Alennettu yhtälö. Neliöyhtälöiden ratkaisu: Formula Ruts, esimerkit

Copsevskaya maaseudun lukio

10 tapaa ratkaista neliöyhtälöt

Leader: Patrikeva Galina Anatolyevna,

matemaattinen opettaja

s.Kopievo, 2007.

1. Square yhtälöiden kehittämisen historia

1.1 neliön yhtälöt muinaisessa babylonissa

1.2 Kuten osoite ja ratkaistu diofant-neliön yhtälöt

1.3 Square yhtälöt Intiassa

1.4 neliön yhtälöt AlcoHise

1.5 neliön yhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisatoja

1.6 Tietoja Vieta Theoremista

2. Menetelmät neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. Neliöyhtälöiden kehityksen historia

1.1 neliön yhtälöt muinaisessa babylonissa

Tarve ratkaista yhtälöitä paitsi ensimmäiseksi, mutta myös toiseksi antiikin tutkinto johtui tarpeesta ratkaista maan alueiden sijaintiin liittyvät tehtävät ja sotilaallisen luonteen maanrakennusten sekä tähtitieteen kehityksen ja Matematiikka itse. Square yhtälöt pystyivät ratkaista noin 2000 vuotta aiemmin. e. Babylonian.

Soveltamalla modernia algebraalista tietuetta voimme sanoa, että heidän klinoksessaan on, lukuun ottamatta epätäydellisiä ja sellaisia, esimerkiksi täysimittaisia \u200b\u200byhtälöitä:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Babylonian teksteissä esitetyt näiden yhtälöiden ratkaiseminen vastaa olennaisesti nykyaikaista, mutta ei tunneta, miten Babylonialaiset pääsivät tämän säännön mukaan. Lähes kaikki lääkärit löytyvät tähän asti, vain tehtävät reseptien muodossa esitetyillä päätöksillä ilman ilmoituksia siitä, miten ne löydettiin.

Huolimatta Algebran korkeasta kehityksestä Babylonissa, negatiivisen lukumäärän ja yleisten menetelmien käsite neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi puuttuu klinoksia.

1.2 Kuten osuus ja ratkaistu diofant-neliön yhtälöt.

Diofantan "aritmeettisessa" ei ole järjestelmällistä esittelyä Algebra, mutta se sisältää systemaattisen määrän tehtäviä, joihin liittyy selityksiä ja ratkaistaan \u200b\u200beri asteiden yhtälöiden valmistuksessa.

Kun laatiko diofantti yhtälöt yksinkertaistamaan liuosta taitavasti tuntematonta.

Tässä esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Tehtävä 11. "Etsi kaksi numeroa, tietäen, että niiden summa on 20, ja työ on 96"

Diofant väittää seuraavasti: ongelman kunnosta seuraa, että halutut numerot eivät ole yhtäläisiä, koska jos ne olisivat yhtä suuret, heidän työnsä ei olisi 96 ja 100. Näin ollen yksi niistä on yli puolet niistä niiden summa eli. 10 + H. Toinen on vähemmän, ts. 10 - H. . Niiden välinen ero 2x .

Tästä syystä yhtälö:

(10 + x) (10 - X) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

X 2 - 4 \u003d 0 (1)

Täältä x \u003d 2. . Yksi halutusta numerosta on 12 , Muut 8 . Päätös x \u003d -2. Diophanta ei ole olemassa, koska Kreikan matematiikka tiesi vain positiiviset numerot.

Jos päätämme tämän tehtävän, valitsemalla yksi halutuista numeroista tuntemattomina, tulemme ratkaisemaan yhtälön

y (20 - Y) \u003d 96,

2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

On selvää, että valitsemalla halutun numeron tuntematon peli, Diofant yksinkertaistaa päätöstä; Hän voi vähentää tehtävää ratkaista epätäydellinen neliöyhtälö (1).

1.3 Square yhtälöt Intiassa

Tehtävät neliöyhtälöitä löytyvät jo tähtitieteellisestä "Ariabhatti", jotka on koottu 499. Intian matemaatikko ja astronomi Ariabhatta. Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (VII-luvulla), esitteli yleisen säännön ratkaista yhdelle kanonelliselle lomakkeelle annetut neliön yhtälöt:

Ah 2 +. b. x \u003d S, A\u003e 0. (1)

Yhtälössä (1) kertoimissa paitsi mutta voi olla negatiivinen. Brahmagupta-sääntö on pääasiassa samansuuntainen.

Muinaisessa Intiassa julkiset kilpailut jaettiin vaikeiden tehtävien ratkaisemiseen. Yhdessä vanhoista intialaisista kirjoista seuraavia kilpailuja sanotaan tällaisista kilpailuista: "Kun aurinko on kimalteleva omien tähtien kanssa, niin tiedemies on varjostaa toisen kansalliskokoukselle, tarjota ja ratkaista algebrallisia tehtäviä." Tehtävät nauttivat usein runollisessa muodossa.

Tässä on yksi kuuluisan Intian matematiikan XII luvuston tehtävistä. Bhaskarara.

Tehtävä 13.

"Apinat ja kaksitoista Lianam ...

Teho kasvot, hauskaa. Alkoi hypätä, roikkuu ...

Ne ovat kahdeksannen neliöalueella, kuinka monta apinaa oli,

Glade oli huvittunut. Kerrotko minulle, tässä pinossa? "

Bhaskaran päätös todistaa siihen, että hän tiesi neliöyhtälöiden juurien kaksinkertaisesta (kuvio 3).

Vastaava tehtävä 13 yhtälö:

( x. /8) 2 + 12 = x.

Bhaskarara kirjoittaa aiheesta:

x 2 - 64x \u003d -768

ja täydentää tämän yhtälön vasen osaa neliöön lisää molempiin osiin 32 2 , sitten:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 neliön yhtälöt Al - Khorezmi

Algebraalisessa käsittelyssä Al - Khorezmi antaa lineaaristen ja neliön yhtälöiden luokittelun. Kirjoittaja sisältää 6 yhtälön lajia, jotka ilmaisevat heidät seuraavasti:

1) "neliöt ovat juuret", ts. Ah 2 + C \u003d b. x.

2) "neliöt ovat yhtä suuria kuin numero", ts. Ah 2 \u003d s.

3) "Juurit ovat yhtä suuria kuin numero", toisin sanoen Ah \u003d s.

4) "neliöt ja numerot ovat yhtä suuria kuin juuret", ts. Ah 2 + C \u003d b. x.

5) "neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin numero", toisin sanoen Ah 2 +. bX. \u003d s.

6) "juuret ja numerot ovat yhtä suuria kuin neliöt", toisin sanoen bX. + C \u003d ah 2.

Al-Khorezmille välttäen negatiivisten lukujen käytön, kunkin yhtälön jäsenet ovat komponentteja eikä vähennettä. Samalla ei ole tietysti otettu huomioon yhtälöitä, joilla ei ole myönteisiä ratkaisuja. Kirjoittaja esittää keinoja ratkaista nämä yhtälöt käyttämällä Al - Jabr ja Al - Mukabalan tekniikoita. Hänen päätöksensä tietenkin, ei ole samat kuin meidän. Jo ei kuitenkaan mainita, että se on puhtaasti retorinen, esimerkiksi on huomattava, että ensimmäisen tyypin epätäydellisen neliön yhtälön ratkaisemiseksi

al - Khorezmi, kuten kaikki matematiikka, kunnes XVII-luvulla otetaan huomioon nollaratkaisu, todennäköisesti sillä ei ole merkitystä erityisissä käytännön tehtävissä. Kun ratkaistaan \u200b\u200btäydelliset neliön al-chores yhtälöt yksityisillä numeerisissa esimerkeissä, siinä määritellään päätöslauselmat ja sitten geometriset todisteet.

Tehtävä 14. "Square ja numero 21 ovat 10 juuria. Etsi juurta » (Se ymmärretään yhtälön X 2 + 21 \u003d 10x) juuriksi.

Tekijän päätös lukee jotain tällaista: me jaamme juurien määrän, saat 5, moninkertaistaa itsellesi yhden 21 työstä. . Onde 2 OT5, saat 3, se on haluttu juurta. Tai lisää 2 - 5, joka antaa 7, sillä on myös juurtaja.

Al-Khorezmi-hoito on ensimmäinen, joka tuli meille kirjan, jossa neliöyhtälöiden luokittelu järjestelmällisesti ja kaavat annetaan.

1.5 neliön yhtälöt Euroopassa XIII. - XVII Bb

Al-KhorezMI: n al-KhorezMI: n neliön yhtälöiden kaavat esiteltiin ensimmäisen kerran Italian Mathematician Leonardo Fibonacci kirjoitti 1202 kirjoitettu "Abaka". Tämä perusteellinen työ, joka heijastaa matematiikan vaikutusta, molemmat islamin ja muinaisen Kreikan maat, erotetaan sekä täydellisyydestä että esityksen selkeydestä. Tekijä kehitti itsenäisesti joitain uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja Euroopassa lähestyi negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tietämyksen leviämistä paitsi Italiassa vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monet haasteet "Abaka-kirjasta" läpäisi lähes kaikki Euroopan oppikirjat XVI - XVII-vuosisatoja. ja osittain XVIII.

Yleinen sääntö samaan kanoniseen muotoon annetun neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi:

x 2 +. bX. \u003d C,

kaikenlaisia \u200b\u200bkertoimien merkkien yhdistelmiä b. , peräkkäin Se on muotoiltu Euroopassa vain 1544 metrin jäykissä.

Neliön yhtälön liuoksen kaavan tuotos on saatavilla Vietassa, mutta Viet tunnisti vain positiiviset juuret. Italian matemaatikot Tarttolia, Kardano, Bombelly joukossa ensimmäistä XVI-luvulla. Positiivisten ja negatiivisten juurien lisäksi. Vain XVII-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työvoiman ansiosta neliöyhtälöiden ratkaiseminen on moderni ulkonäkö.

1.6 Tietoja Vieta Theoremista

Teorea, jossa ilmaistaan \u200b\u200bsuhde neliön yhtälön kertoimien ja sen juurien välisen suhteen, joka on Vietan nimi, muotoiltiin ensimmäistä kertaa vuonna 1591 seuraavasti: "Jos B. + D. kerrottuna A. - A. 2 hyvin BD. T. A. yhtä SISÄÄN Ja yhtä suuri D. ».

Ymmärtääkseen VIETA, sinun pitäisi muistaa, että MUTTA Kuten jokainen vokaalikirje merkitsi, hänellä on tuntematon (meidän h.), vokaalit SISÄÄN, D. - Tuntemattoman kertoimet. Modernin algebran kielellä edellä mainitussa VITATA tarkoittaa: jos on olemassa

(A +. b. ) X - X 2 \u003d ab ,

x 2 - (a + b. ) x + a b. = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b. .

Visieipat ovat asettaneet yhtälöiden välisten yhtälöiden juurien ja kertoimien välisten yhtälöiden juurien ja kertoimien välinen suhde Vietin symboliikka on kuitenkin edelleen kaukana nykyisistä lajeista. Hän ei tunnistanut negatiivisia numeroita ja tätä, kun ratkettiin yhtälöitä, pidettiin vain tapauksia, kun kaikki juuret ovat positiivisia.

2. Menetelmät neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi

Square yhtälöt ovat perusta, johon Algebran majesteettinen rakennus lepää. Square yhtälöitä käytetään laajalti trigonometristen, ohjeellisten, logaritmisen, irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ja eriarvoisuuden ratkaisemisessa. Me kaikki osaamme, miten ratkaista neliön yhtälöt koulupenkille (luokka 8) ennen yliopiston loppua.

Tavoitteet:

• Käyttöön tietyn neliön yhtälön käsite;
• "Avaa" riippuvuus juurien ja tietyn neliön yhtälön kertoimien välillä;
• kehitetään kiinnostusta matematiikasta, joka näyttää esimerkin Vieta-elämästä, että matematiikka voi olla harrastuksia.

Luokkien aikana

1. Tarkasta kotitehtävä

№ 309 (g) x 1 \u003d 7, x 2 \u003d

№ 311 (g) x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1

№ 312 (d) Ei juuria

2. Tutkittujen materiaalin toistaminen

Jokaisella on pöytä. Etsi taulukon vasemman ja oikean taulukon välinen ottelu.

Ihmettelee sanamuotoa	Kirjaimellinen ilmaisu
1. Neliö ThreeChests	A. Ah 2 \u003d 0
2. syrjintä	B. Ah 2 + C \u003d 0, kanssa< 0
3. Epätäydellinen neliöyhtälö, jolla on yksi juuret, on 0.	SISÄÄN. D\u003e 0.
4. Epätäydellinen neliöyhtälö, yksi juuri, jonka 0, ja toinen ei ole yhtä suuri kuin 0.	G. D.< 0
5. Ei täydellinen neliön yhtälö, joiden juuret ovat yhtä suuria kuin moduuli, mutta vastustavat merkkiä.	D. Ah 2 + WX + C \u003d 0
6. Ei täydellinen neliön yhtälö, jolla ei ole kelvollisia juuria.	E. D \u003d 2 + 4AS
7. Yleinen näkymä neliön yhtälöstä.	J. X 2 + RH + Q \u003d 0
8. Kunto, jossa neliön yhtälöllä on kaksi juuria	Z. Ah 2 + VX + kanssa
9. Kunto, jossa neliön yhtälöllä ei ole juuria	JA. Ah 2 + C \u003d 0, C\u003e 0
10. Kunto, jossa neliön yhtälöllä on kaksi yhtä suurta juuria	. Ah 2 + VH \u003d 0
11. Alennettu neliöyhtälö.	L. D \u003d 0.

Oikeat vastaukset tuovat pöydälle.

1-s; Toinen; 3-A; 4 k; 5 b; 6.; 7-D; 8-in; 9-g; 10-L; 11..

3. Tutkitun materiaalin kiinnittäminen

Päätä yhtälöt:

a) -5x 2 + 8x -3 \u003d 0;

Päätös:

D \u003d 64 - 4 (-5) (- 3) \u003d 4,

x 1 \u003d x 2 \u003d \u003d A + in + C \u003d -5 + 8-3 \u003d 0

b) 2 x 2 + 6x - 8 \u003d 0;

Päätös:

D \u003d 36 - 4 2 (-8) \u003d 100,

x1 \u003d \u003d X 2 \u003d A + B + C \u003d 2 + 6-8 \u003d 0

c) 2009 x 2 + x - 2010 \u003d 0

Päätös:

a + B + C \u003d 2009 + 1 + (-2010) \u003d 0, sitten x 1 \u003d 1 x 2 \u003d

4. Koulun rohkeuden laajentaminen

ah 2 + VKH + C \u003d 0, jos A + B + C \u003d 0, sitten x 1 \u003d 1 x 2 \u003d

Harkitse yhtälöiden ratkaisua

a) 2x 2 + 5x +3 \u003d 0

Päätös:

D \u003d 25 -24 \u003d 1 x 1 \u003d x 2 \u003d A - B + C \u003d 2-5 + 3 \u003d 0

b) -4x 2 -5x -1 \u003d 0

Päätös:

D \u003d 25 - 16 \u003d 9 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d A -B + C \u003d -4 - (- 5) - 1 \u003d 0

c) 1150x 2 + 1135x -15 \u003d 0

Päätös:

a - B + C \u003d 1150-1135 + (- 15) \u003d 0 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d

ah 2 + VX + C \u003d 0, jos A-B + C \u003d 0, sitten x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d

5. Uusi aihe

Tarkista ensimmäinen tehtäväsi. Mitä uusia käsitteitä oli oikostettu. 11 - No, ts.

Alennettu neliöyhtälö - x 2 + px + q \u003d 0.

Oppituntien teema.
Täytä seuraava taulukko.
Vasen sarake itse kannettavissa ja yksi opiskelija laudalla.
Ratkaisuyhtälö ah 2 + WX + C \u003d 0
Oikea sarake, valmistautunut opiskelija laudalla
Ratkaisuyhtälö x 2 + px + q \u003d 0, A \u003d 1, sisään \u003d P, C \u003d Q

Opettaja (tarvittaessa) auttaa, loput kannettavissa.

6. Käytännöllinen osa

X 2 - 6 h. + 8 = 0,	D \u003d 9 - 8 \u003d 1,	x 1 \u003d 3 - 1 \u003d 2	x 2 \u003d 3 + 1 \u003d 4
X 2 + 6 h. + 8 = 0,	D \u003d 9 - 8 \u003d 0,	x1 \u003d -3 - 1 \u003d -4	x 2 \u003d -3 + 1 \u003d -2
X 2 + 20 h. + 51 = 0,	D \u003d 100 - 51 \u003d 49	x 1 \u003d 10 - 7 \u003d 3	x 2 \u003d 10 + 7 \u003d 17
X 2 - 20 h. – 69 = 0,	D \u003d 100 - 69 \u003d 31

Täytä taulukko laskelmien tulosten mukaan.

Ei yhtälö	r	x 1+ x 2	q.	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Vertaa tuloksia, jotka on saatu neliöyhtälöiden kertoimilla.
Mikä johtopäätös voidaan tehdä?

7. Historiallinen todistus

Ensimmäistä kertaa neliön yhtälön juurien ja kertoimien riippuvuus perustettiin kuuluisa Ranskan tiedemies Francois Viet (1540-1603).

Francois Viet oli ammattinsa asianajajalle ja työskenteli monta vuotta kuninkaan neuvonantajana. Ja vaikka matematiikka oli hänen harrastuksensa tai kun harrastus sanoi, hänen itsepäisen työnsä ansiosta hän saavutti suuria tuloksia siinä. Wiets vuonna 1591 esitteli aakkosnimityksen tuntemattomille ja yhtälöiden kertoimille. Mikä sai mahdollisuuden tallentaa yrottien ja muiden yhtälön muihin ominaisuuksiin tärkeimmät kaavat.

Vieta Algebran haitta oli, että hän tunnusti vain myönteisiä numeroita. Negatiivisten ratkaisujen välttämiseksi se korvasi yhtälön tai etsittiin keinotekoisia ratkaisuja, jotka kesti kauan, monimutkattiin ratkaisu ja usein johti virheisiin.

Monet erilaiset löydöt tekivät Vieta, mutta hän itse sopii erinomaisesti suhdetta neliön yhtälön juurien ja kertoimien välisestä suhteesta, eli riippuvuus kutsutaan "Vieta teoremiksi".

Tarkastelemme tätä teoriaa seuraavassa oppitunnissa.

8. Yhteenveto tietoa

Kysymykset:

1. Mitä yhtälöä kutsutaan annettuna neliön yhtälöksi?
2. Mitä kaavaa löydät tietyn neliön yhtälön juuret?
3. Mikä riippuu tietyn neliön yhtälön juurien määrästä?
4. Mitä kutsutaan annettuun neliön yhtälön syrjiväksi?
5. Miten nykyisen neliön yhtälön ja sen kertoimien juuret ovat?
6. Kuka asensi tämän yhteyden?

9. Kotitehtävä

s. 4.5, №321 (b, e) №322 (a, g, g, s)

Täytä taulukko.

Yhtälö	Juuret	Juurien summa	Juurien tuotanto
X 2 - 8x + 7 \u003d 0	1 ja 7.	8	7

Kirjallisuus

Cm. Nikolskyet ai., "Algebra 8" MGU-School -sarjan opetusohjelma - M.: Enlightenment, 2007.

"Toisin sanoen ensimmäisen asteen yhtälöt. Tässä oppitunnissa analysoimme mitä kutsutaan neliöyhtälöksi Ja miten ratkaista se.

Mitä kutsutaan neliöyhtälöksi

Tärkeä!

Yhtälön aste määräytyy suurimmalla tavalla, jossa tuntematon yksi on.

Jos suurin osa, jossa tuntematon on "2", se tarkoittaa, että olet neliöyhtälö.

Esimerkkejä neliöyhtälöistä

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + X +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Tärkeä! Yleinen näkemys neliön yhtälöstä näyttää tältä:

A X 2 + B x + C \u003d 0

"A", "B" ja "C" - määritetyt numerot.

• "A" on ensimmäinen tai vanhempi kerroin;
• "B" - toinen kertoimen;
• "C" on vapaa jäsen.

Löytää "A", "B" ja "C", sinun on verrata yhtälöäsi yhteiseen näkemykseen neliön yhtälöstä "Ax 2 + BX + C \u003d 0".

Huolemme kertoimien "A", "b" ja "C" kertoimien määrittämisestä.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -X 2 + X +

Yhtälö	Tekijät
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13 c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

X 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0,25.
• c \u003d 0.

X 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Kuinka ratkaista neliöyhtälöt

Toisin kuin lineaariset yhtälöt neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi, erityinen kaavaa juurien löytämiseksi.

Muistaa!

Ratkaise neliön yhtälö tarvitset:

• luo neliön yhtälö yleiseen tyyppiin "AX 2 + BX + C \u003d 0". Eli vain "0" olisi pysyttävä oikeassa osassa;
• käytä juurimuotoa:

Analysoi esimerkistä, miten levittää kaavaa neliön yhtälön juurien löytämiseksi. Anna neliön yhtälön.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

"X 2 - 3x - 4 \u003d 0" yhtälö on jo annettu "AX 2 + BX + C \u003d 0" kokonaislukuun ja ei vaadi ylimääräisiä yksinkertaistuksia. Ratkaise se, meillä on tarpeeksi soveltaa kaava löytää neliön yhtälön juuret.

Määritämme tämän yhtälön kertoimet "a", "," b "ja" c ".

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

Sen kanssa kaikki neliöyhtälö ratkaistaan.

Kaavassa "X 1; 2 \u003d" Usein vaihda opastettu ilmentymä
"B 2 - 4AC" kirjaimella "D" ja sitä kutsutaan syrjiväksi. Syrjinnän käsitettä pidetään tarkemmin oppitunnissa "Mikä on syrjivä".

Harkitse toista esimerkkiä neliön yhtälöstä.

x 2 + 9 + X \u003d 7x

Tässä muodossa määritä kertoimet "A", "B" ja "C" on melko vaikeaa. Anna ensin yhtälö yleiseen tyyppiin "AX 2 + BX + C \u003d 0".

X 2 + 9 + X \u003d 7x
X 2 + 9 + X - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
X 2 - 6x + 9 \u003d 0

Nyt voit käyttää juurikaavaa.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.

6

2

X \u003d 3.
Vastaus: X \u003d 3

On olemassa tapauksia, joissa ei ole juuria neliöyhtälöissä. Tämä tilanne ilmenee, kun negatiivinen luku on juuren alla.

Nykyaikaisessa yhteiskunnassa kyky suorittaa toimia neliön nousevan muuttujan kanssa sisältävien yhtälöiden kanssa voi olla hyödyllinen monilla toiminta-alueilla ja sitä käytetään laajalti tieteellisessä ja teknisessä kehityksessä käytännössä. Todisteet tästä voivat palvella merenkulun ja joen alusten, ilma-alusten ja ohjusten suunnittelua. Tällaisten laskelmien avulla eri elinten liikkumisen liikerataa, mukaan lukien avaruusobjektit. Esimerkkejä neliöyhtiön liuoksella käytetään paitsi taloudellisissa ennusteissa rakennusten suunnittelussa ja rakentamisessa myös tavallisimmissa päivittäisissä olosuhteissa. Niitä voi olla tarpeen matkailukampanjoissa, urheilussa, ostoskaupoissa ja muissa hyvin yhteisissä tilanteissa.

Me rikkomme lausekkeen kertojien komponenteilla

Yhtälön aste määräytyy muuttujan määrän suurimmalla arvolla, joka sisältää tämän lausekkeen. Siinä tapauksessa, että se on 2, niin tällaista yhtälöä kutsutaan vain neliöksi.

Jos kaavojen kieli ilmaisee, sitten ilmoitettuja ilmaisuja, riippumatta siitä, miten ne näyttävät, voivat aina johtua lomakkeesta, kun ilmaisun vasen osa koostuu kolmesta termistä. Niistä: AX 2 (eli varustettu muuttuja, joka on rakennettu neliöön sen kerroin), BX (tuntematon ilman neliötä, jossa on kerroin) ja C (vapaa komponentti, eli tavallinen numero). Kaikki tämä oikealla puolella on yhtä suuri kuin 0. Jos kyseessä ei ole mitään sen komponentteja, lukuun ottamatta kirves 2, sitä kutsutaan epätäydelliseksi neliöyhtälöksi. Esimerkkejä tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi, muuttujien arvo, jossa sitä on helppo löytää, tulisi harkita ensin.

Jos lauseke näkyy lomakkeessa, näyttää siten, että kaksi tarkemmin, tarkemmin, kirves 2 ja BX, ilmentyminen ilmaisulla ilmaisulla oikealla puolella, on helpoin löytää muuttuja suluissa. Nyt yhtälö näyttää tästä: X (Ax + B). Seuraavaksi tulee ilmeinen, että tai x \u003d 0 tai tehtävä vähennetään muuttujan löytämiseksi seuraavasta lausekkeesta: Ax + b \u003d 0. Määritetty sanelee yksi kertolaskuominaisuuksista. Sääntö sanoo, että kahden tekijän tuote antaa 0 vain, jos yksi niistä on nolla.

Esimerkki

x \u003d 0 tai 8x - 3 \u003d 0

Tämän seurauksena saamme kaksi yhtälön juuria: 0 ja 0,375.

Tällaiset yhtälöt voivat kuvata elinten liikkumista painovoiman vaikutuksesta, mikä alkoi liikkeen tiettyyn koordinaatteihin. Täällä matemaattinen levy ottaa seuraavan lomakkeen: Y \u003d V 0 T + GT 2/2. Tarvittavat arvot korvataan oikeanpuoleisen puolen 0 ja mahdollisten tuntemattomien etsiminen, voit selvittää ajan, joka kulkee kehon noususta, kunnes se laskee, samoin kuin monet muut arvot. Mutta puhumme siitä myöhemmin.

Ilmaisun hajoaminen kertoimilla

Edellä kuvattu sääntö mahdollistaa määritettyjen tehtävien ratkaisemisen ja monimutkaisempia tapauksia. Harkitse esimerkkejä tämän tyyppisen neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Tämä neliön kolminkertaistuu on valmis. Aluksi muutetaan ilmaisun ja hajota se kertojille. Ne saadaan kaksi: (X-8) ja (X-25) \u003d 0. Tämän seurauksena meillä on kaksi juuria 8 ja 25.

Esimerkkejä neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi luokan 9 antamalla tämä menetelmä löytää muuttujan ilmaisuissa paitsi toisella, mutta jopa kolmannella ja neljännellä tilauksilla.

Esimerkiksi: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kerrotusaineiden oikean osan hajoamisella muuttujalla, ne saadaan kolme, eli (X + 1), (X-3) ja ( X + 3).

Tämän seurauksena on ilmeistä, että tämä yhtälö on kolme juuria: -3; -yksi; 3.

Pura neliöjuuri

Toinen tapaus toisen järjestyksen epätäydellinen yhtälö on ilmaus, joka on esitetty siten, että oikea puoli on rakennettu AX 2: n ja C: n komponenteista. Tässä muuttujan arvoa vapaata jäsentä siirretään oikealle puolelle ja sitten neliöjuuri uutetaan molemmista osa-alueista. On huomattava, että tässä tapauksessa yhtälön juuret ovat yleensä kaksi. Poikkeus voi olla yhtä suuri kuin tasa-arvo, joka ei yleensä sisällä termiä C, jossa muuttuja on nolla, samoin kuin ilmaisuvaihtoehdot, kun oikea puoli osoittautuu negatiiviseksi. Jälkimmäisessä tapauksessa ratkaisuja ei lainkaan ole olemassa, koska edellä mainittua toimintaa ei voida tuottaa juurilla. Esimerkkejä tämäntyyppisen neliön yhtälöiden ratkaisuista on otettava huomioon.

Tällöin yhtälön juuret ovat -4 ja 4.

Laskenta maan tontti

Tällaisten laskelmien tarve esiintyi syvässä antiikissa, koska matematiikan kehittäminen monissa suhteissa näillä kaukaisilla aikoina johtui tarve määrittää alueen tarkkuuden ja maan tonttien kehä.

Esimerkkejä tällaisten tehtävien pohjalta laadittujen neliön yhtälöiden ratkaisemiseksi olisi harkittava meille.

Joten sanotaan, että on suorakulmainen tontti, jonka pituus on 16 metriä enemmän kuin leveys. Sitä on löydettävä pituus, leveys ja kehä sivuston, jos tiedetään, että sen pinta-ala on 612 m 2.

Asian aloittaminen tehdä ensin tarvittava yhtälö. Merkitse X: n leveys sivuston, sen pituus on (x + 16). Kirjallisesta kirjoista seuraa, että alue määräytyy ilmaisulla x (x + 16), joka ongelman kunnon mukaan on 612. Tämä tarkoittaa, että X (x + 16) \u003d 612.

Täydellisten neliöyhtälöiden ratkaisu ja tämä ilmentymä on täsmälleen sellaista, sitä ei voida suorittaa samalla tavoin. Miksi? Vaikka sen vasemmalla puolella on vielä kaksi tekijää, tuote ei ole lainkaan yhtä suuri kuin 0, joten muita menetelmiä käytetään täällä.

Syrjivä

Ensinnäkin tuotamme tarvittavan muuntamisen, tämän ilmaisun ulkonäkö näyttää tältä: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Tämä tarkoittaa, että meillä on ilmentymä, joka vastaa aiemmin määritettyä standardia, jossa A \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Tämä voi olla esimerkki neliön yhtälöiden ratkaisemisesta syrjinnän kautta. Tässä vaaditut laskelmat tehdään kaavion mukaan: D \u003d B 2 - 4AC. Tämä lisäarvo ei vain anna haluttuja arvoja toisessa tilausyhtälössä, se määrittää mahdollisten vaihtoehtojen määrän. Jos D\u003e 0, on kaksi; Kun D \u003d 0, on yksi juurta. Jos d<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tietoja juurista ja niiden kaavan

Meidän tapauksessamme syrjintä on: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Tämä viittaa siihen, että vastauksen tehtävästämme on olemassa. Jos tiedät, K, neliöyhtälöiden ratkaisu on jatkettava käyttämällä alla olevaa kaavaa. Sen avulla voit laskea juuret.

Tämä tarkoittaa, että esitetyssä tapauksessa: X 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Toinen versio tässä dilemmassa ei voi olla ratkaisu, koska maan mittoja ei voida mitata negatiivisissa arvoissa, se tarkoittaa X (eli sivuston leveys) on 18 m. Tästä lähtien laskemme pituuden: 18 + 16 \u003d 34 ja kehä 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Esimerkkejä ja tavoitteita

Jatkamme opiskelemaan Square yhtälöitä. Esimerkkejä ja useiden niistä annetaan yksityiskohtainen ratkaisu.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Siirrämme kaiken tasa-arvon vasemmalle osalle, teemme muutoksen, eli hankkimme yhtälön muodon, jota kutsutaan standardiksi ja tasoittaa se nollalla.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Taittumisen jälkeen määritellään syrjintää: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Joten yhtälöllä on kaksi juuria. Lasketaan ne edellä olevan kaavan mukaisesti, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen niistä on 4/3 ja toinen.

2) paljastaa nyt toisenlaisen arvopakkaukset.

Selvitä, onko juuria täällä x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Saadakseen kattavan vastauksen, annamme polynomin asianmukaiseen tuntemukseen ja laskemaan syrjintä. Määritetyssä esimerkissä neliön yhtälön liuos ei ole välttämätöntä, koska tehtävän ydin ei ole lainkaan. Tässä tapauksessa D \u003d 16 - 20 \u003d 4, mikä tarkoittaa, että ei todellakaan ole juuria.

Vieta lause

Neliön yhtälöt ratkaistaan \u200b\u200bkätevästi edellä mainittujen kaavojen ja syrjintön kautta, kun neliöjuuri uutetaan viimeisestä arvosta. Mutta se ei aina ole. On kuitenkin monia tapoja saada muuttujia tässä tapauksessa. Esimerkki: ratkaisuja neliön yhtälöiden vieta Lause. Hänet on nimetty, jonka jälkeen asui XVI-luvulla Ranskassa ja teki loistavan uran matemaattisten lahjakkuutensa ja pihansa vuoksi. Muotokuva se voidaan nähdä artikkelissa.

Kuvio, jonka kuuluisa ranska totesi, oli seuraava. Hän osoittautui, että yhtälön juuret määrässä ovat numeerisesti yhtä kuin -P \u003d B / A ja niiden tuote vastaa Q \u003d C / A.

Harkitse nyt tiettyjä tehtäviä.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Yksinkertaisuuden vuoksi muuttamme lausekkeen:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Käytämme Vieta teoremia, se antaa meille seuraavat tiedot: juurien määrä on -7 ja heidän työnsä -18. Täältä saamme, että yhtälön juuret ovat numeroita -9 ja 2. Kun olet tehnyt tarkistuksen, varmista, että näiden muuttujien arvot ovat todella sopivia ilmaisussa.

Kaavio ja parabolan yhtälö

Käsitteet Kvadraattinen toiminto ja neliöyhtälöt liittyvät läheisesti. Esimerkkejä tästä on jo aiemmin esitetty. Tarkastele nyt joitain matemaattisia arvoituksia hieman enemmän. Kuvattu kuvatun tyypin yhtälö voidaan kuvitella. Samanlainen riippuvuus, joka on piirretty kaavion muodossa, kutsutaan paraboliksi. Hänen erilaiset tyypit on esitetty alla olevassa kuvassa.

Jokaisella parabolalla on kärki, eli kohta, josta sen sivukonttorit tulevat ulos. Jos A\u003e 0, he lähtevät äärettömään ja kun a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Toimintojen visuaaliset kuvat auttavat ratkaisemaan kaikki yhtälöt, mukaan lukien neliö. Tätä menetelmää kutsutaan graafiksi. Ja muuttujan X arvo on abscissan koordinaatti pisteissä, joissa kaavion kaavio ylittää 0x. Pystysten koordinaatit löytyvät ainoan kaavan X 0 \u003d -B / 2a mukaan. Ja korvaamalla tuloksena oleva arvo toiminnon alkuperäiseen yhtälöön voit oppia Y 0, eli Ordinaatti-akseliin kuuluvan PearAbol-huipputason toinen koordinaatti.

Parabolan oksat ylittävät Abscissan akselin

Esimerkkejä neliön yhtälöiden liuoksista ovat hyvin paljon, mutta yleisiä kuvioita. Harkitse niitä. On selvää, että kaavion leikkaus akselilla 0x A-\u003e 0 on vain mahdollista, jos 0 vastaanottaa negatiivisia arvoja. Ja A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muuten d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Kaavion mukaan parabolat voidaan tunnistaa ja juuret. Päinvastoin on myös totta. Toisin sanoen, jos saat visuaalisen kuvan kvadraattisesta toiminnosta, ei ole helppoa, voit rinnastaa lausekkeen oikean puolen arvoon 0 ja ratkaista saatu yhtälö. Ja tietäen risteyspisteitä 0x-akselilla, on helpompi rakentaa aikataulu.

Historiasta

Yhtälöidyillä yhtälöllä, joka sisältää neliöön nostetun muuttujan, vanhoina päivinä ei ainoastaan \u200b\u200btehnyt matemaattisia laskelmia ja määritti geometristen lukujen alue. Samankaltaisia \u200b\u200blaskelmia muinaisista fysiikan ja tähtitieteen alalla tarvitaan suuria löytöjä sekä laatimaan astrologiset ennusteet.

Nykyaikaisten tieteen luvut viittaavat alkuperän yhtälöiden ensimmäisistä ratkaisuista Babylonin asukkaille. Se tapahtui neljä vuosisataa ennen aikakauden alkamista. Tietenkin niiden laskelmat erottiin nyt hyväksytyistä ja osoittautuivat paljon primitiivisiksi. Esimerkiksi mesopotamian matemaatikot eivät olleet aavistustakaan negatiivisten lukujen olemassaolosta. Muukalaisilla oli myös muita hienovaraisuuksia niistä, jotka tuntevat aikamme opiskelija.

Ehkä jopa aikaisemmat Babylonin tutkijat, neliön yhtälöiden ratkaisu, Intian Budhoyaman salva oli mukana. Se tapahtui noin kahdeksan vuosisataa ennen Kristuksen aikakautta. Toinen, toisen järjestyksen yhtälö, menetelmät, joita hän johti oli samanaikaisesti. Hänen lisäksi tällaiset kysymykset olivat kiinnostuneita vanhoista ja kiinalaisista matemaatikot. Euroopassa neliön yhtälöt alkoivat ratkaista vain XIII-luvulla, mutta myöhemmin heitä käytettiin heidän työstään niin suuret tutkijat kuin Newton, Descartes ja monet muut.

Square yhtälöitä tutkitaan palkkaluokkaan 8, joten täällä ei ole mitään vaikeaa. Kyky ratkaista ne on ehdottoman välttämätöntä.

Neliöyhtälö on lomakkeen AX 2 + BX + C \u003d 0 yhtälö, jossa kertoimet A, B ja C ovat mielivaltaisia \u200b\u200bnumeroita ja ≠ 0.

Ennen erityispäätösmenetelmien tutkimista huomaamme, että kaikki neliön yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:

1. Ei ole juuria;
2. On täsmälleen yksi juurta;
3. On kaksi eri juuria.

Tämä on tärkeä ero lineaarisen neliön yhtälöiden välillä, jossa juuret ovat aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrittää, kuinka monta juuria on yhtälö? Tätä varten on ihana asia - syrjivä.

Syrjivä

Anna neliön yhtälön ax 2 + bx + c \u003d 0. Sitten syrjintä on vain numero D \u003d B 2 - 4AC.

Tämä kaava on tunnettava sydämestä. Missä hän tekee - nyt sillä ei ole väliä. Muu on tärkeä: syrjintämerkki voidaan määrittää, kuinka monta juuria on neliöyhtälö. Nimittäin:

1. Jos d< 0, корней нет;
2. Jos d \u003d 0, on juuri yksi juurta;
3. Jos D\u003e 0, siellä on kaksi juuria.

Huomaa: syrjintä osoittaa juurien määrän eikä lainkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet harkitsevat. Tutustu esimerkkeihin - ja ymmärrät kaiken:

Tehtävä. Kuinka monta juuria on neliöyhtälöitä:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Pidämme ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydämme syrjivän:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Joten syrjivä on positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juuria. Samoin pura toinen yhtälö:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Syrjintä on negatiivinen, ei juuria. Viimeinen yhtälö säilyy:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Syrjintä on nolla - juuret ovat yksi.

Huomioithan, että kullekin yhtälölle kertoimet purettiin. Kyllä, se on pitkä aika, kyllä, se on ikävä - mutta et sekoita kertoimia ja älä anna typeriä virheitä. Valitse itsesi: nopeus tai laatu.

Muuten, jos "täytä käsi", jonkin ajan kuluttua ei enää tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Tällaiset toiminnot suoritetaan päähän. Useimmat ihmiset alkavat tehdä niin jonnekin 50-70 jälkeen ratkaista yhtälöitä - yleensä, ei niin paljon.

Roots Square yhtälö

Nyt voimme todellakin päätökseen. Jos syrjintää D\u003e 0, juuret löytävät kaavoja:

Neliön yhtälön juurien peruskaava

Kun D \u003d 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - se on sama numero, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ A \u003d 1; b \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsi heidät:

Toinen yhtälö:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ yhtälö taas on kaksi juuria. Löydämme ne

\\ [\\ Alkaa (Kohdista) ja ((x) _ (1)) \u003d \\ FRAC (2+ \\ SQRT (64)) (2 \\ cdot \\ vasemmalle (-1 \\ oikea)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- SQRT (64)) (2 \\ CDOT \\ Vasen (-1 oikea)) \u003d 3. \\\\ \\ End (kohdistus) \\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Yhtälöllä on yksi juurta. Voit käyttää mitä tahansa kaavaa. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä voidaan nähdä, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tiedät kaavan ja pystyy harkitsemaan, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä esiintyy korvauksen aikana negatiivisten kertoimien kaavan aikana. Täällä edellä kuvattu vastaanotto auttaa: katsokaa kaava kirjaimellisesti, maalaa jokainen vaihe - ja pian päästä eroon virheistä.

Epätäydelliset neliöyhtälöt

Se tapahtuu, että neliöyhtälö on jonkin verran erilainen kuin määritelmä. Esimerkiksi:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

On helppo nähdä, että näissä yhtälöissä ei ole ketään. Tällaiset neliön yhtälöt ovat entistäkin helpompaa kuin standardi: ne eivät edes tarvitse harkita syrjintää. Joten, otamme käyttöön uuden konseptin:

Ax 2 + BX + C \u003d 0 yhtälö kutsutaan epätäydelliseksi neliöyhtälöksi, jos B \u003d 0 tai C \u003d 0, ts. Kerroin, jossa on muuttuja X tai vapaa elementti, on nolla.

Tietenkin täysin vaikea tapa on mahdollista, kun molemmat näistä kertoimista ovat nolla: B \u003d C \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö ottaa lomakkeen AX 2 \u003d 0. Ilmeisesti tällaisella yhtälöllä on yksi juurta: x \u003d 0 .

Harkitse jäljellä olevia tapauksia. Olkoon b \u003d 0 olla 0, sitten saamme epätäydellisen neliön yhtälön lomakkeen AX 2 + C \u003d 0. Muuntimme sen vähän:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta numerosta, jälkimmäinen tasa-arvo on järkevä yksinomaan (-C / A) ≥ 0. PÄÄTELMÄ:

1. Jos lomakkeen 2 + C \u003d 0 epätäydellisessä neliöyhtälössä tehdään epätasa-arvo (-C / A) ≥ 0, on kaksi juuria. Kaava on esitetty edellä;
2. Jos (-c / a)< 0, корней нет.

Kuten näette, syrjintä ei tarvinnut - epätäydellisissä neliöyhtälöissä ei ole monimutkaista laskentaa. Itse asiassa ei ole tarpeen muistaa epätasa-arvoa (-C / a) ≥ 0. Riittää ekspressoida x 2: n arvoa ja katso, mikä on tasa-arvomerkin toisella puolella. Jos on myönteinen numero - juuret ovat kaksi. Jos negatiivinen - juuret eivät ole lainkaan.

Nyt ymmärrämme lomakkeen AX 2 + BX \u003d 0 yhtälöt, joissa vapaa elementti on nolla. Kaikki on yksinkertaista täällä: juuret ovat aina kaksi. Se riittää hajottamaan polynomin kertojille:

Kerroin kannattimeen

Työ on nolla, kun ainakin yksi kerroksista on nolla. Täältä on juuret. Lopuksi analysoimme useita tällaisia \u200b\u200byhtälöitä:

Tehtävä. Square Square yhtälöt:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; X 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Ei juuria, koska Square ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen numero.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; X 2 \u003d -1,5.