Trigonometristen toimintojen ratkaiseminen. Perusmenetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Trigonometriset yhtälöt - aihe ei ole yksinkertaisin. He vahingoittavat heitä monipuolista.) Esimerkiksi sellainen:

sIN 2 X + COS3X \u003d CTG5X

sin (5x + π / 4) \u003d CTG (2x-π / 3)

sINX + COS2X + TG3X \u003d CTG4X

Jne...

Mutta nämä (ja kaikki muut) Trigonometriset hirviöt ovat kaksi yleistä ja pakollista ominaisuutta. Ensimmäinen - et usko - Trigonometriset toiminnot ovat yhtälöissä.) Toinen: kaikki XOM: n ilmaisut sijaitsevat näissä toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos XE näkyy jonnekin ulkopuolella, esimerkiksi, sIN2X + 3X \u003d 3, Tämä on jo sekoitetun tyyppinen yhtälö. Tällaiset yhtälöt edellyttävät yksilöllistä lähestymistapaa. Täällä emme pidä niitä.

Evil yhtälöt tässä oppitunnissa Emme päätä.) Tässä käsitellään yksinkertaisesti yksinkertaiset trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska päätös minkä tahansa Trigonometriset yhtälöt koostuvat kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö eri muutoksista tulee yksinkertaisiin. Toisessa - tämä on yksinkertaisin yhtälö. Ei toista reittiä.

Joten, jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa - ensimmäinen vaihe ei ole järkevää.)

Mitä alkuperän trigonometriset yhtälöt näyttävät?

sINX \u003d A.

cosx \u003d A.

tGX \u003d A.

cTGX \u003d A.

Tässä mutta Ilmaisee minkä tahansa numeron. Minkä tahansa.

Muuten toiminnon sisällä se ei ehkä ole puhdas X, mutta eräässä ilmaisua, kuten:

cos (3x + π / 3) \u003d 1/2

jne. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta se ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseen.

Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?

Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: Logiikan ja Trigonometrisen ympyrän käyttö. Tarkastelemme tällä tavalla. Toinen tapa on käyttää muistia ja kaavoja - harkita seuraavassa oppitunnissa.

Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava, ja on vaikea unohtaa.) On hyvä ratkaista ja trigonometriset yhtälöt ja eriarvoisuus ja kaikenlaiset ovelat ei-standardi esimerkit. Logiikka vahvempi muisti!)

Ratkaisemme yhtälöt trigonometrisen ympyrän avulla.

Käännymme elementaarisen logiikan ja kyvyn käyttää trigonometrista ympyrää. En tiedä miten!? Kuitenkin ... vaikea sinulle trigonometriassa on ...), mutta ei vaivaa. Tutustu oppitunneihin "Trigonometrinen ympyrä ...... Mikä se on?" Ja "laskee kulmat Trigonometrisen ympyrään." Kaikki on yksinkertaista siellä. Toisin kuin oppikirjat ...)

Voi, tiedät!? Ja jopa hallitsi "käytännön työtä trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Onnittelut. Tämä aihe on lähellä ja ymmärrettävää sinulle.) Mikä on erityisen tyytyväinen, Trigonometrinen ympyrä on välinpitämätön siihen, mitä yhtälö päätät. Sinus, Kosinus, tangentti, kothorks - kaikki on yksi. Päätöksen periaate.

Täällä käytämme alkeita trigonometrisen yhtälön. Ainakin tämä:

cosx \u003d 0,5

Meidän on löydettävä X. Jos puhumme ihmisen kieltä, tarvitset etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.

Miten käyttimme aiemmin ympyrää? Maalasimme sen kulman. Asteissa tai radialaisissa. Ja välittömästi videli Trigonometriset toiminnot tämän kulman. Nyt teemme päinvastoin. Piirrä kosini ympyrä, joka on 0,5 ja välittömästi nähdä kulma. Se pysyy vain kirjoittamaan vastauksen.) Kyllä, kyllä!

Piirrämme ympyrän ja merkitä kosinin, joka on 0,5. Kostinin akselilla tietenkin. Kuten tämä:

Piirrä nyt kulma, joka antaa meille tämän kosinin. Hiiren yli hiiren päälle kuvan (tai napauta tabletin kuvia) ja nähdä Tämä on hyvin kulma x.

Kosinus Mikä kulma on 0,5?

x \u003d π / 3

cos. 60 ° \u003d Cos ( π / 3.) = 0,5

Joku skeptisesti chops, kyllä \u200b\u200b... He sanovat, onko ympyrä kannattavaa, kun kaikki on selvää ... voit tietenkin jauhaa ...) Mutta tosiasia on, että se on virheellinen vastaus. Pikemminkin riittämätön. Ympyrän kynnet ymmärtävät, että on vielä joukko kulmia, jotka myös antavat kosinaa, joka on 0,5.

Jos käännät OA: n siirrettävän puolen täysi käännös, Kohta A siirtyy alkuperäiseen asentoonsa. Saman kosinin kanssa on 0,5. Nuo. kulma muuttuu 360 ° tai 2π radians, ja cosine - Ei. Uusi 60 ° + 360 ° \u003d 420 ° kulma on myös yhtälön ratkaisu, koska

Tällaiset täydelliset kierrosta voidaan päällystää äärettömän sarjan ... ja kaikki nämä uudet kulmat ovat trigonometrisen yhtälön ratkaisuja. Ja ne on kirjoitettava vastauksena jotenkin. Kaikki. Muussa tapauksessa päätöstä ei pidetä kyllä \u200b\u200b...)

Matematiikka voi tehdä sen yksinkertaisen ja tyylikkään. Yhdessä lyhyessä vastauksessa kirjoita infinite Set Ratkaisut. Näin se etsii yhtälömme:

x \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

Tulkita. Vielä kirjoittaminen merkityksetön Se on mukavampi kuin typerästi piirtää joitakin salaperäisiä nokka, eikö?)

π / 3. - Tämä on sama kulma, että me näin Ympyrän I. puolustettu kosinipöydässä.

2π. - Tämä on yksi täysi käännös radiaaneihin.

n. - Tämä on täydellinen, toisin sanoen kokonaislukuja Kiertymät. On selvää että n. Se voi olla yhtä suuri kuin 0, ± 1, ± 2 ± 3 .... ja niin edelleen. Kuten lyhyt ennätys on merkitty:

n ∈ Z.

n. kuuluu ( ∈ ) Aseta kokonaislukuja ( Z. ). Muuten, kirjeen sijasta n. Kirjaimia voidaan käyttää k, m, t jne.

Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa kaiken kokonaislukuun. n. . Vaikka -3, vähintään 0, kuitenkin +55. Mitä sinä haluat. Jos korvaa tämän numeron kirjoittamaan vastauksen, saat tiettyä kulmaa, joka varmasti on ankaran yhtälön ratkaisu.)

Tai toisin sanoen, x \u003d π / 3 - Tämä on ainoa ääretön sarja. Saadaksesi kaikki muut juuret, riittää π / 3 lisäävät minkä tahansa määrän täydellisiä kierroksia ( n. ) Radialaisissa. Nuo. 2π N. Radian.

Kaikki? Ei. Olen kallista venyttää. Muistettava parempi.) Saimme vain osa vastauksista yhtälöihimme. Tämä päätös päätöksestä kirjoitan tämän seuraavasti:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 1 - Ei yksi juuri, tämä on koko sarja juuria, joka on kirjattu lyhyesti.

Mutta on vielä kulmia, jotka myös antavat kosinaa, joka vastaa 0,5!

Palataan kuvaan, johon vastaus kirjattiin. Tässä hän on:

Pidämme hiiren kuvaan ja nähdä Toinen kulma antaa myös kosini 0,5. Mitä luulet, että se on yhtä suuri? Triangles ovat samat ... Kyllä! Se on yhtä kuin kulma h. , vain lykkäsi negatiivisen suuntaan. Tämä kulma -H. Mutta X on jo laskettu. π / 3 tai60 °. Siksi voit turvallisesti kirjoittaa:

x 2 \u003d - π / 3

No, tietenkin lisää kaikki kulmat, jotka saadaan täyden revit:

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Nyt kaikki.) Trigonometrisen ympyrän mukaan me näin (Kuka ymmärtää tietenkin)) kaikki Kulmat, jotka antavat kosinaa, joka on 0,5. Ja he kirjasivat nämä kulmat lyhyessä matemaattisessa muodossa. Vastaus osoittautui kaksi loputtoman juuren sarjaa:

x 1 \u003d π / 3 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d - π / 3 + 2π n, n ∈ z

Tämä on oikea vastaus.

Toivon yleinen periaate Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi Ympyrän käyttö on ymmärrettävää. Huomaa kosinin ympyrässä (sinus, tangentti, opingentti) määritetystä yhtälöstä, piirrämme vastaavat kulmat ja kirjoitat vastauksen. Tietenkin sinun täytyy selvittää, millaisia \u200b\u200bkulmia me näin Ympyrässä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. No, sanoin, että logiikka tarvitaan täällä.)

Esimerkiksi analysoimme toisen trigonometrisen yhtälön:

Pyydän teitä huomioon, että numero 0,5 ei ole ainoa mahdollinen numero yhtälöissä!) Kirjoitan sen kätevämpää sille kuin juuret ja fraktiot.

Työskentelemme yleisen periaatteen mukaisesti. Piirrämme ympyrän, merkit (sinusten akselilla, tietenkin!) 0,5. Piirrä kaikki tämän sinuksen vastaavat kulmat kerralla. Saamme tämän kuvan:

Ensin käsittelemme kulmaa h. Ensimmäisellä neljänneksellä. Muista sinus-taulukko ja määritä tämän kulman suuruus. Se on yksinkertainen asia:

x \u003d π / 6

Muistamme täydellisistä tarkistuksista ja puhtaalla omatuntolla kirjoita ensimmäiset vastaukset:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

Puolet tapauksesta tehdään. Mutta nyt on tarpeen määrittää toinen kulma ... Se on edelleen kuin kosini, kyllä \u200b\u200b... mutta logiikka säästää meidät! Kuinka määrittää toinen kulma kautta X? Kyllä helppo! Kuvassa olevat kolmiot ovat samat ja punainen kulma h. yhtä suuri kuin kulma h. . Se lasketaan vain kulmasta π negatiivisessa suunnassa. Siksi punainen.) Ja tarvitsemme kulman, joka lasketaan oikein, positiivisesta puoliakselista, ts. 0 asteen kulmasta.

Tuomme kohdistimen piirustukseen ja näemme kaiken. Ensimmäinen kulma, jonka poistettu, ei voi vaikeuttaa kuvaa. Meidän kiinnostuksen kulma (maalattu vihreä) on yhtä suuri kuin:

π - H.

IX tiedämme tämän π / 6. . Se tuli, toinen kulma on:

π - π / 6 \u003d 5π / 6

Muistamme jälleen täydellisten kierrosten lisäämistä ja kirjoitamme toisen vastauksen sarjan:

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

Siinä kaikki. Täysin fedged vastaus koostuu kahdesta juurista:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

Tangentin ja Kotagengen yhtälöt voidaan helposti ratkaista yleisen periaatteen ratkaisemiseksi trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Jos tietenkin tiedät, miten tehdä tangentti ja cotangenit trigonometriseen ympyrään.

Edellä esitetyissä esimerkeissä käytin sinian ja kosinan pöydän arvoa: 0,5. Nuo. Yksi näistä arvoista, joita opiskelija tietää on pakko. Ja nyt laajentamme mahdollisuuksiamme kaikki muut arvot. Päätä niin ratkaise!)

Joten, meidän on ratkaistava niin trigonometrinen yhtälö:

Lyhyissä pöydissä ei ole tällaista arvoa. Kylmästi sivuuttaa tämän kauhean tosiasian. Piirrämme ympyrän, merkitä Cosine 2/3: n akselilla ja piirrä sopivat kulmat. Saamme tämän kuvan.

Ymmärrämme, aloittamaan ensimmäisen vuosineljänneksen kulman. Tiedät, mikä on yhtä suuri kuin x, haluaisin välittömästi kirjoittaa vastauksen! Emme tiedä ... Epäonnistuminen!? Tranquility! Matematiikka omasta vaikeuksista ei heitetä! Hän keksi tässä tapauksessa arkkosinuksen. En tiedä? Turhaan. Selvitä, se on paljon helpompaa kuin luulet. Tämän linkin mukaan ei yksi surround-loitsu "käänteisen trigonometrisen toiminnon", ei ole ... on tarpeeton tässä aiheessa.

Jos tiedät, riittää sanomaan itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja välittömästi, puhtaasti Arkkosinuksen määritelmän avulla voit kirjoittaa:

Muistamme ylimääräisiä revs ja kirjoitamme rauhallisesti trigonometrisen yhtälön ensimmäiset juuret:

x 1 \u003d arccos 2/3 + 2π n, n ∈ z

Toinen juurien sarja, toinen kulma, kirjoitetaan lähes automaattisesti. Kaikki samat, vain x (arccos 2/3) on miinus:

x 2 \u003d - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ z

Ja kaikki asiat! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvot. Minun ei tarvitse muistaa mitään.) Muuten tarkkaava huomautus, että tämä kuva päätös arkkosinuksen kautta ei, pohjimmiltaan ei poikkea kuvasta COSX \u003d 0,5 yhtälöstä.

Tarkalleen! Yleinen periaate yleisestä! Olen nimenomaan maalattu kaksi lähes samaa kuvaa. Ympyrä näyttää kulman h. hänen kosini. Tabletti on kosini, tai ei - ympyrä ei ole tiedossa. Mikä on tämä kulma, π / 3 tai arcsinus, mitä voimme päättää.

Sinus sama laulu. Esimerkiksi:

Piirrämme taas ympyrän, merkitse sinus, joka on yhtä suuri kuin 1/3, piirrä kulmat. Se osoittautuu tämän kuvan:

Ja uudelleen kuva on lähes sama kuin yhtälö sINX \u003d 0,5. Yö alkaa kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on IX, jos sen sinus on 1/3? Ei ongelmaa!

Tässä on ensimmäinen pakkaus juurista:

x 1 \u003d arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ z

Ymmärrämme toisella kulmalla. Esimerkissä taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri kuin:

π - H.

Joten täällä hän on täsmälleen sama! Vain X on toinen, arcsin 1/3. Mitä sitten!? Voit kirjoittaa turvallisesti juurien toisen pakkauksen:

x 2 \u003d π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ z

Tämä on ehdottoman oikea vastaus. Vaikka se ei näytä olevan kovin tuttu. Mutta se on selvää, toivon.)

Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan \u200b\u200bympyrällä. Tämä polku on visuaalinen ja ymmärtää. Hän on se, joka säästää trigonometrisissa yhtälöissä, kun valikoima juuret tietyllä aikavälillä, trigonometrisessa eriarvoisuudessa - ne, jotka yleensä ratkaistaan \u200b\u200blähes aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman monimutkaisia \u200b\u200bstandardin mukaan.

Käytä tietämystä käytännössä?)

Ratkaise Trigonometriset yhtälöt:

Ensinnäkin, helpompi, aivan tässä oppitunnissa.

Nyt kattavampi.

Vihje: Täällä sinun täytyy pohtia ympyrää. Henkilökohtaisesti.)

Ja nyt ulospäin yksinkertainen ... niitä kutsutaan edelleen yksityisistä tapauksista.

sinx. = 0

sinx. = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: Tässä on tarpeen selvittää ympyrässä, jossa kaksi vastausta ja jossa yksi ... ja miten kahden jakson sijasta vastauksen kirjoittamista. Kyllä, niin että ääretön määrä ei kadota!)

No, melko yksinkertainen):

sinx. = 0,3

cosx = π

tGX. = 1,2

cTGX. = 3,7

Vihje: Täällä sinun täytyy tietää, mitä arksinus on, arkkosinus? Mikä on Arctangent, Arkkothance? Yksinkertaisimmat määritelmät. Muista kuitenkin kaikki taulukon arvot, jotka eivät ole välttämättömiä!)

Vastaukset, tietenkin, Disarows:

x 1 \u003d arcsin0.3 + 2π n, n ∈ z z
x 2 \u003d π - arcsin0,3 + 2

Ei kaikki toimii? Se tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain huomaavainen (Tällainen vanhentunut sana ...) ja klikkaa linkkejä. Pääyhteydet ovat noin ympyrä. Ilman häntä Trigonometriassa - kuinka tie liikkua silmät silmät. Joskus se osoittautuu.)

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten minulla on toinen pari mielenkiintoista sivustoa sinulle.)

Sitä voidaan käyttää ratkaisemaan esimerkkejä ja selvitä tasosi. Testaus instant check. Opi - kiinnostuneena!)

Voit tutustua ominaisuuksiin ja johdannaisiin.

Kun ratkaistaan \u200b\u200bmonia matemaattiset tehtävätErityisesti enintään 10 luokan, suoritettujen toimien menettely, joka johtaa tavoitteeseen, on ehdottomasti määritelty. Tällaisia \u200b\u200btavoitteita ovat esimerkiksi lineaariset ja neliön yhtälöt, lineaariset ja neliön epätasa-arvot, murto-yhtälöt ja yhtälöt, jotka vähennetään neliöön. Kunkin mainittujen tehtävien onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: On tarpeen määrittää, miten tyyppi on ratkaistu tehtävä, muistuttaa tarvittavaa toimintaa, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. Vastaus ja suorita nämä toimet.

On selvää, että menestys tai epäonnistuminen yhden tai muun tehtävän ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein yhtälön tyyppi määritellään, kuinka oikein sen liuoksen kaikkien vaiheiden sekvenssi toistetaan. Tietenkin on tarpeen omistaa samanlaiset muutokset ja laskelmat.

Muu tilanne saadaan trigonometriset yhtälöt. Perustetaan se, että yhtälö on trigonometrinen, ei ole vaikeaa. Vaikeudet näkyvät määritettäessä toimien järjestystä, jotka johtaisivat oikeaan vastaukseen.

Yhtälön ulkonäön mukaan joskus sen tyyppiä on vaikea määrittää. Ja ei tiedä yhtälön tyyppiä, on lähes mahdotonta valita useista tusinaa trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun täytyy kokeilla:

1. Luo kaikki yhtälöön sisältyvät toiminnot "samat kulmat";
2. Luo yhtälö "identtisille toiminnoille";
3. Aseta tehtaan yhtälön vasen osa jne.

Harkita perusmenetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

I. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden tuominen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Express Trigonometrinen toiminta tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2. Etsi argumentti toiminto kaavoittain:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sIN X \u003d A; X \u003d (-1) n arcsin A + πn, n є z.

tG X \u003d A; x \u003d arctg a + πn, n є z.

cTG X \u003d A; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Päätös.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Vastaus: ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

II. Vaihtelun vaihtaminen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Luo yhtälö algebraaliseen muotoon suhteessa johonkin trigonometrisen toiminnasta.

Vaihe 2. Nimeä muuttujan T (tarvittaessa kirjoittamalla rajoitukset T).

Vaihe 3. Tallentaa ja ratkaista tuloksena oleva algebraalinen yhtälö.

Vaihe 4. Korvaa.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2COS 2 (x / 2) - 5Sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Päätös.

1) 2 (1 - SIN 2 (X / 2)) - 5SIN (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5Sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Anna sin (x / 2) \u003d t, missä | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 tai E \u003d -3/2, ei täytä tilaa | t | ≤ 1.

4) Sin (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Vastaus: X \u003d π + 4πn, n є z.

III. Menetelmä yhtälön järjestyksen laskemiseksi

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Vaihda tämä lineaarinen yhtälö käyttämällä tämän asteen vähennyskaavaa tätä varten:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - COS 2X);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö käyttäen menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Päätös.

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Vastaus: X \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Yhdenmukaiset yhtälöt

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö lomakkeeseen

a) SIN X + B COS X \u003d 0 (Ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkyviin

b) SIN 2 x + b SIN X · COS X + C COS 2 x \u003d 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat osat

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saat yhtälön suhteessa TG X: hen:

a) Tg x + b \u003d 0;

b) Tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5SIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4 \u003d 0.

Päätös.

1) 5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4 (SIN 2 x + COS 2 x) \u003d 0;

5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4SIN² X - 4COS 2 x \u003d 0;

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 x + 3TG x - 4 \u003d 0.

3) Anna tg x \u003d t, sitten

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 tai t \u003d -4, sitten

tG X \u003d 1 tai TG X \u003d -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä X \u003d π / 4 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d -arctg 4 + πK, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn, n є z; X \u003d -arct 4 + πk, k є z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Kaikenlaisten trigonometristen kaavojen käyttäminen johtaa yhtälöön yhtälöön, ratkaistuihin menetelmiin I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena olevat yhtälön tunnetut menetelmät.

Esimerkki.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

Päätös.

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2x \u003d 0;

2SIN 2X · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0;

sIN 2X \u003d 0 tai 2COS X + 1 \u003d 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä COS X \u003d -1/2.

Meillä on x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Tämän seurauksena X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Taitoja ja taitoja trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat hyvin tärkeää, niiden kehitys edellyttää huomattavia ponnisteluja sekä opiskelija että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu, monet stereometrian haasteet, fysiikka ja muut liittyvät tällaisten tehtävien ratkaisemiseen, kuten se oli, päättelee monia tietoja ja taitoja, jotka ostetaan Trigonometrian elementtien tutkimuksessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä paikassa oppimisen matematiikan ja persoonallisuuden kehityksen prosessissa kokonaisuutena.

Onko sinulla kysymyksiä? En tiedä miten ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Saadaksesi ohjaajan help - Rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

sivusto, jolla on täysi tai osittainen kopiointi materiaalin viittauksen alkuperäiseen lähteeseen.

Oppitunti integroidun tiedon soveltamiseen.

Tavoitteet oppitunti.

1. Harkitse erilaisia \u200b\u200bmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
2. Opiskelijan luovien kykyjen kehittäminen ratkaisemalla yhtälöt.
3. Opiskelijoiden kehottaminen itsekontrolliin, toisiinsa liitettynä, tutkimustoimintaansa.

Laitteet: Näyttö, projektori, vertailumateriaali.

Luokkien aikana

Johdantokeskustelu.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tärkein menetelmä on niiden yksinkertaisimmista tiedoista. Tällöin käytetään tavallisia menetelmiä, esimerkiksi kertoimien hajoamista sekä tekniikoita, joita käytetään vain trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Nämä tekniikat ovat melko paljon, esimerkiksi erilaisia \u200b\u200btrigonometrisia substituutioita, kulmien muuntaminen, trigonometristen toimintojen muuntaminen. Minkä tahansa trigonometrisen muunnoksen häiriöt eivät yleensä yksinkertaista yhtälöä, ja se vaikeuttaa tuhoisasti. Yleisesti ottaen Yhtälöratkaisut suunnitelvat, ääriviivat yhtälön polku yksinkertaisimpiin, on ensinnäkin analysoitava näkökulmia - yhtälöön sisältyvien trigonometristen toimintojen väitteet.

Tänään puhumme trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Oikeasti valittu menetelmä mahdollistaa usein ratkaisun yksinkertaistamisen, joten kaikki menetelmät, joita olemme oppineet aina pitämään huomionsa vyöhykkeessä ratkaista trigonometriset yhtälöt sopivimman menetelmän.

II. (Projektorin avulla toistumme yhtälöiden ratkaisemismenetelmät.)

1. Menetelmä trigonometrisen yhtälön tuomiseksi algebracille.

On tarpeen ilmaista kaikki trigonometriset toiminnot yhdellä, jolla on sama argumentti. Tämä voidaan tehdä tärkeimmän trigonometrisen identiteetin ja sen seurausten avulla. Saamme yhtälön yhden trigonometrisen toiminnon kanssa. Kun olet hyväksynyt uuden tuntemattoman, saamme algebrallisen yhtälön. Me löydämme sen juuret ja palata vanhalle tuntemattomalle, ratkaisemalla yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

2. Menetelmä hajoamismenetelmällä.

Kulun vaihtaminen, kaavat, summat ja argumenttien eroja sekä kaavaa trigonometristen toimintojen määrän (eron) muuttamiseen työssä ja päinvastoin, ovat usein hyödyllisiä.

sIN X + SIN 3X \u003d SIN 2X + SIN4X

3. Menetelmä ylimääräisen kulman tuomiseksi.

4. Menetelmä universaalisen korvaamisen käyttämiseksi.

Muodon f (SINX, COSX, TGX) yhtälöt vähennetään algebraaliksi yleismaailmallisen trigonometrisen substituution avulla

Ekspressoi sinus, kosini ja tangentti puoli kulman tangentin läpi. Tämä tekniikka voi johtaa korkean tason yhtälöön. Jonka ratkaisu on vaikeaa.

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi muuntaa se yhteen tai useampaan tärkeimpiin trigonometrisiin yhtälöihin. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu vähenee viime kädessä neljän tärkeimmän trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi.

Tärkeimmät trigonometriset yhtälöt.

• Trigonometriset yhtälöt ovat 4 erilaista:
• sIN X \u003d A; Cos x \u003d a
• tG X \u003d A; CTG X \u003d A
• Päämittareiden yhtälöiden ratkaisu merkitsee erilaisten säännösten "X" huomioon ottaminen yhdellä ympyrällä sekä konversiotaulukon (tai laskin).
• Esimerkki 1. SIN X \u003d 0,866. Muuntopöydän (tai laskin) avulla saat vastauksen: x \u003d π / 3. Yksi ympyrä antaa toisen vastauksen: 2π / 3. Muista: Kaikki trigonometriset toiminnot ovat säännöllisiä, eli niiden arvot toistetaan. Esimerkiksi SIN X: n X ja COS X-taajuus on 2πN ja TG X: n ja CTG: n taajuus on yhtä suuri kuin πn. Siksi vastaus on kirjoitettu seuraavasti:
• x1 \u003d π / 3 + 2πN; x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• Esimerkki 2. COS X \u003d -1/2. Muuntopöydän (tai laskimen) käyttäminen saat vastauksen: x \u003d 2π / 3. Yksi ympyrä antaa toisen vastauksen: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π; x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• Esimerkki 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
• Vastaus: X \u003d π / 4 + πn.
• Esimerkki 4. CTG 2x \u003d 1,732.
• Vastaus: X \u003d π / 12 + πn.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa käytetty muutos.

• Trigonometristen yhtälöiden muuttaminen käytetään algebrallisia transformaatioita (kertoimien hajoaminen, homogeenisten jäsenten tuominen jne.) Ja trigonometriset identiteettiteet.
• Esimerkki 5. Trigonometristen identiteettien avulla yhtälö SIN X + SIN 2X + SIN 3x \u003d 0 muunnetaan 4COS X * Sin Yhtälö (3x / 2) * COS (X / 2) \u003d 0 ratkaista: cos x \u003d 0; SIN (3x / 2) \u003d 0; Cos (x / 2) \u003d 0.

• Kulmien löytäminen tunnetuilla toiminnoilla.

  • Ennen kuin opiskelet trigonometristen yhtälöiden ratkaisemismenetelmiä, sinun on opittava, kuinka löytää kulmat tunnettujen toimintojen arvojen mukaan. Tämä voidaan tehdä käyttämällä muuntamista tai laskintaulukkoa.
  • Esimerkki: COS X \u003d 0,732. Laskin antaa vastauksen x \u003d 42,95 astetta. Yksi ympyrä antaa lisää kulmia, joiden kosiini on myös 0,732.

• Pyydä päätös yhdestä ympyrästä.

  • Voit lykätä trigonometrisen yhtälön ratkaisuja yhdellä ympyrällä. Trigonometrisen yhtälön ratkaisut yhdellä ympyrällä ovat oikean monikulmion pisteitä.
  • Esimerkki: Ratkaisut x \u003d π / 3 + πn / 2 yhdellä ympyrällä ovat neliön pisteitä.
  • Esimerkki: Ratkaisut x \u003d π / 4 + πn / 3 yhdellä ympyrällä ovat oikean kuusikulun pisteitä.

• Menetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

  • Jos tämä trigonometrinen yhtälö sisältää vain yhden trigonometrisen toiminnon, päättää, että tämä yhtälö on perusmittausyhtälö. Jos tämä yhtälö sisältää kaksi tai useampia trigonometrisia toimintoja, on olemassa 2 menetelmää tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi (riippuen sen muutoksen mahdollisuudesta).
    • Menetelmä 1.
  • Muunna tämä yhtälö lomakkeen yhtälöön: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0, jossa f (x), g (x), H (X) on tärkeimmät trigonometriset yhtälöt.
  • Esimerkki 6. 2COS X + SIN 2x \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Päätös. Käyttämällä kaksinkertaisen kulman SIN 2x \u003d 2 * SIN X * COS X, vaihda SIN 2X.
  • 2SOS X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS X \u003d 0 ja (SIN X + 1) \u003d 0.
  • Esimerkki 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Käyttämällä trigonometriset identiteetit, muuntaa tämän yhtälön yhtälö on muotoa: COS 2X (2cos x + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi trigonometriset yhtälöt: COS 2X \u003d 0 ja (2cos X + 1) \u003d 0.
  • Esimerkki 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0.< x < 2π)
  • Ratkaisu: Trigonometristen identiteettien käyttäminen, Muunna tämä yhtälö lomakkeen yhtälöön: -COS 2X * (2SIN X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS 2X \u003d 0 ja (2SIN X + 1) \u003d 0 .
    • Tapa 2.
  • Muunna tämä trigonometrinen yhtälö yhtälöön, joka sisältää vain yhden trigonometrisen toiminnan. Vaihda sitten tämä trigonometrinen toiminto joihinkin tuntemattomaan, esimerkiksi T (SIN X \u003d T; COS X \u003d T, COS 2x \u003d T, TG X \u003d T; TG (x / 2) \u003d T jne.).
  • Esimerkki 9. 3Sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4Sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Päätös. Tässä yhtälössä vaihda (COS ^ 2 x) ON (1 - SIN ^ 2 X) (identiteetin mukaan). Transformoitu yhtälö on:
  • 3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 \u003d 0. Vaihda SIN X päälle t. Nyt yhtälö näyttää: 5t ^ 2 - 4t - 9 \u003d 0. Tämä on neliöyhtälö, jossa on kaksi juuria: T1 \u003d -1 ja T2 \u003d 9/5. Toinen root T2 ei täytä toimintojen arvojen arvoja (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esimerkki 10. TG X + 2 TG ^ 2 x \u003d CTG x + 2
  • Päätös. Vaihda TG X T. Vapauta alkuperäinen yhtälö seuraavassa muodossa: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. Nyt Etsi T ja etsi sitten x t \u003d TG X.

Tietosuojasi noudattaminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, jossa kuvataan ja tallenna tietosi. Lue tietosuojakäytäntö ja ilmoita meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoissa on tietoja, joita voidaan käyttää tiettyjen henkilöiden tunnistamiseen tai sen kanssa.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilökohtaisia \u200b\u200btietojasi milloin tahansa, kun liität meihin.

Alla on esimerkkejä henkilökohtaisista tiedoista, joita voimme kerätä ja miten voimme käyttää tällaisia \u200b\u200btietoja.

Mitä henkilökohtaisia \u200b\u200btietoja keräämme:

• Kun jätät sovelluksen sivustolle, voimme kerätä erilaisia \u200b\u200btietoja, mukaan lukien nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kun käytämme henkilökohtaisia \u200b\u200btietojasi:

• Keräämme henkilökohtaisia \u200b\u200btietoja, joiden avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja raportoi ainutlaatuisista ehdotuksista, tarjouksista ja muista tapahtumista ja lähimmäisistä tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia \u200b\u200btietoja lähettämään tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Voimme myös käyttää yksilöllisiä tietoja sisäisistä tarkoituksista, kuten tilintarkastuksesta, tietojen analysoinnista ja erilaisista tutkimuksista palveluiden palveluiden parantamiseksi ja palveluiden suositusten antamiseksi.
• Jos osallistut palkintoja, kilpailua tai vastaavaa stimuloivaa tapahtumaa, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnoimiseksi.

Tiedon paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme paljasta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Jos se on tarpeen - lain, oikeudenkäyntimenettelyn mukaisesti oikeudenkäynnissä ja / tai viranomaisten julkisten kyselyjen tai pyyntöjen perusteella Venäjän federaation alueella - paljastaa henkilökohtaiset tiedot. Voimme myös paljastaa tietoja, jos määritellään, että tällainen julkistaminen on välttämätöntä tai asianmukaista turvallisuuden, lakien ja järjestyksen tai muiden sosiaalisesti tärkeiden tapausten osalta.
• Uudelleenjärjestelyjen, fuusioiden tai myynnin tapauksessa voimme välittää henkilökohtaiset tiedot, jotka keräämme kolmannen osapuolen vastaavan - seuraaja.

Henkilötietojen suojaaminen

Teemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojata henkilökohtaisia \u200b\u200btietojasi menetyksestä, varastamisesta ja häikäilemättömästä käytöstä sekä luvattomasta pääsystä, paljastamisesta, muutoksista ja hävittämisestä.

Yksityisyyden noudattaminen yhtiön tasolla

Jotta voisimme varmistaa, että henkilökohtaiset tietosi ovat turvallisia, tuodessamme luottamuksellisuutta ja turvallisuutta työntekijöille ja noudata tiukasti toteuttamista.