Funktion y derivaatta on x: n juuri. Tehofunktiojohdannainen (asteet ja juuret)

Tässä oppitunnissa opimme soveltamaan eriyttämiskaavoja ja -sääntöjä.

Esimerkkejä. Etsi funktioiden johdannaisia.

1. y = x 7 + x 5 -x 4 + x 3 -x 2 + x -9. Käytä sääntöä Minä, kaavat 4, 2 ja 1... Saamme:

y '= 7x 6 + 5x 4-4x 3 + 3x 2 -2x + 1.

2. y = 3x 6 -2x + 5. Ratkaisemme samalla tavalla käyttämällä samoja kaavoja ja kaavaa 3.

y ’= 3 ∙ 6x 5 -2 = 18x 5 -2.

Käytä sääntöä Minä, kaavat 3, 5 ja 6 ja 1.

Käytä sääntöä IV, kaavat 5 ja 1 .

Viidennessä esimerkissä säännön mukaan Minä summan johdannainen on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, ja olemme juuri löytäneet ensimmäisen termin johdannaisen (esimerkki 4 ), siksi löydämme johdannaiset 2 ja 3. ehdot, ja ensimmäiselle termi, voimme heti kirjoittaa tuloksen.

Erottaminen 2 ja 3. ehdot kaavan mukaan 4 ... Tätä varten muutamme nimittäjien kolmannen ja neljännen asteen juuret asteiksi, joilla on negatiivinen eksponentti, ja sitten 4 kaava, löydämme voimien johdannaiset.

Katso annettu esimerkki ja saatu tulos. Onko sinulla mallia? Hyvä. Tämä tarkoittaa, että meillä on uusi kaava ja voimme lisätä sen johdannaistaulukkoomme.

Ratkaistaan ​​kuudes esimerkki ja johdetaan toinen kaava.

Käytämme sääntöä IV ja kaava 4 ... Vähennä syntyneitä jakeita.

Tarkastelemme tätä funktiota ja sen johdannaista. Ymmärsit tietysti mallin ja olet valmis nimeämään kaavan:

Opi uusia kaavoja!

Esimerkkejä.

1. Etsi argumentin lisäys ja funktion lisäys y = x 2 jos argumentin alkuperäinen arvo oli 4 ja uutta - 4,01 .

Ratkaisu.

Uusi argumentin arvo x = x 0 + Δx... Korvaa tiedot: 4,01 = 4 + Δx, joten argumentin lisäys Δx= 4,01-4 = 0,01. Funktion lisäys määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen ero, ts. Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y = x 2, sitten Δy= (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx + (Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx + (Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastaus: argumentin lisäys Δx= 0,01; toiminnon lisäys Δy=0,0801.

Funktion lisäys oli mahdollista löytää eri tavalla: Δy= y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2-4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Etsi funktion kuvaajan tangentin kallistuskulma y = f (x) pisteessä x 0, jos f "(x 0) = 1.

Ratkaisu.

Johdannaisarvo tangenttipisteessä x 0 ja siellä on tangentin kallistuskulman tangentin arvo (derivaatan geometrinen merkitys). Meillä on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 °, koska tg45 ° = 1.

Vastaus: tämän funktion kuvaajan tangentti muodostaa kulman, jonka Ox -akselin positiivinen suunta on yhtä suuri 45 °.

3. Johda funktion derivaatan kaava y = x n.

Erilaistuminen Onko toiminto funktion derivaatan löytäminen.

Johdannaisia ​​etsittäessä käytetään kaavoja, jotka on johdettu johdannaisen määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme johdetun asteen kaavan: (x n) "= nx n-1.

Nämä ovat kaavoja.

Johdannaistaulukko se on helpompi muistaa sanomalla sanallisia muotoiluja:

1. Vakion derivaatta on nolla.

2. X -isku on yhtä.

3. Vakiokerroin voidaan ottaa pois johdannaisen merkistä.

4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo, jolla on sama perusta, mutta eksponentti on yksi pienempi.

5. Juuren derivaatta on yhtä jaettuna kahdella samalla juurilla.

6. Yksikön johdannainen jaettuna x: llä on yhtä kuin miinus yksi jaettuna x neliöllä.

7. Sinijohdannainen on yhtä suuri kuin kosini.

8. Kosinin derivaatta on yhtä kuin miinus -sini.

9. Tangentin derivaatta on yhtä kuin jaettu kosinin neliöllä.

10. Kotangenttijohdannainen on yhtä kuin miinus yksi jaettuna sinisellä neliöllä.

Me opetamme eriyttämissäännöt.

1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin ehtojen derivaattojen algebrallinen summa.

2. Tuotteen johdannainen on yhtä suuri kuin ensimmäisen kerroimen johdannaisen tulo toisella plus ensimmäisen kerroimen tuote toisen johdannaisella.

3. Johdannainen "y" jaettuna "ve" on yhtä kuin murtoluku, jonka osoittimessa "y on isku kerrottuna" ve "miinuksella" y kerrottuna alkutekijällä ", ja nimittäjässä -" ve neliö " .

4. Erikoistapaus kaavoja 3.

Opetamme yhdessä!

Sivu 1/1 1

Johdannaisen löytämistä kutsutaan erilaistumiseksi.

Yksinkertaisimpien (ja ei kovin yksinkertaisten) funktioiden johdannaisten löytämisongelmien ratkaisemisen seurauksena määrittämällä johdannainen lisäyksen ja argumentin lisäyksen välisen suhteen rajana, ilmestyi taulukko johdannaisista tiettyjä sääntöjä erilaistuminen. Ensimmäiset johdannaisten löytämisen alalla olivat Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Siksi meidän aikanamme minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi ei ole tarpeen laskea yllä mainittua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen välisen suhteen rajaa, vaan sinun on vain käytettävä taulukko ja johdannaissäännöt. Seuraava algoritmi soveltuu derivaatan löytämiseen.

Johdannaisen löytämiseksi, tarvitset lausekkeen aivohalvausmerkin alle purkaa yksinkertaisia ​​toimintoja ja päättää mitä toimia (tuote, summa, osamäärä) nämä toiminnot ovat yhteydessä toisiinsa. Lisäksi alkeisfunktioiden johdannaiset löytyvät johdannaistaulukosta, ja tuotteen, summan ja osuuden johdannaisten kaavat löytyvät erilaistumissäännöistä. Johdannaistaulukko ja eriyttämissäännöt on esitetty kahden ensimmäisen esimerkin jälkeen.

Esimerkki 1. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Eriytymissäännöistä selviää, että funktioiden summan johdannainen on funktioiden johdannaisten summa, ts.

Johdannaistaulukosta selviää, että "x": n derivaatta on yhtä ja sinin derivaatta yhtä kuin kosini. Korvaamme nämä arvot johdannaisten summaan ja löydämme tehtävän edellyttämän johdannaisen:

Esimerkki 2. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Erotamme summan johdannaisena, jossa toinen termi, jolla on vakio kerroin, voidaan ottaa pois johdannaisen merkistä:

Jos on vielä kysymyksiä siitä, mistä se tulee, ne selkeytyvät pääsääntöisesti johdannaistaulukkoon ja yksinkertaisimpiin erottelusääntöihin tutustumisen jälkeen. Olemme menossa heidän luokseen juuri nyt.

Yksinkertaisten toimintojen johdannaistaulukko

1. Johdannainen vakio (luku). Mikä tahansa luku (1, 2, 5, 200 ...), joka on funktion lausekkeessa. Aina nolla. Tämä on erittäin tärkeää muistaa, koska sitä vaaditaan hyvin usein.
2. Riippumattoman muuttujan johdannainen. Useimmiten "x". Aina yhtä kuin yksi. Tämä on myös tärkeää muistaa pitkään.
3. Johdannaisaste. Kun ratkaiset ongelmia, sinun on muutettava ei-neliöjuuret voimaksi.
4. Muuttujan johdannainen tehoon -1
5. Johdannainen neliöjuuri
6. Sinin johdannainen
7. Kosinin johdannainen
8. Tangentin johdannainen
9. Kotangentin johdannainen
10. Arkusiinin johdannainen
11. Arkkosiinin johdannainen
12. Arktangentin johdannainen
13. Kaaren kotangentin johdannainen
14. Luonnollisen logaritmin johdannainen
15. Logaritmisen funktion johdannainen
16. Eksponentin johdannainen
17. Eksponenttifunktion johdannainen

Eriyttämissäännöt

1. Summan tai eron johdannainen
2. Työn johdannainen
2a. Lausekkeen johdannainen kerrottuna vakio tekijällä
3. Jakajan johdannainen
4. Monimutkaisen funktion johdannainen

Sääntö 1.Jos toiminnot

eriytettävissä jossain vaiheessa, sitten samassa vaiheessa toiminnot

lisäksi

nuo. funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa.

Seuraus. Jos kaksi eriytettävää funktiota eroavat vakion termillä, niin niiden johdannaiset ovat yhtä suuret eli

Sääntö 2.Jos toiminnot

erottuva jossain vaiheessa, niin samassa vaiheessa myös heidän tuotteensa on erilaistuva

lisäksi

nuo. kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin toisen funktion derivaatan tulojen summa.

Seuraus 1. Vakiokerroin voidaan siirtää johdannaisen merkin ulkopuolelle:

Seuraus 2. Useiden eriytettävissä olevien funktioiden tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kaikkien muiden tekijöiden johdannaisen tulojen summa.

Esimerkiksi kolmen tekijän osalta:

Sääntö 3.Jos toiminnot

erottuva jossain vaiheessa ja , sitten tässä vaiheessa se on eriytettävä ja niiden osamääräu / v ja

nuo. kahden funktion jakajan derivaatta on yhtä kuin murtoluku, jonka osoittaja on nimittäjän tulojen ja osoittimen derivaatan ja osoittimen derivaatan välinen ero nimittäjän derivaatan mukaan, ja nimittäjä on edellinen osoitin.

Mistä etsiä muilta sivuilta

Kun löytää tuotteen johdannainen ja osamäärä todellisissa ongelmissa, on aina tarpeen soveltaa useita eriyttämissääntöjä kerralla, joten lisää esimerkkejä näistä johdannaisista on artikkelissa"Johdannainen teoksesta ja tietystä toiminnosta".

Kommentti.Älä sekoita vakio (toisin sanoen luku) summana ja vakio tekijänä! Termin tapauksessa sen johdannainen on nolla, ja vakiokertoimen tapauksessa se poistetaan johdannaisten merkistä. se tyypillinen virhe joka tapahtuu alkuvaiheessa tutkimalla johdannaisia, mutta kun useita yhden tai kahden komponentin esimerkkejä ratkaistaan, keskimääräinen opiskelija ei enää tee tätä virhettä.

Ja jos teosta tai tiettyä kohdetta erottaessasi sinulla on termi u"v, jossa u- luku, esimerkiksi 2 tai 5, eli vakio, niin tämän luvun derivaatta on nolla ja siksi koko termi on nolla (tätä tapausta analysoidaan esimerkissä 10).

Muut yleinen virhe- monimutkaisen funktion derivaatan mekaaninen ratkaisu yksinkertaisen funktion derivaatana. Siksi monimutkaisen funktion johdannainen erillinen artikkeli on omistettu. Mutta ensin opimme löytämään johdannaiset yksinkertaisia ​​toimintoja.

Matkan varrella et voi tehdä ilman ilmaisumuunnoksia. Tätä varten sinun on ehkä avattava opetusohjelmat uusissa ikkunoissa Toiminta, jolla on voimat ja juuret ja Murtoluvut .

Jos etsit ratkaisuja murtolukujohdannaisille, joilla on tehot ja juuret, toisin sanoen silloin, kun funktio näyttää tältä , seuraa sitten oppituntia "Johdannainen voimien ja juurien murto -osien summasta".

Jos sinulla on sellainen tehtävä , sitten oppitunnisi "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset".

Esimerkkejä vaihe vaiheelta - kuinka löytää johdannainen

Esimerkki 3. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Määritämme funktion lausekkeen osat: koko lauseke edustaa tuotetta ja sen tekijät ovat summia, joista toisessa yksi termeistä sisältää vakion. Käytämme tuotteiden erilaistamissääntöä: kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin funktion tulojen summa toisen johdannaisella:

Seuraavaksi käytämme summan erottamista koskevaa sääntöä: funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa. Meidän tapauksessamme jokaisessa summassa toinen termi miinusmerkillä. Jokaisessa summassa näemme sekä itsenäisen muuttujan, jonka johdannainen on yhtä kuin yksi, että vakion (luvun), jonka johdannainen on nolla. Joten "x" muuttuu meille yhdeksi ja miinus 5 - nollaksi. Toisessa lausekkeessa "x" kerrotaan 2: lla, joten kerromme kaksi samalla yksiköllä kuin "x": n derivaatta. Saamme seuraavat arvot johdannaiset:

Korvaamme löydetyt johdannaiset tuotteiden summalla ja saamme koko ongelman edellyttämän funktion johdannaisen:

Esimerkki 4. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Meidän on löydettävä osamäärän derivaatta. Käytämme kaavaa osamäärän erottamiseen: kahden funktion jakajan derivaatta on yhtä kuin murtoluku, jonka osoittaja on nimittäjän tulojen välinen ero lukijan derivaatan ja osoittimen derivaatan derivaatan välillä nimittäjä, ja nimittäjä on edellisen osoittimen neliö. Saamme:

Olemme jo löytäneet tekijöiden johdannaisen esimerkistä 2.

Jos etsit ratkaisuja ongelmiin, joissa sinun on löydettävä funktion derivaatta, jossa on jatkuvasti kasa juuria ja asteita, kuten esim. tervetuloa sitten luokalle "Johdannainen murtoluvuista, joilla on voimat ja juuret" .

Jos haluat oppia lisää sinien, kosinien, tangenttien ja muiden johdannaisista trigonometriset funktiot eli kun toiminto näyttää tältä , sitten oppituntisi "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset" .

Esimerkki 5. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme tuotteen, jonka yksi tekijä on riippumattoman muuttujan neliöjuuri, jonka johdannainen olemme tutustuneet johdannaistaulukkoon. Tuotteen eriyttämissäännön ja neliöjuuren johdannaisen taulukkoarvon mukaan saamme:

Esimerkki 6. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme osamäärän, jonka osinko on riippumattoman muuttujan neliöjuuri. Osamäärän erilaistamissäännön, jonka toistimme ja jota käytimme esimerkissä 4, ja neliöjuuren derivaatan taulukon arvon mukaan saamme:

Päästäksesi eroon osoittimen murtoluvusta kerro kertolaskuri ja nimittäjä luvulla.

Hei rakkaat lukijat. Kun olet lukenut artikkelin, sinulla on todennäköisesti looginen kysymys: "Miksi tämä on itse asiassa tarpeen?" Tämän vuoksi katson aluksi tarpeelliseksi ilmoittaa etukäteen, että haettu menetelmä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi esitetään pikemminkin matematiikan moraaliselta ja esteettiseltä puolelta kuin käytännön kuivasovelluksen puolelta. Pyydän myös etukäteen anteeksi niiltä lukijoilta, jotka eivät pidä amatöörimäisiä sanojani hyväksyttävinä. Aloitetaan siis kynsien lyöminen mikroskoopilla.

Meillä on toisen asteen algebrallinen yhtälö (se on myös neliö) yleisessä muodossa:

Siirrytään pois toisen asteen yhtälö toisen asteen funktioon:

Jos ilmeisesti on löydettävä sellaiset funktioargumentin arvot, joissa se palauttaisi nollan.

Näyttää siltä, ​​että sinun tarvitsee vain ratkaista toisen asteen yhtälö Viestan lauseen tai syrjijän avulla. Mutta emme ole siksi, miksi olemme kokoontuneet tänne. Otetaan sen sijaan johdannainen!

Ensimmäisen kertaluvun derivaatan fysikaalisen merkityksen määritelmän perusteella on selvää, että korvaamalla argumentti edellä saatuun funktioon saamme (erityisesti) nopeus muuttaa funktiota tämän argumentin määrittämässä kohdassa.

Tällä kertaa saimme toiminnonmuutoksen "nopeuden nopeuden" (eli kiihtyvyys) tietyssä kohdassa. Hieman analysoituamme vastaanotettua, voimme päätellä, että "kiihtyvyys" on vakio, joka ei riipu funktion argumentista - muista tämä.

Muistetaan nyt pieni fysiikka ja tasaisesti kiihdytetty liike (RUD). Mitä meillä on arsenaalissamme? Totta, on olemassa kaava liikkeen koordinaatin määrittämiseksi akselia pitkin halutun liikkeen aikana:

Missä on aika, on alkunopeus, on kiihtyvyys.
On helppo nähdä, että alkuperäinen tehtävämme on juuri RUD.

Eikö kaasukahvan siirtymäkaava ole seuraus toisen asteen yhtälön ratkaisemisesta?

Ei. Yllä oleva kaasukaava on itse asiassa seurausta nopeuskaavan integraalin ottamisesta PRUD: lle. Tai voit löytää kuvion alueen kaaviosta. Siellä tulee puolisuunnikas.
Kaasun siirtymäkaava ei johdu toisen asteen yhtälöiden ratkaisusta. Tämä on erittäin tärkeää, muuten artikkelissa ei olisi mitään järkeä.

Nyt on vielä selvitettävä, mikä on mitä ja mitä meiltä puuttuu.

Meillä on jo "kiihtyvyys" - se on toisen kertaluvun johdannainen, joka on johdettu edellä. Mutta saadaksemme alkunopeuden meidän on yleensä otettava mikä tahansa (nimetään se nimellä) ja korvattava se nyt ensimmäisen kertaluvun johdannaisella - koska se on haluttu.

Tässä tapauksessa herää kysymys, kumpi kannattaa ottaa? Ilmeisesti sellainen, että alkunopeus on nolla, joten kaavasta "siirtymä kaasulla" tulee:

Tässä tapauksessa teemme haun yhtälön:

[korvattu ensimmäisen kertaluvun johdannaiseksi]

Tällaisen yhtälön juuret suhteessa ovat:

Ja alkuperäisen funktion arvo tällaisella argumentilla on:

Nyt käy selväksi, että:

Laitetaan kaikki "palapelin palaset" yhteen:

Joten saimme lopullisen ratkaisun ongelmaan. Yleensä emme löytäneet Amerikkaa - tulimme vain kaavaan, jolla ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö syrjijän kautta liikenneympyrällä. Tällä ei ole mitään käytännön järkeä (suunnilleen samalla tavalla voidaan ratkaista minkä tahansa (ei välttämättä yleisen) muodon ensimmäisen / toisen asteen yhtälöt).

Tämän artikkelin tarkoituksena on erityisesti lämmittää kiinnostusta maton analysointiin. funktiot ja matematiikka yleensä.

Peter oli kanssasi, kiitos huomiosta!

Määritelmä. Määritelkää funktio \ (y = f (x) \) jossakin välissä, joka sisältää pisteen \ (x_0 \) itsensä sisällä. Anna argumentille lisäys \ (\ Delta x \) niin, että se ei mene tämän välin ulkopuolelle. Etsi vastaava funktion lisäys \ (\ Delta y \) (kun siirrytään pisteestä \ (x_0 \) pisteeseen \ (x_0 + \ Delta x \)) ja kirjoita suhde \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \). Jos tämän suhteen raja on \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \), määritettyä rajaa kutsutaan johdannaisfunktio\ (y = f (x) \) kohdassa \ (x_0 \) ja merkitse \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

Symboli y "on usein käytetty osoittamaan johdannaista. Huomaa, että y" = f (x) on uusi funktio, mutta liittyy luonnollisesti funktioon y = f (x), joka on määritelty kaikissa pisteissä x, joissa yllä oleva raja on olemassa ... Tätä toimintoa kutsutaan näin: funktion y = f (x) johdannainen.

Johdannaisen geometrinen merkitys on seuraava. Jos funktion y = f (x) kuvaaja pisteessä, jonka abscissi x = a voidaan piirtää tangentiksi, ei yhdensuuntaiseksi y-akselin kanssa, f (a) ilmaisee tangentin kaltevuuden:
\ (k = f "(a) \)

Koska \ (k = tg (a) \), yhtäläisyys \ (f "(a) = tg (a) \) on tosi.

Tulkitaan nyt johdannaisen määritelmää likimääräisen tasa -arvon näkökulmasta. Olkoon funktiolla \ (y = f (x) \) derivaatta tietyssä kohdassa \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Tämä tarkoittaa, että likimääräinen tasa -arvo \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ noin f "(x) \) täyttyy lähellä pistettä x, eli \ (\ Delta y \ noin f" (x) \ cdot \ Delta x \). Saadun likimääräisen tasa -arvon merkityksellinen merkitys on seuraava: funktion lisäys on "melkein verrannollinen" argumentin lisäykseen ja suhteellisuuskerroin on johdannaisen arvo tietyssä kohdassa x. Esimerkiksi funktio \ (y = x ^ 2 \) täyttää likimääräisen tasa -arvon \ (\ Delta y \ noin 2x \ cdot \ Delta x \). Jos analysoimme huolellisesti johdannaisen määritelmää, huomaamme, että se sisältää algoritmin sen löytämiseksi.

Muotoillaan se.

Kuinka löytää funktion y = f (x) derivaatta?

1. Korjaa arvo \ (x \), etsi \ (f (x) \)
2. Anna argumentille \ (x \) lisäys \ (\ Delta x \), siirry uuteen pisteeseen \ (x + \ Delta x \), etsi \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Etsi funktion lisäys: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Määrittele suhde \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Laske $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Tämä raja on funktion derivaatta pisteessä x.

Jos funktiolla y = f (x) on derivaatta pisteessä x, sitä kutsutaan erilaistuvaksi pisteessä x. Menettelyä funktion y = f (x) derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen funktio y = f (x).

Keskustelkaamme seuraavasta kysymyksestä: miten toiminnon jatkuvuus ja erilaistuvuus liittyvät toisiinsa?

Olkoon funktio y = f (x) eriytettävä kohdassa x. Sitten funktion kuvaajaan voidaan piirtää tangentti pisteessä M (x; f (x)), ja muistakaa, että tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x). Tällainen kuvaaja ei voi" rikkoa " pisteessä M eli toiminnon on oltava jatkuvaa pisteessä x.

Se oli "sormenpäätön" päättely. Antakaamme tiukemmat perustelut. Jos funktio y = f (x) on eriytettävä pisteessä x, niin likimääräinen tasa -arvo \ (\ Delta y \ noin f "(x) \ cdot \ Delta x \) pätee. Jos tässä tasa -arvossa \ (\ Delta x \) on yleensä nolla, silloin \ (\ Delta y \) on yleensä nolla, ja tämä on ehto toiminnon jatkuvuudelle kohdassa.

Niin, jos funktio on eriytettävä kohdassa x, se on myös jatkuva tässä vaiheessa.

Päinvastainen ei ole totta. Esimerkiksi: funktio y = | x | on jatkuva kaikkialla, erityisesti pisteessä x = 0, mutta funktion kuvaajan tangenttia ”liitospisteessä” (0; 0) ei ole. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajalle on mahdotonta piirtää tangenttia, niin tässä vaiheessa ei ole johdannaista.

Vielä yksi esimerkki. Funktio \ (y = \ sqrt (x) \) on jatkuva koko numerolinjalla, myös pisteessä x = 0. Ja funktion kuvaajan tangentti on missä tahansa kohdassa, myös pisteessä x = 0 Mutta tässä vaiheessa tangentti yhtyy y-akseliin, eli se on kohtisuorassa abscissa-akseliin nähden, sen yhtälön muoto on x = 0. Tällaiselle suoralle ei ole kaltevuutta, joten \ ( f "(0) \)

Joten tutustuimme funktion uuteen ominaisuuteen - erilaisuuteen. Ja miten funktion kuvaajan perusteella voimme päätellä sen erilaisuudesta?

Vastaus on itse asiassa saatu edellä. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajalle on mahdollista piirtää tangentti, joka ei ole kohtisuorassa abskissa -akseliin nähden, funktio on tässä vaiheessa eriytettävä. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajan tangenttia ei ole tai se on kohtisuorassa abscissa -akseliin nähden, funktio ei ole tässä vaiheessa erotettavissa.

Eriyttämissäännöt

Johdannaisen etsintäoperaatiota kutsutaan erilaistuminen... Tätä toimintoa suoritettaessa joudut usein työskentelemään osamäärien, summien, funktioiden tuotteiden ja "toimintojen toimintojen" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Johdannaisen määritelmän perusteella on mahdollista johtaa tätä työtä helpottavia eriyttämissääntöjä. Jos C on vakio luku ja f = f (x), g = g (x) ovat erottavia funktioita, seuraavat ovat totta eriyttämissäännöt:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ (Cf) "= Cf" $$ $$ \ left (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ left (\ frac (C ) (g) \ oikea) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Johdannainen monimutkainen toiminto:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Joidenkin toimintojen johdannaistaulukko

$$ \ left (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ left (e ^ x \ right) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x) "= \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $