Första nivån

Kvadratisk ekvation. Utmattningsguide (2019)

När det gäller "fyrkantig ekvation" är nyckeln ordet "kvadrat". Det innebär att variabeln måste vara närvarande i ekvationen (samma IX) på torget, och det borde finnas inga IC i den tredje (och större) graden.

Lösningen av många ekvationer reduceras för att lösa exakt fyrkantiga ekvationer.

Låt oss lära dig hur man bestämmer att vi har en fyrkantig ekvation, och inte någon annan.

Exempel 1.

Varje medlem av ekvationen på denominatorn och dominariteten kommer att bli av med nämnaren

Vi överför allt till vänster och placera medlemmarna i fallande ordning av ICA

Nu kan du med förtroende för att denna ekvation är kvadratisk!

Exempel 2.

Inhemsk vänster och höger sida på:

Denna ekvation, även om det ursprungligen var i det, är inte kvadrat!

Exempel 3.

Doming All On:

Skrämmande? Den fjärde och andra graden ... Men om vi ersätter, så ser vi att vi har en enkel kvadratisk ekvation:

Exempel 4.

Det verkar vara, men låt oss se uppmärksamt. Vi överför allt till vänster:

Se, minskade - och nu är det en enkel linjär ekvation!

Försök nu bestämma vilken av följande ekvationer som är kvadrat, och som nr:

Exempel:

Svar:

1. fyrkant;
2. fyrkant;
3. inte kvadratisk;
4. inte kvadratisk;
5. inte kvadratisk;
6. fyrkant;
7. inte kvadratisk;
8. fyrkant.

Matematik skiljer konventionellt alla kvadratiska ekvationer på typen:

• Fullständiga ekvationer - Ekvationer i vilka koefficienter och, såväl som en fri medlem inte är lika med noll (som i exemplet). Dessutom fördelar bland fulla kvadratiska ekvationer presenterad - Det här är ekvationer där koefficienten (ekvation från exemplet inte bara är färdig, men också ges!)

• Ofullständiga kvadratiska ekvationer - Ekvationer där koefficienten och den fria medlemmen är noll:

  Ofullständigt, för att de saknar något slags föremål. Men ekvationen ska alltid vara närvarande på torget !!! Annars kommer det inte att vara fyrkantigt, men någon annan ekvation.

Varför kom du med en sådan division? Det verkar som om det finns x på torget, och okej. En sådan uppdelning beror på metoderna för lösningar. Tänk på var och en av dem mer detaljerat.

Beslut av ofullständiga kvadratiska ekvationer

Till att börja med kommer vi att sluta med att lösa ofullständiga kvadratiska ekvationer - de är mycket enklare!

Ofullständiga kvadratiska ekvationer är typer:

1. I denna ekvation är koefficienten lika.
2. I denna ekvation är en fri medlem lika.
3. I denna ekvation är koefficienten och den fria delen lika.

1. och. Som vi vet hur man extraherar en fyrkantig rot, låt oss uttrycka från denna ekvation

Uttrycket kan vara både negativt och positivt. Det antal som uppförts i torget kan inte vara negativt, för med multiplicering av två negativa eller två positiva siffror - kommer resultatet alltid att vara ett positivt tal, så att ekvationen inte har lösningar.

Och om du får två rötter. Dessa formler behöver inte memorera. Det viktigaste du borde veta och minnas alltid att det kanske inte är mindre.

Låt oss försöka lösa några exempel.

Exempel 5:

Bestäm ekvation

Nu är det fortfarande att tas bort från vänster och höger sida. Trots allt kommer du ihåg hur man extraherar rötter?

Svar:

Glöm aldrig rötter med ett negativt tecken !!!

Exempel 6:

Bestäm ekvation

Svar:

Exempel 7:

Bestäm ekvation

åh! Kvadraten av numret kan inte vara negativt, vilket betyder ekvationen

inga rötter!

För sådana ekvationer där det inte finns några rötter, kom matematik med en speciell ikon - (tom uppsättning). Och svaret kan skrivas som:

Svar:

Således har denna fyrkantiga ekvation två rötter. Det finns inga restriktioner här, eftersom vi inte tog bort roten.
Exempel 8:

Bestäm ekvation

Jag kommer att sammanfatta fästena:

På det här sättet,

Denna ekvation har två rötter.

Svar:

Den enklaste typen av ofullständiga kvadratiska ekvationer (även om de är alla enkla, eller hur?). Självklart har denna ekvation alltid bara en rot:

Här kommer vi att göra utan exempel.

Lösa fulla kvadratiska ekvationer

Vi påminner dig om att den fullständiga kvadratiska ekvationen är ekvationen av ekvationen där

Lösningen av kompletta kvadratiska ekvationer är lite mer komplicerad (mycket något) än ovanstående.

Kom ihåg, vilken som helst kvadratisk ekvation kan lösas med hjälp av diskriminering! Till och med ofullständig.

Resten av sätten kommer att hjälpa till att göra det snabbare, men om du har problem med kvadratiska ekvationer, till att börja med, kallas lösningen med hjälp av diskriminerande.

1. Lösningen av kvadratiska ekvationer med hjälp av diskriminering.

Lösningen av kvadratiska ekvationer på det här sättet är väldigt enkelt, det viktigaste är att komma ihåg sekvensen av handlingar och ett par formler.

Om ekvationen har en grund av särskild uppmärksamhet att betala ett steg. Diskriminering () indikerar oss om antalet rötter av ekvationen.

• Om, då är formeln reducerad till. Således kommer ekvationen att ha en hel rot.
• Om vi \u200b\u200binte kommer att kunna extrahera roten från diskrimineringen i steg. Detta indikerar att ekvationen inte har rötter.

Låt oss återvända till våra ekvationer och överväga flera exempel.

Exempel 9:

Bestäm ekvation

Steg 1 Vi hoppar över.

Steg 2.

Vi finner diskriminering:

Så ekvationen har två rötter.

Steg 3.

Svar:

Exempel 10:

Bestäm ekvation

Ekvationen presenteras i en standardform, så Steg 1 Vi hoppar över.

Steg 2.

Vi finner diskriminering:

Så ekvationen har en rot.

Svar:

Exempel 11:

Bestäm ekvation

Ekvationen presenteras i en standardform, så Steg 1 Vi hoppar över.

Steg 2.

Vi finner diskriminering:

Det kommer inte att kunna extrahera roten från diskrimineringen. Ekvationens rötter existerar inte.

Nu vet vi hur man skriver sådana svar på rätt sätt.

Svar:Inga rötter

2. Lösning av kvadratiska ekvationer med hjälp av Vieta-teorem.

Om du kommer ihåg det, är det en sådan typ av ekvationer som kallas presenterade (när koefficienten A är lika med):

Sådana ekvationer är mycket lätta att lösa med hjälp av Vieta-teorem:

Summan av rötterna specificerad Den kvadratiska ekvationen är lika, och produkten av rötterna är lika.

Exempel 12:

Bestäm ekvation

Denna ekvation är lämplig för att lösa med VIETA-teoremet, eftersom .

Mängden av ekvationens rötter är lika, d.v.s. Vi får den första ekvationen:

Och arbetet är:

Vi kommer också att bestämma systemet:

• och. Mängden är lika
• och. Mängden är lika
• och. Beloppet är lika.

och är lösningen av systemet:

Svar: ; .

Exempel 13:

Bestäm ekvation

Svar:

Exempel 14:

Bestäm ekvation

Ekvationen ges, och därför:

Svar:

KVADRATISK EKVATION. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Vad är en fyrkantig ekvation?

Med andra ord är den kvadratiska ekvationen ekvationen av den art där det okända är några siffror, och.

Numret heter äldste eller första koefficienten kvadrat ekvation - den andra koefficienten, men - fri medlem.

Varför? För om ekvationen omedelbart blir linjär, eftersom försvinna.

Samtidigt, och kan vara noll. I denna avföring kallas ekvationen ofullständig. Om alla komponenter är på plats, det vill säga är ekvationen fullständig.

Lösningar av olika typer av kvadratiska ekvationer

Metoder för att lösa ofullständiga kvadratiska ekvationer:

Till att börja med kommer vi att analysera metoderna för lösningar av ofullständiga kvadratiska ekvationer - de är enklare.

Du kan välja vilken typ av sådana ekvationer:

I. I denna ekvation är koefficienten och den fria medlemmen lika.

II. I denna ekvation är koefficienten lika.

III. I denna ekvation är en fri medlem lika.

Tänk nu lösningen av var och en av dessa subtyper.

Självklart har denna ekvation alltid bara en rot:

Antalet uppförda i torget kan inte vara negativt, eftersom resultatet av två negativa eller två positiva tal kommer att vara ett positivt tal. Därför:

om ekvationen inte har lösningar;

om vi \u200b\u200bhar lärt oss två rötter

Dessa formler behöver inte memorera. Det viktigaste att komma ihåg att det kanske inte är mindre.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Glöm aldrig rötter med ett negativt tecken!

Kvadraten av numret kan inte vara negativt, vilket betyder ekvationen

inga rötter.

För att kort registrera att uppgiften inte har några lösningar, använd en tom inställd ikon.

Svar:

Så, denna ekvation har två rötter: och.

Svar:

Jag kommer att sammanfatta fabriken för parentes:

Produkten är noll, om åtminstone en av multiplikatorerna är noll. Detta innebär att ekvationen har en lösning när:

Så, denna fyrkantiga ekvation har två rötter: och.

Exempel:

Bestämma ekvation.

Beslut:

Sprid den vänstra delen av fabriksekvationen och hitta rötterna:

Svar:

Metoder för att lösa fulla kvadratiska ekvationer:

1. Diskriminering

Lösning av kvadratiska ekvationer på detta sätt är det viktigaste att komma ihåg sekvensen av handlingar och ett par formler. Kom ihåg att någon kvadratisk ekvation kan lösas med hjälp av diskriminering! Till och med ofullständig.

Märkte du roten från diskrimineringen i rotformeln? Men diskrimineringen kan vara negativ. Vad ska man göra? Vi måste ägna särskild uppmärksamhet åt steg 2. Diskriminkanten indikerar oss på antalet ekvationens rötter.

• Om ekvationen har en rot:
• Om ekvationen har samma rot, och i själva verket en rot:

  Sådana rötter kallas dubbla.

• Om den diskriminerande roten är inte borttagen. Detta indikerar att ekvationen inte har rötter.

Varför är det möjligt att olika antal rötter? Låt oss vända sig till den geometriska betydelsen av den kvadratiska ekvationen. Funktionsgrafen är parabola:

I ett visst fall, vilket är en fyrkantig ekvation. Och det betyder att rötterna på den kvadratiska ekvationen är korsningspunkterna med abscissens axel (axel). Parabola får inte korsa axeln alls, eller korsa den i en (när toppen av parabolen ligger på axeln) eller två punkter.

Dessutom är en koefficient ansvarig för riktningen för parabolens grenar. Om, parabolgrenarna riktas uppåt, och om den är nere.

Exempel:

Lösningar:

Svar:

Svar:.

Svar:

Så det finns inga lösningar.

Svar:.

2. Vieta teorem

Vietas teorem är väldigt lätt att använda: du behöver bara hämta ett sådant antal, vars produkt är lika med en fri medlem av ekvationen och mängden är den andra koefficienten som tagits med motsatt tecken.

Det är viktigt att komma ihåg att Teorem i Vieta endast kan användas i reducerade kvadratiska ekvationer ().

Tänk på några exempel:

Exempel nummer 1:

Bestämma ekvation.

Beslut:

Denna ekvation är lämplig för att lösa med VIETA-teoremet, eftersom . De återstående koefficienterna: .

Mängden av ekvationens rötter är:

Och arbetet är:

Vi kommer att välja sådana par av siffror, vars produkt är lika och kontrollera om deras summa är lika:

• och. Mängden är lika
• och. Mängden är lika
• och. Beloppet är lika.

och är lösningen av systemet:

Således är rötterna av vår ekvation.

Svar:; .

Exempel nummer 2:

Beslut:

Vi väljer sådana par nummer som ges i arbetet och kontrollera sedan om deras summa är lika med:

och: i det belopp de ger.

och: i det belopp de ger. Att få nog att bara ändra tecknen på de påstådda rötterna: och eftersom arbetet.

Svar:

Exempel nummer 3:

Beslut:

Den fria medlemmen av ekvationen är negativ, vilket innebär att produkten av rötterna - ett negativt tal. Detta är endast möjligt om en av rötterna är negativa, och den andra är positiv. Därför är mängden rötterna lika skillnaderna i deras moduler.

Vi kommer att välja sådana par av siffror som ges i arbetet och vars skillnad är lika med:

och: deras skillnad är lika - inte lämplig;

och: - Ej lämplig;

och: - Ej lämplig;

och: - lämplig. Det är bara att komma ihåg att en av rötterna är negativa. Eftersom deras belopp ska vara lika, bör en negativ vara en mindre rotmodul :. Kolla upp:

Svar:

Exempel nummer 4:

Bestämma ekvation.

Beslut:

Ekvationen ges, och därför:

Den fria delen är negativ, och därför är produkten av rötterna negativ. Och detta är endast möjligt när en rot av ekvationen är negativ, och den andra är positiv.

Vi väljer sådana par av siffror, vars produkt är lika, och sedan definierar vi vilka rötter som ska ha ett negativt tecken:

Självklart är bara rötter lämpliga för det första tillståndet och:

Svar:

Exempel nummer 5:

Bestämma ekvation.

Beslut:

Ekvationen ges, och därför:

Mängden rötterna är negativa, vilket innebär att åtminstone en av rötterna är negativa. Men eftersom deras arbete är positivt betyder det båda rötterna med ett minustecken.

Vi väljer sådana par av siffror, vars produkt är:

Självklart är rötterna siffror och.

Svar:

Enig, det är väldigt bekvämt - att uppfinna rötter oralt, istället för att överväga denna otäcka diskriminering. Försök att använda Theorem i Vieta så mycket som möjligt.

Men Vieta-teorem behövs för att underlätta och påskynda upptäckten av rötterna. För att hjälpa dig att använda det måste du ta med åtgärder till automatism. Och för detta, förtalande mer klackar av exempel. Men inte en skalning: Diskriminering kan inte användas! Endast Vieta-teorem:

Uppgiftslösningar för självständigt arbete:

Uppgift 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

På Vieta-teorem:

Som vanligt börjar vi valet av arbetet:

Passar inte för att beloppet

: Belopp - vad du behöver.

Svar:; .

Uppgift 2.

Och igen, vår favorit Vieta-teorem: i beloppet bör visa sig, och arbetet är lika.

Men eftersom det inte borde vara, men ändrar tecknen på rötterna: och (i mängden).

Svar:; .

Uppgift 3.

Hmm ... och var är vad?

Det är nödvändigt att överföra alla villkor i en del:

Mängden av rötterna är lika, arbetet.

Så, sluta! Ekvationen ges inte. Men Vieta-teorem är endast tillämplig i ovanstående ekvationer. Så först måste du ta med ekvationen. Om du inte arbetar, kasta den här idén och bestämma på ett annat sätt (till exempel genom diskriminering). Låt mig påminna dig om att den kvadratiska ekvationen - det betyder att göra en ledande koefficient till:

Excellent. Då är mängden av rötterna lika och arbetet.

Här är det lättare att plocka upp enkelt: trots allt ett enkelt antal (ledsen för tautologi).

Svar:; .

Uppgift 4.

Fri medlem är negativ. Vad är speciellt i det här? Och det faktum att rötterna kommer att vara olika tecken. Och nu under urvalet kontrollerar vi inte rötterna, men skillnaden mellan sina moduler: Denna skillnad är lika och arbetet.

Så, rötterna är lika och, men en av dem med en minus. Vieta-teorem berättar att mängden av rötterna är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, det vill säga. Så minus kommer att vara i mindre rot: och sedan.

Svar:; .

Uppgift 5.

Vad måste göras först? Rätt, ta med ekvationen:

Återigen: Vi väljer multiplikatorerna i numret, och deras skillnad bör vara lika:

Rötterna är lika och, men en av dem med en minus. Vad? Deras belopp bör vara lika, det betyder att minus kommer att vara större rot.

Svar:; .

Jag kommer att sammanfatta:

1. Vieta-teorem används endast i de givna kvadratiska ekvationerna.
2. Med hjälp av Vieta-teorem kan du hitta rötterna genom valet, oralt.
3. Om ekvationen inte ges eller det inte finns något lämpligt par multiplikatorer av en fri del, vilket innebär att det inte finns några hela rötter, och det är nödvändigt att lösa en annan metod (till exempel genom diskriminering).

3. Metod för allokering av en hel torg

Om alla villkor som innefattar ett okänt, att presentera i form av komponenterna i den förkortade multiplikationen av summan av summan eller skillnaden, kan sedan efter att ha ersatt variablerna, en ekvation i form av en ofullständig kvadratisk ekvation av typ representeras .

Till exempel:

Exempel 1:

Bestäm ekvation :.

Beslut:

Svar:

Exempel 2:

Bestäm ekvation :.

Beslut:

Svar:

I allmänhet kommer omvandlingen att se ut så här:

Detta medför: .

Ingenting påminner? Detta är det diskriminerande! Det är det, den diskriminerande formeln och har.

KVADRATISK EKVATION. Kortfattat om det viktigaste

Kvadratisk ekvation- Detta är ekvationen av arten, där - det okända, - koefficienterna för den kvadratiska ekvationen, är en fri medlem.

Fullständig kvadratisk ekvation - Ekvation i vilken koefficienterna inte är lika med noll.

Den reducerade kvadratiska ekvationen - Ekvation i vilken koefficienten, det vill säga :.

Ofullständig kvadratisk ekvation - Ekvation i vilken koefficienten och den fria medlemmen är noll:

• om koefficienten är ekvationen:
• om en fri medlem har ekvationen formen:
• om ekvationen har formen :.

1. Algoritmlösning Ofullständiga kvadratiska ekvationer

1,1. En ofullständig kvadratisk ekvation av arten där ::

1) Uttryck det okända:

2) Kontrollera tecknet på uttryck:

• om ekvationen inte har lösningar,
• om ekvationen har två rötter.

1,2. En ofullständig kvadratisk ekvation av arten där ::

1) Jag kommer att sammanfatta fabriken för parentes:

2) Produkten är noll, om åtminstone en av multiplikatorerna är noll. Därför har ekvationen två rötter:

1,3. En ofullständig kvadratisk ekvation av arten, där:

Denna ekvation har alltid bara en rot :.

2. Algoritm för att lösa fulla fyrkantiga ekvationer av arten där

2.1. Lösning med hjälp av diskriminerande

1) Vi ger ekvationen till standardformuläret:

2) Beräkna diskrimineringen enligt formeln: vilket indikerar antalet rötter av ekvationen:

3) Hitta ekvationens rötter:

• om ekvationen har en rot som finns i formeln:
• om ekvationen har roten, som är med formeln:
• om ekvationen inte har rötter.

2,2. Lösning med hjälp av Vieta-teorem

Summan av rötterna av den reducerade kvadratiska ekvationen (ekvation av formen, där) är lika, och produkten av rötterna är lika, d.v.s. , men.

2,3. Lösning av en fullständig kvadratfördelningsmetod

Vietas teorem (mer exakt, teorem, omvända teorem i Vieta), minskar tiden för att lösa kvadratiska ekvationer. Behöver bara kunna använda den. Hur man lär sig att lösa kvadratiska ekvationer på Vieta-teoremet? Det är lätt, om vi mognar lite.

Nu kommer vi bara att prata om lösningen på teoreten av Vieta av den nuvarande kvadratiska ekvationen. Den levererade kvadratiska ekvationen är en ekvation, i vilken A, det vill säga koefficienten framför X ^ är lika med en. Du kan inte heller lösa de kvadratiska ekvationerna på Vieta-teoret, men det finns redan minst en av rötterna är inte ett heltal. Det är svårare att gissa.

Teorem, VIETA: s omvända, säger: Om siffrorna X1 och X2 är sådana att

då x1 och x2 - rötterna av den kvadratiska ekvationen

Vid lösning av en fyrkantig ekvation på Theorem är Vieta endast möjlig 4 alternativ. Om du kommer ihåg det resonemang, kan det vara mycket snabbt att hitta hela rötterna.

I. Om Q är ett positivt tal,

det betyder att rötterna i X1 och X2 är antalet samma tecken (eftersom endast multiplicering av siffror med samma tecken är ett positivt tal).

I.a. Om -P är ett positivt tal, (respektive p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Om -P är ett negativt tal, (respektive p\u003e 0), då är båda rötterna negativa tal (det fanns antal ett tecken, ett negativt tal erhölls).

II. Om q är ett negativt tal,

detta innebär att rötterna av X1 och X2 har olika tecken (med multiplikation av siffror ett negativt tal endast erhålls i det fall då det finns olika tecken från multiplikatorer). I det här fallet är X1 + X2 inte längre mängden, men av skillnaden (för att när du lägger till siffror med olika tecken kommer vi att dra mindre från den mindre modulen). Därför visar X1 + X2 hur mycket rötterna av X1 och X2 är olika, det vill säga hur mycket en rot är större än den andra (med modul).

II.A. Om -P är ett positivt tal, (dvs P<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.B. Om -P är ett negativt tal, (P\u003e 0), desto större (modul) är ett negativt tal.

Tänk på lösningen av kvadratiska ekvationer på Vieta-teoremet på exemplen.

Lös den reducerade kvadratiska ekvationen på Vieta-teorem:

Här q \u003d 12\u003e 0, så är rötterna av X1 och X2 antalet ett tecken. Deras belopp är -P \u003d 7\u003e 0, så båda rötterna är positiva siffror. Vi väljer heltal vars produkt är 12. Detta är 1 och 12, 2 och 6, 3 och 4. Mängden är 7 i paret 3 och 4. Så, 3 och 4 är ekvationens rötter.

I det här exemplet betyder Q \u003d 16\u003e 0 att rötterna är X1 och X2 - antalet ett tecken. Deras belopp är -P \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Här q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 är det längre numret positivt. Så, rötterna är 5 och -3.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

I matematik finns speciella tekniker med vilka många fyrkantiga ekvationer löses mycket snabbt och utan några diskriminer. Dessutom, med korrekt träning, börjar många att lösa kvadratiska ekvationer oralt, bokstavligen "vid första anblicken."

Tyvärr, i den moderna kursen av skolmatematik, är sådan teknik nästan inte studerat. Och du behöver veta! Och idag kommer vi att titta på en av dessa tekniker - Vieta-teorem. Till att börja med introducerar vi en ny definition.

Den fyrkantiga ekvationen av formen X2 + BX + C \u003d 0 kallas ovanstående. Obs! Koefficienten vid X 2 är 1. Inga andra restriktioner för koefficienterna är inte överlagda.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 är en given kvadratisk ekvation;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - också ges
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - men det här är inte nifigt, eftersom koefficienten vid x 2 är 2.

Naturligtvis kan någon kvadratisk ekvation av typen AX 2 + BX + C \u003d 0 göras givet - det är tillräckligt att dela alla koefficienter till numret A. Vi kan alltid göra det, eftersom det följer av definitionen av den kvadratiska ekvationen, att A ≠ 0.

Det är sant att inte alltid dessa omvandlingar vara användbara för att hitta rötter. Strax nedan ser vi till att det bara är nödvändigt när det är i den slutliga kvadraten i ekvationen, alla koefficienterna kommer att vara heltal. Under tiden, överväga de enklaste exemplen:

En uppgift. Konvertera en kvadratisk ekvation till ovanstående:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Vi delar varje ekvation på koefficienten med en variabel X 2. Vi får:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - dividerat med alla med 3;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - uppdelad i -4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dividerat med 1,5, alla koefficienter blev heltal;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5.5 \u003d 0 - dividerat med 2. I detta fall uppstod fraktionskoefficienter.

Som du kan se kan de presenterade kvadratiska ekvationerna ha hela koefficienter även om den ursprungliga ekvationen innehöll fraktionen.

Nu formulerar vi huvudteorem för vilken faktiskt begreppet en given kvadratekvation infördes:

Vieta teorem. Tänk på den givna kvadratiska ekvationen av formen X2 + BX + C \u003d 0. Antag att denna ekvation har giltiga rötter x 1 och x 2. I det här fallet är följande påståenden sanna:

1. x 1 + x 2 \u003d -b. Med andra ord är summan av rötterna av den nuvarande kvadratiska ekvationen lika med koefficienten med en variabel X, tagen med motsatt tecken;
2. x 1 · x 2 \u003d c. Produkten av rötterna av den kvadratiska ekvationen är lika med den fria koefficienten.

Exempel. För enkelhet kommer vi att överväga endast ovanstående kvadratiska ekvationer som inte kräver ytterligare omvandlingar:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (-9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 20; rötter: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -2; x 1 · x 2 \u003d -15; rötter: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d 4; rötter: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vieta-teorem ger oss ytterligare information om rötterna i den kvadratiska ekvationen. Vid första anblicken kan det verka svårt, men även med en minsta träning kommer du att lära dig att "se" rötterna och gissa dem i sekunder.

En uppgift. Lös den kvadratiska ekvationen:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Låt oss försöka skriva koefficienterna på Theorem of Vieta och "Gissa" rötterna:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 är en given kvadratisk ekvation.
   Vid teoret har vi: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Det är lätt att märka att rötterna är nummer 2 och 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - också ges.
   Av Vieta-teorem: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 · x 2 \u003d 27. Därför rötterna: 3 och 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - Denna ekvation ges inte. Men vi kommer att korrigera det nu, dela båda sidor av ekvationen till koefficienten A \u003d 3. Vi erhåller: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Vi bestämmer oss på Veetore-teorem: x 1 + x 2 \u003d -11; x 1 · x 2 \u003d 10 ⇒ rötter: -10 och -1;
4. -7X 2 + 77X - 210 \u003d 0 - igen är koefficienten vid X2 inte lika med 1, dvs Ekvationen ges inte. Vi delar upp allt till numret A \u003d -7. Vi får: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   Av Vieta-teorem: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 · x 2 \u003d 30; Av dessa ekvationer är det lätt att gissa rötterna: 5 och 6.

Från ovanstående resonemang ses det hur Vieta-teorem förenklar lösningen av fyrkantiga ekvationer. Inga sammansatta beräkningar, inga aritmetiska rötter och fraktioner. Och till och med diskriminering (se lektionens "lösning av kvadratiska ekvationer") vi behövde inte.

Naturligtvis fortsatte vi i alla reflektioner från två viktiga antaganden, som i allmänhet inte alltid utförs i riktiga uppgifter:

1. Den kvadratiska ekvationen ges, dvs Koefficienten vid X2 är 1;
2. Ekvationen har två olika rötter. Från Algebra synvinkel, i det här fallet Discriminant d\u003e 0 - antar vi initialt att denna ojämlikhet är sant.

Men i typiska matematiska uppgifter utförs dessa villkor. Om det, som ett resultat av beräkningarna, visade sig vara en "dålig" kvadratisk ekvation (koefficienten vid X 2 är annorlunda än 1), det är lätt att fixa - ta en titt på exemplen i början av lektionen. Om rötterna alls tyst: Vad är den här uppgiften där det inte finns något svar? Naturligtvis kommer rötterna att vara.

Således ser det allmänna systemet för att lösa kvadratiska ekvationer på Vieta-teorem så här:

1. Minska den kvadratiska ekvationen till den givna om den ännu inte har gjorts i tillståndet av problemet.
2. Om koefficienterna i den angivna kvadratiska ekvationen visade sig fraktionell, löser genom diskrimineringen. Du kan även återvända till den första ekvationen för att arbeta med mer "praktiska" siffror;
3. När det gäller heltalskoefficienter löser vi ekvationen på Vieta-teorem.
4. Om det inte lyckades gissa rötterna, gjorde det på Vieta-teoret och lösa genom diskrimineringen.

En uppgift. Bestäm ekvation: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Så framför oss är ekvationen som inte ges, för Koefficienten a \u003d 5. Vi delar upp alla med 5, vi får: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Alla koefficienterna för den kvadratiska ekvationen är heltal - vi kommer att försöka bestämma Vieta-teorem. Vi har: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. I det här fallet gissas rötterna lätt - det här är 2 och 5. Det är inte nödvändigt att räkna genom diskrimineringen.

En uppgift. Bestäm ekvationen: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Vi ser: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - Denna ekvation ges inte, vi delar upp båda sidor till koefficienten A \u003d -5. Vi erhåller: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - ekvation med fraktionella koefficienter.

Det är bättre att återvända till den ursprungliga ekvationen och räkna genom diskrimineringen: -5x 2 + 8x - 2,4 \u003d 0 ⇒ d \u003d 8 2 - 4 · (-5) · (-2,4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1,2; x 2 \u003d 0,4.

En uppgift. Lös ekvationen: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Till att börja med delar vi allt till koefficienten a \u003d 2. Det visar sig ekvation x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Detta är den reducerade ekvationen, på Vieta-teoremet, vi har: x 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d -300. Gissa rötterna i den kvadratiska ekvationen i det här fallet är svårt - personligen, jag är allvarligt "hängde" när jag löst den här uppgiften.

Vi måste leta efter rötter genom diskriminering: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (-300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Om du inte kommer ihåg roten från diskrimineringen, noterar jag helt enkelt att 1225: 25 \u003d 49. Därför 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Nu när den diskriminerande roten är känd, kommer ekvationen inte att lösas. Vi får: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

En av metoderna för lösningar av den kvadratiska ekvationen är applikationen vieta-formlersom kallades till ära av Francois Vieta.

Han var en berömd advokat, och tjänstgjorde på 1500-talet i den franska kungen. I sin fritid, engagerad i astronomi och matematik. Den har etablerat förhållandet mellan rötterna och koefficienterna för den kvadratiska ekvationen.

Fördelar med formel:

1 . Med hjälp av formeln kan du snabbt hitta en lösning. Eftersom du inte behöver ange den andra koefficienten på torget, sedan subtrahera 4as från den, hitta en diskriminering, att ersätta sitt värde i formeln för att hitta rötterna.

2 . Utan lösningar kan du definiera rötter tecken, hämta värdena på rötterna.

3 . Att bestämma systemet med två poster, det är lätt att hitta rötterna själva. I den nuvarande kvadratiska ekvationen är mängden av rötterna lika med värdet av den andra koefficienten med ett minustecken. Produkten av rötterna i den angivna kvadratiska ekvationen är lika med värdet av den tredje koefficienten.

4 . Enligt rötterna skriver du en kvadratisk ekvation, det vill säga att lösa den motsatta uppgiften. Till exempel används denna metod för att lösa problem i teoretisk mekanik.

5 . Det är lämpligt att använda formeln när den äldre koefficienten är lika med en.

Nackdelar:

1 . Formeln är inte universell.

Vieta Teorem Grade 8

Formel
Om x 1 och x 2 är rötterna på den givna kvadratiska ekvationen x 2 + px + q \u003d 0, då:

Exemplar
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ekvationens rötter x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P \u003d -2, q \u003d -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 \u003d -1 3 \u003d -3 \u003d Q.

Omvänd teorem

Formel
Om siffrorna X 1, X 2, P, q är relaterade till förhållandena:

Att x 1 och x 2 är rötterna av ekvationen x 2 + px + q \u003d 0.

Exempel
Låt oss göra en kvadratisk ekvation för sina rötter:

X 1 \u003d 2 -? 3 och x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p \u003d -4; Q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Den önskade ekvationen är: x 2 - 4x + 1 \u003d 0.

När du studerar hur man löser andra ordningens ekvationer i skolåret Algebra, överväga egenskaperna hos de mottagna rötterna. De är för närvarande kända under namnet Vieta-teorem. Exempel på att använda den ges i den här artikeln.

Kvadratisk ekvation

Den andra orderekvationen är jämlikhet som visas i bilden nedan.

Här är symbolerna A, B, C några siffror som bär namnet på koefficienterna för ekvationen som behandlas. För att lösa jämlikhet är det nödvändigt att hitta sådana X-värden som gör det sant.

Observera att sedan det maximala värdet av den grad i vilken X är uppförd är till två, är antalet rötter i det allmänna fallet också två.

För att lösa denna typ av ekvationer finns det flera sätt. I den här artikeln, överväga en av dem, vilket innebär att den så kallade Vieta-teoremen används.

Ordningen av Vieta-teorem

I slutet av XVI märkte den välkända matematikern Francois Vieta (franska) genom att analysera egenskaperna hos rötterna på olika fyrkantiga ekvationer som deras specifika kombinationer uppfyller specifika förhållanden. I synnerhet är dessa kombinationer sitt arbete och belopp.

Vieta-teorem ställer följande: Rötterna av den kvadratiska ekvationen under deras summa ger förhållandet mellan de linjära koefficienterna till den kvadratisk tagen med det motsatta tecknet, och när de produceras leder de till förhållandet mellan en fri medlem till den kvadratiska koefficient.

Om den allmänna uppfattningen av ekvationen spelas in enligt bilden i det föregående avsnittet av artikeln, kan matematiskt denna teorem registreras i form av två jämställdheter:

• r2 + R1 \u003d -B / A;
• r 1 x R2 \u003d C / A.

Där Ri, R2 är värdet av rötterna i ekvationen som behandlas.

Dessa likheter kan användas för att lösa ett antal olika matematiska uppgifter. Användningen av VIETA-teorem i exemplen med lösningen ges i följande delar av artikeln.