Toisen asteen yhtälö - helppo ratkaista! * Edelleen tekstissä "KU". Ystävät, näyttää siltä, ​​mikä voisi olla helpompaa matematiikassa kuin tällaisen yhtälön ratkaiseminen. Mutta jokin kertoi minulle, että monilla on ongelmia hänen kanssaan. Päätin nähdä kuinka monta näyttökertaa kuukaudessa Yandex. Tässä tapahtui, katso:

Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että noin 70 000 ihmistä kuukaudessa etsii näitä tietoja, ja mitä tapahtuu lukuvuoden puolivälissä - pyyntöjä tulee kaksi kertaa enemmän. Tämä ei ole yllättävää, koska ne kaverit ja tytöt, jotka ovat valmistuneet koulusta kauan sitten ja valmistautuvat yhtenäistettyyn valtion tenttiin, etsivät näitä tietoja, ja myös koululaiset pyrkivät virkistämään niitä muistissaan.

Huolimatta siitä, että on olemassa monia sivustoja, jotka kertovat sinulle kuinka ratkaista tämä yhtälö, päätin tehdä oman osuuteni ja julkaista materiaalin. Ensinnäkin haluan, että kävijät tulevat sivustooni tätä pyyntöä varten. toiseksi, muissa artikkeleissa, kun "KU" -puhe tulee, annan linkin tähän artikkeliin; kolmanneksi kerron sinulle hänen ratkaisustaan ​​hieman enemmän kuin yleensä muilla sivustoilla kerrotaan. Aloitetaan! Artikkelin sisältö:

Toisen asteen yhtälö on muodon yhtälö:

jossa kertoimet a,bja mielivaltaisilla numeroilla with 0.

Koulun kurssilla materiaali annetaan seuraavassa muodossa - yhtälöt on ehdollisesti jaettu kolmeen luokkaan:

1. Heillä on kaksi juuria.

2. * On vain yksi juuri.

3. Ei juuria. On syytä huomata, että niillä ei ole päteviä juuria.

Miten juuret lasketaan? Vain!

Laskemme syrjijän. Tämän "kauhean" sanan alla on melko yksinkertainen kaava:

Juurikaavat ovat seuraavat:

* Sinun on tiedettävä nämä kaavat ulkoa.

Voit heti kirjoittaa muistiin ja päättää:

Esimerkki:

1. Jos D> 0, yhtälöllä on kaksi juurta.

2. Jos D = 0, yhtälöllä on yksi juuri.

3. Jos D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Katsotaanpa yhtälöä:

Tältä osin, kun erottelija on nolla, koulukurssilla sanotaan, että saadaan yksi juuri, tässä se on yhdeksän. Kaikki on oikein, mutta ...

Tämä esitys on hieman väärä. Itse asiassa on kaksi juuria. Kyllä, älä ole yllättynyt, osoittautuu kaksi yhtä suurta juurta, ja ollakseen matemaattisesti tarkka, vastaus olisi kirjoitettava kaksi juurta:

x 1 = 3 x 2 = 3

Mutta tämä on niin - pieni poikkeama. Koulussa voit kirjoittaa muistiin ja sanoa, että on yksi juuri.

Nyt seuraava esimerkki:

Kuten tiedämme, juuri negatiivinen numero ei haeta, joten ratkaisua ei ole tässä tapauksessa.

Siinä koko ratkaisuprosessi.

Neliöfunktio.

Näin ratkaisu näyttää geometrisesti. On erittäin tärkeää ymmärtää tämä (tulevaisuudessa yhdessä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti neliöerotuksen ratkaisua).

Tämä on lomakkeen funktio:

missä x ja y ovat muuttujia

a, b, c - annetut luvut, a ≠ 0

Kaavio on paraabeli:

Toisin sanoen käy ilmi, että ratkaisemalla toisen asteen yhtälö, jossa "y" on nolla, löydämme paraabelin ja härän akselin leikkauspisteet. Näitä kohtia voi olla kaksi (erottelija on positiivinen), yksi (erottelija on nolla) ja ei mitään (erottelija on negatiivinen). Tietoja neliöfunktio Voit katsella Inna Feldmanin artikkeli.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä:

Esimerkki 1: Ratkaise 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Vastaus: x 1 = 8 x 2 = –12

* Yhtälön vasen ja oikea puoli oli heti mahdollista jakaa 2: lla, eli yksinkertaistaa sitä. Laskelmat ovat helpompia.

Esimerkki 2: Päättää x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2–4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Saimme x 1 = 11 ja x 2 = 11

Vastauksessa on sallittua kirjoittaa x = 11.

Vastaus: x = 11

Esimerkki 3: Päättää x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2–4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskriminantti on negatiivinen, reaalilukuina ratkaisua ei ole.

Vastaus: ei ratkaisua

Syrjijä on negatiivinen. On olemassa ratkaisu!

Tässä puhutaan yhtälön ratkaisemisesta siinä tapauksessa, että negatiivinen syrjijä saadaan. Tiedätkö mitään monimutkaisista numeroista? En mene tässä yksityiskohtiin siitä, miksi ja mistä he tulivat ja mikä on heidän erityinen roolinsa ja tarpeensa matematiikassa, tämä on aihe suurelle erilliselle artikkelille.

Kompleksiluvun käsite.

Vähän teoriaa.

Kompleksiluku z on muodon luku

z = a + bi

missä a ja b ovat reaalilukuja, i on ns. kuvitteellinen yksikkö.

a + bi On YKSI numero, ei lisäys.

Kuvitteellinen yksikkö on yhtä kuin miinus yhden juuri:

Mieti nyt yhtälöä:

Meillä on kaksi konjugaattia.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö.

Harkitse erityistapauksia, tämä on silloin, kun kerroin "b" tai "c" on nolla (tai molemmat ovat nollaa). Ne on helppo ratkaista ilman syrjiviä.

Tapaus 1. Kerroin b = 0.

Yhtälö on muodossa:

Muutetaan:

Esimerkki:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Tapaus 2. Kerroin = 0.

Yhtälö on muodossa:

Muunnamme, tekijöitä:

* Tuote on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla.

Esimerkki:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 tai x - 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tapaus 3. Kerroimet b = 0 ja c = 0.

Tässä on selvää, että yhtälön ratkaisu on aina x = 0.

Hyödyllisiä ominaisuuksia ja kertoimien malleja.

On ominaisuuksia, joiden avulla voit ratkaista yhtälöt suurilla kertoimilla.

ax 2 + bx+ c=0 tasa -arvo pätee

a + b+ c = 0, sitten

- jos yhtälön kertoimille ax 2 + bx+ c=0 tasa -arvo pätee

a+ c =b, sitten

Nämä ominaisuudet auttavat ratkaisemaan tietynlaista yhtälöä.

Esimerkki 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Kertoimien summa on 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, siis

Esimerkki 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Tasa -arvo täyttyy a+ c =b, tarkoittaa

Kertoimien sääntöjenmukaisuudet.

1. Jos yhtälössä ax 2 + bx + c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 +1) ja kerroin "c" on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", sen juuret ovat yhtä suuret

kirves 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jos yhtälössä ax 2 - bx + c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 +1) ja kerroin "c" on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", sen juuret ovat

kirves 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jos yhtälössä ax 2 + bx - c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 - 1) ja kerroin "c" numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", silloin sen juuret ovat yhtä suuret

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Jos yhtälössä ax 2 - bx - c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 - 1) ja kerroin c on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", sen juuret ovat

noin 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vieta -lause.

Vietan lause on nimetty kuuluisan ranskalaisen matemaatikon François Vietan mukaan. Vieta -lauseen avulla voimme ilmaista mielivaltaisen KE: n juurten summan ja tuloksen sen kertoimien perusteella.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kaikkiaan numero 14 antaa vain 5 ja 9. Nämä ovat juuret. Tietyn taidon avulla voit ratkaista monia toisen asteen yhtälöitä sanallisesti käyttämällä esitettyä teoriaa.

Lisäksi Vieta -lause. kätevä siinä mielessä, että kun toisen asteen yhtälö on ratkaistu tavanomaisella tavalla (erottimen kautta), saadut juuret voidaan tarkistaa. Suosittelen tekemään tämän aina.

SIIRTOMENETELMÄ

Tällä menetelmällä kerroin "a" kerrotaan vapaalla termillä, ikään kuin "heitetään" sille, joten sitä kutsutaan "siirtomenetelmällä". Tätä menetelmää käytetään silloin, kun voit helposti löytää yhtälön juuret Viestan lauseen avulla ja mikä tärkeintä, kun erottelija on tarkka neliö.

Jos a± b + c≠ 0, käytetään siirtotekniikkaa, esimerkiksi:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Vieta -lauseella yhtälössä (2) on helppo määrittää, että x 1 = 10 x 2 = 1

Yhtälön saadut juuret on jaettava 2: lla (koska kaksi "heitettiin" x 2: sta), saamme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Mikä on perustelut? Katso mitä tapahtuu.

Yhtälöiden (1) ja (2) erottimet ovat yhtä suuret:

Jos tarkastellaan yhtälöiden juuria, saadaan vain eri nimittäjiä, ja tulos riippuu tarkasti kerroimesta x 2:

Toiset (muokatut) juuret ovat 2 kertaa suurempia.

Siksi jaamme tuloksen 2: lla.

* Jos kierrämme kolmosta uudelleen, jaamme tuloksen kolmella jne.

Vastaus: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. sinä ja tentti.

Kerron lyhyesti sen merkityksestä - PITÄÄ KYTKETTÄ RATKAISEMAAN nopeasti ja epäröimättä, juurien ja syrjijän kaavat on tiedettävä ulkoa. Monet USE -tehtäviin kuuluvat tehtävät on pelkistetty toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi (mukaan lukien geometriset).

Mitä kannattaa huomioida!

1. Yhtälön kirjoittamisen muoto voi olla "implisiittinen". Esimerkiksi seuraava merkintä on mahdollinen:

15+ 9x 2-45x = 0 tai 15x + 42 + 9x 2-45x = 0 tai 15-5x + 10x 2 = 0.

Sinun on saatettava se vakiomuotoon (jotta et hämmentyisi ratkaistessasi).

2. Muista, että x on tuntematon määrä ja se voidaan merkitä millä tahansa muulla kirjaimella - t, q, p, h ja muut.

Tämän matematiikkaohjelman avulla voit ratkaista toisen asteen yhtälö.

Ohjelma ei ainoastaan ​​anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin kahdella tavalla:
- käyttämällä syrjintää
- Viestan lauseen käyttäminen (jos mahdollista).

Lisäksi vastaus näytetään täsmällisenä, ei likimääräisenä.
Esimerkiksi yhtälölle \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) vastaus näytetään tässä muodossa:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ eikä näin: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukion opiskelijoille valmistautuessaan ohjaus toimii ja tentit, kun tiedot tarkistetaan ennen tenttiä, vanhemmat voivat hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinun on liian kallista palkata opettaja tai ostaa uusia oppikirjoja? Tai haluat vain tehdä niin nopeasti kuin mahdollista kotitehtävät matematiikassa tai algebrassa? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisella ratkaisulla.

Tällä tavalla voit suorittaa oman ja / tai oman koulutuksesi nuorempia veljiä tai sisaret, kun taas koulutustaso ratkaisettavien ongelmien alalla nousee.

Jos et tunne neliöpolynomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme tutustumaan niihin.

Säännöt neliöpolynomin syöttämiseksi

Mitä tahansa latinalaista kirjainta voidaan käyttää muuttujana.
Esimerkiksi: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaisina tai murto -osina.
Lisäksi murtoluvut voidaan syöttää paitsi desimaalimuodossa myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Säännöt desimaalimurtojen syöttämiseksi.
Desimaalimurroissa murto -osa kokonaisuudesta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaaleja joten: 2,5x - 3,5x ^ 2

Säännöt tavallisten murtolukujen syöttämiseen.
Vain kokonaislukua voidaan käyttää osoittimena, nimittäjänä ja murto -osan kokonaisena osana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötät numeroarvon, osoitin erotetaan nimittäjästä jakamerkillä: /
Koko osa erotettu fraktiosta ampersandilla: &
Tulo: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Tulos: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Kun kirjoitat lausekkeen kiinnikkeitä voidaan käyttää... Tässä tapauksessa toisen asteen yhtälön ratkaisemisessa yksinkertaistetaan ensin lisätty lauseke.
Esimerkki: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)

=0

Päättää

Todettiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittavia skriptejä ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
Ehkä sinulla on AdBlock käytössä.
Poista tässä tapauksessa se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
Jotta ratkaisu voidaan näyttää, sinun on otettava JavaScript käyttöön.
Tässä on ohjeet JavaScriptin ottamisesta käyttöön selaimessasi.

Koska On monia ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu näkyy alla.
Odota, ole hyvä sek ...

Jos sinä huomannut virheen päätöksessään, voit kirjoittaa tästä palautelomakkeelle.
Älä unohda ilmoita mikä tehtävä sinä päätät ja mitä kirjoita kenttiin.

Pelimme, palapelit, emulaattorit:

Vähän teoriaa.

Toisen asteen yhtälö ja sen juuret. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Jokainen yhtälö
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
on muoto
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
missä x on muuttuja, a, b ja c ovat numeroita.
Ensimmäisessä yhtälössä a = -1, b = 6 ja c = 1,4, toisessa a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmannessa a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.
Toisen asteen yhtälö on kaava ax 2 + bx + c = 0, jossa x on muuttuja, a, b ja c ovat joitain numeroita ja \ (a \ neq 0 \).

Numerot a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimet. Numeroa a kutsutaan ensimmäiseksi kerroimeksi, numeroa b - toiseksi kerroimeksi ja lukua c - vapaaksi termiksi.

Kussakin kaavan ax 2 + bx + c = 0 yhtälössä, missä \ (a \ neq 0 \), muuttujan x suurin teho on neliö. Siksi nimi: toisen asteen yhtälö.

Huomaa, että toisen asteen yhtälöä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, koska sen vasen puoli on toisen asteen polynomi.

Kvadratiivista yhtälöä, jossa kerroin x 2 on 1, kutsutaan pienennetty toisen asteen yhtälö... Esimerkiksi pienennetyt toisen asteen yhtälöt ovat yhtälöitä
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Jos toisen asteen yhtälössä ax 2 + bx + c = 0 ainakin yksi kertoimista b tai c on nolla, niin tällaista yhtälöä kutsutaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö... Joten yhtälöt -2x 2 + 7 = 0, 3x 2-10x = 0, -4x 2 = 0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Ensimmäisessä niistä b = 0, toisessa c = 0, kolmannessa b = 0 ja c = 0.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ovat kolmenlaisia:
1) kirves 2 + c = 0, missä \ (c \ neq 0 \);
2) kirves 2 + bx = 0, missä \ (b \ neq 0 \);
3) kirves 2 = 0.

Tarkastellaan kunkin tällaisen tyypin yhtälöiden ratkaisua.

Jos haluat ratkaista epätäydellisen toisen asteen yhtälön muotoon ax 2 + c = 0 for \ (c \ neq 0 \), siirrä sen vapaa termi oikealle puolelle ja jaa yhtälön molemmat puolet seuraavalla:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Nuoli oikealle x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)

Koska \ (c \ neq 0 \), niin \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Jos \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), yhtälöllä on kaksi juurta.

Jos \ (- \ frac (c) (a) Ratkaista epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka muoto on ax 2 + bx = 0, ja \ (b \ neq 0 \) kerroin sen vasemmalla puolella tekijöiksi ja saada yhtälö
\ (x (ax + b) = 0 \ Oikea nuoli \ vasen \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightrerow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

Näin ollen epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä muotoon ax 2 + bx = 0 \ (b \ neq 0 \) on aina kaksi juurta.

Muoton ax 2 = 0 epätäydellinen toisen asteen yhtälö vastaa yhtälöä x 2 = 0, ja siksi sillä on ainutlaatuinen juuri 0.

Kaava toisen asteen yhtälön juurille

Tarkastellaanpa nyt sitä, kuinka ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt, joissa sekä tuntemattomien kertoimet että vapaa termi ovat nollasta poikkeavia.

Ratkaise toisen asteen yhtälö yleisnäkymä ja tuloksena saamme kaavan juurille. Sitten tätä kaavaa voidaan soveltaa minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0

Jakamalla molemmat sen osat a: lla saadaan vastaava redusoitu toisen asteen yhtälö
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Muunnamme tämän yhtälön valitsemalla binomin neliön:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vasen (\ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2- \ vasen (\ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Oikea nuoli \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vasen (\ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2 = \ vasen (\ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Nuoli oikealle \) \ (\ vasen (x + \ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (c) (a) \ Oikeanuoli \ vasen (x + \ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Oikeanuolinen \) \ (x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Oikeanuolinen x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Nuoli oikealle \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Radikaalia ilmaisua kutsutaan toisen asteen yhtälön erottelija ax 2 + bx + c = 0 (latinaksi "syrjijä" on erottelija). Se on merkitty kirjaimella D, ts.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nyt, käyttämällä syrjijän merkintää, kirjoitamme kaavan toisen asteen yhtälön juurille:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), missä \ (D = b ^ 2-4ac \)

On selvää, että:
1) Jos D> 0, toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta.
2) Jos D = 0, toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Jos D Näin ollen eriarvoisen arvon mukaan toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi juurta (D> 0), yksi juuri (D = 0) tai ei juuria (D: lle Ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö käyttämällä tätä on suositeltavaa edetä seuraavasti:
1) laske erottelija ja vertaa sitä nollaan;
2) jos erottelija on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, käytä juurikaavaa, jos erotin on negatiivinen, kirjoita muistiin, ettei juuria ole.

Vieta -lause

Annetulla asteen yhtälöllä ax 2-7x + 10 = 0 on juuret 2 ja 5. Juurien summa on 7 ja tuote on 10. Näemme, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella -merkki, ja juurien tuote on sama kuin vapaa termi. Jokaisella tietyllä asteen yhtälöllä, jolla on juuret, on tämä ominaisuus.

Annetun toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Nuo. Vietan lause sanoo, että alennetun toisen asteen yhtälön x 2 + px + q = 0 juurilla x 1 ja x 2 on ominaisuus:
\ (\ vasen \ (\ aloita (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

Toisen asteen yhtälöitä tutkitaan luokalla 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on ehdottoman välttämätöntä.

Toisen asteen yhtälö on kaava ax 2 + bx + c = 0, jossa kertoimet a, b ja c ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkimme tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa ehdollisesti kolmeen luokkaan:

1. Ei juuria;
2. On täsmälleen yksi juuri;
3. Heillä on kaksi erillistä juuria.

Tämä on tärkeä ero. toisen asteen yhtälöt lineaarisesta, jossa juuri on aina olemassa ja ainutlaatuinen. Kuinka määrität kuinka monta yhtälöä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.

Syrjivä

Anna toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin erottaja on vain luku D = b 2 - 4ac.

Sinun on tiedettävä tämä kaava ulkoa. Mistä se tulee - sillä ei ole väliä nyt. Toinen asia on tärkeä: syrjijän merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta on toisen asteen yhtälöllä. Nimittäin:

1. Jos D.< 0, корней нет;
2. Jos D = 0, juuri on juuri;
3. Jos D> 0, on kaksi juuria.

Huomaa: syrjijä ilmoittaa juurien määrän, eikä ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet uskovat. Katso esimerkkejä - niin ymmärrät kaiken:

Tehtävä. Kuinka monta juurta on toisen asteen yhtälöillä:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2-6x + 9 = 0.

Kirjoitetaan kertoimet ensimmäiselle yhtälölle ja löydetään erottelija:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2-4 1 12 = 64-48 = 16

Joten erottaja on positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi erilaista juurta. Analysoimme toisen yhtälön samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Syrjijä on negatiivinen, ei juuria. Viimeinen yhtälö jää:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0.

Erottelija on nolla - siellä on yksi juuri.

Huomaa, että kertoimet on kirjoitettu kullekin yhtälölle. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia äläkä tee tyhmiä virheitä. Valitse itse: nopeus tai laatu.

Muuten, jos "täytät kätesi", sinun ei enää tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia jonkin ajan kuluttua. Suoritat tällaisia ​​toimintoja päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tämän jossain sen jälkeen, kun 50-70 yhtälöä on ratkaistu - yleensä ei niin paljon.

Toisen asteen juuret

Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos erotin D> 0, juuret löytyvät kaavoista:

Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2-4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juurta. Etsitään ne:

Toinen yhtälö:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2-4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juurta. Löydämme ne

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ loppu (kohdista) \]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tiedät kaavat ja osaat laskea, ongelmia ei ole. Useimmiten virheitä ilmenee korvaamalla negatiiviset kertoimet kaavassa. Tässä taas auttaa edellä kuvattu tekniikka: katso kaavaa kirjaimellisesti, kuvaile jokaista vaihetta - ja pian pääset eroon virheistä.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Sattuu, että toisen asteen yhtälö eroaa jonkin verran määritelmässä annetusta. Esimerkiksi:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2-16 = 0.

On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt on jopa helpompi ratkaista kuin vakioyhtälöt: niiden ei tarvitse edes laskea erottelijaa. Otetaan siis käyttöön uusi käsite:

Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. kerroin muuttujalla x tai vapaalla elementillä on nolla.

Tietenkin erittäin vaikea tapaus on mahdollista, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b = c = 0. Tässä tapauksessa yhtälö on muotoa ax 2 = 0. Ilmeisesti tällaisella yhtälöllä on yksi juuri: x = 0.

Mietitään loput tapaukset. Olkoon b = 0, niin saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön muodon ax 2 + c = 0. Muunnetaan sitä hieman:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeinen yhtälö on järkevä vain (−c / a) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätasa -arvo (−c / a) ≥ 0 pätee epätäydellisessä toisen asteen yhtälössä, jonka muoto on ax 2 + c = 0, on kaksi juuria. Kaava on esitetty edellä;
2. Jos (−c / a)< 0, корней нет.

Kuten näette, syrjintää ei tarvittu - epätäydellisissä toisen asteen yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia ​​laskelmia. Itse asiassa ei ole edes tarpeen muistaa eriarvoisuutta (−c / a) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan ​​arvo x 2 ja katsotaan, mikä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos positiivinen luku on, on kaksi juuria. Jos negatiivinen, ei juuria ole ollenkaan.

Käsittelemme nyt yhtälöitä muotoon ax 2 + bx = 0, joissa vapaa elementti on nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: juuria on aina kaksi. Riittää, kun poimitaan polynomi:

Haarukointi yhteinen tekijä

Tuote on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla. Tästä juuret. Lopuksi analysoimme useita tällaisia ​​yhtälöitä:

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2-9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - ( - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Ei ole juuria, tk. neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x 2-9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Tämä aihe voi aluksi vaikuttaa monimutkaiselta monien vaikeiden kaavojen vuoksi. Paitsi että toisen asteen yhtälöillä on pitkiä tietueita, mutta myös juuret löytyvät syrjijän kautta. Uusia kaavoja on yhteensä kolme. Se ei ole helppo muistaa. Tämä on mahdollista vasta, kun tällaiset yhtälöt on usein ratkaistu. Sitten kaikki kaavat muistetaan itse.

Yleiskuva toisen asteen yhtälöstä

Tässä ehdotetaan niiden nimenomaista tallennusta, kun korkein aste rekisteröidään ensin ja sitten laskevassa järjestyksessä. Usein on tilanteita, joissa ehdot ovat epäkunnossa. Sitten on parempi kirjoittaa yhtälö muuttujan asteen laskevaan järjestykseen.

Otetaan käyttöön merkintä. Ne on esitetty alla olevassa taulukossa.

Jos hyväksymme nämä nimitykset, kaikki toisen asteen yhtälöt pienennetään seuraavaan tietueeseen.

Lisäksi kerroin a ≠ 0. Olkoon tämä kaava merkitty numero yhdellä.

Kun yhtälö annetaan, ei ole selvää, kuinka monta juurta vastauksessa on. Koska yksi kolmesta vaihtoehdosta on aina mahdollista:

• liuoksessa on kaksi juurta;
• vastaus on yksi numero;
• yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan.

Ja ennen kuin päätöstä ei ole saatettu loppuun, on vaikea ymmärtää, mikä vaihtoehdoista jää pois yksittäistapauksessa.

Toisen asteen yhtälöiden tietueiden tyypit

Tehtävät voivat sisältää eri tietueita. Ne eivät aina näytä siltä yleinen kaava toisen asteen yhtälö. Joskus siitä puuttuu joitain termejä. Edellä kirjoitettu on täydellinen yhtälö. Jos poistat sen toisen tai kolmannen termin, saat jotain erilaista. Näitä tietueita kutsutaan myös toisen asteen yhtälöiksi, vain epätäydellisiksi.

Lisäksi vain termit, joissa kertoimet "b" ja "c" voivat kadota. Luku "a" ei voi missään tapauksessa olla nolla. Koska tässä tapauksessa kaava muuttuu lineaariseksi yhtälöksi. Kaavat epätäydelliselle yhtälömuodolle ovat seuraavat:

Joten on olemassa vain kahta tyyppiä, täydellisten lisäksi on myös epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Olkoon ensimmäinen kaava numero kaksi ja toinen numero kolme.

Syrjivä ja riippuvuus juurien määrästä sen arvosta

Sinun on tiedettävä tämä luku, jotta voit laskea yhtälön juuret. Se voidaan aina laskea riippumatta toisen asteen yhtälön kaavasta. Syrjijän laskemiseksi sinun on käytettävä alla kirjoitettua tasa -arvoa, jonka numero on neljä.

Kun olet korvannut kertoimien arvot tähän kaavaan, voit saada numeroita erilaisia ​​merkkejä... Jos vastaus on kyllä, vastaus yhtälöön on kaksi erilaista juurta. Jos luku on negatiivinen, toisen asteen yhtälön juuret puuttuvat. Jos se on nolla, vastaus on yksi.

Miten täydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan?

Itse asiassa tämän asian käsittely on jo alkanut. Koska ensin sinun on löydettävä syrjijä. Kun on havaittu, että asteen yhtälön juuret ovat ja niiden lukumäärä on tiedossa, sinun on käytettävä muuttujien kaavoja. Jos juuria on kaksi, sinun on sovellettava tätä kaavaa.

Koska siinä on “±” -merkki, on kaksi arvoa. Allekirjoitettu lauseke neliöjuuri On syrjivä. Siksi kaava voidaan kirjoittaa uudella tavalla.

Kaava numero viisi. Sama tietue osoittaa, että jos erottelija on nolla, molemmat juuret saavat samat arvot.

Jos toisen asteen yhtälöiden ratkaisua ei ole vielä kehitetty, on parempi kirjoittaa kaikkien kertoimien arvot muistiin ennen erotus- ja muuttujakaavojen soveltamista. Myöhemmin tämä hetki ei aiheuta vaikeuksia. Mutta alussa on hämmennystä.

Miten epätäydellinen toisen asteen yhtälö ratkaistaan?

Täällä kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Lisäkaavoja ei edes tarvita. Ja et tarvitse niitä, jotka on jo tallennettu syrjivälle ja tuntemattomalle.

Harkitse ensin epätäydellistä yhtälöä numero kaksi. Tässä tasa -arvossa sen on tarkoitus ottaa tuntematon määrä suluista ja ratkaista suluissa oleva lineaarinen yhtälö. Vastauksella on kaksi juurta. Ensimmäinen on välttämättä yhtä suuri kuin nolla, koska on olemassa muuttuja, joka koostuu itse muuttujasta. Toinen saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälö.

Epätäydellinen yhtälö numero kolme ratkaistaan ​​siirtämällä numero yhtälön vasemmalta puolelta oikealle. Sitten sinun on jaettava tekijä tuntemattoman edessä. Jäljellä on vain poimia neliöjuuri ja muistaa kirjoittaa se kahdesti vastakkaisilla merkeillä.

Seuraavaksi kirjoitetaan joitain toimintoja, joiden avulla opit ratkaisemaan kaikenlaisia ​​yhtälöitä, jotka muuttuvat toisen asteen yhtälöiksi. Ne auttavat oppilasta välttämään huolimattomia virheitä. Nämä puutteet ovat syy huonot arvosanat opiskelemalla laajaa aihetta "Toisen asteen yhtälöt (luokka 8)". Myöhemmin näitä toimintoja ei tarvitse suorittaa jatkuvasti. Koska vakaa taito tulee näkyviin.

• Ensin sinun on kirjoitettava yhtälö vakiomuodossa. Toisin sanoen ensin termi, jolla on korkein muuttujan aste, ja sitten - ilman astetta ja viimeinen - vain luku.

• Jos miinus näkyy kerroimen "a" edessä, se voi vaikeuttaa aloittelijan työtä tutkia toisen asteen yhtälöitä. Siitä on parempi päästä eroon. Tätä varten kaikki tasa-arvot on kerrottava "-1": llä. Tämä tarkoittaa, että kaikki ehdot muuttavat merkkiä päinvastaiseksi.

• Samalla tavalla on suositeltavaa päästä eroon murto -osista. Yksinkertaistamalla yhtälö sopivalla kertoimella voit peruuttaa nimittäjät.

Esimerkkejä

Se on ratkaistava seuraavat toisen asteen yhtälöt:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Ensimmäinen yhtälö: x 2 - 7x = 0. Se on epätäydellinen, joten se ratkaistaan ​​kaavan numero kaksi mukaisesti.

Sulkeista poistumisen jälkeen käy ilmi: x (x - 7) = 0.

Ensimmäinen juuri ottaa arvon: x 1 = 0. Toinen löytyy lineaarisesta yhtälöstä: x - 7 = 0. On helppo nähdä, että x 2 = 7.

Toinen yhtälö: 5x 2 + 30 = 0. Jälleen epätäydellinen. Vain se ratkaistaan ​​kolmannen kaavan mukaisesti.

Kun olet siirtänyt 30 yhtälön oikealle puolelle: 5x 2 = 30. Nyt sinun on jaettava 5: llä. Osoitetaan: x 2 = 6. Vastaukset ovat numeroita: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Kolmas yhtälö: 15 - 2x - x 2 = 0. Jäljempänä toisen asteen yhtälöiden ratkaisu alkaa niiden uudelleen kirjoittamisesta standardinäkymä: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nyt on aika käyttää toista hyödyllisiä neuvoja ja kerro kaikki miinus yhdellä. Osoittautuu x 2 + 2x - 15 = 0. Neljännen kaavan mukaan sinun on laskettava erottelija: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. Se on positiivinen luku. Edellä sanotusta käy ilmi, että yhtälöllä on kaksi juurta. Ne on laskettava viidennen kaavan avulla. On käynyt ilmi, että x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Sitten x 1 = 3, x 2 =-5.

Neljäs yhtälö x 2 + 8 + 3x = 0 muunnetaan seuraavaksi: x 2 + 3x + 8 = 0. Sen erottaja on yhtä suuri kuin tämä arvo: -23. Koska tämä luku on negatiivinen, vastaus tähän tehtävään on seuraava: "Ei juuria."

Viides yhtälö 12x + x 2 + 36 = 0 on kirjoitettava uudelleen seuraavasti: x 2 + 12x + 36 = 0. Kun kaavaa on käytetty erottelijalle, saadaan luku nolla. Tämä tarkoittaa, että sillä on yksi juuri, nimittäin: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Kuudes yhtälö (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) vaatii muunnoksia, jotka koostuvat siitä, että sinun on tuotava samanlaisia ​​termejä ennen hakasulkeiden avaamista. Ensimmäisen sijasta on tällainen lauseke: x 2 + 2x + 1. Tasa -arvon jälkeen tämä tietue ilmestyy: x 2 + 3x + 2. Kun tällaiset termit on laskettu, yhtälö on muotoa: x 2 - x = 0. Se muuttui epätäydelliseksi ... Samankaltaista on jo pidetty hieman korkeampana. Tämän juuret ovat numerot 0 ja 1.

Jatkamme aiheen tutkimista " yhtälöiden ratkaiseminen". Olemme jo tavanneet lineaarisia yhtälöitä ja jatkamme tutustumista toisen asteen yhtälöt.

Ensin analysoimme, mikä on toisen asteen yhtälö, miten se kirjoitetaan yleisessä muodossa, ja annamme siihen liittyviä määritelmiä. Sen jälkeen analysoimme esimerkkejä käyttäen yksityiskohtaisesti, kuinka epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan. Seuraavaksi siirrymme ratkaisuun täydelliset yhtälöt, saamme kaavan juurille, tutustumme toisen asteen yhtälön erottajaan ja harkitsemme tyypillisten esimerkkien ratkaisuja. Lopuksi seurataan juurien ja kertoimien välistä suhdetta.

Sivujen navigointi.

Mikä on toisen asteen yhtälö? Niiden tyypit

Ensin sinun on ymmärrettävä selvästi, mikä on toisen asteen yhtälö. Siksi on loogista alkaa puhua toisen asteen yhtälöistä toisen asteen yhtälön määritelmän kanssa sekä niihin liittyvistä määritelmistä. Sen jälkeen voit harkita toisen asteen yhtälöiden päätyyppejä: pienennettyjä ja pelkistämättömiä sekä täydellisiä ja epätäydellisiä yhtälöitä.

Määritelmä ja esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä

Määritelmä.

Toisen asteen yhtälö Onko muodon yhtälö a x 2 + b x + c = 0, jossa x on muuttuja, a, b ja c ovat joitakin numeroita ja a on nolla.

Sanotaan heti, että toisen asteen yhtälöitä kutsutaan usein toisen asteen yhtälöiksi. Tämä johtuu siitä, että toisen asteen yhtälö on algebrallinen yhtälö toinen aste.

Kuulostetun määritelmän avulla voimme antaa esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä. Joten 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 jne. Ovat toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.

Numerot a, b ja c kutsutaan toisen asteen yhtälön kertoimet a x 2 + b x + c = 0, ja kerrointa a kutsutaan ensimmäiseksi tai korkeimmaksi tai kerroimeksi x 2: ssa, b on toinen kerroin tai kerroin x: ssä ja c on vapaa termi.

Otetaan esimerkiksi toisen asteen yhtälö, jonka muoto on 5x2 −2x3 = 0, tässä johtava kerroin on 5, toinen kerroin on −2 ja leikkauspiste on −3. Huomaa, että kun kertoimet b ja / tai c ovat negatiivisia, kuten juuri annetussa esimerkissä, käytämme lyhyt muoto kirjoittaa toisen asteen yhtälön muodossa 5 x 2 −2 x- 3 = 0, ei 5 x 2 + (- 2) x + (- 3) = 0.

On syytä huomata, että kun kertoimet a ja / tai b ovat yhtä suuret kuin 1 tai −1, ne eivät yleensä ole nimenomaisesti läsnä toisen asteen yhtälössä, mikä johtuu tällaisen kirjoittamisen erityispiirteistä. Esimerkiksi toisen asteen yhtälössä y 2 − y + 3 = 0 johtava kerroin on yksi ja kerroin y: ssa on -1.

Pienennetty ja pelkistämätön toisen asteen yhtälöt

Pienennetty ja pelkistämätön toisen asteen yhtälöt erotetaan johtavan kerroimen arvon mukaan. Annetaan vastaavat määritelmät.

Määritelmä.

Kvadratiivista yhtälöä, jossa johtava kerroin on 1, kutsutaan pienennetty toisen asteen yhtälö... Muuten on toisen asteen yhtälö vähentämättä.

Mukaan tämä määritelmä, toisen asteen yhtälöt x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x - 2/3 = 0 jne. - kun otetaan huomioon, kussakin niistä ensimmäinen kerroin on yhtä. Ja 5 x 2 −x - 1 = 0 jne. - pelkistämättömät toisen asteen yhtälöt, niiden johtavat kertoimet poikkeavat 1: stä.

Mistä tahansa pelkistämättömästä toisen asteen yhtälöstä jakamalla sen molemmat osat johtavalla kertoimella, voit siirtyä pienennettyyn. Tämä toiminto on vastaava muunnos, toisin sanoen tällä tavalla saadulla pienennetyllä toisen asteen yhtälöllä on samat juuret kuin alkuperäisellä alentamattomalla toisen asteen yhtälöllä, tai sillä ei ole juuria.

Analysoidaan esimerkin avulla, miten siirtyminen alentamattomasta toisen asteen yhtälöstä pienennetyksi suoritetaan.

Esimerkki.

Siirry yhtälöstä 3 x 2 + 12 x - 7 = 0, siirry vastaavaan pienennettyyn toisen asteen yhtälöön.

Ratkaisu.

Riittää, että jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat puolet johtavalla tekijällä 3, se on nolla, joten voimme suorittaa tämän toiminnon. Meillä on (3 x 2 + 12 x - 7): 3 = 0: 3, joka on sama, (3 x 2): 3+ (12 x): 3-7: 3 = 0 ja sen jälkeen (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0, mistä. Joten saimme pienennetyn toisen asteen yhtälön, joka vastaa alkuperäistä.

Vastaus:

Täydelliset ja epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Toisen asteen yhtälön määritelmä sisältää ehdon a ≠ 0. Tämä ehto on välttämätön, jotta yhtälö a x 2 + b x + c = 0 on täsmälleen toisen asteen, koska a = 0: sta tulee itse asiassa lineaarinen yhtälö, jonka muoto on b x + c = 0.

Mitä tulee kertoimiin b ja c, ne voivat olla nolla sekä erikseen että yhdessä. Näissä tapauksissa toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi.

Määritelmä.

Neliöyhtälöä a x 2 + b x + c = 0 kutsutaan epätäydellinen jos ainakin yksi kertoimista b, c on nolla.

Vuorostaan

Määritelmä.

Täysi toisen asteen yhtälö Onko yhtälö, jossa kaikki kertoimet ovat nollasta poikkeavia.

Tällaisia ​​nimiä ei anneta sattumalta. Tämä käy ilmi seuraavista seikoista.

Jos kerroin b on nolla, toisen asteen yhtälö saa muodon a x 2 + 0 x + c = 0, ja se vastaa yhtälöä a x 2 + c = 0. Jos c = 0, eli toisen asteen yhtälön muoto on a x 2 + b x + 0 = 0, se voidaan kirjoittaa uudelleen x 2 + b x = 0. Ja kun b = 0 ja c = 0, saamme toisen asteen yhtälön a · x 2 = 0. Tuloksena olevat yhtälöt eroavat täydestä toisen asteen yhtälöstä siinä, että niiden vasemmat puolet eivät sisällä termiä, jolla on muuttuja x, tai vapaata termiä tai molempia. Siksi heidän nimensä - epätäydelliset toisen asteen yhtälöt.

Joten yhtälöt x 2 + x + 1 = 0 ja −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 ovat esimerkkejä täydellisistä toisen asteen yhtälöistä, ja x 2 = 0, -2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, - x 2 −5 · x = 0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Edellisen kappaleen tiedoista seuraa, että on kolmenlaisia ​​epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

• a · x 2 = 0, kertoimet b = 0 ja c = 0 vastaavat sitä;
• a x 2 + c = 0, kun b = 0;
• ja a x 2 + b x = 0 kun c = 0.

Analysoidaan, kuinka kunkin tämän tyypin epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan.

a x 2 = 0

Aloitetaan ratkaisemalla epätäydelliset toisen asteen yhtälöt, joissa kertoimet b ja c ovat yhtä suuret kuin nolla, eli yhtälöillä, joiden muoto on a · x 2 = 0. Yhtälö a · x 2 = 0 vastaa yhtälöä x 2 = 0, joka saadaan alkuperäisestä jakamalla sen molemmat osat nollasta poikkeavalla luvulla a. Ilmeisesti yhtälön x 2 = 0 juuri on nolla, koska 0 2 = 0. Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, mikä selitetään, todellakin, minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun p kohdalla eriarvoisuus p 2> 0 pätee, mistä seuraa, että p ≠ 0: lle yhtälöä p 2 = 0 ei koskaan saavuteta.

Joten epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä a · x 2 = 0 on yksi juuri x = 0.

Antakaamme esimerkiksi ratkaisu epätäydelliseen toisen asteen yhtälöön −4 · x 2 = 0. Yhtälö x 2 = 0 vastaa sitä, sen ainoa juuri on x = 0, joten alkuperäisellä yhtälöllä on myös ainutlaatuinen juuri nolla.

Tässä tapauksessa lyhyt ratkaisu voidaan muotoilla seuraavasti:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Tarkastellaanpa nyt sitä, kuinka ratkaistaan ​​epätäydelliset toisen asteen yhtälöt, joissa kerroin b on nolla ja c ≠ 0, eli yhtälöt, joiden muoto on a · x 2 + c = 0. Tiedämme, että termin siirtäminen yhtälön toiselta puolelta toiselle vastakkaisella merkillä ja yhtälön molempien puolien jakaminen nollasta poikkeavalla luvulla antaa vastaavan yhtälön. Siksi on mahdollista suorittaa seuraavat epätäydellisen toisen asteen yhtälön a x 2 + c = 0 vastaavat muunnokset:

• siirrä c oikealle puolelle, mikä antaa yhtälön a x 2 = −c,
• ja jakaa sen molemmat osat a: lla, saamme.

Tuloksena olevan yhtälön avulla voimme tehdä johtopäätöksiä sen juurista. Riippuen arvoista a ja c, lausekkeen arvo voi olla negatiivinen (esimerkiksi jos a = 1 ja c = 2, sitten) tai positiivinen (esimerkiksi jos a = −2 ja c = 6 , sitten), se ei ole nolla, koska hypoteesilla c ≠ 0. Tarkastellaan erikseen tapauksia ja.

Jos, niin yhtälöllä ei ole juuria. Tämä lausunto johtuu siitä, että minkä tahansa luvun neliö on ei-negatiivinen luku. Tästä seuraa, että milloin, niin minkä tahansa luvun p kohdalla yhtälö ei voi olla totta.

Jos, niin tilanne yhtälön juurien kanssa on erilainen. Tässä tapauksessa, jos muistat noin, yhtälön juuri tulee välittömästi ilmeiseksi, se on numero, koska. On helppo arvata, että luku on myös yhtälön juuri, todellakin. Tällä yhtälöllä ei ole muita juuria, jotka voidaan osoittaa esimerkiksi ristiriitaisella menetelmällä. Tehdään se.

Merkitään juuri yhtälön juuret, jotka kuulostivat x 1 ja −x 1. Oletetaan, että yhtälöllä on yksi root x 2, joka poikkeaa ilmoitetuista juurista x 1 ja −x 1. Tiedetään, että sen juurien korvaaminen yhtälössä x: n sijaan muuttaa yhtälön todelliseksi numeeriseksi tasa -arvoksi. Meillä on x 1 ja −x 1 ja x 2 meillä on. Numeeristen yhtäläisyyksien ominaisuuksien ansiosta voimme suorittaa todellisten numeeristen yhtäläisyyksien vähennyksen aikavälillä, joten yhtäläisyyksien vastaavien osien vähentäminen antaa x 1 2 −x 2 2 = 0. Toimintojen ominaisuuksien avulla voit kirjoittaa tuloksena olevan yhtälön uudelleen muodossa (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Tiedämme, että kahden luvun tulo on nolla silloin ja vain, jos ainakin yksi niistä on nolla. Siksi saadusta yhtälöstä seuraa, että x 1 - x 2 = 0 ja / tai x 1 + x 2 = 0, joka on sama, x 2 = x 1 ja / tai x 2 = −x 1. Näin tulimme ristiriitaan, koska alussa sanoimme, että yhtälön x 2 juuri on erilainen kuin x 1 ja −x 1. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole muita juuria kuin ja.

Tehdään yhteenveto tämän kohteen tiedoista. Epätäydellinen toisen asteen yhtälö a x 2 + c = 0 vastaa yhtälöä

• ei ole juuria, jos
• sillä on kaksi juurta ja jos.

Harkitse esimerkkejä epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta muodossa a · x 2 + c = 0.

Aloitetaan toisen asteen yhtälöstä 9 x 2 + 7 = 0. Kun vapaa termi on siirretty yhtälön oikealle puolelle, se saa muodon 9 · x 2 = −7. Jakamalla tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet 9: llä saavutamme. Koska oikealla puolella on negatiivinen luku, tällä yhtälöllä ei ole juuria, joten alkuperäisellä epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä 9 · x 2 + 7 = 0 ei ole juuria.

Ratkaise toinen epätäydellinen toisen asteen yhtälö −x 2 + 9 = 0. Siirrä yhdeksän oikealle: −x 2 = −9. Jaamme molemmat puolet −1: llä, saamme x 2 = 9. Oikealla puolella on positiivinen luku, josta päätellään, että tai. Sitten kirjoitamme lopullisen vastauksen muistiin: epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä −x 2 + 9 = 0 on kaksi juurta x = 3 tai x = −3.

a x 2 + b x = 0

Vielä on käsiteltävä viimeisen epätäydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisua c = 0: lle. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt muodossa x 2 + b x = 0 mahdollistavat ratkaisemisen tekijämenetelmä... On selvää, että voimme, joka sijaitsee yhtälön vasemmalla puolella, ja se riittää laskemaan yhteisen kerroimen x. Näin voimme siirtyä alkuperäisestä epätäydellisestä toisen asteen yhtälöstä vastaavaan yhtälöön muodossa x · (a · x + b) = 0. Ja tämä yhtälö vastaa kahden yhtälön x = 0 ja a x + b = 0 yhdistelmää, joista viimeinen on lineaarinen ja jolla on juuri x = -b / a.

Joten epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä a x 2 + b x = 0 on kaksi juurta x = 0 ja x = −b / a.

Materiaalin vahvistamiseksi analysoimme tietyn esimerkin ratkaisun.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu.

X: n siirtäminen suluista antaa yhtälön. Se vastaa kahta yhtälöä x = 0 ja. Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön: ja suoritamme jaon sekava numero päällä murtoluku, löydämme. Siksi alkuperäisen yhtälön juuret ovat x = 0 ja.

Tarvittavan käytännön jälkeen tällaisten yhtälöiden ratkaisut voidaan kirjoittaa lyhyesti:

Vastaus:

x = 0 ,.

Diskriminantti, toisen asteen yhtälön juurien kaava

On olemassa kaava toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Kirjoitetaan ylös toisen asteen kaava: , missä D = b 2-4 a c- niin sanottu toisen asteen syrjijä... Merkintä tarkoittaa lähinnä sitä.

On hyödyllistä tietää, miten juurikaava saatiin ja miten sitä käytetään etsittäessä toisen asteen yhtälöitä. Selvitetään se.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön juurille

Oletetaan, että meidän on ratkaistava toisen asteen yhtälö a x 2 + b x + c = 0. Suoritamme joitain vastaavia muunnoksia:

• Voimme jakaa tämän yhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla luvulla a, minkä seurauksena saamme pienennetyn toisen asteen yhtälön.
• Nyt valitse kokonainen neliö vasemmalla puolella :. Tämän jälkeen yhtälö saa muodon.
• Tässä vaiheessa on mahdollista siirtää kaksi viimeistä termiä oikealle puolelle päinvastaisella merkillä.
• Ja muutamme myös ilmaisun oikealla puolella :.

Tuloksena saadaan yhtälö, joka vastaa alkuperäistä toisen asteen yhtälöä a x 2 + b x + c = 0.

Olemme jo ratkaisseet samankaltaisia ​​yhtälöitä edellisissä kappaleissa, kun analysoimme niitä. Näin voimme tehdä seuraavat johtopäätökset yhtälön juurista:

• jos, niin yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja;
• jos, niin yhtälö on muotoa, mistä sen ainoa juuri on näkyvissä;
• jos, niin tai, joka on sama tai eli yhtälöllä on kaksi juurta.

Siten yhtälön juurien ja siten alkuperäisen toisen asteen yhtälön olemassaolo tai puuttuminen riippuu oikealla puolella olevan lausekkeen merkistä. Tämän lausekkeen merkki puolestaan ​​määräytyy osoittimen merkin perusteella, koska nimittäjä 4 · a 2 on aina positiivinen, eli lausekkeen b 2 −4 · a · c merkki. Tätä lauseketta b 2 −4 a c kutsuttiin toisen asteen yhtälön erottelija ja merkitty kirjaimella D... Sieltä syrjijän olemus on selvä - sen arvon ja merkin perusteella päätellään, onko toisen asteen yhtälöllä todelliset juuret, ja jos on, mikä on niiden lukumäärä - yksi tai kaksi.

Palataksemme yhtälöön, kirjoita se uudelleen käyttämällä erotuskomentoa :. Ja teemme johtopäätökset:

• jos D.<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jos D = 0, tällä yhtälöllä on yksi juuri;
• lopuksi, jos D> 0, yhtälöllä on kaksi juurta tai, joka sen perusteella voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon tai, ja murtolukujen laajentamisen ja pienentämisen jälkeen yhteiseksi nimittäjäksi.

Joten johdimme kaavat toisen asteen yhtälön juurille, niillä on muoto, jossa erottelija D lasketaan kaavalla D = b 2 −4 · a · c.

Heidän avullaan positiivisen syrjijän avulla voit laskea toisen asteen yhtälön molemmat todelliset juuret. Kun erottelija on nolla, molemmat kaavat antavat saman juuriarvon, joka vastaa toisen asteen yhtälön ainoaa ratkaisua. Ja negatiivisen syrjijän kanssa, kun yritämme käyttää kaavaa toisen asteen yhtälön juurille, kohtaamme negatiivisen luvun neliöjuuren poimimisen, mikä vie meidät laatikosta ja koulun opetussuunnitelma... Negatiivisella syrjijällä toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, mutta sillä on pari monimutkainen konjugaatti juuret, jotka löytyvät samoista juurikaavoista, jotka olemme saaneet.

Algoritmi toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi juurikaavojen avulla

Käytännössä toisen asteen yhtälöitä ratkaistessasi voit heti käyttää juurikaavaa, jolla voit laskea niiden arvot. Mutta tässä on kyse monimutkaisempien juurien löytämisestä.

Kuitenkin yleensä koulun algebran kurssilla se tulee ei monimutkaisista, vaan toisen asteen yhtälön todellisista juurista. Tässä tapauksessa on suositeltavaa löytää ensin erotin ennen kuin käytetään kaavoja toisen asteen yhtälön juurille, varmista, että se ei ole negatiivinen (muuten voimme päätellä, että yhtälöllä ei ole todellisia juuria), ja vasta sen jälkeen joka laskee juurien arvot.

Yllä oleva päättely antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa toisen asteen yhtälön ratkaisija... Toisen asteen yhtälön a x 2 + b x + c = 0 ratkaisemiseksi tarvitset:

• eriarvokaavalla D = b 2 −4 · a · c laske sen arvo;
• päätellä, että toisen asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria, jos erottelija on negatiivinen;
• laske yhtälön ainoa juuri kaavalla, jos D = 0;
• löytää kaksi asteen yhtälön kaksi todellista juuria juurikaavan avulla, jos erottaja on positiivinen.

Tässä huomautamme vain, että jos erottelija on nolla, kaavaa voidaan myös käyttää, se antaa saman arvon kuin.

Voit jatkaa esimerkkeihin algoritmin käytöstä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Harkitse ratkaisuja kolmeen yhtälöön, joissa on positiivinen, negatiivinen ja nollaerottaja. Kun niiden ratkaisu on käsitelty, analogisesti on mahdollista ratkaista mikä tahansa toinen asteen yhtälö. Aloitetaan.

Esimerkki.

Etsi yhtälön x 2 + 2 x - 6 = 0 juuret.

Ratkaisu.

Tässä tapauksessa meillä on seuraavat toisen asteen yhtälön kertoimet: a = 1, b = 2 ja c = −6. Algoritmin mukaan sinun on ensin laskettava erottelija, tätä varten korvaamme merkityt a, b ja c syrjintäkaavaan, meillä on D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Koska 28> 0, toisin sanoen erottelija on suurempi kuin nolla, toisen asteen yhtälöllä on kaksi todellista juurta. Löydämme ne käyttämällä juurikaavaa, saamme, täällä voit yksinkertaistaa tekemällä saatuja lausekkeita juurin merkin selvittäminen murto -osan pienentämisen jälkeen:

Vastaus:

Siirrytään seuraavaan tyypilliseen esimerkkiin.

Esimerkki.

Ratkaise toisen asteen yhtälö −4x2 + 28x - 49 = 0.

Ratkaisu.

Aloitamme etsimällä syrjijän: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Siksi tällä toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri, jonka me löydämme, eli

Vastaus:

x = 3,5.

Vielä on harkittava toisen asteen yhtälöiden ratkaisua negatiivisella syrjijällä.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Ratkaisu.

Tässä ovat toisen asteen yhtälön kertoimet: a = 5, b = 6 ja c = 2. Korvaamalla nämä arvot syrjintäkaavaan, meillä on D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminantti on negatiivinen, joten tällä asteen yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Jos on tarpeen osoittaa monimutkaisia ​​juuria, käytämme tunnettua kaavaa toisen asteen yhtälön juurille ja suoritamme monimutkaiset lukutoiminnot:

Vastaus:

todellisia juuria ei ole, monimutkaiset juuret ovat seuraavat :.

Jälleen kerran huomaamme, että jos toisen asteen yhtälön erottelija on negatiivinen, he kirjoittavat koulussa yleensä heti vastauksen, jossa he osoittavat, että todellisia juuria ei ole ja monimutkaisia ​​juuria ei löydy.

Juurikaava jopa toisille kertoimille

Kaava toisen asteen yhtälön juurille, jossa D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Otetaan se pois.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava toisen asteen yhtälö muodolla a x 2 + 2 n x + c = 0. Etsitään sen juuret käyttämällä kaavaa, jonka tunnemme. Voit tehdä tämän laskemalla erottelijan D = (2 n) 2-4 a c = 4 n 2-4 a c = 4 (n 2 - a c), ja sitten käytämme kaavaa juurille:

Merkitään lauseke n 2 - a · c D 1: ksi (joskus se on merkitty D "). Tällöin kaava toisen toisen kerroimen 2 n yhtälön juurille saa muodon jossa D 1 = n 2 - a · c.

On helppo nähdä, että D = 4 · D 1 tai D 1 = D / 4. Toisin sanoen D1 on syrjijän neljäs osa. On selvää, että D 1 -merkki on sama kuin D -merkki. Toisin sanoen D 1 -merkki on myös indikaattori toisen asteen yhtälön juurien läsnäolosta tai puuttumisesta.

Joten, jotta voit ratkaista toisen asteen yhtälön toisella kertoimella 2 n, tarvitset

• Laske D 1 = n 2 −a · c;
• Jos D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jos D 1 = 0, laske yhtälön ainoa juuri kaavalla;
• Jos D 1> 0, etsi kaksi todellista juurta kaavan mukaan.

Harkitse esimerkin ratkaisemista käyttämällä tässä kappaleessa saatua juurikaavaa.

Esimerkki.

Ratkaise toisen asteen yhtälö 5x2 −6x - 32 = 0.

Ratkaisu.

Tämän yhtälön toinen kerroin voidaan esittää muodossa 2 · (−3). Toisin sanoen voit kirjoittaa alkuperäisen toisen asteen yhtälön uudelleen muodossa 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 = 0, tässä a = 5, n = −3 ja c = −32, ja laskea syrjivä: D 1 = n 2 − a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Koska sen arvo on positiivinen, yhtälöllä on kaksi todellista juurta. Löydämme ne käyttämällä vastaavaa juurikaavaa:

Huomaa, että oli mahdollista käyttää tavallista kaavaa toisen asteen yhtälön juurille, mutta tässä tapauksessa olisi tehtävä enemmän laskennallista työtä.

Vastaus:

Yksinkertaistetaan toisen asteen yhtälöiden näkymä

Joskus ennen kuin aloitamme toisen asteen yhtälön juurien laskemisen kaavojen avulla, ei ole haittaa kysyä: "Onko mahdollista yksinkertaistaa tämän yhtälön muotoa?" Hyväksy, että laskelmien kannalta on helpompi ratkaista toisen asteen yhtälö 11 x 2 −4 x - 6 = 0 kuin 1100 x 2 −400 x - 600 = 0.

Yleensä toisen asteen yhtälön muodon yksinkertaistaminen saavutetaan kertomalla tai jakamalla sen molemmat osat jollakin luvulla. Esimerkiksi edellisessä kappaleessa onnistuimme yksinkertaistamaan yhtälön 1100x2 −400x - 600 = 0 jakamalla molemmat puolet 100: lla.

Samanlainen muunnos suoritetaan toisen asteen yhtälöillä, joiden kertoimet eivät ole. Tässä tapauksessa yhtälön molemmat puolet jaetaan yleensä sen kertoimien absoluuttisilla arvoilla. Otetaan esimerkiksi toisen asteen yhtälö 12 x 2 −42 x + 48 = 0. sen kertoimien absoluuttiset arvot: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Jakamalla alkuperäisen toisen asteen yhtälön molemmat puolet 6: lla saavutetaan vastaava toisen asteen yhtälö 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

Ja toisen asteen yhtälön molempien puolien kertominen tehdään yleensä eroon kertoimista. Tässä tapauksessa kertolasku suoritetaan sen kertoimien nimittäjillä. Jos esimerkiksi toisen asteen yhtälön molemmat puolet kerrotaan LCM: llä (6, 3, 1) = 6, se saa yksinkertaisemman muodon x 2 + 4 x - 18 = 0.

Tämän kappaleen lopuksi huomaamme, että melkein aina pääsemme eroon miinuksesta toisen asteen yhtälön johtavassa kertoimessa muuttamalla kaikkien termien merkkejä, mikä vastaa molempien osien kertomista (tai jakamista) -1: llä. Esimerkiksi yleensä toisen asteen yhtälöstä −2x2 −3x + 7 = 0 siirrytään ratkaisuun 2x2 + 3x - 7 = 0.

Neliöyhtälön juurien ja kertoimien välinen suhde

Neliöyhtälön juurien kaava ilmaisee yhtälön juuret sen kertoimien perusteella. Juurikaavan perusteella voit saada muita suhteita juurien ja kertoimien välille.

Tunnetuimmat ja soveltuvimmat kaavat ovat Vietan lauseesta muodosta ja. Erityisesti annetun toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, jolla on vastakkainen merkki, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön 3 x 2 −7 x + 22 = 0 muodossa voit heti sanoa, että sen juurien summa on 7/3 ja juurien tulo on 22/3.

Käyttämällä jo kirjoitettuja kaavoja voit saada useita muita suhteita juurien ja toisen asteen yhtälön kertoimien välillä. Voit esimerkiksi ilmaista toisen asteen yhtälön juurten neliöiden summan kertoimien kautta :.

Bibliografia.

• Algebra: tutkimus. 8 cl. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Telyakovsky. - 16. painos. - M .: Education, 2008.- 271 Sivumäärä : sairas. -ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. luokka. Klo 14.00 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009.- 215 S .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.