Tässä artikkelissa käsitellään matemaattisten ilmaisujen arvojen löytämistä. Aloitetaan yksinkertaisilla numeerisilla ilmaisuksilla ja harkitsemme tapauksia, kun ne lisäävät monimutkaisuuttaan. Lopussa annamme lausekkeen, joka sisältää kirjeiden merkintä, kiinnikkeet, juuret, erityiset matemaattiset merkit, asteet, toiminnot jne. Kaikki teoria, perinteen mukaan, toimittaa runsaat ja yksityiskohtaiset esimerkit.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Kuinka löytää numeerisen ilmaisun arvo?

Numeeriset ilmaisut auttavat muun muassa kuvaamaan ongelman kunnon matemaattisen kielen kanssa. Ollenkaan matemaattiset ilmaisut Se voi olla sekä hyvin yksinkertainen, joka koostuu pari numeroita ja aritmeettisia merkkejä ja erittäin monimutkaisia, jotka sisältävät toimintoja, asteita, juuria, kiinnikkeitä jne. Osana tehtävää on usein tarpeen löytää tietyn ilmaisun arvo. Siitä, miten se tehdään, ja sitä käsitellään alla.

Yksinkertaisimmat tapaukset

Nämä tapaukset, kun ilmaisu ei sisällä mitään, lukuun ottamatta numeroita ja aritmeettista toimintaa. Jos haluat löytää tällaisten lausekkeiden arvot, tarvitset tietoa aritmeettisen toiminnan suorittamisesta ilman kannattimia, sekä kykyä suorittaa toimia eri numeroilla.

Jos on vain numeroita ja aritmeettisia merkkejä "+", "·", "-", "÷", "," - "," ÷ ", sitten toimet suoritetaan vasemmalta oikealle seuraavassa järjestyksessä: Ensinnäkin, kertolasku ja jakautuminen, sitten lisäys ja vähennys. Annamme esimerkkejä.

Esimerkki 1. Numeerinen ekspressioarvo

Olkoon tarpeen löytää ilmaisun 14 - 2 × 15 ÷ 6 - 3 arvot.

Suorita ensimmäinen kertolasku ja jako. Saamme:

14 - 2 · 15 × 6 - 3 \u003d 14 - 30 × 6 - 3 \u003d 14 - 5 - 3.

Nyt toteumme vähennys ja saat lopullisen tuloksen:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esimerkki 2. Numeerinen ekspressioarvo

Laske: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Ensinnäkin toteutamme fraktioiden, divisioonan ja moninkertaistumisen muuntamisen:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 9.

Nyt käsittelemme riippuvuutta ja vähennystä. Murto-osa ja antaa heille yhteinen nimittäjä:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Haluttu arvo löytyy.

Ilmaisuja suluissa

Jos ilmaisu sisältää kiinnikkeitä, ne määrittävät tämän lausekkeen menettelyn. Ensinnäkin toimet suoritetaan suluissa ja sitten kaikki muut. Näytä se esimerkissä.

Esimerkki 3. Numeerinen ekspressioarvo

Etsi ilmaisun arvo 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).

Ilmaisussa on kiinnikkeitä, joten ensin suorita alitavointi suluissa ja vasta myöhemmin - kertolasku.

0, 5 · (0, 76 - 0, 06) \u003d 0, 5 · 0, 7 \u003d 0, 35.

Suluissa olevien lausekkeiden arvo suluissa sijaitsee samassa periaatteessa.

Esimerkki 4. Numeerinen ekspressioarvo

Lasketaan arvo 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4.

Suorita toimet alkavat kaikkein sisäisimmistä kannattimista, jotka siirtyvät ulkoiseen.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 \u003d 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 \u003d 1 + 2 · 1 + 2 · 2, 5 \u003d 1 + 2 · 6 \u003d 13.

Suluissa olevien ilmaisujen löytämisarvoissa tärkein asia on seurata toimien järjestystä.

Ilmaisut juurilla

Matemaattiset ilmaisut, joiden arvot meidän on löydettävä voi sisältää juurimerkkejä. Lisäksi ilmaisu itse voi olla juuren merkki. Kuinka olla tässä tapauksessa? Ensin sinun on löydettävä ekspression arvo juuren alla ja poista sitten juuret tuloksena saadun numeroon. Jos mahdollista juurista numeerisissa ilmaisuista, on parempi päästä eroon, korvaamalla numeeriset arvot.

Esimerkki 5. Numeerinen ekspressioarvo

Laske lausekkeen arvo juurilla - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Laske ensin syöttöilmaisut.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 \u003d - 6 - 1 + 15 3 \u003d 8 3 \u003d 2

2, 2 + 0, 1 · 0, 5 \u003d 2, 2 + 0, 05 \u003d 2, 25 \u003d 1, 5.

Nyt voit laskea koko lausekkeen arvon.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 \u003d 2 + 3 · 1, 5 \u003d 6, 5

Usein löytää ekspression arvo juurilla, joutuvat usein ensin suorittamaan alkuperäisen lausekkeen muutos. Selitä se toiseen esimerkkiin.

Esimerkki 6. Numeerinen ekspressioarvo

Kuinka monta on 3 + 1 3 - 1 - 1

Kuten näette, meillä ei ole mahdollisuutta korvata juurta tarkalla arvolla, joka vaikeuttaa tilin prosessia. Tällöin voit kuitenkin käyttää kaavaa lyhennetyn kertolaskuun.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tällä tavalla:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ilmaisuja asteittain

Jos ilmaisulla on tutkintoja, niiden arvot on laskettava ennen kaikkien muiden toimien aloittamista. Se tapahtuu, että itse indikaattori tai tutkinto on ilmeitä. Tällöin laske ensin näiden lausekkeiden arvo ja sitten tutkinnon arvo.

Esimerkki 7. Numeerisen ilmaisun arvo

Etsi lausekkeen arvo 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Alamme laskea järjestyksessä.

2 3 · 4 - 10 \u003d 2 12 - 10 \u003d 2 2 \u003d 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 \u003d 16 * 0, 5 3 \u003d 16 · 1 8 \u003d 2.

Se on edelleen vain toiminnan lisäys ja selvittää lausekkeen arvo:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 \u003d 4 + 2 \u003d 6.

On usein suositeltavaa yksinkertaistaa lauseketta tutkintoominaisuuksien avulla.

Esimerkki 8. Numeerinen ekspressioarvo

Laske arvo seuraava lauseke: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Asteen indikaattorit ovat jälleen siten, että niiden tarkat numeeriset arvot eivät pysty vastaanottamaan. Yksinkertaista alkuperäistä ilmaisua sen arvon löytämiseksi.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 \u003d 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 \u003d 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 \u003d 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 \u003d 2 - 2 + 3 \u003d 1 4 + 3 \u003d 3 1 4

Lavat ja fraktiot

Jos ilmaisu sisältää fraktiota, laskettaessa tällaista ilmentymää, kaikki fraktiot on edustettava tavallisten fraktioiden muodossa ja lasketaan niiden arvot.

Jos numerot ja nimittäjät ovat läsnä, näiden lausekkeiden arvot lasketaan ja itse fraktion lopullinen arvo on kirjoitettu. Aritmeettiset toimet suoritetaan vakiojärjestyksessä. Harkitse esimerkin ratkaisua.

Esimerkki 9. Numeerinen ekspressioarvo

Etsi fraktiota sisältävän lausekkeen arvo: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kuten näet, alkuperäisessä ilmaisussa on kolme fraktiota. Lasketaan ensin arvot ensin.

3, 2 2 \u003d 3, 2 ÷ 2 \u003d 1, 6

7 - 2 · 3 6 \u003d 7 - 6 6 \u003d 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 \u003d 1 + 2 + 3 9 - 3 \u003d 6 6 \u003d 1.

Kirjoitamme ilmaisun ja lasketaan sen arvon:

1, 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 \u003d 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 \u003d 1, 1

Usein ilmentävät arvoja, on kätevä vähentää fraktioita. Tarkastettu sääntö: Kaikki ilmaisut ennen sen arvon löytämistä on parasta yksinkertaistaa enimmäismäärää, vähentää kaikki laskelmat yksinkertaisimpiin tapauksiin.

Esimerkki 10. Numeerinen ekspressioarvo

Lasketaan ilmentyminen 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Emme voi nostaa viiden juuria, mutta voimme yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta muutoksilla.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Alkuperäinen lauseke on lomakkeen:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Laske tämän lausekkeen arvo:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Logaritmien ilmaisut

Kun logaritmit ovat läsnä ilmaisussa, niiden arvo, mikäli mahdollista, lasketaan alusta alkaen. Esimerkiksi lausekkeessa log 2 4 + 2 · 4 Voit kirjoittaa välittömästi tämän logaritmin arvon ja suorittaa kaikki toiminnot. Saamme: log 2 4 + 2 · 4 \u003d 2 + 2 · 4 \u003d 2 + 8 \u003d 10.

Logaritmin merkkinä ja säätiössä voi olla myös numeerisia ilmaisuja. Tällöin ensimmäinen asia on niiden merkitykset. Ota ilmausloki 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Meillä on:

lOG 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 \u003d LOG 3 27 + 7 \u003d 3 + 7 \u003d 10.

Jos on mahdotonta laskea logaritmin tarkka arvo, ilmaisun yksinkertaistaminen auttaa löytämään sen arvon.

Esimerkki 11. Numeerinen ekspressioarvo

Löydämme lausekkeen log 2: n arvo 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

lOG 2 LOG 2 256 \u003d LOG 2 8 \u003d 3.

Logaritmien omaisuutta:

lOG 6 2 + LOG 6 3 \u003d LOG 6 (2 · 3) \u003d LOG 6 6 \u003d 1.

Suosittelemme logaritmien ominaisuuksia, viimeisen murto-osaan ilmaisussa saamme:

lOG 5 729 LOG 0, 2 27 \u003d LOG 5 729 LOG 1 5 27 \u003d LOG 5 729 - LOG 5 27 \u003d - LOG 27 729 \u003d - LOG 27 27 2 \u003d - 2.

Nyt voit mennä alkuperäisen ilmaisun arvon laskemiseen.

lOG 2 LOG 2 256 + loki 6 + loki 6 3 + loki 5 729 Log 0, 2 27 \u003d 3 + 1 + - 2 \u003d 2.

Trigonometristen toimintojen ilmaisut

Se tapahtuu, että ilmaisussa on trigonometriset toiminnot sinus, kosini, tangentti ja opingentti sekä toiminnot, kääntää ne. Arvosta lasketaan ennen kaikkien muiden aritmeettisten toimien suorittamista. Muussa tapauksessa ilmaisua yksinkertaistetaan.

Esimerkki 12. Numeerinen ekspressioarvo

Etsi lausekkeen arvo: T G 2 4 π 3 - SIN - 5 π 2 + COSTA.

Laske ensin lausekkeeseen sisältyvien trigonometristen toimintojen arvot.

sIN - 5 π 2 \u003d - 1

Korvatamme arvot ilmaisussa ja lasketaan sen arvo:

t G 2 4 π 3 - SIN - 5 π 2 + COSπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Ilmaisun arvo löytyy.

Usein, jotta löydettäisiin ilmaisun arvo trigonometriset toiminnotSe on ennalta muunnettu se. Selitä esimerkissä.

Esimerkki 13. Numeerinen ekspressioarvo

On tarpeen löytää ekspression COS 2 π 8 - SIN 2 π 8 COS 5 π 36 COS π 9 - SIN 5 π 36 SIN π 9 - 1.

Muunnemista varten käytämme trigonometriset kaavat Cosuine kaksikulma ja kosinimääräinen määrä.

cOS 2 π 8 - SIN 2 π 8 COS 5 π 36 COS π 9 - SIN 5 π 36 SIN π 9 - 1 \u003d COS 2 π 8 COS 5 π 36 + π 9 - 1 \u003d cos π 4 cos π 4 - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0.

Yleinen numeerinen ilme

SISÄÄN yleinen Trigonometrinen ilmentyminen voi sisältää kaikki edellä kuvatut elementit: kiinnikkeet, asteet, juuret, logaritmit, toiminnot. Muotoilla yleissääntö Arvojen löytäminen Tällaiset lausekkeet.

Miten löytää ilmaisun arvo

1. Juuret, asteet, logaritmit jne. Korvataan niiden arvoilla.
2. Toimet suoritetaan suluissa.
3. Jäljellä olevat toimet suoritetaan vasemmalta oikealle. Ensimmäinen - kertolasku ja jakautuminen, sitten lisäys ja vähennys.

Analysoimme esimerkin.

Esimerkki 14. Numeerinen ekspressioarvo

Laske, mikä on yhtä suuri kuin lausekkeen arvo - 2 · sininen π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 + 1 + 3 9.

Ilmaisu on melko monimutkainen ja hankala. Emme vahingossa valinnut tällaista esimerkkiä ottaen huomioon kaikki edellä kuvatut tapaukset. Miten löytää tällaisen ilmaisun merkitys?

On tunnettua, että kun lasketaan monimutkaisen fraktiivisen näkymän arvoa ensin erikseen ja fraktion numeron ja nimittäjän arvot ovat vastaavasti. Muunnamme ja yksinkertaistamme tätä ilmaisua.

Ensinnäkin laskemme syöttöilmaisimen arvon 2 · Sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Tätä varten sinun on löydettävä sinus- ja ilmaisu, joka on trigonometrisen toiminnan argumentti.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 · 5 π 5 \u003d π 6 + 2 π

Nyt voit selvittää sian arvon:

sIN π 6 + 2 π 5 + 3 π 5 \u003d SIN π 6 + 2 π \u003d SIN π 6 \u003d 1 2.

Laske syöttöilmaisimen arvo:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 2 · 1 2 + 3 \u003d 4

2 · Sini π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 4 \u003d 2.

Denomaattorin kanssa murto-osa on yhä enemmän:

Nyt voimme kirjoittaa koko murto-arvon:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 \u003d 2 2 \u003d 1.

Tässä mielessä kirjoitamme kaikki lausekkeet:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Lopullinen tulos:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 + 1 + 3 9 \u003d 27.

Tässä tapauksessa pystyimme laskemaan juurien, logaritmien, sinusien jne. Tarkat arvot Jos tällaista mahdollisuutta ei ole, voit yrittää päästä eroon matemaattisista muutoksista.

Lationaalisten menetelmien ilmaisujen laskeminen

Laske numeeriset arvot on oltava peräkkäin ja siisti. Tämä prosessi Voit rationalisoida ja nopeuttaa käyttäen erilaisia \u200b\u200btoimintojen ominaisuuksia numeroilla. Esimerkiksi tiedetään, että työ on nolla, jos nolla on yhtä suuri kuin vähintään yksi kerroksista. Kun otetaan huomioon tämä ominaisuus, voit heti sanoa, että ilmaisu 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - SIN 3 π 4 · 0 on nolla. Samalla se ei ole lainkaan tarpeen suorittaa edellä mainitussa artikkelissa kuvatussa järjestyksessä.

Se on myös kätevä käyttää vähennysominaisuutta. yhtäläiset numerot. Ei suoriteta mitään toimintoja, voidaan määrittää, että ilmaisun 56 + 8 - 3, 789 LN E 2 - 56 + 8 - 3, 789 LN E 2 arvo on myös nolla.

Toinen tekniikka, jonka avulla voit nopeuttaa prosessia - samanlaisten transformationien, kuten termien ja kertojien ryhmittelyn ja yhteisen kannattimen kannattimia. Rationaalinen lähestymistapa fraktioiden ilmaisujen laskemiseen on vähentää samoja lausekkeita numerolla ja nimittäjällä.

Esimerkiksi ekspressiomme 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Ei suorita suluissa olevia toimia, vaan vähentämällä fraktiota voimme sanoa, että lausekkeen arvo on 1 3.

Muuttujien ilmaisujen arvostelut

Kirjeen ilmaisun ja ilmaisun arvo muuttujien kanssa on erityisiä määritettyjä kirjaimia ja muuttujia.

Muuttujien ilmaisujen arvostelut

Jos haluat löytää kirjeen ilmaisun ja muuttujien ilmaisujen arvon, on tarpeen korvata kirjainten ja muuttujien määritetyt arvot alkuperäisessä ilmaisussa, minkä jälkeen on mahdollista laskea numeerisen ilmaisun määrän arvo.

Esimerkki 15. Ilmaisun arvo muuttujien kanssa

Laske lausekkeen 0, 5 x - y arvo määritetyssä x \u003d 2, 4 ja y \u003d 5.

Korvaamme muuttujien arvot ilmaisuun ja lasketaan:

0, 5 x - y \u003d 0, 5 · 2, 4 - 5 \u003d 1, 2 - 5 \u003d - 3, 8.

Joskus voit muuntaa lausekkeen niin, että saat arvonsa kirjainten ja muuttujien arvoista riippumatta. Tehdä tämä, ilmaisu kirjeistä ja muuttujilta, on välttämätöntä päästä eroon mahdollisuudesta käyttää identtiset muutokset, aritmeettisen toiminnan ominaisuudet ja kaikki mahdolliset muut tavat.

Esimerkiksi ekspressio X + 3 -näyttely, ilmeisesti on arvo 3 ja tämän arvon laskemiseksi ei ole lainkaan tarpeen tietää ICS-muuttujan arvoa. Tämän lausekkeen arvo on kolme ex-muuttujan arvoista kelvollisista arvoista.

Viisi esimerkki. Ilmaisun X X arvo on yhtä suuri kuin kaikki positiiviset IC: t.

Jos havaitset virheen tekstissä, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Numeeriset ja algebralliset lausekkeet. Lausekkeiden muuttaminen.

Mikä on ilmaus matematiikassa? Miksi tarvitsen lausekkeiden muutoksia?

Kysymys kuuluu, kuten he sanovat, mielenkiintoinen ... Tosiasia on, että nämä käsitteet ovat koko matematiikan perusta. Kaikki matematiikka koostuu ilmaisuista ja niiden muutoksista. Ei kovin selvää? Minä selitän.

Oletetaan, että sinulla on paha esimerkki. Erittäin suuri ja hyvin monimutkainen. Oletetaan, että olet vahva matematiikassa ja et pelkää mitään! Voitko vastata välittömästi?

Sinun täytyy ratkaista Tämä esimerkki. Askel askeleelta vaiheittain, tämä esimerkki yksinkertaistaa. Mennessä määritellyt säännötLuonnollisesti. Nuo. tehdä ilmaisujen muuttaminen. Kuinka onnistunut viettää nämä muutokset, niin paljon niin vahvaa matematiikassa. Jos et tiedä, miten tehdä oikeat muutokset, matematiikassa et voi tehdä ei mitään...

Tällaisen epämiellyttävän tulevaisuuden (tai nykyisen ...) välttämiseksi se ei estä tämän aiheen ymmärtämistä.)

Aloita, selvittää mikä on ilmaus matematiikassa. Mitä numeerinen ilmaisu Ja mikä on algebrallinen ilmaisu.

Mikä on ilmaus matematiikassa?

Ilmaisu matematiikassa - Tämä on hyvin yleinen käsite. Lähes kaikki, jolla me käsittelemme matematiikkaa, on joukko matemaattisia ilmaisuja. Kaikki esimerkit, kaavat, fraktiot, yhtälöt ja niin edelleen - kaikki koostuu matemaattiset ilmaisut.

3 + 2 on matemaattinen ilme. c 2 - D 2 - Tämä on myös matemaattinen ilmaisu. Ja terveellinen fraktio ja jopa yksi numero on kaikki matemaattiset ilmaisut. Esimerkiksi yhtälö on:

5x + 2 \u003d 12

koostuu kahdesta tasa-arvomerkillä yhdistettyistä matemaattisista ilmaisuista. Yksi ilmaisu - vasemmalla, toinen on oikea.

SISÄÄN yleinen termi " matemaattinen ilmaisu"Sitä käytetään, useimmiten ei pese. Nouse sinut, mikä on tavallinen fraktio, esimerkiksi? Ja miten vastata?!

Ensimmäinen vastaus: "Tämä ... mmmm ... Tällainen asia ... jossa ... voinko kirjoittaa paremman kuvan? Minkälaista? "

Toinen vastausvaihtoehto: " Tavallinen fraktio - Se (iloisesti ja iloinen!) matemaattinen ilmaisu joka koostuu numeroista ja nimittäjältä! "

Toinen vaihtoehto on jotenkin tyytyväinen, eikö?)

Täällä tähän tarkoitukseen lauseke " matemaattinen ilmaisu "Erittäin hyvä. Ja oikea ja kiinteä. Mutta käytännön sovellus täytyy ymmärtää hyvin erityiset lajit matematiikassa .

Erityiset lajit ovat toinen asia. se muita asioita! Jokaisella matemaattisella ilmaisulla on sen oma Sääntöjä ja vastaanottoja, joita on käytettävä ratketessa. Työskentely fraktioiden kanssa - yksi sarja. Työskennellä trigonometristen ilmaisujen kanssa - toinen. Työskennellä logaritmit - kolmas. Jne. Jonnekin nämä säännöt ovat samat, jonnekin - ne eroavat jyrkästi. Mutta älä pelkää näitä kauheita sanoja. Logaritmit, trigonometria ja muut salaperäiset asiat tutkimme asiaankuuluvissa osissa.

Täällä hallitsemme (tai toista jonkun yhtä ...) kaksi päätyyppiä matemaattisia ilmaisuja. Numeeriset ilmaisut ja algebralliset lausekkeet.

Numeeriset ilmaisut.

Mitä numeerinen ilmaisu? Tämä on hyvin yksinkertainen käsite. Nimi itsessään vihjeet, että tämä on ilmaisu numeroilla. Näin se on. Matemaattinen ilme, joka koostuu keskeisistä syistä, suluista ja aritmeettisen vaikutuksen merkityksistä kutsutaan numeeriseksi ilmentymäksi.

7-3 - numeerinen ilmaisu.

(8 + 3.2) · 5.4 - Myös numeerinen lauseke.

Ja tämä hirviö:

myös numeerinen ilme, kyllä \u200b\u200b...

Tavallinen numero, fraktio, mikä tahansa esimerkki ilman ICS: n ja muiden kirjainten laskemista ovat kaikki numeeriset ilmaisut.

Päämerkki numeerinen ilmaisut - siinä ei kirjaimia. Ei. Vain numerot ja matemaattiset kuvakkeet (tarvittaessa). Kaikki on yksinkertainen, eikö?

Ja mitä voidaan tehdä numerolla? Numeerisia ilmaisuja voidaan yleensä harkita. Tehdä tämä, se tapahtuu, se tapahtuu, paljastaa suluja, muuttaa merkkejä, leikata, muuttaa linjojen ehtoja - eli. tehdä muuntoilmaisut. Mutta siitä on hieman pienempi.

Tässä käsitellään tällaista hauskaa tapausta, kun numeerinen ilme Älä tee mitään.No, melko mitään! Tämä miellyttävä toiminta on ei mitään tehtävää) - täydellinen kun ilmaisu siinä ei ole järkeä.

Kun numeerinen ilmaisu ei ole järkevää?

Ymmärrettävä, jos näemme jonkinlaista abracadabraa, kuten

sitten tee mitään ja emme. Koska ei ole selvää, mitä tehdä sitä. Jonkinlainen hölynpölyä. On se, jotta voit laskea tulosten lukumäärä ...

Mutta ulkoisesti hyvin kunnollisia ilmaisuja. Esimerkiksi tämä:

(2 + 3): (16 - 2 · 8)

Tämä ilmaus on kuitenkin myös siinä ei ole järkeä! Yksinkertainen syy siihen toiseen kiinnikkeeseen - jos pidät - se osoittautuu nollaksi. Ja nollaan on mahdotonta jakaa! Tämä on kielletty toiminta matematiikassa. Siksi ei ole tarpeen tehdä mitään tämän lausekkeen kanssa. Jokaisella tehtävällä on tällainen ilme, vastaus on aina yksi: "Ilmaisu ei ole järkevää!"

Jotta vastaus, minun piti tietenkin katsoa, \u200b\u200bettä suluissa olisi. Ja joskus on sellaisia \u200b\u200bsuluissa, ... No, mitään ei voi tehdä täällä.

Kielletty toiminta matematiikassa eivät ole niin paljon. Tässä aiheessa - vain yksi. Nollalla jakaminen. Rootsissa ja logaritmeihin liittyviä muita kielloa käsitellään asiaankuuluvissa aiheissa.

Joten ajatus siitä, mikä on numeerinen ilmaisu - sai. Konsepti numeerinen ilmaisu ei ole järkevää - tajusi. Mennä eteenpäin.

Algebralliset ilmaisut.

Jos kirjaimet näkyvät numeerisessa ilmaisussa - tämä ilmaus tulee ... ilmaisu tulee ... kyllä! Se tulee algebrallinen ilmaisu. Esimerkiksi:

5a 2; 3x-2y; 3 (Z-2); 3,4 m / n; x 2 + 4x-4; (A + B) 2; ...

Lisää tällaisia \u200b\u200bilmaisuja kutsutaan kirjoituslausekkeet. Tai ilmaisuja muuttujien kanssa. Tämä on käytännössä sama asia. Ilmaisu 5A + S.Esimerkiksi sekä aakkosellinen, algebrallinen ja ilmaisu muuttujien kanssa.

Konsepti algebrallinen ilme - Laajempi kuin numeerinen. Se sisältää Ja kaikki numeeriset ilmaisut. Nuo. Numeerinen ilmaisu on myös algebrallinen ilmaisu, vain ilman kirjaimia. Jokainen valinta - kala, mutta ei jokainen kala - Selli ...)

Miksi kirjaimellinen - Ymmärrettävästi. No, koska kirjaimet ovat ... lause ilmaisu muuttujilla Ei myöskään paljon palapelejä. Jos ymmärrät, että numerot on piilotettu kirjaimien alla. Kaikki numerot voidaan piilottaa kirjaimilla ... ja 5 ja -18 ja mitä tahansa. Eli kirjain voi olla korvata jssk eri numeroita. Siksi kirjaimia kutsutaan muuttujat.

Ilmaisussa + 5., esimerkiksi, w. - muuttuva arvo. Tai he sanovat yksinkertaisesti " muuttuja ", Ilman sanaa "arvo". Toisin kuin viisi parasta, mikä on pysyvä arvo. Tai yksinkertaisesti - vakio.

Termi algebrallinen ilmaisu tarkoittaa sitä, että työskennellä tämän ilmaisun kanssa, sinun on käytettävä lakeja ja sääntöjä algebra. Jos aritmeettinen Toimii tiettyjen numeroiden kanssa algebra - Kaikki numerot. Yksinkertainen esimerkki selityksestä.

Aritmeticissa voit kirjoittaa sen

Mutta jos kirjoitamme samanlaisia \u200b\u200btasa-arvoa algebrallisten ilmaisujen kautta:

a + B \u003d B + A

päätämme välittömästi kaikki Kysymyksiä. Varten kaikki numerot aivohalvaus. Kaikki loputon määrä. Koska kirjaimilla mutta ja b. Merkitys kaikki numerot. Eikä vain numeroita, vaan jopa muita matemaattisia ilmaisuja. Näin Algebra toimii.

Kun algebrallinen ilmaisu ei ole järkevää?

Numeerisesta ilmaisusta kaikki on selvää. Nolla on mahdotonta jakaa. Ja kirjaimilla voit selvittää, mitä me jakaamme?!

Ota esimerkiksi tällainen ilmentymä muuttujien kanssa:

2: (mutta - 5)

Tarkoittaako se? Kyllä, kuka tuntee hänet? mutta - Mikä tahansa numero ...

Jokainen joku ... mutta on yksi arvo muttajossa tämä ilmaisu varmasti Siinä ei ole järkeä! Ja mikä on numero? Joo! Tämä on 5! Jos muuttuja mutta Vaihda (esimerkiksi - "korvaa") numeroon 5, suluissa nolla muuttuu. Joka on mahdotonta jakaa. Joten osoittautuu, että ilmaisumme siinä ei ole järkeä, jos a \u003d 5.. Mutta muilla arvoilla mutta Onko merkitys? Muut numerot voidaan korvata?

Varma. Juuri tällaisissa tapauksissa sanoa ilmaisu

2: (mutta - 5)

on järkevää arvoista mutta, paitsi a \u003d 5 .

Koko numerot voi Korvaa tietyssä lausekkeessa sallittujen arvojen alue Tämä ilmaisu.

Kuten näette, mikään ei ole ovela. Tarkastelemme ilmaisua muuttujilla, kyllä \u200b\u200bymmärrämme: mitä muuttujan arvo on kielletty toiminta (nolla-alue)?

Ja sitten tarkastelemme ehdottomasti kysymyksen tehtävästä. Mitä kysyt?

siinä ei ole järkeä, Meidän kielletty arvo ja on vastaus.

Jos kysyt, mitä arvon muuttuva ilme sillä on merkitys (Tunne ero!), Vastaus on kaikki muut numerotlukuun ottamatta kiellettyä.

Miksi tarvitsemme ilmaisun merkitystä? Hän on, ei ole sitä ... Mikä ero on?! Tosiasia on, että tämä käsite on erittäin tärkeä lukiossa. Erittäin tärkeä! Tämä on perusta tällaisille kiinteiden käsitteille sallituiksi arvoiksi tai toiminnon määrittämisen funktiona. Ilman tätä et voi ratkaista vakavia yhtälöitä tai epätasa-arvoa lainkaan. Kuten tämä.

Lausekkeiden muuttaminen. Identtiset muutokset.

Me tutustumme numeerisiin ja algebraalaisiin ilmaisuihin. He ymmärsivät, mitä lause tarkoittaa "ilmaisua ei ole järkevää." Nyt meidän on selvitettävä, mitä lausekkeiden muuttaminen. Vastaus on yksinkertainen, häpeään.) Tämä on mitään vaikutusta ilmaisulla. Ja se on se. Teit nämä muutokset ensimmäisestä luokasta.

Ota jyrkkä numeerinen ilmaisu 3 + 5. Kuinka se voidaan muuntaa? Kyllä, hyvin yksinkertainen! Laskea

Tämä laskelma on ekspression muutos. Voit kirjoittaa saman ilmaisun eri tavalla:

Täällä emme laskenut mitään. Kirjoitti vain ilmaisun toisessa muodossa. Tämä on myös ilmaisun muutos. Voit kirjoittaa näin:

Ja tämä on myös ilmaisun muuttaminen. Tällaiset muutokset voidaan esittää, kuinka paljon haluat.

Kuka tahansa Toimi ilmaisun yläpuolella minkä tahansa Voit tallentaa sitä toiseen muotoon kutsutaan ilmaisun muuntamiseksi. Ja kaikki asiat. Kaikki on hyvin yksinkertainen. Mutta on yksi erittäin tärkeä sääntö. Niin tärkeä, että se voi olla rohkeita päävaltuuskunta Kaikki matematiikka. Tämän säännön rikkominen väistämättä johtaa virheisiin. Luultavasti?)

Oletetaan, että muutimme ilmaisumme, kun se putosi, kuten tämä:

Transformation? Varma. Tallennimme lausekkeen toisessa muodossa, mikä on täällä?

Kaikki on väärä.) Tosiasia on, että muutokset "Kuten osuma" Matematiikka ei ole kiinnostunut ollenkaan.) Kaikki matematiikka perustuvat muutoksiin, joissa se muuttuu ulkomuoto, mutta lausekkeen ydin ei muutu. Kolme plus viisi voidaan kirjoittaa millään tavalla, mutta sen pitäisi olla kahdeksan.

Muutokset ei muuta lausekkeen olemusta olla nimeltään identtinen.

Tarkalleen identtiset muutokset ja anna meille askel askeleelta, käännä monimutkainen esimerkki Yksinkertaisesti ilmaisulla pitäminen esimerkin olemus. Jos teemme virheen transformaation ketjussa, emme identtisiä muuntamista, niin päätämme jo muut Esimerkki. Muita vastauksia, jotka eivät liity oikealle.)

Täällä on tärkein sääntö kaikkien tehtävien ratkaisemiseksi: muutosten identiteetin noudattaminen.

Esimerkki numeerisesta ilmentämisestä 3 + 5 Tuhoin selkeyden. Algebrallisissa ilmaisuissa samanlaiset muutokset annetaan kaavoilla ja säännöillä. Sano, Algebra:

a (B + C) \u003d AB + AC

Joten voimme myös ilmaisun sijasta a (B + C) Kirjoita lauseke rohkeasti aB + AC. Ja päinvastoin. se samanlainen muuntaminen. Matematiikka antaa meille valinnan näistä kahdesta ilmaisusta. Ja mitkä niistä kirjoittavat erityinen esimerkki Riippuu

Toinen esimerkki. Yksi tärkeimmistä ja välttämättömistä muutoksista on fraktion pääomaisuus. Näet lisätietoja, ja tässä muistat vain säännön: jos Fracin numerointi ja nimittäjä kertoo (jaettu) per ja sama numero tai epätasainen nolla ilmaisu, fraktio ei muutu. Tässä on esimerkki samanlaisista muutoksista tämän ominaisuuden:

Kuten luultavasti arvasi, tätä ketjua voidaan jatkaa äärettömyyttä ...) erittäin tärkeä omaisuus. Sen avulla voit kääntää kaikki hirviöiden esimerkit valkoisiksi ja pörröisiksi.)

Kaavat, joissa määritellään samanlaiset muutokset - paljon. Mutta tärkein on melko kohtuullinen määrä. Yksi perusmuunnoksista on kertoimien hajoaminen. Sitä käytetään koko matematiikassa - alkeellisesta korkeimmalle. Häneltä ja aloittaa. Seuraavassa oppitunnissa.)

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten minulla on toinen pari mielenkiintoista sivustoa sinulle.)

Sitä voidaan käyttää ratkaisemaan esimerkkejä ja selvitä tasosi. Testaus instant check. Opi - kiinnostuneena!)

Voit tutustua ominaisuuksiin ja johdannaisiin.

Pääsääntöisesti lapset alkavat tutkia algebraa jo junioriluokissa. Kun olet antanut numeroiden perusperiaatteet numeroiden kanssa, ne ratkaisvat esimerkit yhdellä tai useammalla tuntemattomalla muuttujalla. Etsi tämän suunnitelman ilmaisun arvo voi olla varsin vaikea, mutta jos yksinkertaistat sitä peruskoulun tuntemuksen avulla, kaikki on helposti ja nopeasti.

Mikä on ilmaisun merkitys

Numeerinen ilmaisu kutsutaan algebrallinen tallennusjoka koostuu numeroista, kannattimista ja merkkeistä siinä tapauksessa, että se on järkevää.

Toisin sanoen, jos havaitset lausekkeen arvon, se tarkoittaa, että tietue ei ole merkitystä ja päinvastoin.

Esimerkkejä seuraavista levyistä ovat oikeat numeeriset rakenteet:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Erillinen numero on myös numeerinen ilmaus edellä mainitun esimerkin numero 18.
Esimerkkejä virheellisistä numeerisistä rakenteista, jotka eivät ole järkeviä:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Virheelliset numeeriset esimerkit ovat vain matemaattisia merkkejä ja niillä ei ole merkitystä.

Miten löytää ilmaisun arvo

Koska aritmeettiset merkit ovat läsnä tällaisissa esimerkeissä, voidaan päätellä, että ne mahdollistavat aritmeettiset laskelmat. Laske merkkejä tai puhumalla ilmaisun arvon, sinun on suoritettava vastaavat aritmeettiset manipulaatiot.

Esimerkiksi voit harkita seuraavaa rakennetta: (120-30) / 3 \u003d 30. Numero 30 on numeerisen lausekkeen (120-30) / 3 arvo.

Ohje:

Numeerisen tasa-arvon käsite

Numeerinen tasa-arvo kutsutaan tilanteeksi, kun kaksi osaa esimerkkiä jaetaan merkki "\u003d". Toisin sanoen yksi osa on täysin yhtä suuri (sama), vaikka symbolit ja numerot näkyvät muina yhdistelminä.
Esimerkiksi tyypin 2 + 2 \u003d 4 suunnittelua voidaan kutsua numeeriseksi tasa-arvona, koska jopa muuttuvat osat paikoilla, merkitys ei muutu: 4 \u003d 2 + 2. Sama koskee monimutkaisempia rakenteita, mukaan lukien kiinnikkeet, divisioona, kertolasku, fraktiot ja niin edelleen.

Miten löytää ilmaisun arvo oikein

Ilmaisun arvon löytäminen oikein, sinun on suoritettava laskelmat tietyn menettelyn mukaisesti. Tätä menettelyä opetetaan myös matematiikan oppitunnilla ja myöhemmin - Algebra-luokassa ala-aste. Se tunnetaan myös aritmeettisen toiminnan vaiheeksi.

Aritmeettiset vaiheet:

1. Ensimmäinen vaihe on numeroiden lisäys ja vähennys.
2. Toinen vaihe on divisioona ja kertolasku.
3. Kolmas vaihe - numerot pystytetään neliön tai kuution.

Seuraavien sääntöjen noudattaminen Voit aina määrittää nimenomaisesti ilmaisun arvo:

1. Suorita toimet alkaen kolmannesta vaiheesta, jotka päättyvät ensin, jos esimerkissä ei ole kiinnikkeitä. Eli rakentaa ensin neliö tai kuutio ja jakaudu sitten ja kerro ja vain sitten taita ja vähennä.
2. Suljeissa suluissa ensin suorita suluissa olevat toimet ja noudata edellä kuvattua menettelyä. Jos on olemassa useita suluja, käytä myös ensimmäistä kohdetta.
3. Esimerkeissä fraktio muodossa ensin, selvitä numeron tulos, sitten nimittäjältä, minkä jälkeen ensimmäinen jakaa toisessa.

Ei ole vaikea löytää ilmaisuarvoa, jos assimilate algebran ja matematiikan alkukursseista. Yllä kuvattujen tietojen ohjaaminen Voit ratkaista minkä tahansa tehtävän, jopa monimutkaisuuden lisäämisen.

Selvitä salasana VK: sta, tietäen kirjautumisen

Ensimmäinen taso

Lausekkeiden muuttaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Ilmaisujen muuttaminen

Usein kuulemme tämän epämiellyttävän lauseen: "Yksinkertaista ilmaisua". Yleensä meidän lisäksi meillä on jonkinlainen pelottava tällainen:

"Kyllä, paljon helpompi" - sanomme, mutta tämä vastaus ei yleensä rullaa.

Nyt minä opetan teille, ettet pelkää tällaisia \u200b\u200btehtäviä. Lisäksi oppitunnin lopussa yksinkertaistaa tätä esimerkkiä ennen (vain!) Tavallinen numero (kyllä, helvettiin näiden kirjainten kanssa).

Mutta ennen kuin jatkat tätä oppituntia, sinun on kyettävä käsittelemään fraktioita ja asettavat polynomit kertojille. Siksi ensin, jos et tehnyt tätä ennen, välttämättä aihe "" ja "".

Lukea? Jos näin on, nyt olet valmis.

Yksinkertaistaminen

Nyt analysoimme tärkeimmät tekniikat, joita käytetään yksinkertaistamisessa ilmaisuissa.

Helpoin niistä on

1. Samankaltaisuuden tuominen

Mitkä ovat samankaltaisia? Ohitat sen palkkaluokkaan 7, kun kirjaimet ilmestyivät matematiikassa numeroiden sijaan. Samankaltaiset ovat komponentit (yksi), joilla on sama aakkosellinen osa. Esimerkiksi tällaisten komponenttien määrä - tämä on.

Muista?

Tietyt samanlaiset asiat - se tarkoittaa useita samanlaisia \u200b\u200behtoja toistensa kanssa ja saada yhden termin.

Mutta miten taidemme toistensa kirjaimilla? - Pyydä sinua.

On erittäin helppo ymmärtää, jos kuvittelet, että kirjaimet ovat joitakin kohteita. Esimerkiksi kirjain on tuoli. Mikä sitten on ilmaus? Kaksi ulosteesta plus kolme jakkaraa, kuinka paljon se on? Se on oikein, tuolit :.

Ja nyt kokeile tällaista ilmaisua :.

Jotta ei hämmentynyt, anna eri kirjaimia ilmoittaa eri kohteita. Esimerkiksi se on (kuten tavallinen) tuoli ja on pöytä. Sitten:

Tuoli pöytätuolit tuolit ulosteilla tuolit

Numerot, joille kirjaimet kertovat tällaisissa termeissä, kutsutaan kertoimet. Esimerkiksi yksi siipikerroin on sama. Ja siinä on sama.

Joten, samankaltainen sääntö:

Esimerkkejä:

Anna samanlainen:

Vastaukset:

2. (ja vastaava, koska näin ollen näillä ehdoilla on sama kirjain).

2. Kertomusten hajoaminen

Tämä on yleensä tärkein osa ilmaisujen yksinkertaistamisessa. Kun olet johtanut vastaaviin, useimmiten tuloksena syntyvä ilmentyminen olisi hajotettava kertojille, toisin sanoen kuvitella työn muodossa. Tämä on erityisen tärkeää petoksessa: loppujen lopuksi, jotta voit leikata fraktio, numerointi ja nimittäjä on edustettava työnä.

Yksityiskohtaisesti tapoja hajottaa ilmentymiä kertojien, olet siirtynyt aiheeseen "", joten tässä voit vain muistaa oppineet. Voit tehdä tämän ratkaisemaan useita esimerkkejä (Sinun täytyy hajota kertoimet):

Ratkaisut:

3. Vähentämällä fraktiota.

No, mikä voi olla miellyttävämpää kuin ylittää osa numeroa ja nimittäjää ja heittää ne pois elämästäsi?

Tämä on kaikki vähennyksen viehätys.

Kaikki on yksinkertaista:

Jos numerointi ja nimittäjä sisältävät samat kertojat, ne voidaan leikata, eli poistetaan fraktiosta.

Tämä sääntö noudattaa Fracin pääominaisuuksista:

Eli vähennystoiminnan ydin on se fractionan numerointi ja nimittäjä jakavat samalla määrällä (tai samalla lausekkeella).

Lyhentää fraktiota, tarvitset:

1) Numeraattori ja nimittäjä hajota kertoimet

2) Jos on numerointi ja nimittäjä yhteiset kertojatNe voidaan poistaa.

Periaate, mielestäni on selvä?

Haluan kiinnittää huomiota yhteen tyypillinen virhe Vähentää. Vaikka tämä aihe on yksinkertainen, mutta hyvin monet tekevät kaiken väärin, ei ymmärrä sitä leikata - se tarkoittaa jakaa Numerator ja nimittäjä ja sama numero.

Ei lyhenteitä, jos numero tai nimittäjä.

Esimerkiksi: on yksinkertaistettava.

Jotkut tekevät tämän: Mikä on ehdottoman väärin.

Toinen esimerkki: Leikkaa.

"Älykkäin" tekee tämän :.

Kerro minulle, mikä on väärin täällä? Se tuntuu: - Tämä on kerroin, se tarkoittaa, että voit leikata.

Mutta ei: - Tämä on vain yhden termin kerroin numero, mutta itsessään ei ole määritetty monikerroksia.

Tässä on toinen esimerkki :.

Tämä ilmaisu hajoaa kertojiin, se tarkoittaa, että voit leikata, eli jakaa numerointi ja nimittäjä päälle ja sitten:

Voit välittömästi jakaa:

Estä tällaiset virheet, muista helppo tieKuinka määrittää, onko ilmoitus kertoi:

Aritmeettinen vaikutus, joka suoritetaan viimeisen ilmaisun laskennan laskemisessa ilmaisun arvot ovat "tärkein". Toisin sanoen, jos korvaat (kaikki) numerot kirjainten sijaan, ja yrität laskea lausekkeen arvon, jos viimeinen toiminta on moninkertaistuminen - se tarkoittaa, että meillä on työ (ilmaisu hajoaa kertojille). Jos jälkimmäinen toiminta on lisäys tai vähennys, se tarkoittaa, että ilmaisua ei hajota tekijöihin (eikä sitä siksi voida vähentää).

Konsolidointi, päätämme omasta useasta esimerkkejä:

Vastaukset:

1. Toivottavasti et ole kiirehtynyt välittömästi vähentämään ja? Ei riitä "leikkaa" tällaista tällaista:

Ensimmäisessä toiminnassa pitäisi olla kertoimien hajoaminen:

4. Fraktioiden lisäys ja vähennys. Tuoda fraktiot yhteiseen nimittäjälle.

Tavallisten fraktioiden lisääminen ja vähennys - Toimenpide on hyvin tuttu: etsimme yhteistä nimittäjää, olemme hallitseva kaikki murto-osa puuttuvasta kerrointa ja taittaa / vähennä numeroita. Muistamme:

Vastaukset:

1. Nimittäjät ovat molempia osapuolia yksinkertaisia, eli niillä ei ole yhteisiä kertojia. Näin ollen näiden numeroiden NOC on yhtä suuri kuin heidän työnsä. Tämä on yhteinen nimittäjä:

2. Tässä yleinen nimittäjä on:

3. Tässä on ensimmäinen asia sekalaiset fraktiot Käännymme virheelliseksi ja sitten - tavallisella järjestelmällä:

Se on aivan toinen asia, jos fraktiot sisältävät kirjaimia, esimerkiksi:

Aloitetaan yksinkertaisella:

a) nimittäjät eivät sisällä kirjaimia

Tässä on kaikki sama kuin tavanomaiset numeeriset fraktiot: löydämme yhteisen nimittäjän, olemme hallitseva kaikki murto-osa puuttuvasta kertoimesta ja taittaa / vähentää numerot:

numerossa voit antaa samanlaisia, jos sellaisia \u200b\u200bon ja asetetaan kertojiin:

Kokeile itseäsi:

b) Nimittäjät sisältävät kirjeitä

Muistamme periaate yhteisen nimittäjän löytämiseksi ilman kirjaimia:

· Ensinnäkin määritellään yleiset tekijät;

· Sitten kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran;

· Ja ne ovat hallitsevia kaikille muille kertojille, jotka eivät ole yleisiä.

Sen määrittämiseksi nimittäjien yleiset kertojat asettavat ne ensin yksinkertaisista tekijöistä:

Korostamme yleisiä tekijöitä:

Nyt kirjoitamme yleiset tekijät kerran ja lisäävät kaikki vaihtoehdot (ei alleviivattu) kertojat niille:

Tämä on yhteinen nimittäjä.

Mennään kirjaimiin. Danlaneja annetaan täsmälleen sama järjestelmä:

· Päättää moninkertaistimien nimittäjät;

· Määritä yleiset (identtiset) kertoimet;

· Kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran;

· Olemme hallitseva kaikille muille kertojille, ei yleisiä.

Joten, järjestyksessä:

1) Laajenna nimittäjiä kertojille:

2) määrittää yleiset (identtiset) kertojat:

3) Me kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran ja hallitsevat niistä kaikilla muilla (epätoivottuja) kertojat:

Joten yleinen nimittäjä on täällä. Ensimmäinen fraktio on kerrottava, toinen:

Muuten on yksi temppu:

Esimerkiksi: .

Näemme samat moninkertaistimet nimittäjissä, vain kaikki eri indikaattorit. Kokonaisvaltainen nimittäjä menee:

asteittain

asteittain

asteittain

tutkintoon.

Monimutkaista tehtävää:

Kuinka tehdä sama nimittäjä?

Muistamme Fracin pääominaisuudet:

Missään ei ole sanottu, että fraktio voidaan vähentää numeroimesta ja nimittäjältä) (tai lisätä) sama numero. Koska se on virheellinen!

Puhdista itseäsi: Ota esimerkiksi murto-osa, ja lisää numero- ja nimittäjälle, esimerkiksi. Mitä sanoit?

Niinpä seuraava häpeämätön sääntö:

Kun tuodaan murto-osa yhteiseen nimittäjälle, käytä vain kertolasku!

Mutta mitä sinun tarvitsee moninkertaistaa saada?

Tässä on päällä ja dominat. Ja dominki:

Ilmaisuja, joita ei voi hajota kertolaskuihin, kutsutaan nimellä "Elementary kertojat". Esimerkiksi se on elementaarinen kerroin. - myös. Mutta - ei: se hajoaa kertojiin.

Mitä sanot ilmaisusta? Se on alkeita?

Ei, koska se voidaan hajottaa kerrannaan:

(Kerrojien hajoamisesta olet jo lukenut aiheesta "").

Joten elementaariset kertojat, joihin hylkäät ilmaisun kirjaimilla, on analoginen yksinkertaisten kertojien kanssa, joihin olet levittänyt numeroita. Ja toimimme heidän kanssaan samalla tavalla.

Näemme, että molemmissa nimittäjissä on kerroin. Hän menee yhteiseen nimittäjälle tutkintoon (muista miksi?).

Kerroin on elementaari, eikä niillä ole yleistä, mikä tarkoittaa sitä, että ensimmäinen murto sen on yksinkertaisesti piirtäminen:

Toinen esimerkki:

Päätös:

Vanhenee kuin paniikissa, moninkertaistaa nämä nimittäjät, sinun täytyy miettiä, miten heidät hajoavat kertojille? Molemmat edustavat:

Erinomainen! Sitten:

Toinen esimerkki:

Päätös:

Kuten tavallista, hajota nimellisjät. Ensimmäisessä nimittäjässä keskitymme vain sulujen takana; Toiseksi - neliöiden ero:

Näyttäisi siltä, \u200b\u200bettä ei ole yleisiä tekijöitä. Mutta jos katsot, he ovat samanlaisia \u200b\u200b... ja totuus:

Joten kirjoittaa:

Toisin sanoen se osoittautui näin: kannattimen sisällä muutimme paikkoja paikoissa, ja samalla merkki muutettiin ennen vastakkaista. Huomaa, joten sen on tehtävä usein.

Nyt annamme yhteisen nimittäjän:

Auta? Tarkista nyt.

Tehtävät itseratkaisuille:

Vastaukset:

Täällä on tarpeen muistaa toinen - kuutioiden ero:

Kiinnitä huomiota, että nimittäjällä toinen fraktio ei ole kaava "neliömäärä"! Square-määrä näyttäisi näin :.

Ja - tämä on niin sanottu epätäydellinen neliö: toinen termi siinä on ensimmäinen ja viimeinen, eikä kaksinkertaistanut työnsä. Määrän epätäydellinen neliö on yksi kuutioiden erotuksen hajoamisessa:

Mitä tehdä, jos fraktiot ovat jo kolme kappaletta?

Ja sama asia! Ensinnäkin teemme niin, että nimittäjien enimmäismäärä oli sama:

Kiinnitä huomiota: Jos muutat merkkejä yhden kannattimen sisällä, merkki ennen fraktion muuttuu päinvastoin. Kun muutat merkkejä toisessa kannattimessa, merkki ennen fraktiota muuttuu jälleen päinvastoin. Tämän seurauksena hän (merkki ennen fraktiota) ei ole muuttunut.

Kokonaisvaltaisessa nimittäjässä ensimmäinen nimittäjä purkautuu ja lisää sitten kaikki tekijät, joita ei ole kirjoitettu toisesta ja sitten kolmannesta (ja niin edelleen, jos tahrat ovat enemmän). Toisin sanoen se osoittautuu näin:

Hmm ... fraktioilla on selvää, mitä tehdä. Mutta miten olla kaksi?

Kaikki on yksinkertainen: Tiedätkö kuinka laittaa murto-osa? Joten sinun täytyy tehdä niin, että kahdesti tulee murto! Muistamme: fraktio on divisioona (numerointi jakaa nimittäjä, jos olet yhtäkkiä unohtanut). Ja ei ole mitään helpompaa kuin jakaa numero. Samanaikaisesti määrä ei muutu, vaan muuttuu fraktioksi:

Tarkalleen mitä tarvitaan!

5. Fraktioiden lisääntyminen ja jakautuminen.

No, vaikein nyt takana. Ja meillä on yksinkertaisin, mutta tärkein asia on:

Menettely

Mikä on numeerisen ilmaisun laskeminen? Muista, kun otetaan huomioon tällaisen ilmaisun merkitys:

Laskettu?

Täytyy tapahtua.

Joten muistutan.

Ensimmäinen asia on laskettu.

Toinen on kertolasku ja jako. Jos moninkertaiset ja divisioonat ovat samanaikaisesti useita, voit tehdä ne missä tahansa järjestyksessä.

Ja lopuksi suoritamme lisäämällä ja vähentämällä. Uudelleen, missä tahansa järjestyksessä.

Mutta: lauseke suluissa lasketaan käännöksestä!

Jos useat kiinnikkeet kerrotaan tai jaetaan toisiinsa, laskemme lausekkeen jokaisessa kiinnikkeessä ensin ja kerrotaan sitten tai toimitetaan ne.

Ja jos suluissa on vielä joitain kiinnikkeitä? Ajattele: Joitakin ilmaisua kirjoitetaan suluissa. Ja laskettaessa ilmaisua, ensinnäkin sinun tarvitsee tehdä mitä? Se on oikein, laske suluja. No, niin tajusinut: ensin laskemme sisäiset kannattimet, sitten kaikki muu.

Niinpä ilmaisun menettely on suurempi kuin tämä (nykyiset arvot kohdennetaan punaiseksi, eli toiminnassa, jota olen juuri nyt):

No, se on yksinkertaista.

Mutta tämä ei ole sama kuin kirjainten ilmaisu?

Ei, se on sama! Ainoastaan \u200b\u200baritmeettisten toimien sijasta olisi tehtävä algebrallinen, eli kohdassa kuvatut toimet edellinen osa: samanlainen, Vaihdettavat fraktiot, leikkausfraktiot ja niin edelleen. Ainoa ero on polynomien hajoaminen kertoimilla (käytämme sitä usein, kun työskentelet fraktioiden kanssa). Useimmiten kertoimien hajoamista varten minun on haettava tai yksinkertaisesti ottaa yhteinen tekijä suluissa.

Yleensä tavoitteenamme on lähettää ilmaus työn tai yksityisen muodossa.

Esimerkiksi:

Yksinkertaistamme ilmaisua.

1) Ensin yksinkertaistamme suluissa olevaa ilmaisua. Siellä meillä on erofraktio, ja tavoitteena on esittää se työn tai yksityisenä. Joten annamme murto-osalle yhteinen nimittäjä ja taittaa:

Lisää tätä ilmaisua on helppo yksinkertaistaa, kaikki tekijät ovat alkeita (muistatko, mitä se tarkoittaa?).

2) Saamme:

Fraktioiden lisääntyminen: Mikä voisi olla helpompaa.

3) Nyt voit vähentää:

Se siitä. Mitään vaikeaa, eikö?

Toinen esimerkki:

Yksinkertaistaa ilmaisua.

Yritä ensin ratkaista itseni ja vain sitten nähdä päätös.

Ensinnäkin määrittelemme toimintamenettelyn. Ensinnäkin suoritamme fraktioiden lisäämisen suluissa, se muuttuu kahdesta fraktiosta. Sitten teemme jakamalla fraktiot. No, tulos laskee viimeisellä fraktiolla. Kavarausti Numerotoiminta:

Nyt näytän uutisprosessin, napauttamalla nykyistä toimintaa punaisella:

Lopuksi annat sinulle kaksi hyödyllistä neuvontaa:

1. Jos samankaltaisia, ne on saatettava välittömästi. Missä vaiheessa meillä on samanlaisia \u200b\u200bsamankaltaisia, on suositeltavaa tuoda ne välittömästi.

2. Sama pätee myös fraktioiden vähentämiseen: Heti kun kykyä vähentää, sitä on käytettävä. Poikkeus on fraktiot, jotka taitto tai vähennys: Jos heillä on samat nimittäjät nyt, lyhenne on jätettävä myöhemmin.

Seuraavassa on teidän tehtävänne itseratkaisuille:

Ja lupasi alussa:

Ratkaisut (lyhyt):

Jos olet selviytynyt ainakin ensimmäisten kolmen esimerkin kanssa, niin kannattaa, harkita.

Nyt eteenpäin oppimiseen!

Lausekkeiden muuttaminen. Yhteenveto ja peruskaavat

Yksinkertaistaminen:

• Samanlainen: Taittaa (lyijy) samankaltaisia \u200b\u200bkomponentteja, on tarpeen taittaa kertoimet ja määrittää kirjainosan.
• Factorisaatio:yhteisen tekijän ottaminen kannattimille, sovellukselle jne.
• Fraktioiden vähentäminen: Fraktion numerointi ja nimittäjä voidaan kertoa tai jaetaan yhteen ja samaan ei-nolla-numeroon, josta fraktiota ei muuteta.
  1) Numeraattori ja nimittäjä hajota kertoimet
  2) Jos numeroita ja nimittäjä on yleisiä kerroimia, ne voidaan poistaa.

  Tärkeää: Vain kertojat voidaan leikata!

• Fraktioiden lisäys ja vähennys:
  ;
• Muotoaminen ja fraktioiden jako:
  ;

Nyt, kun opimme taittamaan ja moninkertaistaa yksittäisiä fraktioita, voit harkita enemmän monimutkaiset rakenteet. Esimerkiksi, mitä jos tehtävä on myös riippuvainen ja vähentänyt ja kertomalla fraktiot?

Ensinnäkin on välttämätöntä kääntää kaikki fraktiot väärään. Sitten suoritamme jatkuvasti tarvittavat toimet - samalla tavalla kuin perinteisissä numeroilla. Nimittäin:

1. Ensinnäkin se nostetaan tutkintoon - päästä eroon kaikista ilmaisuista, jotka sisältävät indikaattoreita;
2. Sitten - jako ja lisääntyminen;
3. Viimeinen vaihe on lisätty ja vähennys.

Tietenkin, jos lausekkeessa on kiinnikkeitä, menettely muuttuu - kaikki, mikä seisoo kiinnikkeissä, on ensin harkittava. Ja muistaa väärät fraktiot: on tarpeen jakaa koko osa, kun kaikki muut toimet on jo täytetty.

Käännämme kaikki fraktiot ensimmäisestä ilmaisusta väärään ja suorita sitten toimia:

Etsi nyt toisen lausekkeen arvo. Täällä Frains S. koko osa Ei, mutta suluissa on suluja, joten ensin lisätään lisäys ja vain - jako. Huomaa, että 14 \u003d 7 · 2. Sitten:

Lopuksi katsomme kolmannen esimerkin. On kiinnikkeitä ja tutkinto - niitä harkitaan paremmin erikseen. Koska 9 \u003d 3 · 3 meillä on:

Kiinnitä huomiota viimeiseen esimerkkiin. Muodosta rakentaa murto-osa siinä määrin, on välttämätöntä erottaa numero erikseen tähän asteeseen ja erikseen nimittäjä.

Voit ratkaista eri tavalla. Jos muistat asteen aste, tehtävä vähennetään tavallinen kertolasku Fraktiot:

Monikerroksiset fraktiot

Toistaiseksi olemme pitäneet vain "puhtaita" fraktioita, kun numerointi ja nimittäjä ovat tavallisia numeroita. Tämä vastaa täysin ensimmäisessä oppitunnissa annetun numeerisen fraktion määrittämistä.

Mutta mitä jos numeroita tai nimittäjä sijoittaa monimutkaisempi esine? Esimerkiksi toinen numeerinen fraktio? Tällaiset rakenteet syntyvät melko usein, varsinkin kun työskentelet pitkillä ilmaisuilla. Tässä on muutamia esimerkkejä:

Monikerroksisten fraktioiden työ sääntö on vain yksi asia: on välttämätöntä päästä eroon niistä välittömästi. Poista "ylimääräiset" lattiat ovat melko yksinkertaisia, jos muistat, että murto-ominaisuus tarkoittaa vakioosan toimintaa. Siksi mikä tahansa murto voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Tämän tosiasian käyttäminen ja menettelyn tarkkaileminen vähennämme helposti kaikki monikerroksiset fraktiot normaaliksi. Katsokaa esimerkkejä:

Tehtävä. Käännä monikerroksiset fraktiot normaaliksi:

Kussakin tapauksessa kirjoita irtotavara ja korvaa divisioonan erotusominaisuus. Muistamme myös, että kaikki kokonaisluku edustaa fraktiota nimittäjällä 1. Ne. 12 \u003d 12/1; 3 \u003d 3/1. Saamme:

Viimeisessä esimerkissä fraktion lopullinen kertolasku väheni.

Multi-kerroksisten fraktioiden työskentely

Monikerroksisissa fraktioissa on yksi hienous, jonka sinun on aina muistettava, muuten saat virheellisen vastauksen, vaikka kaikki laskelmat olisivat oikein. Katso:

1. Neumener on erillinen numero 7 ja nimittäjä - laukaus 12/5;
2. Numeraattorissa on fraktio 7/12 ja nimittäjä - erillinen numero 5.

Joten yksi ennätys, kaksi täysin erilaista tulkintaa. Jos lasketaan, vastaukset ovat myös erilaisia:

Voit tallentaa aina luettavaksi varmasti, käytä yksinkertaista sääntöä: pääfraktion jaettu rivi on pidempi kuin piirre sisäkkäin. Edullisesti - useita kertoja.

Jos noudatat tätä sääntöä, edelläkävivät fraktiot on tallennettava näin:

Kyllä, ehkä se on ruma ja vie liikaa tilaa. Mutta harkitset oikein. Lopuksi pari esimerkkejä, joissa monikerroksiset fraktiot todella esiintyvät:

Tehtävä. Etsi lausekkeiden arvot:

Joten työskentelemme ensimmäisen esimerkin kanssa. Käännämme kaikki fraktiot väärään ja suoritamme sitten lisäysten ja divisioonan toiminnan:

Samoin jatkaa toista esimerkkiä. Käännämme kaikki fraktiot väärään ja toteutamme tarvittavat toiminnot. Jotta lukija ei ryntä, annan joitain ilmeisiä laskelmia. Meillä on:

Koska tärkeimmät fraktioiden numerot ja nimittäjä on määriä, monikerroksisten tahran tallennussääntöä kunnioitetaan automaattisesti. Lisäksi jälkimmäisessä esimerkissä jäimme tarkoituksellisesti numeron 46/1 fraktion muodossa jakautumisen täyttämiseksi.

Huomaa myös, että molemmissa esimerkeissä murto-ominaisuus todella korvaa suluja: ensimmäinen asia, jonka löysimme summan, ja vain sitten yksityiset.

Joku sanoo, että siirtyminen vääriin fraktioihin toisessa esimerkissä oli selvästi liiallinen. Ehkä se on. Mutta tässä varmistamme itsemme virheistä, koska seuraavalla kerralla esimerkki voi olla paljon monimutkaisempi. Valitse itsesi, mikä tärkeintä: nopeus tai luotettavuus.