Formler för lösningen av logaritmiska ekvationer. Några metoder för att lösa logaritmiska ekvationer

Den här videon jag startar en lång serie lektioner om logaritmiska ekvationer. Nu finns det tre exempel framför dig, på grundval av vilka vi kommer att lära oss att lösa de enklaste uppgifterna som är så kallade - enklast.

log 0,5 (3x - 1) \u003d -3

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 lg 5

Låt mig påminna dig om att den enklaste logaritmiska ekvationen är följande:

logga en f (x) \u003d b

Det är viktigt att variabeln X är närvarande endast inuti argumentet, dvs endast i funktionen F (x). A och B-tal är exakt siffror, och i inga fall är inte funktioner som innehåller en variabel x.

Grundläggande lösningsmetoder

Det finns många sätt att lösa sådana strukturer. Till exempel erbjuder de flesta lärare på skolan ett sådant sätt: att omedelbart uttrycka funktionen f (x) med formeln f ( x) \u003d. a b. Det är, när du möter den enklaste designen, omedelbart utan ytterligare åtgärder och byggnader kan gå till lösningen.

Ja, definitivt kommer lösningen att vara rätt. Problemet med denna formel är dock att de flesta studenter förstår inteDär det kommer från och varför brevet och vi är uppställda i bokstaven B.

Som ett resultat, observerar jag ofta mycket offensiva fel när de exempelvis dessa bokstäver ändras på platser. Denna formel måste vara antingen förstådd eller verktyg, och den andra metoden leder till fel i de mest olämpliga och mest ansvariga stunderna: på tentor, kontroll etc.

Det är därför som alla sina elever, jag föreslår att överge standardskolformeln och använda för att lösa logaritmiska ekvationer ett andra tillvägagångssätt, vilket, som du förmodligen gissat från namnet, kallas kanonisk form.

Tanken med kanonisk form är enkel. Låt oss titta på vår uppgift igen: Till vänster har vi logg A, medan under bokstaven A menas exakt numret, och i inget fall är det inte en funktion som innehåller variabeln x. Följaktligen tillämpas alla begränsningar på detta brev, som överlagras på grundval av logaritmen. nämligen:

1 ≠ A\u003e 0

Å andra sidan, från samma ekvation ser vi att logaritmen ska vara lika med nummer B, och här ställer det inte några begränsningar av detta brev, eftersom det kan ta några värden - både positiva och negativa. Allt beror på vilka värden som får funktionen f (x).

Och här kommer vi ihåg vår anmärkningsvärda regel att vilket nummer B kan representeras i form av en logaritm på basen A av A till graden B:

b \u003d logga a b

Hur kommer du ihåg den här formeln? Ja, väldigt enkelt. Låt oss skriva följande design:

b \u003d B · 1 \u003d B · Logga A a

Naturligtvis, medan det finns alla begränsningar som vi spelade in i början. Och nu låt oss använda logaritmen grundläggande egendom och göra en multiplikator B som en examen a. Vi får:

b \u003d b · 1 \u003d b · logga a a \u003d logga a a b

Som ett resultat kommer den ursprungliga ekvationen att skriva om i följande formulär:

logga en f (x) \u003d logga A a b → f (x) \u003d a b

Det är allt. Den nya funktionen innehåller inte längre logaritm och löses med standard algebraiska tekniker.

Naturligtvis kommer någon nu att invändas: varför var det alls uppfunnit någon kanonisk formel, varför gör två ytterligare onödiga steg, om du omedelbart kan flytta från den ursprungliga designen till den slutliga formeln? Ja, åtminstone då, då förstår majoriteten av eleverna inte var den här formeln kommer från och, som ett resultat, tillåter regelbundet fel när de appliceras.

Men denna sekvens av åtgärder som består av tre steg gör det möjligt att lösa den initiala logaritmiska ekvationen, även om du inte förstår var den allra sista formeln tas. Förresten kallas den kanoniska formeln denna post:

logga en f (x) \u003d logga en a b

Bekvämheten hos den kanoniska formen består också i det faktum att det kan användas för att lösa en mycket bred klass av logaritmiska ekvationer, och inte bara det enklaste vi anser idag.

Exempel på lösningar

Låt oss nu överväga riktiga exempel. Så vi bestämmer oss:

log 0,5 (3x - 1) \u003d -3

Låt oss skriva om det enligt följande:

log 0,5 (3x - 1) \u003d Log 0,5 0,5 -3

Många studenter har bråttom och försöker omedelbart bygga nummer 0.5 till den grad som kom till oss från den ursprungliga uppgiften. Och när du redan är välutbildad i att lösa sådana uppgifter, kan du omedelbart utföra det här steget.

Men om du bara börjar studera detta ämne är det bättre att inte skynda någonstans för att förhindra offensiva misstag. Så vi har en kanonisk form. Vi har:

3x - 1 \u003d 0,5 -3

Detta är inte längre en logaritmisk ekvation, men en linjär i förhållande till variabeln x. För att lösa det, låt oss först titta på antalet 0,5 V-grad -3. Observera att 0,5 är 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Alla decimala fraktioner översätter till vanliga när du löser den logaritmiska ekvationen.

Skriva om och få:

3x - 1 \u003d 8
3x \u003d 9.
x \u003d 3.

Allt vi fick svaret. Den första uppgiften är löst.

Andra uppgiften

Gå till den andra uppgiften:

Som vi ser är denna ekvation inte längre det enklaste. Redan åtminstone för till vänster finns det en skillnad, och inte en enda logaritm för en bas.

Följaktligen är det nödvändigt att på något sätt bli av med denna skillnad. I det här fallet är allt väldigt enkelt. Låt oss se uppmärksamt på marken: vänster är numret under roten:

Allmän rekommendation: I alla logaritmiska ekvationer, försök att bli av med radikalerna, det vill säga från poster med rötter och flytta till kraftfunktioner, helt enkelt för att indikatorerna i dessa grader lätt kan utföras för logaritmtecknet och i det slutliga kontot, så En post förenklar signifikant och påskyndar beräkningarna. Här låt oss skriva och skriva ner:

Kom nu ihåg logaritmens anmärkningsvärda egendom: från argumentet, såväl som från basen, kan du utstå grader. När det gäller baser händer följande:

logga en k b \u003d 1 / k logha b

Med andra ord bärs det antal som stod i grunden av fundamentet framåt och samtidigt vänder sig över, dvs det blir ett annat antal. I vårt fall fanns en grundgrad med en indikator 1/2. Följaktligen kan vi ta det som 2/1. Vi får:

5 · 2 Log 5 x - Log 5 x \u003d 18
10 Log 5 x - Log 5 x \u003d 18

Observera: I inget fall kan du bli av med logaritmer vid detta steg. Kom ihåg matematiken på 4-5 klass och procedur: För det första utförs multiplikationen, men endast tillsats och subtraktion. I det här fallet subtraherar vi ett av samma element:

9 Log 5 x \u003d 18
log 5 x \u003d 2

Nu ser vår ekvation ut. Detta är den enklaste designen, och vi löser det med hjälp av en kanonisk form:

log 5 x \u003d logga 5 5 2
x \u003d 5 2
x \u003d 25.

Det är allt. Den andra uppgiften är löst.

Tredje exemplet

Gå till den tredje uppgiften:

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 lg 5

Låt mig påminna dig om följande formel:

lG B \u003d log 10 b

Om du av någon anledning är förvirrad av LG B-posten, då när du utför alla beräkningar, kan du bara skriva logg 10 B. Med decimal logaritmer kan du arbeta på samma sätt som med andra: att göra grader, vik och representerar några nummer i form av LG 10.

Det är det med dessa egenskaper, vi kommer nu att använda för att lösa problemet, eftersom det inte är det enklaste, som vi spelade in i början av vår lektion.

Till att börja med noterar vi att multiplikatorn 2 mot LG 5 kan göras och blir en grundgrad 5. Dessutom representerar den fria termen 3 också i form av en logaritm - det är väldigt lätt att observera från vår rekord.

Domare för dig själv: vilket nummer som helst kan representeras i form av logg baserat på 10:

3 \u003d log 10 10 3 \u003d lg 10 3

Vi skriver om källuppgiften, med hänsyn till de mottagna ändringarna:

lG (X-3) \u003d LG 1000 + LG 25
lG (X-3) \u003d LG 1000 · 25
lG (X-3) \u003d LG 25 000

Vi är igen en kanonisk form, och vi fick det, kringgå scenen av omvandlingar, dvs den enklaste logaritmiska ekvationen kom inte över var som helst.

Det var det jag sa i början av lektionen. Den kanoniska formen gör att du kan lösa en bredare klass av uppgifter än den vanliga skolformeln som de flesta skollärare ger.

Tja, alla, bli av med tecknet på decimallogaritmen, och vi får en enkel linjär design:

x + 3 \u003d 25 000
x \u003d 24 997

Allt! Uppgiften är löst.

Notera på definitionen

Här vill jag få en viktig anmärkning om definitionen. Visst nu kommer det att finnas studenter och lärare som kommer att säga: "När vi löser uttryck med logaritmer är det nödvändigt att komma ihåg att argumentet f (x) bör vara större än noll!" I detta avseende finns det en logisk fråga: Varför behövde vi inte i en av de ansedda uppgifterna att denna ojämlikhet utförs?

Oroa dig inte. Inga extra rötter i dessa fall kommer att uppstå. Och det här är ett annat underbart knep som låter dig påskynda beslutet. Bara vet att om uppgiften variabel X finns bara på ett ställe (eller snarare - i ett enda argument av en enda logaritm), och ingen annanstans i vårt fall finns det ingen variabel, skriv sedan definitionområdet inte nödvändigtEftersom det kommer att utföras automatiskt.

Domare för dig själv: I den första ekvationen fick vi att 3X - 1, det vill säga argumentet bör vara lika med 8. Detta innebär automatiskt att 3 - 1 blir större än noll.

Med samma framgång kan vi skriva ner det i det andra fallet X ska vara 5 2, det vill säga är han uppenbarligen mer noll. Och i det tredje fallet, där X + 3 \u003d 25 000, dvs igen, mer än mer noll. Med andra ord utförs definitionsområdet automatiskt, men endast under förutsättning att x bara finns i bara en logaritms argument.

Det är allt du behöver veta för att lösa de enklaste uppgifterna. Redan en av denna regel, tillsammans med omvandlingsreglerna, låter dig lösa en mycket bred klass av uppgifter.

Men låt oss vara ärliga: För att äntligen handla om den här tekniken för att lära sig hur man tillämpar den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, räcker det inte att bara se en videohandledning. Därför, just nu hämtas alternativ för en oberoende lösning som är anslutna till det här videospråket och börja lösa åtminstone ett av dessa två oberoende arbete.

Du kommer att lämna dig bokstavligen några minuter. Men effekten av sådan träning kommer att vara mycket högre jämfört med den tid du helt enkelt tittade på den här videoklippet.

Jag hoppas att den här lektionen hjälper dig att hantera logaritmiska ekvationer. Använd den kanoniska formen, förenkla uttryck med hjälp av reglerna för att arbeta med logaritmer - och inga uppgifter kommer inte att vara hemska. Och jag har allt idag.

Redovisning av definitionområdet

Låt oss nu prata om fältet att bestämma den logaritmiska funktionen, liksom hur det påverkar lösningen av logaritmiska ekvationer. Tänk på utformningen av vyn

logga en f (x) \u003d b

Detta uttryck kallas det enklaste - i det bara en funktion, och numret A och B är exakt siffror, och i inget fall är det inte en funktion beroende på variabeln x. Det är löst mycket enkelt. Använd bara formeln endast:

b \u003d logga a b

Denna formel är en av de viktigaste egenskaperna hos logaritmen, och när vi ersätter vårt första uttryck får vi följande:

logga en f (x) \u003d logga en a b

f (x) \u003d a b

Detta är redan bekant med hjälp av skolbyggnadsböcker. Många studenter kommer säkert att få en fråga: Eftersom i det första uttrycket är funktionen f (x) under loggskylten, följande begränsningar är överlagda på den:

f (x)\u003e 0

Denna begränsning verkar eftersom logaritmen från negativa tal inte existerar. Så, kanske, som ett resultat, bör restriktionerna åläggas svaren? Kanske måste de ersättas med källan?

Nej, i de enklaste logaritmiska ekvationerna, en extra kontroll av överskott. Och det är varför. Ta en titt på vår sista formel:

f (x) \u003d a b

Faktum är att numret A i alla fall är mer än 0 - Detta krav läggs också över av logaritmen. Nummer A är grunden. Samtidigt är numret B inga begränsningar överlagd. Men det spelar ingen roll, för där en grad skulle vi ha uppfört ett positivt tal får vi fortfarande ett positivt nummer vid utgången. Således utförs kravet f (x)\u003e 0 automatiskt.

Det som verkligen är värt att kontrollera är området att definiera en funktion under loggskylten. Det kan finnas ganska svåra mönster, och i färd med att lösa det är det nödvändigt att följa dem. Låt oss se.

Första uppgiften:

Det första steget: Vi omvandlar fraktionen till höger. Vi får:

Vi blir av med loggaritmens tecken och får den vanliga irrationella ekvationen:

Från de resulterande rötterna är vi nöjda med endast den första, eftersom den andra roten är mindre än noll. Det enda svaret kommer att vara nummer 9. Allt, uppgiften är löst. Inga ytterligare kontroller som uttrycket under logaritmskylten är större än 0 är inte nödvändigt, eftersom det inte är bara större än 0, men med tillståndet av ekvationen är det lika med 2. Följaktligen är kravet "större än noll" utfördes automatiskt.

Gå till den andra uppgiften:

Här är detsamma. Skriv om designen genom att ersätta de tre bästa:

Bli av med logaritmskyltar och få en irrationell ekvation:

Vi bygger båda delarna i en torg med avseende på restriktioner och få:

4 - 6x - x 2 \u003d (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 \u003d x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 \u003d 0

2x 2 + 14x + 12 \u003d 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 \u003d 0

Vi löser den erhållna ekvationen genom diskrimineringen:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 \u003d -1

x 2 \u003d -6

Men x \u003d -6 passar oss inte, för om vi ersätter detta nummer i vår ojämlikhet, kommer vi att få:

−6 + 4 = −2 < 0

I vårt fall är det nödvändigt att det finns mer än 0 eller i en nypa är lika. Men X \u003d -1 passar oss:

−1 + 4 = 3 > 0

Det enda svaret i vårt fall kommer att vara X \u003d -1. Det är allt beslut. Låt oss återvända till början av våra beräkningar.

Den viktigaste slutsatsen från den här lektionen: Kontrollera begränsningarna för en funktion i de enklaste logaritmiska ekvationerna är inte nödvändig. Eftersom vid lösningen utförs alla restriktioner automatiskt.

Men det betyder inte att du kan glömma om att kontrollera. I arbetet med att arbeta på den logaritmiska ekvationen kan det väl gå till det irrationella, där det kommer att finnas sina begränsningar och krav för den högra delen, där vi har skickats till två olika exempel.

Lös djärvt sådana uppgifter och vara särskilt uppmärksam om roten står i argumentet.

Logaritmiska ekvationer med olika baser

Vi fortsätter att studera de logaritmiska ekvationerna och vi kommer att analysera två mer ganska intressanta tekniker, med hjälp av vilken det är modernt att lösa mer komplexa strukturer. Men först, låt oss komma ihåg hur enkla uppgifter är löst:

logga en f (x) \u003d b

I den här posten är A och B exakt siffror, och i funktionen F (x) bör variabeln X vara närvarande, och det är bara där, dvs x bör vara endast i argumentet. Vi kommer att omvandla sådana logaritmiska ekvationer med hjälp av en kanonisk form. För att göra detta noterar vi det

b \u003d logga a b

Och en b är argumentet. Låt oss skriva om detta uttryck enligt följande:

logga en f (x) \u003d logga en a b

Vi gör bara detta och söker till vänster, och till höger var det en logaritm på grundval av a. I det här fallet kan vi, figurativt sett korsa loggarna, och från matematikens synvinkel kan vi säga att vi helt enkelt jämställer argumenten:

f (x) \u003d a b

Som ett resultat kommer vi att få ett nytt uttryck som kommer att lösas mycket enklare. Låt oss tillämpa denna regel till våra dagens uppgifter.

Så den första designen:

Först och främst noterar jag att rätten är en fraktion, i denominatorn som är logg. När du ser ett sådant uttryck kommer det inte att vara överflödigt att återkalla logaritms anmärkningsvärda egendom:

Överföring till ryska, det betyder att någon logaritm kan representeras som en privat två logaritm med någon bas med. Naturligtvis 0< с ≠ 1.

Så: Denna formel har ett underbart fall när variabeln C är lika med variabeln b. I det här fallet får vi utformningen av formuläret:

Det är en sådan design som vi observerar från skylten till höger i vår ekvation. Låt oss ersätta denna design på Logga B, vi får:

Med andra ord, i jämförelse med den ursprungliga uppgiften, ändrade vi argumentet och logaritmen. I utbyte var vi tvungna att vända fraktionerna.

Vi kommer ihåg att någon grad kan göras från marken enligt följande regel:

Med andra ord utförs K-koefficienten, som är grunden av grunden, som en inverterad fraktion. Låt oss ta ut det som en inverterad fraktion:

Fraktionella multiplikatorn kan inte lämnas fram, eftersom vi i det här fallet inte kommer att kunna skicka in denna post som en kanonisk form (eftersom i kanonisk form innan den andra logaritmen inte finns någon ytterligare multiplikator). Låt oss följaktligen göra en bråkdel av 1/4 i ett argument i form av en examen:

Nu motsvarar vi argumenten, vars grundar är desamma (och de grundläggande vi är verkligen desamma) och skriver:

x + 5 \u003d 1

x \u003d -4.

Det är allt. Vi fick ett svar på den första logaritmiska ekvationen. Observera: I källuppgiften finns variabeln X endast i en logg, och den är i sitt argument. Följaktligen krävs inte kontroll av definitionområdet, och vårt nummer x \u003d -4 är verkligen svaret.

Gå nu till det andra uttrycket:

lG 56 \u003d LG 2 Log 2 7 - 3LG (x + 4)

Här, förutom vanliga logaritmer, måste vi arbeta med LG F (x). Hur löser man en sådan ekvation? En oförberedd student kan tyckas att det är en slags tenn, men i själva verket är allt löst elementärt.

Se noggrant på termen LG 2 Log 2 7. Vad kan vi säga om det? Baserna och argumenten i loggen och LG sammanfaller, och det borde göra några tankar. Låt oss komma ihåg igen hur grader från logaritmtecknet:

logga en b n \u003d nlog a b

Med andra ord, vad var graden från nummer B i argumentet blir en multiplikator till själva loggen. Låt oss tillämpa denna formel för uttryck LG 2 Log 2 7. Låt dig inte skrämma LG 2 - det här är det vanligaste uttrycket. Du kan skriva om det enligt följande:

Alla regler som agerar för någon annan logaritm är rättvisa för honom. I synnerhet kan multiplikatorn som står fram fram till graden av argument. Låt oss skriva:

Mycket ofta ser eleverna inte den här åtgärden, eftersom det inte är bra att komma in i en logg under tecknet på en annan. Faktum är att inget brott i det. Dessutom får vi en formel som lätt kan övervägas om du kommer ihåg den viktiga regeln:

Denna formel kan betraktas som en definition och som en av dess egenskaper. I vilket fall som helst, om du konverterar den logaritmiska ekvationen, bör denna formel du veta exakt densamma som representationen av ett antal i form av logg.

Återvända till vår uppgift. Omskriva det, med hänsyn till det faktum att den första terminen till rätten till jämställdhetsskylten kommer att vara bara LG 7. Vi har:

lG 56 \u003d LG 7 - 3LG (x + 4)

Låt oss överföra LG 7 till vänster, vi får:

lG 56 - LG 7 \u003d -3LG (X + 4)

Vi subtraherar uttrycket till vänster, eftersom de har samma bas:

lG (56/7) \u003d -3lg (x + 4)

Låt oss nu titta på ekvationen som vi fick. Det är praktiskt taget en kanonisk form, men multiplikatorn är närvarande till höger. Låt oss göra det i rätt LG-argument:

lG 8 \u003d LG (X + 4) -3

Vi har den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi slår LG-tecknen och likställer argumenten:

(x + 4) -3 \u003d 8

x + 4 \u003d 0,5

Det är allt! Vi löste den andra logaritmiska ekvationen. Samtidigt krävs inga ytterligare kontroller, eftersom det i den ursprungliga uppgiften endast besöktes i ett argument.

Jag kommer att lista de viktigaste punkterna i den här lektionen igen.

Den huvudsakliga formeln som studeras i alla lektioner på den här sidan dedikerad till lösningen av logaritmiska ekvationer är en kanonisk form. Och låt dig inte skrämma det i de flesta skolböcker som du lär dig att lösa sådana uppgifter på ett annat sätt. Det här verktyget fungerar mycket effektivt och låter dig lösa en mycket bredare klass av uppgifter, snarare än det enklaste, som vi studerade i början av vår lektion.

För att lösa logaritmiska ekvationer kommer det att vara användbart att känna till de grundläggande egenskaperna. Nämligen:

Övergångsformeln till en bas och ett speciellt fall när vi vrider loggen (det var mycket användbart för oss i den första uppgiften);
Formeln för att göra och göra grader från under loggaritmens tecken. Här hänger många elever och betonar att inlämningen och bidraget i sig kan innehålla log F (x). Inget fel med det. Vi kan göra en logg på ett annat tecken och samtidigt för att väsentligt förenkla lösningen av problemet, som vi observerar i det andra fallet.

Sammanfattningsvis skulle jag vilja tillägga att det inte är nödvändigt att kontrollera definitionområdet i vart och ett av dessa fall, för överallt är variabeln X endast närvarande i ett loggmärke och samtidigt är det i sitt argument. Som ett resultat utförs alla kraven i definitionområdet automatiskt.

Variabel basuppgifter

Idag kommer vi att titta på de logaritmiska ekvationerna som för många studenter verkar icke-standard, och till och med oupplöst alls. Vi pratar om uttryck, vid basen av vilka inte är siffror, men variabler och jämnfunktioner. Vi kommer att lösa sådana strukturer med hjälp av vår standardmottagning, nämligen genom den kanoniska formen.

Till att börja med, låt oss komma ihåg hur de enklaste uppgifterna löses, vid basen av vilka det finns vanliga siffror. Så, den enklaste kallas designen av typen

logga en f (x) \u003d b

För att lösa sådana uppgifter kan vi använda följande formel:

b \u003d logga a b

Vi skriver om vårt första uttryck och får:

logga en f (x) \u003d logga en a b

Då likställer vi argumenten, dvs skriv:

f (x) \u003d a b

Således blir vi av med loggen på loggen och vi bestämmer den vanliga uppgiften. Samtidigt kommer rötterna erhållna för att lösa roten och vara rötterna i den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Dessutom är posten, när till vänster, och höger, en och samma logaritm med samma bas, kallad den kanoniska formen. Det är en sådan rekord att vi kommer att försöka minska dagens mönster. Låt oss gå.

Första uppgiften:

log X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d 1

Vi ersätter 1 på Log X - 2 (X - 2) 1. I den utsträckning vi observerar argumentet är i själva verket numret B som stod till rätt till tecken på jämlikhet. Således omskriver vi vårt uttryck. Vi får:

log X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d Log X - 2 (x - 2)

Vad ser vi? Vi har den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi kan säkert jämföra argumenten. Vi får:

2x 2 - 13x + 18 \u003d x - 2

Men det här beslutet slutar inte, eftersom denna ekvation inte motsvarar den ursprungliga. När allt kommer omkring består den resulterande designen av funktioner som definieras på hela numeriska linjen, och våra första logaritmer är inte definierade överallt och inte alltid.

Därför måste vi separat skriva definitionområdet. Låt oss inte kloka och skriva alla krav för början:

För det första bör argumentet för var och en av logariterna vara större än 0:

2x 2 - 13x + 18\u003e 0

x - 2\u003e 0

För det andra bör basen inte bara vara mer än 0, men också annorlunda än 1:

x - 2 ≠ 1

Som ett resultat får vi systemet:

Men du är inte rädd: Vid bearbetning av logaritmiska ekvationer kan ett sådant system förenklas betydligt.

Döm själv: Å ena sidan kräver vi att den kvadratiska funktionen är större än noll, och å andra sidan är denna kvadratisk funktion lika med ett linjärt uttryck, vilket också kräver att det är större än noll.

I det här fallet, om vi behöver X - 2\u003e 0, kommer kravet 2x 2 - 13x + 18\u003e automatiskt att utföras. Därför kan vi säkert korsa ojämlikheten som innehåller en kvadratisk funktion. Således kommer antalet uttryck som finns i vårt system att minska till tre.

Naturligtvis, med samma framgång, kunde vi korsa den linjära ojämlikheten, dvs ta bort X - 2\u003e 0 och kräva att 2x 2 - 13x + 18\u003e 0. men håller med om att det är mycket snabbare att lösa den enklaste linjära ojämlikheten mycket snabbare Och lättare, den kvadratiska, även om, om, som ett resultat av lösningen av hela systemet, kommer vi att få samma rötter.

I allmänhet, om möjligt, försök att optimera beräkningar. Och i fallet med logaritmiska ekvationer, släcka de mest komplexa ojämlikheterna.

Låt oss skriva om vårt system:

Här är ett system med tre uttryck, varav två vi faktiskt redan har räknat ut. Låt oss separat kassera den kvadratiska ekvationen och lösa det:

2x 2 - 14x + 20 \u003d 0

x 2 - 7x + 10 \u003d 0

Vi har en given torg tre-halv-ett och därför kan vi utnyttja formlerna i Vieta. Vi får:

(x - 5) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 5

x 2 \u003d 2

Och nu återvänder vi till vårt system och vi finner att x \u003d 2 passar oss inte, för vi behöver det vara strängt större än 2.

Men X \u003d 5 Vi är ganska nöjda med: Nummer 5 är större än 2, och samtidigt är 5 inte 3. Därför kommer den enda lösningen av detta system att vara X \u003d 5.

Allt, uppgiften är löst, inklusive, med hänsyn till OTZ. Gå till den andra ekvationen. Här väntar vi på mer intressanta och meningsfulla beräkningar:

Det första steget: Som förra gången ger vi allt detta fall till kanonisk form. För detta kan numret 9 skriva som följer:

Basen med roten kan inte röras, men argumentet är bättre att konvertera. Låt oss gå från roten till en examen med en rationell indikator. Vi skriver:

Låt mig inte skriva om all vår stora logaritmiska ekvation, utan bara utjämna argumenten omedelbart:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 \u003d x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 \u003d 0

Vi har en nyligen reducerad tre-halv-en framför oss, vi använder formlerna i Vieta och skriv:

(x + 3) (x + 1) \u003d 0

x 1 \u003d -3

x 2 \u003d -1

Så vi fick rötter, men ingen garanterar oss att de skulle passa den första logaritmiska ekvationen. När allt kommer omkring innebär loggskyltar ytterligare begränsningar (vi måste skriva ner systemet, men på grund av bulkheten i hela designen bestämde jag mig för att beräkna definitionområdet separat).

Först och främst kommer vi ihåg att argumenten borde vara större än 0, nämligen:

Dessa är de krav som definieras av definitionområdet.

Observera omedelbart att eftersom vi liknar de två första uttrycken av systemet till varandra, kan någon av dem radera. Låt oss korsa den första eftersom det ser mer hotande ut än den andra.

Dessutom noterar vi att beslutet från den andra och den tredje ojämlikheten kommer att vara densamma (kub av något antal mer än noll, om det andra är större än noll; på samma sätt och med roten i den tredje graden - dessa ojämlikheter är helt Liknande, så vi kan korsa ut det).

Men med den tredje ojämlikheten kommer det inte att passera. Bli av med tecknet på den radikala stående till vänster, för vilka de upprättar båda delarna i kuben. Vi får:

Så, vi får följande krav:

- 2 ≠ x\u003e -3

Vilka av våra rötter: x 1 \u003d -3 eller x 2 \u003d -1 uppfyller dessa krav? Självklart, bara x \u003d -1, eftersom x \u003d -3 inte uppfyller den första ojämlikheten (för ojämlikhet vi har strikt). Totalt återvänder till vår uppgift får vi en rot: x \u003d -1. Det är allt, uppgiften är löst.

Återigen de viktigaste punkterna i den här uppgiften:

Känn dig fri att tillämpa och lösa logaritmiska ekvationer med hjälp av en kanonisk form. Studenter som gör en sådan rekord och passerar inte direkt från det ursprungliga problemet till designen av loggen A f (x) \u003d B-design, tillåta mycket mindre fel än de som är i rush någonstans, passerar mellanliggande steg av beräkningar;
Så snart en växlande bas visas i logaritmen, slutar uppgiften vara det enklaste. Följaktligen är det nödvändigt att ta hänsyn till definitionområdet: argumenten måste vara större än noll, och basen är inte bara större än 0, men de bör inte vara lika med 1.

Du kan ange de senaste kraven för slutliga svar på olika sätt. Till exempel kan du lösa ett helt system som innehåller alla krav på definitionområdet. Å andra sidan kan du först lösa själva uppgiften och sedan komma ihåg om definitionområdet, som separat fungerar i form av systemet och pålägger de mottagna rötterna.

Vad är sättet att välja när man löser en specifik logaritmisk ekvation, löser bara dig. I vilket fall som helst kommer svaret att visa sig detsamma.

Lösning av logaritmiska ekvationer. Del 1.

Logaritmisk ekvation En ekvation kallas där det okända är innehållet under loggaritmens tecken (i synnerhet vid logaritmen).

Enklast logaritmisk ekvation Den har formen:

Lösning av vilken logaritmisk ekvation som helst Det antar övergången från logaritmer till uttryck under tecknet på logaritmer. Denna åtgärd expanderar emellertid området med tillåtna värden för ekvationen och kan leda till utseendet på utländska rötter. För att undvika utseendet på utländska rötter, Du kan göra ett av tre sätt:

1. Göra en motsvarande överföring från den initiala ekvationen till systemet inklusive

beroende på vilken typ av ojämlikhet är eller lättare.

Om ekvationen innehåller en okänd vid logaritmen:

sedan går vi till systemet:

2. Separat hitta området med tillåtna värden för ekvationen, lösa sedan ekvationen och kontrollera om de lösningar som finns är uppfyllda.

3. Lös ekvationen och sedan kolla upp:ersätta lösningarna som fanns på den ursprungliga ekvationen och kontrollera om vi kommer att få trogen jämlikhet.

Den logaritmiska ekvationen av någon nivå av komplexitet kommer i slutändan alltid ner till den enklaste logaritmiska ekvationen.

Alla logaritmiska ekvationer kan delas upp i fyra typer:

1 . Ekvationer som innehåller logaritmer endast i första graden. De ges av omvandlingar och användning

Exempel. Lösande ekvation:

Vi motsvarar uttryck under loggaritmens tecken:

Kontrollera om vår rot uppfyller ekvationen:

Ja, uppfyller.

Svar: x \u003d 5

2 . Ekvationer som innehåller logaritmer till en annan än 1 (i synnerhet i denomoter denominatorn). Sådana ekvationer löses med introduktion av ändringen av variabeln.

Exempel. Lösande ekvation:

Hitta OTZ-ekvationerna:

Ekvationen innehåller logaritmer på torget, så det löses genom att ersätta variabeln.

Viktig! Innan du går in i ersättaren måste du "ta bort" logaritmer som ingår i ekvationen på "tegelstenar" med hjälp av logaritms egenskaper.

När "kollaps" logaritmer är det viktigt att mycket noggrant tillämpa logaritms egenskaper:

Dessutom finns det en mer subtil plats här, och för att undvika ett vanligt misstag använder vi mellanliggande jämlikhet: Vi skriver logaritmgraden i detta formulär:

Liknande,

Vi ersätter uttrycken som erhållits i den ursprungliga ekvationen. Vi får:

Nu ser vi att det okända är innehållet i ekvationen i kompositionen. Vi presenterar en ersättare:. Eftersom det kan ta något verkligt värde, ställer vi inga restriktioner på variabeln.

Instruktion

Skriv ner det givna logaritmiska uttrycket. Om logaritmen 10 används i uttrycket, förkortas dess inspelning och ser ut så här: LG B är en decimal logaritm. Om logaritmen har nummer E i form av bas, är uttrycket inspelat: LN B är en naturlig logaritm. Det är underförstått att resultatet av någon grad i vilket antalet fundament bör uppföras för att erhålla numret B.

När det finns två funktioner från summan av två funktioner är det helt enkelt nödvändigt att predla dem, och resultaten är vikta: (U + V) "\u003d U" + V ";

När derivatet av produkten av två funktioner är härledda, är ett derivat från den första funktionen att multiplicera på den andra och tillsätt ett derivat av den andra funktionen multiplicerad med den första funktionen: (U * V) "\u003d U" * V + V "* U;

För att hitta ett derivat av privata två funktioner är det nödvändigt att från produkten av derivatuppdelningen multipliceras med diviserns funktion för att dra av produkten av derivatet av delaren multipliceras med delningsfunktionen och Allt detta är uppdelat i dokumentets funktion uppbyggd i torget. (U / V) "\u003d (U" V-V "* U) / V ^ 2;

Om en komplex funktion ges är det nödvändigt att multiplicera derivatet från den interna funktionen och derivatet av den externa. Låt y \u003d u (v (x)), sedan y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Med ovanstående kan du direkt likgiltig någon funktion. Så, överväga några exempel:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Det finns också uppgifter för beräkning av derivatet vid den punkten. Låt funktionen y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) ges, du måste hitta värdet på funktionen vid punkten x \u003d 1.
1) Hitta derivatfunktionen: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Beräkna värdet på funktionen vid en angiven punkt Y "(1) \u003d 8 * E ^ 0 \u003d 8

Video på ämnet

Hjälpsam rådgivning

Lär dig tabellen över elementära derivat. Det kommer märkbart att spara tid.

Källor:

härledd constanta

Så hur är den irrationella ekvationen från rationell? Om en okänd variabel är under ett tecken på en kvadratisk rot anses ekvationen irrationell.

Instruktion

Den huvudsakliga metoden för att lösa sådana ekvationer är metoden för erektion av båda delarna ekvationer på en torg. I alla fall. Detta är naturligt, det första du behöver för att bli av med tecknet. Tekniskt är den här metoden inte komplicerad, men ibland kan det leda till problem. Till exempel ekvation v (2x-5) \u003d v (4x-7). Etablering av båda sidor på torget får du 2x-5 \u003d 4x-7. En sådan ekvation kommer inte att vara svår att lösa; x \u003d 1. Men nummer 1 kommer inte att vara det här ekvationer. Varför? Nämnda enheten i ekvationen istället för värdet av X. och i höger och i den vänstra delen kommer uttryck som inte är meningsfulla, det vill säga. Detta värde är inte tillåtet för kvadratrot. Därför är 1 en yttre rot, och därför har denna ekvation inte rötter.

Så, den irrationella ekvationen löses med konstruktionsmetoden för båda delarna i torget. Och lösa ekvationen är det nödvändigt att skära av utländska rötter. För att göra detta, ersätt rötterna som finns i den ursprungliga ekvationen.

Tänk på en annan.
2x + vx-3 \u003d 0
Naturligtvis kan denna ekvation lösas med samma som den föregående. Överför Composure ekvationerAtt inte ha en kvadratisk rot, på höger sida och ytterligare använda metoden att träna i torget. Lös den resulterande rationella ekvationen och rötterna. Men en annan, mer elegant. Ange en ny variabel; Vx \u003d y. Följaktligen kommer du att få ekvationen av 2Y2 + Y-3 \u003d 0 ekvationen. Det är den vanliga kvadratiska ekvationen. Hitta det rötterna; Y1 \u003d 1 och Y2 \u003d -3 / 2. Beslut sedan två ekvationer Vx \u003d 1; VX \u003d -3 / 2. Den andra ekvationen av rötter har inte, från den första vi finner att x \u003d 1. Glöm inte behovet av att kontrollera rötterna.

Det är lätt att lösa identiteter. För att göra detta måste du göra identiska omvandlingar tills målet är uppnått. Således, med hjälp av enkla aritmetiska åtgärder, kommer uppgiften att lösas.

Du kommer behöva

- papper;
- en penna.

Instruktion

Det enklaste av sådana transformationer är algebraisk förkortad multiplikation (såsom summan av summan (skillnad), skillnaden i kvadrater, mängden (skillnad), kubmängden (skillnad)). Dessutom finns det många och trigonometriska formler som är iboende dessa identiteter.

Faktum är att kvadraten av summan av de två komponenterna är lika med kvadraten av den första plus en snodd produkt av den första till den andra och plus torget av den andra, det vill säga (A + B) ^ 2 \u003d (a + b) (A + B) \u003d A ^ 2 + AB + BA + B ^ 2 \u003d A ^ 2 + 2AB + B ^ 2.

Förenkla båda

Allmänna principer för lösning

Upprepa på läroboken om matematisk analys eller högre matematik, vilket är ett specifikt integrerat. Som ni vet är lösningen av en specifik integral en funktion, vars derivat kommer att ge ett källuttryck. Den här funktionen kallas primitiv. Enligt denna princip är de viktigaste integralerna byggda.
Bestäm syn på den integrerade funktionen, vilken av bordsintegrerna är lämplig i detta fall. Det är inte alltid möjligt att bestämma detta omedelbart. Ofta blir en tabellvy märkbar efter flera transformationer för att förenkla integrandfunktionen.

Metod för ersättning av variabler

Om integrandet är en trigonometrisk funktion, i det argument som är något polynom, försök sedan använda metoden för ersättning av variabler. För att göra detta, byt den polynomiska stående i argumentet till integrandfunktionen, på en ny variabel. Genom förhållandet mellan den nya och gamla variabeln bestämmer de nya integrationsgränserna. Differentiering av detta uttryck hittar en ny differential i. Således får du en ny typ av tidigare integrerade, nära eller till och med motsvarande något bord.

Lösningen av integralerna i den andra typen

Om det integrerade är integralet av den andra typen, måste vektorvyn av den integrerade funktionen, då du behöver använda övergångsreglerna från dessa integraler till skalär. Ett av dessa regler är förhållandet mellan Ostrograd Gauss. Denna lag gör att du kan flytta från flödet av rotorn av någon vektorfunktion till trippelintegralet på divergensen av detta vektorfält.

Ange integrationsgränser

Efter att ha hittat ett primärt behov av att ersätta integrationsgränserna. Först ersätt värdet av den övre gränsen i uttrycket för den primitiva. Du får ett nummer. Ta sedan bort ett annat nummer från det resulterande numret, den resulterande nedre gränsen i den primordiala. Om en av integrationsgränserna är oändlighet, då när du ersätter den i en primitiv funktion, måste du gå till gränsen och hitta vad uttrycket söker.
Om det integrerade är en tvådimensionell eller tredimensionell, måste du skildra geometriskt integrationsgränser för att förstå hur man räknar det integrerade. I själva verket kan det de tredimensionella integrationerna av integrationsgränserna vara helt plan som begränsar den integrerade volymen.

Förberedelser för slutlig testning i matematik innehåller en viktig sektion - "logaritmer". Uppgifter från detta ämne finns nödvändigtvis i användningen. Erfarenheten av de senaste åren visar att de logaritmiska ekvationerna orsakade svårigheter från många skolbarn. För att förstå hur man hittar rätt svar, och studenter med olika nivåer av förberedelser måste vara operativt att fullt ut klara dem.

Hyr ett certifieringstest med framgång med utbildningsportalen "Shkolkovo"!

Vid förberedelserna för en enda statlig undersökning kräver akademiker av gymnasier en pålitlig källa som ger den mest kompletta och korrekta informationen för den framgångsrika lösningen av testuppgifter. Textboken visar dock inte alltid vara till hands, och sökningen efter nödvändiga regler och formler på Internet tar ofta tid.

Den pedagogiska portalen "Shkolkovo" låter dig förbereda dig för provet på något ställe när som helst. Du kan hitta det bekvämaste tillvägagångssättet för repetition och assimilering av ett stort antal information om logaritmer, liksom med en och flera okända. Börja med lätta ekvationer. Om du klarade dem utan svårighet, gå till mer komplexa. Om du har några problem med att lösa en viss ojämlikhet, kan du lägga till den i "Favoriter" för att återvända till det senare.

Hitta de nödvändiga formlerna för att utföra uppgiften, upprepa de speciella fallen och metoderna för att beräkna roten till den vanliga logaritmiska ekvationen, du kan, titta på avsnittet "Teoretisk hjälp". Lärare "Shkolkovo" samlades, systematiserades och skisserade alla material som behövs för den framgångsrika leveransen i den mest enkla och begripliga formen.

Att klara utan svårighet med uppgifterna för någon komplexitet, på vår portal kan du bekanta dig med lösningen av några typiska logaritmiska ekvationer. För att göra detta, gå till avsnittet "Kataloger". Vi har ett stort antal exempel, inklusive med ekvationerna av profilnivån i tentamen i matematik.

Elever från skolor i hela Ryssland kan dra nytta av vår portal. För att starta klasser, registrera du bara i systemet och fortsätt till lösa ekvationer. För att säkra resultaten rekommenderar vi dig att återvända till webbplatsen "Skolkovo" dagligen.

Logaritmiska ekvationer. Från enkel - till komplexa.

Uppmärksamhet!
Detta ämne har ytterligare
Material i en speciell avsnitt 555.
För dem som är starkt "inte mycket ..."
Och för dem som är "mycket ...")

Vad är en logaritmisk ekvation?

Detta är ekvationen med logaritmer. Så förvånad, ja?) Då kommer jag att klargöra. Detta är en ekvation där okänd (Xers) och uttryck med dem är inuti logaritmer. Och bara där! Det är viktigt.

Här är exempel logaritmiska ekvationer:

log 3 x \u003d log 3 9

log 3 (x 2 -3) \u003d log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) \u003d 2

lg 2 (x + 1) +10 \u003d 11lg (x + 1)

Tja, du förstod ... )

Notera! En mängd olika uttryck med håligheter är belägna exceptionellt inuti logaritmer. Om, plötsligt, kommer ekvationen att detekteras av x någonstans utanför, t.ex:

log 2 x \u003d 3 + x,

det kommer redan att vara en blandad typ ekvation. Sådana ekvationer har inte tydliga regler för lösningar. Vi kommer inte att överväga dem än. Förresten är det ekvationer där inuti logaritmer endast siffror. Till exempel:

Vad säger du här? Lycklig dig, om det blev så! Logaritm med siffror är något nummer.Och det är allt. Det är nog att känna till logaritms egenskaper för att lösa en sådan ekvation. Kunskap om speciella regler, tekniker anpassade att lösa logaritmiska ekvationer Ej nödvändigt här.

Så, vad är en logaritmisk ekvation - räknas ut.

Hur löser man logaritmiska ekvationer?

Beslut logaritmiska ekvationer - Det, faktiskt, inte så enkelt. Så och sektionen med oss \u200b\u200b- den fjärde ... Det kräver en anständig kunskapsförsörjning för alla intilliggande ämnen. Dessutom finns det en speciell funktion i dessa ekvationer. Och chipet är så viktigt att det säkert kan kallas huvudproblemet för att lösa logaritmiska ekvationer. Vi förstår i detalj i detalj detta problem i nästa lektion.

Och nu - oroa dig inte. Vi kommer att gå på rätt sätt från enkel till komplex. På specifika exempel. Det viktigaste är att komma in i enkla saker och inte vara lat för att gå längs länkarna, jag satte dem inte så mycket ... och allt kommer att visa sig. Nödvändigtvis.

Låt oss börja med de mest elementära, enklaste ekvationerna. För att lösa dem är det önskvärt att ha en idé om logaritm, men inte mer. Bara utan koncept logaritm Att fatta ett beslut logaritmisk Ekvationer - på något sätt obehagligt ens ... mycket djärvt, skulle jag säga).

De enklaste logaritmiska ekvationerna.

Dessa är ekvationerna i formuläret:

1. Log 3 x \u003d log 3 9

2. Log 7 (2x-3) \u003d Log 7 x

3. Log 7 (50x-1) \u003d 2

Processlösning någon logaritmisk ekvation Det är att övergå från ekvationen med logaritmer till ekvationen utan dem. I de enklaste ekvationerna utförs denna övergång i ett steg. Därför är det enklaste.)

Och sådana logaritmiska ekvationer är överraskande löst. Se dig själv.

Vi löser det första exemplet:

log 3 x \u003d log 3 9

För att lösa detta exempel, inget att veta och inte behöver, ja ... rent intuition!) Vad gör vi framförallt Gillar inte det här exemplet? Vad ... Logaritmer gillar inte! Rätt. Så bli av med dem. Vi ser till exempel till exempel, och vi har en naturlig önskan ... kontinuerligt oöverstiglig! Ta och kasta ut logaritmer alls. Och vad som glädjer det burk Att göra! Matematik tillåter. Logaritmer försvinner Det visar sig svaret:

Bra, eller hur? Så det är möjligt (och nödvändigt) att göra alltid. Eliminering av logaritmer är på samma sätt liknande - ett av de grundläggande sätten att lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. I matematik kallas denna operation potentiering. Det finns naturligtvis sina egna regler för sådan likvidation, men det finns få av dem. Kom ihåg:

Likvidation av logaritmer utan några problem, om de har:

a) identiska numeriska baser

c) Logariterna på vänster-höger ren (utan några koefficienter) och är i stolt ensamhet.

Jag kommer att förklara det sista objektet. Låt oss säga

log 3 x \u003d 2log 3 (3x-1)

det är omöjligt att ta bort logaritmer. Två höger tillåter inte. Koefficient, du förstår ... i exemplet

log 3 x + log 3 (x + 1) \u003d log 3 (3 + x)

också kan inte vara potentiell ekvation. Det finns ingen ensam logaritm på vänster sida. Det finns två av dem.

Kort sagt, det är möjligt att ta bort logaritmer om ekvationen ser ut så här och precis som den här:

logga a (.....) \u003d logga a (.....)

I parentes där ellipsen kan vara något uttryck. Enkel, supersaktion, alla sorters. Någon tack. Det är viktigt att vi efter eliminering av logaritmer har förbli enare enkel ekvation.Naturligtvis förväntas det lösa linjär, fyrkantig, fraktionerad, vägledande och andra ekvationer utan logaritmer som du redan vet hur.)

Nu kan du enkelt lösa det andra exemplet:

log 7 (2x-3) \u003d log 7 x

I själva verket är i åtanke löst. Vi kommer att förstärka, vi får:

Tja, mycket svårt?) Som du kan se logaritmisk En del av lösningen av ekvationen är endast i eliminering av logaritmer ... Och då finns det ett beslut av den återstående ekvationen redan utan dem. Trivial.

Vi löser det tredje exemplet:

log 7 (50x-1) \u003d 2

Vi ser att vänster är logaritmen:

Vi kommer ihåg att denna logaritm är ett nummer där basen ska genomföras (dvs sju) för att få ett legitimt uttryck, d.v.s. (50x-1).

Men det här numret är två! Genom ekvation. Det är:

Här, i huvudsak, och det är det. Logaritm försvunnen Den ofarliga ekvationen förblir:

Vi löste denna logaritmiska ekvation baserad endast på betydelsen av logaritmen. Vad, eliminerar logaritmer är fortfarande lättare?) Jag håller med. Förresten, om du gör från de två logaritmen, kan du lösa detta exempel och genom eliminering. Från vilket nummer du kan göra logaritm. Och vad vi behöver. Mycket användbar teknik för att lösa logaritmiska ekvationer och (särskilt!) Ojämlikheter.

Vet inte hur man gör logaritmen!? Inget fel. I avsnitt 555 beskrivs denna upptagning i detalj. Du kan behärska och tillämpa den på hela spolen! Det minskar stort antal fel.

Helt liknar (per definition), är den fjärde ekvationen löst:

Det är allting.

Låt oss sammanfatta den här lektionen. Vi tittade på exemplen på de enklaste logaritmiska ekvationerna. Det är väldigt viktigt. Och inte bara för att sådana ekvationer är i testande tentor. Faktum är att även de mest onda och frysade ekvationerna är nödvändigtvis reducerade till det enklaste!

Egentligen är de enklaste ekvationerna den slutliga delen av beslutet några ekvationer. Och den här finishen måste förstås järn! Och vidare. Var noga med att läsa den här sidan till slutet. Det finns en överraskning ...)

Vi bestämmer dig nu. Lägg din hand, så att säga ...)

Hitta roten (eller mängden rötter, om det finns flera av dem) ekvationer:

ln (7x + 2) \u003d ln (5x + 20)

log 2 (x 2 +32) \u003d log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) \u003d 0,25

log 0.2 (3x-1) \u003d -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) \u003d Log 2 7 + 2

Svar (i oordning): 42; 12; nio; 25; 7; 1,5; 2; sexton.

Vad gör det inte allt? Det händer. Sörj inte! I avsnitt 555 är lösningen av alla dessa exempel målade och i detalj. Det kommer definitivt att förstå. Ja, och användbara praktiska tekniker är behärskade.

Allt fungerade!? Alla exempel på "en vänster"?) Grattis!

Det är dags att öppna den bittera sanningen till dig. Framgångsrik lösning av dessa exempel garanterar inte framgång för att lösa alla andra logaritmiska ekvationer. Även det enklaste som detta. Ack.

Faktum är att lösningen av någon logaritmisk ekvation (även den mest elementära!) Består av två lika delar. Lösning av ekvationen och arbeta med OTZ. En del är lösningen av själva ekvationen - vi har behärskat. Inte så svårt rätt?

För denna lektion plockade jag specifikt sådana exempel där OTZ inte påverkar svaret. Men inte allt så bra, hur mår jag, eller hur ...)

Därför är det nödvändigt att behärska den andra delen. Udda Detta är det största problemet med att lösa logaritmiska ekvationer. Och inte för att det är svårt - den här delen är ännu enklare. Och eftersom Otz bara glömmer. Eller vet inte. Eller båda). Och falla på samma plats ...

I nästa lektion kommer vi att hantera detta problem. Då kommer det att vara möjligt att konfidentiellt bestämma några Okomplicerade logaritmiska ekvationer och sömlösa till ganska solida uppgifter.

Om du gillar den här sidan ...

Förresten har jag ett annat par intressanta platser för dig.)

Det kan nås i att lösa exempel och ta reda på din nivå. Test med omedelbar kontroll. Lär dig - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivat.