Mikä on logaritminen yhtälö. Logaritmisen yhtälön ratkaiseminen. Täydellinen opas (2019)

Logaritmiset yhtälöt. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Huomio!
On ylimääräisiä
materiaalit erityisosassa 555.
Niille, jotka eivät ole "kovin ..."
Ja niille, jotka "paljon ...")

Mikä on logaritminen yhtälö?

Tämä on yhtälö logaritmeilla. Olin yllättynyt, eikö?) Sitten selvennän. Tämä on yhtälö, josta löytyy tuntemattomia (x) ja niiden kanssa olevia ilmaisuja logaritmien sisällä. Ja vain siellä! On tärkeää.

Tässä muutamia esimerkkejä logaritmiset yhtälöt:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x + 1) +10 = 11lg (x + 1)

No, ymmärrätte ajatuksen ... )

Huomautus! Laaja valikoima X -lausekkeita löytyy yksinomaan logaritmien sisällä. Jos yhtäkkiä yhtälöstä löytyy yhtäkkiä x ulkopuolella, esimerkiksi:

loki 2 x = 3 + x,

tämä on jo sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä ratkaisemiseksi. Emme ota niitä vielä huomioon. Muuten logaritmien sisällä on yhtälöitä vain numeroita... Esimerkiksi:

Mitä voin sanoa? Onnea, jos törmäät tähän! Logaritmi numeroineen on joku numero. Ja siinä kaikki. Riittää tietää logaritmien ominaisuudet tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi. Tieto erityisistä säännöistä, tekniikoista, jotka on mukautettu erityisesti ratkaisemiseen logaritmiset yhtälöt, ei vaadita täällä.

Niin, mikä on logaritminen yhtälö- selvitin sen.

Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt?

Ratkaisu logaritmiset yhtälöt- asia ei itse asiassa ole kovin yksinkertainen. Joten osio, joka meillä on - neljälle ... Vaatii kunnollisen tietämyksen kaikenlaisista aiheista. Lisäksi näissä yhtälöissä on erityispiirre. Ja tämä ominaisuus on niin tärkeä, että sitä voidaan turvallisesti kutsua pääongelmaksi logaritmisissa yhtälöissä. Käsittelemme tätä ongelmaa yksityiskohtaisesti seuraavassa oppitunnissa.

Toistaiseksi älä huoli. Menemme oikeaan suuntaan yksinkertaisesta monimutkaiseksi. Päällä konkreettisia esimerkkejä... Tärkeintä on syventyä yksinkertaisiin asioihin ja olla laiska seuraamaan linkkejä, en laittanut niitä juuri niin ... Ja onnistut. Välttämättä.

Aloitetaan alkeellisimmista, yksinkertaisimmista yhtälöistä. Niiden ratkaisemiseksi on toivottavaa saada käsitys logaritmista, mutta ei muuta. Ei aavistustakaan logaritmi, ratkaista ratkaisu logaritminen yhtälöt - jotenkin noloa jopa ... Sanoisin hyvin rohkeasti).

Yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt.

Nämä ovat muodon yhtälöt:

1.loki 3 x = log 3 9

2.log 7 (2x-3) = log 7x

3.log 7 (50x-1) = 2

Päätösprosessi mikä tahansa logaritminen yhtälö koostuu siirtymisestä logaritmeja sisältävästä yhtälöstä yhtälöön ilman niitä. Yksinkertaisimmissa yhtälöissä tämä siirtymä suoritetaan yhdessä vaiheessa. Siksi yksinkertaisin.)

Ja tällaisten logaritmisten yhtälöiden ratkaiseminen on yllättävän yksinkertaista. Katso itse.

Ensimmäisen esimerkin ratkaiseminen:

log 3 x = log 3 9

Tämän esimerkin ratkaisemiseksi sinun ei tarvitse tietää melkein mitään, kyllä ​​... Puhtaasti intuitio!) erityisesti et pidä tästä esimerkistä? Mitä-mitä ... Logaritmit eivät ole miellyttäviä! Aivan. Joten päästetään niistä eroon. Tarkastelemme tarkasti esimerkkiä ja meillä on luonnollinen halu ... Aivan vastustamaton! Ota ja hävitä logaritmit kokonaan. Ja mikä miellyttää minua voi tehdä! Matematiikka sallii. Logaritmit häviävät vastaus on:

Hienoa, eikö? Voit aina (ja sinun pitäisi) tehdä tämän. Logaritmien poistaminen tällä tavalla on yksi tärkeimmistä tavoista ratkaista logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet. Matematiikassa tätä operaatiota kutsutaan tehostaminen. Tällaiselle selvitystilalle on tietysti omat säännöt, mutta niitä on vähän. Muistaa:

Voit poistaa logaritmit ilman pelkoa, jos niillä on:

a) identtiset numeeriset perusteet

c) vasemman ja oikean logaritmit ovat puhtaita (ilman kertoimia) ja ovat loistavassa eristyksessä.

Selitän viimeisen kohdan. Sano yhtälössä

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

et voi poistaa logaritmeja. Oikealla oleva kaksikko ei salli. Kerroin, tiedät ... Esimerkissä

loki 3 x + loki 3 (x + 1) = loki 3 (3 + x)

yhtälöä on myös mahdotonta tehostaa. Vasemmalla ei ole yksinäistä logaritmia. Niitä on kaksi.

Lyhyesti sanottuna voit poistaa logaritmit, jos yhtälö näyttää tältä ja vain tältä:

log a (.....) = log a (.....)

Suluissa, missä ellipsi voi olla mitään ilmaisuja. Yksinkertainen, super monimutkainen, kaikenlaisia. Mitä tahansa. Tärkeää on, että logaritmien poistamisen jälkeen meillä on edelleen yksinkertaisempi yhtälö. Oletetaan tietysti, että osaat jo ratkaista lineaariset, toisen asteen, murto-, eksponentiaaliset ja muut yhtälöt ilman logaritmeja.)

Toinen esimerkki voidaan nyt ratkaista helposti:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Itse asiassa se päätetään mielessä. Vahvistamalla saamme:

Onko se hyvin vaikeaa?) Kuten näette, logaritminen osa yhtälön ratkaisusta on vain logaritmien poistamisessa ... Ja sitten jäljellä olevan yhtälön ratkaisu menee ilman niitä. Triviaali liike.

Ratkaistaan ​​kolmas esimerkki:

log 7 (50x-1) = 2

Näemme, että logaritmi on vasemmalla:

Muistamme, että tämä logaritmi on jokin luku, johon pohja (eli seitsemän) on nostettava, jotta saadaan alilogaritmin lauseke, ts. (50x-1).

Mutta tuo luku on kaksi! Yhtälön mukaan. Tuo on:

Se on pohjimmiltaan kaikki. Logaritmi kadonnut, jäljellä on vaaraton yhtälö:

Ratkaisimme tämän logaritmisen yhtälön vain logaritmin merkityksen perusteella. Onko logaritmien poistaminen helpompaa?) Olen samaa mieltä. Muuten, jos teet kahden logaritmin, voit ratkaista tämän esimerkin selvittämällä. Voit tehdä logaritmin mistä tahansa numerosta. Lisäksi tapa, jolla me sitä tarvitsemme. Erittäin hyödyllinen temppu logaritmisen yhtälön ja (erityisesti!) eriarvoisuuden ratkaisemisessa.

Etkö tiedä kuinka tehdä logaritmi numerosta!? Se on okei. Osassa 555 kuvataan tätä tekniikkaa yksityiskohtaisesti. Voit hallita ja soveltaa sitä täysimääräisesti! Se vähentää huomattavasti virheiden määrää.

Neljäs yhtälö ratkaistaan ​​täsmälleen samalla tavalla (määritelmän mukaan):

Siinä kaikki.

Yhteenveto tästä oppitunnista. Olemme tarkastelleet esimerkeillä yksinkertaisimpien logaritmisten yhtälöiden ratkaisua. Se on erittäin tärkeää. Eikä vain siksi, että kontrollikokeissa on tällaisia ​​yhtälöitä. Tosiasia on, että jopa pahimmat ja sekavimmat yhtälöt on välttämättä yksinkertaistettu yksinkertaisimmiksi!

Itse asiassa yksinkertaisimmat yhtälöt ovat ratkaisun viimeinen osa. minkä tahansa yhtälöt. Ja tämä viimeistelyosa on ymmärrettävä itsestäänselvyytenä! Ja kauemmas. Muista lukea tämä sivu loppuun. Siellä on yllätys ...)

Nyt päätämme itse. Täytämme niin sanotusti kätemme ...)

Etsi yhtälöiden juuri (tai juurien summa, jos niitä on useita):

ln (7x + 2) = ln (5x + 20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x -1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Vastaukset (tietysti epäjärjestyksessä): 42; 12; yhdeksän; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Mitä, kaikki ei toimi? Se tapahtuu. Älä murehdi! Osa 555 kuvaa ratkaisun kaikkiin näihin esimerkkeihin selkeästi ja yksityiskohtaisesti. Tulet varmasti selvittämään sen siellä. Lisäksi hallitse hyödyllisiä käytännön tekniikoita.

Kaikki sujui !? Kaikki esimerkit ovat "yksi jäljellä"?) Onnittelut!

On tullut aika paljastaa teille katkera totuus. Näiden esimerkkien onnistunut ratkaisu ei takaa lainkaan menestystä kaikkien muiden logaritmisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Jopa yksinkertaisimmat tällaiset. Valitettavasti.

Tosiasia on, että minkä tahansa logaritmisen yhtälön ratkaisu (jopa kaikkein alkeellisin!) Koostuu kaksi yhtä suurta osaa. Yhtälön ratkaiseminen ja työskentely ODZ: n kanssa. Yksi osa - itse yhtälön ratkaiseminen - on hallittu. Se ei ole niin vaikeaa oikein?

Tätä oppituntia varten olen valinnut erityisesti sellaisia ​​esimerkkejä, joissa LDO ei vaikuta vastaukseen millään tavalla. Mutta kaikki eivät ole niin ystävällisiä kuin minä, eikö? ...)

Siksi on välttämätöntä hallita toinen osa. ODZ. Tämä on pääongelma logaritmisen yhtälön ratkaisemisessa. Eikä siksi, että se olisi vaikeaa - tämä osa on jopa helpompi kuin ensimmäinen. Mutta koska ODZ on yksinkertaisesti unohdettu. Tai he eivät tiedä. Tai molemmat). Ja putoaa taivaasta ...

Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme tätä ongelmaa. Silloin voit päättää luottavaisesti minkä tahansa yksinkertaiset logaritmiset yhtälöt ja päästä varsin kiinteisiin tehtäviin.

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten, minulla on pari mielenkiintoista sivustoa sinulle.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisua ja selvittää tasosi. Välitön validointitesti. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua toimintoihin ja johdannaisiin.

Matematiikan lopputestin valmistelu sisältää tärkeän osan - "Logaritmit". Tämän aiheen tehtävät sisältyvät välttämättä tenttiin. Viime vuosien kokemus osoittaa, että logaritmiset yhtälöt ovat aiheuttaneet vaikeuksia monille koululaisille. Siksi opiskelijoiden, joilla on erilainen koulutustaso, tulisi ymmärtää, miten löytää oikea vastaus, ja selviytyä niistä nopeasti.

Suorita sertifiointitesti onnistuneesti Shkolkovo -koulutusportaalin avulla!

Yhtenäiseen valtiokokeeseen valmistautuessaan lukion valmistuneet tarvitsevat luotettavan lähteen, joka tarjoaa täydellisimmät ja tarkimmat tiedot testiongelmien onnistuneeseen ratkaisuun. Oppikirja ei kuitenkaan ole aina käsillä, ja tarvittavien sääntöjen ja kaavojen löytäminen Internetistä vie usein aikaa.

Koulutusportaalin "Shkolkovo" avulla voit valmistautua yhtenäiseen valtiokokeeseen missä tahansa ja milloin tahansa. Sivustollamme on kätevin tapa toistaa ja assimiloida suuri määrä tietoa logaritmeista sekä yhdestä ja useammasta tuntemattomasta. Aloita helpoilla yhtälöillä. Jos käsittelet niitä helposti, siirry monimutkaisempiin. Jos sinulla on ongelmia tietyn eriarvoisuuden ratkaisemisessa, voit lisätä sen suosikkeihisi, jotta voit palata siihen myöhemmin.

löytö tarvittavat kaavat tehtävän suorittamiseksi voit toistaa vakiologaritmisen yhtälön juuren laskemisen erikoistapaukset ja -menetelmät katsomalla "Teoreettinen viite" -osaa. Shkolkovon opettajat ovat keränneet, systematisoineet ja esittäneet kaikki materiaalit, jotka ovat välttämättömiä onnistuneelle toimitukselle yksinkertaisimmassa ja ymmärrettävässä muodossa.

Selvittääksesi kaikenlaiset monimutkaiset tehtävät helposti portaalissamme voit tutustua joidenkin tyypillisten logaritmisten yhtälöiden ratkaisuun. Voit tehdä tämän siirtymällä "Hakemistot" -osioon. Olemme esittäneet suuri määrä esimerkkejä, mukaan lukien yhtälöt profiilitaso Yhdistetty matematiikan valtion tentti.

Opiskelijat eri puolilta Venäjää voivat käyttää portaaliamme. Aloita rekisteröimällä järjestelmä ja aloita yhtälöiden ratkaiseminen. Tulosten vahvistamiseksi suosittelemme palaamaan Shkolkovon verkkosivustolle joka päivä.

Tällä videolla aloitan pitkän sarjan opetusohjelmia logaritmisista yhtälöistä. Nyt sinulla on kolme esimerkkiä kerralla, joiden perusteella opimme ratkaisemaan yksinkertaisimmat tehtävät, joita kutsutaan niin - alkueläimet.

log 0.5 (3x - 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Muistutan, että yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

log a f (x) = b

Tässä tapauksessa on tärkeää, että muuttuja x on läsnä vain argumentin sisällä, eli vain funktiossa f (x). Ja numerot a ja b ovat täsmälleen numeroita, eivätkä missään tapauksessa ole funktioita, jotka sisältävät muuttujan x.

Perusratkaisumenetelmät

On monia tapoja ratkaista tällaisia ​​malleja. Esimerkiksi suurin osa koulun opettajista ehdottaa seuraavaa: Ilmaise funktio f (x) välittömästi kaavalla f ( x) = a b. Toisin sanoen, kun kohtaat yksinkertaisimman rakenteen, voit siirtyä suoraan ratkaisuun ilman lisätoimia ja -rakenteita.

Kyllä, päätös tulee tietysti oikeaksi. Tämän kaavan ongelma on kuitenkin se, että useimmat opiskelijat ei ymmärrä, mistä se tulee ja miksi nostamme a -kirjaimen b -kirjaimeksi.

Tämän seurauksena näen usein erittäin loukkaavia virheitä, kun esimerkiksi nämä kirjeet vaihdetaan. Tämä kaava on joko ymmärrettävä tai täytettävä, ja toinen menetelmä johtaa virheisiin kaikkein sopimattomimmilla ja tärkeimmillä hetkillä: kokeissa, kokeissa jne.

Siksi ehdotan kaikille oppilailleni luopuvan peruskoulun kaavasta ja käyttämällä toista lähestymistapaa ratkaisemaan logaritmiset yhtälöt, joita, kuten luultavasti jo arvasitte nimestä, kutsutaan kanoninen muoto.

Kanonisen muodon idea on yksinkertainen. Katsotaanpa vielä kerran ongelmaa: vasemmalla on loki a, kun taas a -kirjain tarkoittaa tarkasti lukua, eikä missään tapauksessa funktio sisällä muuttujaa x. Siksi tähän kirjeeseen sovelletaan kaikkia logaritmin perustaan ​​liittyviä rajoituksia. nimittäin:

1 ≠ a> 0

Toisaalta samasta yhtälöstä näemme, että logaritmin pitäisi olla yhtä suuri kuin luku b, eikä tälle kirjeelle aseteta rajoituksia, koska se voi ottaa mitä tahansa arvoja- sekä positiivisia että negatiivisia. Kaikki riippuu funktion f (x) arvoista.

Ja tässä muistamme suurenmoisen säännömme, että mikä tahansa luku b voidaan esittää logaritmina a: n perustaan ​​b: n potenssiin:

b = log a a b

Kuinka muistat tämän kaavan? Se on hyvin yksinkertaista. Kirjoitetaan seuraava rakenne:

b = b 1 = b log a a

Tietenkin kaikki alussa kirjoittamamme rajoitukset syntyvät. Käytetään nyt logaritmin perusominaisuutta ja otetaan tekijä b a: n tehoksi. Saamme:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Tämän seurauksena alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

log a f (x) = loki a a b → f (x) = a b

Siinä kaikki. Uusi funktio ei enää sisällä logaritmia, ja se ratkaistaan ​​tavanomaisilla algebrallisilla tekniikoilla.

Tietysti joku vastustaa nyt: miksi vaivautua keksimään jonkinlaista kanonista kaavaa, miksi suorittaa kaksi ylimääräistä tarpeetonta vaihetta, jos voisit heti siirtyä alkuperäisestä rakenteesta lopulliseen kaavaan? Kyllä, jopa silloin, että suurin osa opiskelijoista ei ymmärrä, mistä tämä kaava on peräisin, ja siksi he tekevät säännöllisesti virheitä sen soveltamisessa.

Mutta tämä kolmen vaiheen toimintasarja mahdollistaa alkuperäisen logaritmisen yhtälön ratkaisemisen, vaikka et ymmärtäisi, mistä lopullinen kaava tulee. Muuten, tätä tietuetta kutsutaan kanoniseksi kaavaksi:

log a f (x) = log a a b

Kaanonisen muodon mukavuus on myös siinä, että sitä voidaan käyttää ratkaisemaan hyvin laaja logaritminen yhtälöluokka, ei vain yksinkertaisimmat, joita harkitsemme tänään.

Esimerkkejä ratkaisuista

Mietitään nyt todellisia esimerkkejä... Joten päätämme:

log 0.5 (3x - 1) = −3

Kirjoitetaan se uudelleen näin:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 −3

Monilla oppilailla on kiire ja he yrittävät heti nostaa luvun 0,5 tehoon, joka tuli meille alkuperäisestä ongelmasta. Itse asiassa, kun olet jo hyvin koulutettu ratkaisemaan tällaisia ​​ongelmia, voit heti seurata tätä vaihetta.

Jos kuitenkin olet vasta aloittamassa tämän aiheen tutkimista, on parempi olla kiirettä minnekään, jotta et tekisi loukkaavia virheitä. Meillä on siis kanoninen muoto. Meillä on:

3x - 1 = 0,5 −3

Tämä ei ole enää logaritminen yhtälö, vaan lineaarinen yhtälö muuttujan x suhteen. Sen ratkaisemiseksi käsitellään ensin lukua 0,5 potenssiin −3. Huomaa, että 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kaikki desimaaleja muuntaa normaaliksi, kun ratkaiset logaritmisen yhtälön.

Kirjoitamme uudelleen ja saamme:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

Siinä se, saimme vastauksen. Ensimmäinen tehtävä on ratkaistu.

Toinen tehtävä

Siirrytään toiseen tehtävään:

Kuten näette, tämä yhtälö ei ole enää yksinkertaisin. Jos vain siksi, että ero on vasemmalla, eikä yksi logaritmi yhdessä kannassa.

Siksi sinun on jotenkin päästä eroon tästä erosta. Tässä tapauksessa kaikki on hyvin yksinkertaista. Katsotaanpa perusteellisesti perustoja: vasemmalla on numero juuren alla:

Yleinen suositus: yritä kaikissa logaritmisissa yhtälöissä päästä eroon radikaaleista, toisin sanoen juurista ja merkinnöistä virtatoiminnot, yksinkertaisesti siksi, että näiden asteiden eksponentit on helppo ottaa pois logaritmin merkistä, ja lopulta tällainen tietue yksinkertaistaa ja nopeuttaa suuresti laskelmia. Kirjoitetaan siis näin:

Muistamme nyt logaritmin merkittävän ominaisuuden: argumentista ja pohjasta voit saada astetta. Perustelujen tapauksessa tapahtuu seuraavaa:

log a k b = 1 / k loga b

Toisin sanoen lukua, joka seisoi kannan asteessa, siirretään eteenpäin ja samalla muuttuu, eli siitä tulee taaksepäin... Meidän tapauksessamme oli perusta, jonka eksponentti oli 1/2. Siksi voimme tehdä siitä 2/1. Saamme:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Huomaa: älä missään tapauksessa päästä eroon logaritmeista tässä vaiheessa. Muista luokkien 4-5 matematiikka ja menettely: ensin suoritetaan kertolasku ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku. Tässä tapauksessa vähennämme yhden saman kymmenestä elementistä:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nyt yhtälömme näyttää siltä. se yksinkertaisin muotoilu ja ratkaisemme sen kanonisella muodolla:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Siinä kaikki. Toinen tehtävä on ratkaistu.

Kolmas esimerkki

Siirrytään kolmanteen tehtävään:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Muistutan seuraavaa kaavaa:

lg b = log 10 b

Jos loki b on jostain syystä hämmentynyt, voit suorittaa kaikki laskelmat yksinkertaisesti kirjaamalla 10 b. Voit käyttää desimaalilogaritmeja samalla tavalla kuin muidenkin kanssa: ota astetta, lisää ja edusta mahdollisia numeroita muodossa lg 10.

Näitä ominaisuuksia käytämme nyt ongelman ratkaisemiseen, koska se ei ole yksinkertaisin, jonka kirjoitimme muistiin oppitunnimme alussa.

Huomaa aluksi, että tekijä 2 ennen lg 5: tä voidaan ottaa käyttöön ja siitä tulee kantaluvun 5 teho. Lisäksi vapaa termi 3 on myös edustettavissa logaritmina - tämä on erittäin helppo havaita merkinnöistämme.

Arvioi itse: mikä tahansa luku voidaan esittää lokikannana 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjoitetaan alkuperäinen ongelma uudelleen ottaen huomioon saadut muutokset:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
log (x - 3) = log 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 grammaa

Edessämme on jälleen kanoninen muoto, ja saimme sen, ohittamalla muutosten vaiheen, eli yksinkertaisin logaritminen yhtälö ei esiintynyt missään maassamme.

Juuri tästä puhuin oppitunnin alussa. Kaanonisen muodon avulla voidaan ratkaista laajempi tehtäväryhmä kuin useimpien koulunopettajien antama peruskoulukaava.

Siinä kaikki, pääsemme eroon desimaalilogaritmin merkistä ja saamme yksinkertaisen lineaarisen rakenteen:

x + 3 = 25 000
x = 24,997

Kaikki! Ongelma on ratkaistu.

Huomautus laajuudesta

Haluan tässä tehdä tärkeän huomautuksen määritelmän laajuudesta. Varmasti nyt on opiskelijoita ja opettajia, jotka sanovat: "Kun ratkaamme lausekkeet logaritmeilla, on välttämätöntä muistaa, että argumentin f (x) on oltava suurempi kuin nolla!" Tältä osin herää looginen kysymys: miksi yhdessäkään tarkastelluista ongelmista emme vaatineet tämän eriarvoisuuden täyttymistä?

Älä huoli. Näissä tapauksissa ei synny ylimääräisiä juuria. Ja tämä on toinen hieno temppu, jonka avulla voit nopeuttaa ratkaisua. Tiedä vain, että jos ongelmassa muuttuja x esiintyy vain yhdessä paikassa (tai pikemminkin vain yhden logaritmin argumentissa) eikä missään muualla tapauksessamme ole muuttujaa x, kirjoita verkkotunnus ei välttämättä koska se toimii automaattisesti.

Arvioi itse: ensimmäisessä yhtälössä saimme 3x - 1, eli argumentin pitäisi olla yhtä suuri kuin 8. Tämä tarkoittaa automaattisesti, että 3x - 1 on suurempi kuin nolla.

Samalla menestyksellä voimme kirjoittaa, että toisessa tapauksessa x: n on oltava yhtä suuri kuin 5 2, eli se on varmasti suurempi kuin nolla. Ja kolmannessa tapauksessa, jossa x + 3 = 25 000, eli jälleen selvästi suurempi kuin nolla. Toisin sanoen toimialue täyttyy automaattisesti, mutta vain jos x esiintyy vain yhden logaritmin argumentissa.

Se on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää ratkaistaksesi yksinkertaisimmat ongelmat. Pelkästään tämän säännön ja muutossääntöjen avulla voit ratkaista hyvin laajan ongelmaluokan.

Mutta olkaamme rehellisiä: ymmärtääksemme tämän tekniikan vihdoin ja oppiaksemme soveltamaan logaritmisen yhtälön kanonista muotoa ei riitä, että katsot vain yhden opetusvideon. Lataa sen vuoksi vaihtoehdot itsenäinen päätös jotka on liitetty tähän video -opetusohjelmaan ja jotka alkavat ratkaista ainakin yhtä näistä kahdesta itsenäisestä työstä.

Se vie vain muutaman minuutin. Mutta tällaisen koulutuksen vaikutus on paljon suurempi verrattuna siihen, jos katsoit juuri tämän opetusvideon.

Toivon, että tämä opetusohjelma auttaa sinua ymmärtämään logaritmiset yhtälöt. Käytä kanonista muotoa, yksinkertaista lausekkeita käyttämällä sääntöjä logaritmien käsittelemiseksi - ja mikään ongelma ei ole sinulle pelottava. Ja mulla on kaikki tälle päivälle.

Soveltamisalan huomioon ottaminen

Puhutaan nyt logaritmisen funktion alueesta ja siitä, miten tämä vaikuttaa logaritmisen yhtälön ratkaisuun. Harkitse lomakkeen rakennetta

log a f (x) = b

Tällaista lauseketta kutsutaan yksinkertaisimmaksi - siinä on vain yksi funktio, ja luvut a ja b ovat täsmälleen numeroita, eikä se missään tapauksessa ole funktio, joka riippuu muuttujasta x. Se ratkaistaan ​​hyvin yksinkertaisesti. Sinun tarvitsee vain käyttää kaavaa:

b = log a a b

Tämä kaava on yksi logaritmin tärkeimmistä ominaisuuksista, ja kun se korvataan alkuperäisellä lausekkeella, saadaan seuraava:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Tämä on tuttu kaava koulukirjoista. Monilla oppilailla on todennäköisesti kysymys: koska alkuperäisessä lausekkeessa funktio f (x) on lokimerkin alla, sille asetetaan seuraavat rajoitukset:

f (x)> 0

Tämä rajoitus on voimassa, koska logaritmi negatiiviset luvut ei ole olemassa. Joten ehkä tämän rajoituksen vuoksi sinun pitäisi ottaa käyttöön vastausten tarkistus? Ehkä ne on vaihdettava lähteeseen?

Ei, yksinkertaisimmissa logaritmisissa yhtälöissä lisätarkistus ei ole tarpeen. Ja siksi. Katso lopullinen kaavamme:

f (x) = a b

Tosiasia on, että luku a on joka tapauksessa suurempi kuin 0 - tämä vaatimus on myös logaritmin asettama. Numero a on pohja. Tässä tapauksessa numeroon b ei ole rajoituksia. Mutta tällä ei ole väliä, koska riippumatta siitä, missä määrin nostamme positiivisen luvun, tuotoksella saamme silti positiivisen luvun. Siten vaatimus f (x)> 0 täyttyy automaattisesti.

Mikä kannattaa todella tarkistaa, on lokimerkin alla olevan toiminnon laajuus. Rakenteita voi olla melko monimutkaisia, ja niiden ratkaisemisessa sinun on ehdottomasti noudatettava niitä. Katsotaan.

Ensimmäinen tehtävä:

Ensimmäinen askel: muuta murto oikealla. Saamme:

Pääsemme eroon logaritmin merkistä ja saamme tavanomaisen irrationaalisen yhtälön:

Saatuista juurista vain ensimmäinen sopii meille, koska toinen juuri on pienempi kuin nolla. Ainoa vastaus on numero 9. Siinä kaikki, ongelma on ratkaistu. Mitään lisätarkastuksia siitä, että logaritmin merkin alla oleva lauseke on suurempi kuin 0, ei vaadita, koska se ei ole vain suurempi kuin 0, vaan yhtälön ehdon mukaan se on 2. Siksi vaatimus "suurempi kuin nolla" ”Täyttyy automaattisesti.

Siirrytään toiseen tehtävään:

Kaikki on sama täällä. Kirjoitamme rakenteen uudelleen korvaamalla kolme:

Pääsemme eroon logaritmin merkeistä ja saamme irrationaalisen yhtälön:

Neliöimme molemmat puolet ottaen huomioon rajoitukset ja saamme:

4-6x - x 2 = (x - 4) 2

4-6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön erottelijan kautta:

D = 49-24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Mutta x = −6 ei sovi meille, koska jos korvaamme tämän luvun eriarvoisuutemme, saamme:

−6 + 4 = −2 < 0

Meidän tapauksessamme sen on oltava suurempi kuin 0 tai ääritapauksissa yhtä suuri. Mutta x = −1 sopii meille:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainoa vastaus meidän tapauksessamme on x = −1. Siinä koko ratkaisu. Palataanpa laskelmiemme alkuun.

Tärkein poiminta tästä oppitunnista on, että sinun ei tarvitse tarkistaa funktion rajoituksia yksinkertaisimmista logaritmisista yhtälöistä. Koska ratkaisun aikana kaikki rajoitukset täyttyvät automaattisesti.

Tämä ei kuitenkaan millään tavalla tarkoita, että voit unohtaa tarkastuksen kokonaan. Logaritmisen yhtälön parissa prosessi voi muuttua irrationaaliseksi, jolla on omat rajoituksensa ja vaatimukset oikealle puolelle, kuten olemme nähneet tänään kahdessa eri esimerkissä.

Voit vapaasti ratkaista tällaiset ongelmat ja olla erityisen varovainen, jos väitteessä on juuri.

Logaritmiset yhtälöt, joilla on eri perusteet

Jatkamme logaritmisten yhtälöiden tutkimista ja analysoimme vielä kahta varsin mielenkiintoista temppua, joilla on muodikasta ratkaista enemmän monimutkaisia ​​rakenteita... Mutta muistetaan ensin, miten yksinkertaisimmat tehtävät ratkaistaan:

log a f (x) = b

Tässä merkinnässä a ja b ovat täsmälleen numeroita, ja funktiossa f (x) muuttujan x on oltava läsnä, ja vain siellä, eli x: n on oltava vain argumentissa. Muunnamme tällaiset logaritmiset yhtälöt käyttämällä kanonista muotoa. Ota tämä huomioon

b = log a a b

Lisäksi a b on juuri argumentti. Kirjoitetaan tämä lauseke uudelleen seuraavasti:

log a f (x) = log a a b

Juuri tätä yritämme saavuttaa, jotta sekä vasen että oikea ovat logaritmi pohjaan a. Tässä tapauksessa voimme kuvaannollisesti ilmaista lokimerkit, ja matematiikan kannalta voimme sanoa, että yksinkertaistamme argumentit:

f (x) = a b

Tämän seurauksena saamme uuden ilmaisun, joka on paljon helpompi ratkaista. Sovelletaan tätä sääntöä tämän päivän tehtäviin.

Ensimmäinen rakenne siis:

Huomaa ensinnäkin, että oikealla on murto -osa, jossa nimittäjässä on loki. Kun näet tällaisen ilmaisun, ei ole tarpeetonta muistaa logaritmien ihanaa ominaisuutta:

Tämä tarkoittaa käännettynä venäjäksi, että mikä tahansa logaritmi voidaan esittää kahden logaritmin osuutena millä tahansa kantaluvulla s. Tietysti 0< с ≠ 1.

Joten: tällä kaavalla on yksi ihana erikoistapaus kun muuttuja c on yhtä suuri kuin muuttuja b. Tässä tapauksessa saamme rakenteen lomakkeesta:

Juuri tätä rakennetta havaitsemme merkistä oikealle yhtälössämme. Korvataan tämä rakenne lokilla a b, saamme:

Toisin sanoen alkuperäiseen ongelmaan verrattuna olemme vaihtaneet argumentin ja logaritmin perustan. Sen sijaan meidän oli käännettävä murto -osa.

Muistamme, että mikä tahansa tutkinto voidaan johtaa perusteesta seuraavan säännön mukaisesti:

Toisin sanoen kerroin k, joka on emäksen aste, otetaan käänteisenä murto -osana. Otetaan se käänteisenä murto -osana:

Murtolukua ei voi jättää eteen, koska tässä tapauksessa emme voi edustaa tätä tietuetta kanonisena muodona (kanonisessa muodossa ei ole toista tekijää toisen logaritmin edessä). Siksi lisätään murto 1/4 eksponentti -argumenttiin:

Nyt rinnastamme argumentit, joiden perusteet ovat samat (ja meillä on todella samat perusteet), ja kirjoitamme:

x + 5 = 1

x = −4

Siinä kaikki. Saimme vastauksen ensimmäiseen logaritmiseen yhtälöön. Huomaa: alkuperäisessä ongelmassa muuttuja x esiintyy vain yhdessä lokissa ja se on sen argumentissa. Siksi verkkotunnusta ei tarvitse tarkistaa, ja numero x = −4 on todellakin vastaus.

Siirrytään nyt toiseen lausekkeeseen:

lg 56 = lg 2 log 2 7 - 3lg (x + 4)

Tässä tavallisten logaritmien lisäksi meidän on työskenneltävä lg f (x): n kanssa. Kuinka ratkaista tällainen yhtälö? Kouluttamattomalle opiskelijalle saattaa tuntua, että tämä on jonkinlaista sitkeyttä, mutta itse asiassa kaikki ratkaistaan ​​alkeellisella tavalla.

Katso termiä lg 2 log 2 7. Mitä voimme sanoa siitä? Login ja lg: n syyt ja argumentit ovat samat, ja niiden pitäisi olla viitteellisiä. Muistetaanpa taas, kuinka astetta otetaan logaritmin merkin alta:

log a b n = nlog a b

Toisin sanoen, mikä oli argumentin luvun b voima, tulee tekijäksi lokin edessä. Käytämme tätä kaavaa ilmaisemaan lg 2 log 2 7. Älä pelkää lg 2: tämä on yleisin ilmaisu. Voit kirjoittaa sen uudelleen näin:

Kaikki muihin logaritmeihin sovellettavat säännöt koskevat sitä. Erityisesti edessä oleva tekijä voidaan lisätä argumentin asteeseen. Kirjoitetaan:

Hyvin usein oppilaat eivät näe tätä toimintopistettä tyhjänä, koska yhden lokin kirjoittaminen toisen merkin alle ei ole hyvä. Itse asiassa tässä ei ole mitään rikollista. Lisäksi saamme kaavan, joka voidaan helposti laskea, jos muistat tärkeän säännön:

Tätä kaavaa voidaan pitää sekä määritelmänä että yhtenä sen ominaisuuksista. Joka tapauksessa, jos muutat logaritmisen yhtälön, sinun pitäisi tietää tämä kaava samalla tavalla kuin edustaa mitä tahansa lukua lokin muodossa.

Palaamme tehtävään. Kirjoitamme sen uudelleen ottaen huomioon sen tosiasian, että ensimmäinen termi yhtäläisyysmerkin oikealla puolella on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin lg 7. Meillä on:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Siirretään lg 7 vasemmalle, saadaan:

lg 56 - lg 7 = −3lg (x + 4)

Vähennä vasemmalla olevat lausekkeet, koska niillä on sama perusta:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Katsotaan nyt tarkasti saamamme yhtälö. Se on käytännössä kanoninen muoto, mutta oikealla on kerroin -3. Laitetaanpa oikeaan lg -argumenttiin:

log 8 = log (x + 4) −3

Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten ylitämme lg: n merkit ja rinnastamme argumentit:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Siinä kaikki! Olemme ratkaisseet toisen logaritmisen yhtälön. Tässä tapauksessa lisäselvityksiä ei tarvita, koska alkuperäisessä tehtävässä x oli vain yhdessä argumentissa.

Listaan ​​uudelleen avainkohdat tästä opetusohjelmasta.

Pääkaava, jota tutkitaan kaikissa tämän sivun logaritmisiin yhtälöihin liittyvissä oppitunneissa, on kanoninen muoto. Älä myöskään pelkää sitä, että useimmat koulukirjat opettavat sinua ratkaisemaan tällaiset ongelmat eri tavalla. Tämä työkalu toimii erittäin tehokkaasti ja sen avulla voit ratkaista paljon laajemman luokan ongelmia kuin yksinkertaisimmat, joita tutkimme oppitunnimme alussa.

Lisäksi on hyödyllistä tietää logaritmisen yhtälön ratkaisun perusominaisuudet. Nimittäin:

1. Kaava siirtymiseen yhteen pohjaan ja erityistapaus, kun käännämme lokia (tämä oli erittäin hyödyllistä meille ensimmäisessä tehtävässä);
2. Kaava logaritmin merkin asteiden lisäämiseksi ja poistamiseksi. Täällä monet opiskelijat jäätyvät eivätkä näe läheltä, että eksponentiaalinen ja lisätty aste voi sisältää lokin f (x). Ei siinä mitään vikaa. Voimme ottaa yhden lokin käyttöön toisen merkin avulla ja samalla yksinkertaistaa merkittävästi ongelman ratkaisua, jota havaitsemme toisessa tapauksessa.

Lopuksi haluan lisätä, että soveltamisalaa ei tarvitse tarkistaa kaikissa näissä tapauksissa, koska muuttuja x on kaikkialla vain yhdessä lokimerkissä, ja samaan aikaan se on sen argumentissa. Tämän seurauksena kaikki soveltamisalan vaatimukset täyttyvät automaattisesti.

Muuttuvat radix -ongelmat

Tänään tarkastelemme logaritmisia yhtälöitä, jotka monille opiskelijoille näyttävät olevan epätavallisia, ellei jopa täysin ratkaisemattomia. se on lausekkeista, jotka eivät perustu numeroihin, vaan muuttujiin ja jopa funktioihin. Ratkaisemme tällaiset rakenteet käyttämällä vakiotekniikkaamme, nimittäin kanonista muotoa.

Muistetaan aluksi, kuinka yksinkertaisimmat ongelmat ratkaistaan, ja ne perustuvat tavallisiin numeroihin. Yksinkertaisin on siis lomakkeen rakenne

log a f (x) = b

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi voimme käyttää seuraavaa kaavaa:

b = log a a b

Kirjoitamme alkuperäisen ilmaisumme uudelleen ja saamme:

log a f (x) = log a a b

Sitten rinnastamme argumentit, eli kirjoitamme:

f (x) = a b

Näin pääsemme eroon lokimerkistä ja ratkaisemme jo yleisen ongelman. Tässä tapauksessa liuoksesta saadut juuret ovat alkuperäisen logaritmisen yhtälön juuret. Lisäksi tietuetta, kun sekä vasen että oikea seisovat samalla logaritmilla samalla pohjalla, kutsutaan kanoniseksi muodoksi. Yritämme vähentää nykypäivän rakentamista tällaiseen ennätykseen. Mennään siis.

Ensimmäinen tehtävä:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Korvaa 1 lokilla x - 2 (x - 2) 1. Väitteessä havaitsemamme aste on itse asiassa luku b, joka oli yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella. Kirjoitamme siis ilmaisumme uudelleen. Saamme:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mitä näemme? Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten voimme rinnastaa argumentit turvallisesti. Saamme:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Ratkaisu ei kuitenkaan pääty tähän, koska tämä yhtälö ei vastaa alkuperäistä. Loppujen lopuksi tuloksena oleva rakenne koostuu funktioista, jotka on määritelty koko numerorivillä, eikä alkuperäisiä logaritmejamme ole määritelty kaikkialla eikä aina.

Siksi meidän on kirjoitettava soveltamisala erikseen. Älkäämme olko fiksuja ja kirjoittakaamme ensin kaikki vaatimukset:

Ensinnäkin kunkin logaritmin argumentin on oltava suurempi kuin 0:

2x 2-13x + 18> 0

x - 2> 0

Toiseksi, pohjan on oltava paitsi suurempi kuin 0, mutta myös eri kuin 1:

x - 2 ≠ 1

Tämän seurauksena saamme järjestelmän:

Älä kuitenkaan huolestu: logaritmisia yhtälöitä käsiteltäessä tällaista järjestelmää voidaan yksinkertaistaa huomattavasti.

Arvioi itse: toisaalta vaaditaan, että neliöfunktio on suurempi kuin nolla, ja toisaalta tämä neliöfunktio rinnastetaan tiettyyn lineaariseen lausekkeeseen, jonka on myös oltava suurempi kuin nolla.

Tässä tapauksessa, jos vaadimme, että x - 2> 0, vaatimus 2x 2 - 13x + 18> 0. täyttyy automaattisesti. Siksi voimme turvallisesti ylittää epätasa -arvon, joka sisältää neliöfunktio... Siten järjestelmämme sisältämien lausekkeiden määrä vähenee kolmeen.

Tietysti voisimme yhtä hyvin ylittää ja lineaarinen eriarvoisuus eli poista x - 2> 0 ja vaadi, että 2x 2 - 13x + 18> 0. Mutta sinun on myönnettävä, että yksinkertaisimman lineaarisen eriarvoisuuden ratkaiseminen on paljon nopeampaa ja helpompaa kuin toisen asteen epätasa -arvo, vaikka ehto olisi koko järjestelmän ratkaisemisessa saamme samat juuret.

Yritä yleensä optimoida laskelmasi aina kun mahdollista. Ja jos kyseessä on logaritminen yhtälö, poista vaikeimmat epätasa -arvot.

Kirjoitetaan järjestelmä uudelleen:

Tässä on tällainen kolmen ilmaisun järjestelmä, joista kaksi olemme itse asiassa jo keksineet. Kirjoitetaan se erikseen toisen asteen yhtälö ja ratkaise se:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Edessämme on neliönmuotoinen trinomi, ja siksi voimme käyttää Viestan kaavoja. Saamme:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Ja nyt palaamme järjestelmäämme ja huomaamme, että x = 2 ei sovi meille, koska vaaditaan, että x on ehdottomasti suurempi kuin 2.

Mutta x = 5 sopii meille: luku 5 on suurempi kuin 2, ja samalla 5 ei ole yhtä kuin 3. Siksi ainoa ratkaisu tähän järjestelmään on x = 5.

Siinä kaikki, ongelma on ratkaistu, mukaan lukien ODZ. Siirrytään toiseen yhtälöön. Täältä löydät mielenkiintoisempia ja informatiivisempia laskelmia:

Ensimmäinen askel: aivan kuten viime kerralla, tuomme koko asian kanoniseen muotoon. Tätä varten voimme kirjoittaa numeron 9 seuraavasti:

Sinun ei tarvitse koskea juuriin juurilla, mutta on parempi muuttaa argumentti. Mennään juurista järkevään eksponenttiin. Kirjoitetaan ylös:

En saa kirjoittaa koko suurta logaritmista yhtälöämme, vaan rinnastan heti argumentit:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Edessämme on äskettäin annettu neliömäinen trinomi, käytämme Vietan kaavoja ja kirjoitamme:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Joten saimme juuret, mutta kukaan ei taannut meille, että ne sopisivat alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöön. Loppujen lopuksi lokimerkit asettavat lisärajoituksia (tässä meidän olisi kirjoitettava järjestelmä, mutta koko rakentamisen vaikeuden vuoksi päätin laskea verkkotunnuksen erikseen).

Muista ensinnäkin, että argumenttien on oltava suurempia kuin 0, nimittäin:

Nämä ovat määritelmän piiriin kuuluvia vaatimuksia.

Huomaamme heti, että koska rinnastamme järjestelmän kaksi ensimmäistä lauseketta toisiinsa, voimme poistaa minkä tahansa niistä. Poistetaan ensimmäinen, koska se näyttää uhkaavammalta kuin toinen.

Huomaa lisäksi, että toisen ja kolmannen eriarvoisuuden ratkaisu on samat joukot (jonkin luvun kuutio on suurempi kuin nolla, jos tämä luku itsessään on suurempi kuin nolla; samoin kolmannen asteen juuressa - nämä eriarvoisuudet ovat täysin analoginen, joten yksi niistä voidaan ylittää).

Mutta kolmannella eriarvoisuudella tämä ei toimi. Päästä eroon radikaalimerkistä vasemmalla, jota varten rakennamme molemmat osat kuutioon. Saamme:

Joten saamme seuraavat vaatimukset:

- 2 ≠ x> −3

Kuka juuristamme: x 1 = −3 tai x 2 = −1 täyttää nämä vaatimukset? Ilmeisesti vain x = −1, koska x = −3 ei täytä ensimmäistä eriarvoisuutta (koska eriarvoisuutemme on tiukka). Joten palatessamme ongelmaan, saamme yhden juuren: x = −1. Siinä kaikki, ongelma on ratkaistu.

Jälleen kerran tämän tehtävän keskeiset kohdat:

1. Voit vapaasti käyttää ja ratkaista logaritmisia yhtälöitä käyttämällä kanonista muotoa. Opiskelijat, jotka tekevät tällaisen tietueen eivätkä siirry suoraan alkuperäisestä ongelmasta sellaiseen rakenteeseen kuin log a f (x) = b, tekevät paljon vähemmän virheitä kuin ne, jotka kiirehtivät jonnekin, ohittaen laskelmien välivaiheet;
2. Heti kun muuttuva kanta näkyy logaritmissa, ongelma lakkaa olemasta yksinkertaisin. Siksi sen ratkaisemisessa on otettava huomioon määritelmän alue: argumenttien on oltava suurempia kuin nolla, ja perusta ei saa olla vain suurempi kuin 0, mutta myös niiden ei saa olla yhtä kuin 1.

On olemassa erilaisia ​​tapoja asettaa lopulliset vaatimukset lopullisille vastauksille. Voit esimerkiksi ratkaista koko järjestelmän, joka sisältää kaikki määritelmän toimialueen vaatimukset. Toisaalta voit ensin ratkaista ongelman itse ja sitten muistaa määritelmän toimialue, käsitellä sen erikseen järjestelmän muodossa ja asettaa sen syntyville juurille.

Mikä tapa valita tietyn logaritmisen yhtälön ratkaisemisessa, on sinun tehtäväsi. Joka tapauksessa vastaus on sama.

Tässä oppitunnissa tarkastelemme logaritmeja koskevia teoreettisia perusasioita ja harkitsemme yksinkertaisimpien logaritmisten yhtälöiden ratkaisemista.

Muistakaamme keskeinen määritelmä - logaritmin määritelmä. Se liittyy päätökseen eksponentiaalinen yhtälö... Tällä yhtälöllä on yksi juuri, sitä kutsutaan b: n logaritmiksi perustaksi a:

Määritelmä:

Luvun b logaritmi kantaan a on eksponentti, johon kantta a on nostettava, jotta saadaan luku b.

Palauttaa mieleen peruslogaritminen identiteetti.

Lauseke (lauseke 1) on yhtälön juuri (lauseke 2). Korvaa arvo x lausekkeesta 1 x: n sijaan lausekkeeseen 2 ja hanki peruslogaritminen identiteetti:

Joten näemme, että jokaiselle arvolle on annettu arvo. Merkitsemme b: n x: llä (), c: n y: llä, ja siten saamme logaritmisen funktion:

Esimerkiksi:

Muistetaan logaritmisen funktion tärkeimmät ominaisuudet.

Kiinnitämme jälleen huomiota tähän, koska logaritmin alla voi olla ehdottomasti positiivinen ilmaisu logaritmin perustana.

Riisi. 1. Kaavio logaritmisesta funktiosta eri kannoilla

Toimintokaavio näkyy mustana. Riisi. 1. Jos argumentti kasvaa nollasta äärettömään, funktio kasvaa miinuksesta plus ääretön.

Toimintokaavio näkyy punaisena. Riisi. 1.

Tämän toiminnon ominaisuudet:

Verkkotunnus:;

Arvoalue :;

Toiminto on monotoninen koko määritelmäalueellaan. Kun monotonisesti (tiukasti) kasvaa, enemmän merkitystä argumentti vastaa funktion suurempaa arvoa. Kun monotonisesti (tarkasti) pienenee, argumentin suurempi arvo vastaa funktion pienempää arvoa.

Logaritmisen funktion ominaisuudet ovat avain erilaisten logaritmisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

Tarkastellaan yksinkertaisinta logaritmista yhtälöä, kaikki muut logaritmiset yhtälöt pienenevät yleensä tähän muotoon.

Koska logaritmien perusteet ja itse logaritmit ovat yhtä suuret, myös logaritmin alla olevat toiminnot ovat samat, mutta emme saa hukata määritelmän alaa. Vain positiivinen luku voi olla logaritmin alla, meillä on:

Havaitsimme, että funktiot f ja g ovat yhtä suuret, joten riittää, että valitset yhden eriarvoisuuden noudattaaksesi DHS: ää.

Joten saimme sekoitettu järjestelmä, jossa on yhtälö ja epätasa -arvo:

Pääsääntöisesti eriarvoisuutta ei tarvitse ratkaista, riittää, että ratkaistaan ​​yhtälö ja korvataan löydetyt juuret eriarvoisuuteen, jolloin suoritetaan tarkistus.

Muotoillaan menetelmä yksinkertaisimpien logaritmisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Tasaa logaritmien perusteet;

Yhtäläiset logaritmiset funktiot;

Tarkistaa.

Katsotaanpa konkreettisia esimerkkejä.

Esimerkki 1 - Ratkaise yhtälö:

Logaritmien perusteet ovat aluksi yhtä suuret, meillä on oikeus rinnastaa alalogaritmiset lausekkeet, älä unohda ODZ: tä, valitsemme ensimmäisen logaritmin eriarvoisuuden muodostamiseksi:

Esimerkki 2 - Ratkaise yhtälö:

Tämä yhtälö eroaa edellisestä siinä, että logaritmien perusteet ovat pienempiä kuin yksi, mutta tämä ei vaikuta ratkaisuun millään tavalla:

Etsi juuri ja korvaa se eriarvoisuuteen:

Saimme väärän eriarvoisuuden, mikä tarkoittaa, että löydetty juuri ei tyydytä ODV: tä.

Esimerkki 3 - Ratkaise yhtälö:

Logaritmien perusteet ovat aluksi samat, meillä on oikeus rinnastaa alalogaritmiset lausekkeet, älä unohda ODZ: tä, valitsemme toisen logaritmin eriarvoisuuden muodostamiseksi:

Etsi juuri ja korvaa se eriarvoisuuteen:

On selvää, että vain ensimmäinen juuri täyttää ODV: n.

Logaritmiset yhtälöt. Pohdimme edelleen matematiikan kokeen B osan ongelmia. Olemme jo tarkastelleet joidenkin yhtälöiden ratkaisuja artikkeleissa "", "". Tässä artikkelissa tarkastelemme logaritmisia yhtälöitä. Minun on sanottava heti, että tällaisia ​​yhtälöitä ratkaistaessa tentissä ei tule monimutkaisia ​​muunnoksia. Ne ovat yksinkertaisia.

Riittää tietää ja ymmärtää peruslogaritminen identiteetti, tietää logaritmin ominaisuudet. Kiinnitä huomiota siihen, että ratkaisun jälkeen sinun on tarkistettava - korvaa tuloksena oleva arvo alkuperäiseen yhtälöön ja laske, lopulta sinun pitäisi saada oikea tasa -arvo.

Määritelmä:

Luvun a logaritmi kantaan b on eksponentti,johon sinun täytyy nostaa b saadaksesi a.

Esimerkiksi:

Loki 3 9 = 2 koska 3 2 = 9

Logaritmin ominaisuudet:

Logaritmien erityistapaukset:

Ratkaisemme ongelmat. Ensimmäisessä esimerkissä tarkistamme. Tee seuraavat tarkastukset itse.

Etsi yhtälön juuri: log 3 (4 - x) = 4

Koska log b a = x b x = a, niin

3 4 = 4 - x

x = 4-81

x = - 77

Tutkimus:

log 3 (4 - ( - 77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Oikein.

Vastaus: - 77

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri: log 2 (4 - x) = 7

Etsi yhtälöloki 5(4 + x) = 2

Käytämme peruslogaritmista identiteettiä.

Koska log a b = x b x = a, niin

5 2 = 4 + x

x = 5 2 - 4

x = 21

Tutkimus:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Oikein.

Vastaus: 21

Etsi yhtälön juuren loki 3 (14 - x) = log 3 5.

Tapahtuu seuraava kiinteistö, sen merkitys on seuraava: jos yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella on logaritmeja samalla perusteella, sitten voimme rinnastaa lausekkeet logaritmien merkkien alle.

14 - x = 5

x = 9

Tarkista se.

Vastaus: 9

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuren loki 5 (5 - x) = log 5 3.

Etsi yhtälön juuri: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Jos log c a = log c b, niin a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x = 6

Tarkista se.

Vastaus: 6

Etsi yhtälön loki 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) –2 = 13 - x

8 2 = 13 - x

x = 13-64

x = - 51

Tarkista se.

Pieni lisäys - omaisuutta käytetään täällä

tutkinto ().

Vastaus: - 51

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri: log 1/7 (7 - x) = - 2

Etsi yhtälön loki 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Muutetaan oikea puoli. käytetään omaisuutta:

log a b m = m ∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Jos log c a = log c b, niin a = b

4 - x = 5 2

4 - x = 25

x = - 21

Tarkista se.

Vastaus: - 21

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuri: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Ratkaise yhtälö log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jos log c a = log c b, niin a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Tarkista se.

Vastaus: 2.75

Päätä itse:

Etsi yhtälön juuren loki 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Ratkaise yhtälö log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

On välttämätöntä saada lauseke yhtälön oikealta puolelta:

loki 2 (......)

Kirjoita 1 uudelleen logaritmiksi pohjaan 2:

1 = log 2 2

loki (ab) = loki + logilla b: llä

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Saamme:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Jos log c a = log c b, niin a = b, sitten

2 - x = 4 - 6x

5x = 2

x = 0,4

Tarkista se.

Vastaus: 0.4

Päätä itse: Seuraavaksi sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö. Muuten,

juuret ovat 6 ja - 4.

Juuri "-4 "ei ole ratkaisu, koska logaritmin kannan on oltava suurempi kuin nolla, ja kun"– 4 "se on yhtä kuin" – 5 ". Ratkaisu on root 6.Tarkista se.

Vastaus: 6.

R Syö itse:

Ratkaise yhtälöloki x –5 49 = 2. Jos yhtälössä on useampi kuin yksi juuri, täytä vastaus pienemmällä juurella.

Kuten näette, ei monimutkaisia ​​muunnoksia logaritmisilla yhtälöilläei. Riittää tietää logaritmin ominaisuudet ja pystyä soveltamaan niitä. Muunnokseen liittyvissä tentin tehtävissä logaritmiset lausekkeet, tehdään vakavampia muutoksia ja tarvitaan syvempiä ratkaisutaitoja. Harkitsemme tällaisia ​​esimerkkejä, älä missaa!Toivon sinulle menestystä!!!

Terveisin, Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos voisit kertoa meille sivustosta sosiaalisissa verkostoissa.