Johdannainen 2x x:n juuri. Monimutkaisen funktion johdannainen. Ratkaisuesimerkkejä

Määritelmä. Olkoon funktio $y = f(x) $ määritelty jossain välissä, jonka sisällä on piste $x_0 $. Kasvatetaan $\Delta x $ argumenttiin, jotta emme jätä tätä väliä. Etsi funktion $\Delta y $ vastaava lisäys (siirryttäessä pisteestä $x_0 $ pisteeseen $x_0 + \Delta x $) ja muodosta relaatio $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Jos tälle suhteelle on raja kohdassa $\Delta x \rightarrow 0 $, niin osoitettua rajaa kutsutaan johdannainen funktio$y=f(x) $ pisteessä $x_0 $ ja merkitse $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolia y käytetään usein merkitsemään derivaatta. Huomaa, että y" = f(x) on uusi funktio, mutta liittyy luonnollisesti funktioon y = f(x), joka on määritelty kaikissa pisteissä x, joissa yllä oleva raja on olemassa. Tätä toimintoa kutsutaan seuraavasti: funktion y \u003d f (x) derivaatta.

Johdannan geometrinen merkitys koostuu seuraavista. Jos tangentti, joka ei ole yhdensuuntainen y-akselin kanssa, voidaan piirtää funktion y \u003d f (x) kuvaajaan pisteessä, jossa on abskissa x \u003d a, niin f (a) ilmaisee tangentin kaltevuuden:
$k = f"(a)$

Koska $k = tg(a) $, yhtälö $f"(a) = tg(a) $ on tosi.

Ja nyt tulkitsemme derivaatan määritelmää likimääräisten yhtälöiden kannalta. Olkoon funktiolla $y = f(x) $ derivaatta tietyssä pisteessä $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tämä tarkoittaa, että pisteen x lähellä likimääräinen yhtälö $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, eli $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Saadun likimääräisen yhtälön merkityksellinen merkitys on seuraava: funktion inkrementti on "melkein verrannollinen" argumentin kasvuun ja suhteellisuuskerroin on derivaatan arvo tietyssä pisteessä x. Esimerkiksi funktiolle $y = x^2 $ likimääräinen yhtälö $\Delta y \noin 2x \cdot \Delta x $ on tosi. Jos analysoimme derivaatan määritelmää huolellisesti, huomaamme, että se sisältää algoritmin sen löytämiseksi.

Muotoillaan se.

Kuinka löytää funktion y \u003d f (x) derivaatta?

1. Korjaa arvo $x $, etsi $f(x) $
2. Kasvata $x $ argumenttia $\Delta x $, siirry uuteen pisteeseen $x+ \Delta x $, etsi $f(x+ \Delta x) $
3. Etsi funktion inkrementti: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Muodosta relaatio $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Laske $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tämä raja on funktion derivaatta kohdassa x.

Jos funktiolla y = f(x) on derivaatta pisteessä x, niin sitä kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Kutsutaan menetelmä funktion y \u003d f (x) derivaatan löytämiseksi erilaistuminen funktiot y = f(x).

Tarkastellaan seuraavaa kysymystä: miten funktion jatkuvuus ja differentioituvuus pisteessä liittyvät toisiinsa?

Olkoon funktio y = f(x) differentioituva pisteessä x. Sitten funktion kuvaajalle voidaan piirtää tangentti pisteessä M (x; f (x)) ja, muistaakseni, tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x). Tällainen graafi ei voi "murtua" kohdassa pisteen M eli funktion on oltava jatkuva kohdassa x.

Se oli päättelyä "sormilla". Esitetään tiukempi argumentti. Jos funktio y = f(x) on differentioituva pisteessä x, niin likimääräinen yhtälö $\Delta y \noin f"(x) \cdot \Delta x $ pätee. nolla, sitten \(\Delta y \ ) pyrkii myös nollaan, ja tämä on ehto funktion jatkuvuudelle pisteessä.

Niin, jos funktio on differentioituva pisteessä x, niin se on myös jatkuva tässä pisteessä.

Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi: funktio y = |x| on jatkuva kaikkialla, erityisesti pisteessä x = 0, mutta funktion kaavion tangenttia "liitospisteessä" (0; 0) ei ole olemassa. Jos jossain vaiheessa on mahdotonta piirtää tangenttia funktiokaavioon, niin derivaatta ei ole tässä vaiheessa.

Vielä yksi esimerkki. Funktio $y=\sqrt(x) $ on jatkuva koko lukuviivalla, mukaan lukien pisteessä x = 0. Ja funktion kaavion tangentti on olemassa missä tahansa pisteessä, myös pisteessä x = 0 Mutta tässä vaiheessa tangentti osuu yhteen y-akselin kanssa, eli se on kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, sen yhtälön muoto on x \u003d 0. Tällaisella suoralla ei ole kaltevuutta, mikä tarkoittaa, että \ ( f "(0) \) ei myöskään ole olemassa

Joten tutustuimme funktion uuteen ominaisuuteen - differentiaatioon. Mistä tiedät, onko funktio erotettavissa funktion kaaviosta?

Vastaus on itse asiassa annettu yllä. Jos funktion kuvaajaan voidaan jossain vaiheessa piirtää tangentti, joka ei ole kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin tässä vaiheessa funktio on differentioituva. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajan tangenttia ei ole olemassa tai se on kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin funktio ei tässä vaiheessa ole differentioituva.

Erottamisen säännöt

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen. Tätä toimintoa suoritettaessa joudut usein työskentelemään osamääräjen, summien, funktioiden tulojen sekä "funktioiden funktioiden" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Derivaatan määritelmän perusteella voimme johtaa tätä työtä helpottavia differentiointisääntöjä. Jos C on vakioluku ja f=f(x), g=g(x) ovat joitain differentioituvia funktioita, niin seuraavat ovat totta eriyttämissäännöt:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Yhdistelmäfunktion derivaatta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Taulukko joidenkin funktioiden johdannaisista

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\teksti(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki ovat ymmärtäneet, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Päätös:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Tällaisen lausekkeen derivaatan laskemiseksi tarkastellaan ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerrotaan sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä se kuulostaa, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Takana Lyhytaikainen autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman testin ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.

Jolla analysoimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin tekniikoihin johdannaisten löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja viritä vakavaan tunnelmaan - materiaali ei ole helppoa, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukosta sääntöä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Me ymmärrämme. Ensinnäkin, katsotaanpa merkintää. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktioon . Tällaista funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain "x", vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei toimi. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä on mahdotonta "repiä":

Tässä esimerkissä jo selityksistäni on intuitiivisesti selvää, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel, joka on suoritettava, kun löydetään kompleksisen funktion derivaatta ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Kun yksinkertaisia esimerkkejä näyttää selvältä, että polynomi on sisäkkäin sinin alle. Mutta entä jos se ei ole ilmeistä? Kuinka määrittää tarkalleen, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan suorittaa henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijaan voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensisijaisesti sinun on suoritettava seuraava toiminto: , joten polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi sinun on löydettävä, joten sini - on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen YMMÄRTÄÄ sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa yhdistefunktioiden erottelusääntöä .

Alamme päättää. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa derivaatan ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikki taulukkokaavat ovat käyttökelpoisia, vaikka "x" korvattaisiin monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No sehän on aivan ilmeistä

Kaavan soveltamisen tulos puhdas näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita päätös paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitämme, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä on sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä pitää tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri:, mikä tarkoittaa, että polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten eksponentiointi suoritetaan, siksi tehotoiminto on ulkoinen toiminto:

Kaavan mukaan , sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme haluttua kaavaa taulukosta:. Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "x:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos Seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkofunktion derivaatan, sisäfunktio ei muutu:

Nyt on vielä löydettävä hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja "kampattava" tulos hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös(vastaus oppitunnin lopussa).

Monimutkaisen funktion derivaatan ymmärtämisen vahvistamiseksi annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, syy, missä on ulkoinen ja missä on sisäinen funktio, miksi tehtävät ratkaistaan tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä asteena. Joten tuomme ensin funktion oikeaan muotoon erottamista varten:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja eksponentio on ulkoinen funktio. Sovellamme monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä :

Aste esitetään jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit silti tuoda lausekkeen yhteiseen nimittäjään suluissa ja kirjoittaa kaiken muistiin yhtenä murtolukuna. Se on tietysti kaunista, mutta kun hankalia pitkiä johdannaisia saadaan, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeeton virhe, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voidaan käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää epätavalliselta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - poistamme derivaatan miinusmerkin ja nostamme kosinin osoittajaan:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme :

Löydämme sisäisen funktion derivaatan, nollaamme kosinin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää olla hämmentymättä merkkejä. Muuten, yritä ratkaista se säännöllä , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Toistaiseksi olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärrämme tämän toiminnon liitteet. Pyrimme arvioimaan lausekkeen kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä, mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin pesä:

Tämä yksikköarsini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän valtaan:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi sisäkkäistä funktiota, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Alamme päättää

Säännön mukaan Ensin sinun on otettava ulomman funktion johdannainen. Katsomme johdannaisten taulukkoa ja löydämme derivaatan eksponentti funktio: Ainoa ero on, että "x":n sijasta meillä on monimutkainen ilmaisu, mikä ei mitätöi tämän kaavan pätevyyttä. Eli monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön soveltamisen tulos Seuraava.

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.

Yksinkertaisimpien (ja ei kovin yksinkertaisten) funktioiden johdannaisten löytämisen ongelmien ratkaisemisen tuloksena määrittämällä derivaatta argumentin lisäyksen ja inkrementin välisen suhteen rajaksi, ilmestyi derivaattataulukko ja täsmälleen. tietyt säännöt erilaistuminen. Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) työskentelivät ensimmäisinä johdannaisten löytämisen alalla.

Siksi meidän aikanamme minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi ei tarvitse laskea edellä mainittua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, vaan tarvitsee vain käyttää taulukkoa. johdannaisista ja differentiointisäännöistä. Seuraava algoritmi sopii derivaatan löytämiseen.

Löytääksesi johdannaisen, tarvitset ilmaisun vetomerkin alle hajottaa yksinkertaisia toimintoja ja päättää mitä toimia (tuote, summa, osamäärä) nämä toiminnot liittyvät toisiinsa. Edelleen löydämme alkeisfunktioiden derivaatat derivaattataulukosta ja kaavat tulon, summan ja osamäärän derivaateille - differentiaatiosäännöistä. Taulukko johdannaisista ja differentiointisäännöistä on annettu kahden ensimmäisen esimerkin jälkeen.

Esimerkki 1 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Differentiointisäännöistä selviää, että funktioiden summan derivaatta on funktioiden derivaattojen summa, ts.

Derivaatataulukosta selviää, että "X":n derivaatta on yhtä suuri kuin yksi ja sinin derivaatta on kosini. Korvaamme nämä arvot johdannaisten summassa ja löydämme ongelman ehdon vaatiman derivaatan:

Esimerkki 2 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Diferencioidaan summan derivaatana, jossa toinen termi vakiokertoimella voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

Jos on vielä kysymyksiä siitä, mistä jokin tulee, ne pääsääntöisesti selviävät johdannaistaulukon ja yksinkertaisimmat differentiointisäännöt lukemisen jälkeen. Olemme menossa heidän luokseen juuri nyt.

Taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisista

1. Vakion (luvun) derivaatta. Mikä tahansa luku (1, 2, 5, 200...), joka on funktiolausekkeessa. Aina nolla. Tämä on erittäin tärkeää muistaa, koska sitä vaaditaan hyvin usein
2. Riippumattoman muuttujan johdannainen. Useimmiten "x". Aina yhtä kuin yksi. Tämä on myös tärkeää muistaa
3. Tutkinnon johdannainen. Kun ratkaiset tehtäviä, sinun on muunnettava ei-neliöjuuret potenssiksi.
4. Muuttujan johdannainen potenssiin -1
5. Johdannainen neliöjuuri
6. Sinijohdannainen
7. Kosinijohdannainen
8. Tangenttiderivaata
9. Kotangentin derivaatta
10. Arsinin derivaatta
11. Arkkikosinin derivaatta
12. Arktangentin derivaatta
13. Käänteisen tangentin derivaatta
14. Luonnollisen logaritmin derivaatta
15. Logaritmisen funktion derivaatta
16. Eksponentin derivaatta
17. Eksponentiaalisen funktion derivaatta

Erottamisen säännöt

1. Summan tai erotuksen johdannainen
2. Tuotteen johdannainen
2a. Johdannainen lausekkeesta kerrottuna vakiotekijällä
3. Osamäärän derivaatta
4. Monimutkaisen funktion derivaatta

Sääntö 1Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa , sitten samassa kohdassa funktiot

nuo. funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa.

Seuraus. Jos kaksi differentioituvaa funktiota eroavat toisistaan vakiolla, niin niiden derivaatat ovat, eli

Sääntö 2Jos toimii

ovat erotettavissa jossain vaiheessa, silloin niiden tuote on myös erotettavissa samassa pisteessä

nuo. kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden kunkin funktion tulojen ja toisen derivaatan summa.

Seuraus 1. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä:

Seuraus 2. Useiden differentioituvien funktioiden tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin tekijän ja kaikkien muiden derivaatan tulojen summa.

Esimerkiksi kolmelle kertoimelle:

Sääntö 3Jos toimii

erottuva jossain vaiheessa ja , niin tässä vaiheessa myös niiden osamäärä on differentioituva.u/v ja

nuo. kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on edellisen osoittajan neliö .

Mistä etsiä muilta sivuilta

Kun tuotteen derivaatta ja osamäärä todellisissa tehtävissä löydetään, on aina tarpeen soveltaa useita differentiaatiosääntöjä kerralla, joten artikkelissa on enemmän esimerkkejä näistä derivaatoista."Tuotteen ja osamäärän johdannainen".

Kommentti. Vakiota (eli lukua) ei pidä sekoittaa termiksi summassa ja vakiotekijänä! Termin tapauksessa sen derivaatta on nolla, ja vakiotekijän tapauksessa se otetaan pois derivaattojen etumerkistä. Tämä on tyypillinen virhe, joka tapahtuu alkuvaiheessa oppimisen johdannaisia, mutta kun ne ratkaisevat useita yksi-kaksikomponenttisia esimerkkejä, keskivertoopiskelija ei enää tee tätä virhettä.

Ja jos sinulla on termi, kun erotat tuotteen tai osamäärän u"v, jossa u- luku, esimerkiksi 2 tai 5, eli vakio, niin tämän luvun derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ja siksi koko termi on yhtä suuri kuin nolla (tällaista tapausta analysoidaan esimerkissä 10) .

Muut yleinen virhe- kompleksisen funktion derivaatan mekaaninen ratkaisu yksinkertaisen funktion derivaatana. Niin kompleksisen funktion derivaatta omistettu erilliselle artikkelille. Mutta ensin opimme löytämään johdannaisia yksinkertaisia toimintoja.

Matkan varrella et tule toimeen ilman lausekkeiden muunnoksia. Tätä varten sinun on ehkä avattava uusissa Windows-käyttöoppaat Toimet, joilla on voimia ja juuria ja Toiminnot murtoluvuilla .

Jos etsit ratkaisuja johdannaisille, joilla on potenssit ja juuret, eli milloin funktio näyttää , noudata sitten oppituntia "Murtolukujen summan johdannainen potenssien ja juurien kanssa".

Jos sinulla on tehtävä, kuten , niin olet oppitunnilla "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset".

Vaiheittaiset esimerkit - kuinka löytää johdannainen

Esimerkki 3 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Määritämme funktion lausekkeen osat: koko lauseke edustaa tuotetta ja sen tekijät ovat summia, joista toisessa yksi termeistä sisältää vakiotekijän. Sovellamme tulojen erottelusääntöä: kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden tulojen summa ja toisen funktion tulojen summa:

Seuraavaksi sovelletaan summan differentiaatiosääntöä: funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa. Meidän tapauksessamme kussakin summassa toinen termi miinusmerkillä. Jokaisessa summassa näemme sekä itsenäisen muuttujan, jonka derivaatta on yhtä suuri, että vakion (luku), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Joten "x" muuttuu yhdeksi ja miinus 5 - nollaksi. Toisessa lausekkeessa "x" kerrotaan kahdella, joten kerromme kaksi samalla yksiköllä kuin "x":n derivaatta. Saamme seuraavat arvot johdannaiset:

Korvaamme löydetyt derivaatat tulojen summaksi ja saamme koko tehtävän ehdon vaatiman funktion derivaatan:

Esimerkki 4 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Meidän on löydettävä osamäärän derivaatta. Käytämme osamäärän erottamiseen kaavaa: kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän ja osoittajan derivaatan sekä osoittajan ja nimittäjän derivaatan tulojen erotus, ja nimittäjä on entisen osoittajan neliö. Saamme:

Olemme jo löytäneet esimerkin 2 osoittajan tekijöiden derivaatan. Älä myöskään unohda, että tulo, joka on osoittajan toinen tekijä, otetaan nykyisessä esimerkissä miinusmerkillä:

Jos etsit ratkaisuja sellaisiin ongelmiin, joissa sinun on löydettävä funktion derivaatta, jossa on jatkuva kasa juuria ja asteita, kuten esim. sitten tervetuloa tunnille "Johdannainen murtolukujen summasta potenssien ja juurien kanssa" .

Jos haluat oppia lisää sinien, kosinien, tangenttien ja muiden johdannaisista trigonometriset funktiot, eli kun funktio näyttää tältä , sitten sinulla on oppitunti "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset" .

Esimerkki 5 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Tässä funktiossa näemme tuotteen, jonka yksi tekijöistä on riippumattoman muuttujan neliöjuuri, jonka derivaattaan tutustuimme derivaattataulukossa. Tuloerosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saamme:

Esimerkki 6 Etsi funktion derivaatta

Päätös. Tässä funktiossa näemme osamäärän, jonka osinko on riippumattoman muuttujan neliöjuuri. Esimerkissä 4 toistetun ja sovelletun osamäärän differentiaatiosäännön ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon mukaan saadaan:

Poistaaksesi osoittajan murto-osan kertomalla osoittaja ja nimittäjä luvulla.

Tällä oppitunnilla opimme soveltamaan kaavoja ja erottelusääntöjä.

Esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatat.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Säännön soveltaminen minä, kaavat 4, 2 ja 1. Saamme:

y'=7x6 +5x4 -4x3 +3x2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Ratkaisemme samalla tavalla käyttämällä samoja kaavoja ja kaavaa 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Säännön soveltaminen minä, kaavat 3, 5 ja 6 ja 1.

Säännön soveltaminen IV, kaavat 5 ja 1 .

Viidennessä esimerkissä säännön mukaan minä summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, ja löysimme juuri ensimmäisen termin derivaatan (esimerkki 4 ), siksi löydämme johdannaisia 2 ja 3 ehdot ja 1:lle termi, voimme heti kirjoittaa tuloksen.

Erottava 2 ja 3 termejä kaavan mukaan 4 . Tätä varten muunnamme nimittäjien kolmannen ja neljännen asteen juuret potenssiiksi, joilla on negatiivinen eksponentti, ja sitten 4 kaava, löydämme potenssien johdannaiset.

Katso annettu esimerkki ja tulos. Saitko kuvion kiinni? Hyvä. Tämä tarkoittaa, että meillä on uusi kaava ja voimme lisätä sen johdannaistaulukkoomme.

Ratkaistaan kuudes esimerkki ja johdetaan vielä yksi kaava.

Käytämme sääntöä IV ja kaava 4 . Vähennämme saatuja fraktioita.

Tarkastellaan tätä funktiota ja sen johdannaista. Tietenkin ymmärsit kuvion ja olet valmis nimeämään kaavan:

Opi uusia kaavoja!

Esimerkkejä.

1. Etsi argumentin inkrementti ja funktion inkrementti y= x2 jos argumentin alkuarvo oli 4 , ja uusi 4,01 .

Päätös.

Uusi argumentin arvo x \u003d x 0 + Δx. Korvaa tiedot: 4.01=4+Δx, joten argumentin lisäys Δх=4,01-4 = 0,01. Funktion inkrementti on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen erotus, ts. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y=x2, sitten Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastaus: argumentin lisäys Δх=0,01; funktion lisäys Δу=0,0801.

Funktioinkrementti oli mahdollista löytää toisella tavalla: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Etsi funktiokaavion tangentin kaltevuuskulma y=f(x) pisteessä x 0, jos f "(x 0) \u003d 1.

Päätös.

Johdannan arvo kosketuspisteessä x 0 ja on tangentin kulman tangentin arvo (derivaatan geometrinen merkitys). Meillä on: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, kuten tg45° = 1.

Vastaus: tämän funktion kaavion tangentti muodostaa kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa, joka on yhtä suuri kuin 45°.

3. Johda funktion derivaatan kaava y=xn.

Erilaistuminen on funktion derivaatan löytäminen.

Derivaataita etsittäessä käytetään kaavoja, jotka on johdettu derivaatan määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme derivaatan asteen kaavan: (x n)" = nx n-1.

Tässä ovat kaavat.

Johdannaistaulukko se on helpompi muistaa lausumalla sanalliset sanamuodot:

1. Vakioarvon derivaatta on nolla.

2. X-isku on yhtä suuri kuin yksi.

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä.

4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo samalla kantalla, mutta eksponentti on yksi vähemmän.

5. Juuren derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kahdella samalla juurella.

6. Yksikön derivaatta jaettuna x:llä on miinus yksi jaettuna x:llä neliöitynä.

7. Sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini.

8. Kosinin derivaatta on yhtä suuri kuin miinussini.

9. Tangentin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.

10. Kotangentin derivaatta on miinus yksi jaettuna sinin neliöllä.

Me opetamme eriyttämissäännöt.

1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaatan termien algebrallinen summa.

2. Tuloksen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän derivaatan tulo toisella plus ensimmäisen tekijän tulo toisen derivaatalla.

3. "Y":n johdannainen jaettuna "ve":llä on yhtä suuri kuin murtoluku, jonka osoittajassa "y on veto kerrottuna "ve" miinus "y, kerrottuna viivalla" ja nimittäjässä - "ve neliö". ”.

4. erikoistapaus kaavat 3.

Opitaan yhdessä!

Sivu 1/1 1