Hitta betydelsen av uttrycket i vilka uttryck. Konvertera uttryck. Detaljerad teori (2019)

Som regel börjar barn lära sig algebra redan i grundskolan. Efter att ha behärskat de grundläggande principerna för att arbeta med siffror, löser de exempel med en eller flera okända variabler. Att hitta innebörden av ett sådant uttryck kan vara ganska svårt, men om du förenklar det med hjälp av grundskolans kunskap kommer allt att lösa sig snabbt och enkelt.

Vad är meningen med ett uttryck

Ett numeriskt uttryck kallas algebraisk notation som består av siffror, parenteser och tecken, om det är vettigt.

Med andra ord, om det är möjligt att hitta betydelsen av ett uttryck, är posten inte saknad av mening, och vice versa.

Exempel på följande poster är giltiga numeriska konstruktioner:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

Ett enda tal kommer också att representera ett numeriskt uttryck som talet 18 från exemplet ovan.
Exempel på ogiltiga numeriska konstruktioner som inte är vettiga:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

Felaktiga numeriska exempel är bara en uppsättning matematiska symboler och har ingen mening.

Hur man hittar betydelsen av ett uttryck

Eftersom det finns aritmetiska tecken i sådana exempel kan vi dra slutsatsen att de gör att du kan utföra räkningar. För att beräkna tecknen eller, med andra ord, för att hitta värdet på ett uttryck, är det nödvändigt att utföra motsvarande aritmetiska manipulationer.

Som ett exempel, betrakta följande konstruktion: (120-30) / 3 = 30. Talet 30 är värdet på det numeriska uttrycket (120-30) / 3.

Instruktioner:

Numeriskt jämlikhetskoncept

En numerisk jämlikhet är en situation när två delar av ett exempel separeras med ett "=" tecken. Det vill säga att en del är helt lika (identisk) med den andra, även om den visas i form av andra kombinationer av symboler och siffror.
Till exempel kan alla konstruktioner som 2 + 2 = 4 kallas numerisk likhet, eftersom betydelsen inte kommer att ändras genom att byta delar: 4 = 2 + 2. Detsamma gäller mer komplexa konstruktioner som parenteser, division, multiplikation, fraktioner och så vidare.

Hur man hittar betydelsen av ett uttryck korrekt

För att korrekt hitta värdet på ett uttryck är det nödvändigt att utföra beräkningar enligt en viss åtgärdsordning. Denna ordning lärs ut även i matematiklektioner och senare i algebra -lektioner i grundskola... Det är också känt som steg för aritmetiska operationer.

Aritmetiska steg:

Det första steget är addition och subtraktion av tal.
Den andra etappen är division och multiplikation.
Tredje steget - siffror är kvadratiska eller kubiska.

Genom att följa följande regler kan du alltid korrekt bestämma betydelsen av uttrycket:

Fortsätt från steg 3 till steg 1 om det inte finns några parenteser i exemplet. Det vill säga först kvadrat eller kub, sedan dividera eller multiplicera, och först sedan lägga till och subtrahera.
I konstruktioner med parentes, utför först åtgärderna inom parentes och följ sedan proceduren ovan. Om det finns mer än en parentes, använd också proceduren från första stycket.
I exemplen i form av en bråkdel, ta först reda på resultatet i täljaren, sedan i nämnaren och dela sedan den första med den andra.

Att hitta betydelsen av uttrycket kommer inte att vara svårt om du behärskar grundkunskaperna i grundkurserna i algebra och matematik. Styrd av informationen som beskrivs ovan kan du lösa alla problem, även av ökad komplexitet.

Ta reda på lösenordet från VK, med kunskap om inloggningen

(34 ∙ 10 + (489-296) ∙ 8): 4-410. Bestäm handlingsförloppet. Utför det första steget i de inre fästena 489-296 = 193. Multiplicera sedan 193 ∙ 8 = 1544 och 34 ∙ 10 = 340. Nästa åtgärd: 340 + 1544 = 1884. Gör sedan divisionen 1884: 4 = 461 och subtrahera sedan 461-410 = 60. Du har hittat innebörden av detta uttryck.

Exempel. Hitta värdet på uttrycket 2sin 30º ∙ cos 30º ∙ tg 30º ∙ ctg 30º. Förenkla detta uttryck. För att göra detta, använd formeln tg α ∙ ctg α = 1. Få: 2sin 30º ∙ cos 30º ∙ 1 = 2sin 30º ∙ cos 30º. Det är känt att sin 30º = 1/2 och cos 30º = √3 / 2. Därför är 2sin 30º ∙ cos 30º = 2 ∙ 1/2 ∙ √3 / 2 = √3 / 2. Du har hittat innebörden av detta uttryck.

Värdet på ett algebraiskt uttryck från. För att hitta värdet på ett algebraiskt uttryck för givna variabler, förenkla uttrycket. Ersätt specifika värden för variabler. Ta nödvändiga steg. Som ett resultat får du ett tal, som är värdet på det algebraiska uttrycket för de angivna variablerna.

Exempel. Hitta värdet på uttrycket 7 (a + y) –3 (2a + 3y) med a = 21 och y = 10. Förenkla detta uttryck, få: a - 2y. Anslut motsvarande värden för variablerna och beräkna: a - 2y = 21–2 ∙ 10 = 1. Detta är meningen med uttrycket 7 (a + y) –3 (2a + 3y) med a = 21 och y = 10.

notera

Det finns algebraiska uttryck som inte är vettiga för vissa värden av variablerna. Till exempel är uttrycket x / (7 - a) meningslöst om a = 7, sedan i detta fall försvinner nämnaren för fraktionen.

Källor:

hitta minsta värde uttryck
Hitta värdena för uttrycken för c 14

Att lära sig att förenkla uttryck i matematik är helt enkelt nödvändigt för att korrekt och snabbt lösa problem, olika ekvationer. Att förenkla ett uttryck innebär färre steg, vilket gör beräkningar enklare och sparar tid.

Instruktioner

Lär dig beräkna grader med. När du multiplicerar befogenheter med erhålls tal, vars bas är densamma, och exponenterna läggs till b ^ m + b ^ n = b ^ (m + n). När man delar makter med på samma grunder kraften i ett tal erhålls, vars bas förblir densamma, och exponenterna subtraheras, och divisorexponenten b ^ m subtraheras från indexet för utdelningen: b ^ n = b ^ (m-n). När man höjer en kraft till en effekt erhålls en effekt med ett tal, vars bas förblir densamma, och exponenterna multipliceras (b ^ m) ^ n = b ^ (mn) När man höjer till en effekt, varje faktor lyfts till denna makt. (Abc) ^ m = a ^ m * b ^ m * c ^ m

Faktorpolynom, d.v.s. tänk på dem som en produkt av flera faktorer - och monomialer. Ta bort den gemensamma faktorn. Lär dig grundläggande förkortade multiplikationsformler: skillnad i kvadrater, kvadrat av skillnad, summa, skillnad i kuber, summa kub och skillnad. Till exempel m ^ 8 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + n ^ 8 = (m ^ 4) ^ 2 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + (n ^ 4) ^ 2. Dessa formler är de viktigaste i förenkling. Använd metoden för att välja en fullständig kvadrat i ett trinom av formen ax ^ 2 + bx + c.

Minska fraktioner så ofta som möjligt. Till exempel, (2 * a ^ 2 * b) / (a ^ 2 * b * c) = 2 / (a * c). Men kom ihåg att endast faktorer kan avbrytas. Om täljaren och nämnaren för en algebraisk fraktion multipliceras med samma nummer utan noll, ändras inte fraktionens värde. Det finns två sätt att omvandla uttryck: kedja och handling. Den andra metoden är att föredra, eftersom det är lättare att kontrollera resultaten av mellanliggande åtgärder.

Det är ofta nödvändigt att extrahera rötter i uttryck. Även rötter extraheras endast från icke-negativa uttryck eller tal. Udda rötter härrör från alla uttryck.

Källor:

förenkling av maktuttryck

Trigonometriska funktioner dök först upp som verktyg för abstrakta matematiska beräkningar av beroendet av värdena för spetsiga vinklar i rätt triangel från sidornas längder. Nu används de mycket i både vetenskaplig och tekniska områden mänsklig aktivitet. För praktiska beräkningar trigonometriska funktioner från de givna argumenten du kan använda olika verktyg- Nedan följer några av de mest tillgängliga.

Instruktioner

Använd till exempel den som är installerad som standard tillsammans med operativ system kalkylatorprogram. Den öppnas genom att välja "Kalkylator" i mappen "Systemverktyg" från "Standard" -avsnittet i avsnittet "Alla program". Detta avsnitt kan öppnas genom att klicka på "Start" -knappen på huvudmenyn i operationssalen. Om du använder Windows 7 kan du helt enkelt ange "Kalkylator" i fältet "Hitta program och filer" i huvudmenyn och klicka sedan på motsvarande länk i sökresultaten.

Räkna numret nödvändiga åtgärder och tänk på i vilken ordning de ska utföras. Om det gör dig svår den här frågan, observera att de åtgärder som ingår i parentes utförs först, sedan division och multiplikation; och subtraktion görs sist. För att göra det lättare att komma ihåg algoritmen för de utförda åtgärderna, i uttrycket ovanför varje åtgärdsoperatörstecken (+, -, *, :), använd en tunn penna för att skriva siffrorna som motsvarar åtgärderna.

Fortsätt med det första steget, följ den fastställda ordningen. Räkna i huvudet om stegen är enkla att göra verbalt. Om beräkningar krävs (i en kolumn), skriv dem under uttrycket och ange serienummer handlingar.

Spåra tydligt sekvensen av åtgärder som utförs, utvärdera vad du ska subtrahera från vad, vad du ska dela upp i vad, etc. Mycket ofta visar sig svaret i uttrycket vara felaktigt på grund av misstagen i detta skede.

Utmärkande drag uttryck är närvaron av matematiska operationer. Det är utsett vissa tecken(multiplikation, division, subtraktion eller addition). Sekvensen för att utföra matematiska åtgärder, om det behövs, korrigeras med parenteser. Att göra matte är att hitta.

Vad är inte ett uttryck

Inte varje matematisk notation kan hänföras till antalet uttryck.

Jämlikheter är inte uttryck. Om matematiska operationer är närvarande i jämställdhet spelar ingen roll. Till exempel är a = 5 jämlikhet, inte ett uttryck, men 8 + 6 * 2 = 20 kan inte heller betraktas som ett uttryck, även om det innehåller multiplikation. Detta exempel hör också till kategorin jämlikheter.

Begreppen uttryck och jämlikhet utesluter inte varandra; de förra är en del av det senare. Likhetstecknet förbinder två uttryck:
5+7=24:2

Du kan förenkla denna jämlikhet:
5+7=12

Ett uttryck förutsätter alltid att de matematiska operationer som presenteras i det kan utföras. 9 +: - 7 är inte ett uttryck, även om det finns tecken på matematiska handlingar, eftersom det är omöjligt att utföra dessa handlingar.

Det finns också några matematiska som är formellt uttryck, men som inte är vettiga. Ett exempel på ett sådant uttryck:
46:(5-2-3)

Talet 46 måste divideras med resultatet av åtgärderna inom parentes, och det är lika med noll. Du kan inte dela med noll, åtgärden anses vara förbjuden.

Numeriska och algebraiska uttryck

Det finns två typer av matematiska uttryck.

Om ett uttryck endast innehåller siffror och tecken på matematiska operationer kallas uttrycket numeriskt. Om det i uttrycket, tillsammans med siffror, finns variabler betecknade med bokstäver, eller om det inte finns några siffror alls, uttrycket består bara av variabler och tecken på matematiska operationer, det kallas algebraiskt.

Den grundläggande skillnaden numeriskt värde från algebraiskt är att ett numeriskt uttryck bara har en betydelse. Till exempel kommer värdet på ett numeriskt uttryck 56-2 * 3 alltid att vara 50, ingenting kan ändras. Ett algebraiskt uttryck kan ha många betydelser, eftersom du kan ersätta valfritt tal istället. Så om uttrycket b - 7 istället för b ersätter 9 kommer värdet på uttrycket att vara 2 och om 200 - det blir 193.

Källor:

Numeriska och algebraiska uttryck

En notation som består av siffror, tecken och parenteser, och som också är vettig, kallas ett numeriskt uttryck.

Till exempel följande poster:

(100-32)/17,
2*4+7,
4*0.7 -3/5,
1/3 +5/7

kommer att vara numeriska uttryck. Det bör förstås att ett tal också kommer att vara ett numeriskt uttryck. I vårt exempel är detta nummer 13.

Och till exempel följande poster

100 - *9,
/32)343

kommer inte att vara numeriska uttryck, eftersom de är meningslösa och bara är en samling av siffror och tecken.

Numeriskt uttrycksvärde

Eftersom tecknen på aritmetiska operationer ingår som tecken i numeriska uttryck kan vi beräkna värdet på ett numeriskt uttryck. För att göra detta måste du följa dessa steg.

Till exempel,

(100-32) / 17 = 4, det vill säga för uttrycket (100-32) / 17 är värdet på detta numeriska uttryck siffran 4.

2 * 4 + 7 = 15, talet 15 är värdet på det numeriska uttrycket 2 * 4 + 7.

Ofta skriver de för korthet inte det fullständiga värdet av ett numeriskt uttryck utan skriver helt enkelt "uttryckets värde", samtidigt som ordet "numeriskt" utelämnas.

Numerisk jämlikhet

Om två numeriska uttryck skrivs med ett likhetstecken, utgör dessa uttryck en numerisk likhet. Till exempel är uttrycket 2 * 4 + 7 = 15 en numerisk likhet.

Som nämnts ovan kan parenteser användas i numeriska uttryck. Som du redan vet påverkar parenteser åtgärdens ordning.

I allmänhet är alla åtgärder uppdelade i flera steg.

Första stegets åtgärder: addition och subtraktion.
Åtgärder i den andra etappen: multiplikation och division.
Åtgärderna i den tredje etappen är kvadrering och kubning.

Regler för utvärdering av värdena för numeriska uttryck

Vid beräkning av värdena för numeriska uttryck bör följande regler följas.

1. Om uttrycket inte har parenteser är det nödvändigt att utföra åtgärder från de högsta nivåerna: det tredje steget, det andra steget och det första steget. Om det finns flera åtgärder i ett steg, utförs de i den ordning de skrivs, det vill säga från vänster till höger.
2. Om uttrycket innehåller parentes, utförs åtgärderna inom parentes först, och först sedan alla stålåtgärder i vanlig ordning. När du utför åtgärder inom parentes, om det finns flera av dem, bör du använda ordningen som beskrivs i punkt 1.
3. Om uttrycket är en bråkdel beräknas först värdena i täljaren och nämnaren och sedan divideras täljaren med nämnaren.
4. Om uttrycket innehåller kapslade parenteser bör åtgärderna utföras från de inre parenteserna.

Så, om ett numeriskt uttryck består av siffror och tecken +, -, · och :, då måste du först utföra multiplikation och division, sedan addition och subtraktion, vilket gör att du kan hitta önskat värde för uttrycket.

Låt oss ge en lösning av exempel för förtydligande.

Exempel.

Utvärdera värdet av uttrycket 14−2 · 15: 6−3.

Lösning.

För att hitta värdet på ett uttryck måste du utföra alla åtgärder som anges i det i enlighet med den accepterade ordningen för att utföra dessa åtgärder. Först, i ordning från vänster till höger, utför vi multiplikation och division, vi får 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Nu, även i ordning från vänster till höger, utför vi de återstående åtgärderna: 14−5−3 = 9−3 = 6. Så vi hittade värdet på det ursprungliga uttrycket, det är lika med 6.

Svar:

14−2 15: 6−3 = 6.

Exempel.

Hitta betydelsen av uttrycket.

Lösning.

V detta exempel vi måste först göra multiplikationen 2 · (−7) och division och multiplikation i uttrycket. När vi kommer ihåg hur det görs hittar vi 2 (−7) = - 14. Och att utföra handlingar i uttrycket, först , då och utför: .

Ersätt de erhållna värdena i det ursprungliga uttrycket :.

Men tänk om det finns ett numeriskt uttryck under rottecknet? För att få värdet av en sådan rot måste du först hitta värdet av det radikala uttrycket, som följer den accepterade ordningen för utförande av handlingar. Till exempel, .

I numeriska uttryck bör rötterna uppfattas som några siffror, och det är lämpligt att omedelbart ersätta rötterna med sina värden och sedan hitta värdet på det resulterande uttrycket utan rötter och utföra åtgärder i den accepterade sekvensen.

Exempel.

Hitta betydelsen av uttrycket med rötter.

Lösning.

Först hittar vi rotens värde ... För att göra detta beräknar vi först värdet av det radikala uttrycket vi har −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... Och för det andra hittar vi rotens värde.

Låt oss nu beräkna värdet av den andra roten från det ursprungliga uttrycket :.

Slutligen kan vi hitta värdet på det ursprungliga uttrycket genom att ersätta rötterna med deras värden :.

Svar:

Ganska ofta, för att göra det möjligt att hitta värdet på ett uttryck med rötter, måste du först transformera det. Låt oss visa lösningen på ett exempel.

Exempel.

Vad är meningen med uttrycket .

Lösning.

Vi kan inte ersätta roten av tre med dess exakta värde, vilket inte tillåter oss att beräkna värdet av detta uttryck på det sätt som beskrivs ovan. Vi kan dock beräkna värdet av detta uttryck genom att utföra enkla transformationer. Tillämplig skillnad i kvadraters formel:. Med tanke på det får vi ... Således är värdet på det ursprungliga uttrycket 1.

Svar:

Med grader

Om basen och exponenten är tal, beräknas deras värde enligt definitionen av exponenten, till exempel 3 2 = 3 · 3 = 9 eller 8 −1 = 1/8. Det finns också poster när basen och / eller exponenten är några uttryck. I dessa fall måste du hitta värdet på uttrycket i basen, värdet på uttrycket i exponenten och sedan beräkna värdet på själva graden.

Exempel.

Hitta värdet av ett uttryck med formens krafter 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4.

Lösning.

I det ursprungliga uttrycket är två grader 2 3 4-10 och (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Deras värden måste beräknas innan andra steg utförs.

Låt oss börja med kraften 2 3 4−10. I dess indikator finns ett numeriskt uttryck, vi beräknar dess värde: 3 4-10 = 12-10 = 2. Nu kan du hitta värdet på själva graden: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

Vid basen och exponenten (1-1 / 2) 3,5-2 Vi har (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.

Nu återvänder vi till det ursprungliga uttrycket, ersätter krafterna i det med deras värden och hittar värdet på det uttryck vi behöver: 2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

Svar:

2 3 4−10 + 16 (1−1 / 2) 3,5−2 1/4 = 6.

Det är värt att notera att det finns mer vanliga fall när det är lämpligt att genomföra en preliminär förenkling av uttryck med befogenheter på basen.

Exempel.

Hitta betydelsen av uttrycket .

Lösning.

Av exponenterna i detta uttryck att döma kan de exakta värdena för exponenterna inte erhållas. Låt oss försöka förenkla det ursprungliga uttrycket, kanske hjälper detta till att hitta dess mening. Vi har

Svar:

Grader i uttryck går ofta hand i hand med logaritmer, men vi kommer att prata om att hitta värdena för uttryck med logaritmer i en av.

Hitta värdet på ett uttryck med bråk

Numeriska uttryck i deras notation kan innehålla fraktioner. När du behöver hitta innebörden av ett sådant uttryck bör andra fraktioner än vanliga fraktioner ersättas med deras värden innan du utför resten av stegen.

Täljaren och nämnaren för bråk (som skiljer sig från vanliga bråk) kan innehålla både vissa tal och uttryck. För att beräkna värdet av en sådan bråkdel måste du beräkna värdet på uttrycket i täljaren, beräkna värdet på uttrycket i nämnaren och sedan beräkna värdet på själva bråket. Denna ordning förklaras av det faktum att fraktionen a / b, där a och b är några uttryck, i huvudsak är en kvot av formen (a) :( b), sedan.

Låt oss överväga lösningen på ett exempel.

Exempel.

Hitta betydelsen av ett fraktionsuttryck .

Lösning.

I det ursprungliga numeriska uttrycket finns det tre fraktioner och. För att hitta värdet på det ursprungliga uttrycket behöver vi först dessa fraktioner, ersätta dem med värden. Vi gör det.

Täljaren och nämnaren för bråkdelen innehåller tal. För att hitta värdet på en sådan bråkdel, ersätt bråkstången med ett divisionstecken och utför den här åtgärden: .

Täljaren av fraktionen innehåller uttrycket 7−2 · 3, dess värde är lätt att hitta: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. Således, . Du kan fortsätta hitta värdet på den tredje fraktionen.

Den tredje fraktionen i täljaren och nämnaren innehåller numeriska uttryck, därför måste du först beräkna deras värden, och detta gör att du kan hitta värdet på fraktionen själv. Vi har .

Det återstår att ersätta de hittade värdena i det ursprungliga uttrycket och utföra de återstående åtgärderna :.

Svar:

Ofta, när du hittar värdena för uttryck med bråk, måste du göra förenkling fraktionella uttryck baserat på att utföra handlingar med fraktioner och minska fraktioner.

Exempel.

Hitta betydelsen av uttrycket .

Lösning.

Roten av fem är inte helt extraherad, så för att hitta värdet på det ursprungliga uttrycket, låt oss först förenkla det. För detta bli av med irrationellitet i nämnaren första fraktionen: ... Därefter kommer det ursprungliga uttrycket att ta formen ... Efter att fraktionerna har subtraherats kommer rötterna att försvinna, vilket gör att vi kan hitta värdet på det initialt angivna uttrycket :.

Svar:

Med logaritmer

Om det numeriska uttrycket innehåller, och om det är möjligt att bli av med dem, görs detta innan du utför resten av åtgärderna. Till exempel när man hittar värdet på uttrycksloggen 2 4 + 2 + 6 = 8.

När det finns numeriska uttryck under logaritmens tecken och / eller vid dess bas, hittas deras värden först, varefter logaritmens värde beräknas. Tänk till exempel på ett uttryck med en logaritm av formen ... Vid logaritmens bas och under dess tecken finns numeriska uttryck, vi hittar deras värden :. Nu hittar vi logaritmen, varefter vi slutför beräkningarna :.

Om logaritmerna inte beräknas exakt, förenkla det i förväg med. Samtidigt måste du ha bra koll på artikelmaterialet. konvertera logaritmiska uttryck.

Exempel.

Hitta värdet på ett uttryck med logaritmer .

Lösning.

Låt oss börja med att beräkna log 2 (log 2 256). Eftersom 256 = 2 8, alltså logga 2 256 = 8, därför log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logaritmerna för logg 6 2 och logg 6 3 kan grupperas. Summan av logaritmerna för logg 6 2 + logg 6 3 är lika med logaritmen för produktloggen 6 (2 3), så logg 6 2 + logg 6 3 = logg 6 (2 3) = logg 6 6 = 1.

Låt oss nu ta itu med fraktionen. Till att börja med skriver vi om logaritmens bas i nämnaren som vanlig bråkdel som 1/5, varefter vi kommer att använda egenskaperna för logaritmer, vilket gör att vi kan få fraktionens värde:
.

Det återstår bara att ersätta de erhållna resultaten i det ursprungliga uttrycket och avsluta sitt värde:

Svar:

Hur hittar jag värdet av ett trigonometriskt uttryck?

När ett numeriskt uttryck innehåller eller etc. beräknas deras värden innan andra åtgärder utförs. Om det finns numeriska uttryck under tecknet på trigonometriska funktioner, beräknas först deras värden, varefter värdena för trigonometriska funktioner hittas.

Exempel.

Hitta betydelsen av uttrycket .

Lösning.

Med hänvisning till artikeln får vi och cosπ = −1. Vi ersätter dessa värden i det ursprungliga uttrycket, det tar formen ... För att hitta dess värde måste du först utföra exponentiering och sedan avsluta beräkningarna :.

Svar:

Det bör noteras att beräkningen av värdena för uttryck med siner, cosinus etc. kräver ofta tidigare omvandla trigonometriskt uttryck.

Exempel.

Vad är värdet på ett trigonometriskt uttryck .

Lösning.

Vi omvandlar det ursprungliga uttrycket med hjälp av, i det här fallet, behöver vi formeln för cosinus för en dubbel vinkel och formeln för cosinus för summan:

De utförda transformationerna hjälpte oss att hitta betydelsen av uttrycket.

Svar:

Allmänt fall

V allmänt fall ett numeriskt uttryck kan innehålla rötter, grader, fraktioner, funktioner och parenteser. Att hitta värdena för sådana uttryck är att göra följande:

första rötter, krafter, fraktioner, etc. ersätts av deras värderingar,
ytterligare åtgärder inom parentes,
och i ordning från vänster till höger utförs de återstående operationerna - multiplikation och division, följt av addition och subtraktion.

De listade åtgärderna utförs tills det slutliga resultatet erhålls.

Exempel.

Hitta betydelsen av uttrycket .

Lösning.

Formen på detta uttryck är ganska komplicerad. I detta uttryck ser vi fraktion, rötter, grader, sinus och logaritm. Hur hittar du dess mening?

Genom att flytta längs skivan från vänster till höger stöter vi på en bråkdel av formuläret ... Det vet vi när vi arbetar med bråk komplex typ, måste vi separat beräkna värdet på täljaren, separat - nämnaren och slutligen hitta fraktionens värde.

I täljaren har vi en rot till formen ... För att bestämma dess värde måste du först beräkna värdet på det radikala uttrycket ... Det finns en sinus här. Vi kan hitta dess värde först efter beräkning av uttryckets värde ... Vi kan göra det här:. Sedan, varifrån och .

Nämnaren är enkel :.

Således, .

Efter att ha ersatt detta resultat med det ursprungliga uttrycket kommer det att ta formen. Det resulterande uttrycket innehåller graden. För att hitta dess värde måste du först hitta värdet på indikatorn, det har vi .

Så,.

Svar:

Om det inte är möjligt att beräkna de exakta värdena på rötterna, graderna, etc., kan du försöka bli av med dem med några transformationer och sedan återgå till att beräkna värdet enligt det angivna schemat.

Rationella sätt att beräkna värdena på uttryck

Att beräkna värdena för numeriska uttryck kräver konsekvens och omsorg. Ja, du måste följa sekvensen av åtgärder som skrevs i föregående stycken, men du behöver inte göra det blindt och mekaniskt. Med detta menar vi att det ofta är möjligt att rationalisera processen för att hitta betydelsen av ett uttryck. Till exempel kan vissa egenskaper för handlingar med siffror påskynda och förenkla att hitta värdet på ett uttryck.

Till exempel känner vi till denna multiplikationsegenskap: om en av faktorerna i produkten är noll, är produktens värde noll. Med den här egenskapen kan vi omedelbart säga att värdet på uttrycket 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) är lika med noll. Om vi höll oss till standardhandlingsordningen skulle vi först behöva beräkna värdena för skrymmande uttryck inom parentes, och det skulle ta mycket tid, och resultatet skulle fortfarande vara noll.

Det är också bekvämt att använda subtraktionsegenskapen lika många: om du subtraherar ett lika antal från ett tal blir resultatet noll. Denna egenskap kan betraktas mer allmänt: skillnaden mellan två identiska numeriska uttryck är noll. Till exempel, utan att utvärdera värdena för uttrycken inom parentes, kan du hitta värdet på uttrycket (54 6−12 47362: 3) - (54 6−12 47362: 3), det är lika med noll, eftersom det ursprungliga uttrycket är skillnaden mellan samma uttryck.

Identiska transformationer kan bidra till en rationell beräkning av uttrycksvärden. Till exempel kan grupperingen av termer och faktorer vara användbara, och parenteser används inte mindre ofta. Så värdet på uttrycket 53 5 + 53 7−53 11 + 5 är mycket lätt att hitta efter att ha satt faktor 53 utanför parenteserna: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Att räkna direkt skulle ta mycket längre tid.

Avslutningsvis, låt oss uppmärksamma ett rationellt tillvägagångssätt för att beräkna värdena för uttryck med bråk - samma faktorer i täljaren och nämnaren för en bråkdel avbryts. Till exempel att avbryta samma uttryck i täljaren och nämnaren för en bråkdel låter dig omedelbart hitta dess värde, vilket är 1/2.

Hitta värdet på ett bokstavligt uttryck och ett uttryck med variabler

Värdet av ett alfabetiskt uttryck och ett uttryck med variabler finns för specifika specificerade värden på bokstäver och variabler. Det är, det kommer om att hitta värdet på ett bokstavligt uttryck för givna värden på bokstäver eller om att hitta värdet på ett uttryck med variabler för valda variabler.

Regeln att hitta värdet på ett alfabetiskt uttryck eller ett uttryck med variabler för givna värden på bokstäver eller valda värden på variabler är följande: du måste ersätta dessa värden för bokstäver eller variabler i det ursprungliga uttrycket och beräkna värde för det resulterande numeriska uttrycket, är det önskat värde.

Exempel.

Utvärdera uttrycket 0,5 x - y vid x = 2,4 och y = 5.

Lösning.

För att hitta det önskade värdet för uttrycket måste du först ersätta dessa värden för variablerna i det ursprungliga uttrycket och sedan utföra följande steg: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Svar:

−3,8 .

Sammanfattningsvis notera att ibland transformationen bokstavliga uttryck och variabla uttryck kan du få deras värden, oavsett värdena på bokstäver och variabler. Till exempel kan uttrycket x + 3 - x förenklas, varefter det blir 3. Därför kan vi dra slutsatsen att värdet av uttrycket x + 3 - x är lika med 3 för alla värden för variabeln x från dess intervall av tillåtna värden (ODV). Ett annat exempel: värdet på uttrycket är 1 för alla positiva värden x, så intervallet för tillåtna värden för variabeln x i det ursprungliga uttrycket är uppsättningen positiva tal, och jämlikhet sker på detta område.

Bibliografi.

Matte: lärobok. för 5 cl. Allmän utbildning. institutioner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. upplagan, raderad. - M.: Mnemosina, 2007.- 280 s.: Ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matte.Årskurs 6: lärobok. för allmänbildning. institutioner / [N. Ya. Vilenkin och andra]. - 22: e upplagan, Rev. - M.: Mnemozina, 2008.- 288 s.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: studie. för 7 cl. Allmän utbildning. institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 17: e upplagan - M .: Utbildning, 2008.- 240 s. : sjuk. -ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: studie. för 8 cl. Allmän utbildning. institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 16: e upplagan - M .: Utbildning, 2008.- 271 s. : sjuk. -ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra:Årskurs 9: lärobok. för allmänbildning. institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 16: e upplagan - M .: Utbildning, 2009.- 271 s. : sjuk. -ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra och början på analysen: Lärobok. för 10-11 cl. Allmän utbildning. institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn m.fl. Ed. A. N. Kolmogorov. - 14: e upplagan - M.: Utbildning, 2004. - 384 s.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Nu när vi har lärt oss att lägga till och multiplicera enskilda fraktioner kan vi överväga mer komplexa strukturer... Till exempel, vad händer om samma problem innehåller addition, subtraktion och multiplikation av fraktioner?

Först och främst måste du översätta alla fraktioner till felaktiga. Sedan utför vi sekventiellt de nödvändiga åtgärderna - i samma ordning som för vanliga nummer. Nämligen:

Exponentieringen utförs först - bli av med alla uttryck som innehåller indikatorer;
Sedan - division och multiplikation;
Det sista steget är addition och subtraktion.

Naturligtvis, om det finns parenteser i uttrycket, ändras ordningsföljden - allt inom parenteserna måste räknas först. Och kom ihåg om felaktiga fraktioner: du behöver bara välja hela delen när alla andra åtgärder redan har slutförts.

Låt oss översätta alla fraktioner från det första uttrycket till felaktiga och sedan utföra följande åtgärder:

Låt oss nu hitta värdet på det andra uttrycket. Här fraktioner med hela delen nej, men det finns parenteser, så vi gör tillägg först och först sedan division. Observera att 14 = 7 2. Sedan:

Tänk slutligen på det tredje exemplet. Det finns parenteser och en grad här - det är bättre att räkna dem separat. Med tanke på att 9 = 3 3 har vi:

Ta en titt på det sista exemplet. För att höja en bråkdel till en effekt måste du separat höja täljaren till denna effekt och separat - nämnaren.

Du kan bestämma på ett annat sätt. Om vi kommer ihåg definitionen av examen kommer problemet att reduceras till vanlig multiplikation fraktioner:

Fraktioner i flera våningar

Hittills har vi bara betraktat "rena" bråk, när täljaren och nämnaren är vanliga tal. Detta överensstämmer ganska bra med definitionen av en numerisk bråkdel som ges i den allra första lektionen.

Men vad händer om ett mer komplext objekt placeras i täljaren eller nämnaren? Till exempel en annan talfraktion? Sådana konstruktioner förekommer ganska ofta, särskilt när man arbetar med långa uttryck. Här är några exempel:

Det finns bara en regel för att arbeta med flervåningsfraktioner: du måste omedelbart bli av med dem. Att ta bort "extra" golv är ganska enkelt om du kommer ihåg att fraktionsstången betyder standarduppdelning. Därför kan varje bråkdel skrivas om enligt följande:

Genom att använda detta faktum och iaktta ordningsföljden kan vi enkelt reducera alla flernivåfraktioner till en vanlig. Ta en titt på exempel:

Uppgift. Konvertera flervåningsfraktioner till vanliga:

I varje fall skriver vi om huvudfraktionen och ersätter delningslinjen med ett divisionstecken. Kom också ihåg att alla heltal kan representeras som en bråkdel med en nämnare av 1. Det vill säga, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Vi får:

I det sista exemplet avbröts fraktionerna före den slutliga multiplikationen.

Specifikationerna för att arbeta med flernivåfraktioner

Det finns en subtilitet i flervåningsfraktioner som alltid måste komma ihåg, annars kan du få fel svar, även om alla beräkningar var korrekta. Ta en titt:

Räknaren innehåller ett enda tal 7, och nämnaren innehåller fraktionen 12/5;
Räknaren innehåller fraktionen 7/12, och nämnaren är enkeltalet 5.

Så för en inspelning fick vi två helt olika tolkningar. Om du räknar blir svaren också annorlunda:

För att alltid läsa posten entydigt använder du en enkel regel: separationsraden för huvudfraktionen måste vara längre än den kapslade raden. Det är önskvärt - flera gånger.

Om du följer denna regel ska fraktionerna ovan skrivas enligt följande:

Ja, det kan vara fult och ta för mycket plats. Men du kommer att räkna rätt. Slutligen ett par exempel där flervåningsfraktioner verkligen förekommer:

Uppgift. Hitta värdena för uttrycken:

Så vi arbetar med det första exemplet. Låt oss konvertera alla fraktioner till oregelbundna och sedan utföra additions- och delningsoperationer:

Låt oss göra samma sak med det andra exemplet. Låt oss översätta alla fraktioner till oregelbundna och utföra de nödvändiga operationerna. För att inte tröttna på läsaren kommer jag att utelämna några av de uppenbara beräkningarna. Vi har:

På grund av att det finns summor i täljaren och nämnaren för huvudfraktionerna respekteras regeln för att skriva flervåningsfraktioner automatiskt. I det sista exemplet lämnade vi också avsiktligt 46/1 i bråkform för att göra division.

Observera också att i båda exemplen ersätter bråkfältet faktiskt parentesen: först och främst hittade vi summan och först då - kvoten.

Vissa kanske säger att övergången till felaktiga fraktioner i det andra exemplet var klart överflödig. Kanske är det så. Men genom detta försäkrar vi oss mot misstag, för nästa gång kan exemplet visa sig vara mycket mer komplicerat. Välj själv vilket som är viktigare: hastighet eller tillförlitlighet.