Reducerande uttryck. Hur förenklar algebraiskt uttryck

I det femte århundradet f.Kr. formulerade den antika grekiska filosofen Zenon Elayky sina berömda apiorials, vars mest kända är Achilles och Turtle Aritia. Så här låter det:

Antag att Achilles löper tio gånger snabbare än sköldpaddan, och ligger bakom det på ett avstånd av tusen steg. För tiden, för vilken Achilles som körs genom detta avstånd, kommer hundra steg att krascha på samma sida. När Achilles kör hundra steg, kommer sköldpaddan att kräva cirka tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta att vara oändlighet, Achilles kommer aldrig att komma upp till sköldpaddan.

Denna resonemang har blivit en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... alla på något sätt ansåg att Apriovetien av Zenon. Chock visade sig vara så stark att " ... Diskussionerna fortsätter och för närvarande, för att komma till den allmänna yttrandet om kärnan i paradoxerna till det vetenskapliga samfundet, har ännu inte varit möjligt ... en matematisk analys, teorin om uppsättningar, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var inblandade i studie av problemet Ingen av dem blev en allmänt accepterad fråga om frågan ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Alla förstår att de är blockerade, men ingen förstår vad bedrägeri är.

Från matematikens synvinkel visade Zeno i sin aproria tydligt övergången från värdet till. Denna övergång innebär applikation istället för konstant. Såvitt jag förstår är den matematiska apparaten med användningen av variabler av måttenheter ännu inte ännu inte utvecklad, eller det applicerades inte på aporitionen av Zenon. Användningen av vår vanliga logik leder oss till en fälla. Vi, genom tröghet att tänka, använda permanent tidsmätningsenheter till omformaren. Från en fysisk synpunkt ser det ut som en avmattning i tid till sitt kompletta stopp för tillfället när Achilles är fylld med en sköldpadda. Om tiden stannar, kan Achilles inte längre ta över sköldpaddan.

Om du vänder logiken vanligtvis blir allt på plats. Achilles körs med en konstant hastighet. Varje efterföljande segment av sin väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen den tid som spenderas på dess övervinna, tio gånger mindre än den föregående. Om du tillämpar begreppet "oändlighet" i den här situationen, kommer det att korrekt säga att "Achilles oändligt kommer snabbt att fånga upp sköldpaddan."

Hur man undviker denna logiska fälla? Stanna i permanent tidsmätningsenheter och flytta inte till omvända värden. På Zenons språk ser det ut så här:

För den tiden, för vilken Achilles driver tusen steg, kommer hundra steg att spricka sköldpaddan till samma sida. För nästa tidsintervall, lika med det första, kommer Achilles att köra ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att spricka hundra steg. Nu är Achilles ett åtta hundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver tillräckligt verklighet utan några logiska paradoxer. Men det är det inte komplett lösning Problem. På Zenonian Agrac of Achilles och Turtle liknar mycket likhet med Einstein om oemotståndligheten av ljusets hastighet. Vi måste fortfarande studera detta problem, ompröva och lösa. Och beslutet bör sökas inte i oändligt stora antal, men i måttenheter.

En annan intressant Yenon-aproria berättar om de flygande pilarna:

Den flygande pilen är fortfarande, sedan hon vid varje ögonblick vilar, och sedan det vilar vid varje ögonblick, vilar det alltid.

I den här herrgården är den logiska paradoxen väldigt enkel - det är tillräckligt att klargöra att den flygande pilen i varje ögonblick vilar på olika platser, vilket i själva verket är rörelsen. Här måste du notera ett annat ögonblick. Enligt ett foto av bilen på vägen är det omöjligt att bestämma själva rörelsen eller avståndet till det. För att bestämma det faktum att bilens rörelse behöver två bilder gjorda av en punkt på olika tidpunkter, men det är omöjligt att bestämma avståndet. För att bestämma avståndet till bilen behöver du två bilder gjorda av olika punkter Spaces vid en tidpunkt, men det är omöjligt att bestämma det faktum att rörelse (naturligtvis behövs ytterligare data för beräkningar, trigonometri för att hjälpa dig). Vad jag vill ägna särskild uppmärksamhet är att två poäng i tid och två punkter i rymden är olika saker som inte är förvirrade, eftersom de tillhandahåller olika möjligheter för forskning.

onsdagen den 4 juli 2018

Mycket bra skillnader mellan många och multiset beskrivs i Wikipedia. Vi kollar.

Som du kan se, "Det kan inte finnas två identiska element i en uppsättning", men om identiska element är i den inställda det finns en sådan uppsättning "mix". En liknande logik av absurda rimliga varelser förstår aldrig. Detta är nivån på talande papegojor och utbildade apor, som saknas från ordet "alls". Matematik fungerar som vanliga tränare, predikar våra absurda idéer.

När ingenjörerna som byggde bron under broen var i båten under bron. Om bron kollapsade, dog den talanglösa ingenjören under vrakningen av hans skapelse. Om bron har medstått belastningen byggde en begåvad ingenjör andra broar.

Eftersom matematik inte gömde sig bakom frasen "chur, jag är i ett hus", mer exakt, "matematik studerar abstrakta begrepp", det finns en navelsträng, som oupplösligt binder dem med verkligheten. Denna navelsträng är pengar. Applicera matematisk teori om uppsättningar till matematik själva.

Vi lärde matematik mycket bra och nu sitter vi vid kassan, vi utfärdar en lön. Det kommer till oss matematiker för dina pengar. Vi räknar med det hela beloppet och läggs ut på bordet på olika staplar, där vi lägger till räkningar av en värdighet. Sedan tar vi från varje stapel på en proposition och lämnar matematiken för hans "matematiska uppsättning lön". Förklara matematiken att resten av räkningarna kommer att få endast när det visar sig att uppsättningen utan samma element inte är lika med satsen med samma element. Här börjar den mest intressanta.

Först och främst kommer deputernas logik att fungera: "Det är möjligt att tillämpa det för andra, till mig - låg!". Det kommer att finnas ytterligare försäkringar för oss att det finns olika siffror på sedlar av lika värdighet, vilket innebär att de inte kan betraktas som samma element. Tja, räkna lönen med mynt - det finns inga nummer på mynt. Här börjar matematikern att tycka om fysik: På olika mynt finns det en annan mängd smuts, kristallstrukturen och platsen för atomer varje mynt är unik ...

Och nu har jag den mest intressanta frågan: Var är linjen, bakom vilken elementen i multisamentet blir till element i uppsättningen och vice versa? Ett sådant ansikte existerar inte - alla löser shamanerna, vetenskapen här och inte ligger nära.

Här ser ut. Vi tar fotbollsstadion med samma fältområde. Fältområdet är detsamma - det betyder att vi har ett multipart. Men om vi överväger namnen på samma arenor - vi har många, eftersom namnen är olika. Som du kan se är samma uppsättning element både uppsättning och multiset. Hur korrekt? Och här drar matematikern-Shaman-Shuller ut Trump Ace från ärmen och börjar berätta för oss om uppsättningen eller om multiset. I alla fall kommer han att övertyga oss om henne rätt.

För att förstå hur moderna shamaner driver teorin om uppsättningar, binda den till verkligheten, det är tillräckligt att svara på en fråga: Hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Jag kommer att visa dig, utan någon "tänkbar som inte en enda hel" eller "inte tankeväckande som helhet."

söndag den 18 mars 2018

Mängden siffror är en dans av shamaner med en tamburin, som inte har någon relation till matematik. Ja, i lektioner av matematik, lärs vi att hitta mängden antal siffror och använda det, men de är shamaner att träna dina efterkommande till sina färdigheter och visdomar, annars kommer shamanerna helt enkelt att rengöras.

Behöver du bevis? Öppna Wikipedia och försök hitta antalet nummer. Det existerar inte. Det finns ingen formel i matematik där du kan hitta mängden antal nummer. När allt kommer omkring är siffrorna grafiska symboler, med vilka vi skriver nummer och i matematiksspråk, låter uppgiften så här: "Hitta summan av grafiska tecken som visar ett nummer". Matematik kan inte lösa denna uppgift, men shamaner är elementära.

Låt oss hantera vad och hur vi gör för att hitta mängden av det angivna numret. Och så, låt oss ha ett antal 12345. Vad ska göras för att hitta antalet nummer på detta nummer? Tänk på alla steg i ordning.

1. Spela in numret på papperets papper. Vad gjorde vi? Vi förvandlade numret i den grafiska symbolen på numret. Detta är inte en matematisk verkan.

2. Vi skär en bild som erhållits i flera bilder som innehåller enskilda nummer. Skärande bilder är inte en matematisk verkan.

3. Vi konverterar enskilda grafiska tecken i siffror. Detta är inte en matematisk verkan.

4. Vi viker siffrorna. Detta är redan matematik.

Mängden antal 12345 är 15. Det här är "skärare och sömnadskurser" från shamanerna tillämpa matematiker. Men det är inte allt.

Från matematikens synvinkel spelar det ingen roll i vilket nummer system vi skriver numret. Så, i olika system Antal antal antal av samma nummer kommer att vara annorlunda. I matematik indikeras siffersystemet i form av det nedre indexet till höger om numret. FRÅN stort antal 12345 Jag vill inte lura mitt huvud, överväga nummer 26 i artikeln om. Vi skriver detta nummer i binära, oktala, decimaler och hexadecimala talsystem. Vi kommer inte att överväga varje steg under mikroskopet, vi har redan gjort. Låt oss titta på resultatet.

Som du kan se, i olika nummer system, erhålls summan av antalet samma antal olika. Detta resultat för matematik har inget att göra. Det är som att bestämma området av rektangeln i meter och centimeter du skulle få helt olika resultat.

Noll i alla överspänningssystem ser på samma sätt och antalet siffror inte har. Detta är ett annat argument för vad. Fråga till matematiker: Hur i matematik är det angivet att det inte är ett nummer? Vad, för matematiker, inget annat än siffror existerar inte? För shamaner kan jag tillåtas, men för forskare - nej. Verkligheten består inte bara av siffror.

Det erhållna resultatet bör betraktas som bevis på att siffersystemen är enheter av siffror. Vi kan trots allt inte jämföra siffrorna med olika enheter Mätningar. Om samma åtgärd med olika måttenheter av samma värde leder till olika resultat efter deras jämförelse betyder det att det inte har något att göra med matematik.

Vad är äkta matematik? Detta är när resultatet av matematisk verkan inte beror på värdet av det antal som används av mätenheten och på vem som utför denna åtgärd.

Tallrik på dörrar Öppnar dörren och säger:

åh! Är det inte en kvinnlig toalett?
- Tjej! Detta är ett laboratorium för studien av själens oberoende helighet i Ascension till himlen! Nimbi ovanifrån och pil upp. Vad mer toalett?

Kvinna ... Nimbi från ovan och arrogant ner - det är en manlig.

Om du framför dina ögon flera gånger om dagen blinkar det här är designkonstens arbete,

Då är det inte förvånande att i din bil hittar du plötsligt en konstig ikon:

Personligen gör jag ansträngning på mig själv att vara i en manschettperson (en bild), för att se minus fyra grader (en sammansättning av flera bilder: ett minustecken, ett nummer fyra, beteckningar av grader). Och jag tror inte att den här tjejen är en dåre som inte känner till fysik. Det är helt enkelt en ARC-stereotyp av uppfattningen av grafiska bilder. Och matematik vi ständigt lärs. Här är ett exempel.

1a är inte "minus fyra grader" eller "en". Detta är en "manschettperson" eller antalet "tjugosex" i ett hexadecimalt talsystem. De personer som ständigt arbetar i detta nummer system upplever automatiskt figuren och bokstaven som en grafisk symbol.

Ett alpunktuttryck (eller uttryck med variabler) är matematisk uttrycksom består av siffror, bokstäver och tecken på matematiska operationer. Till exempel, nästa uttryck är alfabetisk:

a + B + 4

Med hjälp av brevuttryck kan du registrera lagar, formler, ekvationer och funktioner. Möjligheten att manipulera brevbeständiga uttryck är nyckeln till god kunskap om algebra och högre matematik.

Eventuell allvarlig uppgift i matematik reduceras för att lösa ekvationer. Och för att kunna lösa ekvationer måste du kunna arbeta med brevuttryck.

För att arbeta med brevbeständiga uttryck måste du studera väl den grundläggande aritmetiken: tillägg, subtraktion, multiplikation, division, grundläggande lagar i matematik, fraktioner, action med fraktioner, proportioner. Och inte bara utforska, men att förstå grundligt.

Utformning av lektion

Variabler

Brev som finns i alfabetuttryck kallas variabler. Till exempel, i uttryck a + B + 4 Ändringar är bokstäver a. och b.. Om istället för dessa variabler, ersätter några nummer, då bokstavsuttrycket a + B + 4 Kontakta det numeriska uttrycket vars värde kan hittas.

Siffror som är substituerade istället för variabler samtal värden av variabler. Ändra till exempel värdena för variabler a. och b.. För att ändra värdena används ett lika tecken

a \u003d 2, b \u003d 3

Vi ändrade värdena för variabler a. och b.. Variabel a. Tilldelad betydelse 2 , variabel b. Tilldelad betydelse 3 . Som ett resultat, ett alfabetiskt uttryck a + B + 4 appellerar till det vanliga numeriska uttrycket 2+3+4 Vems värde kan hittas:

2 + 3 + 4 = 9

När multiplicering av variabler uppstår, spelas de ihop. Till exempel skriva ab betyder detsamma som inspelning en × B.. Om vi \u200b\u200bersätter istället för variabler a.och B. tal 2 och 3 Då får vi 6

2 × 3 \u003d 6

Det kan också ska överensstämma med multiplikationen av numret på uttrycket i parentes. Till exempel istället en × (b + c) kan spelas in a (B + C). Tillämpning av distributionslagen i multiplikationen, vi får a (B + C) \u003d AB + AC.

Faktorer

I brevuttryck kan du ofta hitta en post där numret och variabeln spelas in tillsammans, till exempel 3a . Det är faktiskt en kort inspelning av multiplikation av nummer 3 till variabeln a. Och den här posten ser ut 3 × A. .

Med andra ord uttrycker uttryck 3a Det är en produkt av nummer 3 och variabeln a.. siffra 3 I det här arbetet ringer de koefficient. Denna koefficient visar hur många gånger variabeln kommer att ökas. a.. Detta uttryck kan läsas som " a. tre gånger "eller" tre gånger men", Eller" öka värdet på variabeln a. tre gånger ", men oftast läsas som" tre a.«

Till exempel, om variabeln a. likvärdig 5 då värdet av uttrycket 3adet blir 15.

3 × 5 \u003d 15

Tala enkelt språk, Koefficienten är ett tal som står inför bokstaven (före variabeln).

Brev kan vara något, till exempel 5ABC.. Här är koefficienten numret 5 . Denna koefficient visar att produkten av variabler abc Ökar fem gånger. Detta uttryck kan läsas som " abc fem gånger "antingen" öka uttrycksvärde abc fem gånger "eller" fem abc«.

Om istället istället för variabler abc ersättningsnummer 2, 3 och 4, sedan värdet av uttrycket 5ABC. kommer att vara lika 120

5 × 2 × 3 × 4 \u003d 120

Du kan mentalt föreställa dig hur första siffrorna 2, 3 och 4 mediteras och det resulterande värdet ökade fem gånger:

Koefficientmärket gäller endast koefficienten och relaterar inte till variabler.

Överväga uttryck -6b.. Minusfaktor 6 , gäller endast koefficienten 6 och gäller inte variabeln b.. Att förstå detta faktum kommer inte att göra misstag i framtiden med tecken.

Hitta värdet av uttrycket -6b. för b \u003d 3..

-6b. -6 × B.. För tydlighet, skriv uttrycket -6b. i utplacering och ersätta värdet av variabeln b.

-6B \u003d -6 × B \u003d -6 × 3 \u003d -18

Exempel 2. Hitta ett uttrycksvärde -6b. för b \u003d -5

Vi skriver uttryck -6b. i utplacerad video

-6B \u003d -6 × B \u003d -6 × (-5) \u003d 30

Exempel 3. Hitta ett uttrycksvärde -5A + B. för A \u003d 3.och B \u003d 2.

-5A + B. Detta är en kort form av inspelning från -5 × A + B , så för tydlighet skriver vi uttrycket -5 × A + B Vid utplacering och ersätta värdena för variabler a. och b.

-5A + B \u003d -5 × A + B \u003d -5 × 3 + 2 \u003d -15 + 2 \u003d -13

Ibland skrivs bokstäver utan en koefficient, till exempel a. eller ab . I det här fallet är koefficienten en enhet:

men enheten enligt tradition är inte inspelad, så de skriver bara a. eller ab

Om det finns en minus före brevet, är koefficienten numret −1 . Till exempel uttryck -A. ser faktiskt ut -1a.. Detta är en produkt minus enheter och variabel en.Det var som följer:

-1 × A \u003d -1a

Här ligger lite fångst. I uttryck -A. minus motvariabel a. refererar faktiskt till den "osynliga enheten", och inte till variabeln a. . Därför bör det därför vara uppmärksamma när de löser uppgiften.

Till exempel, om uttrycket ges -A. och vi blir ombedda att hitta sin mening när a \u003d 2. Sedan i skolan ersatte vi en två istället för en variabel a. och fick svaret −2 , inte särskilt dokumenterad på hur det visade sig. Faktum är att det fanns en multiplikation av minusenheter på ett positivt nummer 2

-A \u003d -1 × A

-1 × A \u003d -1 × 2 \u003d -2

Om uttrycket ges -A. och det är nödvändigt att hitta sin mening när a \u003d -2. Sedan ersätter vi −2 Istället för en variabel a.

-A \u003d -1 × A

-1 × A \u003d -1 × (-2) \u003d 2

För att undvika fel kan de första gången osynliga enheter skrivas uttryckligen.

Exempel 4. Hitta ett uttrycksvärde abc för a \u003d 2. , b \u003d 3. och c \u003d 4.

Uttryck abc 1 × A × B × c. För tydlighet, skriv uttrycket abc a, B. och c.

1 × A × B × C \u003d 1 × 2 × 3 × 4 \u003d 24

Exempel 5. Hitta ett uttrycksvärde abc för a \u003d -2, B \u003d -3och C \u003d -4.

Vi skriver uttryck abc Vid utplacering och ersätta värdena för variabler a, B.och C.

1 × A × B × C \u003d 1 × (-2) × (-3) × (-4) \u003d -24

Exempel 6. Hitta ett uttrycksvärde − abc för a \u003d 3, B \u003d 5 och C \u003d 7

Uttryck − abc Detta är en kort form av inspelning från -1 × A × B × c. För tydlighet, skriv uttrycket − abc Vid utplacering och ersätta värdena för variabler a, B. och c.

-BC \u003d -1 × A × B × C \u003d -1 × 3 × 5 × 7 \u003d -105

Exempel 7. Hitta ett uttrycksvärde − abc för a \u003d -2, B \u003d 4 och C \u003d -3

Vi skriver uttryck − abc I en expanderad form:

-BC \u003d -1 × A × B × C

Vi ersätter värdet av variabler a. , b. och c.

-BC \u003d -1 × A × B × C \u003d -1 × (-2) × (-4) × (-3) \u003d 24

Hur man bestämmer koefficienten

Ibland är det nödvändigt att lösa den uppgift där uttryckskoefficienten krävs. I princip är denna uppgift mycket enkel. Det är tillräckligt att kunna multiplicera siffrorna korrekt.

För att bestämma koefficienten i uttrycket är det nödvändigt att multiplicera de siffror som ingår i detta uttryck och multiplicera de bokstäver. Den resulterande numeriska fabriken och kommer att vara en koefficient.

Exempel 1. 7m × 5a × (-3) × n

Uttrycket består av flera faktorer. Det kan tydligt ses om du skriver ett uttryck i utplaceringen. Det vill säga verk 7m. och 5a Spela in i formuläret 7 × M. och 5 × A.

7 × M × 5 × A × (-3) × n

Vi tillämpar en kombination av multiplikationslag, vilket tillåter multiplikatorer att multiplicera i vilken ordning som helst. Namnlösa: Namnlösa: Namnlösa: Namnlösa:

-3 × 7 × 5 × m × a × n \u003d -105man

Koefficienten är lika −105 . Efter avslutad, är brevdelen önskvärt att ordna i alfabetisk ordning:

-105amn.

Exempel 2. Bestäm koefficienten i uttryck: -A × (-3) × 2

-A × (-3) × 2 \u003d -3 × 2 × (-a) \u003d -6 × (-a) \u003d 6a

Koefficienten är 6.

Exempel 3. Bestäm koefficienten i uttryck:

Flytta separat siffror och bokstäver:

Koefficienten är -1. Observera att enheten inte är inspelad eftersom koefficienten 1 inte spelas in för att inte spela in.

Dessa till synes de enklaste uppgifterna kan leka med oss \u200b\u200bett mycket ont skämt. Det finner ofta att koefficientens tecken är felaktigt: antingen missade minus eller vice versa det är förgäves. För att undvika dessa irriterande fel, bör studeras på en bra nivå.

Medvetenhet i alfabetiska uttryck

När du lägger till flera siffror erhålls summan av dessa nummer. Numren som kallas kallas villkoren. Komponenterna kan vara flera, till exempel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

När uttrycket består av komponenterna är det mycket lättare att beräkna det, eftersom det är lättare att lägga till än att dra av. Men i uttrycket kan det inte vara tillägg, utan också subtraktion, till exempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I detta uttryck är numret 3 och 5 subtraherade, och inte villkoren. Men det stör inte oss, ersätter subtraktion genom att lägga till. Då får vi igen ett uttryck som består av villkoren:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Flytta inte det numren -3 och -5 nu med ett minustecken. Det viktigaste är att alla siffror i detta uttryck är anslutna med tilläggsmärket, det vill säga uttrycket är mängden.

Båda uttrycken 1 + 2 − 3 + 4 − 5 och 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lika med ett och det värdet - minus en

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Således lider inte värdet av uttrycket av det faktum att vi kommer att ersätta subtrahering genom att lägga till.

Byte av subtraktion genom att lägga till kan också vara i alfabetuttryck. Tänk till exempel följande uttryck:

7A + 6B - 3C + 2D - 4S

7A + 6B + (-3C) + 2D + (-4S)

Med eventuella värden av variabler a, B, C, D och s. Uttryck 7A + 6B - 3C + 2D - 4S och 7A + 6B + (-3C) + 2D + (-4S) kommer att vara lika med samma värde.

Du måste vara beredd på det faktum att läraren i skolan eller läraren vid institutet kan ringa in anpassningarna även de siffrorna (eller variablerna) som de inte är.

Till exempel, om en skillnad kommer att spelas in på brädet a - B. Då kommer läraren inte att säga det a. - Detta minskas, och b. - subtraheras. Båda variablerna, han kommer att ringa ett allmänt ord - sammansättning . Och allt för att uttrycket av formen a - B. Matematik ser hur beloppet a + (-B) . I det här fallet blir uttrycket mängden och variablerna a. och (-B) bli villkoren.

Liknande

Liknande - Det här är de termer som har samma alfabetiska del. Tänk till exempel uttryck 7A + 6B + 2A . Sammansättning 7a. och 2a. har samma alfabetisk del - variabel a.. Så komponenterna 7a. och 2a.är lika.

Vanligtvis viks de liknande komponenterna för att förenkla uttrycket eller lösa viss ekvation. Denna operation kallas genom att föra liknande termer.

För att medföra liknande villkor måste du vika koefficienterna för dessa termer, och det resulterande resultatet multipliceras med det totala brevet.

Till exempel ger vi liknande termer i uttrycket 3A + 4A + 5A . I det här fallet är dessa alla villkor. Flytta sina koefficienter och resultatet att multiplicera på den allmänna bokstäverna - till variabeln a.

3A + 4A + 5A \u003d (3 + 4 + 5) × A \u003d 12a

Liknande termer leder vanligen i åtanke och resultatet registreras omedelbart:

3A + 4A + 5A \u003d 12A

Dessutom kan man argumentera enligt följande:

Det fanns 3 variabler A, de tillade ytterligare 4 variabler A och 5 mer variabler a. Som ett resultat erhölls 12 variabler

Tänk på flera exempel på att skapa liknande termer. Med tanke på att det här ämnet Det är mycket viktigt, först kommer vi att skriva i detalj varje liten sak. Trots det faktum att allt är väldigt enkelt här, tillåter de flesta människor många misstag. I grund och botten intensifiera, och inte för okunnighet.

Exempel 1. 3A + 2A + 6A + 8a.

Flytta koefficienterna i detta uttryck och det erhållna resultatet för att multiplicera på den allmänna bokstäverna:

3A + 2A + 6A + 8A \u003d (3 + 2 + 6 + 8) × A \u003d 19a

Design (3 + 2 + 6 + 8) × A Du kan inte spela in, så du skriver omedelbart svaret

3A + 2A + 6A + 8A \u003d 19A

Exempel 2. Skapa liknande komponenter i uttryck 2A + A.

Andra terminen a. inspelad utan koefficient, men det finns faktiskt en koefficient 1 som vi inte ser på grund av det faktum att det inte är skrivet. Därför ser uttrycket så här:

2A + 1A.

Nu ger vi liknande termer. Det vill säga lägga koefficienterna och resultatet att multiplicera på den allmänna bokstäverna:

2A + 1A \u003d (2 + 1) × A \u003d 3a

Skriv beslutet kortare:

2A + A \u003d 3A

2A + A., det kan vara motiverat och annorlunda:

Exempel 3. Skapa liknande komponenter i uttryck 2a - A.

Byt ut subtraktion genom att lägga till:

2A + (-A)

Andra terminen (-A) skrivet utan koefficient, men det ser ut som (-1a).Koefficient −1 Återigen, osynlig på grund av det faktum att det inte är skrivet. Därför ser uttrycket så här:

2A + (-1a)

Nu ger vi liknande termer. Blanda koefficienterna och resultatet för att multiplicera på det övergripande bokstaven:

2A + (-1a) \u003d (2 + (-1)) × a \u003d la \u003d a

Vanligtvis inspelad kort sagt:

2a - a \u003d a

Ledande liknande komponenter i uttryck 2a-a. Det kan motiveras på ett annat sätt:

Det fanns 2 variabler A, detekterade en variabel A, som ett resultat, en enda variabel kvarstod

Exempel 4. Skapa liknande komponenter i uttryck 6a - 3a + 4a - 8a

6a - 3a + 4a - 8a \u003d 6a + (-3a) + 4A + (-8A)

Nu ger vi liknande termer. Blanda koefficienterna och resultatet för att multiplicera på den totala bokstaven

(6 + (-3) + 4 + (-8)) × A \u003d -1a \u003d -a

Skriv beslutet kortare:

6a - 3a + 4a - 8a \u003d -a

Det finns uttryck som innehåller flera olika grupper av liknande termer. Till exempel, 3A + 3B + 7A + 2B . För sådana uttryck är samma regler giltiga som för resten, nämligen vikningen av koefficienterna och multiplikationen av resultatet som erhållits på den totala bokstaven. Men för att förhindra fel är det lämpligt att betona olika linjer av komponenter.

Till exempel, i uttryck 3A + 3B + 7A + 2B de termer som innehåller en variabel a., du kan betona med en rad, och de komponenter som innehåller en variabel b., du kan betona två linjer:

Nu kan du medföra liknande villkor. Det vill säga, vik koefficienterna och det resulterande resultatet multipliceras med den allmänna bokstaven. Detta är nödvändigt för båda grupperna av termer: för termer som innehåller en variabel a. Och för komponenterna som innehåller variabeln b..

3A + 3B + 7A + 2B \u003d (3 + 7) × A + (3 + 2) × B \u003d 10A + 5B

Återigen upprepar vi, uttrycket är enkelt, och liknande komponenter kan ges i åtanke:

3A + 3B + 7A + 2B \u003d 10A + 5B

Exempel 5. Skapa liknande komponenter i uttryck 5a - 6a -7b + b

Byt ut subtraktion tillägg där det kan vara:

5A -6A -7B + B \u003d 5A + (-6A) + (-7B) + B

Vi betonar liknande termer av olika linjer. Condventables innehållande variabler a. Vi betonar en linje, och komponenterna i variablerna b. , vi betonar de två linjerna:

Nu kan du medföra liknande villkor. Det vill säga, vik koefficienterna och det erhållna resultatet multiplicerat med den allmänna bokstaven:

5A + (-6A) + (-7B) + B \u003d (5 + (-6)) × A + ((-7) + 1) × B \u003d -A + (-6B)

Om uttrycket innehåller vanliga nummer utan påstådda faktorer, lägger de sig separat.

Exempel 6. Skapa liknande komponenter i uttryck 4A + 3A - 5 + 2B + 7

Byt ut subtraktion genom att lägga till var det kan vara:

4A + 3A-5 + 2B + 7 \u003d 4A + 3A + (-5) + 2B + 7

Vi ger liknande termer. Tal −5 och 7 har inte alfabet, men de är liknande termer - de behöver bara vika. Och stiftelsen 2b. kommer att förbli oförändrad eftersom det är det enda i detta uttryck som har ett alfabet b, Och inget att vika det med:

4A + 3A + (-5) + 2B + 7 \u003d (4 + 3) × A + 2B + (-5) + 7 \u003d 7A + 2B + 2

Skriv beslutet kortare:

4A + 3A - 5 + 2B + 7 \u003d 7A + 2B + 2

Komponenterna kan organiseras så att de termer som har samma alfabetiska del är belägna i en del av uttrycket.

Exempel 7. Skapa liknande komponenter i uttryck 5T + 2X + 3X + 5T + X

Eftersom uttrycket är summan av flera termer gör det möjligt för oss att beräkna det i vilken ordning som helst. Därför, komponenterna som innehåller en variabel t. kan skrivas i början av uttrycket, och komponenterna som innehåller variabeln x. I slutet av uttrycket:

5T + 5T + 2X + 3X + X

Nu kan du medföra liknande villkor:

5T + 5T + 2x + 3x + x \u003d (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x \u003d 10t + 6x

Skriv beslutet kortare:

5T + 2X + 3X + 5T + X \u003d 10T + 6X

Summan av motsatta tal är noll. Denna regel fungerar för alfabetiska uttryck. Om uttrycket kommer att uppfylla samma termer, men med motsatta tecken, kan de bli av med dem på scenen att föra liknande termer. Med andra ord, helt enkelt stänga ut dem från uttrycket, eftersom deras summa är noll.

Exempel 8. Skapa liknande komponenter i uttryck 3T - 4T - 3T + 2T

Byt ut subtraktion genom att lägga till var det kan vara:

3T - 4T - 3T + 2T \u003d 3T + (-4T) + (-3T) + 2T

Sammansättning 3T och (-3t) är motsatta. Summan av motsatta termer är noll. Om du tar bort det här noll från uttrycket ändras inte värdet av uttrycket, så vi tar bort det. Och vi kommer att ta bort det med de vanliga strikeouten av villkoren 3T och (-3t)

Som ett resultat kommer vi att ha ett uttryck (-4t) + 2T. I detta uttryck kan en sådan komponent ges och få det slutliga svaret:

(-4t) + 2T \u003d ((-4) + 2) × t \u003d -2t

Skriv beslutet kortare:

Förenkling av uttryck

"Liknar uttrycket" Och sedan ges uttrycket för att förenkla. Förenkla uttryck Så gör det enklare och kortare.

Faktum är att vi redan har förenklat uttryck när fraktionerna har krympt. Efter skärning blev fraktionen kortare och lättare för uppfattning.

Tänk på följande exempel. Förenkla uttrycket.

Denna uppgift kan bokstavligen förstå detta sätt: "Tillämpa eventuella tillåtna åtgärder på detta uttryck, men gör det enklare." .

I detta fall kan fraktionen minskas, nämligen delad numerator och nämnaren av fraktionen 2:

Vad mer kan jag göra? Du kan beräkna den resulterande fraktionen. Då får vi en decimalfraktion 0,5

Som ett resultat förenklas fraktionen helt enkelt till 0,5.

Den första frågan som behöver bli ombedd att lösa sådana uppgifter bör vara "Vad kan jag göra?" . Eftersom det finns handlingar som kan göras, och det finns åtgärder som inte kan göras.

Annan viktigt ögonblickVad som behöver komma ihåg är att uttrycksvärde inte bör förändras efter att ha förenat uttrycket. Låt oss återvända till uttryck. Detta uttryck är en division som kan utföras. Genom att göra denna division får vi värdet av detta uttryck, vilket är 0,5

Men vi förenklade uttrycket och fick ett nytt förenklat uttryck. Värdet av det nya förenklade uttrycket är fortfarande 0,5

Men uttrycket vi försökte förenkla, beräkna det. Som ett resultat fick de det slutliga svaret 0,5.

Således, oavsett hur vi förenklar uttrycket, är värdet av de erhållna uttrycken fortfarande 0,5. Så förenkling utfördes korrekt i varje steg. Det är för detta att det är nödvändigt att sträva efter att förenkla uttryck - valet av uttrycket bör inte lida av våra handlingar.

Ofta är det nödvändigt att förenkla brevuttryck. För dem är samma förenklingsregler giltiga som för numeriska uttryck. Du kan utföra eventuella tillåtna åtgärder, bara för att inte ändra värdet av uttrycket.

Tänk på flera exempel.

Exempel 1. Förenkla uttryck 5,21s × t × 2,5

För att förenkla detta uttryck kan du multiplicera siffrorna separat och multiplicera bokstäverna. Denna uppgift är mycket lik den som vi har övervägt när de lärde sig att bestämma koefficienten:

5,21 × T × 2,5 \u003d 5,21 × 2,5 × s × t \u003d 13,025 × st \u003d 13,025st

Så uttrycket 5,21s × t × 2,5 Förenklad förut 13,025st.

Exempel 2. Förenkla uttryck -0,4 × (-6,3b) × 2

Andra arbete (-6,3b) kan översättas till förståeligt för oss, nämligen skriv i formuläret ( -6.3) × B,skicka sedan siffrorna separat och multiplicera bokstäverna separat:

− 0,4 × (-6,3b) × 2 = − 0,4 × (-6,3) × b × 2 \u003d 5,04b

Så uttrycket -0,4 × (-6,3b) × 2 Förenklad förut 5,04b

Exempel 3. Förenkla uttryck

Klipp detta uttryck mer detaljerat för att se bra där siffror, och där bokstäver:

Nu separat alternativa siffror och separat växlar bokstäverna:

Så uttrycket Förenklad förut -BC.Denna lösning kan skrivas kortare:

Vid förenkling av uttryck kan fraktionen minskas under lösningen, och inte i slutet, som vi gjorde med vanliga fraktioner. Till exempel, om under lösningen vi observerar uttrycket av formen, är det inte nödvändigt att beräkna täljaren och denominatorn och gör något så här:

Fraktionen kan minskas genom att välja i en multiplikator i en täljare och i nämnaren och skära dessa faktorer till sin största vanliga divisor. Med andra ord, att använda där vi inte målar i detalj vad täljaren och denominatorn delades upp.

Till exempel, i täljaren multiplikatorn 12 och i nämnaren, kan multiplikatorn 4 reduceras med 4. Den fjärde lagras i sinnet och dela 12 och 4 till den fjärde, svaren registreras bredvid dessa nummer, efter före -Shuttering dem

Nu kan du multiplicera de resulterande lilla multiplikatorerna. I det här fallet är de lite och kan multiplicera i sinnet:

Med tiden kan det konstateras att lösa en eller annan uppgift, uttryck börjar "feta", så det är önskvärt att lära sig att snabbt beräkna beräkningar. Vad som kan beräknas i sinnet måste beräknas i sinnet. Vad du snabbt kan klippa, måste du snabbt klippa.

Exempel 4. Förenkla uttryck

Så uttrycket Förenklad förut

Exempel 5. Förenkla uttryck

Flytta separat siffrorna och separata bokstäver:

Så uttrycket Förenklad förut mn.

Exempel 6. Förenkla uttryck

Vi skriver detta uttryck mer detaljerat för att se bra där siffror, och där bokstäver:

Nu separat alternera numret och separata bokstäver. För bekvämligheten med att beräkna decimalfraktion -6,4 och blandat antal Du kan översätta till vanliga fraktioner:

Så uttrycket Förenklad förut

Lösningen för detta exempel kan registreras signifikant kortare. Det kommer att se ut så här:

Exempel 7. Förenkla uttryck

Flytta separat siffrorna och separata bokstäver. För enkelhets skyld att beräkna ett blandat antal och decimalfraktioner 0,1 och 0,6 kan översättas till vanliga fraktioner:

Så uttrycket Förenklad förut aBCD.. Om du hoppar över detaljerna, kan detta beslut registreras betydligt på kort sagt:

Var uppmärksam på hur fraktionen har minskat. Nya multiplikatorer som erhålls som ett resultat av minskningen av tidigare multiplikatorer får också minska.

Låt oss nu prata om vad du inte kan göra. När du förenklar uttryck är det kategoriskt omöjligt att multiplicera siffrorna och bokstäverna, om uttrycket är summan och inte av arbetet.

Till exempel, om du behöver förenkla uttryck 5A + 4B.Du kan inte skriva som följer:

Det motsvarar det faktum att om vi blev ombedda att vika två nummer, och vi skulle multiplicera dem istället för att vikas.

Vid utbyte av alla värden av variabler a. och b. uttryck 5A + 4B. hänvisar till ett vanligt numeriskt uttryck. Antag att variablerna a. och b. har följande värden:

a \u003d 2, b \u003d 3

Därefter kommer expressionsvärdet att vara lika med 22

5A + 4B \u003d 5 × 2 + 4 × 3 \u003d 10 + 12 \u003d 22

Först utförs multiplikationen, och sedan viks resultaten. Och om vi försökte förenkla detta uttryck, flytta siffrorna och bokstäverna, skulle det ha hänt:

5A + 4B \u003d 5 × 4 × A × B \u003d 20ab

20AB \u003d 20 × 2 × 3 \u003d 120

Det visar sig ett helt annat värde av uttrycket. I det första fallet visade det sig 22 I det andra fallet 120 . Det betyder att förenkling av uttryck 5A + 4B. Det var felaktigt.

Efter att ha förenat uttrycket bör dess värde inte ändras med samma värden av variabler. Om under substitution till det initiala uttrycket av eventuella värden av variabler erhålles ett värde, sedan efter förenkling av uttrycket, bör samma värde erhållas som före förenkling.

Med ett uttryck 5A + 4B. Faktum är att du inte kan göra någonting. Det är inte förenklat.

Om uttrycket innehåller liknande komponenter kan de vikas om vårt mål är att förenkla uttryck.

Exempel 8. Förenkla uttryck 03a-0,4a + a

0,3A-0,4A + A \u003d 0,3A + (-0.4A) + A \u003d (0,3 + (-0,4) + 1) × A \u003d 0,9

eller kortare: 0,3a - 0,4a + a = 0.9a.

Så uttrycket 03a-0,4a + a Förenklad förut 0.9a.

Exempel 9. Förenkla uttryck -7,5a - 2,5b + 4a

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

-7,5A-2,5B + 4A \u003d -7,5A + (-2,5b) + 4A \u003d ((-7,5) + 4) × A + (-2,5b) \u003d -3,5A + ( -2,5b)

eller kortare -7,5a - 2,5b + 4a \u003d -3,5a + (-2,5b)

Hastighet (-2,5b) Det är oförändrat, eftersom det inte har något att vikas.

Exempel 10. Förenkla uttryck

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

Koefficienten var för bekvämligheten att beräkna.

Så uttrycket Förenklad förut

Exempel 11. Förenkla uttryck

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

Så uttrycket Förenklad tidigare.

I detta exempel Det skulle vara mer lämpligt att vika den första och sista koefficienten i första hand. I det här fallet skulle vi få ett kort beslut. Det såg ut som följer:

Exempel 12. Förenkla uttryck

För att förenkla detta uttryck kan du medföra liknande villkor:

Så uttrycket Förenklad förut .

Termen förblev oförändrad, eftersom den inte har vikas.

Denna lösning kan registreras signifikant kortare. Det kommer att se ut så här:

I kort beslut Stegen av ersättning av subtraktion genom tillsats och den detaljerade posten, eftersom fraktionen bringades till en gemensam nämnare.

En annan distinktion är det detaljerat beslut Svaret ser ut , och kort sagt som. Det är faktiskt samma uttryck. Skillnaden är att i det första fallet ersätts subtraktion genom att lägga till, för i början när vi registrerade beslutet i detaljeradVi är överallt där du kan ersätta subtraktion genom att lägga till, och denna ersättning har bevarats för att svara.

Identiteter. Identiskt lika uttryck

När vi förenklat något uttryck blir det lättare och kortare. För att kontrollera om uttrycket är förenklat är det tillräckligt att ersätta eventuella värden av variabler först i det föregående uttrycket som krävdes för att förenkla, och sedan till den nya som förenklades. Om värdet i båda uttrycken är detsamma förenklas uttrycket korrekt.

Överväga det enklaste exemplet. Låt det ta för att förenkla uttrycket 2A × 7B. . För att förenkla detta uttryck kan du multiplicera siffror och bokstäver separat:

2A × 7B \u003d 2 × 7 × A × B \u003d 14AB

Kontrollera om vi förenklat uttrycket. För att göra detta kommer vi att ersätta alla värden av variabler a. och b. Först, i det första uttrycket som krävdes för att förenkla, och sedan andra, vilket förenklades.

Låt värdena på variablerna a. , b. kommer att vara som följer:

a \u003d 4, B \u003d 5

Ersätta dem i det första uttrycket 2A × 7B.

Nu kommer vi att ersätta samma värden av variabler i det uttryck som hände som ett resultat av förenkling 2A × 7B., nämligen uttrycket 14ab

14AB \u003d 14 × 4 × 5 \u003d 280

Vi ser det när a \u003d 4. och b \u003d 5. Värdet av det första uttrycket 2A × 7B. och värdet av det andra uttrycket 14ab likvärdig

2A × 7B \u003d 2 × 4 × 7 × 5 \u003d 280

14AB \u003d 14 × 4 × 5 \u003d 280

Samma sak kommer att hända för andra värden. Till exempel, låt det a \u003d 1. och b \u003d 2.

2A × 7B \u003d 2 × 1 × 7 × 2 \u003d 28

14AB \u003d 14 × 1 × 2 \u003d 28

Således med eventuella värden av variabelt uttryck 2A × 7B. och 14ab lika med samma mening. Sådana uttryck kallas identiskt lika.

Vi avslutar det mellan uttryck 2A × 7B. och 14ab Du kan lägga ett tecken på jämlikhet, eftersom de är lika med samma värde.

2a × 7b \u003d 14ab

Jämställdhet kallas något uttryck som är kopplat av skylten på jämlikhet (\u003d).

En jämlikhet av typ 2a × 7b \u003d 14ab Ring upp identitet.

Identiteten kallas jämlikhet som är sant för alla värden av variabler.

Andra exempel på identiteter:

a + B \u003d B + A

a (B + C) \u003d AB + AC

a (bc) \u003d (ab) c

Ja, matematiklagarna, som vi studerade är identiteter.

Trogen numerisk jämlikhet är också identiteter. Till exempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Lösa en komplex uppgift för att underlätta beräkningen ersätts det komplexa uttrycket med ett enklare uttryck, som är identiskt lika med den föregående. En sådan ersättning kallas identisk omvandling av uttryck eller bara transformation av uttrycket.

Till exempel har vi förenklat uttryck 2A × 7B. och fick ett enklare uttryck 14ab . Denna förenkling kan kallas identisk omvandling.

Ofta kan du möta den uppgift där den sägs "Bevisa att jämlikhet är identiteten" Och sedan den jämlikhet som behöver bevisas ges. Typiskt består denna jämlikhet av två delar: vänster och höger del av jämlikhet. Vår uppgift är att utföra identiska omvandlingar med en av de delar av jämlikhet och få en annan del. Antingen utföra identiska omvandlingar med båda delar av jämlikhet och göra ett sådant lika uttryck i båda delar av jämlikhet.

Till exempel visar vi att jämlikhet 0,5a × 5b \u003d 2,5b Är identitet.

Vi förenklar den vänstra delen av denna jämlikhet. För att göra detta, ändra numret och bokstäverna separat:

0,5 × 5 × A × B \u003d 2,5b

2,5b \u003d 2,5b

Som ett resultat av en liten identisk omvandling har den vänstra sidan av jämlikheten blivit lika med den högra delen av jämlikhet. Så vi har bevisat jämlikhet 0,5a × 5b \u003d 2,5b Är identitet.

Av de identiska omvandlingarna lärde vi oss att vika, dra av, multiplicera och dela upp siffrorna, skära fraktionerna, ta med sådana komponenter och förenkla vissa uttryck.

Men det här är inte alla identiska omvandlingar som finns i matematik. Identiska omvandlingar mycket mer. I framtiden kommer vi att vara övertygade mer än en gång.

Uppgifter för självlösningar:

Gillade du lektionen?
Gå med i vår nya grupp VKontakte och börja ta emot meddelanden om nya lektioner

Förenkling av algebraiska uttryck är en av nyckelmoment Studera algebra och extremt användbar skicklighet för alla matematiker. Förenkling gör att du kan ta med ett komplext eller långt uttryck för ett enkelt uttryck, med vilket det är lätt att arbeta. Grundläggande förenkling är väl givna även till dem som inte är glada över matematik. Observera flera enkla regler, Det är möjligt att förenkla många av de vanligaste typerna av algebraiska uttryck utan någon speciell matematisk kunskap.

Steg

Viktiga definitioner

1. Liknande medlemmar. Dessa är medlemmar med en variabel i en order, medlemmar med samma variabler eller gratis medlemmar (medlemmar som inte innehåller en variabel). Med andra ord innefattar sådana medlemmar en variabel i samma utsträckning, innefattar flera identiska variabler eller inkluderar inte en variabel alls. Förfarandet för medlemmar i uttryck spelar ingen roll.

   • Till exempel är 3x 2 och 4x 2 liknande medlemmar, eftersom de innehåller en variabel "x" i den andra ordningen (andra graden). Men X och X 2 är inte liknande medlemmar, eftersom de innehåller variabeln "x" av olika order (första och andra). På liknande sätt är -3YX och 5XZ inte liknande medlemmar, eftersom de innehåller olika variabler.

2. Sönderdelning av multiplikatorer. Detta är upptäckten av sådana nummer vars produkt leder till det ursprungliga numret. Eventuellt initialnummer kan ha flera faktorer. Till exempel kan numret 12 sönderdelas på följande intervall av multiplikatorer: 1 × 12, 2 × 6 och 3 × 4, så vi kan säga att siffror 1, 2, 3, 4, 6 och 12 är multiplikatorer av numret 12. Multiplar sammanfaller med divisorer, väl, de siffror som det ursprungliga numret är uppdelat.

   • Om du till exempel vill sönderdela nummer 20 på multiplikatorerna, skriv upp det så här: 4 × 5.
   • Observera att under sönderdelning av multiplikatorer beaktas variabeln. Till exempel 20x \u003d 4 (5x).
   • Enkla siffror kan inte läggas ut för multiplikatorer, eftersom de bara är uppdelade i oss själva och 1.

3. Kom ihåg och följ proceduren för att utföra operationer för att undvika fel.

   • Parentes
   • Kraft
   • Multiplikation
   • Division
   • Tillägg
   • Subtraktion

   Medföra liknande medlemmar

   1. Skriv ner uttrycket. De enklaste algebraiska uttrycken (som inte innehåller fraktioner, rötter och så vidare) kan lösas (förenkla) på bara några steg.

      • Förenkla till exempel uttrycket 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Bestäm sådana medlemmar (medlemmar med en variabel i en order, medlemmar med samma variabler eller gratis medlemmar).

      • Hitta liknande medlemmar i detta uttryck. Medlemmar 2x och 4x innehåller en variabel i en order (först). Dessutom är 1 och -3 gratis medlemmar (innehåller inte en variabel). Således, i den här medlemmen 2x och 4x är liknande och medlemmar 1 och -3. Är också lika.

   3. Ta med sådana medlemmar. Detta betyder vikta eller subtrahera dem och förenkla uttrycket.

      • 2x + 4x \u003d 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Skriv om uttrycket med hänsyn till ovanstående medlemmar. Du får ett enkelt uttryck med ett mindre antal medlemmar. Det nya uttrycket är lika med den ursprungliga.

      • I vårt exempel: 1 + 2x - 3 + 4x \u003d 6x - 2., det vill säga det första uttrycket förenklas och lättare att arbeta med det.

   5. Observera proceduren för att utföra operationer när sådana medlemmar. I vårt exempel var det lätt att ta med liknande medlemmar. Men när det gäller komplexa uttryck i vilka medlemmar är inneslutna i parentes och det finns fraktioner och rötter, är det dock inte så lätt. Följ i dessa fall proceduren för att utföra verksamheten.

      • Tänk till exempel uttrycket 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8-3x. Här skulle det vara ett misstag att omedelbart bestämma 3x och 2x som sådana medlemmar och ta med dem, för att du först behöver avslöja parentes. Därför utföra operationer enligt deras order.
        • 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. NuNär det bara finns tillägg och subtraktionsoperationer i uttrycket kan du citera sådana medlemmar.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Multiplikator för parentes

   1. Hitta den största gemensamma delaren (nod) för alla expressionskoefficienter. Nick är det största antalet som alla uttryckskoefficienter är uppdelade.

      • Tänk till exempel ekvation 9x 2 + 27X - 3. I det här fallet är noden \u003d 3, eftersom någon koefficient för detta uttryck uppdelat med 3.

   2. Dela varje medlem av uttrycket på noden. De mottagna medlemmarna innehåller mindre koefficienter än i det ursprungliga uttrycket.

      • Delta i vårt exempel varje medlem av uttrycket med 3.
        • 9x 2/3 \u003d 3x 2
        • 27x / 3 \u003d 9x
        • -3/3 = -1
        • Öppet uttryck 3x 2 + 9x - 1. Det är inte lika med det ursprungliga uttrycket.

   3. Spela in det ursprungliga uttrycket som lika med produkten av noden på det resulterande uttrycket. Det är, gå in i det resulterande uttrycket i parenteserna och ta en nod för parentes.

      • I vårt exempel: 9x 2 + 27x - 3 \u003d 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Förenkla fraktionella uttryck genom att göra en multiplikator för parentes. Varför bara göra en multiplikator för parentes, hur var det tidigare gjort? Då att lära sig att förenkla komplexa uttryck, till exempel fraktionerad uttryck. I det här fallet kan en multiplikator för parentes hjälpa till att bli av med broschatorerna (från denominatorn).

      • Tänk exempelvis på fraktionerna (9x 2 + 27x - 3) / 3. Dra nytta av multiplikatorn för parentes för att förenkla detta uttryck.
        • Ta en multiplikator 3 för parentes (som du gjorde tidigare): (3 (3x 2 + 9x - 1)) / 3
        • Observera att nu i täljaren, och i denominatorn finns det ett nummer 3. Det kan minskas, och du får ett uttryck: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Eftersom någon fraktion i vilken nämnaren innehåller nummer 1 är lika med helt enkelt en täljare, förenklas det initiala fraktionella expressionen till: 3x 2 + 9x - 1.

   Ytterligare förenklingsmetoder

4. Tänk på ett enkelt exempel: √ (90). Nummeret 90 kan sönderdelas i följande faktorer: 9 och 10, och från 9 för att extrahera roten ur (3) och gör 3 från roten.
   • √(90)
   • √ (9 × 10)
   • √ (9) × √ (10)
   • 3 × √ (10)
   • 3√(10)

5. Förenkling av uttryck med grader. I vissa uttryck finns det operationer av multiplikation eller uppdelning av medlemmar med en examen. Vid multiplikation av medlemmar med en anledning är de stora; När det gäller att dela ledamöter med en anledning dras de av.

   • Tänk till exempel uttrycket 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Vid multiplikation, vikningsgrader, och i fråga om division - dra av dem.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17-15)
     • 48x 7 + x 2
   • Följande är en förklaring av regeln för multiplikation och uppdelning av medlemmar med en examen.
     • Multiplikation av medlemmar med grader motsvarar multiplicering av medlemmar på sig själva. Till exempel, sedan x 3 \u003d x × x × x och x 5 \u003d x × x × x × x × x, sedan x 3 × x 5 \u003d (x × x × x) × (x × x × x × x × x), eller x 8.
     • På samma sätt motsvarar uppdelningsorganen med grader med delning av medlemmar på sig själva. x 5 / x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Eftersom sådana medlemmar, i täljaren, och i denominatorn, kan minskas, förblir antalet två "X" eller X 2 i täljaren.

• Kom alltid ihåg tecken (plus eller minus) mot medlemmen av uttrycket, så många har svårt att välja rätt märke.
• Be om hjälp om det behövs!
• Förenkla algebraiska uttryck är inte lätt, men om du gör en hand kan du använda denna färdighet hela ditt liv.

Avsnitt 5 av uttryck och ekvationer

Avsnittet kommer att lära sig:

ü om uttryck och deras förenkling

ü vilka egenskaper av lika mycket

ü hur man löser ekvationer baserat på lika möjligheter.

ü vilka typer av uppgifter löses med ekvationer; Vad är vinkelräta raka linjer och hur man bygger dem;

ü vilken direkt kallas parallellt och hur man bygger dem;

ü vad är ett koordinatplan;

ü hur man bestämmer koordinaterna för punkten på planet;

ü vad är ett diagram över förhållandet mellan värden och hur man bygger det;

ü hur man tillämpar det studerade materialet i praktiken

§ 30. Uttryck och deras förenkling

Du vet redan vilka bokstavliga uttryck är och vet hur man förenklar dem med hjälp av lagar och multiplikation. Till exempel 2a ∙ (-4b) \u003d -8 ab . I det resulterande uttrycket kallas numret -8 uttryckskoefficienten.

Har uttryckcD koefficient? Så. Det är lika med 1 eftersomcD-1 ∙ CD.

Minns att omvandlingen av uttryck med fästen i uttrycket utan parentes kallas upplysningar, fästen. Till exempel: 5 (2x + 4) \u003d 10x + 20.

Omvänd åtgärd I det här exemplet är detta en allmän faktor för parentes.

Komponenterna som innehåller samma alfabetiska multiplikatorer kallas liknande termer. Med hjälp av en allmän faktor för parentes är liknande villkor byggda:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 \u003d

\u003d (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 \u003d.

B x + 7u - 5.

Regler för upplysningsfästen

1. Om "+" -tecknet står framför fästena, då när de beskriver parenteserna, behåller tecknen på komponenterna i parentes;

2. Om det finns ett tecken "-" Före parentes, då när du avslöjar fästen, ändras tecken på komponenterna i parentes.

Uppgift 1. Förenkla uttrycket:

1) 4x + (- 7x + 5);

2) 15 y - (- 8 + 7 y).

Lösningar. 1. Före parenteser finns ett "+" -tecken, så när de är uppdaterade, sparas tecken på alla termer:

4x + (- 7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Före parentes finns ett tecken "-", så under beskrivningen av parenteserna: Tecknen på alla komponenterna ändras till motsatsen:

15 - (- 8 + 7U) \u003d 15U + 8 - 7U \u003d 8U +8.

För upplysningar av parentes använd distributionsfastigheten för multiplikation: A (b + c) \u003d ab + Au. Om en\u003e 0, då tecken på villkorenb. och ändras inte. Om en.< 0, то знаки слагаемых b. och C ändras motsatt.

Uppgift 2. Förenkla uttrycket:

1) 2 (6 y -8) + 7 y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Lösningar. 1. Multiplikator 2 Framför parentes är positiv, så när vi avslöjar fästen behåller vi alla komponenter: 2 (6y-8) + 7 Y \u003d 12 Y - 16 + 7 Y \u003d 19 Y -16.

2. Multiplikator -5 Framför parentes E-negativ, så när man avslöjar fästen ändras tecknen på alla termerna motsatsen:

5 (2 - 5x) + 12 \u003d -10 + 25x +12 \u003d 2 + 25x.

Få reda på mer

1. Ordet "belopp" kommer från latinsumma. Vad gör "Resultat", "Totalt antal".

2. Ordet "plus" kommer från latinplus vilket betyder "mer", och ordet "minus" - från latinminus- vad betyder "mindre". Tecken "+" och "-" används för att ange tillägg och subtraktionsåtgärder. Dessa tecken introducerade den tjeckiska forskaren J. Viman år 1489 i boken "Snabbt och trevligt konto för alla köpmän"(Fig. 138).

Fikon. 138.

Kom ihåg det viktigaste

1. Vad kallas komponenterna liknande? Hur man bygger liknande termer?

2. Hur avslöjar hängslen, mot "+" -tecknet?

3. Hur öppnar du parentes, framför vilken är tecknet "-"?

4. Hur avslöjar parentes, innan det är en positiv faktor?

5. Hur avslöjar parenteserna, mot en negativ multiplikator?

1374. Namn på uttryckskoefficienten:

1) 12a; 3) -5,6 HU;

2) 4 6; 4) -s.

1375 ". Namn villkor som skiljer sig endast i koefficienten:

1) 10A + 76-26 + A; 3) 5 N + 5 m -4 N + 4;

2) BC -4 D - BC + 4 D; 4) 5X + 4U-X + Y.

Vad heter dessa komponenter?

1376 ". Finns det några komponenter i uttrycket:

1) 11A + 10A; 3) 6 N + 15 N; 5) 25R - 10P + 15P;

2) 14c-12; 4) 12 m + m; 6) 8 K +10 K - N?

1377 ". Det är nödvändigt att ändra tecken på komponenterna i parentes, avslöjande parentes i uttrycket:

1) 4 + (A + 3 B); 2) -C + (5-D); 3) 16- (5 m -8 n)?

1378 °. Förenkla uttrycket och betona koefficienten:

1379 °. Förenkla uttrycket och betona koefficienten:

1380 °. Två liknande termer:

1) 4a - i + 6a - 2a; 4) 10 - 4d - 12 + 4 d;

2) 4 B - 5 B + 4 + 5 B; 5) 5A-12 B - 7A + 5 B;

3) -7 ANG \u003d "EN-US"\u003e C + 5-3 C + 2; 6) 14 N - 12 m-4 N -3 m.

1381 °. Två liknande termer:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5c + 4-2c-3c;

2) 9 B + 12-8-46; 4) -7 N + 8 m - 13 N - 3 m.

1382 °. Ta en gemensam faktor för parentes:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 N - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 C + 5 D; 4) 1,2 N - 1,8 m; 6) -8p - 10 K - 6 t.

1383 °. Ta en gemensam faktor för parentes:

1) 6A-12 B; 3) -1,8 N -3,6 m;

2) -0,2 C + 1 4 D; A) 3R - 0,9 K + 2,7 t.

1384 °. Öppna fästen och vrid liknande termer;

1) 5 + (4a -4); 4) - (5 C-D) + (4 d + 5c);

2) 17x- (4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 N);

3) (76 - 4) - (46 + 2) 6) 7 (-5X + Y) - (-2U + 4X) + (x - 3).

1385 °. Öppna fästen och vrid liknande termer:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (C - 5d) - (- d + 5c);

2) - (46-10) + (4-56); 4) - (5 N + m) + (-4 N + 8 M) - (2 M-5 N).

1386 °. Öppna fästen och hitta värdet av uttrycket:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387 °. Öppna fästen och hitta värdet av uttrycket:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388 °. Öppna parentes:

1) 0,5 ∙ (A + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2) -c ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389 °. Öppna parentes:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3) (4 c - d) ∙ (-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-R + 0,3 K - 1,2 T).

1390. Förenkla uttrycket:

1391. Förenkla uttrycket:

1392. Två liknande termer:

1393. Två liknande termer:

1394. Förenkla uttrycket:

1) 2,8 - (0,5 A + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6)

2) -12 ∙ (8 - 2, av) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 M + 24,8 N) ∙ (-0,5) - (3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Förenkla uttrycket:

1396. Hitta värdet av uttrycket;

1) 4- (0,2 A-3) - (5,8 A-16), om A \u003d -5;

2) 2- (7-56) + 156-3 ∙ (26 + 5), om \u003d -0,8;

m \u003d 0,25, n \u003d 5,7.

1397. Hitta värdet av uttrycket:

1) -4 ∙ (i-2) + 2 ∙ (6x - 1), om x \u003d -0,25;

1398 *. Hitta ett misstag i beslutet:

1) 5- (A-2,4) -7 ^ (-A + 1,2) \u003d 5A-12-7A + 8,4 \u003d -2A-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 A-6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 A) \u003d -9,2 A + 46 + 4,26 - 14,7 A \u003d -5,5 A + 8,26.

1399 *. Expandera fästen och förenkla uttrycket:

1) 2AB - 3 (6 (4a - 1) - 6 (6 - 10a)) + 76;

1400 *. Ordna parentes för att få rätt jämlikhet:

1) A-6-A + 6 \u003d 2A; 2) A -2 B -2 A + B \u003d 3 A -3 B.

1401 *. Bevisa det för alla nummer A ochb om a\u003e b , då utförs jämställdhet:

1) (A + B) + (A-B) \u003d 2A; 2) (A + B) - (A-B) \u003d 2 b.

Kommer denna jämlikhet att vara korrekt, om: a) a< b; b) a \u003d 6?

1402 *. Bevisa det för någon naturligt nummer Och det aritmetiska genomsnittet av föregående och nästa nummer bakom det är lika med numret a.

Ansök i praktiken

1403. För utarbetandet av en frukt efterrätt för tre personer behöver du: 2 äpplen, 1 orange, 2 banan och 1 kiwi. Hur man gör ett alfabetiskt uttryck för att bestämma antalet frukter som krävs för att förbereda efterrätt är jag för gästerna? Hjälp Marin dessa beräkna hur mycket frukt du behöver köpa, om du kommer att besöka: 1) 5 vänner; 2) 8 vänner.

1404. Gör ett alfabetuttryck för att bestämma den tid som krävs för att utföra en läxa i matematik om:

1) på att lösa problem spenderas med min; 2) Förenkling av uttryck 2 gånger mer än lösningen av uppgifter. Hur mycket tid utfördes läxa Vasilko, om han tillbringade 15 minuter för att lösa uppgifterna?

1405. Lunch i skolans matsal består av sallad, borscht, kålrullar och kompoter. Kostnaden för sallad är 20%, Borscht - 30%, Kaltsov - 45%, Compote - 5% av det totala värdet av hela lunchen. Gör ett uttryck för att hitta kostnaden för lunch i skolmatsalen. Hur mycket är lunch, om priset på sallad är 2 UAH?

Uppgift för upprepning

1406. Bestäm ekvation:

1407. Tanya spenderade på glassalla tillgängliga pengar, och på godis -resten. Hur mycket pengar kvarstår i Tanya

om godis står 12 UAH?

Med något språk kan du uttrycka samma information. olika ord och vänder. Inte undantag och matematiskt språk. Men samma uttryck kan spelas in ekvivalent på olika sätt. Och i vissa situationer är en av posterna enklare. Vi kommer att prata om att förenkla uttryck i den här lektionen.

Folk kommunicerar på olika språk. För oss är en viktig jämförelse ett par "ryska språket - matematiskt språk". Samma information kan rapporteras på olika språk. Men dessutom kan det också uttala sig på ett språk på olika sätt.

Till exempel: "Petya är vänner med Vasya", "Vasya är vänner med Petya", "Pete med Vejra vänner." Sagt annorlunda, men samma sak. För någon av dessa fraser, skulle vi förstå vad vi pratar om.

Låt oss titta på den här frasen: "Petyas pojke och pojke Vasya är vänner." Vi förstod vad detta är tal. Ändå gillar vi inte hur den här frasen låter. Kan vi förenkla det, säg detsamma, men lättare? "Pojke och pojke" - du kan säga än en gång: "Petya och Vasya Boys är vänner."

"Pojkar" ... är inte namnen att de inte är tjejer. Vi tar bort "pojkarna": "Petya och Vasya är vänner." Och ordet "vänner" kan ersättas med "vänner": "Peter och Vasya - vänner." Som ett resultat ersattes den första, långa fula frasen med ett likvärdigt uttalande, vilket är lättare att säga och lättare att förstå. Vi förenklade denna fras. Förenkla - det betyder att man lättare, men inte förlora, snedvrida inte meningen.

På ett matematiskt språk händer ungefär samma sak. En sak kan sägas skriva annorlunda. Vad betyder det att förenkla uttryck? Det innebär att det finns många ekvivalenta uttryck för det ursprungliga uttrycket, det vill säga de som betyder samma sak. Och från all denna uppsättning måste vi välja det enklaste, enligt vår åsikt eller de mest lämpliga för våra framtida mål.

Tänk till exempel ett numeriskt uttryck. Det kommer att vara ekvivalent.

Det kommer också att motsvara de två första: .

Det visar sig att vi har förenklat våra uttryck och hittade det mest korta motsvarande uttrycket.

För numeriska uttryck är det alltid nödvändigt att utföra alla åtgärder och få ett ekvivalent uttryck i form av ett nummer.

Tänk på ett exempel på ett alfabetiskt uttryck. . Självklart kommer det att bli enklare.

När du förenklar alfabetiska uttryck måste du utföra alla åtgärder som är möjliga.

Behöver du alltid förenkla uttryck? Nej, ibland kommer det att vara bekvämare för oss motsvarande, men en längre inspelning.

Exempel: Från det nummer du behöver ta bort numret.

Det är möjligt att beräkna, men om det första numret representerades av motsvarande rekord:, då skulle beräkningarna vara momentana :.

Det vill säga ett förenklat uttryck är inte alltid lönsamt för vidare dator.

Ändå möter vi mycket ofta en uppgift som det låter "för att förenkla uttrycket".

Förenkla uttrycket :.

Beslut

1) Utför åtgärder i första och andra fästen :.

2) Beräkna verk: .

Självklart är det sista uttrycket en enklare utsikt än den ursprungliga. Vi förenklade det.

För att förenkla uttrycket måste det ersättas med en ekvivalent (EQUAL).

För att bestämma det ekvivalenta uttrycket är det nödvändigt:

1) Utför alla möjliga åtgärder

2) Använd egenskaperna för tillägg, subtraktion, multiplikation och divisioner för att förenkla beräkningar.

Egenskaper för tillägg och subtraktion:

1. Flytta tilläggets tillägg: Beloppet ändras inte från omplacering av villkoren.

2. Kombinationsfastigheten för tillägget: För att lägga till ett tredje nummer till summan av två nummer kan du lägga till summan av det andra och tredje numret till det första numret.

3. Egenskapen för subtraktion av beloppet bland annat: För att subtrahera beloppet från numret kan du dra av varje term separat.

Egenskaper för multiplikation och division

1. Multiplikationens rörelseegenskap: Produkten ändras inte från permutationen av multiplikatorer.

2. Modig egendom: För att multiplicera numret på arbetet med två siffror, kan du först multiplicera det till den första faktorn, och det resulterande arbetet multipliceras med den andra faktorn.

3. Distributionsfastigheten för multiplikation: För att multiplicera numret till mängden, måste du multiplicera den till varandra separat.

Låt oss se hur vi faktiskt gör beräkningar i sinnet.

Beräkna:

Beslut

1) Föreställ dig hur

2) Föreställ dig den första faktorn som summan av utmatningsvillkoren och utför multiplikation:

3) Du kan föreställa dig hur man utför multiplikation:

4) Byt ut den första faktorn för motsvarande belopp:

Distributionslagen kan användas i omvänd sida: .

Utför följande:

1) 2)

Beslut

1) För bekvämligheten kan du använda distributionslagen, bara för att använda den i motsatt riktning - för att göra en allmän faktor för parentes.

2) Jag kommer att ta med en allmän multiplikator för parentes.

Det är nödvändigt att köpa linoleum i köket och en entré. Kvadratkök -, Hallway -. Det finns tre typer av linoleums: programvara och rubel för. Hur mycket kostar var och en av tre arter Linoleum? (Figur 1)

Fikon. 1. Illustration till problemet med problemet

Beslut

Metod 1. Du kan individuellt hitta hur mycket pengar som behöver köpa ett linoleum i köket och sedan lägga till i korridoren och de erhållna verken.