Integraalien ratkaisuprosessia tieteessä nimeltä "matematiikka" kutsutaan integraatioksi. Integraatiota voidaan käyttää löytääkseen joitain fyysisiä määriä: pinta-ala, tilavuus, kappaleiden massa ja paljon muuta.

Integraalit ovat epämääräisiä ja määrällisiä. Harkitse muotoa selvä integraali ja yritä ymmärtää sen fyysinen merkitys. Se esitetään seuraavasti: $$ \ int ^ a _b f (x) dx $$. Erottuva ominaisuus kirjoitetaan epämääräisen määrällinen integraali siten, että a:n ja b:n integroinnille on rajat. Nyt saamme selville, mitä varten ne ovat ja mitä kiinteä integraali edelleen tarkoittaa. Geometrisessä mielessä sellainen integraali yhtä suuri kuin pinta-ala kuvio, jota rajoittavat käyrä f (x), suorat a ja b sekä Ox-akseli.

Kuvasta 1 näkyy, että määrätty integraali on juuri pintamaalattu alue harmaana... Tarkastellaan asiaa yksinkertaisella esimerkillä. Etsitään kuvan alue alla olevasta kuvasta integroinnin avulla ja lasketaan se sitten tavalliseen tapaan kertomalla pituus leveydellä.

Kuva 2 osoittaa, että $ y = f (x) = 3 $, $ a = 1, b = 2 $. Nyt korvaamme ne integraalin määritelmään, saamme, että $$ S = \ int _a ^ bf (x) dx = \ int _1 ^ 2 3 dx = $$ $$ = (3x) \ Big | _1 ^ 2 = (3 \ cdot 2) - (3 \ cdot 1) = $$ $$ = 6-3 = 3 \ tekstiä (yksikköä) ^ 2 $$ Tarkistetaan tavalliseen tapaan. Meidän tapauksessamme pituus = 3, muodon leveys = 1. $$ S = \ teksti (pituus) \ cdot \ teksti (leveys) = 3 \ cdot 1 = 3 \ teksti (yksikköä) ^ 2 $ $ Kuten näet, kaikki sopi täydellisesti...

Herää kysymys: kuinka ratkaista epämääräiset integraalit ja mikä on niiden merkitys? Tällaisten integraalien ratkaisu on antiderivatiivisten funktioiden löytäminen. Tämä prosessi on johdannaisen löytämisen vastakohta. Löytääksesi antiderivaatan, voit käyttää apuamme matematiikan tehtävien ratkaisemisessa tai sinun täytyy itse muistaa tarkasti integraalien ominaisuudet ja yksinkertaisimpien perusfunktioiden integrointitaulukko. Löytö näyttää tältä $$ \ int f (x) dx = F (x) + C \ teksti (jossa) F (x) $ on $ f (x) antiderivaata, C = const $.

Integraalin ratkaisemiseksi sinun on integroitava funktio $ f (x) $ muuttujan suhteen. Jos funktio on taulukkomuotoinen, vastaus kirjoitetaan sisään sopiva muoto... Jos ei, niin prosessi pelkistetään taulukkofunktion saamiseksi funktiosta $ f (x) $ ovelilla matemaattisilla muunnoksilla. Tätä varten on erilaisia ​​menetelmiä ja ominaisuuksia, joita tarkastelemme seuraavaksi.

Joten nyt laaditaan algoritmi kuinka ratkaista integraalit nukkeille?

Algoritmi integraalien laskentaan

1. Tiedämmekö määrätyn integraalin tai emme.
2. Jos määrittämätön, sinun on löydettävä integrandin $ f (x) $ antiderivatiivinen funktio $ F (x) $ käyttämällä matemaattisia muunnoksia, jotka tuovat funktion $ f (x) $ taulukkomuotoon.
3. Jos se on selvä, sinun on suoritettava vaihe 2 ja korvattava sitten $ a $ ja $ b $ rajat antiderivatiivisessa funktiossa $ F (x) $. Opit millä kaavalla tämä tehdään artikkelista "Newton-Leibnizin kaava".

Esimerkkejä ratkaisuista

Opit siis ratkaisemaan integraaleja tutille, esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta lajiteltiin hyllyille. Opimme niiden fyysisen ja geometrisen merkityksen. Ratkaisumenetelmät kuvataan muissa artikkeleissa.

Epämääräisen integraalin (joukko antiderivaatteja tai "antiderivaatteja") löytäminen tarkoittaa funktion palauttamista tämän funktion tunnetusta johdannaisesta. Kunnostettu sarja antijohdannaisia F(x) + KANSSA toimintoa varten f(x) ottaa huomioon integrointivakion C... Aineellisen pisteen liikkeen nopeudesta (derivaata) voidaan palauttaa tämän pisteen liikelaki (antiderivaata); pisteen liikkeen kiihtyvyyden mukaan - sen nopeuden ja liikelain mukaan. Kuten näette, integraatio on laaja kenttä Sherlock Holmesin toiminnalle fysiikasta. Ja myös taloustieteessä monet käsitteet esitetään funktioiden ja niiden johdannaisten kautta, ja siksi on mahdollista esimerkiksi palauttaa tuotannon volyymi tietyllä hetkellä (derivaata) työn tuottavuuden perusteella.

Epämääräisen integraalin löytäminen kestää melko vähän suuri määrä integroinnin pääkaavat. Mutta sen löytäminen on paljon vaikeampaa kuin pelkkä näiden kaavojen soveltaminen. Kaikki monimutkaisuus ei tarkoita integrointia, vaan integroitavan lausekkeen saattamista muotoon, joka mahdollistaa määrittelemättömän integraalin löytämisen yllä olevien peruskaavojen mukaisesti. Tämä tarkoittaa, että integraation harjoittamisen aloittamiseksi sinun on aktivoitava lukiossa hankitut ilmaisujen muuntamisen taidot.

Opimme löytämään integraaleja käyttämällä ominaisuudet ja epämääräisten integraalien taulukko tämän aiheen peruskäsitteitä käsittelevältä oppitunnilta (avautuu uuteen ikkunaan).

Integraalin löytämiseen on useita menetelmiä, joista muuttuva korvausmenetelmä ja osien integrointimenetelmä- pakollinen herrasmiessarja kaikille korkeamman matematiikan menestyksekkäästi läpäisseille. On kuitenkin hyödyllisempää ja miellyttävämpää aloittaa integroinnin hallinta hajotusmenetelmällä, joka perustuu kahteen epämääräisen integraalin ominaisuuksia koskevaan lauseeseen, jotka toistetaan tässä mukavuuden vuoksi.

Lause 3. Integrandin vakiotekijä voidaan ottaa määrittelemättömän integraalin etumerkin ulkopuolelle, ts.

Lause 4.Äärillisen määrän funktioiden algebrallisen summan epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin näiden funktioiden epämääräisten integraalien algebrallinen summa, ts.

(2)

Lisäksi seuraavasta säännöstä voi olla hyötyä integroinnissa: jos integrandin lauseke sisältää vakiotekijän, niin antiderivaatan lauseke kerrotaan vakiotekijän käänteisarvolla, eli

(3)

Koska tämä oppitunti on johdatus integraatioongelmien ratkaisemiseen, on tärkeää huomata kaksi asiaa, jotka ovat jo olemassa alkuvaiheessa tai saattaa yllättää sinut hieman myöhemmin. Yllätys liittyy siihen, että integraatio on differentioinnin käänteinen operaatio ja epämääräistä integraalia voidaan oikeutetusti kutsua "antiderivaatiiviseksi".

Ensimmäinen asia, jota ei tule yllättyä, on integroinnissa. Integraalitaulukossa johdannaistaulukon kaavoissa on kaavoja, joilla ei ole analogeja ... Nämä ovat seuraavat kaavat:

Voidaan kuitenkin varmistaa, että näiden kaavojen oikealla puolella olevien lausekkeiden derivaatat ovat yhtäpitäviä vastaavien integrandien kanssa.

Toinen asia, jota ei kannata hämmästyä integroinnissa... Vaikka minkä tahansa alkeisfunktion derivaatta on myös alkeisfunktio, Joidenkin alkeisfunktioiden epämääräiset integraalit eivät ole enää alkeisfunktioita ... Esimerkkejä tällaisista integraaleista ovat seuraavat:

Integrointitekniikan kehittämisessä on hyötyä seuraavista taidoista: murtolukujen vähentäminen, murtoluvun osoittajassa olevan polynomin jakaminen nimittäjässä olevalla monomilla (epämääräisten integraalien summan saamiseksi), juurien muuntaminen potenssiksi, monomin kertominen polynomi, korotus potenssiin. Näitä taitoja tarvitaan integrandin muunnoksissa, joiden tuloksena tulisi saada integraalitaulukossa olevien integraalien summa.

Epämääräisten integraalien löytäminen yhdessä

Esimerkki 1. Etsi epämääräinen integraali

.

Ratkaisu. Näemme integrandin nimittäjässä polynomin, jossa x on neliöity. Tämä on lähes varma merkki siitä, että taulukkointegraalia 21 (josta seurauksena on arctangentti) voidaan käyttää. Otamme nimittäjästä pois tekijän kaksi (integraalilla on sellainen ominaisuus - vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä, se mainittiin edellä Lauseena 3). Tämän kaiken tulos:

Nyt nimittäjä on neliöiden summa, mikä tarkoittaa, että voimme soveltaa mainittua taulukkointegraalia. Lopulta saamme vastauksen:

.

Esimerkki 2. Etsi epämääräinen integraali

Ratkaisu. Käytämme jälleen Lause 3 - integraalin ominaisuus, jonka perusteella vakiotekijä voidaan ottaa integraalimerkin ulkopuolelle:

Käytämme kaavaa 7 integraalitaulukosta (astemuuttuja) integrandiin:

.

Vähennämme tuloksena olevia murtolukuja ja meillä on lopullinen vastaus:

Esimerkki 3. Etsi epämääräinen integraali

Ratkaisu. Soveltamalla ensin Lauseen 4 ja sitten Lauseen 3 ominaisuuksiin, löydämme tämän integraalin kolmen integraalin summana:

Kaikki kolme saatua integraalia ovat taulukkomuotoisia. Käytämme kaavaa (7) integraalitaulukosta for n = 1/2, n= 2 ja n= 1/5 ja sitten

yhdistää kaikki kolme mielivaltaista vakiota, jotka otettiin käyttöön, kun löydettiin kolme integraalia. Siksi vastaavissa tilanteissa tulisi ottaa käyttöön vain yksi mielivaltainen integroinnin vakio (vakio).

Esimerkki 4. Etsi epämääräinen integraali

Ratkaisu. Kun integrandin nimittäjä on monomi, voimme jakaa osoittajatermin termillä nimittäjällä. Alkuperäisestä integraalista tuli kahden integraalin summa:

.

Taulukkointegraalin soveltamiseksi muunnamme juuret potenssiiksi ja tässä on lopullinen vastaus:

Jatkamme määrittelemättömien integraalien löytämistä yhdessä

Esimerkki 7. Etsi epämääräinen integraali

Ratkaisu. Jos integraali muunnetaan neliöimällä binomi ja jakamalla termillä osoittaja nimittäjällä, niin alkuperäisestä integraalista tulee kolmen integraalin summa.

Liite

Integraalit verkossa sivustolle opiskelijoiden ja koululaisten yhdistämiseksi läpäisseen materiaalin. Ja harjoittele käytännön taitojasi. Täydellinen integraaliratkaisu sinulle hetkessä auttaa sinua määrittämään kaikki prosessin vaiheet .. Joka kerta, kun aloitat integraalin ratkaisemisen verkossa, sinun on tunnistettava sen tyyppi, ilman tätä et voi hakea mikä tahansa menetelmä paitsi integraalitaulukko. Kaikki taulukkointegraalit eivät näy selvästi annetusta esimerkistä; joskus sinun on muutettava alkuperäinen funktio löytääksesi antiderivaata. Käytännössä integraalien ratkaisu rajoittuu alkuperäisen eli äärettömän funktioperheen antiderivaatan löytämisen ongelman tulkitsemiseen, mutta jos integroinnin rajat on annettu, niin Newton-Leibnizin kaavan mukaan on olemassa vain yksi funktio, johon laskelmia tulee soveltaa. Online-integraalit - online-indefinite-integraali ja online-määräinen integraali. Online-funktion integraali on kaikkien niiden integrointiin tarkoitettujen lukujen summa. Siksi epävirallisesti online-integraali on alue funktiokaavion ja abskissan välillä integraation sisällä. Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta integraalien avulla. Lasketaan kompleksiintegraali yhdelle muuttujalle ja yhdistetään sen vastaus ongelman jatkoratkaisuun. On mahdollista, kuten sanotaan, löytää otsasta integrandin integraali. Mikä tahansa integraali suurella tarkkuudella määrittää kuvan viivojen rajoittaman alueen. Tämä on yksi sen geometrisistä merkityksistä. Tämä menetelmä helpottaa opiskelijoiden työtä. Useilla vaiheilla ei itse asiassa ole paljon vaikutusta vektorianalyysiin. Integraalifunktio verkossa on integraalilaskennan peruskäsite. Epämääräisten integraalien ratkaisu. Analyysin päälauseen mukaan integrointi on differentiaatiolle käänteinen operaatio, joka auttaa ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä. Integrointitoiminnolle on olemassa useita erilaisia ​​määritelmiä, jotka eroavat teknisistä yksityiskohdista. Ne ovat kuitenkin kaikki yhteensopivia, eli mitkä tahansa kaksi integrointimenetelmää, jos niitä voidaan soveltaa tiettyyn funktioon, antavat saman tuloksen. Yksinkertaisin on Riemannin integraali - määrätty integraali tai epämääräinen integraali. Epämuodollisesti yhden muuttujan funktion integraali voidaan syöttää graafin alapuolelle (funktion kuvaajan ja abskissa-akselin välissä oleva kuva). Mikä tahansa tällainen aliongelma oikeuttaisi tarpeen laskea integraali tärkeän lähestymistavan alussa. Älä unohda tätä! Yritetään löytää tätä aluetta, voimme tarkastella lukuja, jotka koostuvat tietystä määrästä pystysuoraa suorakulmiota, joiden kantat yhdessä muodostavat integrointisegmentin ja saadaan jakamalla segmentti vastaavaan määrään pieniä segmenttejä. Online-integraaliratkaisu .. Online-integraali - online-määräinen integraali ja online-määräinen integraali. Online-integraaliratkaisu: online-indefinite-integraali ja online-määräinen integraali. Laskin ratkaisee integraalit toimintokuvauksella yksityiskohtaisesti ja ilmaiseksi! Funktion online-indefinite-integraali on kokoelma tietyn funktion kaikista antiderivaataista. Jos funktio on määritelty ja jatkuva välissä, niin sille on olemassa antiderivatiivinen toiminto(tai antijohdannaisten perhe). Integraali määrittelee vain lausekkeen, jonka ehdot sinä asetat tällaisen tarpeen ilmetessä. On parempi lähestyä asiaa huolellisesti ja kokea sisäistä tyydytystä tehdystä työstä. Mutta integraalin laskeminen klassisesta poikkeavalla tavalla johtaa joskus odottamattomiin tuloksiin, eikä tätä voi ihmetellä. Olen iloinen, että sillä on myönteinen vastaus siihen, mitä tapahtuu. Luettelo määrätyistä integraaleista ja integraalien epämääräisistä integraaleista täydellisillä yksityiskohdilla askel askeleelta ratkaisu... Kaikki integraalit yksityiskohtaisella ratkaisulla verkossa. Epämääräinen integraali... Epämääräisen integraalin löytäminen verkosta on hyvin yleinen tehtävä korkeammassa matematiikassa ja muissa. tekniset osat Tieteet. Integroinnin perusmenetelmät. Integraalin, määrätyn ja epämääräisen integraalin määritelmä, integraalitaulukko, Newton-Leibnizin kaava. Ja jälleen, voit löytää integraalisi integraalilausekkeiden taulukon avulla, mutta sinun on silti päästävä tähän, koska kaikki ei ole niin yksinkertaista kuin miltä ensi silmäyksellä näyttää. Ajattele valmiita rakennuksia ennen kuin huomaat virheitä. Tarkka integraali ja sen laskentamenetelmät. Online-määräinen integraali muuttuvalla ylärajalla. Integroitu ratkaisu verkossa. Mikä tahansa esimerkki, joka auttaa sinua laskemaan integraalin taulukkokaavojen avulla, olisi hyödyllinen opastus toimia kaikentasoisille opiskelijoille. Tärkein askel matkalla oikeaan vastaukseen .. Integraalit verkossa. Epämääräiset integraalit, jotka sisältävät eksponentiaalisia ja logaritmisia funktioita. Integroitu ratkaisu verkossa - saat yksityiskohtainen ratkaisu varten eri tyyppejä integraalit: epämääräinen, määrätty, epäasianmukainen. Definite Integral Calculator laskee funktion kiinteän integraalin online-tilassa intervallin aikana käyttämällä numeerista integrointia. Funktion integraali on sekvenssin summan analogi. Epävirallisesti sanottuna määrätty integraali on funktion kaavion osan alue. Online-integraaliratkaisu .. Online-integraali on online-indefinite-integraali ja online-integraali. Usein tällainen integraali määrittää, kuinka paljon painavampi kappale on kuin saman tiheyden omaava esine verrattuna siihen, riippumatta siitä, minkä muotoinen se on, koska pinta ei ime vettä. Online-integraalit ratkaisu .. Online-integraalit - online-määräinen integraali ja online-määräinen integraali. Jokainen nuorempi opiskelija tietää, kuinka integraali löytyy verkosta. Pohjalla koulun opetussuunnitelma myös tätä matematiikan osaa tutkitaan, mutta ei yksityiskohtaisesti, vaan vain niin monimutkaisen ja tärkeän aiheen perusteita. Useimmiten opiskelija aloittaa integraalien opiskelun laajasta teoriasta, jota edeltävät myös tärkeät aiheet, kuten derivaatta ja rajan kulku - ne ovat myös rajoja. Integraalien ratkaisu alkaa vähitellen alkeisimmilla esimerkeillä yksinkertaiset toiminnot, ja päättyy monien viime vuosisadalla ja jopa paljon aikaisemmin ehdotettujen lähestymistapojen ja sääntöjen soveltamiseen. Integraalilaskenta on tarkoitettu vain tiedotustarkoituksiin lyseumeissa ja kouluissa, eli toisen asteen oppilaitoksissa. Verkkosivustomme auttaa sinua aina ja integraalien ratkaisemisesta verkossa tulee sinulle rutiinia, ja mikä tärkeintä, ymmärrettävää tehtävää. Tämän resurssin perusteella voit helposti saavuttaa huippuosaamisen tässä matemaattisessa osassa. Ymmärtämällä askel askeleelta opitut säännöt, kuten integroinnin, osissa tai Chebyshev-menetelmän soveltamisen, voit helposti ratkaista minkä tahansa testin enimmäispistemäärälle. Joten kuinka voimme lopulta laskea integraalin käyttämällä hyvin tunnettua integraalitaulukkoa, mutta niin, että ratkaisu on oikea, oikea ja mahdollisimman tarkka vastaus? Kuinka tämä oppii ja onko se mahdollista tavalliselle fuksille niin pian kuin mahdollista? Vastaamme tähän kysymykseen myöntävästi - voit! Samalla et pysty vain ratkaisemaan mitä tahansa esimerkkiä, vaan myös saavuttamaan korkean luokan insinöörin tason. Salaisuus on yksinkertaisempi kuin koskaan - sinun on ponnisteltava mahdollisimman paljon, annettava vaadittava määrä aikaa itseopiskeluun. Valitettavasti kukaan ei ole vielä keksinyt muuta tapaa! Mutta kaikki ei ole niin pilvistä kuin miltä näyttää ensi silmäyksellä. Jos otat yhteyttä palvelusivustoomme tällä kysymyksellä, teemme elämästäsi helpompaa, koska sivustomme voi laskea integraalit verkossa yksityiskohtaisesti, hyvin suuri nopeus ja virheettömän tarkka vastaus. Pohjimmiltaan integraali ei määritä, kuinka argumenttien suhde vaikuttaa koko järjestelmän vakauteen. Kunpa kaikki olisi tasapainossa. Sen lisäksi, kuinka opit tämän perusteet matematiikan teema, palvelu voi löytää minkä tahansa integrandin integraalin, jos tämä integraali voidaan ratkaista alkeisfunktioissa. Muuten integraaleille, joita ei oteta alkeisfunktioissa, ei käytännössä tarvitse löytää vastausta analyyttisessä tai toisin sanoen eksplisiittisessä muodossa. Kaikki integraalien laskelmat rajoittuvat tietyn integrandin antiderivaatan määrittämiseen. Tätä varten laske ensin kaikkien matematiikan lakien ääretön integraali verkossa. sitten tarvittaessa integraalin ylä- ja alaarvot korvataan. Jos sinun ei tarvitse määrittää tai laskea numeerinen arvo integraali, sitten vakio lisätään tuloksena olevaan antiderivatiiviseen funktioon, mikä määrittää antiderivatiivisten funktioiden perheen. Erityinen paikka tieteessä ja yleensä millä tahansa tekniikan alalla, mukaan lukien jatkuvan median mekaniikka, integraatio kuvaa kokonaisia ​​mekaanisia järjestelmiä, niiden liikkeitä ja paljon muuta. Monissa tapauksissa käännetty integraali määrittää aineellisen pisteen liikelain. Se on erittäin tärkeä työkalu soveltavien tieteiden tutkimuksessa. Tämän perusteella ei voi muuta kuin sanoa laajamittaisista laskelmista mekaanisten järjestelmien olemassaolon ja käyttäytymisen lakien määrittämiseksi. Laskin integraalien ratkaisemiseksi verkossa sivustolla on voimakas työkalu ammattiinsinööreille. Voimme varmasti taata tämän sinulle, mutta voimme laskea integraalisi vasta, kun olet syöttänyt oikean lausekkeen integrandin verkkotunnukseen. Älä pelkää tehdä virhettä, kaikki on korjattavissa tässä asiassa! Yleensä integraalien ratkaisu rajoittuu tunnettujen oppikirjojen tai tietosanakirjojen taulukkofunktioiden käyttöön. Kuten kaikki muutkin määrittelemättömät integraalit, se lasketaan vakiokaavalla ilman liikaa karkeaa kritiikkiä. Ensimmäisen vuoden opiskelijat omaksuvat opiskelun lennossa helposti ja luonnollisesti, ja joskus integraalin löytämiseen menee jopa kaksi minuuttia. Ja jos opiskelija on oppinut integraalitaulukon, niin yleensä hän voi määrittää vastaukset päässään. Funktioiden laajentaminen muuttujilla suhteessa pintoihin tarkoittaa aluksi oikeaa vektorin suuntaa jossain abskissan kohdassa. Pintaviivojen ennakoimaton käyttäytyminen ottaa matemaattisten funktioiden vastavuoroisen lähteen perustaksi määrätyt integraalit. Pallon vasen reuna ei kosketa tasossa katsottuna sylinteriä, johon ympyrä on kaiverrettu. Pienten alueiden summa jaettuna satoihin paloittain jatkuviin funktioihin on tietyn funktion online-integraali. Integraalin mekaaninen merkitys piilee monissa sovellettavissa ongelmissa, mukaan lukien kappaleiden tilavuuden määrittäminen ja kehon massan laskeminen. Kolmois- ja kaksoisintegraalit ovat mukana juuri näissä laskelmissa. Vaadimme, että integraalien online-ratkaisu suoritetaan vain kokeneiden opettajien valvonnassa ja lukuisten tarkastusten kautta.. Meiltä kysytään usein sellaisten opiskelijoiden edistymisestä, jotka eivät käy luennoilla, ohittavat ne ilman syytä, kuinka he onnistuvat löytää integraalin itse. Vastaamme, että opiskelijat ovat vapaita ihmisiä ja heidät voidaan hyvin kouluttaa ulkopuoliseksi opiskelijaksi, joka valmistautuu kokeeseen tai tenttiin mukavassa kotiympäristössä. Palvelumme auttaa muutamassa sekunnissa kaikkia, jotka haluavat laskea minkä tahansa funktion integraalin muuttujan suhteen. Tarkista saatu tulos ottamalla antiderivatiivisen funktion derivaatta. Tässä tapauksessa integraalin ratkaisun vakio katoaa. Tämä sääntö on selvä kaikille. Koska monisuuntaiset operaatiot ovat perusteltuja, epämääräinen integraali usein pelkistetään alueen jakamiseen pieniin osiin. Jotkut opiskelijat ja koululaiset kuitenkin laiminlyövät tämän vaatimuksen. Kuten aina, verkkointegraalit voidaan ratkaista yksityiskohtaisesti palvelusivustollamme, eikä pyyntöjen määrää ole rajoitettu, kaikki on ilmaista ja kaikkien saatavilla. Ei ole paljon sellaisia ​​sivustoja, jotka antavat vaiheittaisen vastauksen muutamassa sekunnissa, ja mikä tärkeintä korkean tarkkuuden ja kätevällä tavalla. Viidennen sivun viimeisessä esimerkissä kotitehtävät oli yksi, joka osoittaa tarpeen laskea integraali askel askeleelta. Mutta älä unohda, kuinka integraali on mahdollista löytää valmiilla palvelulla, joka on aika-testattu ja testattu tuhansilla ratkaistuilla esimerkeillä verkossa. Tämän yhtälöjärjestelmän kuvaaman viskoosin nesteen liikkeen luonne osoittaa selvästi, kuinka tällainen integraali määrittää järjestelmän liikkeen.

Epämääräinen integraali.
Yksityiskohtaiset ratkaisuesimerkit

Tällä oppitunnilla aloitamme aiheen opiskelun Epämääräinen integraali, ja myös analysoimme yksityiskohtaisesti esimerkkejä yksinkertaisimpien (ja ei aivan) integraalien ratkaisuista. Tässä artikkelissa rajoitan teorian minimiin, ja nyt meidän tehtävämme on oppia ratkaisemaan integraalit.

Mitä sinun tulee tietää materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti? Integraalilaskennan kanssa selviytymiseksi sinun on kyettävä löytämään johdannaisia ​​ainakin keskitasolla. Siksi, jos materiaali käynnistetään, suosittelen, että luet ensin huolellisesti oppitunnit Miten löydän johdannaisen? ja Monimutkaisen funktion johdannainen... Se ei ole tarpeeton kokemus, jos sinulla on useita kymmeniä (parempi - sata) johdannaisia ​​löydetty itse. Sinun ei pitäisi ainakaan hämmentyä yksinkertaisimpien ja yleisimpien toimintojen erottamisen tehtävistä. Vaikuttaa siltä, ​​että mitä tekemistä derivaatalla on sen kanssa, jos artikkeli käsittelee integraaleja ?! Tässä on asia. Tosiasia on, että derivaatan löytäminen ja epämääräisten integraalien löytäminen (differentiointi ja integrointi) ovat kaksi toisiaan käänteinen toiminta kuten yhteen-/vähennys- tai kerto-/jakolasku. Näin ollen ilman johdannaisten löytämisen taitoa (+ jonkinlaista kokemusta) ei valitettavasti voida edistyä.

Tältä osin tarvitsemme seuraavaa metodologiset materiaalit: Johdannaisten taulukko ja Integroitu pöytä... Viiteoppaat voidaan avata, ladata tai tulostaa sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot.

Mitä vaikeutta on epämääräisten integraalien tutkimisessa? Jos johdannaisissa on tiukasti 5 differentiaatiosääntöä, derivaattataulukko ja melko selkeä toimintoalgoritmi, niin integraaleissa kaikki on erilaista. Integrointimenetelmiä ja tekniikoita on kymmeniä. Ja jos integrointimenetelmä valittiin alun perin väärin (eli et tiedä kuinka ratkaista se), niin integraalia voidaan "pikata" kirjaimellisesti päivien ajan, kuten todellinen rebus, yrittäen havaita erilaisia ​​tekniikoita ja temppuja. Jotkut jopa pitävät siitä. Muuten, tämä ei ole vitsi, kuulin melko usein opiskelijoilta mielipiteen "Minulla ei ole koskaan ollut kiinnostusta ratkaista rajaa tai derivaatta, mutta integraalit ovat täysin eri asia, se on kiehtovaa, aina on halu " crack "monimutkainen integraali". Lopettaa. Tarpeeksi mustaa huumoria, siirrytään näihin määrittelemättömiin integraaleihin.

Koska sen ratkaisemiseksi on niin monia tapoja, mistä teekannun pitäisi alkaa tutkia epämääräisiä integraaleja? Integraalilaskennassa on mielestäni kolme pilaria tai eräänlainen "akseli", jonka ympäri kaikki muu pyörii. Ensinnäkin sinun pitäisi ymmärtää yksinkertaisimmat integraalit hyvin (tämä artikkeli). Sitten sinun on laadittava oppitunti yksityiskohtaisesti. SE TÄRKEIN VASTAANOTTO! Ehkä jopa tärkein artikkeli kaikista integraaleja koskevista artikkeleistani. Ja kolmanneksi, sinun tulee ehdottomasti tutustua osien integrointimenetelmään, koska se integroi laajan luokan toimintoja. Jos hallitset ainakin nämä kolme oppituntia, niin jo "ei kaksi". Saatat saada "anteeksi", jos et tiedä trigonometristen funktioiden integraaleja, murto-osien integraaleja, rationaalisten murtofunktioiden integraaleja, irrationaalisten funktioiden integraaleja (juuria), mutta jos "istut lätäkässä" korvausmenetelmän tai integrointimenetelmän suhteen osittain, niin se on erittäin, erittäin huono.

Demotivaattorit ovat nyt hyvin yleisiä Runetissa. Integraalien opiskelun yhteydessä se on päinvastoin yksinkertaisesti välttämätöntä Motivaattori... Kuten tuossa vitsissä Vasili Ivanovitšista, joka motivoi Petkaa ja Ankaa. Hyvät laiskot, freeloaders ja muut normaalit opiskelijat, muistakaa lukea seuraava. Epämääräisen integraalin tietoja ja taitoja vaaditaan jatko-opinnoissa, erityisesti 2. vuonna määrällisen integraalin, epäsopivien integraalien, differentiaaliyhtälöiden opiskelussa. Tarve ottaa integraali syntyy jopa todennäköisyysteoriassa! Tällä tavalla, ilman integraaleja polku kesäsessioon ja 2. kurssille ON TODELLA SULJETTU... Olen tosissani. Johtopäätös on seuraava. Mitä enemmän integraaleja eri tyyppejä sinä päätät, sitä helpompaa tulevaisuus on... Kyllä, se vie aika paljon aikaa, kyllä, joskus, en halua, kyllä, joskus "kyllä ​​viikunoita hänen kanssaan, tämän integraalin kanssa, ehkä et tule vastaan". Mutta seuraavan ajatuksen pitäisi innostaa ja lämmittää sielua, ponnistelusi maksaa itsensä takaisin! Tulet kuin pähkinät murtamaan differentiaaliyhtälöitä ja käsittelet helposti integraaleja, joita löytyy korkeamman matematiikan muilta osin. Käsiteltyäsi laadullisesti määrittelemättömän integraalin, OLET TODELLA HALLITSIT LISÄÄ OSIOITA TÄÄLTÄ.

Ja siksi en voinut olla luomatta intensiivinen kurssi integraatiotekniikasta, joka osoittautui yllättävän lyhyeksi - halukkaat voivat käyttää pdf-kirjaa ja valmistautua ERITTÄIN nopeasti. Mutta sivuston materiaalit eivät ole missään nimessä huonompia!

Aloitetaan siis yksinkertaisesta. Katsotaanpa integraalitaulukkoa. Kuten derivaateissa, huomaamme useita integrointisääntöjä ja joidenkin perusfunktioiden integraalitaulukon. On helppo nähdä, että millä tahansa taulukkointegraalilla (ja itse asiassa kaikilla epämääräisellä integraalilla) on muoto:

Ymmärrämme heti merkinnän ja ehdot:

- kiinteä kuvake.

- integrand-funktio (kirjoitettu kirjaimella "s").

- differentiaalikuvake. Integraalia kirjoitettaessa ja ratkaisun aikana on tärkeää, että tätä kuvaketta ei hukata. Tulee havaittava virhe.

- integraalin integrandi tai "täyttö".

– antiderivatiivinen toiminto.

- monia antiderivatiivisia toimintoja. Sinun ei tarvitse olla raskaasti kuormitettu termeillä, tärkeintä on, että missä tahansa epämääräisessä integraalissa vastaukseen lisätään vakio.

Integraalin ratkaiseminen tarkoittaa tietyn funktion löytämistä tiettyjen sääntöjen, tekniikoiden ja taulukon avulla.

Katsotaanpa merkintää uudelleen:

Katsotaanpa integraalitaulukkoa.

Mitä tapahtuu? Jätti osat meille ovat kääntymässä muihin toimintoihin:.

Yksinkertaistetaan määritelmäämme.

Epämääräisen integraalin ratkaiseminen tarkoittaa sen muuttamista tietyksi funktioksi käyttämällä joitain sääntöjä, temppuja ja taulukkoa.

Otetaan esimerkiksi taulukkointegraali ... Mitä tapahtui? muuttui funktioksi.

Kuten johdannaisten tapauksessa, integraalien löytämisen oppimiseksi sinun ei tarvitse olla tietoinen mikä on kiinteä, antiderivatiivinen funktio teoreettisesta näkökulmasta. Riittää, että muunnokset suoritetaan joidenkin muodollisten sääntöjen mukaan. Eli tapauksessa ei ole ollenkaan välttämätöntä ymmärtää, miksi integraali muuttuu tarkalleen. Vaikka voit pitää tämän ja muita kaavoja itsestäänselvyytenä. Kaikki käyttävät sähköä, mutta harvat ajattelevat, kuinka elektronit kulkevat siellä olevien johtojen läpi.

Koska eriyttäminen ja integrointi ovat vastakkaisia ​​operaatioita, niin kaikille löydetyille antiderivaatteille oikein, seuraava on totta:

Toisin sanoen, jos oikea vastaus erotetaan, niin alkuperäinen integrandi on välttämättä hankittava.

Palataan samaan taulukkointegraaliin .

Olkaamme vakuuttuneita tämän kaavan pätevyydestä. Otamme johdannaisen oikealta puolelta:

- alkuperäinen integrand-funktio.

Muuten, kävi selväksi, miksi funktiolle on aina määritetty vakio. Differentioinnissa vakio muuttuu aina nollaksi.

Ratkaise epämääräinen integraali- se tarkoittaa löytää joukko kaikista antijohdannaisia, ei mitään toimintoa. Tarkastetussa taulukkoesimerkissä,,, jne. - kaikki nämä funktiot ovat integraalin ratkaisu. Ratkaisuja on äärettömän monia, joten he kirjoittavat lyhyesti:

Siten mikä tahansa epämääräinen integraali on riittävän helppo tarkistaa (toisin kuin derivaatat, joissa hyvä yhden luukun tarkistus voidaan tehdä vain matemaattisten ohjelmien avulla). Tämä on kompensaatio suuresta määrästä integraaleja eri tyyppejä.

Jatketaan harkintaa konkreettisia esimerkkejä... Aloitetaan, kuten derivaatan tutkimuksessa,
kahdella integrointisäännöllä, joita kutsutaan myös nimellä lineaarisuusominaisuudet epämääräinen integraali:

- vakiotekijä voidaan (ja pitäisi) ottaa pois integraalimerkistä.

- kahden funktion algebrallisen summan integraali on yhtä suuri kuin kunkin funktion kahden integraalin algebrallinen summa erikseen. Tämä ominaisuus on voimassa minkä tahansa määrän ehtoja.

Kuten näet, säännöt ovat periaatteessa samat kuin johdannaisille.

Esimerkki 1

Ratkaisu: On helpompi kirjoittaa se uudelleen paperille.

(1) Käytä sääntöä ... Älä unohda kirjoittaa differentiaalisymbolia jokaisen integraalin alle. Miksi jokaisen alla? On täysi kerroin, jos kuvailet ratkaisua hyvin yksityiskohtaisesti, ensimmäinen vaihe tulee kirjoittaa seuraavasti:

(2) Säännön mukaan , siirrämme kaikki vakiot integraalimerkkien ulkopuolelle. Huomaa, että viimeisellä lukukaudella se on vakio, siirrämme sen myös pois.
Lisäksi tässä vaiheessa valmistelemme juuret ja tutkinnot integraatiota varten. Samalla tavalla kuin eriyttämisessä, juuret on esitettävä muodossa. Nimettäjässä olevat juuret ja asteet - siirtyvät ylöspäin.

! Huomaa: toisin kuin derivaateissa, integraalien juuria ei aina tarvitse pelkistää muotoon, vaan asteita tulee siirtää ylöspäin. Esimerkiksi tämä on valmis taulukkomuotoinen integraali ja kaikenlaisia ​​​​kiinalaisia ​​temppuja, kuten aivan tarpeeton. Vastaavasti: - myös taulukkointegraali, murto-osaa ei ole järkevää esittää muodossa. Tutki taulukkoa huolellisesti!

(3) Kaikki integraalit ovat taulukkomuotoisia. Suoritamme muunnoksen taulukon avulla käyttämällä kaavoja: , ja .
Kiinnitän erityistä huomiota integraatiokaavaan tehotoiminto , sitä esiintyy hyvin usein, on parempi muistaa se. On huomattava, että taulukkointegraali - erikoistapaus samalla kaavalla: .
Riittää, kun lisäät vakion kerran lausekkeen loppuun (eikä laita niitä jokaisen integraalin jälkeen).
(4) Kirjoitamme saadun tuloksen muistiin kompaktimpaan muotoon, esitämme jälleen kaikki muodon potenssit juurina, potenssit negatiivisella eksponentilla - nollaamme ne takaisin nimittäjään.

Tutkimus. Tarkistuksen suorittamiseksi sinun on erotettava saatu vastaus:

Alkuperäinen vastaanotettu integrand, mikä tarkoittaa, että integraali löytyy oikein. Siitä, mitä he tanssivat, he palasivat siihen. Tiedätkö, on erittäin hyvä, kun kiinteä tarina päättyy näin.

Ajoittain epämääräisen integraalin tarkistamiseen on olemassa hieman erilainen lähestymistapa, vastauksesta ei oteta derivaatta, vaan differentiaali:

Se, joka ymmärsi ensimmäisestä lukukaudesta lähtien, ymmärsi, mutta nyt meille ei ole tärkeitä teoreettiset hienovaraisuudet, vaan tärkeää on mitä tehdä tälle erolle edelleen. Se on löydettävä, ja muodollisesta ja teknisestä näkökulmasta se on melkein sama kuin johdannaisen löytäminen. Differentiaalia laajennetaan seuraavasti: poistamme kuvakkeen, laitamme viivan oikealle sulkujen yläpuolelle, lausekkeen lopussa määritämme kertoimen:

Alkuperäinen vastaanotettu integrand, mikä tarkoittaa, että integraali löytyy oikein.

Pidän toisesta tarkistusmenetelmästä vähemmän, koska minun on lisäksi piirrettävä suuria sulkumerkkejä ja vedettävä differentiaalikuvaketta tarkistuksen loppuun asti. Vaikka se on oikeampi tai "kiinteämpi" tai jotain.

Itse asiassa olisin voinut olla hiljaa toisesta tarkistusmenetelmästä kokonaan. Pointti ei ole tavassa, vaan siinä, että olemme oppineet avaamaan tasauspyörästön. Uudelleen.

Ero paljastetaan seuraavasti:

1) poista kuvake;
2) oikealle sulkujen yläpuolelle laitetaan alkuluku (derivaatan nimitys);
3) lausekkeen lopussa annamme tekijän.

Esimerkiksi:

Muista tämä. Tarvitsemme tätä tekniikkaa hyvin pian.

Esimerkki 2

Etsi epämääräinen integraali. Tarkista se.

Kun löydämme määrittelemättömän integraalin, yritämme AINA tarkistaa Lisäksi tähän on loistava mahdollisuus. Kaikki korkeamman matematiikan ongelmat eivät ole lahjoja tästä näkökulmasta. Ei haittaa, että usein valvontatehtävissä todennusta ei vaadita, ei kukaan, eikä mikään estä tekemästä sitä luonnokseen. Poikkeuksen voi tehdä vain, jos aikaa ei ole tarpeeksi (esimerkiksi kokeessa, tentissä). Henkilökohtaisesti tarkistan aina integraalit ja pidän tarkistuksen puuttumista hakkerointina ja huonosti suoritettuna tehtävänä.

Esimerkki 3

Etsi epämääräinen integraali. Tarkista se.

Ratkaisu: Integraalia analysoimalla näemme, että meillä on kahden funktion tulo ja jopa kokonaislukulausekkeen eksponentio. Valitettavasti kokonaisvaltaisen taistelun alalla ei ole olemassa hyviä ja käteviä kaavoja tuotteen ja tietyn integroimiseksi , .

Ja siksi, kun tuote tai tietty annetaan, on aina järkevää katsoa, ​​mutta onko mahdollista muuttaa integrandi summaksi?

Tarkasteltava esimerkki on tapaus, jossa se on mahdollista. Ensin lainaan täydellinen ratkaisu, kommentit ovat alla.

(1) Käytämme vanhaa hyvää kaavaa summan neliölle, eroon asteesta.

(2) Laitamme suluihin päästäen eroon tuotteesta.

Esimerkki 4

Etsi epämääräinen integraali. Tarkista se.

Tämä on esimerkki omasta ratkaisustasi. Vastaus ja täydellinen ratkaisu oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi epämääräinen integraali. Tarkista se.

V tämä esimerkki integrandi on murto-osa. Kun näemme integrandissa murto-osan, ensimmäisenä ajatuksena tulisi olla kysymys: Onko tästä murtoluvusta mahdollista päästä eroon tai ainakin yksinkertaistaa sitä?

Huomaa, että nimittäjä sisältää "x":n yksinäisen juuren. Yksi kentällä ei ole soturi, mikä tarkoittaa, että voit jakaa osoittajan nimittäjällä termillä:

Toiminnot kanssa murtovoimat En kommentoi niitä, koska niistä on toistuvasti keskusteltu funktion johdannaista koskevissa artikkeleissa. Jos olet edelleen ymmälläsi sellaisesta esimerkistä kuin etkä millään saa oikeaa vastausta, suosittelen, että käännyt koulun oppikirjoihin. Korkeammassa matematiikassa murtoluvut ja toiminnot niiden kanssa kohtaavat joka vaiheessa.

Huomaa myös, että ratkaisusta puuttuu yksi vaihe, joka on sääntöjen soveltaminen , ... Yleensä, vaikka integraalien ratkaisemisesta on alustava kokemus, nämä ominaisuudet ovat itsestäänselvyyksiä, eikä niitä kuvata yksityiskohtaisesti.

Esimerkki 6

Etsi epämääräinen integraali. Tarkista se.

Tämä on esimerkki omasta ratkaisustasi. Vastaus ja täydellinen ratkaisu oppitunnin lopussa.

V yleinen tapaus se ei ole niin yksinkertaista murtoluvuilla integraaleissa, lisämateriaalia Joidenkin tyyppien murto-osien integroinnista löytyy artikkelista Joidenkin murtolukujen integrointi.

! Mutta ennen kuin siirryt yllä olevaan artikkeliin, sinun on luettava oppitunti Korvausmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa... Tosiasia on, että funktion summaus differentiaalin tai muuttujan muuttamismenetelmän alla on avainasia aiheen tutkimuksessa, koska sitä ei löydy vain "puhtaista korvausmenetelmän ongelmista", vaan myös monista muista integraaleista.

Halusin todella sisällyttää muutaman esimerkin tälle oppitunnille, mutta istun nyt ja kirjoitan tätä tekstiä Verde-kielellä ja huomaan, että artikkeli on jo kasvanut sopivan kokoiseksi.
Ja niinpä tukkejen integraalien johdantokurssi on tullut päätökseen.

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Ratkaisu:

Esimerkki 4: Ratkaisu:

Tässä esimerkissä käytimme lyhennettyä kertolaskua

Esimerkki 6: Ratkaisu:

Tarkistin sen, vai mitä? ;)

Aiemmin tietylle funktiolle, erilaisten kaavojen ja sääntöjen ohjaamana, löysimme sen derivaatan. Johdannalla on lukuisia sovelluksia: se on liikkeen nopeus (tai yleensä minkä tahansa prosessin nopeus); funktion kuvaajan tangentin kaltevuus; derivaatan avulla voit tutkia funktiota monotonisuuden ja äärimmäisyyden suhteen; se auttaa ratkaisemaan optimointiongelmia.

Mutta tunnetun liikelain mukaisen nopeuden löytämisongelman ohella on myös käänteinen ongelma - ongelma liikelain palauttamisessa tunnetusta nopeudesta. Tarkastellaanpa yhtä näistä tehtävistä.

Esimerkki 1. Aineellinen piste liikkuu suoraviivaisesti, sen liikkeen nopeus hetkellä t saadaan kaavasta v = gt. Löydä liikkeen laki.
Ratkaisu. Olkoon s = s (t) vaadittu liikelaki. Tiedetään, että s "(t) = v (t). Siksi ongelman ratkaisemiseksi on valittava funktio s = s (t), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin gt. On helppo arvata, että \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \).
\ (s "(t) = \ vasen (\ frac (gt ^ 2) (2) \ oikea)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
Vastaus: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)

Huomaa heti, että esimerkki on ratkaistu oikein, mutta epätäydellisesti. Saimme \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Itse asiassa ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua: mikä tahansa funktio muotoa \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \), jossa C on mielivaltainen vakio, voi toimia laina liike, koska \ (\ vasen (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ oikea) "= gt \)

Ongelman selventämiseksi jouduimme korjaamaan alkutilanteen: osoittamaan liikkuvan pisteen koordinaatin jollain ajanhetkellä, esimerkiksi t = 0. Jos esimerkiksi s (0) = s 0, niin alkaen yhtälö s (t) = (gt 2) / 2 + C saadaan: s (0) = 0 + C, eli C = s 0. Nyt liikelaki on yksiselitteisesti määritetty: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.

Matematiikassa toistensa käänteisoperaatioille annetaan eri nimiä, ne keksivät erikoismerkinnät, esimerkiksi: neliöinti (x 2) ja irrotus neliöjuuri(\ (\ sqrt (x) \)), sini (sin x) ja arcsini (arcsin x) jne. Prosessi derivaatan löytämiseksi tietyn funktion suhteen on ns. erilaistuminen, ja käänteinen operaatio, eli prosessi, jossa funktio löydetään tietystä derivaatta, on integroimalla.

Itse termi "johdannainen" voidaan perustella "arkielämässä": funktio y = f (x) "tuottaa" uuden funktion y "= f" (x). Funktio y = f (x) toimii ikään kuin "vanhempana", mutta matemaatikot eivät luonnollisesti kutsu sitä "vanhemmiksi" tai "tuottajaksi", he sanovat sen olevan, suhteessa funktioon y "= f" (x) , ensisijainen kuva tai antijohdannainen.

Määritelmä. Funktiota y = F (x) kutsutaan funktion y = f (x) antiderivaatta välissä X, jos \ (x \ in X \) yhtälö F "(x) = f (x)

Käytännössä väliä X ei yleensä ilmoiteta, vaan oletetaan (funktion luonnollisena alueena).

Tässä on joitain esimerkkejä.
1) Funktio y \ u003d x 2 on antiderivaata funktiolle y \ u003d 2x, koska minkä tahansa x:n yhtälö (x 2) "= 2x
2) Funktio y \ u003d x 3 on antiderivaata funktiolle y \ u003d 3x 2, koska minkä tahansa x:n yhtälö (x 3) "\ u003d 3x 2
3) Funktio y = sin (x) on antiderivaata funktiolle y = cos (x), koska minkä tahansa x:n yhtälö (sin (x)) "= cos (x)

Kun etsitään antiderivaatteja, kuten johdannaisia, ei käytetä vain kaavoja, vaan myös joitain sääntöjä. Ne liittyvät suoraan vastaaviin johdannaisten laskentasääntöihin.

Tiedämme, että summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa. Tämä sääntö synnyttää vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.

Sääntö 1. Summan antiderivaata on yhtä suuri kuin antiderivaalien summa.

Tiedämme, että vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan merkistä. Tämä sääntö synnyttää vastaavan säännön antijohdannaisten löytämiseksi.

Sääntö 2. Jos F (x) on f (x) antiderivaata, niin kF (x) on kf (x) antiderivaata.

Lause 1. Jos y = F (x) on funktion y = f (x) antiderivaata, niin funktion y = f (kx + m) antiderivaata on funktio \ (y = \ frac (1) (k) F (kx + m) \)

Lause 2. Jos y = F (x) on antiderivaata funktiolle y = f (x) välissä X, niin funktiolla y = f (x) on äärettömän monta antiderivaavaa, ja ne kaikki ovat muotoa y = F (x) + C.

Integrointimenetelmät

Muuttujan korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)

Korvausintegrointimenetelmä koostuu uuden integrointimuuttujan (eli substituution) käyttöönotosta. Tässä tapauksessa annettu integraali pelkistetään uudeksi integraaliksi, joka on taulukkomainen tai siihen pelkistävissä. Yleiset menetelmät vaihto-ottelua ei ole. Kyky tunnistaa korvaus oikein hankitaan käytännössä.
Olkoon integraalin \ (\ textstyle \ int F (x) dx \) laskeminen tarpeen. Tehdään substituutio \ (x = \ varphi (t) \) missä \ (\ varphi (t) \) on funktio, jolla on jatkuva derivaatta.
Sitten \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) ja määrittelemättömän integraalin integrointikaavan invarianssiominaisuuden perusteella saadaan integrointikaava korvaamalla:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)

Integrointi lausekkeisiin, kuten \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)

Jos m on pariton, m> 0, niin on helpompi korvata sin x = t.
Jos n on pariton, n> 0, niin on kätevämpää tehdä substituutio cos x = t.
Jos n ja m ovat parillisia, on kätevämpää tehdä substituutio tg x = t.

Integrointi pala palalta

Integrointi osien mukaan – Käytä seuraavaa integrointikaavaa:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
tai:
\ (\ tekstityyli \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)

Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ teksti (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ teksti (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ teksti (kaari) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ teksti (arctg) x + C $$ $$ \ int \ teksti (ch) x dx = \ teksti (sh) x + C $$ $$ \ int \ teksti (sh) x dx = \ teksti (ch) ) x + C $$