Logaritmisen ilmaisut Esimerkit liuoksella. Logaritmisen ilmaisujen muuttaminen

perusominaisuudet.

lETGAX + LOGAY \u003d LOGA (x · y);
lOGAX - LOGAY \u003d LOGA (X: Y).

samat syyt

LOG6 4 + LOG6 9.

Nyt hieman vaikeuttaa tehtävää.

Esimerkkejä logaritm-ratkaisuista

Entä jos perusta tai argumentti logaritmin kustannukset ovat tutkinnon? Sitten tämän ulottuvan indikaattori voidaan ottaa pois logaritm-merkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, kun OTZ Logaritmin noudattaminen: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Siirtyminen uuteen tukikohtaan

Anna logAx-logAx. Sitten mille tahansa numerolle C siten, että C\u003e 0 ja C ≠ 1 tasa-arvo on totta:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Katso myös:

Logaritmin pääominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Näytteilleasettaja on 2,718281828 .... Muista kuin näytteilleasettaja voi tutkia sääntöä: Näytteilleasettaja on 2.7 ja kahdesti Syntymävuosi Leo Nikolayevich Tolstoy.

Logaritmin pääominaisuudet

Tämän säännön tunteminen tietää näyttelyn tarkan arvon ja LION TOLSTOY: n syntymäpäivä.

Esimerkkejä logaritmia

PROLOLATE ILMOITUKSET

Esimerkki 1.
mutta). X \u003d 10AS ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Ominaisuudet 3.5 Laske

4. Missä .

Esimerkki 2. Etsi X, jos

Esimerkki 3. Anna logaritmien arvo asetetaan

Laske log (x), jos

Logaritmin pääominaisuudet

Logaritmit, kuten kaikki numerot, voidaan taittaa, vähentää ja muuntaa. Mutta koska logaritmit eivät ole varsin tavallisia numeroita, on olemassa omat säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Näiden sääntöjen on välttämättä tiedettävä - ei vakavaa logaritmista tehtävää ratkaistaan \u200b\u200bilman niitä. Lisäksi ne ovat melko vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Jatka.

Logaritmien lisäys ja vähennys

Harkitse kaksi logaritmia samoilla pohjalla: logAx ja logay. Sitten ne voidaan taittaa ja vähennetään ja:

lETGAX + LOGAY \u003d LOGA (x · y);
lOGAX - LOGAY \u003d LOGA (X: Y).

Joten logaritmien määrä on yhtä suuri kuin työn logaritmi, ja ero on yksityisen logaritmi. Huomaa: Tärkein kohta on samat syyt. Jos säätiöt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen ilmaisun myös silloin, kun yksittäisiä osia ei oteta huomioon (ks. Oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katsokaa esimerkkejä - ja varmista:

Koska logaritmit ovat samat, käytämme summan summaa:
lOG6 4 + LOG6 9 \u003d LOG6 (4 · 9) \u003d LOG6 36 \u003d 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG2 48 - LOG2 3.

Säätiöt ovat samat, käyttäen eroaa:
lOG2 48 - LOG2 3 \u003d LOG2 (48: 3) \u003d LOG2 16 \u003d 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG3 135 - LOG3 5.

Jälleen säätiöt ovat samat, joten meillä on:
lOG3 135 - LOG3 5 \u003d LOG3 (135: 5) \u003d LOG3 27 \u003d 3.

Kuten näette, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei ole erikseen katsottu erikseen. Mutta muutoksen jälkeen saadaan melko normaalit numerot. Tästä asiasta rakennetaan monia testityötä. Mutta mikä on valvonta - tällaiset lausekkeet ovat täynnä (joskus melkein muuttumattomia) tarjotaan tentti.

Executive Degree From Logaritm

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö noudattaa niiden ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se, joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä OTZ Logaritmin noudattamisen yhteydessä: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. ja paljon muuta: Opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, mutta päinvastoin, ts. Voit tehdä numerot logaritmiin, itse logaritmiin. Sitä tarvitaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG7 496.

Päästä eroon ensimmäisessä kaavassa olevassa väitteessä:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjässä on logaritmi, pohja ja väite, jonka argumentti ovat tarkkoja tutkintoja: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Meillä on:

Mielestäni uusin esimerkki edellyttää selitystä. Mistä logaritmit katosivat? Viimeiseen hetkeen saakka työskentelemme vain nimittäjän kanssa.

Formulas logaritmit. Logaritmit Esimerkkejä ratkaisuista.

He esittivät logaritmin perustan ja argumentin siellä asteina ja teki indikaattoreita - sai "kolmen tarinan" fraktion.

Katsotaan nyt perusfraktiota. Numeraattorissa ja nimittäjässä sama numero on: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme vähentää fraktiota - 2/4 pysyy nimittäjänä. Aritmeticin sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää numerolle, joka tehtiin. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uuteen tukikohtaan

Puhuessaan logaritmien lisäämistä ja vähentämistä koskevista säännöistä korostin nimenomaan, että ne toimivat vain samoilla pohjalla. Ja mitä jos säätiöt ovat erilaisia? Entä jos ne eivät ole tarkkoja määriä?

Kaavat siirtymään uuteen tukikohtaan Rescue. Muodamme ne teoreen muodossa:

Anna logAx-logAx. Sitten mille tahansa numerolle C siten, että C\u003e 0 ja C ≠ 1 tasa-arvo on totta:

Erityisesti, jos laitat c \u003d x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin pohja ja argumentti voidaan muuttaa paikoissa, mutta samanaikaisesti ilmaisu "kääntyy", toisin sanoen ts. Logaritmi osoittautuu nimittäjänä.

Nämä kaavat ovat harvinaisia \u200b\u200btavanomaisissa numeerisissa ilmaisuissa. Arvioidaan, kuinka kätevää ne ovat, on mahdollista vain logaritmisen yhtälöiden ja eriarvoisuuden ratkaisemisen yhteydessä.

On kuitenkin olemassa tehtäviä, joita ei yleensä ratkaista missä tahansa siirtymisessä uuteen pohjaan. Harkitse pari tällaista:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG5 16 · LOG2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkkoja tutkintoja. Otetaan indikaattorit: Log5 16 \u003d Log5 24 \u003d 4Log5 2; LOG2 25 \u003d LOG2 52 \u003d 2LOG2 5;

Ja nyt "kääntää" toinen logaritmi:

Koska työ ei muutu kertoimien uudelleenjärjestelystä, olemme rauhallisesti muuttaneet neljä ja kaksi ja sitten lajitellaan logaritmeilla.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG9 100 · LG 3.

Ensimmäisen logaritmin perusta ja argumentti - tarkat tutkinnot. Kirjoitamme sen ja päästä eroon indikaattoreista:

Nyt päästä eroon desimaalisen logaritmista kääntämällä uuteen tukikohtaan:

Basic logaritminen identiteetti

Usein ratkaisu vaaditaan lähettämään numero logaritmille tietylle alustalle. Tällöin kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n tulee indikaattoriksi väitteessä. Numero n voi olla ehdottomasti mikä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafassed määritelmä. Sitä kutsutaan :.

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos numero B on niin siinä määrin, että numero B tähän määrin antaa numeron A? Oikea: Se osoittautuu saman numeron a. Lue tämä kohta huolellisesti - monet "ripustukset".

Kuten siirtymäkaavot uudelle pohjalle, tärkein logaritminen identiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että LOG25 64 \u003d LOG5 8 - vain neliö pohjasta ja logaritmin argumentista. Kun otetaan huomioon säännöt asteiden lisääntymisestä samalla pohjalla, saamme:

Jos joku ei ole tietoinen, se oli todellinen tehtävä Ege 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettia, että kiinteistöjä on vaikea nimetä - pikemminkin tämä on seurausta logaritmin määritelmästä. Ne löytyvät jatkuvasti tehtävistä ja jotka ovat yllättäviä, luo ongelmia jopa "kehittyneille" opiskelijoille.

lOGAA \u003d 1 on. Muista kertaa ja ikuisesti: logaritmi kaikesta pohjasta on yhtä suuri kuin yksi.
lOGA 1 \u003d 0 on. Pohja voi olla järkeä, mutta jos argumentti on yksikkö - logaritmi on nolla! Koska A0 \u003d 1 on suora seuraus määritelmästä.

Se on kaikki ominaisuudet. Varmista, että käytät niitä käytännössä! Lataa pinnasänky oppitunnin alussa, tulosta se - ja ratkaise tehtävät.

Katso myös:

Numero B: n logaritmi merkitsee ilmaisua. Laske Logaritm tarkoittaa löytää tällainen aste x (), jolloin tasa-arvo suoritetaan

Logaritmin pääominaisuudet

Näiden ominaisuuksien on tiedettävä, koska niiden perustana lähes kaikki tehtävät ratkaistaan \u200b\u200bja esimerkkejä ovat logaritmeihin. Jäljelle jäävät eksoottiset ominaisuudet voidaan johtaa matemaattisten manipuloinnin avulla näillä kaavoilla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskelmissa summan kaavan ja logaritmien eroa (3.4) ovat melko yleisiä. Loput ovat jonkin verran monimutkaisia, mutta useissa tehtävissä on välttämätöntä yksinkertaistaa monimutkaisia \u200b\u200bilmaisuja ja laskea niiden arvot.

Logaritmin tapauksia on

Yksi yhteisistä logaritmeista on sellainen, jossa pohja on sileä kymmenen, eksponentiaali tai kahdesti.
Logaritmi kymmenen perusteella on tavanomainen kutsua desimaalin logaritmille ja yksinkertaistaa LG (x).

Tietyksestä on selvää, että tietueen perustukset eivät ole kirjoitettuja. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, johon näytteilleasettaja perustuu LN (x)).

Näytteilleasettaja on 2,718281828 .... Muista kuin näytteilleasettaja voi tutkia sääntöä: Näytteilleasettaja on 2.7 ja kahdesti Syntymävuosi Leo Nikolayevich Tolstoy. Tämän säännön tunteminen tietää näyttelyn tarkan arvon ja LION TOLSTOY: n syntymäpäivä.

Ja yksi tärkeä logaritmi pohja kahdella nimellä

Logaritmin toiminnon johdannainen on yhtä suuri kuin yksikkö, joka on jaettu muuttujaksi

Integraali tai alkeellinen logaritmi määräytyy riippuvuudella

Yllä oleva materiaali riittää ratkaista laajan luokan tehtäviä, jotka liittyvät logaritmit ja logaritmaation. Materiaalin hallitsemiseksi annan vain muutamia yhteisiä esimerkkejä kouluohjelmasta ja yliopistoista.

Esimerkkejä logaritmia

PROLOLATE ILMOITUKSET

Esimerkki 1.
mutta). X \u003d 10AS ^ 2 (A\u003e 0, C\u003e 0).

Ominaisuudet 3.5 Laske

2.
Ero-logaritmien ominaisuuksilla on

3.
Ominaisuudet 3.5

4. Missä .

Monimutkaisen ilmaisun muoto, joka käyttää useita sääntöjä, yksinkertaistetaan mieleen

Logaritmin arvojen löytäminen

Esimerkki 2. Etsi X, jos

Päätös. Laskennassa, jota sovelletaan kolmannen ja 13 ominaisuuden viimeiseen toimikauteen

Korjaamme kirjoittaa ja surua

Koska perusteet ovat yhtä suuret, sitten yhtäläiset lausekkeet

Logaritmia. Ensimmäinen taso.

Anna logaritmien arvo

Laske log (x), jos

Ratkaisu: Progremform muuttuja maalaa logaritmi termien summan kautta

Tästä tuttavasta logaritmit ja niiden kiinteistöt ovat vain alkamassa. Liikunta laskelmissa, rikastuttaa käytännön taitoja - saadut tiedot ovat pian tarpeen logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Tutkittuaan tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen perusmenetelmät laajentavat tietämystäsi toiselle yhtä tärkeästä aiheesta - logaritminen epätasa-arvo ...

Logaritmin pääominaisuudet

Logaritmien lisäys ja vähennys

Harkitse kaksi logaritmia samoilla pohjalla: logAx ja logay. Sitten ne voidaan taittaa ja vähennetään ja:

lETGAX + LOGAY \u003d LOGA (x · y);
lOGAX - LOGAY \u003d LOGA (X: Y).

Joten logaritmien määrä on yhtä suuri kuin työn logaritmi, ja ero on yksityisen logaritmi. Huomaa: Tärkein kohta on samat syyt. Jos säätiöt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen ilmaisun myös silloin, kun yksittäisiä osia ei oteta huomioon (ks. Oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katsokaa esimerkkejä - ja varmista:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG6 4 + LOG6 9.

Koska logaritmit ovat samat, käytämme summan summaa:
lOG6 4 + LOG6 9 \u003d LOG6 (4 · 9) \u003d LOG6 36 \u003d 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG2 48 - LOG2 3.

Säätiöt ovat samat, käyttäen eroaa:
lOG2 48 - LOG2 3 \u003d LOG2 (48: 3) \u003d LOG2 16 \u003d 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG3 135 - LOG3 5.

Jälleen säätiöt ovat samat, joten meillä on:
lOG3 135 - LOG3 5 \u003d LOG3 (135: 5) \u003d LOG3 27 \u003d 3.

Executive Degree From Logaritm

Nyt hieman vaikeuttaa tehtävää. Entä jos perusta tai argumentti logaritmin kustannukset ovat tutkinnon? Sitten tämän ulottuvan indikaattori voidaan ottaa pois logaritm-merkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö noudattaa niiden ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se, joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Logaritmin ratkaiseminen

Sitä tarvitaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG7 496.

Päästä eroon ensimmäisessä kaavassa olevassa väitteessä:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjässä on logaritmi, pohja ja väite, jonka argumentti ovat tarkkoja tutkintoja: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Meillä on:

Mielestäni uusin esimerkki edellyttää selitystä. Mistä logaritmit katosivat? Viimeiseen hetkeen saakka työskentelemme vain nimittäjän kanssa. He esittivät logaritmin perustan ja argumentin siellä asteina ja teki indikaattoreita - sai "kolmen tarinan" fraktion.

Siirtyminen uuteen tukikohtaan

Kaavat siirtymään uuteen tukikohtaan Rescue. Muodamme ne teoreen muodossa:

Anna logAx-logAx. Sitten mille tahansa numerolle C siten, että C\u003e 0 ja C ≠ 1 tasa-arvo on totta:

Erityisesti, jos laitat c \u003d x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin pohja ja argumentti voidaan muuttaa paikoissa, mutta samanaikaisesti ilmaisu "kääntyy", toisin sanoen ts. Logaritmi osoittautuu nimittäjänä.

On kuitenkin olemassa tehtäviä, joita ei yleensä ratkaista missä tahansa siirtymisessä uuteen pohjaan. Harkitse pari tällaista:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG5 16 · LOG2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkkoja tutkintoja. Otetaan indikaattorit: Log5 16 \u003d Log5 24 \u003d 4Log5 2; LOG2 25 \u003d LOG2 52 \u003d 2LOG2 5;

Ja nyt "kääntää" toinen logaritmi:

Koska työ ei muutu kertoimien uudelleenjärjestelystä, olemme rauhallisesti muuttaneet neljä ja kaksi ja sitten lajitellaan logaritmeilla.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG9 100 · LG 3.

Ensimmäisen logaritmin perusta ja argumentti - tarkat tutkinnot. Kirjoitamme sen ja päästä eroon indikaattoreista:

Nyt päästä eroon desimaalisen logaritmista kääntämällä uuteen tukikohtaan:

Basic logaritminen identiteetti

Usein ratkaisu vaaditaan lähettämään numero logaritmille tietylle alustalle. Tällöin kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n tulee indikaattoriksi väitteessä. Numero n voi olla ehdottomasti mikä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafassed määritelmä. Sitä kutsutaan :.

Kuten siirtymäkaavot uudelle pohjalle, tärkein logaritminen identiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että LOG25 64 \u003d LOG5 8 - vain neliö pohjasta ja logaritmin argumentista. Kun otetaan huomioon säännöt asteiden lisääntymisestä samalla pohjalla, saamme:

Jos joku ei ole tietoinen, se oli todellinen tehtävä Ege 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

lOGAA \u003d 1 on. Muista kertaa ja ikuisesti: logaritmi kaikesta pohjasta on yhtä suuri kuin yksi.
lOGA 1 \u003d 0 on. Pohja voi olla järkeä, mutta jos argumentti on yksikkö - logaritmi on nolla! Koska A0 \u003d 1 on suora seuraus määritelmästä.

Se on kaikki ominaisuudet. Varmista, että käytät niitä käytännössä! Lataa pinnasänky oppitunnin alussa, tulosta se - ja ratkaise tehtävät.

Tänään puhumme logarovMov-kaavat ja anna ohjeellinen esimerkkejä ratkaisuista.

Itse mukaan merkitsevät päätösmallia logaritmien pääominaisuuksien mukaan. Voit ensin soveltaa logaritmit ratkaisuista muistuttamaan ensin kaikki ominaisuudet:

Nyt näiden kaavojen (ominaisuuksien) perusteella näytämme esimerkkejä logaritm-ratkaisuista.

Esimerkkejä logaritmista, jotka perustuvat kaavoihin.

Logaritmi Positiivinen numero B perustuu A (Merkitty log A b) on indikaattori, jossa se on tarkoitus saada B, B\u003e 0, A\u003e 0 ja 1.

LogaritmiaEsimerkkejä:

lOG 2 8 \u003d 3, koska 2 3 \u003d 8

lOG 7 49 \u003d 2, koska 7 2 \u003d 49

lOG 5 1/5 \u003d -1, koska 5 -1 \u003d 1/5

Desimaalin logaritmi - Tämä on tavallinen logaritmi, jonka pohjalla 10 on merkitty LG: ksi.

lOG 10 100 \u003d 2, koska 10 2 \u003d 100

Luonnollinen logaritmi - Myös tavallinen logaritm logaritmi, mutta jo E (E \u003d 2,71828 ... - irrationaalinen numero). Tarkoittaa kuin ln.

Logaritmien kaavat tai ominaisuudet ovat toivottavia muistaa, koska ne tarvitsevat tulevaisuudessa logaritmien, logaritmisen yhtälöiden ja eriarvoisuuden ratkaisemisen yhteydessä. Työskentele kaikki esimerkkien kaikki kaavan.

Basic logaritminen identiteetti
Log a b \u003d b
8 2Log 8 3 \u003d (8 2Log 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
Logaritmi toimii yhtä suuri kuin logaritmit
Kirjaudu A (BC) \u003d LOG A B + LOG A C
lOG 3 8.1 + LOG 3 10 \u003d LOG 3 (8,1 * 10) \u003d LOG 3 81 \u003d 4
Logaritm Yksityinen yhtä suuri kuin logaritmien ero
Kirjaudu A (b / c) \u003d log a b - log a c
9 LOG 5 50/9 LOG 5 2 \u003d 9 LOG 5 50- LOG 5 2 \u003d 9 LOG 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
Logaritmin logarittisen määrän ja pohjan laajuuden ominaisuudet
Logarittematic-numero Log A B M \u003d MLOG A B

Logaritmin log a n b \u003d 1 / n * log a b \u003d 1 / n * log a b merkkivalo

log a n b m \u003d m / n * log a b,

jos m \u003d n, saamme log a n b n \u003d log a b

lOG 4 9 \u003d LOG 2 2 3 2 \u003d LOG 2 3
Siirtyminen uuteen tukikohtaan
Kirjaudu A B \u003d log c b / log c a,
jos C \u003d B, saamme log b b \u003d 1

kirjaudu sitten b \u003d 1 / log b a

lOG 0.8 3 * LOG 3 1,25 \u003d LOG 0.8 3 * LOG 0.8 1,25 / log 0.8 3 \u003d LOG 0.8 1,25 \u003d LOG 4/5 5/4 \u003d -1

Kuten näet, logaritmit eivät ole yhtä monimutkaisia \u200b\u200bkuin näyttää siltä. Nyt tarkastelemalla esimerkkejä logaritmien ratkaisusta voimme siirtyä logaritmisiin yhtälöihin. Esimerkkejä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisesta tarkastelemme tarkemmin artikkelissa: "". Älä missaa!

Jos sinulla on kysyttävää päätöksestä, kirjoita ne artikkelin kommentteihin.

HUOMAUTUS: Päätimme saada toisen luokan koulutuksen ulkomailla vaihtoehtona tapahtumien kehittämiseen.

Tämä video aloitan pitkän oppitunteja logaritmisista yhtälöistä. Nyt teidän edessäsi on kolme esimerkkiä, joiden perusteella opimme ratkaisemaan yksinkertaisimmat tehtävät, jotka ovat niin sanottuja - yksinkertaisin.

lOG 0.5 (3x - 1) \u003d -3

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 LG 5

Haluan muistuttaa, että yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

kirjaudu a f (x) \u003d b

On tärkeää, että muuttuja X on läsnä vain argumentin sisällä, ts. Vain funktiossa f (x). A- ja B-numerot ovat tarkalleen numeroita, eikä missään tapauksessa ole toiminnassa, jotka sisältävät muuttujan X.

Liuoksen perusmenetelmät

Tällaisia \u200b\u200brakenteita on monia tapoja ratkaista. Esimerkiksi useimmat koulun opettajat tarjoavat tällainen tapa: ilmaista välittömästi funktio f (x) kaavalla f ( x) \u003d. a b. Tämä on, kun täytät yksinkertaisimman suunnittelun, välittömästi ilman lisätoimia ja rakennuksia voi mennä ratkaisuun.

Kyllä, ehdottomasti ratkaisu on oikeassa. Tämän kaavan ongelma on kuitenkin, että useimmat opiskelijat ei ymmärräMissä se tulee ja miksi kirje ja me pystymme kirjaimelta B.

Tämän seurauksena huomautan usein erittäin loukkaavia virheitä, kun esimerkiksi nämä kirjaimet muuttuvat paikoissa. Tämä kaava on joko ymmärrettävä tai työkalu, ja toinen menetelmä johtaa virheisiin sopimattomimpiin ja vastuullisimpiin hetkiin: tentteihin, valvontaan jne.

Siksi kaikki sen opiskelijat, ehdotan luopumaan vakiokoulu-kaavasta ja käyttämään logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen toinen lähestymistapa, joka luultavasti arvannut nimestä, kutsutaan kanoninen muoto.

Kanonisen muodon ajatus on yksinkertainen. Katsotaanpa tehtävämme uudelleen: vasemmalla olemme kirjautunut A, kun kirjain A on tarkoitettu tarkalleen numero, eikä mikään tapauksessa ole toiminto, joka sisältää muuttujan X. Näin ollen kaikki tähän kirjeeseen sovelletaan kaikki rajoitukset, jotka on päällekkäin logaritmin perusteella. nimittäin:

1 ≠ A\u003e 0

Toisaalta samasta yhtälöstä näemme, että logaritmin on oltava yhtä suuri kuin numero B ja tässä se ei aseta rajoituksia tähän kirjeeseen, koska se voi ottaa arvoja - sekä positiivisia että negatiivisia. Kaikki riippuu siitä, mitä arvoja vastaanottaa funktion f (x).

Ja täällä muistamme merkittävää sääntöä, jonka mukaan mikä tahansa numero B voidaan edustaa logaritmin muodossa A: n asteikolla B:

b \u003d Log A b

Kuinka muistaa tämä kaava? Kyllä, hyvin yksinkertainen. Kirjoitamme seuraavan muotoilun:

b \u003d b · 1 \u003d b · Kirjaudu a

Tietenkin, vaikka kaikki rajoitukset, jotka tallennimme alussa. Ja nyt käytämme logaritmin perusominaisuutta ja tehdä kerrannaispiirre B asteina. Saamme:

b \u003d b · 1 \u003d b · log a a \u003d log a a b

Tämän seurauksena alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan seuraavassa muodossa:

kirjaudu A F (X) \u003d LOG A A B → F (X) \u003d A B

Siinä kaikki. Uusi toiminto ei enää sisällä logaritmia ja ratkaistaan \u200b\u200btavallisilla algebraalaisilla tekniikoilla.

Tietenkin joku on nyt vastustettu: Miksi se oli kesti jonkin verran kanonista kaavaa, miksi kaksi muuta tarpeettomia portaita, jos voisit välittömästi siirtyä alkuperäisestä muotoilusta lopulliseen kaavan? Kyllä, ainakin, suurin osa opiskelijoista ei ymmärrä, missä tämä kaava tulee ja seurauksena säännöllisesti sallia virheitä sovellettaessa.

Mutta tämä kolmesta vaiheesta koostuvien toimien järjestys mahdollistaa ensimmäisen logaritmisen yhtälön ratkaisemisen, vaikka et ymmärrä, missä lopullinen kaava otetaan. Muuten kanoninen kaava kutsutaan tämän tietueen:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

Kanonisen muodon mukavuus koostuu myös siitä, että sitä voidaan käyttää hyvin laajan logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi, eikä pelkästään yksinkertaisimpien mielestä tänään.

Esimerkkejä ratkaisuista

Katsotaan nyt todellisia esimerkkejä. Joten päätämme:

lOG 0.5 (3x - 1) \u003d -3

Kirjoita se uudelleen seuraavasti:

lOG 0.5 (3x - 1) \u003d LOG 0.5 0.5 -3

Monet opiskelijat ovat kiire ja yrittää välittömästi rakentaa numero 0,5 asteittain, joka tuli meille alkuperäisestä tehtävästä. Ja kun olet jo hyvin koulutettu tällaisten tehtävien ratkaisemiseen, voit heti suorittaa tämän vaiheen.

Kuitenkin, jos nyt olet alkanut tutkia tätä aihetta, on parempi olla kiirehdi mihinkään, jotta estämään loukkaavia virheitä. Joten meillä on kanoninen muoto. Meillä on:

3x - 1 \u003d 0,5 -3

Tämä ei ole enää logaritminen yhtälö, vaan lineaarinen suhteessa muuttujalle X. Ratkaise se, katsotaan ensin 0,5 V: n tutkinto -3. Huomaa, että 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kaikki desimaaliset fraktiot Käännä tavalliseksi, kun ratket logaritmisen yhtälön.

Kirjoita ja saat:

3x - 1 \u003d 8
3x \u003d 9.
x \u003d 3.

Kaikki saimme vastauksen. Ensimmäinen tehtävä ratkaistaan.

Toinen tehtävä

Siirry toiseen tehtävään:

Kuten näemme, tämä yhtälö ei ole enää yksinkertaisin. Jokin ainakin, koska vasemmalla on ero, eikä yksi logaritm yksi yhdelle pohjalle.

Näin ollen on välttämätöntä päästä eroon tästä erosta. Tässä tapauksessa kaikki on hyvin yksinkertaista. Katsotaanpa huomaavaasti maassa: Vasen on juuren numero:

Yleinen suositus: Kaikissa logaritmisissa yhtälöissä yrittää päästä eroon radikaaleista eli tietueista juurista ja siirtyä tehotoimintoihin yksinkertaisesti siksi, että näiden asteiden indikaattorit suoritetaan helposti logaritmin merkkiin ja lopullisessa tilissä, kuten Tietue yksinkertaistaa merkittävästi ja nopeuttaa laskelmia. Tässä kirjoitetaan ja kirjoitan:

Muista nyt logaritmin huomattava ominaisuus: argumentista, sekä pohjasta, voit kestää asteita. Perusosien tapauksessa seuraavat seuraavat:

kirjaudu A K B \u003d 1 / K LOGA B

Toisin sanoen määrä, joka seisoi säätiön, siirretään eteenpäin ja samalla kääntyy, eli se muuttuu eri numeroon. Meidän tapauksessamme oli indikaattori 1/2. Näin voimme ottaa sen 2/1. Saamme:

5 · 2 log 5 x - log 5 x \u003d 18
10 LOG 5 X - LOG 5 x \u003d 18

Huomaa: Et missään tapauksessa voi päästä eroon logaritmeista tässä vaiheessa. Muista 4-5 luokan ja -menettelyn matematiikka: Ensinnäkin moninkertaistuminen suoritetaan, mutta vain sitten lisäys ja vähennys. Tässä tapauksessa vähennämme yhden samoista elementeistä:

9 LOG 5 x \u003d 18
lOG 5 X \u003d 2

Nyt yhtälö näyttää. Tämä on yksinkertaisin muotoilu, ja ratkaisemme sen kanonisen muodon avulla:

lOG 5 X \u003d LOG 5 5 2
x \u003d 5 2
x \u003d 25.

Siinä kaikki. Toinen tehtävä on ratkaistu.

Kolmas esimerkki

Siirry kolmanteen tehtävään:

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 LG 5

Haluan muistuttaa sinua seuraavalle kaavalle:

lG B \u003d log 10 b

Jos jostain syystä olet hämmentynyt LG B-ennätyksellä, kun suoritat kaikki laskelmat, voit kirjoittaa vain log 10 B. Desimaalisen logaritmit, voit työskennellä samalla tavalla kuin muiden kanssa: tehdä asteita, taittaa ja edustaa mitä tahansa numeroa LG 10: n muodossa.

Se on näiden ominaisuuksien kanssa, käytämme nyt ongelman ratkaisemiseksi, koska se ei ole yksinkertaisin, jonka tallennimme oppiaiheemme alussa.

Aluksi toteamme, että kerroksemme, että LG 5: n kerroin 2 voidaan tehdä ja siitä tulee säätiö 5. Lisäksi vapaa termi 3 edustaa myös logaritmin muodossa - se on erittäin helppo tarkkailla ennätyksestämme.

Tuomari itse: mikä tahansa numero voi olla edustettuna 10: n perusteella 10:

3 \u003d LOG 10 10 3 \u003d LG 10 3

Kirjoitamme lähdetyön uudelleen ottaen huomioon vastaanotetut muutokset:

lG (x - 3) \u003d LG 1000 + LG 25
lG (x - 3) \u003d LG 1000 · 25
lG (x - 3) \u003d LG 25 000

Olemme jälleen kanoninen muoto, ja saimme sen ohittamalla muutoksia, ts. Yksinkertaisin logaritminen yhtälö ei törmännyt missään.

Se oli mitä sanoin oppitunnin alussa. Kanoninen lomake mahdollistaa laajemman tehtävien laajemman luokan kuin tavallisen kouluomion, jonka useimmat koulun opettajat antavat.

No, kaikki, päästä eroon desimaalisen logaritmin merkistä, ja saamme yksinkertaisen lineaarisen suunnittelun:

x + 3 \u003d 25 000
x \u003d 24 997

Kaikki! Tehtävä ratkaistaan.

Huomaa määritelmän alueesta

Täällä haluan tuoda tärkeän huomautuksen määritelmän alueesta. Totisesti nyt on opiskelijoita ja opettajia, jotka sanovat: "Kun ratkaisemme Logaritmien ilmaisut, on muistettava, että argumentti f (x) olisi suurempi kuin nolla!" Tältä osin on looginen kysymys: Miksi emme vaadita yhdessä harkituista tehtävistä, että tämä epätasa-arvo toteutetaan?

Älä huoli. Näissä tapauksissa ei ole ylimääräisiä juuria. Ja tämä on toinen ihana temppu, jonka avulla voit nopeuttaa päätöstä. Tiedä vain, että jos tehtävämuuttuja X löytyy vain yhdestä paikasta (tai pikemminkin yhdellä yksittäisellä logaritmilla), eikä missään muualla meidän tapauksessamme ei ole muuttujaa, kirjoita sitten määritelmäalue ei välttämättäKoska se suoritetaan automaattisesti.

Tuomari itse: Ensimmäisessä yhtälössä saimme, että 3X - 1, toisin sanoen väite on yhtä suuri kuin 8. Tämä tarkoittaa automaattisesti, että 3 - 1 on suurempi kuin nolla.

Samalla menestyksellä voimme kirjoittaa, että toisessa tapauksessa X: n pitäisi olla 5 2, toisin sanoen hän on ilmeisesti nolla. Ja kolmannessa tapauksessa, jossa x + 3 \u003d 25 000 eli jälleen enemmän kuin nolla. Toisin sanoen määritelmäalue suoritetaan automaattisesti, mutta vain siinä edellytyksessä, että x löytyy vain yhden logaritmin argumenttiin.

Se on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää yksinkertaisimmat tehtävät. Jo yksi tämän säännön kanssa yhdessä muuntosääntöjen avulla voit ratkaista hyvin laajan tehtävän.

Mutta olkaamme rehellinen: Jotta voisit vihdoin käsitellä tätä tekniikkaa oppimaan logaritmisen yhtälön kanonisen muodon soveltamisen, se ei riitä näkemään yksi video-opetusohjelma. Siksi juuri nyt latausvaihtoehdot riippumattomalle ratkaisulla, joka on liitetty tähän videonkieleen ja aloittaa vähintään yhden näistä kahdesta itsenäisestä työstä.

Saat sinut kirjaimellisesti muutaman minuutin. Mutta tällaisen koulutuksen vaikutus on paljon suurempi verrattuna siihen aikaan, kun olet yksinkertaisesti katsonut tätä video-opetusohjelmaa.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua käsittelemään logaritmisia yhtälöitä. Käytä kanonellista muotoa yksinkertaistavat ilmaisuja Logaritmien kanssa työskentelevien sääntöjen avulla - eikä tehtäviä ei ole kauhea. Ja minulla on kaikki tänään.

Määritelmäalueen kirjanpito

Nyt puhutaan logaritmisen toiminnon määrittämisestä sekä siitä, miten se vaikuttaa logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Harkitse näkemyksen suunnittelua

kirjaudu a f (x) \u003d b

Tätä ilmaisua kutsutaan yksinkertaisimmaksi - se vain yksi toiminto ja numero A ja B on tarkalleen numerot, eikä missään tapauksessa ole toiminto riippuen muuttujasta X. Se ratkaistaan \u200b\u200bhyvin yksinkertaisella. Käytä vain vain kaavaa:

b \u003d Log A b

Tämä kaava on yksi logaritmin keskeisistä ominaisuuksista ja korvaamalla alkuperäisessä ilmaisussamme saamme seuraavat tiedot:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

f (x) \u003d a b

Tämä on jo tuttu kaava koulun oppikirjoista. Monilla opiskelijoilla on varmasti kysymys: Koska alkuvaiheessa f (x) toiminto f (x) on hirsimerkin alla, seuraavat rajoitukset on päällekkäin:

f (x)\u003e 0

Tämä rajoitus toimii, koska negatiivisten numeroiden logaritmi ei ole olemassa. Joten, ehkä, rajoitukset olisi asetettava vastauksiin? Ehkä he tarvitsevat korvata lähteelle?

Ei, yksinkertaisin logaritmiset yhtälöt, lisätarkastus ylimääräistä. Ja siksi. Tutustu lopulliseen kaavaan:

f (x) \u003d a b

Tosiasia on, että numero A joka tapauksessa on yli 0 - tämä vaatimus on myös päällekkäin Logaritmilla. Numero A on perusta. Samaan aikaan numero B ei ole asetettu rajoituksia. Mutta sillä ei ole väliä, koska missä määrin olisimme pystyneet positiivisen numeron, saamme edelleen positiivisen numeron poistumisessa. Näin ollen vaatimus f (x)\u003e 0 suoritetaan automaattisesti.

Mitä todella kannattaa tarkistaa, on alueen määrittäminen funktiossa log-merkin alla. Saattaa olla melko vaikeita malleja, ja ratkaisemiseksi on tarpeen seurata niitä. Katsotaan.

Ensimmäinen tehtävä:

Ensimmäinen vaihe: Muuntimme fraktion oikealla. Saamme:

Päästämme eroon logaritmin merkistä ja saat tavallisen irrationaalisen yhtälön:

Tuloksena olevista juurista olemme tyytyväisiä vain ensimmäiseen, koska toinen juuret ovat alle nolla. Ainoa vastaus on numero 9. Kaikki, tehtävä ratkaistaan. Ei lisätarkastuksia siitä, että Logaritmimerkin ilmaisua ei ole suurempi kuin 0, koska se ei ole vain suurempi kuin 0, mutta yhtälön kunto on yhtä suuri kuin 2. Näin ollen vaatimus "suurempi kuin nolla" on suoritetaan automaattisesti.

Siirry toiseen tehtävään:

Tässä on kaikki sama. Kirjoita muotoilu uudelleen korvaamalla kolme parasta:

Päästä eroon logaritm-merkkeistä ja saada irrationaalinen yhtälö:

Rakennamme molemmat osat neliön suhteen rajoituksin ja saada:

4 - 6x - x 2 \u003d (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 \u003d x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 \u003d 0

2x 2 + 14x + 12 \u003d 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 \u003d 0

Ratkaisemme saadun yhtälön syrjivän kautta:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 \u003d -1

x 2 \u003d -6

Mutta x \u003d -6 ei sovi meille, koska jos korvaamme tämän numeron epätasa-arvoamme, saamme:

−6 + 4 = −2 < 0

Meidän tapauksessamme vaaditaan, että on yli 0 tai hyppysellä yhtä suuri. Mutta x \u003d -1 sopii meille:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainoa vastaus tapauksessamme on X \u003d -1. Se on kaikki päätös. Palataan laskelmien alussa.

Tärkein johtopäätös tästä oppitunnista: Toiminnan rajoitusten tarkastaminen yksinkertaisimmissa logaritmisia yhtälöissä ei tarvita. Koska ratkaisu prosessissa kaikki rajoitukset suoritetaan automaattisesti.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että voit unohtaa tarkistuksen. Logaritmisen yhtälön työskentelyprosessissa se voi mennä irrationaaliseen, jossa on sen rajoitukset ja vaatimukset oikealla osassa, jossa meidät on lähetetty kahteen eri esimerkkiin.

Ratkaise rohkeasti tällaisia \u200b\u200btehtäviä ja olla erityisen tarkkaavainen, jos juuret ovat argumentissa.

Logaritminen yhtälöt eri pohjalevyillä

Jatkamme edelleen logaritmisia yhtälöitä ja analysoimme kaksi melko mielenkiintoisempaa tekniikkaa, jonka avulla se on muodikas ratkaisemaan monimutkaisempia rakenteita. Mutta ensin muistamme, kuinka yksinkertaiset tehtävät ratkaistaan:

kirjaudu a f (x) \u003d b

Tässä levyssä A ja B ovat tarkasti numeroita, ja funktiossa f (x) muuttuja X pitäisi olla läsnä ja vain siellä, eli x: n pitäisi olla vain väitteessä. Muunnamme tällaiset logaritmiset yhtälöt kanonisen muodon avulla. Tehdä tämä, huomaat sen

b \u003d Log A b

Ja b on argumentti. Kirjoita tämä ilmaus uudelleen seuraavasti:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

Teemme vain tämän ja etsimme vasemmalle, ja oikealla oli logaritmi A: n pohjalta. Tällöin voimme kuvitella, että loki merkkejä ja matematiikan näkökulmasta voimme sanoa, että me yksinkertaisesti vahvistaa argumentit:

f (x) \u003d a b

Tämän seurauksena saamme uuden ilmaisun, joka ratkaistaan \u200b\u200bpaljon helpompaa. Käytämme tätä sääntöä nykypäivän tehtäviin.

Joten ensimmäinen muotoilu:

Ensinnäkin huomautan, että oikea on murto-osa, nimittäjä, joka on loki. Kun näet tällaisen ilmaisun, ei ole tarpeetonta merkitsemään logaritmien merkittävää omaisuutta:

Siirretään venäjäksi, tämä tarkoittaa, että kaikki logaritmi voidaan edustaa yksityisenä kahden logaritmin kanssa, joiden pohja on. Tietenkin 0< с ≠ 1.

Joten: Tämä kaava on yksi hieno tapaus, kun muuttuja C on yhtä suuri kuin muuttuja b. Tällöin saamme lomakkeen suunnittelun:

Se on sellainen muotoilu, jota tarkkailemme merkkiin oikealta yhtälössänne. Korvataan tämä malli log a b, saamme:

Toisin sanoen ensimmäisen tehtävään verrattuna muutimme argumenttia ja logaritmin pohjaa. Vastineeksi meidän oli käännettävä fraktio.

Muistamme, että kaikki tutkinnot voidaan tehdä maasta seuraavasta säännön mukaan:

Toisin sanoen K-kerroin, joka on säätiön aste, suoritetaan käänteisenä fraktiona. Tuodaan se käännetyn fraktiona:

Fraction-kerrointa ei voi jättää eteen, koska tässä tapauksessa emme voi lähettää tätä merkintää kanonisena muodossa (koska kanonisessa muodossa ennen toista logaritmia ei ole lisäkertoimia). Tästä syystä tehdään murto-osa 1/4 argumenttiin tutkinnon muodossa:

Nyt vahvistamme argumentit, joiden perusta ovat samat (ja säätiömme, jota olemme todella samat) ja kirjoita:

x + 5 \u003d 1

x \u003d -4.

Siinä kaikki. Saimme vastauksen ensimmäiseen logaritmiseen yhtälöön. Huomaa: Lähde-tehtävässä muuttuja X löytyy vain yhdestä lokista, ja se on argumentissa. Näin ollen määritelmäalueen tarkistamista ei tarvita, ja numero x \u003d -4 on todellakin vastaus.

Siirry nyt toiseen ilmaisuun:

lG 56 \u003d LG 2 LOG 2 7 - 3LG (x + 4)

Täällä tavallisten logaritmien lisäksi meidän on työskenneltävä LG F (x). Kuinka ratkaista tällainen yhtälö? Valmistumaton opiskelija voi tuntua, että se on jonkinlainen tina, mutta itse asiassa kaikki on ratkaistu elementary.

Tarkastele varovasti termiä LG 2 log 2 7. Mitä voimme sanoa siitä? Loki- ja LG: n perusteet ja väitteet, ja sen pitäisi tehdä ajatuksia. Muistan jälleen kerran, kuinka asteet logaritm-merkki:

lOG A B N \u003d NLOG A B

Toisin sanoen, mikä oli argumentin numero B: n määrästä, muuttuu itseään kertoimeksi. Levitä tätä kaavaa ilmaisuihin LG 2 log 2 7. Älä pelkää LG 2 - tämä on yleisin ilmaisu. Voit kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:

Kaikki muut logaritm toimivat säännöt ovat oikeudenmukaisia \u200b\u200bhänelle. Erityisesti edessä oleva kertoimen seisominen voidaan tehdä argumenttiasteeseen. Kirjoitetaan:

Hyvin usein opiskelijat eivät näe tätä toimintaa, koska ei ole hyvä kirjoittaa yksi loki toisen merkin alla. Itse asiassa mikään rikos siinä. Lisäksi saamme kaavan, jota on helppo harkita, jos muistat tärkeän säännön:

Tätä kaavaa voidaan pitää määritelmänä ja yhtenä sen ominaisuuksina. Joka tapauksessa, jos muuntat logaritminen yhtälön, tämä kaava sinun pitäisi tietää täsmälleen sama kuin minkä tahansa numeron edustus lokin muodossa.

Palaa tehtävämme. Kirjoita se uudelleen ottaen huomioon se, että tasa-arvomerkin oikealle aikavälille ensimmäinen termi on vain LG 7. Meillä on:

lG 56 \u003d LG 7 - 3LG (x + 4)

Siirrä LG 7 vasemmalle, saamme:

lG 56 - LG 7 \u003d -3LG (x + 4)

Vähentämme ilmaisun vasemmalla, koska niillä on sama pohja:

lG (56/7) \u003d -3LG (x + 4)

Katsotaan nyt yhtälöä, jonka saimme. Se on käytännössä kanoninen muoto, mutta kerroin on läsnä oikealle. Tehkäämme se oikealla LG-argumentilla:

lG 8 \u003d LG (x + 4) -3

Meillä on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten lyömme LG-merkkejä ja vahvistavat argumentit:

(x + 4) -3 \u003d 8

x + 4 \u003d 0,5

Siinä kaikki! Ratkaisimme toisen logaritmisen yhtälön. Samanaikaisesti ei tarvita lisätarkastuksia, koska alkuperäisessä tehtävässä se vieraili vain yhdessä väitteessä.

Aion luetella tämän oppitunnin keskeiset kohdat uudelleen.

Tärkein kaava, jota tutkitaan kaikissa tämän sivun oppitunnissa, jotka on omistettu logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun, on kanoninen muoto. Ja anna sinun pelätä, että useimmissa koulun oppikirjoissa opetetaan ratkaisemaan tällaiset tehtävät eri tavalla. Tämä työkalu toimii erittäin tehokkaasti ja voit ratkaista paljon laajemman tehtäväluokan sijaan yksinkertaisimmat, joita opiskelimme oppiaihimme alussa.

Lisäksi logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää perusominaisuudet. Nimittäin:

Siirtymäkaava yhdelle pohjalle ja erityistapaus, kun käännymme loki (se oli erittäin hyödyllinen meille ensimmäisessä tehtävässä);
Kaava logaritmin merkkiä ja asteista. Tässä monet opiskelijat roikkuvat ja korostavat, että toimittaminen ja panos voi sisältää log f (x). Mitään vikaa siinä. Voimme tehdä yhden kirjautua toiseen merkkiin ja samalla yksinkertaistaa merkittävästi ongelman ratkaisua, jota tarkkailee toisessa tapauksessa.

Lopuksi haluaisin lisätä, ettei ole tarpeen tarkistaa määritelmäaluetta kussakin näistä tapauksista, koska kaikkialla muuttuja X on läsnä vain yhdessä log-merkkiin ja samalla se on sen argumentissa. Tämän seurauksena kaikki määritelmäalueen vaatimukset suoritetaan automaattisesti.

Muuttuvat perustehtävät

Tänään tarkastelemme logaritmisia yhtälöitä, jotka monille opiskelijoille näyttävät epätavansseiltä ja jopa ratkaisematta lainkaan. Puhumme ilmaisuista, joiden pohjasta ei ole numeroita, vaan muuttujia ja jopa toimintoja. Ratkaistamme tällaiset rakenteet standardin vastaanoton avulla, nimittäin kanonisen muodon kautta.

Aloita, muistamme, kuinka yksinkertaisimmat tehtävät ratkaistaan, jonka pohjalla on tavallisia numeroita. Joten yksinkertaisin kutsutaan tyypin muotoiluun

kirjaudu a f (x) \u003d b

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi voimme käyttää seuraavaa kaavaa:

b \u003d Log A b

Kirjoitamme alkuperäisen ilmaisun ja saada:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

Sitten me rinnastamme argumentit, ts. Kirjoita:

f (x) \u003d a b

Siten pääsemme eroon lokin merkistä ja päätämme tavanomaisen tehtävän. Samaan aikaan juuret saadut juuret ja ovat alkuperäisen logaritmisen yhtälön juuret. Lisäksi merkintä, milloin vasemmalle ja oikea on yksi ja sama logaritmi, jolla on sama pohja, kutsutaan juuri kanoninen muoto. Se on tällainen ennätys, jonka yritämme vähentää nykypäivän malleja. Mennään siis.

Ensimmäinen tehtävä:

lOG X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d 1

Korvataan 1 log x - 2 (x - 2) 1. Siinä määrin, että noudatamme väitettä, on itse asiassa numero B, joka oli tasa-arvon oikealla puolella. Näin ollen me kirjoitamme lausekkeemme uudelleen. Saamme:

lOG X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d LOG X - 2 (X - 2)

Mitä näemme? Meillä on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten voimme turvallisesti yhdenmukaistaa argumentit. Saamme:

2x 2 - 13x + 18 \u003d x - 2

Mutta tämä päätös ei päädy, koska tämä yhtälö ei vastaa alkuperäistä. Loppujen lopuksi tuloksena oleva muotoilu koostuu koko numeeriselle linjalle määritetyistä toiminnoista ja alkuperäisiä logaritmeja ei määritellä kaikkialla eikä aina.

Siksi meidän on kirjoitettava erikseen määritelmäalue. Älkäämme viisasta ja kirjoita kaikki alun vaatimukset:

Ensinnäkin jokaisen logaritmin väitteen pitäisi olla suurempi kuin 0:

2x 2 - 13x + 18\u003e 0

x - 2\u003e 0

Toiseksi pohjan ei pitäisi olla vain yli 0, vaan myös erilainen kuin 1:

x - 2 ≠ 1

Tämän seurauksena saamme järjestelmä:

Mutta et pelkää, kun käsittelemme logaritmisia yhtälöitä, tällainen järjestelmä voidaan yksinkertaistaa merkittävästi.

Tuomari itsellesi: toisaalta vaaditaan, että Quadratic-toiminto on suurempi kuin nolla, ja toisaalta tämä kvadraattinen toiminta on yhtä suuri kuin lineaarinen ilmentymä, joka vaatii myös suurempia kuin nolla.

Tässä tapauksessa, jos tarvitsemme x - 2\u003e 0: n, vaatimus 2x 2 - 13x + 18\u003e 0 suoritetaan automaattisesti. Siksi voimme turvallisesti ylittää quadratic-toiminnon eriarvoisuus. Siksi järjestelmään sisältyvät lausekkeiden määrä laskee kolmeen.

Tietenkin, samalla menestyksellä, voisimme ylittää lineaarisen epätasa-arvon eli poistaa x - 2\u003e 0 ja vaatia, että 2x 2 - 13x + 18\u003e 0. mutta sopivat, että on paljon nopeampi ratkaista yksinkertaisin lineaarinen epätasa-arvo paljon nopeammin Ja helpompi, neliö, vaikka, jos, jos koko järjestelmän ratkaisun seurauksena saamme samat juuret.

Yleensä, jos mahdollista, yritä optimoida laskelmat. Ja logaritmisen yhtälöiden tapauksessa lyö monimutkaisimmat eriarvoisuudet.

Kirjoitamme järjestelmän uudelleen:

Tässä on kolme lausekkeita, joista kaksi olemme itse asiassa jo tajunneet. Hylkää erikseen neliöyhtälö ja ratkaista se:

2x 2 - 14x + 20 \u003d 0

x 2 - 7x + 10 \u003d 0

Meillä on tietty neliö kolmipuolinen puoli-yksi ja siksi voimme hyödyntää VIETA: n kaavoja. Saamme:

(x - 5) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 5

x 2 \u003d 2

Ja nyt palaan järjestelmään ja löydämme, että X \u003d 2 ei sovi meille, koska tarvitsemme sitä tiukasti yli 2.

Mutta x \u003d 5 Olemme varsin tyytyväisiä: numero 5 on suurempi kuin 2, ja samanaikaisesti 5 ei ole 3. Siksi ainoa tämän järjestelmän ratkaisu on x \u003d 5.

Kaikki, tehtävä ratkaistaan, mukaan lukien OTZ: n huomioon ottaminen. Siirry toiseen yhtälöön. Tässä odotamme mielenkiintoisempia ja mielekkäitä laskelmia:

Ensimmäinen vaihe: Viime kerralla annamme kaiken tämän asian kanoniseen muotoon. Tätä varten numero 9 voimme kirjoittaa seuraavasti:

Peruuta juurella ei voida koskettaa, mutta argumentti on parempi muuntaa. Mennään juuresta tutkintoon järkevällä indikaattorilla. Me kirjoitamme:

Älä anna minun kirjoittaa kaikki suuret logaritmiset yhtälömme, vaan yksinkertaisesti tasoittaa argumentteja välittömästi:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 \u003d x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 \u003d 0

Meillä on äskettäin pienempi kolmipuolinen puoli-yksi edessäni, käytämme Vieta: n kaavoja ja kirjoitamme:

(x + 3) (x + 1) \u003d 0

x 1 \u003d -3

x 2 \u003d -1

Joten saimme juuret, mutta kukaan ei takaa meitä, että he sopisivat alkuperäisen logaritmisen yhtälön. Loppujen lopuksi logamerkit asettavat lisää rajoituksia (tässä meidän olisi kirjoitettava järjestelmä, mutta koko suunnittelun suuruuden vuoksi päätin laskea määritelmäalueen erikseen).

Ensinnäkin muistamme, että väitteiden pitäisi olla suurempi kuin 0, nimittäin:

Nämä ovat määritelmäalueella asetetut vaatimukset.

Huomaa välittömästi, että koska järjestelmän kaksi ensimmäistä ilmaisua toisilleen, niin joista jokainen voi poistaa. Läpäisimme ensimmäisen, koska se näyttää uhkaavalta kuin toinen.

Lisäksi huomaamme, että toisen ja kolmannen epätasa-arvon päätös on sama (kuutio jonkin verran enemmän kuin nolla, jos suuri määrä on suurempi kuin nolla; samoin kuin kolmannen asteen juurella - nämä eriarvoisuudet ovat täysin Samanlainen, joten voimme ylittää sen ulos).

Mutta kolmannen eriarvoisuuden avulla se ei läpäise. Päästä eroon vasemmalta vasemmalla olevasta radikaalista seisomasta, josta ne pystyvät molemmat osat kuutioon. Saamme:

Joten saamme seuraavat vaatimukset:

- 2 ≠ X\u003e -3

Mikä juuristamme: x 1 \u003d -3 tai x 2 \u003d -1 täyttää nämä vaatimukset? Ilmeisesti vain X \u003d -1, koska X \u003d -3 ei täytä ensimmäistä eriarvoisuutta (epätasa-arvoa meillä on tiukasti). Yhteensä paluu tehtävämme, saamme yhden root: x \u003d -1. Se on kaikki, tehtävä ratkaistaan.

Jälleen kerran tärkeimmät kohdat tämän tehtävän:

Voit vapaasti soveltaa ja ratkaista logaritmiset yhtälöt kanonisella lomakkeella. Opiskelijat, jotka tekevät tällaista ennätystä ja eivät välitä suoraan alkuperäisestä ongelmasta log a f (x) \u003d b -suunnitteluun, anna paljon vähemmän virheitä kuin niille, jotka ovat jonnekin, kulkevat laskelmien välivaiheet;
Heti kun vaihtoehtoinen alusta näkyy logaritmissa, tehtävä pysähtyy yksinkertaisimmaksi. Näin ollen, kun päätetään, on tarpeen ottaa huomioon määritelmän ala: perustelujen on oltava suurempi kuin nolla, ja pohja ei ole vain yli 0, mutta niiden ei pitäisi olla yhtä kuin 1.

Voit syöttää viimeisimmät vaatimukset lopullisille vastauksille eri tavoin. Voit esimerkiksi ratkaista koko järjestelmä, joka sisältää kaikki määritelmäalueen vaatimukset. Toisaalta voit ensin ratkaista itse tehtävän itse ja muistaa sitten määritelmäalueella erikseen sen järjestelmän muodossa ja määrää saadut juuret.

Mikä on tapa valita erityinen logaritminen yhtälö, ratkaista vain sinä. Joka tapauksessa vastaus tulee samaan.

Listattuja tasa-arvoa konvertoinnissa Logaritmien kanssa käytetään sekä oikealle vasemmalle ja vasemmalle oikealle.

On syytä huomata. seuraukset virtaus. Tämän lähestymistavan "sivuvaikutus" ilmenee vain, että päätös on hieman pidempi. Esimerkiksi tehdä ilman tutkimusta, joka ilmaisee kaavan Ja torjuvat vain logaritmien pääominaisuuksista, sinun on suoritettava seuraavan tyyppinen ketju: .

Samaa voidaan sanoa viimeisestä luettelosta viimeisestä kiinteistöstä, joka vastaa kaavaa Koska se seuraa myös logaritmien pääominaisuuksista. Tärkeintä ymmärtää, että indikaattorilla on aina mahdollisuus positiivinen luku, jolla on logaritmi indikaattorissa muuttaa asteen perusta ja logaritm-merkin numero. Oikeuden vuoksi huomaamme, että esimerkit, jotka merkitsevät tällaisten muutosten täytäntöönpanoa, ovat harvinaisia \u200b\u200bkäytännössä. Annamme muutamia esimerkkejä tekstin alapuolelle.

Logaritmien numeeristen ilmaisujen muuttaminen

Logaritmien ominaisuudet muistetaan, nyt on aika oppia soveltamaan niitä käytännössä muuntaa ilmaisuja. Luonnollisesti alkaa muuttamalla numeerisia ilmaisuja ja ei ilmaisuja muuttujien kanssa, koska ne ovat helpompi ja helpompi tietää perusasiat. Joten teemme ja aloitamme hyvin yksinkertaisia \u200b\u200besimerkkejä oppia valitsemaan logaritmin halutun ominaisuuden, mutta me vähitellen monimutkaisemme esimerkkejä, kun haluat käyttää useita ominaisuuksia peräkkäin saadakseen lopullisen tuloksen.

Logaritmien haluttujen ominaisuuksien valinta

Logaritmien ominaisuudet eivät ole niin vähän, ja on selvää, että sinun on voitava valita niistä asianmukaiset, mikä tässä tapauksessa johtaa haluttuun tulokseen. Yleensä on vaikea tehdä tätä, vertaamalla muunnetun logaritmin tai lausekkeen tyyppiä vasemmalla ja oikealla puolella kaavojen, jotka ilmaisevat logaritmien ominaisuuksia. Jos yhden kaavan vasemmalla tai oikealle puolelle vastaa tietyn logaritmin tai lausekkeen kanssa, todennäköisesti se on tämä ominaisuus, jota on käytettävä muuntaa. Seuraavat esimerkit osoitetaan selvästi.

Aloitetaan esimerkkejä muuntamislausekkeista käyttäen logaritmin määritelmää, joka vastaa kaavaa A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0.

Esimerkki.

Laske, jos mahdollista: a) 5 log 5 4, b) 10 lg (1 + 2 · π), b) , d) 2 log 2 (-7), e).

Päätös.

Esimerkissä kirjaimen A mukaan rakenne A-log A B on selvästi näkyvissä, jossa A \u003d 5, B \u003d 4. Nämä numerot täyttävät olosuhteet A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, joten voit käyttää yhtäläisyyttä A B \u003d B. Meillä on 5 log 5 4 \u003d 4.

b) Tässä a \u003d 10, b \u003d 1 + 2 · π, olosuhteet A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0 tehdään. Tässä tapauksessa on tasa-arvo 10 lg (1 + 2 π) \u003d 1 + 2 · π.

c) Ja tässä esimerkissä käsitellään tyyppiä A B, missä ja B \u003d LN15. Niin .

Huolimatta siitä, että kuuluu samantyyppiseen log a b (tässä a \u003d 2, b \u003d -7), kirjaimen d) ilmaisua ei voida muuntaa kaavalla A B \u003d B. Syynä on, että se ei ole järkevää, koska se sisältää negatiivisen numeron logaritmin merkin alla. Lisäksi numero B \u003d -7 ei täytä ehtoa B\u003e 0, joka ei salli kaavan log a b \u003d b, koska se edellyttää olosuhteiden täyttymistä A\u003e 0, A ≠ 1, B \u003e 0. Joten, on mahdotonta puhua 2 log 2: n arvon laskemisesta 2 (-7). Tässä tapauksessa tallennus 2 log 2 (-7) \u003d -7 on virhe.

Samoin esimerkissä D) liuosta ei voida nostaa Koska alkuperäinen ilmaisu ei ole järkevää.

Vastaus:

a) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 π, c) , d), e) ilmaisut eivät ole järkeviä.

Se on usein hyödyllistä muuntamiseksi, jossa positiivinen luku on esitetty jonkin positiivisen ja eri numeron muodossa indikaattorissa. Se perustuu samaan määritelmään log a b \u003d b \u003d b, a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, mutta kaavaa levitetään oikealle vasemmalle, eli muodossa B \u003d log a b. Esimerkiksi 3 \u003d E LN3 tai 5 \u003d 5 log 5 5.

Siirry logaritmien ominaisuuksien soveltamiseen ilmaisujen muuttamiseksi.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo: a) log -2 1, b) loki 1 1, c) log 0 1, d) loki 7 1, e) LN1, e) LG1, g) Log 3,75, s) loki 5 · π 7 1.

Päätös.

Kirjainten A), b) ja c mukaisissa esimerkeissä log -2 1, log 1 1, log 0 1, joka ei ole järkevää, koska logaritmin pohjalla ei pitäisi olla negatiivinen luku, Nolla tai yksikkö, koska olemme määrittäneet Logaritm vain positiiviseksi ja poikkeavat perusyksiköstä. Siksi esimerkeissä a) - c) ei voi olla mitään kysymystä ekspressioarvon löytämisestä.

Kaikissa muissa tehtävissä on ilmeistä, että yksiköstä 7, e, 10, 3,75 ja 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · 7. Ja tiedämme Logaritmin yksikön ominaisuuden: log a 1 \u003d 0 mille tahansa a\u003e 0, a ≠ 1. Siten lausekkeiden b) - e) arvot ovat yhtä suuret kuin nolla.

Vastaus:

a), b), c) ilmaisut eivät ole järkeviä, d) loki 7 1 \u003d 0, d) LN1 \u003d 0, e) LG1 \u003d 0, g) Log 3,75 1 \u003d 0, h) Log 5 · E 7 1 \u003d 0.

Esimerkki.

Laske: a), b) LNE, C) LG10, D) lOG 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2), e) log -3 (-3), e) loki 1 1.

Päätös.

On selvää, että meidän on hyödynnettävä pohjan logaritmin ominaisuutta, joka vastaa kaavaa log a a \u003d 1\u003e 0, A ≠ 1. Itse asiassa kaikkien kirjaimien tehtävissä numero Logaritmin merkki on sen perustana. Siten haluan välittömästi sanoa, että kunkin määritellyn ilmaisun merkitys on 1. Ei kuitenkaan ole tarpeen kiirehtiä päätelmiin: kirjeissä a) - d) ilmaisujen arvot ovat todella yhtä suuria kuin yksi ja tehtävät d) ja e) alkuperäiset lausekkeet eivät tee Siksi ei voida sanoa, että näiden lausekkeiden arvot ovat 1.

Vastaus:

a), b) LNE \u003d 1, c) LG10 \u003d 1, d) lOG 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, D), e) ilmaisut eivät ole järkeviä.

Esimerkki.

Etsi arvo: a) loki 3 3 11, b) , C), D) Log -10 (-10) 6.

Päätös.

Ilmeisesti logaritmien merkkien alla on joitain perusteita. Tämän perusteella ymmärrämme, että meille on hyödyllistä täällä säätiön aste: log a p \u003d p, jossa A\u003e 0, A ≠ 1 ja P on kelvollinen numero. Tämän vuoksi meillä on seuraavat tulokset: a) loki 3 3 11 \u003d 11, b) , sisään) . Onko mahdollista tallentaa samankaltaisen tasa-arvon esimerkissä log -10 (-10) 6 \u003d 6: n tyypin D) alla? Ei, se on mahdotonta, koska lausekkeen log -10 (-10) 6 ei ole järkevää.

Vastaus:

a) Log 3 3 11 \u003d 11, b) , sisään) , d) ilmaisu ei ole järkevää.

Esimerkki.

Kuvittele ilmaisu summan muodossa tai logaritmien eron muodossa samalla perusteella: a) , b), c) LG ((- 5) · (-12)).

Päätös.

a) Logaritmin merkki on työ, ja tunnemme log a (x · y) \u003d log ax + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Meidän tapauksessamme logaritmin perusta ja työn numero on positiivinen, eli täyttää valitun omaisuuden olosuhteet, joten voimme rauhallisesti soveltaa sitä: .

b) Tässä käytämme yksityisen logaritmin ominaisuutta, jossa A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0, Y\u003e 0. Meidän tapauksessamme logaritmin pohja on positiivinen numero E, numerointi ja nimittäjä π ovat positiivisia, mikä tarkoittaa, että omaisuuden olosuhteet ovat tyydyttäviä, joten meillä on oikeus käyttää valittua kaavaa: .

c) Ensinnäkin huomaamme, että ilmaisu LG ((- 5) · (-12) on järkevää. Mutta samanaikaisesti hänelle ei ole oikeutta soveltaa log a (x · y) \u003d log ax + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, Y\u003e 0, koska numerot -5 ja -12 - negatiivinen ja eivät täytä olosuhteita X\u003e 0, Y\u003e 0. Toisin sanoen on mahdotonta tehdä tällaista muuntamista: lG ((- 5) · (-12) \u003d LG (-5) + LG (-12). Ja mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa alkuperäinen ilmaisu tarvitsee alustavan muunnoksen, jonka avulla voit päästä eroon negatiivisista numeroista. Puhumme tällaisista tapauksista, jotka muuttavat ilmaisuja negatiivisia lukuja logaritmin merkkinä yksityiskohtaisesti jossakin seuraavista esimerkeistä, jotka ovat ymmärrettäviä ja ilman selitystä: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.

Vastaus:

mutta) b) , c) LG ((- 5) · (-12) \u003d LG5 + LG12.

Esimerkki.

Yksinkertaista lauseketta: a) loki 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b).

Päätös.

Täällä autamme kaikkia samoja ominaisuuksia yksityisen työn ja logaritmin logaritmin, jota käytimme aiemmissa esimerkeissä, vain nyt me käytämme heitä oikealle vasemmalle. Toisin sanoen logaritmien määrä muuttuu työn logaritmiin ja logaritmien välinen ero - yksityisen logaritm. Omistaa
mutta) log 3 0,25 + log 3 16 + loki 3 0.5 \u003d loki 3 (0,25 · 16 · 0,5) \u003d loki 3 2.
b) .

Vastaus:

mutta) lOG 3 0.25 + LOG 3 16 + LOG 3 0.5 \u003d LOG 3 2b) .

Esimerkki.

Päästä eroon Logaritmin merkin osasta: a) Log 0.7 5 11, b) , c) Log 3 (-5) 6.

Päätös.

On helppoa nähdä, että käsittelemme log a b p ilmaisuja. Logaritmin vastaava ominaisuus on sellaista log a b p \u003d p · log a b, jossa A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P on mikä tahansa kelvollinen numero. Toisin sanoen, kun suoritat olosuhteet A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0 logAritista log a b p, voimme siirtyä tuotteeseen p · Log A B. Teemme tämän muuntamisen määriteltyjen ilmaisujen kanssa.

a) Tässä tapauksessa a \u003d 0,7, b \u003d 5 ja p \u003d 11. Joten log 0.7 5 11 \u003d 11 · LOG 0.7 5.

b) Tässä suoritetaan tässä olosuhteissa A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0. siksi

c) Ilmaisuslokin 3 (-5) 6 on sama rakenne log a b p, a \u003d 3, b \u003d -5, p \u003d 6. Mutta B: lle, kunto b\u003e 0 ei ole tyytyväinen, mikä tekee mahdottomaksi käyttää log a b p \u003d p · log a B. Joten, on mahdotonta selviytyä tehtävästä? On mahdollista, mutta vaaditaan ennalta muuntelevaa ilmaisua, puhumme alla yksityiskohtaisesti otsikkopisteessä. Päätös on: lOG 3 (-5) 6 \u003d LOG 3 5 6 \u003d 6 · LOG 3 5.

Vastaus:

a) Log 0.7 5 11 \u003d 11 · LOG 0.7 5,
b)
c) Log 3 (-5) 6 \u003d 6 · LOG 3 5.

Melko usein, tutkinnon logaritm-kaava muunnoksen aikana on välttämätöntä, jotta voidaan hakea oikealle vasemmalle p · log a b \u003d log a b p (tämä edellyttää samoja olosuhteita A, B ja P). Esimerkiksi 3 · LN5 \u003d LN5 3 ja LG2 · LOG 2 3 \u003d LOG 2 3 LG2.

Esimerkki.

a) Laske log 2 5: n arvo, jos tiedetään, että LG240,3010 ja LG590,6990. b) esittää murto-osa logaritmin muodossa 3.

Päätös.

a) Logaritmin uuteen pohjaan siirtyvä kaava antaa tämän logaritmin edustaa desimaalilukujen suhdetta, joiden arvot ovat meille tuntemia :. Se on edelleen vain suoritettava laskelmia, meillä on .

b) Täällä riittää hyödyntämään siirtymistä uuteen tukikohtaan ja soveltaa sitä oikealle vasemmalle, eli muodossa . Vastaanottaa .

Vastaus:

a) Log 2 5≈2,3223, b) .

Tässä vaiheessa meillä on riittävästi tarkasti yksinkertaisimpia ilmaisuja, jotka käyttävät logaritmien pääominaisuuksia ja logaritmin määritelmää. Näissä esimerkeissä meidän piti soveltaa jonkinlaista omaisuutta ja mitään muuta. Nyt rauhallinen omatunto, voit siirtyä esimerkkeihin, jonka muutos edellyttää useiden logaritmien ja muiden ylimääräisten muunnosten käyttöä. Menemme seuraavaan kohtaan. Mutta ennen sitä lyhyesti sanottuna keskitymme lyhyesti esimerkkeihin logaritmien pääominaisuuksien seurauksista.

Esimerkki.

a) päästä eroon juuresta logaritmin merkin alla. b) Muunna fraktio base 5: n logaritmille. c) Usein logaritm-merkin ja perustusosastosta. d) Laske lausekkeen arvo . e) Vaihda asteen ilmaus pohjan 3 kanssa.

Päätös.

a) Jos muistat logaritmin ominaisuuden seurauksesta Voit vastata välittömästi: .

b) Käytämme kaavaa Oikeus vasemmalle meillä on .

c) Tällöin tulos johtaa kaavan . Vastaanottaa .

d) Ja täällä riittää soveltaa seurausta siitä, että kaava on vastuussa . Niin .

e) kiinteistö logaritmi Antaa meille halutun tuloksen saavuttaa: .

Vastaus:

mutta) . b) . sisään) . d) . e) .

Useiden ominaisuuksien peräkkäistä käyttöä

Todellisia tehtäviä ilmaisujen muutoksista, jotka käyttävät logaritmien ominaisuuksia, ovat yleensä monimutkaisempia niillä, jotka harjoittavat edellisessä kappaleessa. Niissä tulosta ei pääsääntöisesti yksi askel, ja liuos on jo johdonmukainen yhden ominaisuuden toisena toisensa jälkeen yhdessä muiden identiteettimuutosten, kuten sulujen paljastamisen, samankaltaisten fraktioiden vähentämiseksi jne. . Joten päästään lähemmäksi tällaisia \u200b\u200besimerkkejä. Tässä ei ole mitään vaikeaa, tärkein asia on toimia siististi ja johdonmukaisesti noudattaa menettelyä toimien suorittamiseksi.

Esimerkki.

Laske lausekkeen arvo (Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5.

Päätös.

Yksityisen logaritmin logaritmin logaritmin logaritmien eroa voidaan korvata logaritm log 3: lla (15: 5) ja laskea sen arvo log 3 (15: 5) \u003d loki 3 3 \u003d 1. Ja ilmaisun 7 log 7 5 arvo logaritmin määrittelemällä on 5. Korvaa nämä tulokset alkuperäiseen ilmaisuun, saamme (log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Annamme ratkaisua ilman selitystä:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d Log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Vastaus:

(log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.

Esimerkki.

Mikä on numeerisen lausekkeen arvo 3 log 2 2 3 -1?

Päätös.

Muutamme ensin logaritmin, joka sijaitsee logaritmin merkin alla logaritm-kaavan mukaan: log 2 2 3 \u003d 3. Siten loki 3 log 2 2 3 \u003d loki 3 3 ja vielä loki 3 3 \u003d 1. Joten loki 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

Vastaus:

lOG 3 LOG 2 2 3 -1 \u003d 0.

Esimerkki.

Yksinkertaista ilmaisua.

Päätös.

Logaritmin uudelle pohjalle siirtymäkaava mahdollistaa logaritmien suhdetta yhdelle pohjalle, jotta se edustaa log 3 5. Tällöin ensimmäinen ilmaisu ottaa lomakkeen. Logaritmin 3 log 3 5 \u003d 5 määritelmän mukaan , Ja saadun lausekkeen arvo johtuen saman määritelmän vuoksi logaritmin määritelmästä.

Tässä on lyhyt versio ratkaisusta, joka yleensä annetaan: .

Vastaus:

Tasaiseen siirtymiseen seuraaviin kohteisiin, katsotaanko ilmaisuja 5 2 + log 5 3 ja LG0.01. Niiden rakenne ei sovi mihinkään logaritmien ominaisuuksista. Joten mitä tapahtuu, niitä ei voi muuntaa käyttämällä logaritmien ominaisuuksia? On mahdollista, jos voit tehdä alustavia muutoksia, jotka valmistelevat näitä ilmaisuja logaritmien ominaisuuksien soveltamiseen. Niin 5 2 + loki 5 3 \u003d 5 2 · 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, ja LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. Sitten ymmärrämme yksityiskohtaisesti, miten tällainen lausekkeiden koulutus toteutetaan.

Logaritmien ominaisuuksien soveltamisen ilmaisujen valmistelu

Transformoituneen lausekkeen koostumuksen logaritmit eroavat usein logaritmien ominaisuuksiin vastaavien kaavojen vasemmalta ja oikeista osista. Mutta näiden lausekkeiden muuttaminen ei kuitenkaan merkitse logaritmien ominaisuuksien käyttöä: käyttää niitä vain edellyttää alustavaa valmistetta. Ja tämä valmiste on suorittaessaan tiettyjä identtisiä muutoksia johtavat logaritmit muotoon, kätevästi käyttöominaisuuksiin.

Oikeudenmukaisuuden vuoksi huomaamme, että lähes kaikki lausekkeiden muutokset voivat toimia alustavina muutoksina tällaisten termien banal-toimilaitoksesta trigonometristen kaavojen käyttöön. Tämä on ymmärrettävää, koska muunnetut ilmaisut voivat sisältää matemaattisia esineitä: kiinnikkeet, moduulit, fraktiot, juuret, asteet jne. Siksi sinun on oltava valmis suorittamaan kaikki tarvittavat konversiot edelleen voidakseen käyttää logaritmien ominaisuuksia.

Välittömästi sanotaan, että tässä vaiheessa emme aseta tehtävämme luokitella ja purkaa kaikki kuviteltavia alustavia muutoksia, jotka soveltavat edelleen logaritmien ominaisuuksia tai logaritmin määritelmää. Täällä voimme asua vain neljästä niistä, jotka ovat tyypillisin ja useimmiten käytännössä.

Ja nyt yksityiskohtaisesti jokaisesta niistä, minkä jälkeen osa aiheestamme, se pysyy vain käsittelemään ilmaisujen muutosta muuttujien kanssa logaritmien merkkien alla.

Valikoima astetta logaritmin merkin alla ja sen säätiössä

Aloitetaan heti esimerkistä. Olkaamme logaritmia. Ilmeisesti tässä muodossa sen rakenteen ei tarvitse käyttää logaritmien ominaisuuksia. Onko jotenkin mahdollista muuntaa tämä ilmaisu yksinkertaistaa sitä ja jopa laskea sen arvon? Jos haluat vastata tähän kysymykseen, katsotaan huolellisesti numeroita 81 ja 1/9 esimerkkissamme. Täällä on helppo asentaa, että nämä numerot mahdollistavat numeron 3 osuuden, 81 \u003d 3 4 ja 1/9 \u003d 3 -2. Tässä tapauksessa ensimmäinen logaritmi esitetään lomakkeessa ja mahdollisuus soveltaa kaavaa . Niin, .

Jäästä esimerkkin analyysi luo seuraavan ajatuksen: Jos mahdollista, voit yrittää korostaa astetta logaritmin merkkien alla ja perustaa laatia logaritmin ominaisuutta tai sen seurausta. Se on vielä vain selvittää, miten nämä tutkinnot jakautuvat. Annamme joitakin suosituksia tästä asiasta.

Joskus on melko ilmeistä, että logaritmin ja / tai sen perustan merkin alla oleva numero on osa koko edellä mainitussa esimerkissä. Käytännössä on jatkuvasti käsiteltävä TWS: n havaitsemista, jotka olivat hyvin ajatellut pois: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2 3, 16 \u003d 2 4, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8 , 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Tämä voidaan sanoa kolminkertaisen asteesta: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... Yleensä se ei satu, jos se on ennen silmämme edessä luonnonumeron asteen taulukko tusina. Ei myöskään ole vaikeaa työskennellä kymmenen, sata, tuhansia jne.

Esimerkki.

Laske arvo tai yksinkertaista ilmentymä: a) log 6 216, b), c) loki 0,000001 0,001.

Päätös.

a) On selvää, että 216 \u003d 6 3, siksi log 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.

b) Luonnonumeroiden taulukko antaa sinulle mahdollisuuden esittää numeroita 343 ja 1/243 vastaavasti asteina 7 3 ja 3 -4. Siksi on mahdollista noudattaa tietyn logaritmin seuraavaa muutosta:

c) 0,000001 \u003d 10 -6 ja 0,001 \u003d 10 -3, sitten lOG 0.000001 0.001 \u003d LOG 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

Vastaus:

a) Log 6 216 \u003d 3, b) , c) Loki 0.000001 0,001 \u003d 1/2.

Monimutkaisemmissa tapauksissa korostaa numeron asteiden on turvauduttava.

Esimerkki.

Muunna lauseke yksinkertaisempaan lokiin 3 648 · LOG 2 3.

Päätös.

Katsotaanpa, mikä on useita 648 hajoamista yksinkertaisista tekijöistä:

Eli 648 \u003d 2 3 · 3 4. Tällä tavalla, lOG 3 648 · LOG 2 3 \u003d LOG 3 (2 3 · 3 4) · LOG 2 3.

Nyt teosten logaritmi muuttuu logaritmien määrään, jonka jälkeen tutkinnon logaritmin ominaisuudet ovat voimassa:
lOG 3 (2 3 · 3 4) · LOG 2 3 \u003d (LOG 3 2 3 + LOG 3 3 4) · LOG 2 3 \u003d
\u003d (3 · Log 3 2 + 4) · LOG 2 3.

Koska logaritmin omaisuutta koskeva tutkimus, johon kaava on vastuussa Tuote Log32 · Log23 on työ, ja tiedetään olevan yksi. Ottaen huomioon sen, saamme 3 · LOG 3 2 · LOG 2 3 + 4 · LOG 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · LOG 2 3 \u003d 3 + 4 · LOG 2 3.

Vastaus:

lOG 3 648 · LOG 2 3 \u003d 3 + 4 · LOG 2 3.

Usein Logaritm-merkin ja perustuksen mukaiset ilmaisut ovat esimerkiksi juurien ja / tai joidenkin numerot, esimerkiksi. Tällaisia \u200b\u200bilmaisuja voidaan edustaa tutkintona. Tätä varten siirtyminen juurista asteiksi ja sovelletaan. Näiden tulosten avulla voit korostaa astetta Logaritm-merkin alla ja sen pohjassa, minkä jälkeen käytät logaritmien ominaisuuksia.

Esimerkki.

Laske: a) , b).

Päätös.

a) Logaritmin emäksen ekspressio on tutkintojen tuote samoilla emäksillä asteikoiden asianmukaisen omaisuuden mukaan, meillä on 5 2 · 5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0.5-1 \u003d 5 0,5.

Nyt muutamme fraktion Logaritmin merkin alla: käännymme juuresta tutkintoon, jonka jälkeen voimme käyttää astetta samoilla perusteilla: .

Alkuperäiseen ilmentymiseen saadut tulokset ovat edelleen korvata, käytä kaavaa ja lopeta muutokset:

b) Koska 729 \u003d 3 6, 1/9 \u003d 3 -2, alkuperäinen ilmentyminen voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa.

Seuraavaksi soveltaa juuren omaisuutta tutkinnosta, suoritamme siirtymisen juuresta asteeseen ja käytät asteen suhde-ominaisuutta muuntaa logaritmin asteittain: .

Ottaen huomioon viimeisen tuloksen, meillä on .

Vastaus:

mutta) , b).

On selvää, että yleensä saamaan asteita logaritmin merkkiin ja säätiössään erilaisten erilaisten ilmaisujen muutoksista voi olla tarpeen. Annamme pari esimerkkiä.

Esimerkki.

Mikä on lausekkeen arvo: a) b) .

Päätös.

Siksi huomaat, että määritellyt ilmaisu on log a b p, jossa a \u003d 2, b \u003d x + 1 ja p \u003d 4. Tällaisten numeeriset ilmaisut Muutamme logaritmin omaisuutta Logaritmista Log Abp \u003d P · Log Ab, siksi tietyllä lausekkeella, haluan tehdä samoin kuin log 2: n (x + 1) 4 Siirry 4: een · LOG 2 (x + 1). Ja nyt lasketaan alkuperäisen lausekkeen arvo ja ekspressio, joka on saatu muunnoksen jälkeen, esimerkiksi x \u003d -2. On log 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0 ja 4 · LOG 2 (-2 + 1) \u003d 4 · LOG 2 (-1) - Ei merkitystä ilmaisua. Tämä aiheuttaa luonnollisen kysymyksen: "Mitä teimme väärin"?

Ja syy on seuraava: Teimme muutoksen log 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · log 2 (x + 1), joka perustuu kaavan log abp \u003d p · log ab, mutta meillä on oikeus soveltaa tätä Formula vain kun ehto A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P - Kaikki voimassa olevat numerot. Toisin sanoen Yhdysvaltojen muuttaminen tapahtuu, jos X + 1\u003e 0, joka on sama X\u003e -1 (A- ja P - olosuhteet). Kuitenkin meidän tapauksessamme OTZ-muuttuja X alkuperäisen ilmaisun osalta koostuu paitsi Interval X\u003e -1, mutta myös kaudelle x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Tarve ottaa huomioon ...

Jatkamme log 2: n (x + 1) 4 muuttamista, ja nyt katsotaan nyt, mitä tapahtuu OTZ: n kanssa, kun siirryt ilmentämiseen 4 · Log 2 (x + 1). Edellisessä kappaleessa löysimme jopa lähdekoodin ilmaisun - tämä on sarja (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Nyt löydämme muuttujan X sallittujen arvojen alueen ilmaisua 4 · log 2 (x + 1). Se määräytyy ehtolla x + 1\u003e 0, joka vastaa sarjaa (-1, + ∞). Ilmeisesti, kun siirrät log 2 (x + 1) 4 - 4 · log 2 (x + 1), kelvollisten arvojen alue tapahtuu. Ja me suostuimme välttämään OTZ: n kaventumiseen johtavia muutoksia, sillä se voi johtaa erilaisiin kielteisiin seurauksiin.

On syytä huomata täällä itse, että on hyödyllistä hallita OTZ: tä jokaisessa muutoksessa ja estää sen kaventumisen. Ja joskin yhtäkkiä muutosvaiheessa OST: n supistuminen, kannattaa tarkastella hyvin huolellisesti ja onko tämä muutos sallittu ja onko meillä oikeus toteuttaa se.

Esimerkiksi sanotaan, että käytännössä on yleensä tarpeen työskennellä lausekkeiden kanssa, joiden OTZ-muuttujat ovat sellaisia, että muutoksia käytetään logaritmien ominaisuuksia ilman meille jo tiedossa olevat rajoitukset ja molemmat vasemmalta Oikea ja oikealle vasemmalle. Voit nopeasti tottua siihen, ja alat tehdä muunnoksia mekaanisesti ajattelematta ja onko se mahdollista suorittaa ne. Ja tällaisissa hetkissä purkautui, liukuu monimutkaisempia esimerkkejä, joissa logaritmien ominaisuuksien epäasianmukaiset käyttöä johtavat virheisiin. Joten sinun täytyy aina olla sekillä, ja seuraa, että OTZ: n kaventumista ei ole.

Se ei vahingoita erikseen valita tärkeimmät muutokset, jotka perustuvat logaritmien ominaisuuksiin, jotka on suoritettava erittäin huolellisesti, mikä voi johtaa OTZ: n kaventumiseen ja tuloksena virheisiin:

Jotkut lausekkeiden muutokset logaritmien ominaisuuksien mukaan voivat johtaa OTZ: n käänteiseen laajentamiseen. Esimerkiksi siirtyminen 4 · log 2: sta (x + 1) lokiin 2 (x + 1) 4 laajenee pariton (-1, + ∞) (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Tällaisia \u200b\u200btransformaatioita esiintyy, jos se pysyy ODZD: n sisällä alkuperäisen lausekkeen osalta. Joten ainoa mainittu muuntaminen 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 tapahtuu OTZ-muuttuja X alkuperäisen lausekkeen 4 · log 2 (x + 1), eli x + 1\u003e 0, joka on sama (-1, + ∞).

Nyt keskustelimme vivahteista, joista sinun on kiinnitettävä huomiota silloin, kun muunnelmat muuttujat käyttäen logaritmien ominaisuuksia, on vielä selvitettävä, kuinka oikein nämä muutokset on suoritettava.

X + 2\u003e 0. Toimieko se tapauksessamme? Jos haluat vastata tähän kysymykseen, katso OTZ-muuttuja X. Se määräytyy epätasa-arvojärjestelmään joka vastaa tilaa x + 2\u003e 0 (tarvittaessa, katso artikkeli epätasa-arvojärjestelmien ratkaiseminen). Siksi voimme rauhallisesti soveltaa Logaritmin omaisuutta.

Omistaa
3 · LG (x + 2) 7 -Lg (x + 2) -5 · LG (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · LG (x + 2) -lg (x + 2) -5 · 4 · LG (x + 2) \u003d
\u003d 21 · LG (x + 2) -lg (x + 2) -20 · LG (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · LG (x + 2) \u003d 0.

Voit toimia ja muutoin OTZ: n hyväksi sallii sen tehdä esimerkiksi:

Vastaus:

3 · LG (x + 2) 7 -Lg (x + 2) -5 · LG (x + 2) 4 \u003d 0.

Ja mitä tehdä, kun logaritmien käyttöominaisuudet eivät ole tyytyväisiä? Käsittelemme tätä esimerkeissä.

Oletetaan meiltä yksinkertaistamaan ilmaisua LG (x + 2) 4 -Lg (x + 2) 2. Tämän lausekkeen muuttaminen, toisin kuin edellisen esimerkin ekspressio, ei salli logaritmin tutkinnon loki. Miksi? OTZ-muuttuja X tässä tapauksessa on kaksi aukkoa x\u003e -2 ja x<−2 . При x>-2 Voimme rauhallisesti soveltaa LogAritmin ominaisuutta ja toimia edellä mainittuna: lG (x + 2) 4 -Lg (x + 2) 2 \u003d 4 · LG (x + 2) -2 · LG (x + 2) \u003d 2 · LG (x + 2). Mutta OTZ sisältää toisen ajan X + 2: n<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | x + 2 |) 4 -Lg (- | x + 2 |) 2 Ja edelleen voimakkuusominaisuuksien voimalla LG: lle x + 2 | 4 -Lg | x + 2 | 2. Tuloksena oleva ilmentyminen voidaan muuntaa Logaritmin ominaisuus, koska | X + 2 |\u003e 0 muuttujan mihin tahansa arvoon. Omistaa lG | X + 2 | 4 -Lg | x + 2 | 2 \u003d 4 · LG | X + 2 | -2 · LG | X + 2 | \u003d 2 · LG | x + 2 |. Nyt voit vapauttaa itsesi moduulista, kun hän teki työnsä. Koska suoritamme muuntamista x + 2: ssa<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Harkitse toista esimerkkiä, jotta moduulit ovat tuttuneet. Olkoon syntynyt ilmaisusta Siirry lineaaristen poppijoiden logaritmien summaan ja eron välillä X-1, X-2 ja X-3. Ensin löydämme ...

Välillä (3, + ∞) ilmaisujen X-1, X-2 ja X-3 arvot ovat positiivisia, joten käytämme tiiviimmin summien ja erojen logaritmin ominaisuuksia:

Ja välein (1, 2) ekspression X-1 arvot ovat positiivisia ja ekspressioiden X-2 ja X-3 arvot ovat negatiivisia. Siksi käsiteltävänä olevassa aikavälillä esitämme X-2: n ja X-3: n käyttäen moduulia AS - | X-2 | ja - | X-3 | vastaavasti. Jossa

Nyt voit käyttää työn ja yksityisen logaritmin ominaisuuksia, koska se on aikavälillä (1, 2) ilmaisujen X-1, | x-2 | arvot ja | X-3 | - Positiivinen.

Omistaa

Tulokset voidaan yhdistää:

Yleensä samankaltaiset argumentit mahdollistavat logaritmin kaavojen logaritmin, suhteiden ja asteiden perusteella kolme käytännöllisesti hyödyllistä tuloksesta, jotka ovat melko käteviä käyttää:

Kahden mielivaltaisen ekspression X ja Y: n logaritmi-teokset voidaan korvata summAble logaritmit log a | x | + log a | y | , A\u003e 0, A ≠ 1.
Logaritm Private log a (x: y) voidaan korvata logaritmit log a | x | -log a | y | , A\u003e 0, A ≠ 1, X ja Y - mielivaltaiset lausekkeet.
Jotkin ilmaisu B: n logaritmista B: n tasaisessa vaiheessa P B P -lomakkeessa voit siirtyä ilmaisuun p · log a | b | , jossa A\u003e 0, A ≠ 1, P on parillinen numero ja B - mielivaltainen ilme.

Samankaltaisia \u200b\u200btuloksia annetaan esimerkiksi ohjeiden ratkaisemiseksi ohjeelliset ja logaritminen yhtälöt matematiikan ongelmien keräämisessä hakijoille yliopistoille M. I. Scanavin toimittajien alla.

Esimerkki.

Yksinkertaistaa lauseketta .

Päätös.

Olisi hyvä soveltaa logaritmin ominaisuuksia, määriä ja eroja. Mutta voimmeko tehdä sen täällä? Jos haluat vastata tähän kysymykseen, meidän on tiedettävä OTZ.

Määritämme sen:

On ilmeistä, että vaihtelevan X sallittujen arvojen ilmaisut X + 4, X-2 ja (X + 4) 13 voivat ottaa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Siksi meidän on toimitettava moduulien kautta.

Moduulin ominaisuuksien avulla voit kirjoittaa uudelleen

Mikään ei esittele logarithmin asteen omaisuutta, sitten tuo samankaltaiset ehdot:

Muut muunnokset johtavat samaan tulokseen:

ja koska ekspressio X-2 voi ottaa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, sitten kun lähetät jopa tason 14