Kuinka vähentää logaritmit samalla pohjalla. Formulas logaritmit. Logaritmit Esimerkki Ratkaisut

Logaritmit, kuten kaikki numerot, voidaan taittaa, vähentää ja muuntaa. Mutta koska logaritmit eivät ole varsin tavallisia numeroita, on olemassa omat säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Näiden sääntöjen on välttämättä tiedettävä - ei vakavaa logaritmista tehtävää ratkaistaan \u200b\u200bilman niitä. Lisäksi ne ovat melko vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Jatka.

Logaritmien lisäys ja vähennys

Harkitse kaksi logaritmia samoilla pohjalla: loki a. x. ja loki. a. y.. Sitten ne voidaan taittaa ja vähennetään ja:

hirsi. a. x. + Loki. a. y. \u003d Loki. a. (x. · y.);
hirsi. a. x. - Hirsi. a. y. \u003d Loki. a. (x. : y.).

Joten logaritmien määrä on yhtä suuri kuin työn logaritmi, ja ero on yksityisen logaritmi. merkintä: keskeinen hetki Tässä - samat syyt. Jos säätiöt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritminen ilmaisu Vaikka yksittäisiä osia ei oteta huomioon (ks. Oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katsokaa esimerkkejä - ja varmista:

LOG 6 4 + LOG 6 9.

Koska logaritmit ovat samat, käytämme summan summaa:
lOG 6 4 + LOG 6 9 \u003d LOG 6 (4 · 9) \u003d LOG 6 36 \u003d 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG 2 48 - LOG 2 3.

Säätiöt ovat samat, käyttäen eroaa:
lOG 2 48 - LOG 2 3 \u003d LOG 2 (48: 3) \u003d LOG 2 16 \u003d 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG 3 135 - LOG 3 5.

Jälleen säätiöt ovat samat, joten meillä on:
lOG 3 135 - LOG 3 5 \u003d LOG 3 (135: 5) \u003d LOG 3 27 \u003d 3.

Kuten näette, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei ole erikseen katsottu erikseen. Mutta muutoksen jälkeen saadaan melko normaalit numerot. Monet rakentuvat tähän asiaan. testipaperit. Mutta mikä on valvonta - tällaiset lausekkeet ovat täynnä (joskus melkein muuttumattomia) tarjotaan tentti.

Executive Degree From Logaritm

Nyt hieman vaikeuttaa tehtävää. Entä jos perusta tai argumentti logaritmin kustannukset ovat tutkinnon? Sitten tämän ulottuvan indikaattori voidaan ottaa pois logaritm-merkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö noudattaa niiden ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se, joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos OTZ Logaritmin noudattaminen: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Ja myös: Opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, vaan päinvastoin, toisin sanoen eli. Voit tehdä numerot logaritmiin, itse logaritmiin. Sitä tarvitaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG 7 49 6.

Päästä eroon ensimmäisessä kaavassa olevassa väitteessä:
lOG 7 49 6 \u003d 6 · LOG 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:
[Allekirjoitus kuva]

Huomaa, että nimittäjällä on logaritmi, pohja ja väite, jonka argumentti ovat tarkkoja asteita: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Meillä on:

[Allekirjoitus kuva]

Mielestäni uusin esimerkki edellyttää selitystä. Mistä logaritmit katosivat? Viimeiseen hetkeen saakka työskentelemme vain nimittäjän kanssa. He esittivät logaritmin perustan ja argumentin siellä asteina ja teki indikaattoreita - sai "kolmen tarinan" fraktion.

Katsotaan nyt perusfraktiota. Numeraattorin numero ja nimittäjä on sama numero: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme vähentää fraktiota - 2/4 pysyy nimittäjänä. Aritmeticin sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää numerolle, joka tehtiin. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uuteen tukikohtaan

Puhuessaan logaritmien lisäämistä ja vähentämistä koskevista säännöistä korostin nimenomaan, että ne toimivat vain samoilla pohjalla. Ja mitä jos säätiöt ovat erilaisia? Entä jos ne eivät ole tarkkoja määriä?

Kaavat siirtymään uuteen tukikohtaan Rescue. Muodamme ne teoreen muodossa:

Anna logaritmin lokin a. x.. Sitten mihin tahansa numeroon c. sellainen c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, todellinen tasa-arvo:
[Allekirjoitus kuva]
Erityisesti, jos laitat c. = x.Me tulemme saamaan:
[Allekirjoitus kuva]

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin pohja ja argumentti voidaan muuttaa paikoissa, mutta samanaikaisesti ilmaisu "kääntyy", toisin sanoen ts. Logaritmi osoittautuu nimittäjänä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisilta numeeriset ilmaisut. Arvioidaan, kuinka kätevät ne ovat, se on mahdollista vain ratkiseksi logaritminen yhtälöt ja eriarvoisuus.

On kuitenkin olemassa tehtäviä, joita ei yleensä ratkaista missä tahansa siirtymisessä uuteen pohjaan. Harkitse pari tällaista:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG 5 16 · LOG 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkkoja tutkintoja. Aion tiivistää: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4Log 5 2; LOG 2 25 \u003d LOG 2 5 2 \u003d 2Log 2 5;

Ja nyt "kääntää" toinen logaritmi:

[Allekirjoitus kuva]

Koska työ ei muutu kertoimien uudelleenjärjestelystä, olemme rauhallisesti muuttaneet neljä ja kaksi ja sitten lajitellaan logaritmeilla.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: LOG 9 100 · LG 3.

Ensimmäisen logaritmin perusta ja argumentti - tarkat tutkinnot. Kirjoitamme sen ja päästä eroon indikaattoreista:

[Allekirjoitus kuva]

Nyt päästä eroon desimaalisen logaritmista kääntämällä uuteen tukikohtaan:

[Allekirjoitus kuva]

Basic logaritminen identiteetti

Usein ratkaisu vaaditaan lähettämään numero logaritmille tietylle alustalle. Tällöin kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa n. Se tulee indikaattori laajuudesta väitteessä. Määrä n. Se voi olla ehdottoman ketään, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafassed määritelmä. Sitä kutsutaan: tärkein logaritminen identiteetti.

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos numero b. rakentaa tällaisessa määrin, että numero b. Tässä määrin antaa numeron a.? Oikein: Tämä on eniten a.. Lue tämä kohta huolellisesti - monet "ripustukset".

Kuten siirtymäkaavot uudelle pohjalle, tärkein logaritminen identiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:
[Allekirjoitus kuva]

Huomaa, että loki 25 64 \u003d log 5 8 - juuri valmistettu neliön pohjasta ja logaritmin argumentista. Kun otetaan huomioon säännöt asteiden lisääntymisestä samalla pohjalla, saamme:

[Allekirjoitus kuva]

Jos joku ei ole tietoinen, se oli todellinen tehtävä EGE :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettia, että kiinteistöjä on vaikea nimetä - pikemminkin tämä on seurausta logaritmin määritelmästä. Ne löytyvät jatkuvasti tehtävistä ja jotka ovat yllättäviä, luo ongelmia jopa "kehittyneille" opiskelijoille.

hirsi. a. a. \u003d 1 on logaritminen yksikkö. Tallenna kerran ja ikuisesti: logaritmi joka perusta a. Pohjasta on yhtä suuri kuin yksi.
hirsi. a. 1 \u003d 0 on logaritminen nolla. Pohja a. Ehkä jotenkin, mutta jos argumentti on yksikkö - logaritmi on nolla! Koska a. 0 \u003d 1 on suora seuraus määritelmästä.

Se on kaikki ominaisuudet. Varmista, että käytät niitä käytännössä! Lataa pinnasänky oppitunnin alussa, tulosta se - ja ratkaise tehtävät.

Aloitetaan S. ominaisuudet Logaritmiyksiköt. Sen formulaatio on seuraava: Logaritmiyksikkö on nolla, eli kirjaudu A 1 \u003d 0 A\u003e 0, A ≠ 1. Todistus ei aiheuta vaikeuksia: Koska A 0 \u003d 1 mille tahansa A: lle, joka täyttää edellä mainitut olosuhteet A\u003e 0 ja A 1: n, niin voimakkaat tasa-arvoloki A 1 \u003d 0 välittömästi seuraa logaritmin määritelmää.

Annamme esimerkkejä harkittavien ominaisuuksien soveltamisesta: log 3 1 \u003d 0, LG1 \u003d 0 ja.

Siirry K. seuraava ominaisuus: alusta vastaavan numeron logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, toisin sanoen, kirjaudu A \u003d 1 A\u003e 0, A ≠ 1. Itse asiassa 1 \u003d A minkä tahansa A: n osalta, sitten Logaritmin log a a \u003d 1.

Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat ekvivalentteja Log 5 5 \u003d 1, loki 5.6 5.6 ja LNE \u003d 1.

Esimerkiksi log 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 ja .

Kahden positiivisen numeron logaritmityöt X ja Y on yhtä suuri kuin näiden numeroiden logaritmien tuote: kirjaudu A (x · y) \u003d log a x + log a y, A\u003e 0, A ≠ 1. Todistamme työn logaritmin omaisuutta. Tutkinnon perusteella log A x + log a y \u003d A X · Kirjaudu A y, ja koska tärkein logaritminen identiteetti on log a x \u003d x ja log a y \u003d y, sitten log a x · log a y \u003d x · y. Siten loki A X + Log a y \u003d x · y, josta logaritmin määritelmä merkitsee todistettua tasa-arvoa.

Osoitamme esimerkkejä Logaritmin ominaisuuksien käyttämisestä: log 5 (2 · 3) \u003d log 5 2 + log 5 3 ja .

Työn logaritmin ominaisuus voidaan yleistää äärelliselle numerolle n positiivisista numeroista x 1, x 2, ..., x n kirjaudu A (x 1 · x 2 · ... · x n) \u003d kirjaudu A X 1 + LOG A x 2 + + Kirjaudu A X N . Tämä tasa-arvo osoittautuu ilman ongelmia.

Esimerkiksi luonnolliset logaritmityöt voidaan korvata kolmen vuoden summalla luonnollinen logarithov Numbers 4, E, ja.

Yksityisten kahden positiivisen numeron logaritmi X ja Y on yhtä suuri kuin näiden numeroiden logaritmien ero. Yksityisen logaritmin ominaisuudet vastaavat lomakkeen kaavaa, jossa A\u003e 0, A ≠ 1, X ja Y ovat joitakin positiivisia numeroita. Tämän kaavan pätevyys osoittautuu logaritm-kaavaksi: sen jälkeen , Logaritmin määritelmällä.

Annamme esimerkin tämän LOGARITHM-ominaisuuden käytöstä: .

Siirry K. logaritmin asteen omaisuus. Logaritmin tutkinto on yhtä suuri kuin tämän asteen moduulin logaritmin tuotevalikoima. Kirjoitamme tämän logaritmin ominaisuutta kaavassa: kirjaudu A B P \u003d P · Kirjaudu A | B |jossa\u003e 0, a ≠ 1, b ja p Tällainen numero, jonka aste b p on järkevä ja b p\u003e 0.

Ensinnäkin osoitamme tämän omaisuuden positiiviseksi b. Tärkein logaritminen identiteetti antaa meille mahdollisuuden esittää numeron B log a b, sitten b p \u003d (log a b) p ja tuloksena oleva lauseke asteen ominaisuuden perusteella on p · log a b. Joten tulemme tasa-arvoon b p \u003d a p · log a b, josta logaritmin määrittelemällä päätämme, että log a b p \u003d p · log a b.

Se on edelleen todistettava tämä ominaisuus negatiiviseksi b. Tässä huomaat, että log Abp: n ilmaisulla negatiivisella B: llä on järkevää vain tasossa P (koska tutkinnon B arvo olisi suurempi kuin nolla, muuten logaritmi ei ole järkevää) ja tässä tapauksessa BP \u003d | B | s. Sitten b p \u003d | b | P \u003d (log a | b |) p \u003d a p · log a | b |Jossa log a b p \u003d p · log a | b | .

Esimerkiksi, ja LN (-3) 4 \u003d 4 · LN | -3 | \u003d 4 · LN3.

Edellisestä kiinteistövirrasta root logaritm omaisuus: N-asteen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin fraktion 1 / N tuotetta syöttöilmaisimen logaritmille, eli jossa a\u003e 0, a ≠ 1, n - luonnollinen lukuLisää yksiköitä, b\u003e 0.

Todistus perustuu tasa-arvoon (ks.), Joka on voimassa kaikille positiivisille B ja Logaritmin ominaisuus: .

Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: .

Nyt todistaa kaava siirtyä uuteen logaritmin pohjaan Näkymä . Tehdä tämä, riittää todistamaan tasa-arvoloki C b \u003d log a b · log c a. Tärkein logaritminen identiteetti antaa meille numeron B edustaa log A B ja sitten log c b \u003d log c a b. Se on edelleen hyödynnettävä logaritmin omaisuutta: log c A log a b \u003d log a b · loki c a. Joten osoittautui myös log c b \u003d log a b · log c a, ja siksi kaavaa logaritmin uuteen pohjaan siirtymistä varten.

Katsotaanpa pari esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden soveltamisesta: ja .

Siirtymäkavalla uudelle pohjalle voit siirtyä toimimaan logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" pohja. Esimerkiksi käyttämällä sitä voit siirtyä luonnollisiin tai desimaaliin logaritmiin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukkoa pitkin. Logaritmin uudelle pohjalle siirtymäkaava mahdollistaa myös joissakin tapauksissa tämän logaritmin arvon, kun joidenkin logaritmien arvot ovat tunnettuja.

Käytetään usein yksityiskohtainen tapaus Kaavat siirtymään uuteen logaritmin uuteen pohjaan c \u003d b lajin . Voidaan nähdä, että log a b ja log b A. Esimerkiksi, .

Käytetään usein usein kaavaa Mikä on kätevä logaritmien löytämisessä. Vahvista sanat, näytämme, miten se lasketaan näkymän logaritmin arvolla. Omistaa . Todista kaavan Riippuu hyödyntää siirtymistä uuteen logaritmin A: lle: .

Logaritmien vertailun ominaisuudet ovat edelleen osoittaneet.

Todistamme, että kaikki positiiviset numerot B 1 ja B 2, B 1 kirjaudu A B 2, ja a\u003e 1 - epätasa-arvo log a b 1

Lopuksi on edelleen todistettava viimeisen Logaritmien listattuja ominaisuuksia. Rajoitamme itseämme ensimmäisestä osasta, eli todistamme, että jos A 1\u003e 1, A 2\u003e 1 ja 1 1 Fair Log A 1 B\u003e Log A 2 b. Logaritmien ominaisuuden jäljellä olevat lausunnot osoittautuvat samankaltaisella periaatteella.

Käytämme menetelmää päinvastoin. Oletetaan, että 1\u003e 1, A 2\u003e 1 ja 1 1 Fair Log A 1 B \u003cLog A 2 B. Logaritmien ominaisuuksien mukaan nämä epätasa-arvot voivat kirjoittaa uudelleen ja Näin ollen se seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥Log B a 2 vastaavasti. Sitten samoilla emäksillä olevien asteiden ominaisuuksien mukaan tasa-arvo B log b a 1 ≥B log b a 2 ja b log b a 1 ≥B log b a 2, eli 1 ≥ 2. Joten tulimme ristiriitaisuuteen

Bibliografia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., DudNitsyn Yu.p. et ai. Algebra ja aloitusanalyysi: oppikirja 10 - 11 yleisten oppilaitosten luokkaan.

Gusev V.A., Mordovich A.G. Matematiikka (hakijoiden korvaus teknisiin kouluihin).

Logaritmin numero N. Perustuen mutta kutsutaan indikaattoriksi h. jossa sinun täytyy rakentaa mutta saada numero N.
Edellyttäen että
,
,
Logaritmin määritelmästä se seuraa sitä
.
- Tämä tasa-arvo on tärkein logaritminen identiteetti.
10: een perustuvat logaritmit kutsutaan desimaalisen logaritmiksi. Sen sijaan
kirjoittaa
.
Logaritmia perustuu e. nimeltään luonnollinen ja nimetty
.
Logaritmien pääominaisuudet.
Logaritmiyksiköt mihin tahansa pohjaan on nolla

Työn logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa.

3) yksityisen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien ero

Tekijä
nimeltään siirtymämoduuli logaritmilta pohjalla a. logaritmit pohjalla b. .
Ominaisuuksien käyttäminen 2-5, on usein mahdollista vähentää monimutkaisen ilmaisun logaritmia yksinkertaisen aritmeettisen vaikutuksen tulokseen logaritmit.
Esimerkiksi,
Tällaisia \u200b\u200blogaritmin muutoksia kutsutaan logarithmingiksi. Muuntaa käänteinen logarithming kutsutaan voimattomiksi.
Luku 2. Korkeamman matematiikan elementit.
1. Rajat
Rajatoiminto
on äärellinen numero A, jos halutaan xx 0 jokaiselle määritelty
Tällainen numero on
että heti
T.
.
Toiminto, jolla on raja, eroaa siitä äärettömän alhaiseksi arvoksi:
missä --- b.m.v., ts.
.
Esimerkki. Harkitse toimintoa
.
Halu
toiminto y. Hän pyrkii nollaan:
1.1. Tärkeimmät teoreet ovat raja-arvoja.
Jatkuva arvoraja on yhtä suuri kuin tämä vakioarvo.

.
Toimintojen lopullisen määrän (ero) raja on yhtä suuri kuin näiden toimintojen rajojen summa.

Finite-toimintojen raja-arvo on yhtä suuri kuin näiden toimintojen tuote.

Yksityisten kahden toimintojen raja on yhtä suuri kuin näiden toimintojen yksityiset rajat, jos nimittäjä ei ole nolla.

Upeat rajat
,
missä
1.2. Esimerkkejä laskentarajoista
Kaikki rajoitukset eivät kuitenkaan ole niin yksinkertaisia. Useimmiten raja-arvon laskeminen vähennetään tyypin epävarmuuden paljastamiseen: Tai.
.
2. Johdannainen tehtävä
Anna meidän tehtävä
Jatkuva segmentillä
.
Perustelu sai jonkin verran lisäystä
. Sitten toiminto vastaanottaa lisäys
.
Argumentin merkitys vastaa toiminnon arvoa
.
Argumentin merkitys
vastaa toiminnon arvoa.
Siksi ,.
Löydämme tämän suhteen rajan, kun
. Jos tämä raja on olemassa, sitä kutsutaan tämän toiminnon johdannaiseksi.
Määritelmä 3-tuotannon tämä ominaisuus
väitteellä sitä kutsutaan funktion funktioisuuden suhde argumentin lisäykselle, kun argumentin lisäys mielivaltaisesti yleensä nolla.
Johdettu toiminto
se voidaan ilmoittaa seuraavasti:
; ; ; .
Määrittäminen 4 Toiminta, jonka mukaan funktion johdannaisen löytäminen erilaistuminen.
2.1. Mekaaninen mielessä johdannainen.
Harkitse jonkin kiinteän tai materiaalikohdan suoraviivaista liikkumista.
Anna jonkin aikaa liikkuva kohta
oli kaukana alkuvaiheesta
.
Jonkin ajan kuluttua
hän muutti etäisyyteen
. Asenne =- materiaalipisteen keskimääräinen materiaali
. Löydämme tämän suhteen rajan, koska
.
Näin ollen materiaalikohdan hetkellisen nopeuden määritelmä vähenee johdannaisen löytämiseksi ajasta.
2.2. Johdannaisen geometrinen arvo
Olkaamme graafisesti annettava joitakin toimintoja
.
Kuva. 1. Geometrinen merkitys Johdannainen
Jos
, sitten kohta
liikkuu käyrän ympäri, lähestyy pistettä
.
Siten
. Johdannaisen arvo tämän argumentin arvosta se on numeerisesti yhtä suuri kuin koulutettu tangentti tangentti tässä vaiheessa positiivisella akselin suuntaan.
.
2.3. Erilaiseryhmien taulukko.
Virtatoiminto

Eksponentti funktio

Logaritminen toiminto

Trigonometrinen toiminto

Käänteinen Trigonometrinen toiminto

2.4. Erilaistumissäännöt.
Johdettu jostakin

Toimintojen johdettu määrä (ero)

Kahden toiminnon johdannaistyö

Yksityisten kahden toimintojen johdannainen

2.5. Monimutkaisesta toiminnasta.
Anna toiminnon annettava
siten, että se voi olla edustettuna
ja
missä muuttuja on välillinen argumentti
Monimutkaisen toiminnon johdannainen on yhtä suuri kuin tämän toiminnon johdannaisen tuote välitedisen väitteen johdannaisella X.
Esimerkki1.
Esimerkki 2.
3. Differentiaalitoiminto.
Anna sen olla
eri segmentissä
anna olla w. tämä toiminto on johdettu
,
sitten voit tallentaa
(1),
missä - äärettömän pieni arvo,
mistä lähtien
Kertomalla kaikki tasa-arvon jäsenet (1)
meillä on:
Missä
- B.M.V. Top tilaus.
Arvo
nimeltään differentiaalitoiminto
ja merkitsee
.
3.1. Erotuksen geometrinen arvo.
Anna toiminnon annettava
.
Kuva 2. Differentiaalisen geometrisen merkityksen.
.
Ilmeisesti differentiaalitoiminto
se on yhtä suuri kuin koordinaatti tangentti tässä vaiheessa.
3.2. Johdannaiset ja erilaiset tilaukset.
Jos siellä
, sitten
nimeltään ensimmäinen johdannaisin.
Ensimmäisen johdannaisen johdannaista kutsutaan toiseksi tilausjohdannaiseksi ja kirjataan
.
N-Tilausjohdannainen toiminnasta
johdannainen (N-1) kutsutaan tilaukseksi ja tietueeksi:
.
Differentiaalitoiminnon differentiaalia kutsutaan toiseksi differentiaaliseksi tai toisena järjestyseroksi.
.

.
3.3 Biologisten ongelmien ratkaiseminen erilaistumisen avulla.
Tehtävä 1. Tutkimukset ovat osoittaneet, että mikro-organismien siirtokunnan kasvu on laki
missä N. - mikro-organismien määrä (tuhansina), t. - suuret (päivät).
b) Onko tämä ajanjakson aikana kasvaa tai vähentynyt?
Vastaus. Kylvityksen määrä kasvaa.
Tehtävä 2. Vesi järvellä testataan säännöllisesti patogeenisten bakteerien sisällön hallitsemiseksi. Kautta t. päivää testauksen jälkeen bakteerien pitoisuus määräytyy suhteella
.
Milloin järvi tulee järvelle vähimmäispitoisuus bakteereja ja voin uida siinä?
Määritelmä saavuttaa max tai min, kun sen johdannainen on nolla.
,
Määritämme max tai min tulee 6 päivän kuluttua. Tehdä tämä, ota toinen johdannainen.

Vastaus: 6 päivän kuluttua bakteerien pitoisuus on vähimmäispitoisuus.

Tarkista, onko logaritm-merkin alla olevia negatiivisia numeroita tai yksikköä. Tätä menetelmää sovelletaan lomakkeen ilmaisuihin. Log B \u2061 (x) LOG B \u2061 (A) (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC (\\ LOG _ (B) (X)) (\\ LOG _ (b) (a))))). Se ei kuitenkaan ole sopivia eräisiin erityisiin tilaisuuksiin:
Negatiivisen numeron logaritmia ei määritellä mihinkään pohjaan (esimerkiksi, LOG \u2061 (- 3) (\\ DisplayStyle \\ Log (-3)) tai LOG 4 \u2061 (- 5) (DISPLAYSTYLE \\ LOG _ (4) (- 5))). Tässä tapauksessa kirjoita "Ei ratkaisua".

Logaritm nolla mistä tahansa syystä ei myöskään ole määritelty. Jos olet kiinni Ln \u2061 (0) (\\ DisplayStyle \\ ln (0)), Kirjoita "Ei ratkaisua".

Logaritmiyksiköt mistä tahansa syystä ( LOG \u2061 (1) (DISPLAYSTYLE \\ lokki (1))) aina yhtä suuri kuin nolla, koska X 0 \u003d 1 (näytelmäStyle X ^ (0) \u003d 1) Kaikki arvot x.. Kirjoita tällaisen logaritmin 1 sijaan ja älä käytä alla olevaa menetelmää.

Jos logaritmilla on esimerkiksi eri emäkset, esimerkiksi L O G 3 (X) L O G 4 (A) (\\ DISPLAYSTYLE (\\ frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a))))), Äläkä vähennä kokonaislukuja, lausekkeita ei löydy manuaalisesti.

Muunna lauseke yhdelle logaritmille. Jos ilmaisua ei sovelleta edellä mainittuihin tapauksiin, se voidaan edustaa yhtenä logaritmina. Käytä tätä seuraavaa kaavaa: log b \u2061 (x) log b \u2061 (a) \u003d log a \u2061 (x) (\\ displacStyle (\\ frac (\\ Log _ (b) (x)) (\\ Log _ (b) (a))) \u003d \\ LOG _ (A) (X)).
Esimerkki 1: Harkitse lauseketta Log \u2061 16 LOG \u2061 2 (DISPLAYSTYLE (\\ FRAC (\\ FRAC (\\ LOG (16)) (\\ LOG (2))).
Aluksi toimimme ilmaisun yhden logaritmin muodossa edellä olevan kaavan avulla: Log \u2061 16 LOG \u2061 2 \u003d LOG 2 \u2061 (16) (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC (\\ LOG (16)) (\\ LOG (2))) \u003d \\ LOG _ (2) (16)).

Tämä kaava "peruskorvaus" logaritmi on peräisin logaritmien pääominaisuuksista.

Jos mahdollista, laske lausekkeen arvo manuaalisesti. Löytää Kirjaudu A \u2061 (X) (\\ DisplayStyle \\ Log _ (A) (X)), Kuvittele ilmaisu " A? \u003d x (näytelmäStyle A ^ (?) \u003d x)"Toisin sanoen kysy seuraavista kysymyksistä:" Milla missä määrin tarvitset rakentaa a., Saada haltuunsa x.". Jos haluat vastata tähän kysymykseen, saatat tarvita laskimen, mutta jos olet onnekas, löydät sen manuaalisesti.
Esimerkki 1 (jatkuu): Kirjoita uudelleen 2? \u003d 16 (\\ DisplayStyle 2 ^ (?) \u003d 16). On tarpeen löytää, mikä numero pitäisi olla merkki "?". Tämä voidaan tehdä näytteillä ja virheillä:
2 2 \u003d 2 * 2 \u003d 4 (näytelmäStyle 2 ^ (2) \u003d 2 * 2 \u003d 4)
2 3 \u003d 4 * 2 \u003d 8 (näytelmäStyle 2 ^ (3) \u003d 4 * 2 \u003d 8)
2 4 \u003d 8 * 2 \u003d 16 (displayStyle 2 ^ (4) \u003d 8 * 2 \u003d 16)
Joten haluttu numero on 4: LOG 2 \u2061 (16) (\\ DISPLAYSTYLE \\ LOG _ (2) (16)) = 4 .

Jätä vastaus logaritmiseen muotoon, jos et voi yksinkertaistaa sitä. Monet logaritmit ovat hyvin vaikeita laskea manuaalisesti. Tällöin saat tarkan vastauksen, tarvitset laskin. Kuitenkin, jos päätät tehtävän oppitunnin, opettaja todennäköisesti tyydyttää vastauksen logaritmisessa muodossa. Seuraavassa käsiteltävänä oleva menetelmä käytetään monimutkaisemman esimerkin ratkaisemiseen:
esimerkki 2: Mikä on yhtä suuri Log 3 \u2061 (58) LOG 3 \u2061 (7) (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC (\\ LOG _ (3) (58)) (\\ LOG _ (3) (7))))?

Muutamme tämän lausekkeen yhdeksi logaritmi: LOG 3 \u2061 (58) LOG 3 \u2061 (7) \u003d LOG 7 \u2061 (58) (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC (\\ LOG _ (3) (58)) (\\ LOG _ (3) (7)) \u003d \\ LOG _ (7) (58)). Huomaa, että molempien logaritmien 3 pohja katoaa; Tämä pätee mihin tahansa syystä.

Kirjoita lauseke lomakkeeseen 7? \u003d 58 (\\ DisplayStyle 7 ^ (?) \u003d 58) Ja yritä löytää arvo?:
7 2 \u003d 7 * 7 \u003d 49 (näytelmäStyle 7 ^ (2) \u003d 7 * 7 \u003d 49)
7 3 \u003d 49 * 7 \u003d 343 (näytelmäStyle 7 ^ (3) \u003d 49 * 7 \u003d 343)
Koska 58 on näiden kahden numeron välillä, ei ilmaistu kokonaisluvussa.

Jätä vastaus logaritmisuodossa: LOG 7 \u2061 (58) (\\ DISPLAYSTYLE \\ LOG _ (7) (58)).

Positiivisen numeron B logaritmi B pohjalle A (A\u003e 0, A ei ole yhtä suuri kuin 1), ne kutsuvat tällainen numero kyseisen AC \u003d B: log AB \u003d C ⇔ AC \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1 , B\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Huomaa: logaritmi riittämättömästä numerosta ei ole määritelty. Lisäksi logaritmin pohjalla pitäisi olla positiivinen lukumäärä, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos meidät pystytetään neliöön, saamme numeron 4, mutta tämä ei tarkoita sitä, että pohjan logaritmi on - 2 alkaen 4 on 2.
Basic logaritminen identiteetti
Log A b \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) (2)
On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman osan määrittäminen ovat erilaiset. Vasen osa määritellään vain B\u003e 0, A\u003e 0 ja A ≠ 1. Oikea puoli määritellään millä tahansa B: ssä, ja se ei riipu lainkaan. Näin ollen tärkeimmän logaritmisen "identiteetin" käyttäminen yhtälöissä ja eriarvoisuuksissa voi johtaa OTZ: n muutokseen.
Kaksi ilmeistä seurausta logaritmin määritelmästä
Kirjaudu A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1) (3)
LOG A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1) (4)
Itse asiassa, kun numero A on pystytetty ensimmäisellä tasolla, saamme saman numeron ja kun se pystytään nollaasteeksi.
Logaritm Works ja Logaritm Yksityinen
Kirjaudu A (B C) \u003d LOG A B + LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0) (5)
LOG A B C \u003d LOG A B - LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, C\u003e 0) (6)
Haluaisin varoittaa koululaisia \u200b\u200bnäiden kaavojen ajattelemattomasta soveltamisesta logaritmisen yhtälöiden ja eriarvoisuuden ratkaisemisessa. Käytettäessä niitä "vasemmalta oikealle" OTZ: n kaventaminen ja siirtyminen logaritmien määrästä tai erosta työn tai yksityisen logaritmiin - OTZ: n laajentaminen.

Itse asiassa ilmaisu log a (f (x) g (x) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat toiminnot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f (x) ja g (x) ovat pienempiä kuin nolla.

Tämän lausekkeen muuntaminen log a f (x) + log a g (x), meidän on pakko rajoittaa vain kun f (x)\u003e 0 ja g (x)\u003e 0. On kapea alue sallittuja arvoja, ja tämä on kategorisesti mahdotonta hyväksyä, koska se voi johtaa päätöksen menettämiseen. Kaava (6) on samanlainen ongelma.
Tutkinto voidaan tehdä logaritmimerkkiin
Kirjaudu A B P \u003d P Kirjaudu A B (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0) (7)
Ja vielä kerran haluaisin pyytää tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:
Kirjaudu A (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)
Vasen osa tasa-arvoa määritetään ilmeisesti, kun kaikki f (x) arvot, lukuun ottamatta nollaa. Oikea osa - vain f (x)\u003e 0! Kun olet tehnyt tutkinnon logaritmista, suvain OTZ. Käänteinen menettely johtaa sallittujen arvojen laajentamiseen. Kaikki nämä kommentit viittaavat paitsi tutkintoon 2, vaan myös mihin tahansa tutkintoon.
Siirtymän kaava uudelle pohjalle
LOG A B \u003d LOG C B LOG C a (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, C\u003e 0, C ≠ 1) (8)
Harvinainen tapaus, kun OTZ ei muutu muunnettaessa. Jos olet viisaasti valinnut pohjan (positiivinen ja enintään 1), siirtymäkaava uusi pohja on ehdottoman turvallinen.

Jos uusi pohja valitse numero B, saamme tärkeän erityisen kaavan (8) tapaus:
LOG A B \u003d 1 LOG B a (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1) (9)
Jotkut yksinkertaiset esimerkit logaritmit

Esimerkki 1. Laske: LG2 + LG50.
Päätös. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Käytimme logaritmien (5) kaavan summaa ja desimaalisen logaritmin määrittämistä.

Esimerkki 2. Laske: LG125 / LG5.
Päätös. LG125 / LG5 \u003d LOG 5 125 \u003d 3. Käytimme siirtymistä uuteen pohjaan (8).
Logaritmiin liittyvät taulukkokaavat
Log a b \u003d b (A\u003e 0, A ≠ 1)
Kirjaudu A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1)
LOG A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1)
LOG A (B C) \u003d LOG A B + LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, C\u003e 0)
Kirjaudu A B C \u003d LOG A B - LOG A C (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, C\u003e 0)
Kirjaudu A B P \u003d P Kirjaudu A B (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0)
LOG A B \u003d LOG C B LOG C a (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, C\u003e 0, C ≠ 1)
LOG A B \u003d 1 LOG B a (A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, B ≠ 1)