Böj exempel. Enkla typer av motstånd. platt böj. Normal- och skjuvspänningar
böjningsdeformation består i krökningen av den raka stångens axel eller i att ändra den raka stångens initiala krökning (fig. 6.1). Låt oss bekanta oss med de grundläggande begreppen som används när vi överväger böjningsdeformation.
Böjstavar kallas strålar.
rena kallas en böj, där böjmomentet är den enda inre kraftfaktor som uppstår i balkens tvärsnitt.
Oftare, i tvärsnittet av stången, tillsammans med böjmomentet, uppstår också en tvärkraft. En sådan böj kallas tvärgående.
platt (rak) kallas en böj när böjmomentets verkningsplan i tvärsnittet passerar genom en av tvärsnittets huvudaxlar.
På sned böj böjmomentets aktionsplan skär balkens tvärsnitt längs en linje som inte sammanfaller med någon av tvärsnittets huvudaxlar.
Vi börjar studiet av böjdeformation med fallet med ren plan böjning.
Normala spänningar och töjningar vid ren bockning.
Som redan nämnts, med en ren platt böj i tvärsnittet, av de sex interna kraftfaktorerna, är endast böjmomentet icke-noll (fig. 6.1, c):
Experiment utförda på elastiska modeller visar att om ett rutnät av linjer appliceras på modellens yta (Fig. 6.1, a), så deformeras det med ren böjning enligt följande (Fig. 6.1, b):
a) längsgående linjer är krökta längs omkretsen;
b) konturerna av tvärsnitten förblir plana;
c) linjerna för sektionernas konturer skär överallt de längsgående fibrerna i rät vinkel.
Utifrån detta kan man anta att vid ren böjning förblir balkens tvärsnitt plana och roterar så att de förblir vinkelräta mot balkens böjda axel (flatsektionshypotes vid böjning).
Ris. 6.1
Genom att mäta längden på de längsgående linjerna (fig. 6.1, b) kan man konstatera att de övre fibrerna förlängs under böjningsdeformationen av balken och de nedre förkortas. Uppenbarligen är det möjligt att hitta sådana fibrer, vars längd förblir oförändrad. Uppsättningen fibrer som inte ändrar sin längd när balken böjs kallas neutralt lager (n.s.). Det neutrala lagret skär strålens tvärsnitt i en rät linje som kallas neutral linje (n. l.) sektion.
För att härleda en formel som bestämmer storleken på de normala spänningar som uppstår i tvärsnittet, överväg sektionen av balken i deformerat och icke-deformerat tillstånd (Fig. 6.2).
Ris. 6.2
Med två oändliga tvärsnitt väljer vi ett längdelement 
. Innan deformeras, sektionen som avgränsar elementet 
, var parallella med varandra (fig. 6.2, a), och efter deformation lutade de något och bildade en vinkel 
. Längden på fibrerna som ligger i det neutrala lagret förändras inte under böjning 
. Låt oss beteckna krökningsradien för spåret av det neutrala lagret på ritningens plan med bokstaven 
. Låt oss bestämma den linjära deformationen av en godtycklig fiber 
, på ett avstånd 
från det neutrala lagret.
Längden på denna fiber efter deformation (båglängd 
) är lika med 
. Med tanke på att före deformation hade alla fibrer samma längd 
, erhåller vi den absoluta förlängningen av den betraktade fibern
Dess relativa deformation 
Det är uppenbart att 
eftersom längden på fibern som ligger i det neutrala skiktet inte har förändrats. Sedan efter byte 
vi får
(6.2)
Därför är den relativa längsgående töjningen proportionell mot fiberns avstånd från den neutrala axeln.
Vi introducerar antagandet att de längsgående fibrerna inte pressar varandra under böjning. Under detta antagande deformeras varje fiber isolerat och upplever en enkel spänning eller kompression, där 
. Med hänsyn till (6.2)
, (6.3)
d.v.s. normala spänningar är direkt proportionella mot avstånden mellan de betraktade punkterna i sektionen från den neutrala axeln.
Vi ersätter beroende (6.3) i uttrycket för böjmomentet 
i tvärsnitt (6.1)
.
Kom ihåg att integralen 
representerar tröghetsmomentet för sektionen kring axeln 
.
(6.4)
Beroende (6.4) är Hookes lag vid böjning, eftersom det relaterar deformationen (krökningen av det neutrala lagret 
) med ögonblicket som agerar i avsnittet. Arbete 
kallas sektionens styvhet vid böjning, N m 2.
Ersätt (6.4) i (6.3)
(6.5)
Detta är den önskade formeln för att bestämma de normala spänningarna vid ren böjning av balken vid vilken punkt som helst i dess sektion.
För att fastställa var den neutrala linjen ligger i tvärsnittet, ersätter vi värdet av normalspänningar i uttrycket med den längsgående kraften 
och böjmoment 
I den mån som 
,
;
(6.6)
(6.7)
Likhet (6.6) anger att axeln 
- sektionens neutrala axel - passerar genom tvärsnittets tyngdpunkt.
Jämställdhet (6,7) visar det 
och 
- sektionens centrala axlar.
Enligt (6.5) uppnås de största spänningarna i fibrerna längst bort från neutrallinjen
Attityd 
representerar den axiella sektionsmodulen 
om sin centrala axel 
, betyder att
Menande 
för de enklaste tvärsnitten följande:
För rektangulärt tvärsnitt
, (6.8)
var 
- sektionssidan vinkelrät mot axeln 
;
- sektionssidan parallell med axeln 
;
För runt tvärsnitt
, (6.9)
var 
är diametern på det cirkulära tvärsnittet.
Hållfasthetsvillkoret för normala spänningar vid böjning kan skrivas som
(6.10)
Alla erhållna formler erhålls för fallet med ren böjning av en rak stång. Tvärkraftens verkan leder till att hypoteserna som ligger till grund för slutsatserna tappar sin styrka. Utövandet av beräkningar visar dock att vid tvärgående böjning av balkar och ramar, när i sektionen, utöver böjmomentet 
det finns också en längsgående kraft 
och skjuvkraft 
, kan du använda formlerna som ges för ren böjning. I det här fallet visar sig felet vara obetydligt.
Allmänna begrepp.
böjningsdeformationbestår i krökningen av den raka stångens axel eller i att ändra den raka stångens initiala krökning(Fig. 6.1) . Låt oss bekanta oss med de grundläggande begreppen som används när vi överväger böjningsdeformation.
Böjstavar kallas strålar.
rena kallas en böj, där böjmomentet är den enda inre kraftfaktor som uppstår i balkens tvärsnitt.
Oftare, i tvärsnittet av stången, tillsammans med böjmomentet, uppstår också en tvärkraft. En sådan böj kallas tvärgående.
platt (rak) kallas en böj när böjmomentets verkningsplan i tvärsnittet passerar genom en av tvärsnittets huvudaxlar.
Med en sned böj böjmomentets aktionsplan skär balkens tvärsnitt längs en linje som inte sammanfaller med någon av tvärsnittets huvudaxlar.
Vi börjar studiet av böjdeformation med fallet med ren plan böjning.
Normala spänningar och töjningar vid ren bockning.
Som redan nämnts, med en ren platt böj i tvärsnittet, av de sex interna kraftfaktorerna, är endast böjmomentet icke-noll (fig. 6.1, c):
; (6.1)
Experiment utförda på elastiska modeller visar att om ett rutnät av linjer appliceras på modellens yta(Fig. 6.1, a) , sedan under ren böjning deformeras den enligt följande(Fig. 6.1, b):
a) längsgående linjer är krökta längs omkretsen;
b) konturerna av tvärsnitten förblir plana;
c) linjerna för sektionernas konturer skär överallt de längsgående fibrerna i rät vinkel.
Utifrån detta kan man anta att vid ren böjning förblir balkens tvärsnitt plana och roterar så att de förblir vinkelräta mot balkens böjda axel (flatsektionshypotes vid böjning).
Ris. .
Genom att mäta längden på de längsgående linjerna (fig. 6.1, b) kan man konstatera att de övre fibrerna förlängs under böjningsdeformationen av balken och de nedre förkortas. Uppenbarligen är det möjligt att hitta sådana fibrer, vars längd förblir oförändrad. Uppsättningen fibrer som inte ändrar sin längd när balken böjs kallasneutralt lager (n.s.). Det neutrala lagret skär strålens tvärsnitt i en rät linje som kallasneutral linje (n. l.) sektion.
För att härleda en formel som bestämmer storleken på de normala spänningar som uppstår i tvärsnittet, överväg sektionen av balken i deformerat och icke-deformerat tillstånd (Fig. 6.2).
Ris. .
Med två oändliga tvärsnitt väljer vi ett längdelement. Före deformationen var sektionerna som avgränsade elementet parallella med varandra (Fig. 6.2, a), och efter deformationen lutade de något och bildade en vinkel. Längden på fibrerna som ligger i det neutrala lagret förändras inte under böjning. Låt oss beteckna krökningsradien för spåret av det neutrala lagret på ritningens plan med en bokstav. Låt oss bestämma den linjära deformationen av en godtycklig fiber placerad på ett avstånd från det neutrala lagret.
Längden på denna fiber efter deformation (båglängd) är lika med. Med tanke på att före deformation hade alla fibrer samma längd, får vi att den absoluta förlängningen av den betraktade fibern
Dess relativa deformation
Uppenbarligen, eftersom längden på fibern som ligger i det neutrala skiktet inte har förändrats. Sedan efter byte får vi
(6.2)
Därför är den relativa längsgående töjningen proportionell mot fiberns avstånd från den neutrala axeln.
Vi introducerar antagandet att de längsgående fibrerna inte pressar varandra under böjning. Under detta antagande deformeras varje fiber isolerat, upplever en enkel spänning eller kompression, vid vilken. Med hänsyn till (6.2)
, (6.3)
d.v.s. normala spänningar är direkt proportionella mot avstånden mellan de betraktade punkterna i sektionen från den neutrala axeln.
Vi ersätter beroende (6.3) i uttrycket för böjmomentet i tvärsnittet (6.1)
Kom ihåg att integralen är tröghetsmomentet för avsnittet om axeln
Eller
(6.4)
Beroende (6.4) är Hookes lag för böjning, eftersom den relaterar deformationen (krökningen av det neutrala lagret) till momentet som verkar i sektionen. Produkten kallas sektionens böjstyvhet, N m 2.
Ersätt (6.4) i (6.3)
(6.5)
Detta är den önskade formeln för att bestämma de normala spänningarna vid ren böjning av balken vid vilken punkt som helst i dess sektion.
För För att fastställa var den neutrala linjen är i tvärsnittet ersätter vi värdet av normalspänningar i uttrycket med den längsgående kraften och böjmomentet
I den mån som,
sedan
(6.6)
(6.7)
Likhet (6.6) indikerar att axeln - sektionens neutrala axel - passerar genom tvärsnittets tyngdpunkt.
Jämlikhet (6.7) visar att och är sektionens centrala axlar.
Enligt (6.5) uppnås de största spänningarna i fibrerna längst bort från neutrallinjen
Förhållandet är den axiella sektionsmodulen i förhållande till dess centrala axel, vilket betyder
Värdet för de enklaste tvärsnitten är som följer:
För rektangulärt tvärsnitt
, (6.8)
där är sektionssidan vinkelrät mot axeln;
Sidan av sektionen är parallell med axeln;
För runt tvärsnitt
, (6.9)
var är diametern på det cirkulära tvärsnittet.
Hållfasthetsvillkoret för normala spänningar vid böjning kan skrivas som
(6.10)
Alla erhållna formler erhålls för fallet med ren böjning av en rak stång. Tvärkraftens verkan leder till att hypoteserna som ligger till grund för slutsatserna tappar sin styrka. Utövningen av beräkningar visar dock att vid tvärböjning av balkar och ramar, när förutom böjmomentet även en längsgående kraft och en tvärkraft verkar i snittet, kan man använda de angivna formlerna för ren bockning. I det här fallet visar sig felet vara obetydligt.
Bestämning av tvärkrafter och böjmoment.
Som redan nämnts, med en platt tvärböjning i tvärsnittet av balken, uppstår två inre kraftfaktorer u.
Innan man bestämmer och bestämmer strålstödens reaktioner (Fig. 6.3, a), sammanställer jämviktsekvationerna för statik.
För att bestämma och tillämpa metoden för sektioner. På den plats som är intressant för oss kommer vi att göra en mental sektion av strålen, till exempel på avstånd från vänster stöd. Låt oss kassera en av strålens delar, till exempel den högra, och överväga balansen på vänster sida (Fig. 6.3, b). Vi kommer att ersätta balkdelarnas samverkan med inre krafter och.
Låt oss fastställa följande teckenregler för och:
- Tvärkraften i sektionen är positiv om dess vektorer tenderar att rotera den betraktade sektionen medurs;
- Böjmomentet i sektionen är positivt om det orsakar kompression av de övre fibrerna.
Ris. .
För att bestämma dessa krafter använder vi två jämviktsekvationer:
1. ; ; .
2. ;
Således,
a) tvärkraften i balkens tvärsnitt är numeriskt lika med den algebraiska summan av projektionerna på tväraxeln av tvärsnittet av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av sektionen;
b) böjmomentet i balkens tvärsnitt är numeriskt lika med den algebraiska summan av momenten (beräknat i förhållande till sektionens tyngdpunkt) av yttre krafter som verkar på ena sidan av den givna sektionen.
I praktiska beräkningar styrs de vanligtvis av följande:
- Om den externa lasten tenderar att rotera balken medurs i förhållande till den betraktade sektionen, (Fig. 6.4, b), så ger uttrycket för det en positiv term.
- Om en extern belastning skapar ett moment i förhållande till den betraktade sektionen, vilket orsakar komprimering av de övre fibrerna i balken (fig. 6.4, a), så ger det i uttrycket för i detta avsnitt en positiv term.
Ris. .
Konstruktion av diagram i balkar.
Tänk på en dubbelstråle(Fig. 6.5, a) . En stråle påverkas vid en punkt av ett koncentrerat moment, vid en punkt av en koncentrerad kraft och i ett avsnitt av en jämnt fördelad intensitetsbelastning.
Vi definierar stödreaktioner och(Fig. 6.5, b) . Den resulterande fördelade belastningen är lika, och dess verkningslinje går genom mitten av sektionen. Låt oss komponera ekvationerna för momenten med avseende på punkterna och.
Låt oss bestämma tvärkraften och böjmomentet i en godtycklig sektion placerad i en sektion på avstånd från punkt A(Fig. 6.5, c) .
(Fig. 6.5, d). Avståndet kan variera inom ().
Värdet på den tvärgående kraften beror inte på koordinaten för sektionen, därför är tvärkrafterna desamma i alla sektioner av sektionen och diagrammet ser ut som en rektangel. Böjningsmoment
Böjmomentet ändras linjärt. Låt oss bestämma ordinaterna för diagrammet för tomtens gränser.
Låt oss bestämma tvärkraften och böjmomentet i en godtycklig sektion placerad i en sektion på avstånd från punkten(Fig. 6.5, e). Avståndet kan variera inom ().
Tvärkraften ändras linjärt. Definiera för webbplatsens gränser.
Böjningsmoment
Diagrammet över böjmoment i detta avsnitt kommer att vara paraboliskt.
För att bestämma extremvärdet för böjmomentet, likställer vi noll med derivatan av böjmomentet längs abskissan i sektionen:
Härifrån
För en sektion med en koordinat blir värdet på böjmomentet
Som ett resultat får vi diagram över tvärkrafter(Fig. 6.5, e) och böjmoment (Fig. 6.5, g).
Differentiella beroenden i böjning.
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Dessa beroenden låter dig fastställa några funktioner i diagrammen över böjmoment och skjuvkrafter:
H i områden där det inte finns någon fördelad last är diagrammen begränsade till räta linjer parallella med diagrammets nolllinje, och diagrammen i det allmänna fallet är lutande räta linjer.
H i områden där en jämnt fördelad belastning appliceras på balken, begränsas diagrammet av lutande räta linjer, och diagrammet begränsas av kvadratiska paraboler med en utbuktning vänd mot riktningen för lasten.
PÅ sektioner, där tangenten till diagrammet är parallell med diagrammets nolllinje.
H och områden där ögonblicket ökar; i områden där momentet minskar.
PÅ sektioner där koncentrerade krafter appliceras på balken, kommer det att finnas hopp på storleken på de applicerade krafterna på diagrammet och brott på diagrammet.
I sektioner där koncentrerade moment appliceras på strålen kommer det att finnas hopp i diagrammet med storleken på dessa moment.
Ordinaterna i diagrammet är proportionella mot tangenten för lutningen av tangenten till diagrammet.
Rak böj. Plan tvärböjning Rita diagram av inre kraftfaktorer för balkar Rita Q- och M-diagram enligt ekvationer Rita Q- och M-diagram med hjälp av karakteristiska sektioner (punkter) Beräkningar för hållfasthet vid direktböjning av balkar Huvudspänningar vid bockning. Fullständig verifiering av balkarnas styrka. Förstå böjningscentrum Bestämning av förskjutningar i balkar under böjning. Begrepp för deformation av balkar och villkor för deras styvhet Differentialekvation för balkens böjda axel Metod för direkt integration Exempel på bestämning av förskjutningar i balkar med metoden för direkt integration Fysisk betydelse av integrationskonstanter Metod för initiala parametrar (universell ekvation av balkar balkens böjda axel). Exempel på bestämning av förskjutningar i en balk med metoden för initialparametrar Bestämning av förskjutningar med Mohr-metoden. A.K:s regel Vereshchagin. Beräkning av Mohr-integralen enligt A.K. Vereshchagin Exempel på bestämning av förskjutningar med hjälp av Mohrs integral Bibliografi Direktböjning. Platt tvärböj. 1.1. Rita diagram av inre kraftfaktorer för balkar Direktböjning är en typ av deformation där två inre kraftfaktorer uppstår i stångens tvärsnitt: ett böjmoment och en tvärkraft. I ett särskilt fall kan tvärkraften vara lika med noll, då kallas böjningen ren. Med en platt tvärgående böjning är alla krafter belägna i ett av stavens huvudtröghetsplan och är vinkelräta mot dess längdaxel, momenten är belägna i samma plan (fig. 1.1, a, b). Ris. 1.1 Tvärkraften i ett godtyckligt tvärsnitt av balken är numeriskt lika med den algebraiska summan av projektionerna på normalen till balkens axel av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av det aktuella avsnittet. Tvärkraften i balkens m-n-sektion (fig. 1.2, a) anses vara positiv om resultanten av yttre krafter till vänster om sektionen är riktad uppåt och åt höger - nedåt och negativ - i motsatt fall (Fig. 1.2, b). Ris. 1.2 Vid beräkning av tvärkraften i en given sektion tas de yttre krafterna som ligger till vänster om sektionen med ett plustecken om de är riktade uppåt och med ett minustecken om de är nedåt. För höger sida av strålen - vice versa. 5 Böjmomentet i ett godtyckligt tvärsnitt av balken är numeriskt lika med den algebraiska summan av momenten kring den centrala axeln z i sektionen av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av den aktuella sektionen. Böjmomentet i balkens m-n-sektion (fig. 1.3, a) anses positivt om det resulterande momentet av yttre krafter riktas medurs från sektionen till vänster om sektionen, och moturs till höger, och negativt i sektionen. motsatt fall (fig. 1.3b). Ris. 1.3 Vid beräkning av böjmomentet i en given sektion anses momenten för yttre krafter som ligger till vänster om sektionen vara positiva om de är riktade medurs. För höger sida av strålen - vice versa. Det är bekvämt att bestämma tecknet på böjmomentet av typen av deformation av balken. Böjmomentet anses positivt om den avskurna delen av balken i det aktuella avsnittet böjer sig med en konvexitet nedåt, d.v.s. de nedre fibrerna sträcks. Annars är böjmomentet i sektionen negativt. Mellan böjmomentet M, tvärkraften Q och intensiteten av lasten q finns differentiella beroenden. 1. Den första derivatan av tvärkraften längs sektionens abskiss är lika med intensiteten av den fördelade belastningen, dvs. . (1.1) 2. Den första derivatan av böjmomentet längs sektionens abskiss är lika med tvärkraften, dvs. (1.2) 3. Den andra derivatan med avseende på sektionens abskiss är lika med intensiteten av den fördelade belastningen, dvs. (1.3) Vi anser att den fördelade lasten riktad uppåt är positiv. Ett antal viktiga slutsatser följer av de differentiella beroenden mellan M, Q, q: 1. Om på balksektionen: a) tvärkraften är positiv, ökar böjmomentet; b) tvärkraften är negativ, då minskar böjmomentet; c) tvärkraften är noll, då har böjmomentet ett konstant värde (ren böjning); 6 d) tvärkraften går genom noll, ändrar tecken från plus till minus, max M M, annars M Mmin. 2. Om det inte finns någon fördelad belastning på balksektionen är tvärkraften konstant och böjmomentet ändras linjärt. 3. Om det finns en jämnt fördelad belastning på balksektionen, ändras tvärkraften enligt en linjär lag, och böjmomentet - enligt lagen för en kvadratisk parabel, konvex inverterad mot lasten (vid plottning M från sidan av spända fibrer). 4. I avsnittet under den koncentrerade kraften har diagrammet Q ett hopp (med kraftens storlek), diagrammet M har ett brott i kraftens riktning. 5. I avsnittet där ett koncentrerat moment appliceras har diagrammet M ett hopp lika med värdet av detta moment. Detta återspeglas inte i Q-plotten. Under komplex belastning bygger balkar diagram över tvärkrafterna Q och böjmomenten M. Plot Q (M) är en graf som visar lagen för förändring av tvärkraften (böjmomentet) längs med balkens längd. Baserat på analysen av diagram M och Q fastställs farliga sektioner av balken. De positiva ordinaterna i Q-diagrammet plottas uppåt och de negativa ordinaterna är plottade nedåt från baslinjen parallellt med strålens längdaxel. De positiva ordinaterna för diagrammet M läggs ner, och de negativa ordinaterna är ritade uppåt, dvs. diagrammet M är byggt från sidan av de sträckta fibrerna. Konstruktionen av diagrammen Q och M för balkar bör börja med definitionen av stödreaktioner. För en balk med en fast ände och den andra fria änden kan plottning av Q och M startas från den fria änden utan att definiera reaktioner i inbäddningen. 1.2. Konstruktionen av diagrammen Q och M enligt Balkekvationerna är uppdelad i sektioner, inom vilka funktionerna för böjmomentet och skjuvkraften förblir konstanta (har inga diskontinuiteter). Sektionernas gränser är appliceringspunkterna för koncentrerade krafter, kraftpar och platser för förändring av intensiteten hos den fördelade lasten. Ett godtyckligt snitt tas vid varje sektion på ett avstånd x från origo och för detta snitt ritas ekvationer för Q och M. Plotterna Q och M är byggda med dessa ekvationer Exempel 1.1 Konstruera plots av skjuvkrafter Q och böjmoment M för en given stråle (Fig. 1.4a). Lösning: 1. Bestämning av reaktioner av bärare. Vi sammanställer jämviktsekvationerna: från vilka vi får Bärarnas reaktioner är korrekt definierade. Balken har fyra sektioner Fig. 1.4 laddningar: CA, AD, DB, BE. 2. Plottning Q. Plot SA. På sektion CA 1 ritar vi en godtycklig sektion 1-1 på ett avstånd x1 från den vänstra änden av balken. Vi definierar Q som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till vänster om sektionen 1-1: Minustecknet tas eftersom kraften som verkar till vänster om sektionen är riktad nedåt. Uttrycket för Q beror inte på variabeln x1. Plot Q i detta avsnitt kommer att avbildas som en rät linje parallell med x-axeln. Handling AD. På platsen ritar vi en godtycklig sektion 2-2 på ett avstånd x2 från den vänstra änden av strålen. Vi definierar Q2 som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till vänster om avsnitt 2-2: 8 Värdet på Q är konstant på avsnittet (beror inte på variabeln x2). Plot Q på plotten är en rät linje parallell med x-axeln. DB webbplats. På platsen ritar vi en godtycklig sektion 3-3 på ett avstånd x3 från den högra änden av strålen. Vi definierar Q3 som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till höger om avsnitt 3-3: Det resulterande uttrycket är ekvationen för en lutande rät linje. Handling B.E. På platsen ritar vi en sektion 4-4 på ett avstånd x4 från den högra änden av balken. Vi definierar Q som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till höger om avsnitt 4-4: 4 Här tas plustecknet eftersom den resulterande lasten till höger om avsnitt 4-4 är riktad nedåt. Baserat på de erhållna värdena bygger vi diagram Q (fig. 1.4, b). 3. Rita M. Tomt m1. Vi definierar böjmomentet i avsnitt 1-1 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till vänster om avsnitt 1-1. är ekvationen för en rät linje. Sektion A 3 Definiera böjmomentet i avsnitt 2-2 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till vänster om avsnitt 2-2. är ekvationen för en rät linje. Plot DB 4 Vi definierar böjmomentet i avsnitt 3-3 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till höger om avsnitt 3-3. är ekvationen för en kvadratisk parabel. 9 Hitta tre värden i ändarna av sektionen och i punkten med koordinaten xk , där sektion BE 1 Definiera böjmomentet i sektion 4-4 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till höger om sektion 4- 4. - ekvationen för en kvadratisk parabel hittar vi tre värden på M4: Baserat på de erhållna värdena bygger vi en plot M (Fig. 1.4, c). I sektionerna CA och AD begränsas plotten Q av räta linjer parallella med abskissaxeln och i sektionerna DB och BE av sneda räta linjer. I avsnitten C, A och B på diagrammet Q förekommer hopp med storleken på motsvarande krafter, vilket fungerar som en kontroll av riktigheten av konstruktionen av diagrammet Q. I avsnitt där Q 0 ökar momenten från vänster till höger. I sektioner där Q 0 minskar momenten. Under de koncentrerade krafterna uppstår veck i krafternas verkan. Under det koncentrerade ögonblicket sker ett hopp med momentvärdet. Detta indikerar riktigheten av att plotta M. Exempel 1.2 Konstruera diagram Q och M för en balk på två stöd, belastade med en fördelad belastning, vars intensitet varierar linjärt (Fig. 1.5, a). Lösning Bestämning av stödreaktioner. Resultanten av den fördelade belastningen är lika med arean av triangeln som representerar belastningsdiagrammet och appliceras i denna triangels tyngdpunkt. Vi gör upp summorna av momenten för alla krafter i förhållande till punkterna A och B: Plotta Q. Låt oss rita ett godtyckligt snitt på ett avstånd x från det vänstra stödet. Ordinatan för lastdiagrammet som motsvarar sektionen bestäms utifrån likheten mellan trianglar. Resultaten av den del av lasten som är belägen till vänster om sektionen Skjuvkraften i sektionen är lika med noll: Plot Q visas i fikon. 1,5, b. Böjmomentet i en godtycklig sektion är lika med Böjmomentet ändras enligt lagen för en kubisk parabel: Böjmomentets maximala värde är i sektionen, där 0, d.v.s. 1,5, c. 1.3. Konstruktion av diagram Q och M genom karakteristiska sektioner (punkter) Med hjälp av differentialsambanden mellan M, Q, q och de slutsatser som härrör från dem, är det tillrådligt att bygga diagrammen Q och M med karakteristiska sektioner (utan att formulera ekvationer). Med denna metod beräknas värdena för Q och M i karakteristiska sektioner. De karakteristiska sektionerna är sektionernas gränssektioner, samt de sektioner där den givna inre kraftfaktorn har ett extremvärde. Inom gränserna mellan de karakteristiska sektionerna fastställs konturen 12 av diagrammet på basis av differentiella beroenden mellan M, Q, q och de slutsatser som härrör från dem. Exempel 1.3 Konstruera diagrammen Q och M för balken som visas i fig. 1.6, a. Ris. 1.6. Lösning: Vi börjar plotta Q- och M-diagram från den fria änden av strålen, medan reaktionerna i inbäddningen kan utelämnas. Balken har tre lastområden: AB, BC, CD. Det finns ingen fördelad belastning i sektionerna AB och BC. Tvärkrafterna är konstanta. Plot Q begränsas av räta linjer parallella med x-axeln. Böjmoment förändras linjärt. Plot M är begränsad till raka linjer som lutar mot x-axeln. På sektions-CD finns en jämnt fördelad belastning. De tvärgående krafterna ändras linjärt, och böjmomenten ändras enligt lagen för en kvadratisk parabel med en konvexitet i den fördelade lastens riktning. Vid gränsen för sektionerna AB och BC ändras tvärkraften abrupt. Vid gränsen för avsnitt BC och CD ändras böjmomentet abrupt. 1. Plotta Q. Vi beräknar värdena för tvärkrafterna Q i sektionernas gränssektioner: Baserat på resultaten av beräkningar bygger vi ett diagram Q för balken (fig. 1, b). Av diagrammet Q följer att tvärkraften i sektionen CD är lika med noll i sektionen på avstånd qa a q från början av denna sektion. I detta avsnitt har böjmomentet ett maximalt värde. 2. Konstruktion av diagram M. Vi beräknar värdena för böjmoment i sektionernas gränssektioner: Exempel 1.4 Enligt det givna diagrammet över böjmoment (Fig. 1.7, a) för balken (Fig. 1.7, b), bestäm de verkande lasterna och rita Q. Cirkeln anger spetsen på den kvadratiska parabeln. Lösning: Bestäm lasterna som verkar på balken. Sektion AC belastas med en jämnt fördelad last, eftersom diagrammet M i detta avsnitt är en kvadratisk parabel. I referensavsnittet B appliceras ett koncentrerat moment på strålen, som verkar i medurs riktning, eftersom vi på diagrammet M har ett uppåtgående hopp med momentets storlek. I NE-sektionen är balken inte belastad, eftersom diagrammet M i detta avsnitt begränsas av en lutande rät linje. Reaktionen för stöd B bestäms utifrån villkoret att böjmomentet i sektion C är lika med noll, d.v.s. för att bestämma intensiteten av den fördelade lasten, sammanställer vi ett uttryck för böjmomentet i sektion A som summan av momenten av krafter till höger och är lika med noll. Nu bestämmer vi reaktionen för stöd A. För att göra detta sammanställer vi ett uttryck för böjmoment i snittet som summan av kraftmomenten till vänster.Beräkningsschemat för en balk med last visas i fig. 1,7, c. Med utgångspunkt från den vänstra änden av balken beräknar vi värdena för tvärkrafterna i sektionernas gränssektioner: Plot Q visas i fig. 1.7, d. Det övervägda problemet kan lösas genom att sammanställa funktionella beroenden för M, Q i varje avsnitt. Låt oss välja ursprunget för koordinaterna i den vänstra änden av strålen. På AC-sektionen uttrycks plotten M av en kvadratisk parabel, vars ekvation har formen Konstanter a, b, c, vi finner från villkoret att parabeln passerar genom tre punkter med kända koordinater: Ersätter koordinaterna för punkterna in i parabelekvationen får vi: Uttrycket för böjmomentet blir Differentiering av funktionen M1 , vi får beroendet för tvärkraften Efter differentiering av funktionen Q får vi ett uttryck för intensiteten av den fördelade lasten. I avsnittet NE representeras uttrycket för böjmomentet som en linjär funktion För att bestämma konstanterna a och b använder vi villkoren att denna linje passerar genom två punkter vars koordinater är kända Vi får två ekvationer: ,b av som vi har en 20. Ekvationen för böjmomentet i sektion NE blir Efter en dubbeldifferentiering av M2 kommer vi att hitta. Baserat på de funna värdena för M och Q bygger vi diagram över böjmoment och skjuvkrafter för balken. Utöver den fördelade lasten appliceras koncentrerade krafter på balken i tre sektioner, där det finns hopp på Q-diagrammet, och koncentrerade moment i sektionen där det finns ett hopp på M-diagrammet. Exempel 1.5 För en balk (Fig. 1.8, a), bestäm det rationella läget för gångjärnet C, vid vilket det största böjmomentet i spannet är lika med böjmomentet i inbäddningen (i absolut värde). Bygg diagram Q och M. Lösning Bestämning av reaktioner av stöd. Trots att det totala antalet stödlänkar är fyra är balken statiskt bestämd. Böjmomentet i gångjärn C är lika med noll, vilket gör att vi kan göra en ytterligare ekvation: summan av momenten kring gångjärnet för alla yttre krafter som verkar på ena sidan av detta gångjärn är lika med noll. Komponera summan av momenten av alla krafter till höger om gångjärnet C. Diagram Q för balken begränsas av en lutande rät linje, eftersom q = konst. Vi bestämmer värdena för tvärkrafter i balkens gränssektioner: Abskissan xK för sektionen, där Q = 0, bestäms från ekvationen varifrån plot M för balken begränsas av en kvadratisk parabel. Uttryck för böjmoment i sektioner, där Q = 0, respektive i avslutningen skrivs enligt följande: Från villkoret för momentens likhet får vi en andragradsekvation med avseende på den önskade parametern x: Det verkliga värdet är x 2x 1.029 m. Vi bestämmer de numeriska värdena för de tvärgående krafterna och böjmomenten i de karakteristiska sektionerna av balken. 1.8, c - plot M. Det övervägda problemet skulle kunna lösas genom att dela upp den gångjärnsförsedda balken i dess beståndsdelar, som visas i fig. 1.8, d. I början bestäms reaktionerna av stöden VC och VB. Tomterna Q och M är konstruerade för upphängningsbalken SV från verkan av den belastning som appliceras på den. Sedan flyttar de till huvudbalken AC och laddar den med en extra kraft VC, vilket är balkens CBs tryckkraft på balken AC. Därefter byggs diagram Q och M för AC-balken. 1.4. Hållfasthetsberäkningar för direktböjning av balkar Hållfasthetsberäkning för normal- och skjuvspänningar. Vid en direkt böjning av en balk uppstår normal- och skjuvspänningar i dess tvärsnitt (Fig. 1.9). 18 Fig. 1.9 Normalspänningar är relaterade till böjmomentet, skjuvspänningar är relaterade till tvärkraften. Vid direkt ren bockning är skjuvspänningar lika med noll. Normalspänningar vid en godtycklig punkt av balktvärsnittet bestäms av formeln (1.4) där M är böjmomentet i den givna sektionen; Iz är tröghetsmomentet för sektionen i förhållande till den neutrala axeln z; y är avståndet från den punkt där normalspänningen bestäms till den neutrala z-axeln. Normala spänningar längs sektionens höjd ändras linjärt och når det största värdet på de punkter som är längst bort från den neutrala axeln. Om sektionen är symmetrisk kring den neutrala axeln (fig. 1.11) 1.11 de största drag- och tryckspänningarna är desamma och bestäms av formeln - axiellt sektionsmoment vid böjning. För en rektangulär sektion med en bredd b och en höjd h: (1.7) För en cirkulär sektion med en diameter d: (1.8) För en ringformad sektion är ringens inner- respektive ytterdiameter. För balkar gjorda av plastmaterial är de mest rationella symmetriska 20 sektionsformer (I-balk, lådformad, ringformad). För balkar gjorda av spröda material som inte lika motstår spänning och kompression är sektioner som är asymmetriska kring den neutrala axeln z (ta-br., U-formad, asymmetrisk I-balk) rationella. För balkar med konstant tvärsnitt gjorda av plastmaterial med symmetriska tvärsnittsformer, skrivs hållfasthetsvillkoret enligt följande: (1.10) där Mmax är det maximala böjmomentet modulo; - tillåten spänning för materialet. För balkar med konstant sektion gjorda av plastmaterial med asymmetriska sektionsformer, skrivs hållfasthetsvillkoret i följande form: (1. 11) För balkar gjorda av spröda material med sektioner som är asymmetriska kring den neutrala axeln, om diagrammet M är entydigt (Fig. 1.12), måste två hållfasthetsvillkor skrivas - avståndet från den neutrala axeln till de mest avlägsna punkterna i sträckta och komprimerade zoner av den farliga sektionen, respektive; P - tillåtna spänningar, respektive i spänning och kompression. Fig.1.12. 21 Om böjmomentdiagrammet har sektioner med olika tecken (Fig. 1.13), är det, förutom att kontrollera sektionen 1-1, där Mmax verkar, nödvändigt att beräkna de maximala dragspänningarna för sektionen 2-2 (med största momentet av motsatt tecken). Ris. 1.13 Tillsammans med grundberäkningen för normalspänningar är det i vissa fall nödvändigt att kontrollera balkhållfastheten för skjuvspänningar. Skjuvspänningar i balkar beräknas med formeln D. I. Zhuravsky (1.13) där Q är den tvärgående kraften i balkens betraktade tvärsnitt; Szots är det statiska momentet kring den neutrala axeln i området för den del av sektionen som ligger på ena sidan av den räta linjen som dras genom den givna punkten och parallellt med z-axeln; b är sektionens bredd på nivån för den betraktade punkten; Iz är tröghetsmomentet för hela sektionen kring neutralaxeln z. I många fall uppstår de maximala skjuvspänningarna i nivå med balkens neutrala lager (rektangel, I-balk, cirkel). I sådana fall skrivs hållfasthetsvillkoret för skjuvspänningar som, (1.14) där Qmax är den tvärgående kraften med den högsta modulen; - tillåten skjuvspänning för materialet. För en rektangulär balksektion har hållfasthetsvillkoret formen (1.15) A är balkens tvärsnittsarea. För en cirkulär sektion representeras hållfasthetsvillkoret som (1.16) För en I-sektion skrivs hållfasthetsvillkoret enligt följande: (1.17) d är I-balkens väggtjocklek. Vanligtvis bestäms dimensionerna på balkens tvärsnitt från hållfasthetsförhållandet för normala spänningar. Att kontrollera balkarnas styrka för skjuvspänningar är obligatoriskt för korta balkar och balkar av valfri längd, om det finns stora koncentrerade krafter nära stöden, såväl som för trä, nitade och svetsade balkar. Exempel 1.6 Kontrollera hållfastheten hos en lådbalk (Fig. 1.14) för normal- och skjuvspänningar, om MPa. Bygg diagram i den farliga delen av balken. Ris. 1.14 Beslut 23 1. Plot Q och M plots från karakteristiska sektioner. Med tanke på balkens vänstra sida får vi Diagrammet över tvärkrafterna visas i fig. 1,14, c. Diagrammet för böjmoment visas i fig. 5.14, g. 2. Tvärsnittets geometriska egenskaper 3. De högsta normalspänningarna i sektionen C, där Mmax verkar (modulo): MPa. De maximala normala spänningarna i balken är praktiskt taget lika med de tillåtna. 4. De högsta skjuvspänningarna i sektion C (eller A), där max Q verkar (modulo): Här är det statiska momentet för halvsektionsarean relativt den neutrala axeln; b2 cm är sektionens bredd i nivå med den neutrala axeln. Fig. 5. Tangentialspänningar vid en punkt (i väggen) i sektion C: Fig. 1.15 Här är Szomc 834.5 108 cm3 det statiska momentet för arean av den del av sektionen som ligger ovanför linjen som går genom punkten K1; b2 cm är väggtjockleken i nivå med punkt K1. Plotterna och för sektion C av balken visas i fig. 1.15. Exempel 1.7 För balken som visas i fig. 1.16, a, krävs: 1. Konstruera diagram över tvärkrafter och böjmoment längs karakteristiska sektioner (punkter). 2. Bestäm dimensionerna på tvärsnittet i form av en cirkel, rektangel och I-balk från styrkan för normala spänningar, jämför tvärsnittsareorna. 3. Kontrollera de valda måtten på balksektionerna för skjuvspänningar. Givet: Lösning: 1. Bestäm balkstödens reaktioner Kontrollera: 2. Rita Q- och M-diagram Värden på tvärkrafter i karakteristiska sektioner av balken 25 Fig. 1.16 I avsnitt CA och AD är belastningsintensiteten q = konst. Därför, i dessa sektioner, är diagrammet Q begränsat till raka linjer som lutar mot axeln. I avsnittet DB är intensiteten av den distribuerade lasten q \u003d 0, därför är diagrammet Q i detta avsnitt begränsat till en rät linje parallell med x-axeln. Diagram Q för balken visas i fig. 1.16b. Värden för böjmoment i balkens karakteristiska sektioner: I den andra sektionen bestämmer vi abskissan x2 för sektionen, där Q = 0: Det maximala momentet i den andra sektionen Diagram M för balken visas i fig. . 1,16, c. 2. Sammanställ hållfasthetsvillkoret för normala spänningar, från vilket vi bestämmer den erforderliga axiella sektionsmodulen från uttrycket bestämd erforderlig diameter d för en cirkulär sektionsbalk Cirkulär sektionsarea För en rektangulär balk Erforderlig sektionshöjd Rektangulär sektionsarea Enligt tabellerna i GOST 8239-89 hittar vi det närmaste större värdet av det axiella motståndsmomentet 597 cm3, vilket motsvarar I-balken nr 33 med egenskaperna: A z 9840 cm4. Toleranskontroll: (underbelastning med 1 % av tillåtna 5 %), närmaste I-balk nr 30 (W 2 cm3) leder till en betydande överbelastning (mer än 5 %). Vi accepterar äntligen I-balken nr 33. Vi jämför arean av cirkulära och rektangulära sektioner med den minsta arean A av I-balken: Av de tre betraktade sektionerna är I-sektionen den mest ekonomiska. 3. Vi beräknar de största normalspänningarna i I-balkens farliga sektion 27 (Fig. 1.17, a): Normalspänningar i väggen nära I-balksektionens fläns. 1.17b. 5. Vi bestämmer de största skjuvspänningarna för de valda sektionerna av balken. a) rektangulär sektion av balken: b) cirkulär sektion av balken: c) I-sektion av balken: Skjuvspänningar i väggen nära I-balkens fläns i den farliga delen A (till höger) (vid punkt 2): Diagrammet över skjuvspänningar i de farliga sektionerna av I-balken visas i fig. 1,17, in. De maximala skjuvspänningarna i balken överstiger inte de tillåtna spänningarna Exempel 1.8 Bestäm den tillåtna belastningen på balken (Fig. 1.18, a), om 60 MPa anges tvärsnittsmåtten (Fig. 1.19, a). Konstruera ett diagram över normala spänningar i den farliga delen av balken under tillåten belastning. Fig 1.18 1. Bestämning av strålstödens reaktioner. Med tanke på systemets symmetri 2. Konstruktion av diagram Q och M från karakteristiska sektioner. Skjuvkrafter i balkens karakteristiska sektioner: Diagram Q för balken visas i fig. 5.18b. Böjmoment i balkens karakteristiska sektioner För den andra halvan av balken är ordinaterna M längs symmetriaxlarna. Diagram M för balken visas i fig. 1.18b. 3. Geometriska egenskaper för sektionen (Fig. 1.19). Vi delar upp figuren i två enkla element: en I-balk - 1 och en rektangel - 2. Fig. 1.19 Enligt sortimentet för I-balk nr 20 har vi För en rektangel: Statiskt moment för sektionsarean i förhållande till z1-axeln Avstånd från z1-axeln till sektionens tyngdpunkt Tröghetsmoment för sektionens relativa till huvudaxeln z för hela sektionen enligt formlerna för övergången till parallella axlar farlig punkt "a" (fig. 1.19) i farlig sektion I (fig. 1.18): Efter att ha ersatt numeriska data 5. Med en tillåten belastning i den farliga sektionen kommer normalspänningarna vid punkterna "a" och "b" att vara lika: farlig sektion 1-1 visas i fig. 1,19b.
10.1. Allmänna begrepp och definitioner
böja- detta är en typ av belastning där staven belastas med moment i plan som passerar genom stavens längdaxel.
En stav som fungerar i böjning kallas en balk (eller balk). I framtiden kommer vi att överväga raka balkar, vars tvärsnitt har minst en symmetriaxel.
I materialresistans är böjningen platt, snett och komplex.
platt böj- böjning, där alla krafter som böjer balken ligger i ett av balkens symmetriplan (i ett av huvudplanen).
Balkens huvudsakliga tröghetsplan är de plan som passerar genom tvärsnittens huvudaxlar och balkens geometriska axel (x-axeln).
sned böj- böjning, där lasterna verkar i ett plan som inte sammanfaller med huvudtröghetsplanen.
Komplex böj- böjning, där lasterna verkar i olika (godtyckliga) plan.
10.2. Bestämning av inre böjkrafter
Låt oss överväga två karakteristiska fall av böjning: i det första fallet böjs den fribärande balken av det koncentrerade momentet Mo; i den andra, av den koncentrerade kraften F.
Genom att använda metoden för mentala sektioner och sammanställa jämviktsekvationerna för strålens avskurna delar, bestämmer vi de inre krafterna i båda fallen:
Resten av jämviktsekvationerna är uppenbarligen identiskt lika med noll.
Sålunda, i det allmänna fallet med platt böjning i balksektionen, av sex inre krafter, uppstår två - böjningsmoment Mz och skjuvkraft Qy (eller vid böjning kring en annan huvudaxel - böjmomentet My och tvärkraften Qz).
I det här fallet, i enlighet med de två övervägda fallen av belastning, kan platt böjning delas in i ren och tvärgående.
Ren böj- platt böjning, där endast en av sex inre krafter uppstår i sektionerna av stången - ett böjmoment (se det första fallet).
tvärgående böj- böjning, i vilken förutom det inre böjmomentet även en tvärkraft uppstår i stavens sektioner (se det andra fallet).
Strängt taget hör bara ren böjning till de enkla typerna av motstånd; tvärgående böjning hänvisas villkorligt till enkla typer av motstånd, eftersom i de flesta fall (för tillräckligt långa balkar) verkan av en tvärkraft kan försummas i hållfasthetsberäkningar.
När vi bestämmer interna krafter kommer vi att följa följande teckenregel:
1) tvärkraften Qy anses vara positiv om den tenderar att rotera balkelementet medurs;
2) böjmomentet Mz anses positivt om, när balkelementet böjs, de övre fibrerna i elementet komprimeras och de nedre fibrerna sträcks (paraplyregel).
Sålunda kommer lösningen av problemet med att bestämma de inre krafterna vid böjning att byggas enligt följande plan: 1) i det första skedet, med hänsyn till strukturens jämviktsförhållanden som helhet, bestämmer vi, om nödvändigt, okända reaktioner av stöden (observera att för en fribärande balk kan reaktioner i inbäddningen finnas och inte hittas om vi betraktar balken från den fria änden); 2) i det andra steget väljer vi de karakteristiska sektionerna av balken, och tar som gränserna för sektionerna punkterna för applicering av krafter, punkter för förändring av balkens form eller dimensioner, fästpunkter för balken; 3) i det tredje steget bestämmer vi de inre krafterna i balksektionerna, med hänsyn till jämviktsförhållandena för balkelementen i var och en av sektionerna.
10.3. Differentiella beroenden i böjning
Låt oss fastställa några samband mellan interna krafter och externa böjningsbelastningar, såväl som de karakteristiska egenskaperna hos Q- och M-diagram, vars kunskap kommer att underlätta konstruktionen av diagram och låter dig kontrollera deras korrekthet. För att underlätta notationen kommer vi att beteckna: M≡Mz, Q≡Qy.
Låt oss allokera ett litet element dx i en sektion av en balk med en godtycklig belastning på en plats där det inte finns några koncentrerade krafter och moment. Eftersom hela balken är i jämvikt, kommer elementet dx också att vara i jämvikt under inverkan av tvärkrafter som appliceras på det, böjmoment och extern belastning. Eftersom Q och M i allmänhet varierar
balkens axel, då kommer det i sektionerna av elementet dx att finnas tvärkrafter Q och Q + dQ, såväl som böjmoment M och M + dM. Från jämviktstillståndet för det valda elementet får vi
Den första av de två skrivna ekvationerna ger villkoret
Från den andra ekvationen, om man försummar termen q dx (dx/2) som en infinitesimal kvantitet av andra ordningen, finner vi
Med tanke på uttryck (10.1) och (10.2) tillsammans kan vi få
Relationer (10.1), (10.2) och (10.3) kallas differentiella beroenden av D. I. Zhuravsky vid böjning.
Analysen av ovanstående differentiella beroenden vid böjning tillåter oss att fastställa några funktioner (regler) för att konstruera diagram över böjmoment och skjuvkrafter: a - i områden där det inte finns någon fördelad last q, är diagram Q begränsade till raka linjer parallella med bas och diagram M är lutande räta linjer; b - i sektioner där en fördelad last q appliceras på balken, begränsas Q-diagrammen av lutande räta linjer och M-diagrammen begränsas av kvadratiska paraboler.
I det här fallet, om vi bygger diagrammet M "på en sträckt fiber", kommer parabelns konvexitet att riktas i verkansriktningen för q, och extremumet kommer att vara beläget i sektionen där diagrammet Q skär basen linje; c - i sektioner där en koncentrerad kraft appliceras på balken, på Q-diagrammet kommer det att finnas hopp med värdet och i riktningen för denna kraft, och på M-diagrammet finns det kinks, spetsen riktad i riktning mot denna tvinga; d - i sektioner där ett koncentrerat moment appliceras på strålen, kommer det inte att ske några förändringar på Q-diagrammet, och på M-diagrammet kommer det att finnas hopp med värdet av detta moment; e - i sektioner där Q>0, ögonblicket M ökar, och i sektioner där Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Normala spänningar vid ren böjning av en rak balk
Låt oss betrakta fallet med en ren plan böjning av en balk och härleda en formel för att bestämma normalspänningarna för detta fall.
Observera att i elasticitetsteorin är det möjligt att erhålla ett exakt beroende för normala spänningar vid ren böjning, men om man ska lösa detta problem med metoder för resistans av material, är det nödvändigt att införa några antaganden.
Det finns tre sådana hypoteser för böjning:
a - hypotesen om platta sektioner (Bernoullis hypotes) - sektionerna är plana före deformation och förblir plana efter deformation, men roterar bara runt en viss linje, som kallas balksektionens neutralaxel. I detta fall kommer strålens fibrer, som ligger på ena sidan av den neutrala axeln, att sträckas och på den andra komprimeras; fibrer som ligger på den neutrala axeln ändrar inte sin längd;
b - hypotesen om konstansen hos normala spänningar - spänningar som verkar på samma avstånd y från den neutrala axeln är konstanta över strålens bredd;
c – hypotes om frånvaro av sidotryck – angränsande längsgående fibrer trycker inte på varandra.
Den statiska sidan av problemet
För att bestämma spänningarna i balkens tvärsnitt överväger vi först och främst de statiska sidorna av problemet. Genom att tillämpa metoden för mentala sektioner och sammanställa jämviktsekvationerna för balkens avstängda del hittar vi de inre krafterna under böjning. Som det visades tidigare är den enda inre kraften som verkar i sektionen av stången med ren böjning det inre böjmomentet, vilket innebär att normala spänningar förknippade med det kommer att uppstå här.
Vi finner sambandet mellan inre krafter och normalspänningar i balksektionen genom att beakta spänningarna på elementararean dA, valda i tvärsnittet A av balken i en punkt med koordinaterna y och z (y-axeln är riktad nedåt för att underlätta analys):
Som vi kan se är problemet internt statiskt obestämt, eftersom arten av fördelningen av normalspänningar över tvärsnittet är okänd. För att lösa problemet, överväg det geometriska mönstret av deformationer.
Den geometriska sidan av problemet
Betrakta deformationen av ett balkelement med längden dx valt från en böjstång vid en godtycklig punkt med koordinaten x. Med hänsyn till den tidigare accepterade hypotesen om plana sektioner, efter böjning av balksektionen, rotera i förhållande till den neutrala axeln (n.r.) med en vinkel dϕ, medan fibern ab, som är på ett avstånd y från den neutrala axeln, kommer att förvandlas till en cirkelbåge a1b1, och dess längd kommer att ändras med en viss storlek. Här minns vi att längden på fibrerna som ligger på den neutrala axeln inte ändras, och därför har bågen a0b0 (vars krökningsradie vi betecknar med ρ) samma längd som segmentet a0b0 före deformation a0b0=dx.
Låt oss hitta den relativa linjära deformationen εx för fibern ab i den krökta balken.
Ren böj kallas denna typ av böjning, där handlingen äger rum enda böjmomentet(Fig. 3.5, a). Låt oss mentalt rita sektionsplanet I-I vinkelrätt mot balkens längdaxel på ett avstånd * från den fria änden av balken, till vilken det yttre momentet appliceras mz. Låt oss utföra åtgärder som liknar dem som utfördes av oss vid bestämning av spänningar och töjningar under vridning, nämligen:
- 1) komponera jämviktsekvationerna för den mentalt avskurna delen av delen;
- 2) vi bestämmer deformationen av materialet i delen baserat på villkoren för kompatibiliteten för deformationer av elementära volymer i en given sektion;
- 3) lösa ekvationerna för jämvikt och kompatibilitet för deformationer.
Från jämviktstillståndet för strålens avskärningssektion (fig. 3.5, b)
vi får det ögonblicket av inre krafter Mz lika med momentet för yttre krafter t: M = t.
Ris. 3.5.
Momentet för inre krafter skapas av normala spänningar o v riktade längs x-axeln. Med ren böjning finns det inga yttre krafter, så summan av projektionerna av inre krafter på någon koordinataxel är noll. Utifrån detta skriver vi jämviktsförhållandena i form av jämlikheter
var MEN- tvärsnittsarea för balken (staven).
I ren böjning, yttre krafter F x, F, F v såväl som ögonblick av yttre krafter t x, t yär lika med noll. Därför är resten av jämviktsekvationerna identiskt lika med noll.
Från jämviktstillståndet 
för o > 0 följer att
normal spänning med x i tvärsnitt ta både positiva och negativa värden. (Erfarenheten visar att vid böjning kan materialet på undersidan av balken i fig. 3.5, a sträckt, och den övre komprimeras.) Därför finns det i tvärsnittet under böjning sådana elementära volymer (av övergångsskiktet från kompression till spänning) där det inte finns någon förlängning eller kompression. Detta är - neutralt lager. Skärningslinjen för det neutrala lagret med tvärsnittsplanet kallas neutral linje.
Villkoren för kompatibiliteten för deformationer av elementära volymer under böjning bildas på basis av hypotesen om plana sektioner: plana tvärsnitt av balken före böjning (se fig. 3.5, b) kommer att förbli platt även efter böjning (fig. 3.6).
Som ett resultat av verkan av ett yttre moment böjs strålen och planen i sektionerna I-I och II-II roterar i förhållande till varandra med en vinkel dy(Fig. 3.6, b). Med ren böjning är deformationen av alla sektioner längs strålens axel densamma, därför är krökningsradien pk för strålens neutrala skikt längs x-axeln densamma. Som dx= sid k dopp, då är krökningen av det neutrala lagret lika med 1 / p k = dopp / dx och är konstant längs strålens längd.
Det neutrala lagret deformeras inte, dess längd före och efter deformation är lika med dx. Under detta lager sträcks materialet, ovanför det komprimeras.
Ris. 3.6.
Värdet på förlängningen av det sträckta lagret, beläget på ett avstånd y från det neutrala, är lika med ydq. Relativ förlängning av detta lager:
I den antagna modellen erhålls således en linjär fördelning av töjningar beroende på avståndet av en given elementär volym till det neutrala lagret, dvs. längs med balksektionens höjd. Om vi antar att det inte finns någon ömsesidig pressning av parallella materiallager på varandra (o y \u003d 0, a, \u003d 0), skriver vi Hookes lag för linjär spänning:
Enligt (3.13) är normalspänningarna i balkens tvärsnitt fördelade enligt en linjär lag. Spänningen i materialets elementära volym, den som är längst bort från det neutrala skiktet (Fig. 3.6, i), maximalt och lika med 
? Uppgift 3.6
Bestäm elasticitetsgränsen för ett stålblad med en tjocklek / = 4 mm och en längd / = 80 cm, om dess böjning i en halvcirkel inte orsakar permanent deformation.
Beslut
Böjspänning o v = eu/ p k. Låt oss ta y max = t/ 2i p k = / / till.
Elastisk gräns måste motsvara tillståndet med yn > c v = 1/2 kE t/1.
Svar: ca = ] / 2 till 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; sträckgränsen för detta stål är a m > 1800 MPa, vilket överstiger en m av de starkaste fjäderstålen. ?
? Uppgift 3.7
Bestäm den minsta trumradien för att linda en tejp med en tjocklek / = 0,1 mm av ett värmeelement av nickellegering, vid vilket tejpmaterialet inte deformeras plastiskt. Modul E= 1,6 10 5 MPa, elasticitetsgräns o yn = 200 MPa.
Svar: minsta radie р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.?
1. Genom att gemensamt lösa den första jämviktsekvationen (3.12) och töjningskompatibilitetsekvationen (3.13) får vi 
Menande E/r k f 0 och samma för alla element dA integrationsområde. Därför uppfylls denna jämlikhet endast under villkoret
Denna integral kallas statiskt moment för tvärsnittsarean kring axelnz? Vad är den fysiska innebörden av denna integral?
Låt oss ta en platta med konstant tjocklek /, men med en godtycklig profil (Fig. 3.7). Häng den här tallriken vid punkten Med så att den är i horisontellt läge. Vi betecknar med symbolen y m den specifika vikten av materialet i plattan, sedan vikten av en elementär volym med en area dA lika dq= y JdA. Eftersom plattan är i ett tillstånd av jämvikt, då från likheten till noll av projektionerna av krafter på axeln på vi får
var G= y MtA- tallriksvikt.
Ris. 3.7.
Summan av kraftmomenten för alla krafter kring axeln z passerar i någon sektion av plattan är också lika med noll:
Givet att Y c = g, Skriv ner
Således, om en integral av formen J xdA efter område MEN lika
noll alltså x c = 0. Det betyder att punkt C sammanfaller med plattans tyngdpunkt. Därför från jämställdheten Sz = J ydA= 0 kl
böj följer det att tyngdpunkten för strålens tvärsnitt är på neutrallinjen.
Därför värdet u s tvärsnittet av balken är noll.
- 1. Den neutrala linjen under böjning passerar genom balktvärsnittets tyngdpunkt.
- 2. Tvärsnittets tyngdpunkt är centrum för reduktion av momenten för yttre och inre krafter.
Uppgift 3.8
Uppgift 3.9
2. Genom att gemensamt lösa den andra jämviktsekvationen (3.12) och töjningskompatibilitetsekvationen (3.13) får vi
Väsentlig Jz= J y2dA kallad transversalens tröghetsmoment
sektion av en balk (stav) i förhållande till z-axeln, passerar genom tvärsnittets tyngdpunkt.
Således, M z \u003d E J z / p k. Med tanke på det c x = Ee x = Ey/ p k och E/ p k = yxa / y, vi erhåller beroendet av normala påfrestningar åh vid böjning:
1. Böjspänningen vid en given sektionspunkt beror inte på den normala elasticitetsmodulen E, men beror på den geometriska parametern för tvärsnittet Jz och avstånd på från denna punkt till tvärsnittets tyngdpunkt.
2. Den maximala böjspänningen uppstår i elementära volymer, den som är längst bort från neutrallinjen (se fig. 3.6, i):
var Wz- motståndsmoment för tvärsnittet runt axeln Z-
Styrkevillkoret i ren böjning liknar hållfasthetsvillkoret vid linjär spänning:
där [a m | - tillåten böjspänning.
Uppenbarligen är materialets inre volymer, särskilt nära den neutrala axeln, praktiskt taget inte belastade (se fig. 3.6, i). Detta strider mot kravet på att minimera konstruktionens materialåtgång. Några sätt att övervinna denna motsägelse kommer att visas nedan.
Diane de Poitiers: Den okrönta drottningen Francois Clouet
Kesokompress mot hosta Kesokompress på ryggraden
Har du testat konserverade citroner?