersätta subtraktion genom att lägga till, och denna ersättning har bevarats för att svara.

Identiteter. Identiskt lika uttryck

När vi förenklat något uttryck blir det lättare och kortare. För att kontrollera om uttrycket är förenklat är det tillräckligt att ersätta eventuella värden av variabler först i det föregående uttrycket som krävdes för att förenkla, och sedan till den nya som förenklades. Om värdet i båda uttrycken är detsamma förenklas uttrycket korrekt.

Överväga det enklaste exemplet. Låt det ta för att förenkla uttrycket 2A × 7B. . För att förenkla detta uttryck kan du multiplicera siffror och bokstäver separat:

2A × 7B \u003d 2 × 7 × A × B \u003d 14AB

Kontrollera om vi förenklat uttrycket. För att göra detta kommer vi att ersätta alla värden av variabler a. och b. Först, i det första uttrycket som krävdes för att förenkla, och sedan andra, vilket förenklades.

Låt värdena på variablerna a. , b. kommer att vara som följer:

a \u003d 4, B \u003d 5

Ersätta dem i det första uttrycket 2A × 7B.

Nu kommer vi att ersätta samma värden av variabler i det uttryck som hände som ett resultat av förenkling 2A × 7B., nämligen uttrycket 14ab

14AB \u003d 14 × 4 × 5 \u003d 280

Vi ser det när a \u003d 4. och b \u003d 5. Värdet av det första uttrycket 2A × 7B. och värdet av det andra uttrycket 14ab likvärdig

2A × 7B \u003d 2 × 4 × 7 × 5 \u003d 280

14AB \u003d 14 × 4 × 5 \u003d 280

Samma sak kommer att hända för andra värden. Till exempel, låt det a \u003d 1. och b \u003d 2.

2A × 7B \u003d 2 × 1 × 7 × 2 \u003d 28

14AB \u003d 14 × 1 × 2 \u003d 28

Således med eventuella värden av variabelt uttryck 2A × 7B. och 14ab lika med samma mening. Sådana uttryck kallas identiskt lika.

Vi avslutar det mellan uttryck 2A × 7B. och 14ab Du kan lägga ett tecken på jämlikhet, eftersom de är lika med samma värde.

2a × 7b \u003d 14ab

Jämställdhet kallas något uttryck som är kopplat av skylten på jämlikhet (\u003d).

En jämlikhet av typ 2a × 7b \u003d 14ab Ring upp identitet.

Identiteten kallas jämlikhet som är sant för alla värden av variabler.

Andra exempel på identiteter:

a + B \u003d B + A

a (B + C) \u003d AB + AC

a (bc) \u003d (ab) c

Ja, matematiklagarna, som vi studerade är identiteter.

Trogen numerisk jämlikhet är också identiteter. Till exempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Att lösa en komplex uppgift för att underlätta beräkningen, komplex uttryck Byt ut ett enklare uttryck identiskt lika med den föregående. En sådan ersättning kallas identisk omvandling av uttryck eller bara transformation av uttrycket.

Till exempel har vi förenklat uttryck 2A × 7B. och fick ett enklare uttryck 14ab . Denna förenkling kan kallas identisk omvandling.

Ofta kan du möta den uppgift där den sägs "Bevisa att jämlikhet är identiteten" Och sedan den jämlikhet som behöver bevisas ges. Typiskt består denna jämlikhet av två delar: vänster och höger del av jämlikhet. Vår uppgift är att utföra identiska omvandlingar med en av de delar av jämlikhet och få en annan del. Antingen utföra identiska omvandlingar med båda delar av jämlikhet och göra ett sådant lika uttryck i båda delar av jämlikhet.

Till exempel visar vi att jämlikhet 0,5a × 5b \u003d 2,5b Är identitet.

Vi förenklar den vänstra delen av denna jämlikhet. För att göra detta, ändra numret och bokstäverna separat:

0,5 × 5 × A × B \u003d 2,5b

2,5b \u003d 2,5b

Som ett resultat av en liten identisk omvandling har den vänstra sidan av jämlikheten blivit lika med den högra delen av jämlikhet. Så vi har bevisat jämlikhet 0,5a × 5b \u003d 2,5b Är identitet.

Av identiska omvandlingar Vi lärde oss att vika, subtrahera, multiplicera och dela upp siffrorna, skära fraktionerna, medföra liknande termer och förenkla vissa uttryck.

Men det här är inte alla identiska omvandlingar som finns i matematik. Identiska omvandlingar är mycket mer. I framtiden kommer vi att vara övertygade mer än en gång.

Uppgifter för självlösningar:

Gillade du lektionen?
Gå med i vår nya grupp VKontakte och börja ta emot meddelanden om nya lektioner

Det är känt att det i matematik inte är att göra utan att förenkla uttryck. Detta är nödvändigt för rätt och snabb lösning En mängd olika uppgifter, liksom olika typer av ekvationer. Förenklingen som diskuteras innebär en minskning av antalet åtgärder som är nödvändiga för att uppnå målet. Som ett resultat är beräkningen lindrad märkbar, och tiden är avsevärt sparad. Men hur man förenklar uttrycket? Detta använder etablerade matematiska relationer, som ofta kallas formler eller enligt lagar som tillåter uttrycket mycket kortare, vilket förenklar beräkningarna.

Det är ingen hemlighet som idag inte är svårt att förenkla uttrycket online. Vi ger referenser till några av de mest populära av dem:

Det är dock så möjligt att göra med varje uttryck. Därför överväger vi mer traditionella metoder.

Ta en gemensam divider

I det fall då i ett uttryck är närvarande, som har samma multiplikatorer, kan du hitta mängden koefficienter med dem och multiplicera multiplikatorn för dem. Denna operation kallas också "Göra en allmän divider". Seriöst att använda den här metoden, ibland kan du väsentligt förenkla uttrycket. Algebra, trots allt, i allmänhet, byggd på gruppering och omgruppering av multiplikatorer och divisorer.

De enklaste formlerna för förkortad multiplikation

En konsekvens av den tidigare beskrivna metoden är formlerna för förkortad multiplikation. Hur man förenklar uttrycken med deras hjälp är mycket tydligare för dem som inte ens ta bort dessa formler, men han vet att de är härledda, det vill säga från där de kommer ifrån, och därmed deras matematiska natur. I princip behåller det föregående uttalandet sin styrka i all modern matematik, från och med den första klassen och slutar med de högsta kurserna av mekaniska och matematiska fakulteter. Skillnaden i kvadrater, torget av skillnaden och summan, mängden och skillnaden i kuber - alla dessa formler används överallt i elementären, liksom den högsta matematiken i de fall det är nödvändigt att förenkla uttrycket för att lösa uppgifterna . Exempel på sådana transformationer kan lätt hittas i någon skoltextbok på Algebra, eller, vilket är ännu enklare, på de världsomspännande nätverksutbud.

Examensrötter

Elementär matematik, om du tittar på den i allmänhet, beväpnad inte så och på många sätt, med vilka du kan förenkla uttrycket. Graderna och handlingarna med dem hanteras vanligtvis av de flesta studenter är relativt lätta. Endast många moderna skolbarn och studenter har stora svårigheter när det är nödvändigt att förenkla uttrycket med rötter. Och det är helt ogrundat. Eftersom rötternas matematiska natur inte skiljer sig från naturen av samma grader med vilken som regel är svårigheter mycket mindre. Det är känt att kvadratroten från numret, variabel eller uttryck är inget annat än samma antal, en variabel eller uttryck i en "en sekund", den kubiska roten är densamma i graden av "en tredjedel" och så vidare enligt korrespondensen.

Förenkla uttryck med fraktioner

Tänk också på ett vanligt exempel på hur man förenklar uttrycket med fraktioner. I fall där uttryck är naturliga fraktionerDu bör allokera en vanlig multiplikator från denominatorn och täljaren och skära sedan fraktionen på den. När det inte är avstängt med samma fel, förhöjda till grader är det nödvändigt att övervaka när de sammanfattas för jämlikhet av grader.

Förenkla de enklaste trigonometriska uttrycken

Vissa herrgård är en konversation om hur man förenklar trigonometriskt uttryck. Den bredaste delen av trigonometri är kanske det första steget där matematikstudien måste möta flera abstrakta begrepp, uppgifter och metoder för deras lösning. Här finns deras respektive formler, den första är den viktigaste trigonometriska identiteten. Med en tillräcklig matematisk tankegång kan du spåra den systematiska utsöndringen från denna identitet av alla större trigonometriska identiteter och formler, bland vilka formlerna av skillnaden och mängden argument, dubbel, trippelargument, formler för att föra och många andra. Naturligtvis är det inte värt att glömma här de allra första metoderna, som den totala multiplikatorn, som är fullt använda tillsammans med nya metoder och formler.

För att sammanfatta resultaten, ge läsaren några allmänna tips:

• Polynomerna bör läggas på multiplikatorer, det vill säga att representera dem i form av en produkt av ett visst antal faktorer - enkelvingar och polynomier. Om det finns ett sådant tillfälle måste du bära den allmänna faktorn för parentes.
• Det är fortfarande bättre att lära sig all formel för förkortad multiplikation utan undantag. De är inte så mycket, men de är grunden för att förenkla matematiska uttryck. Glöm inte också metoden att tilldela fulla rutor i tre-stora, vilket är omvänd handling Till en av formlerna för förkortad multiplikation.
• Alla fraktioner som existerar i uttryck bör minskas så ofta som möjligt. Samtidigt glöm inte att endast multiplikatorer minskas. I det fall då nämnaren och täljaren av algebraiska fraktioner multipliceras med samma nummer som skiljer sig från noll, ändras inte värdena för fraktioner.
• I allmänhet kan alla uttryck konverteras av åtgärder eller en kedja. Den första metoden är mer föredragen, eftersom Resultaten av mellanliggande åtgärder kontrolleras enklare.
• Ofta ofta B. matematiska uttryck Måste extrahera rötter. Det bör komma ihåg att rötterna av jämn grad kan avlägsnas från negativt tal eller uttryck, och rötterna av udda grader är helt från några uttryck eller siffror.

Vi hoppas att vår artikel kommer att hjälpa dig, först förstå de matematiska formlerna och lära dem att tillämpa dem i praktiken.

Jag Uttryck där, tillsammans med bokstäver, siffror, märken av aritmetisk åtgärd och fästen kan användas, kallas algebraiska uttryck.

Exempel på algebraiska uttryck:

2m-N; 3. · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b. · (4a + 2b); en 2 - 2AB;

Eftersom brevet i algebraiskt uttryck kan ersättas av vissa olika siffror, då är brevet kallad variabel, och sig själv algebraiska uttryck - uttryck med en variabel.

II. Om i algebraiska uttrycksbrev (variabler), ersätt dem med värden och utför dessa åtgärder, då det resulterande numret kallas ett algebraiskt uttrycksvärde.

Exempel. Hitta värdet av uttrycket:

1) A + 2B-C vid A \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d -3,5.

2) | x | + | Y | - | z | vid x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Beslut.

1) A + 2B-C vid A \u003d -2; B \u003d 10; C \u003d -3,5. Istället för variabler ersätter vi sina värden. Vi får:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - | z | vid x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Byte specificerade värden. Kom ihåg att den negativa talmodulen är lika med det motsatta numret, och modulen av ett positivt tal är lika med det mycket numret. Vi får:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Värdena för bokstaven (variabel), under vilket det algebraiska uttrycket är vettigt, kallas de tillåtna värdena för bokstaven (variabel).

Exempel. Under vilka värden för det variabla uttrycket är inte meningsfullt?

Beslut. Vi vet att det är omöjligt att dela till noll, därför, var och en av dessa uttryck kommer inte att vara meningsfullt i värdet av bokstaven (variabel), som drar denomoten av fraktionen i noll!

I exempel 1) är detta värde A \u003d 0, om i stället och ersätt 0, måste du dela nummer 6 till 0, och det här kan inte göras. Svar: Uttryck 1) Är inte meningslöst på A \u003d 0.

I exempel 2) kan nämnaren x - 4 \u003d 0 vid x \u003d 4 därför detta värde x \u003d 4 och kan inte tas. Svar: Uttryck 2) är inte meningsfullt vid x \u003d 4.

I exempel 3) denominator x + 2 \u003d 0 vid x \u003d -2. Svar: Uttryck 3) är inte meningsfullt vid X \u003d -2.

I exempel 4) denominator 5 - | x | \u003d 0 med | x | \u003d 5. Och sedan | 5 | \u003d 5 och | -5 | \u003d 5, då är det omöjligt att ta x \u003d 5 och x \u003d -5. Svar: Uttryck 4) Gillar inte mening vid X \u003d -5 och vid x \u003d 5.
Iv. Två uttryck är identiskt lika, om med några giltiga värden av variablerna är motsvarande värden av dessa uttryck lika.

Exempel: 5 (a-b) och 5a-5b är skuggigt lika, eftersom jämlikhet 5 (a-b) \u003d 5a - 5b kommer att vara trogen vid alla värden av A och B. Jämställdhet 5 (a - b) \u003d 5a - 5b Det finns en identitet.

Identitet - Detta är jämlikhet, bara med alla tillåtna värden för de variabler som ingår i den. Exempel på identiteter som redan är kända för er är till exempel egenskaperna för tillsats och multiplikation, fördelningsegenskapen.

Utbytet av ett uttryck till ett annat, identiskt lika med det med uttrycket, kallas identisk omvandling eller helt enkelt genom omvandlingen av uttrycket. Identitetstransformationerna av uttryck med variabler är baserade på egenskaperna hos antalet nummer.

Exempel.

a) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med användning av distributionsfastigheten för multiplikation:

1) 10 · (1,2x + 2,3,); 2) 1,5 · (A -2B + 4c); 3) A · (6M -2N + K).

Beslut. Återkalla distributionsfastigheten (lag) för multiplikation:

(A + B) · C \u003d A · C + B · C (Distributionslagen för multiplikation i förhållande till tillägg: För att multiplicera mängden två nummer till det tredje numret, kan du multiplicera varje komponent till det här numret och vikta resultaten).
(A-b) · c \u003d a · c-b · c (Distributionslagstiftning av multiplikation i förhållande till subtraktion: För att multiplicera skillnaden mellan två siffror för att multiplicera med det tredje numret, kan du multiplicera med detta antal reducerade och subtrabler separat och från det första resultatet av att subtrahera den andra).

1) 10 · (1,2x + 2,31) \u003d 10 · 1,2x + 10 · 2,3U \u003d 12x + 23W.

2) 1,5 · (A -2B + 4C) \u003d 1,5A -3B + 6C.

3) A · (6m -2N + K) \u003d 6AM -2AN + AK.

b) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med hjälp av de rörliga och modeegenskaperna (lagar) av tillägg:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3A + 2,1) + 7,8; 6) 5,4c -3 -2,5 -2,3c.

Beslut. Tillämpa lagarna (egenskaper) för tillägg:

a + B \u003d B + A (Rörelse: Beloppet ändras inte från omplacering av villkoren).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Kombinera: För att lägga till ett tredje nummer till summan av de två komponenterna kan du lägga till det andra och tredje beloppet till det första numret).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3A + 2,1) + 7,8 \u003d 3A + (2,1 + 7,8) \u003d 3A + 9,9.

6) 6) 5,4c -3 -2,5 -2,3c \u003d (5,4c -2,3c) + (-3 -2,5) \u003d 3,1 ^ 5,5.

i) Konvertera uttrycket för att identiskt lika med multiplikationsmultiplikationen: multiplikation:

7) 4 · H. · (-2,5); 8) -3,5 · 2 · (-ett); 9) 3a. · (-3) · 2c.

Beslut. Tillämpa lagarna (egenskaper) för multiplikation:

a · b \u003d b · a (Rörelse: Från permutationen av multiplikatorer ändras inte arbetet).
(A · b) · c \u003d a · (b · c) (Kombinera: För att multiplicera arbetet med två nummer till det tredje numret kan du multiplicera det första numret till det andra och det tredje).

7) 4 · H. · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2 · (-1) \u003d 7: e.

9) 3a. · (-3) · 2c \u003d -18As.

Om det algebraiska uttrycket ges i form av en reducerad fraktion, sedan med användning av krossningsregeln, kan den förenklas, dvs Ersätt identiskt lika med ett enklare uttryck.

Exempel. Förenkla med användning av fraktioner.

Beslut. Minska fraktionen - det betyder att dividera sin täljare och denominator till samma nummer (uttryck), skiljer sig från noll. Fraktion 10) kommer att minska på 3b.; fraktion 11) kommer att minska på men och fraktion 12) kommer att minska på 7n.. Vi får:

Algebraiska uttryck används för att kompilera formler.

Formeln är ett algebraiskt uttryck registrerat i form av jämlikhet och uttrycker förhållandet mellan två eller flera variabler. Exempel: Formel formel du vet s \u003d v · t (S är den färdiga vägen, V är hastighet, t-tid). Kom ihåg vilka andra formler du vet.

Sida 1 av 1 1

Uttryck, omvandling av uttryck

Kraftfulla uttryck (uttryck med grader) och deras omvandling

I den här artikeln kommer vi att prata om att omvandla uttryck med grader. Först kommer vi att fokusera på omvandlingar som utförs med uttryck av någon art, inklusive kraftfulla uttryck, såsom att avslöja konsoler, vilket medför liknande termer. Och då kommer vi att analysera omvandlingen som är inneboende i uttryck med grader: arbeta med grunden och indikatorn i graden, användningen av grader av grader etc.

Navigeringssida.

Vad är maktuttryck?

Termen "kraftfulla uttryck" förekommer praktiskt taget inte i skoltextböcker av matematik, men det förekommer ofta i samlingar av uppgifter, speciellt utformade för att förbereda sig för EGE och OGE, till exempel. Efter att ha analyserat de uppgifter som eventuella åtgärder krävs med kraftuttryck, blir det klart att under eluttryck förstår uttrycken som innehåller i deras examensposter. Därför är det möjligt att acceptera en sådan definition för dig själv:

Definition.

Kraftuttryck - Dessa är uttryck som innehåller grader.

Här exempel på kraftuttryck. Dessutom kommer vi att skicka in dem enligt hur utvecklingen av synpunkter i grad med en naturlig indikator i graden med den faktiska indikatorn inträffar.

Som du vet, först bekantskapet med graden av antal med en naturlig figur, i detta skede de första enklaste effektuttryck av typen 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · A 2 visas -A + A 2, X3-1, (A2) 3, etc.

Lite senare studeras graden av antal med ett heltal, vilket leder till framväxten av kraftuttryck med hela negativa grader, såsom följande: 3 -2, , A -2 + 2 · B -3 + C2.

I gymnasiet, återvände till grader igen. Det finns en examen med en rationell indikator, vilket medför utseendet på lämpliga effektuttryck: , , etc. Slutligen diskuterar grader med irrationella indikatorer och omfattar deras uttryck:.

Fallet som anges med kraftuttryck är inte begränsat till: variabeln penetrerar vidare i termer av omfattningen, och det finns sådana uttryck 2 x 2 +1 eller . Och efter bekantskap börjar uttryck med grader och logaritmer mötas, till exempel X 2 · LGX -5 · X LGX.

Så han behandlade frågan, vilket representerar kraftfulla uttryck. Vi kommer att fortsätta att lära oss att konvertera dem.

De viktigaste typerna av omvandlingar av kraftuttryck

Med strömuttryck kan du utföra någon av de viktigaste identitetsförvandlingarna av uttryck. Till exempel kan du avslöja fästen, byt ut numeriska uttryck deras värderingar, medföra liknande komponenter etc. Det bör naturligtvis vara nödvändigt att följa förfarandet för att utföra åtgärder. Vi ger exempel.

Exempel.

Beräkna värdet av effektuttrycket 2 3 · (4 2 -12).

Beslut.

Enligt förfarandet för att utföra åtgärder, utför först åtgärder inom parentes. Därför ersätter vi graden 4 2 i sitt värde 16 (se om det behövs), och för det andra beräknar vi skillnaden 16-12 \u003d 4. Ha 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

I det resulterande uttrycket ersätter vi grad 2 3 i dess värde 8, varefter vi beräknar produkten 8 · 4 \u003d 32. Detta är det önskade värdet.

Så, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

Svar:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Exempel.

Förenkla uttryck med grader 3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7.

Beslut.

Det är uppenbart att detta uttryck innehåller liknande termer 3 · A 4 · B -7 och 2 · A 4 · B -7, och vi kan leda dem :.

Svar:

3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7 \u003d 5 · A 4 · B -7 -1.

Exempel.

Presentera ett uttryck med grader i form av ett arbete.

Beslut.

Kredit med uppgiften möjliggör representation av nummer 9 i form av grad 3 2 och den efterföljande användningen av formeln för den förkortade multiplikationen. Kvadratisk skillnader:

Svar:

Det finns också ett antal identiska transformationer som är inneboende i kraftuttryck. Då kommer vi att urskilja dem.

Arbeta med grund och indikator för graden

Det finns omfattning, på basen och / eller indikatorn som inte bara är siffror eller variabler, men vissa uttryck. Som ett exempel, ge skivan (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 och (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1).

Vid arbete med liknande uttryck är det möjligt som ett uttryck vid basen av graden och uttrycket i indikatorn som ska ersättas identiskt lika uttryck På udda av sina variabler. Med andra ord kan vi separat konvertera rotering av grader till oss separat, och separat indikatorn. Det är uppenbart att som ett resultat av denna omvandling kommer ett uttryck att vara identiskt lika med den ursprungliga.

Sådana omvandlingar gör det möjligt att förenkla uttryck med grader eller nå andra ändamål vi behöver. Till exempel, i det ovannämnda effektuttrycket (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, är det möjligt att utföra åtgärder med siffror vid basen och indikatorn, vilket gör att du kan flytta till graden av 4,1 1,3. Och efter anvisningarna av fästena och med liknande villkor vid basen av graden (A · (A + 1) -A2) 2 · (x + 1) får vi ett kraftuttryck mer enkel utsikt en 2 · (x + 1).

Använd egenskaperna för grader

Ett av de viktigaste verktygen för att omvandla uttryck med grader är jämlikhet som reflekterar. Minns huvudet av dem. För några positiva nummer A och B och godtyckliga giltiga nummer är R och S rättvisa följande egenskaper grader:

• a r · a s \u003d a r + s;
• a r: a s \u003d a r-s;
• (a · b) r \u003d a r ^ b r;
• (A: B) R \u003d A R: B R;
• (A r) s \u003d a r · s.

Observera att med naturliga, heltal, liksom de positiva indikatorerna på graden av begränsning på numret A och B kanske inte är lika strikta. Till exempel, för naturliga tal m och n är jämlikheten a m · a n \u003d a m + n sant inte bara för positiv A, men också för negativ, och för a \u003d 0.

I skolan är fokus på omvandling av kraftuttryck fokuserad på möjligheten att välja en lämplig egenskap och applicera den korrekt. Samtidigt är baserna i grader vanligtvis positiva, vilket möjliggör användningen av grader av grader utan begränsningar. Detsamma gäller för omvandling av uttryck som innehåller variabler i grunden i grader - området med tillåtna värden på variabler är vanligtvis att baserna endast tas positiva betydelsersom låter dig fritt använda egenskaperna i grader. I allmänhet är det nödvändigt att ständigt undra om det är möjligt att använda någon egenskap av grader i det här fallet, eftersom den felaktiga användningen av egenskaper kan leda till en smalning av OTZ och andra problem. I detalj och i exempel demonteras dessa stunder i artikel omvandling av uttryck med hjälp av grader av grader. Här kommer vi att begränsa oss till övervägande av flera enkla exempel.

Exempel.

Förbered ett uttryck A 2,5 · (A 2) -3: A-5,5 som en grad med en bas A.

Beslut.

För det första omvandlar den andra faktorn (A 2) -3 övningen i graden i graden i graden: (A 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. Det ursprungliga effektuttrycket tar formen A 2,5 · A -6: A-5,5. Självklart är det fortfarande att utnyttja egenskaperna för multiplikation och division av grader med samma grund, vi har
a 2,5 · A -6: A -5.5 \u003d
en 2,5-6: A-5,5 \u003d A -3,5: A-5,5 \u003d
a -3,5 - (- 5.5) \u003d A 2.

Svar:

a 2,5 · (A 2) -3: A-5,5 \u003d A 2.

Egenskaperna hos grader när konvertering av effektuttryck används både från vänster till höger och höger till vänster.

Exempel.

Hitta värdet av ett effektuttryck.

Beslut.

Jämställdhet (A · B) R \u003d A R ^ B R, applicerad till höger, möjliggör från det initiala uttrycket att röra sig till produkten och vidare. Och när de multiplicerar grader med identiska grunder Indikatorer Fold: .

Det var möjligt att utföra omvandlingen av det ursprungliga uttrycket och annars:

Svar:

.

Exempel.

Effektuttrycket A 1,5-A 0,5 -6, anger en ny variabel T \u003d en 0,5.

Beslut.

Graden en 1,5 kan representeras som en 0,5 · 3 och på databasen med gradegenskapen i graden (A R) S \u003d A r · s, applicerad åt höger till vänster, omvandla den till formuläret (en 0,5) 3. På det här sättet, en 1,5 -a 0,5 -6 \u003d (en 0,5) 3-A 0,5 -6. Nu är det lätt att ange en ny variabel T \u003d en 0,5, vi får T3-T-6.

Svar:

t 3 -t-6.

Transformation av fraktioner innehållande grader

Kraftfulla uttryck kan innehålla fraktioner med grader eller representerar sådana fraktioner. Sådana fraktioner är fullt tillämpliga någon av de huvudtransformationer av fraktioner som är inneboende i fraktioner av något slag. Det vill säga att fraktioner som innehåller grader kan minskas, leder till en ny nämnare, arbetar separat med sin täljare och separat med nämnaren etc. För att illustrera orden, överväga lösningar av flera exempel.

Exempel.

Förenkla effektuttryck .

Beslut.

Detta kraftuttryck är en fraktion. Vi kommer att arbeta med sin täljare och denominator. I täljaren kommer vi att avslöja parenteserna och förenklar uttrycket erhållet efter detta med hjälp av graderna av grader och i denominatorn kommer vi att ge liknande villkor:

Och ändrar fortfarande tecken på denominatorn, placera minus före fraktionen: .

Svar:

.

Att föra graderna av fraktioner till en ny nämnare utförs på samma sätt som att föra rationella fraktioner till en ny nämnare. Samtidigt är en ytterligare faktor också placerad och multiplicera fraktionens täljare och nämnare. Genom att utföra denna åtgärd är det värt att komma ihåg att att föra till en ny nämnare kan leda till en smalning av OTZ. För detta händer det inte, det är nödvändigt att den ytterligare faktorn inte gäller noll, oavsett vilka värden av variablerna från de udda variablerna för det ursprungliga uttrycket.

Exempel.

Ge fraktioner till en ny nämnare: a) till denominatorn A, B) till denominatorn.

Beslut.

a) I det här fallet är det ganska enkelt att föreställa sig hur en ytterligare faktor hjälper till att uppnå det önskade resultatet. Detta är en multiplikator en 0,3, som en 0,7 · en 0,3 \u003d en 0,7 + 0,3 \u003d a. Observera att på det tillåtna värdena för variabeln A (det här är ett flertal av alla positiva giltiga nummer) grader en 0,3 inte till noll, därför har vi rätt att multiplicera täljaren och denominatorn för specificerad fraktion på denna ytterligare faktor:

b) Titta mer nära denominatorn, det kan hittas det

Och multiplikationen av detta uttryck på kommer att ge mängden kuber och det vill säga. Och det här är den nya denominatorn som vi behöver för att ta med den ursprungliga fraktionen.

Så vi hittade en ytterligare faktor. På området med tillåtna värden för variablerna X och Y gäller uttrycket inte noll, därför kan vi multiplicera fraktionens täljare och denominator:

Svar:

men) b) .

Det finns inget nytt i minskningen av fraktioner som innehåller grader, det finns inget nytt: täljaren och nämnaren är representerade som ett antal multiplikatorer, och samma multiplikatorer av täljaren och nämnaren reduceras.

Exempel.

Minska fraktionen: a) , b).

Beslut.

a) För det första kan täljaren och denominatorn reduceras till nummer 30 och 45, vilket är lika med 15. Också, självklart kan du göra en minskning på x 0,5 +1 och . Det är vad vi har:

b) I det här fallet kan samma multiplikatorer i täljaren och denominatorn inte vara omedelbart synlig. För att få dem måste du utföra preliminära omvandlingar. I det här fallet ingås de i expansionen av nämnaren för multiplikatorer med hjälp av formeln för kvadratskillnaden:

Svar:

men)

b) .

Att föra fraktioner till en ny nämnare och reduktionen av fraktioner används huvudsakligen för att utföra verkan med fraktioner. Åtgärder utförs enligt de välkända reglerna. Vid tillsats av (subtrahera) fraktioner ges de till en gemensam nämnare, varefter de är färdiga (subtraherade) siffror, och nämnaren förblir densamma. Som ett resultat visar det sig en fraktion, vars täljare är produkten av siffror, och denominatorn är en produkt av nämnare. Uppdelningen av fraktionen är multiplikation med fraktion, omvänd den.

Exempel.

Följ stegen .

Beslut.

Först utför vi subtraktionen av fraktioner som ligger i parentes. För att göra detta, ta dem till en gemensam nämnare som har , varefter vi subtraherar siffrorna:

Nu multiplicerar vi fraktionerna:

Det är uppenbart att det är möjligt att minska graden av X 1/2, varefter vi har .

Du kan fortfarande förenkla effektuttrycket i nämnaren, med hjälp av formeln för kvadratskillnaden: .

Svar:

Exempel.

Förenkla effektuttryck .

Beslut.

Självklart kan denna fraktion reduceras med (x 2,7 +1) 2, det ger en fraktion . Det är klart att du behöver göra något annat med ICAs grader. För att göra detta omvandlar vi den resulterande fraktionen i arbetet. Detta ger oss möjlighet att utnyttja egenskapen i grader med samma skäl: . Och i slutsatsen fortsätt från det sista arbetet Till fraktion.

Svar:

.

Och jag tillägger också att det är möjligt och i många fall är det önskvärt att överföra flera grader från täljaren till en denominator eller från nämnaren till en täljare, ändra indikatorskylten. Sådana omvandlingar förenklar ofta ytterligare åtgärder. Till exempel kan ett effektuttryck ersättas med.

Transformation av uttryck med rötter och grader

Ofta i uttryck som kräver några transformationer, tillsammans med grader med fraktionerade indikatorer finns rötter. Att omvandla ett liknande uttryck till lyssnandeI de flesta fall är det tillräckligt att bara gå till rötter eller bara till grader. Men eftersom det är bekvämare att arbeta med grader, gå vanligtvis från rötter till grader. Det är emellertid lämpligt att utöva en sådan övergång när OTZ-variablerna för det ursprungliga uttrycket gör det möjligt att ersätta rötterna genom grader utan att behöva vända sig till modulen eller dela OTZ till flera luckor (vi demonterade i detalj övergången från rötterna till graderna och tillbaka efter att utesluta graden med en rationell indikator introduceras graden med den irrationella indikatorn, vilket gör att du kan prata om graden med en godtycklig verklig indikator. I det här skedet börjar skolan att studera exponentiell funktion som analyellt definieras av den grad i vilken numret är beläget och i indikatorn - variabeln. Så vi konfronteras med de kraftfulla uttryck som innehåller numret i grunden för graden, och i indikatorn - uttryck med variabler, och det är naturligtvis ett behov av att utföra omvandlingar av sådana uttryck.

Det bör sägas att omvandlingen av uttrycken av de angivna arten vanligtvis måste utföras vid lösning indikatoriska ekvationer och vägledande ojämlikheter Och dessa omvandlingar är ganska enkla. I det överväldigande antalet fall är de baserade på examensegenskaperna och syftar till det mesta att komma in i en ny variabel i framtiden. Visa dem kommer att tillåta ekvationen 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.

För det första är graderna i indikatorerna som det finns en summa av vissa variabla (eller uttryck med variabler) och siffrorna ersätts av arbetena. Detta gäller för de första och sista terminen uttryck från vänster sida:
5 2 · x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · X -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Vidare utförs uppdelningen av båda delarna av jämlikhet på uttrycket 7 2 · X, vilka endast positiva värden tar på källekvationen till källekvationen (det här är standardmottagningen av att lösa ekvationer av denna typ, det är det inte Om honom nu, så fokusera på efterföljande omvandlingar av uttryck med grader):

Nu reduceras fraktionerna med grader, vilket ger .

Slutligen ersätts förhållandet mellan grader med samma indikatorer med grader av relationer, vilket leder till ekvationen Det är ekvivalent . Transformationer gör det möjligt att ange en ny variabel, vilket minskar lösningen av originalet indikativ ekvation För att lösa den kvadratiska ekvationen

I. V. Boykov, L. D. Romanova Insamling av uppgifter för förberedelse för tentamen. Del 1. Penza 2003.