Taivutusesimerkkejä. Yksinkertaiset vastustustyypit. tasainen mutka. Normaalit ja leikkausjännitykset

Taivutusmuodonmuutos koostuu suoran tangon akselin taivutuksesta tai suoran tangon alkukaarevuuden muuttamisesta (kuva 6.1). Tutustutaan peruskäsitteisiin, joita käytetään pohdittaessa taivutusmuodonmuutosta.

Taivutustankoja kutsutaan palkit.

Puhdas kutsutaan taivutusta, jossa taivutusmomentti on ainoa sisäinen voimatekijä, joka esiintyy palkin poikkileikkauksessa.

Useammin tangon poikkileikkauksessa taivutusmomentin ohella syntyy myös poikittaisvoima. Tätä mutkaa kutsutaan poikittaiseksi.

Tasainen (suora) taivutusta kutsutaan, kun taivutusmomentin vaikutustaso poikkileikkauksessa kulkee yhden poikkileikkauksen pääkeskiakselin kautta.

klo vino mutka taivutusmomentin vaikutustaso leikkaa palkin poikkileikkauksen linjaa pitkin, joka ei ole yhdenmukainen poikkileikkauksen minkään pääkeskiakselin kanssa.

Aloitamme tpuhtaan tasomaivutuksen tapauksessa.

Normaalit jännitykset ja venymät puhtaassa taivutuksessa.

Kuten jo mainittiin, puhtaalla tasotaivutuksella kuuden sisäisen voimatekijän poikkileikkauksessa vain taivutusmomentti ei ole nolla (kuva 6.1, c):

Elastisilla malleilla tehdyt kokeet osoittavat, että jos mallin pintaan levitetään viivojen ruudukko (kuva 6.1, a), niin puhtaalla taivutuksella se muotoutuu seuraavasti (Kuva 6.1, b):

a) pitkittäiset viivat ovat kaarevia kehää pitkin;

b) poikkileikkausten ääriviivat pysyvät tasaisina;

c) osien ääriviivojen linjat leikkaavat kaikkialla pituussuuntaisten kuitujen kanssa suorassa kulmassa.

Tämän perusteella voidaan olettaa, että puhtaassa taivutuksessa palkin poikkileikkaukset pysyvät litteinä ja pyörivät siten, että ne pysyvät kohtisuorassa palkin kaarevan akselin suhteen (hypoteesi litteistä osista taivutuksen aikana).

Riisi. 6.1

Pitkittäisten viivojen pituutta mittaamalla (kuva 6.1, b) voidaan havaita, että ylemmät kuidut pidentyvät palkin muotoaan muutettaessa ja alemmat lyhenevät. On selvää, että on mahdollista löytää sellaisia kuituja, joiden pituus pysyy muuttumattomana. Kutsutaan sarjaa kuituja, jotka eivät muuta pituuttaan palkkia taivutettaessa neutraali kerros (n. s.)... Neutraali kerros ylittää palkin poikkileikkauksen suorassa linjassa, jota kutsutaan osan neutraaliviiva (n. l.)..

Poikkileikkauksessa syntyvien normaalijännitysten suuruuden määrittävän kaavan johtamiseksi tarkastellaan palkin poikkileikkausta, joka on epämuodostunut ja muotoutumaton (kuva 6.2).

Riisi. 6.2

Valitse pituuselementti kahdella äärettömän pienellä poikkileikkauksella
... Ennen muodonmuutosta elementtiä rajoittavat osat
, olivat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (kuva 6.2, a), ja muodonmuutoksen jälkeen ne kallistuivat hieman muodostaen kulman
... Neutraalissa kerroksessa olevien kuitujen pituus ei muutu taivutettaessa
... Merkitään neutraalin kerroksen jäljen kaarevuussäde piirustuksen tasossa kirjaimella ... Määrittele mielivaltaisen kuidun lineaarinen muodonmuutos
matkan päästä neutraalista kerroksesta.

Tämän kuidun pituus muodonmuutoksen jälkeen (kaaren pituus
) on yhtä suuri kuin
... Ottaen huomioon, että ennen muodonmuutosta kaikilla kuiduilla oli sama pituus
, saadaan, että tarkasteltavan kuidun absoluuttinen venymä

Sen suhteellinen muodonmuutos

Se on selvää
, koska neutraalissa kerroksessa olevan kuidun pituus ei ole muuttunut. Sitten vaihdon jälkeen
saada

(6.2)

Siksi suhteellinen pituussuuntainen muodonmuutos on verrannollinen kuidun etäisyyteen neutraaliakselista.

Otetaan käyttöön oletus, että pitkittäiset kuidut eivät paina toisiaan vasten taivutettaessa. Tämän oletuksen mukaan jokainen kuitu on erillään muotoutunutta, yksinkertaisen jännityksen tai puristuksen läpi, jolloin
... Ottaen huomioon (6.2)

, (6.3)

eli normaalijännitykset ovat suoraan verrannollisia tarkasteltavien leikkauspisteiden etäisyyksiin neutraalista akselista.

Korvataan taivutusmomentin lausekkeeseen riippuvuus (6.3).
poikkileikkauksessa (6.1)

Muista, että integraali
edustaa leikkauksen hitausmomenttia akselin ympäri

(6.4)

Riippuvuus (6.4) on Hooken laki taivutuksessa, koska se liittyy muodonmuutokseen (neutraalin kerroksen kaarevuus
) momentilla, joka toimii osiossa. Työ
kutsutaan poikkileikkauksen jäykkyydeksi taivutuksessa, Nm 2.

Korvaa (6.4) arvolla (6.3)

(6.5)

Tämä on haettu kaava normaalijännitysten määrittämiseksi palkin puhtaan taivutuksen aikana missä tahansa sen poikkileikkauksen kohdassa.

Selvittääksemme missä neutraaliviiva on poikkileikkauksessa korvaamme lausekkeen normaalijännitysten arvolla pituussuuntaisen voiman.
ja taivutusmomentti

Sikäli kuin
,

;

(6.6)

(6.7)

Yhtälö (6.6) osoittaa, että akseli - poikkileikkauksen neutraaliakseli - kulkee poikkileikkauksen painopisteen läpi.

Tasa-arvo (6.7) osoittaa sen ja - osan pääkeskiakselit.

(6.5) mukaan suurin jännitys saavutetaan neutraalista linjasta kauimpana olevissa kuiduissa

Asenne edustaa osan aksiaalista vastusmomenttia sen keskiakselin ympärillä , tarkoittaa

Merkitys yksinkertaisimpia poikkileikkauksia varten seuraavat:

Suorakaiteen muotoiselle poikkileikkaukselle

, (6.8)

missä - leikkauksen sivu, joka on kohtisuorassa akseliin nähden ;

- osan sivu on yhdensuuntainen akselin kanssa ;

Pyöreälle poikkileikkaukselle

, (6.9)

missä on pyöreän poikkileikkauksen halkaisija.

Lujuuden ehto normaaleissa taivutusjännityksissä voidaan kirjoittaa muodossa

(6.10)

Kaikki saadut kaavat on saatu suoran tangon puhtaalle taivutukselle. Poikittaisvoiman toiminta johtaa siihen, että päätelmien taustalla olevat hypoteesit menettävät pätevyyden. Laskentakäytäntö kuitenkin osoittaa, että palkkien ja runkojen poikittaistaivutuksessa, kun osassa, taivutusmomentin lisäksi
pituussuuntainen voima vaikuttaa edelleen
ja sivuvoima , voit käyttää puhtaalle taivutukselle annettuja kaavoja. Tässä tapauksessa virhe osoittautuu merkityksettömäksi.

Yleisiä käsitteitä.

Taivutusmuodonmuutoskoostuu suoran tangon akselin taivutuksesta tai suoran tangon alkuperäisen kaarevuuden muuttamisesta(kuva 6.1) ... Tutustutaan peruskäsitteisiin, joita käytetään pohdittaessa taivutusmuodonmuutosta.

Taivutustankoja kutsutaan palkit.

Puhdas kutsutaan taivutusta, jossa taivutusmomentti on ainoa sisäinen voimatekijä, joka esiintyy palkin poikkileikkauksessa.

Useammin tangon poikkileikkauksessa taivutusmomentin ohella syntyy myös poikittaisvoima. Tätä mutkaa kutsutaan poikittaiseksi.

Tasainen (suora) taivutusta kutsutaan, kun taivutusmomentin vaikutustaso poikkileikkauksessa kulkee yhden poikkileikkauksen pääkeskiakselin kautta.

Vino taivutus taivutusmomentin vaikutustaso leikkaa palkin poikkileikkauksen linjaa pitkin, joka ei ole yhdenmukainen poikkileikkauksen minkään pääkeskiakselin kanssa.

Aloitamme tpuhtaan tasomaivutuksen tapauksessa.

Normaalit jännitykset ja venymät puhtaassa taivutuksessa.

Kuten jo mainittiin, puhtaalla tasotaivutuksella kuuden sisäisen voimatekijän poikkileikkauksessa vain taivutusmomentti ei ole nolla (kuva 6.1, c):

; (6.1)

Elastisilla malleilla tehdyt kokeet osoittavat, että jos mallin pintaan levitetään viivojen ruudukko(Kuva 6.1, a) , niin puhtaassa taivutuksessa se muotoutuu seuraavasti(Kuva 6.1, b):

a) pitkittäiset viivat ovat kaarevia kehää pitkin;

b) poikkileikkausten ääriviivat pysyvät tasaisina;

c) osien ääriviivojen linjat leikkaavat kaikkialla pituussuuntaisten kuitujen kanssa suorassa kulmassa.

Riisi. ...

Pitkittäisten viivojen pituutta mittaamalla (kuva 6.1, b) voidaan havaita, että ylemmät kuidut pidentyvät palkin muotoaan muutettaessa ja alemmat lyhenevät. On selvää, että on mahdollista löytää sellaisia kuituja, joiden pituus pysyy muuttumattomana. Kutsutaan sarjaa kuituja, jotka eivät muuta pituuttaan palkkia taivutettaessaneutraali kerros (n. s.)... Neutraali kerros ylittää palkin poikkileikkauksen suorassa linjassa, jota kutsutaanosan neutraaliviiva (n. l.)..

Poikkileikkauksessa syntyvien normaalijännitysten suuruuden määrittävän kaavan johtamiseksi tarkastellaan palkin poikkileikkausta, joka on epämuodostunut ja muotoutumaton (kuva 6.2).

Riisi. ...

Valitse elementti, jolla on kaksi äärettömän pientä poikkileikkausta. Ennen muodonmuutosta elementtiä rajoittavat osat olivat yhdensuuntaiset toistensa kanssa (kuva 6.2, a), ja muodonmuutoksen jälkeen ne kallistuivat hieman muodostaen kulman. Neutraalissa kerroksessa olevien kuitujen pituus ei muutu taivutettaessa. Merkitään kirjaimella neutraalin kerroksen jäljen kaarevuussäde piirustuksen tasossa. Määritetään mielivaltaisen kuidun lineaarinen muodonmuutos, joka on etäisyyden päässä neutraalista kerroksesta.

Tämän kuidun pituus muodonmuutoksen jälkeen (kaaren pituus) on yhtä suuri. Ottaen huomioon, että ennen muodonmuutosta kaikilla kuiduilla oli sama pituus, saadaan, että tarkasteltavan kuidun absoluuttinen venymä

Sen suhteellinen muodonmuutos

On selvää, koska neutraalissa kerroksessa olevan kuidun pituus ei ole muuttunut. Sitten vaihdon jälkeen saamme

(6.2)

Siksi suhteellinen pituussuuntainen muodonmuutos on verrannollinen kuidun etäisyyteen neutraaliakselista.

Otetaan käyttöön oletus, että pitkittäiset kuidut eivät paina toisiaan vasten taivutettaessa. Tämän oletuksen mukaan jokainen kuitu muunnetaan erillään, jolloin se käy läpi yksinkertaista jännitystä tai puristusta, jossa. Ottaen huomioon (6.2)

, (6.3)

eli normaalijännitykset ovat suoraan verrannollisia tarkasteltavien leikkauspisteiden etäisyyksiin neutraalista akselista.

Korvaa riippuvuus (6.3) poikkileikkauksen taivutusmomentin (6.1) lausekkeeseen.

Muista, että integraali on leikkauksen hitausmomentti akselin ympäri

Tai

(6.4)

Riippuvuus (6.4) on Hooken laki taivutuksessa, koska se yhdistää muodonmuutoksen (neutraalin kerroksen kaarevuuden) leikkausvoimaan vaikuttavaan momenttiin. Tuotetta kutsutaan poikkileikkauksen jäykkyydeksi taivutuksessa, N m 2.

Korvaa (6.4) arvolla (6.3)

(6.5)

Tämä on haettu kaava normaalijännitysten määrittämiseksi palkin puhtaan taivutuksen aikana missä tahansa sen poikkileikkauksen kohdassa.

varten jotta saadaan selville missä neutraaliviiva on poikkileikkauksessa, korvaamme normaalijännitysten arvon pituussuuntaisen voiman ja taivutusmomentin ilmaisussa

Sikäli kuin

sitten

(6.6)

(6.7)

Yhtälö (6.6) osoittaa, että akseli - leikkauksen neutraali akseli - kulkee poikkileikkauksen painopisteen kautta.

Tasa-arvo (6.7) osoittaa, että ja ovat jakson pääakselit.

(6.5) mukaan suurin jännitys saavutetaan neutraalista linjasta kauimpana olevissa kuiduissa

Suhde on poikkileikkauksen aksiaalinen vastusmomentti suhteessa sen keskiakseliin, mikä tarkoittaa

Yksinkertaisimpien poikkileikkausten merkitys on seuraava:

Suorakaiteen muotoiselle poikkileikkaukselle

, (6.8)

missä on poikkileikkauksen sivu, joka on kohtisuorassa akseliin nähden;

Leikkauksen sivu on yhdensuuntainen akselin kanssa;

Pyöreälle poikkileikkaukselle

, (6.9)

missä on pyöreän poikkileikkauksen halkaisija.

Lujuuden ehto normaaleissa taivutusjännityksissä voidaan kirjoittaa muodossa

(6.10)

Kaikki saadut kaavat on saatu suoran tangon puhtaalle taivutukselle. Poikittaisvoiman toiminta johtaa siihen, että päätelmien taustalla olevat hypoteesit menettävät pätevyyden. Laskentakäytäntö kuitenkin osoittaa, että palkkien ja runkojen poikittaistaivutuksessa, kun taivutusmomentin lisäksi leikkauksessa vaikuttaa myös pituussuuntainen voima ja poikittaisvoima, voidaan käyttää puhtaalle taivutukselle annettuja kaavoja. . Tässä tapauksessa virhe osoittautuu merkityksettömäksi.

Leikkausvoimien ja taivutusmomenttien määritys.

Kuten jo mainittiin, tasosuuntaisen taivutuksen tapauksessa palkin poikkileikkauksessa syntyy kaksi sisäistä voimatekijää ja.

Ennen kuin määrität ja määrität palkkien kannattimien reaktiot (kuva 6.3, a), muodostamalla staattisen tasapainon yhtälöt.

Määrittää ja soveltaa osien menetelmää. Meitä kiinnostavaan paikkaan teemme palkista mentaalisen osan esimerkiksi etäisyyden päässä vasemmasta tuesta. Hylätään yksi säteen osista, esimerkiksi oikea, ja tarkastellaan vasemman puolen tasapainoa (Kuva 6.3, b). Korvaamme palkin osien vuorovaikutuksen sisäisillä voimilla ja.

Tehdään seuraavat merkkisäännöt ja:

Leikkauksen poikittaisvoima on positiivinen, jos sen vektorit pyrkivät kiertämään tarkasteltavaa leikkausta myötäpäivään;
Leikkauksen taivutusmomentti on positiivinen, jos se aiheuttaa yläkuitujen puristumista.

Riisi. ...

Näiden pyrkimysten määrittämiseksi käytämme kahta tasapainoyhtälöä:

1. ; ; .

2. ;

Täten,

a) poikittaisvoima palkin poikkileikkauksessa on numeerisesti yhtä suuri kuin poikkileikkauksen toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien poikittaisakselille suuntautuvien projektioiden algebrallinen summa;

b) taivutusmomentti palkin poikkileikkauksessa on numeerisesti yhtä suuri kuin tietyn poikkileikkauksen toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien algebrallinen summa (laskettuna suhteessa leikkauksen painopisteeseen).

Käytännön laskelmissa niitä ohjaavat yleensä seuraavat:

Jos ulkoinen kuorma pyrkii kääntämään palkkia myötäpäivään suhteessa tarkasteltavaan osaan (kuva 6.4, b), niin se antaa lausekkeessa positiivisen termin.
Jos ulkoinen kuormitus muodostaa tarkasteltavaan osaan nähden momentin, joka aiheuttaa palkin ylempien kuitujen puristumisen (kuva 6.4, a), niin tämän osan lausekkeessa for se antaa positiivisen termin.

Riisi. ...

Kaavioiden rakentaminen palkkiin.

Harkitse kaksitukipalkkia(kuva 6.5, a) ... Keskitetty momentti vaikuttaa palkkiin pisteessä, keskittynyt voima pisteessä ja tasaisesti jakautunut intensiteettikuorma osaan.

Määrittelemme tukireaktiot ja(Kuva 6.5, b) ... Tuloksena oleva jakautunut kuorma on yhtä suuri ja sen toimintalinja kulkee osan keskustan läpi. Tehdään momenttien yhtälöt pisteiden ja suhteen.

Määrittelemme leikkausvoiman ja taivutusmomentin mielivaltaisessa leikkauksessa, joka sijaitsee etäisyydellä pisteestä A(Kuva 6.5, c) .

(Kuva 6.5, d). Etäisyys voi vaihdella () sisällä.

Poikittaisvoiman arvo ei riipu leikkauksen koordinaatista, joten poikittaisvoimat ovat kaikissa leikkauksen osissa samat ja kaavio on suorakulmion muotoinen. Taivutusmomentti

Taivutusmomentti muuttuu lineaarisesti. Määritellään tontin ordinaatit koealan rajoja varten.

Määrittelemme leikkausvoiman ja taivutusmomentin mielivaltaisessa leikkauksessa, joka sijaitsee etäisyydellä pisteestä(Kuva 6.5, d). Etäisyys voi vaihdella () sisällä.

Poikittaisvoima muuttuu lineaarisesti. Määritä sivuston rajat.

Taivutusmomentti

Tämän osan taivutusmomenttien kaavio on parabolinen.

Taivutusmomentin ääriarvon määrittämiseksi nollataan taivutusmomentin derivaatta poikkileikkauksen abskissaa pitkin:

Täältä

Leikkaukselle, jolla on koordinaatti, taivutusmomentin arvo on

Tuloksena saadaan kaavioita leikkausvoimista(Kuva 6.5, e) ja taivutusmomentit (Kuva 6.5, g).

Differentiaalisen taivutuksen riippuvuudet.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Nämä riippuvuudet mahdollistavat joidenkin taivutusmomenttien ja leikkausvoimien kaavioiden piirteiden määrittämisen:

N alueilla, joilla ei ole hajautettua kuormaa, kaaviot rajoittuvat kaavion nollaviivan suuntaisiin suoriin ja kaavioita yleensä rajoittavat vinot suorat.

N alueilla, joilla palkkiin kohdistuu tasaisesti jakautunut kuormitus, kaavio on rajoitettu vinoilla suorilla viivoilla ja kaaviota rajoittavat neliöparaabelit, joiden kupera on vastakkaiseen suuntaan kuorman vaikutuksen suuntaa vastaan.

V osia, joissa käyrän tangentti on yhdensuuntainen käyrän nollaviivan kanssa.

N ja alueilla, joilla hetki kasvaa; alueilla, joilla hetki pienenee.

V osissa, joissa palkkiin kohdistuu keskittyneitä voimia, kaaviossa on hyppyjä kohdistettujen voimien suuruuden mukaan ja kaaviossa on murtumia.

Osissa, joissa palkkiin kohdistetaan keskittyneitä momentteja, kaaviossa tapahtuu hyppyjä näiden momenttien suuruuden mukaan.

Kaavion ordinaatit ovat verrannollisia piirroksen tangentin kaltevuuskulman tangenttiin.

Suora mutka. Tasopoikittaistaivutus Palkkien sisäisten voimakertoimien piirtäminen Q- ja M-kaavioiden piirtäminen yhtälöiden avulla Q- ja M-kaavioiden piirtäminen ominaisleikkauksista (pisteistä) Lujuuslaskelmat palkkien suoralle taivutukselle Päätaivutusjännitykset. Täydellinen palkkien lujuuden tarkastus Taivutuskeskiön käsite Palkkien siirtymien määritys taivutuksen aikana. Palkkien muodonmuutoskäsitteet ja niiden jäykkyyden ehdot Palkin kaarevan akselin differentiaaliyhtälö Suora integrointimenetelmä Esimerkkejä palkkien siirtymien määrittämisestä suoran integroinnin menetelmällä Integrointivakioiden fyysinen merkitys Alkuparametrien menetelmä (kaarevan akselin universaali yhtälö säteestä). Esimerkkejä säteen siirtymien määrittämisestä alkuparametrien menetelmällä Siirtymien määrittäminen Mohrin menetelmällä. Sääntö A.K. Vereshchagin. Mohrin integraalin laskenta A.K. Vereshchagin Esimerkkejä siirtymien määrittämisestä Mohrin integraalin Bibliography Direct bend avulla. Tasainen sivuttaiskääntö. 1.1. Palkkien sisäisten voimakertoimien piirtäminen Suorataivutus on muodonmuutostyyppi, jossa tangon poikkileikkauksiin syntyy kaksi sisäistä voimatekijää: taivutusmomentti ja leikkausvoima. Tietyssä tapauksessa leikkausvoima voi olla nolla, jolloin taivutusta kutsutaan puhtaaksi. Tasosuuntaisessa taivutuksessa kaikki voimat sijaitsevat yhdellä tangon päähitaustasosta ja ovat kohtisuorassa sen pituusakseliin nähden, momentit sijaitsevat samassa tasossa (kuva 1.1, a, b). Riisi. 1.1 Poikittaisvoima säteen mielivaltaisessa poikkileikkauksessa on numeerisesti yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavan osan toisella puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebrallinen summa säteen normaaliin nähden. Poikittaisvoimaa mn-palkin osassa (kuva 1.2, a) pidetään positiivisena, jos ulkoisten voimien resultantti osan vasemmalla puolella on suunnattu ylöspäin ja oikealla - alaspäin ja negatiivinen - päinvastaisessa tapauksessa (Kuva 1.2, b). Riisi. 1.2 Laskettaessa leikkausvoimaa tietyllä osuudella, osuuden vasemmalla puolella olevat ulkoiset voimat otetaan plusmerkillä, jos ne on suunnattu ylöspäin, ja miinusmerkillä, jos ne suuntautuvat alaspäin. Palkin oikealla puolella on päinvastoin. 5 Taivutusmomentti palkin mielivaltaisessa poikkileikkauksessa on numeerisesti yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavan poikkileikkauksen toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien poikkileikkauksen keskiakselin ympärillä olevien momenttien algebrallinen summa. Taivutusmomentti mn-palkin osassa (kuva 1.3, a) katsotaan positiiviseksi, jos ulkoisten voimien resultantti momentti osan vasemmalla puolella on suunnattu myötäpäivään ja oikealla - vastapäivään ja negatiivinen - päinvastoin tapaus (kuva. 1.3, b). Riisi. 1.3 Laskettaessa taivutusmomenttia tietyllä osuudella katsotaan osan vasemmalla puolella olevien ulkoisten voimien momentit positiivisiksi, jos ne suunnataan myötäpäivään. Palkin oikealla puolella on päinvastoin. Taivutusmomentin merkki on kätevää määrittää palkin muodonmuutoksen luonteen perusteella. Taivutusmomentti katsotaan positiiviseksi, jos tarkasteltavana olevassa osassa palkin leikkausosa taivutetaan alaspäin, eli alemmat kuidut venyvät. Muutoin osan taivutusmomentti on negatiivinen. Taivutusmomentin M, leikkausvoiman Q ja kuormituksen intensiteetin q välillä on differentiaalisuhteita. 1. Leikkauksen abskissaa pitkin leikkausvoiman ensimmäinen derivaatta on yhtä suuri kuin jakautuneen kuorman intensiteetti, ts. ... (1.1) 2. Ensimmäinen taivutusmomentin derivaatta poikkileikkauksen abskissaa pitkin on yhtä suuri kuin poikittaisvoima, ts. (1.2) 3. Toinen derivaatta poikkileikkauksen abskissan suhteen on yhtä suuri kuin jakautuneen kuorman intensiteetti, ts. (1.3) Ylöspäin suunnattua jakautunutta kuormaa pidetään positiivisena. M, Q, q välisistä differentiaalisista riippuvuuksista seuraa useita tärkeitä johtopäätöksiä: 1. Jos palkin osassa: a) poikittaisvoima on positiivinen, taivutusmomentti kasvaa; b) poikittaisvoima on negatiivinen, jolloin taivutusmomentti pienenee; c) leikkausvoima on nolla, silloin taivutusmomentilla on vakioarvo (puhdas taivutus); 6 d) poikittaisvoima kulkee nollan läpi, jolloin etumerkki muuttuu plussasta miinukseen, max M M, päinvastaisessa tapauksessa M Mmin. 2. Jos palkin osaan ei kohdistu hajautettua kuormitusta, leikkausvoima on vakio ja taivutusmomentti muuttuu lineaarisesti. 3. Jos palkin osaan kohdistuu tasaisesti jakautunut kuorma, niin sivuvoima muuttuu lineaarisen lain mukaan ja taivutusmomentti - neliöparaabelin lain mukaan, kupera kuormaan päin (tapauksessa M-kaavion piirtämisestä venytettyjen kuitujen puolelta). 4. Keskitetyn voiman alla olevassa osiossa Q-kaaviossa on hyppy (voiman arvon mukaan), M-kaaviossa on mutka voiman suunnassa. 5. Kohdassa, jossa keskitetty momentti käytetään, kaaviossa M on hyppy, joka on yhtä suuri kuin tämän momentin arvo. Tämä ei näy Q-kaaviossa. Palkin kompleksisella kuormituksella piirretään kaaviot leikkausvoimista Q ja taivutusmomenteista M. Kaavio Q (M) on kaavio, joka esittää leikkausvoiman (taivutusmomentin) muutoslakia palkin pituudella. M- ja Q-kaavioiden analyysin perusteella palkin vaaralliset osat määritetään. Q-kuvaajan positiiviset ordinaatit piirretään ylöspäin ja negatiiviset ordinaatit alaspäin säteen pituusakselin suuntaisesti piirretystä perusviivasta. M-kuvaajan positiiviset ordinaatit asetetaan ja negatiiviset ordinaatit ylös, eli M-kuvaaja rakennetaan venytettyjen kuitujen sivulta. Tonttien Q ja M rakentaminen palkkeille tulisi aloittaa tukireaktioiden määrittelystä. Palkin, jossa on yksi rajoittunut ja toinen vapaa pää, Q- ja M-kaavioiden rakentaminen voidaan aloittaa vapaasta päästä määrittelemättä upotuksen reaktioita. 1.2. Q- ja M-kaavioiden piirtäminen yhtälöiden mukaan Palkki on jaettu osiin, joissa taivutusmomentin ja leikkausvoiman funktiot pysyvät vakioina (ei epäjatkuvuuksia). Osuuksien rajat ovat keskittyneiden voimien kohdistamispisteet, voimien parit ja jakautuneen kuorman intensiteetin muutospaikat. Jokaisessa osassa otetaan mielivaltainen leikkaus etäisyydeltä x origosta ja tälle osuudelle laaditaan yhtälöt Q:lle ja M. Näistä yhtälöistä muodostetaan kaaviot Q ja M. Esimerkki 1.1 Muodosta leikkausvoimien Q ja M kaaviot. tietyn palkin taivutusmomentit M (kuva 1.4, a). Ratkaisu: 1. Tukireaktioiden määrittäminen. Laadimme tasapainoyhtälöt: joista saamme Kantajien reaktiot on määritelty oikein. Palkissa on neljä osaa Kuva. 1.4-lataukset: CA, AD, DB, BE. 2. Piirustus Q. Plot CA. CA 1 -osaan piirretään mielivaltainen leikkaus 1-1 etäisyydelle x1 palkin vasemmasta päästä. Määrittelemme Q:n kaikkien osan 1-1 vasemmalle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: Miinusmerkki otetaan, koska osan vasemmalle puolelle vaikuttava voima on suunnattu alaspäin. Q:n lauseke on riippumaton muuttujasta x1. Tällä alueella oleva kaavio Q esitetään abskissa-akselin suuntaisena suorana viivana. Juoni AD. Piirrämme sivustolle mielivaltaisen osan 2-2 etäisyydelle x2 palkin vasemmasta päästä. Määrittelemme Q2:n kaikkien osan 2-2 vasemmalla puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: 8. Q:n arvo on osassa vakio (ei riipu muuttujasta x2). Kohdan kuvaaja Q on abskissa-akselin suuntainen suora viiva. Juoni DB. Työmaalla teemme mielivaltaisen osan 3-3 etäisyydelle x3 palkin oikeasta päästä. Määrittelemme Q3:n kaikkien osan 3-3 oikealla puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: Tuloksena oleva lauseke on kaltevan suoran yhtälö. Juoni BE. Työmaalla teemme osan 4-4 etäisyydelle x4 palkin oikeasta päästä. Määrittelemme Q:n kaikkien osan 4-4 oikealla puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: 4 Tässä otetaan plusmerkki, koska osan 4-4 oikealla puolella oleva resultanttikuorma on suunnattu alaspäin. Saatujen arvojen perusteella piirrämme kaaviot Q (kuva 1.4, b). 3. Piirrä M. Tontti m1. Määritämme taivutusmomentin osassa 1-1 osan 1-1 vasemmalla puolella vaikuttavien voimien momenttien algebrallisena summana. - suoran yhtälö. Osa A 3 Määrittele osan 2-2 taivutusmomentti osan 2-2 vasemmalla puolella vaikuttavien voimien momenttien algebrallisena summana. - suoran yhtälö. Osio DB 4 Määrittele osan 3-3 taivutusmomentti osan 3-3 oikealla puolella vaikuttavien voimien momenttien algebrallisena summana. - neliöparaabelin yhtälö. 9 Etsi kolme arvoa leikkauksen päistä ja pisteestä, jonka koordinaatti on xk, jossa Leikkaus BE 1 Määrittele osan 4-4 taivutusmomentti osan 4- oikealla puolella olevien voimien momenttien algebrallisena summana. 4. - neliöparaabelin yhtälö, löydämme kolme M4:n arvoa: Rakennamme saatujen arvojen avulla kaavion M:stä (kuva 1.4, c). Osissa CA ja AD Q-kuvaajaa rajoittavat abskissa-akselin suuntaiset suorat viivat ja osissa DB ja BE - vinot suorat. Kaavion Q osioissa C, A ja B on hyppyjä vastaavien voimien arvon mukaan, mikä toimii kaavion Q piirtämisen oikeellisuuden tarkistuksena. Leikkauksissa, joissa Q  0, momentit kasvavat vasemmalta. oikealle. Leikkauksilla, joissa Q  0, momentit pienenevät. Keskittyneiden voimien alla on mutkia voimien toimintaa kohti. Keskittyneen hetken alla tapahtuu hyppy hetken suuruuden verran. Tämä osoittaa M-kuvaajan oikeellisuuden. Esimerkki 1.2 Muodosta kaaviot Q ja M palkille kahdelle tuelle, jotka on kuormitettu jakautuneella kuormalla, jonka intensiteetti vaihtelee lineaarisesti (kuva 1.5, a). Ratkaisu Tukireaktioiden määrittäminen. Jaetun kuorman resultantti on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala, joka on kaavio kuormasta ja jota sovelletaan tämän kolmion painopisteeseen. Muodostetaan kaikkien pisteiden A ja B voimien momenttien summat: Piirrä kaavio Q. Piirretään mielivaltainen leikkaus etäisyydelle x vasemmasta tuesta. Poikkileikkausta vastaavan kuormituskaavion ordinaatta määräytyy kolmioiden samankaltaisuudesta sen kuorman osan resultantti, joka sijaitsee leikkauksen vasemmalla puolella Poikittaisvoima leikkauksessa on yhtä suuri kuin Poikittaisvoima vaihtelee neliöparaabelin laki Kun poikittaisvoiman yhtälö on nolla, saadaan sen leikkauksen abskissa, jossa kaavio Q kulkee nollan läpi: Kaavio Q on esitetty kuvassa 1. 1,5, b. Taivutusmomentti mielivaltaisessa poikkileikkauksessa on yhtä suuri kuin Taivutusmomentti muuttuu kuutioparaabelin lain mukaan: Taivutusmomentilla on maksimiarvo leikkauksessa, jossa 0, eli kaaviossa M on esitetty kuvassa. 1.5, c. 1.3. Q- ja M-kaavioiden piirtäminen ominaisosien (pisteiden) mukaan Käyttämällä M:n, Q:n, q:n välisiä differentiaaliriippuvuuksia ja niistä johtuvia johtopäätöksiä on suositeltavaa piirtää Q- ja M-diagrammit ominaisosuuksittain (ilman yhtälöiden laatimista). Tällä menetelmällä Q:n ja M:n arvot lasketaan ominaisosissa. Tyypillisiä osia ovat osien rajaosuudet sekä osuudet, joissa annettu sisäinen voimatekijä on äärimmäinen. Kaavion ääriviivat 12 määritetään ominaisosien välisissä rajoissa M:n, Q:n, q:n välisten differentiaalisten riippuvuuksien ja niistä johtuvien johtopäätösten perusteella. Esimerkki 1.3 Muodosta käyrät Q ja M kuvassa 2 esitetylle keilalle. 1.6, a. Riisi. 1.6. Ratkaisu: Aloitamme Q- ja M-kaavioiden piirtämisen säteen vapaasta päästä, kun taas upotuksen reaktiot voidaan jättää pois. Palkissa on kolme kuormitusaluetta: AB, BC, CD. Osilla AB ja BC ei ole hajautettua kuormaa. Sivuvoimat ovat vakioita. Kaavio Q on rajattu abskissa-akselin suuntaisilla suorilla viivoilla. Taivutusmomentit muuttuvat lineaarisesti. Kaavio M on rajoitettu suorilla viivoilla, jotka ovat vinossa abskissa-akseliin nähden. CD-osassa on tasaisesti jakautunut kuormitus. Poikittaisvoimat muuttuvat lineaarisesti ja taivutusmomentit - neliömäisen paraabelin lain mukaan, jossa on pullistuma jakautuneen kuorman suuntaan. Osuuksien AB ja BC rajalla sivuttaisvoima muuttuu äkillisesti. Leikkausten BC ja CD rajalla taivutusmomentti muuttuu äkillisesti. 1. Piirrä Q. Laskemme leikkausvoimien Q arvot osien rajaosuuksille: Laskennan tulosten perusteella piirrämme palkin Q-käyrän (kuva 1, b). Kaaviosta Q seuraa, että poikittaisvoima poikkileikkaukseen CD on yhtä suuri kuin nolla leikkauksessa, joka sijaitsee etäisyydellä qa a q tämän osan alusta. Tässä osiossa taivutusmomentilla on maksimiarvo. 2. M-kaavion rakentaminen. Laskemme taivutusmomenttien arvot osien rajaosuuksilla: Leikkauksen maksimimomentilla. Laskelmien tulosten perusteella rakennamme M-diagrammin (Kuva 5.6 , c). Esimerkki 1.4 Määritä palkin (kuva 1.7, b) taivutusmomenttien kaavion avulla (kuva 1.7, b) vaikuttavat kuormat ja rakenna kaavio Q. Ympyrä kuvaa neliömäisen paraabelin kärkeä. Ratkaisu: Määritä palkkiin vaikuttavat kuormat. AC-osio on kuormitettu tasaisesti jakautuneella kuormalla, koska tämän osan M-diagrammi on neliöparaabeli. Vertailuosassa B palkkiin kohdistetaan keskitetty momentti, joka vaikuttaa myötäpäivään, koska M-kaaviossa meillä on hyppy ylöspäin momentin suuruuden verran. NE-osuudella palkkia ei kuormiteta, koska M-diagrammi tässä osassa on kalteva suoraviivainen. Tuen B reaktio määräytyy ehdosta, että taivutusmomentti osassa C on yhtä suuri kuin nolla, eli jakautuneen kuorman intensiteetin määrittämiseksi muodostetaan lauseke osan A taivutusmomentille momenttien summaksi. oikealla puolella olevien voimien ja on nolla. Nyt määritellään tuen A reaktio. Tätä varten laaditaan lauseke leikkauksen taivutusmomenteille vasemmanpuoleisten voimien summana. Kuormalla varustetun palkin suunnittelukaavio on esitetty kuvassa. 1.7, c. Palkin vasemmasta päästä alkaen laskemme leikkausvoimien arvot osien rajaosuuksille: Kaavio Q on esitetty kuvassa. 1.7, d. Tarkasteltu ongelma voidaan ratkaista laatimalla funktionaaliset riippuvuudet M, Q kussakin paikassa. Valitse origo säteen vasemmasta päästä. Leikkauksella AC kaavio M ilmaistaan neliöparaabelilla, jonka yhtälö on muotoa Vakiot a, b, c löytyvät ehdosta, että paraabeli kulkee kolmen pisteen läpi, joiden koordinaatit tunnetaan: Korvaamalla pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälöön saamme: Taivutusmomentin lauseke on Differentimällä funktiota M1 , saadaan poikittaisvoiman riippuvuus Kun funktio Q on erotettu, saadaan lauseke jakautuneen kuorman intensiteetille. jakso CB, taivutusmomentin lauseke esitetään lineaarifunktiona Vakioiden a ja b määrittämiseen käytetään ehtoja, että tämä suora kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit tunnetaan. Saadaan kaksi yhtälöä:, b josta meillä on 20. Leikkauksen CB taivutusmomentin yhtälö on M2:n kaksinkertaisen differentioinnin jälkeen löydämme Löydetyistä arvoista M ja Q piirretään kaaviot taivutusmomenteista ja leikkausvoimista palkki. Jaetun kuorman lisäksi palkkiin kohdistetaan keskitettyjä voimia kolmessa osassa, joissa on hyppyjä Q-kaaviossa ja keskittyneitä momentteja kohdassa, jossa on hyppy M-kaaviossa. Esimerkki 1.5 Palkin (kuva 1.8, a) osalta määritä saranan C rationaalinen asento, jossa suurin taivutusmomentti jännevälissä on yhtä suuri kuin taivutusmomentti upotuksessa (absoluuttisena arvona). Rakenna Q- ja M-kaaviot Ratkaisu Tukireaktioiden määritys. Vaikka tukisiteitä on yhteensä neljä, palkki on staattisesti määriteltävissä. Taivutusmomentti liitoksessa C on yhtä suuri kuin nolla, mikä mahdollistaa lisäyhtälön laatimisen: kaikkien tämän liitoksen toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa suhteessa niveleen on yhtä suuri kuin nolla. Muodostetaan kaikkien saranan C oikealla puolella olevien voimien momenttien summa. Palkin kaaviota Q rajoittaa vino suora, koska q = const. Määritämme leikkausvoimien arvot palkin rajaosissa: Leikkauksen abskissa xK, jossa Q = 0, määritetään yhtälöstä, josta palkin kaaviota M rajoittaa neliöparaabeli. Taivutusmomenttien lausekkeet osissa, joissa Q = 0, ja upotuksessa kirjoitetaan vastaavasti seuraavasti: Momenttien yhtäläisyyden ehdosta saadaan toisen asteen yhtälö etsitylle parametrille x: Todellinen arvo x2x 1, 029 m. Määritä leikkausvoimien ja taivutusmomenttien numeeriset arvot palkin tunnusomaisissa osissa Kuva 1.8, b esittää kaaviota Q ja kuvassa 1. 1.8, c - kaavio M. Tarkasteltu ongelma voitaisiin ratkaista jakamalla saranoitu palkki sen rakenneosiin kuvan 1 mukaisesti. 1.8, d. Alussa määritetään kantajien VC ja VB reaktiot. Kaaviot Q ja M on piirretty riippupalkille CB siihen kohdistuvan kuorman vaikutuksesta. Sitten ne menevät vaihtovirran pääpalkkiin kuormiten sitä lisävoimalla VC, joka on CB-palkin painevoima AC-palkkiin. Sitten kaaviot Q ja M piirretään AC-säteelle. 1.4 Lujuuslaskelmat palkkien suoralle taivutukselle Lujuuslaskelmat normaali- ja leikkausjännityksille. Palkin suorassa taivutuksessa sen poikkileikkauksiin syntyy normaali- ja tangentiaalijännitystä (kuva 1.9). Kuva 18 1.9 Normaalit jännitykset liittyvät taivutusmomentti, leikkausjännitykset leikkausvoimaan. Suorassa puhtaassa taivutuksessa leikkausjännitykset ovat nolla. Normaalijännitykset palkin poikkileikkauksen mielivaltaisessa pisteessä määritetään kaavalla (1.4), jossa M on taivutusmomentti tietyssä poikkileikkauksessa; Iz on poikkileikkauksen hitausmomentti suhteessa neutraaliin z-akseliin; y on etäisyys pisteestä, jossa normaalijännitys määritetään, neutraaliin z-akseliin. Normaalit jännitykset poikkileikkauksen korkeudella vaihtelevat lineaarisesti ja saavuttavat suurimman arvon neutraaliakselista kauimpana olevissa pisteissä Jos leikkaus on symmetrinen neutraaliakselin suhteen (kuva 1.11), niin kuva 1.11. 1.11 suurimmat veto- ja puristusjännitykset ovat samat ja ne määritetään kaavalla,  on poikkileikkauksen aksiaalinen vastusmomentti taivutuksessa. Suorakaiteen muotoiselle osalle, jonka leveys on b ja korkeus h: (1.7) Jos halkaisija on pyöreä osa: (1.8) Rengasmainen osa   - renkaan sisä- ja ulkohalkaisijat, vastaavasti. Muovisista palkeista järkevimpiä ovat symmetriset 20 poikkileikkausmuodot (I-palkit, laatikon muotoiset, rengasmaiset). Hauraista materiaaleista valmistetuille palkkeille, jotka eivät kestä yhtä paljon jännitystä ja puristusta, neutraaliin z-akseliin nähden epäsymmetriset osat (T, U-muotoinen, epäsymmetrinen I-palkki) ovat järkeviä. Poikkileikkaukseltaan symmetrisistä muovimateriaaleista valmistetuille palkeille lujuusehto kirjoitetaan seuraavasti: (1.10) missä Mmax on suurin taivutusmomentti modulo; - materiaalille sallittu jännitys. Poikkileikkaukseltaan epäsymmetrisistä muovimateriaaleista valmistetuille palkeille lujuusehto kirjoitetaan seuraavassa muodossa: (1. 11) Hauraista materiaaleista valmistetuille palkkeille, joiden poikkileikkaus on epäsymmetrinen neutraaliakselin suhteen, jos M-kaavio on yksiselitteinen (kuva 1.12), sinun on kirjoitettava kaksi lujuusehtoa - etäisyys neutraaliakselista kaukaisimpiin pisteisiin vaarallisen osan venyneistä ja puristettuista vyöhykkeistä; P - sallitut jännitykset veto- ja puristusvoimassa, vastaavasti. Kuva 1.12. 21 Jos taivutusmomenttien kaaviossa on erimerkkisiä osia (kuva 1.13), niin kohdan 1-1 tarkistamisen lisäksi, jossa Mmax vaikuttaa, on tarpeen laskea suurimmat vetojännitykset osuudelle 2-2 (suurimmalla). vastakkaisen merkin hetki). Riisi. 1.13 Normaalijännitysten peruslaskelman ohella joissain tapauksissa on tarpeen tarkistaa palkin lujuus leikkausjännitysten suhteen. Palkkien leikkausjännitykset lasketaan kaavalla DI Zhuravsky (1.13), jossa Q on leikkausvoima palkin tarkastelussa poikkileikkauksessa; Szotc - staattinen momentti suhteessa neutraaliin akseliin sellaisen leikkauksen osan alueella, joka sijaitsee tietyn pisteen läpi vedetyn ja z-akselin suuntaisen suoran toisella puolella; b on leikkauksen leveys kyseisen pisteen tasolla; Iz on koko leikkauksen hitausmomentti suhteessa neutraaliin z-akseliin. Monissa tapauksissa suurimmat leikkausjännitykset esiintyvät palkin neutraalin kerroksen tasolla (suorakulmio, I-palkki, ympyrä). Tällaisissa tapauksissa leikkausjännityslujuusehto kirjoitetaan muodossa (1.14), jossa Qmax on suurin moduulin leikkausvoima; Onko materiaalin sallittu leikkausjännitys. Palkin suorakaiteen muotoiselle osalle lujuusehto on muotoa (1.15) A - palkin poikkileikkauspinta-ala. Ympyräleikkaukselle lujuusehto esitetään muodossa (1.16). I-leikkaukselle lujuusehto kirjoitetaan seuraavasti: (1.17) missä Szо, тmсax on staattinen puolileikkauksen momentti suhteessa neutraaliin akseliin; d - I-palkin seinämän paksuus. Yleensä palkin poikkileikkauksen mitat määritetään lujuuden tilasta normaaleihin jännityksiin nähden. Palkkien lujuuden tarkastaminen leikkausjännitysten varalta on pakollista lyhyille ja minkä tahansa pituisille palkkeille, jos tukien lähellä on suuria keskittyneitä voimia, sekä puisille, niitatuille ja hitsatuille palkkeille. Esimerkki 1.6 Tarkista laatikkoprofiilisen palkin (kuva 1.14) lujuus normaali- ja leikkausjännityksille, jos MPa. Piirrä palkin vaarallinen osa. Riisi. 1.14 Ratkaisu 23 1. Q- ja M-kaavioiden rakentaminen ominaisleikkauksilla. Kun otetaan huomioon palkin vasen puoli, saadaan poikittaisvoimien kaavio, joka on esitetty kuvassa. 1.14, c. Kuvassa on kaavio taivutusmomenteista. 5.14, g. 2. Poikkileikkauksen geometriset ominaisuudet 3. Leikkauksen C suurimmat normaalijännitykset, jossa Mmax vaikuttaa (modulo): MPa. Palkin suurimmat normaalijännitykset ovat käytännössä yhtä suuret kuin sallitut jännitykset. 4. Leikkauksen C (tai A) suurimmat leikkausjännitykset, jossa max Q vaikuttaa (modulo): Tässä on puolileikkauksen alueen staattinen momentti suhteessa neutraaliin akseliin; b2 cm - poikkileikkauksen leveys neutraaliakselin tasolla. 5. Leikkausjännitykset kohdassa (seinässä) osassa C: Kuva. 1.15 Tässä Szomc 834.5 108 cm3 on pisteen K1 kautta kulkevan suoran yläpuolella sijaitsevan leikkauksen osan alueen staattinen momentti; b2 cm - seinämän paksuus pisteen K1 tasolla. Palkin osan C kaaviot  ja  on esitetty kuvassa. 1.15. Esimerkki 1.7 Kuvan palkille. 1.16, a, vaaditaan: 1. Muodosta kaaviot leikkausvoimista ja taivutusmomenteista ominaisleikkauksittain (pisteinä). 2. Määritä poikkileikkauksen mitat ympyrän, suorakulmion ja I-palkin muodossa lujuusehdosta normaalijännitysten suhteen, vertaa poikkileikkauspinta-aloja. 3. Tarkista palkkien poikkileikkausten valitut mitat leikkausjännityksen suhteen. Annettu: Ratkaisu: 1. Määritä palkin kannattimien reaktiot. Tarkista: 2. Piirrä kaaviot Q ja M. Leikkausvoimien arvot palkin ominaisosissa 25 Kuva. 1.16 Osissa CA ja AD kuorman intensiteetti on q = const. Näin ollen näillä alueilla Q-diagrammi on rajoitettu akseliin nähden vinoilla suorilla viivoilla. Leikkauksessa DB jakautuneen kuorman intensiteetti q = 0, joten tässä kaavion osassa Q on rajattu x-akselin suuntaisella suoralla. Säteen Q-käyrä on esitetty kuvassa. 1,16, s. Taivutusmomenttien arvot palkin ominaisosissa: Toisessa osassa määritetään poikkileikkauksen abskissa x2, jossa Q = 0: Maksimimomentti toisessa osassa Palkin kaavio M on esitetty kuvassa. 1.16, c. 2. Muotoilemme lujuusehdon normaaleille jännityksille, joista määritämme poikkileikkauksen vaaditun aksiaalisen vastusmomentin lausekkeesta vaadittu ympyräleikkauksen halkaisija d Ympyränmuotoisen leikkauksen pinta-ala Suorakaiteen muotoiselle leikkaukselle Vaadittu leikkaus korkeus Suorakaiteen muotoisen osan pinta-ala Määritä tarvittava määrä I-palkkia. GOST 8239-89:n taulukoiden mukaan löydämme aksiaalisen vastusmomentin lähimmän korkeamman arvon 597 cm3, joka vastaa I-palkkia nro 33 seuraavilla ominaisuuksilla: A z 9840 cm4. Tarkista toleranssi: (alikuormitus 1 % sallitusta 5 %) lähin I-palkki nro 30 (L 2 cm3) johtaa merkittävään ylikuormitukseen (yli 5 %). Lopuksi hyväksytään I-palkki nro 33. Vertaamme pyöreän ja suorakaiteen muotoisten poikkileikkausten pinta-alat I-palkin pienimpään pinta-alaan A: Kolmesta tarkasteltavasta osasta I-profiili on taloudellisin. 3. Laskemme suurimmat normaalijännitykset 27 I-palkin vaarallisessa osassa (kuva 1.17, a): Normaalijännitykset seinässä lähellä palkin I-osan laippaa Kaavio normaalijännitykset vaarallisessa osassa. palkin leikkaus näkyy kuvassa. 1,17, s. 5. Määritä valituille palkin osille suurimmat leikkausjännitykset. a) palkin suorakulmainen leikkaus: b) palkin pyöreä leikkaus: c) palkin I-leikkaus: Leikkausjännitykset seinässä lähellä I-palkin laippaa vaarallisessa osassa A (oikealla) (pisteessä 2) ): Kuvassa I-palkin vaarallisten osien leikkausjännitysten kaavio. 1.17, c. Palkin suurimmat leikkausjännitykset eivät ylitä sallittuja jännityksiä Esimerkki 1.8 Määritä palkin sallittu kuormitus (kuva 1.18, a), jos 60 MPa, poikkileikkausmitat on annettu (Kuva 1.19, a). Muodosta kaavio normaalijännityksistä palkin vaarallisessa osassa sallitulla kuormituksella. Kuva 1.18 1. Palkkien kannattimien reaktioiden määritys. Järjestelmän symmetriasta johtuen 2. Kaavioiden Q ja M rakentaminen ominaisleikkauksille. Leikkausvoimat palkin tunnusomaisissa osissa: Palkin kaavio Q on esitetty kuvassa. 5.18, s. Taivutusmomentit palkin tunnusomaisissa osissa Palkin toisella puoliskolla ordinaatit M ovat symmetria-akseleita pitkin. Palkin kaavio M on esitetty kuvassa. 1,18, s. 3. Leikkauksen geometriset ominaisuudet (kuva 1.19). Jaamme kuvion kahteen yksinkertaisimpaan elementtiin: I-palkki - 1 ja suorakaide - 2. Kuva. 1.19 I-palkin nro 20 valikoiman mukaan meillä on Suorakulmiolle: Leikkauksen alueen staattinen momentti suhteessa z1-akseliin Etäisyys z1-akselista osan painopisteeseen. vaarallinen piste "a" ( Kuva 1.19) vaarallisessa osassa I (kuva 1.18): Numeeristen tietojen vaihtamisen jälkeen 5. Vaarallisen osan sallitun kuormituksen alaisena normaalit jännitykset kohdissa "a" ja "b" ovat yhtä suuret: Kaavio vaarallisen osan 1-1 normaalit jännitykset on esitetty kuvassa. 1,19, s.

10.1. Yleiset käsitteet ja määritelmät

Taivuta- tämä on eräänlainen kuormitus, jossa tankoa kuormitetaan momenteilla tangon pituusakselin läpi kulkevissa tasoissa.

Taivutustankoa kutsutaan palkiksi (tai tangoksi). Seuraavassa tarkastellaan suoraviivaisia palkkeja, joiden poikkileikkauksella on vähintään yksi symmetria-akseli.

Materiaalien lujuudessa erotetaan tasainen, vino ja monimutkainen taivutus.

Tasainen mutka- taivutus, jossa kaikki palkkia taivuttavat voimat sijaitsevat jollakin palkin symmetriatasolla (yhdellä päätasoista).

Palkin päähitaustasoja kutsutaan tasoiksi, jotka kulkevat poikkileikkausten pääakselien ja palkin geometrisen akselin (x-akseli) kautta.

Vino mutka- taivutus, jossa kuormat vaikuttavat yhdessä tasossa, joka ei ole sama kuin hitauspäätasot.

Monimutkainen mutka- taivutus, jossa kuormat vaikuttavat eri (mielivaltaisissa) tasoissa.

10.2. Sisäisten taivutusvoimien määritys

Tarkastellaan kahta tyypillistä taivutustapausta: ensimmäisessä ulokepalkkia taivutetaan keskittyneellä momentilla Mo; toisessa keskitetyllä voimalla F.

Määritämme sisäiset voimat molemmissa tapauksissa käyttämällä mentaalileikkausten menetelmää ja muodostamalla tasapainoyhtälöt säteen katkaisuosille:

Loput tasapainoyhtälöt ovat ilmeisesti identtisiä nollan kanssa.

Siten palkin osan tasaisen taivutuksen yleisessä tapauksessa kuudesta sisäisestä voimasta syntyy kaksi - taivutusmomenttiМz ja sivusuuntainen voima Qy (tai taivutettaessa toisen pääakselin ympäri - taivutusmomentti My ja leikkausvoima Qz).

Tässä tapauksessa kahden tarkastellun kuormitustapauksen mukaisesti tasotaivutus voidaan jakaa puhtaaseen ja poikittaiseen.

Puhdas mutka- tasotaivutus, jossa vain yksi kuudesta sisäisestä voimasta syntyy tangon osissa - taivutusmomentti (katso ensimmäinen tapaus).

Poikittainen taivutus- taivutus, jossa sisäisen taivutusmomentin lisäksi tangon poikkileikkauksiin syntyy poikittaisvoima (katso toinen tapaus).

Tarkkaan ottaen vain puhdas taivutus kuuluu yksinkertaisiin vastustyyppeihin; Poikittaistaivutusta kutsutaan perinteisesti yksinkertaisiksi vastustyypeiksi, koska useimmissa tapauksissa (riittävän pitkillä palkeilla) poikittaisvoiman vaikutus lujuuslaskelmissa voidaan jättää huomiotta.

Sisäisiä ponnisteluja määritettäessä noudatamme seuraavaa merkkisääntöä:

1) poikittaisvoimaa Qy pidetään positiivisena, jos se pyrkii pyörittämään palkin tarkasteltavaa elementtiä myötäpäivään;

2) taivutusmomenttia Mz pidetään positiivisena, jos palkkielementin taivutuksen aikana elementin ylempiä kuituja puristetaan ja alempia venytetään (sateenvarjosääntö).

Siten ratkaisu sisäisten taivutusvoimien määritysongelmaan rakennetaan seuraavan suunnitelman mukaan: 1) ensimmäisessä vaiheessa, ottaen huomioon rakenteen tasapainoolosuhteet kokonaisuutena, määritetään tarvittaessa tuntemattomat reaktiot. tuet (huomaa, että ulokepalkissa reaktiot upotuksessa voivat olla mutta eivät löydetty, jos tarkastellaan palkkia vapaasta päästä); 2) toisessa vaiheessa valitsemme palkin tunnusomaiset osat ottamalla osien rajoihin voimien kohdistamispisteet, palkin muodon tai mittojen muutospisteet, palkin kiinnityskohdat; 3) Kolmannessa vaiheessa määritetään palkkiosien sisäiset voimat ottaen huomioon kunkin osan palkkielementtien tasapainoolosuhteet.

10.3. Differentiaalisen taivutuksen rajoitukset

Perustetaan joitain suhteita sisäisten voimien ja ulkoisten taivutuskuormien välille sekä Q- ja M-kaavioiden ominaispiirteet, joiden tunteminen helpottaa kaavioiden rakentamista ja antaa sinun hallita niiden oikeellisuutta. Käytännöllisyyden vuoksi merkitsemme: M≡Mz, Q≡Qy.

Valitaan pieni elementti dx palkin osalle mielivaltaisella kuormituksella paikassa, jossa ei ole keskittyneitä voimia ja momentteja. Koska koko palkki on tasapainossa, niin dx-elementti on tasapainossa myös siihen kohdistuvien leikkausvoimien, taivutusmomenttien ja ulkoisen kuormituksen vaikutuksesta. Koska Q ja M yleensä vaihtelevat

Palkin akselit, sitten leikkausvoimat Q ja Q + dQ sekä taivutusmomentit M ja M + dM, näkyvät elementin dx osissa. Valitun elementin tasapainotilasta saadaan

Ensimmäinen kahdesta kirjoitetusta yhtälöstä antaa ehdon

Jättäen huomioimatta termin q dx (dx / 2) toisesta yhtälöstä äärettömän pienenä toisen kertaluvun suurena, löydämme

Kun tarkastellaan lausekkeita (10.1) ja (10.2) yhdessä, saadaan

Relaatioita (10.1), (10.2) ja (10.3) kutsutaan differentiaaliksi D.I. Zhuravskyn riippuvuudet taivutuksessa.

Yllä olevien taivutuksen differentiaaliriippuvuuksien analyysi mahdollistaa joidenkin piirteiden (säännön) määrittämisen taivutusmomenttien ja leikkausvoimien kaavioiden muodostamiseksi: a - alueilla, joilla ei ole jakautunutta kuormaa q, kaavioita Q rajoittavat suorat viivat, jotka ovat samansuuntaisia. pohja ja kaaviot M - vinoilla suorilla viivoilla; b - alueilla, joilla palkkiin kohdistuu jakautunut kuorma q, kaavioita Q rajoittavat vinot suorat ja kaaviot M - neliöparaabelit.

Jos tässä tapauksessa piirretään M-kuvaaja "venytetylle kuidulle", paraabelin pullistuma suunnataan q-toiminnan suuntaan ja ääripää sijaitsee kohdassa, jossa Q-kuvaaja leikkaa perusviivan. ; c - osissa, joissa Q-kaaviossa palkkiin kohdistuu keskittynyt voima, tapahtuu hyppyjä annetun voiman suuruuden ja suunnan verran ja M-kaaviossa mutkia, joiden kärki on suunnattu tämän voiman toiminta; d - osissa, joissa palkkiin kohdistetaan keskittynyt momentti Q-kaaviossa, muutoksia ei tapahdu, ja M-kaaviossa tapahtuu hyppyjä tämän hetken suuruuden mukaan; d - osissa, joissa Q> 0, momentti M kasvaa ja osissa, joissa Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4 Normaalit jännitykset suoran tangon puhtaassa taivutuksessa

Harkitse palkin puhtaan tasaisen taivutuksen tapausta ja johda kaava normaalijännitysten määrittämiseksi tässä tapauksessa.

Huomaa, että joustoteoriassa on mahdollista saada tarkka riippuvuus normaalijännityksille puhtaassa taivutuksessa, mutta jos tämä ongelma ratkaistaan materiaalien kestävyysmenetelmillä, on tarpeen tehdä joitain oletuksia.

Taivutuksessa on kolme tällaista hypoteesia:

a - tasaisten osien hypoteesi (Bernoullin hypoteesi) - ennen muodonmuutosta tasaiset osat pysyvät litteinä ja muodonmuutoksen jälkeen, mutta pyörivät vain tietyn linjan ympäri, jota kutsutaan palkin osan neutraaliksi akseliksi. Tässä tapauksessa neutraaliakselin toisella puolella sijaitsevat säteen kuidut venyvät ja toisaalta ne puristuvat; neutraalilla akselilla olevat kuidut eivät muuta pituuttaan;

b - hypoteesi normaalijännitysten pysyvyydestä - samalla etäisyydellä y neutraalista akselista vaikuttavat jännitykset ovat vakioita tangon leveydellä;

c - hypoteesi sivupaineiden puuttumisesta - vierekkäiset pitkittäiset kuidut eivät paina toisiaan vasten.

Ongelman staattinen puoli

Palkin poikkileikkausten jännitysten määrittämiseksi on otettava ensin huomioon ongelman staattiset puolet. Mentaalisen leikkausmenetelmän avulla ja muodostamalla tasapainoyhtälöt säteen katkaisuosaan, löydämme sisäiset taivutusvoimat. Kuten aiemmin on esitetty, ainoa sisäinen voima, joka vaikuttaa puhtaasti taivutetun tangon poikkileikkaukseen, on sisäinen taivutusmomentti, mikä tarkoittaa, että siihen liittyy normaaleja jännityksiä.

Sisävoimien ja normaalijännitysten välinen suhde palkin poikkileikkauksessa voidaan löytää ottamalla huomioon perusalueen dA jännitykset, jotka on valittu palkin poikkileikkaukseen A kohdassa, jonka koordinaatit ovat y ja z (analyysin helpottamiseksi). , y-akseli on suunnattu alaspäin):

Kuten näet, ongelma on sisäisesti staattisesti määrittelemätön, koska normaalijännitysten jakautumisen luonne poikkileikkaukselle on tuntematon. Ongelman ratkaisemiseksi harkitse muodonmuutosten geometrista kuviota.

Ongelman geometrinen puoli

Tarkastellaan taivutustankosta valitun palkkielementin muodonmuutosta, jonka pituus on dx, mielivaltaisessa pisteessä, jonka koordinaatti on x. Ottaen huomioon aiemmin hyväksytty hypoteesi tasoleikkauksista, palkin poikkileikkauksen taivutuksen jälkeen käännytään neutraaliakselin (nd) ympäri kulman dϕ verran, kun taas neutraaliakselista etäisyydellä y oleva kuitu ab kääntyy ympyräkaaren a1b1, ja sen pituus muuttuu jonkin verran. Tässä muistutetaan, että neutraalilla akselilla olevien kuitujen pituus ei muutu, ja siksi kaari a0b0 (jonka kaarevuussäde merkitsee ρ) on yhtä pitkä kuin jana a0b0 ennen muodonmuutosta a0b0 = dx.

Etsitään kaarevan palkin kuidun ab suhteellinen lineaarinen muodonmuutos εx.

Puhdas mutka kutsutaan mutkaksi, jossa toiminta tapahtuu vain taivutusmomentti(kuva 3.5, a). Piirretään mielessäsi poikkileikkauksen I-I taso, joka on kohtisuorassa palkin pituusakseliin nähden etäisyydelle * palkin vapaasta päästä, johon ulkoinen momentti kohdistuu m z. Suoritamme samanlaisia toimenpiteitä kuin ne, jotka teimme määritellessämme vääntöjännityksiä ja venymiä, nimittäin:

1) muodostaa tasapainoyhtälöt osan henkisesti katkaistulle osalle;
2) määritämme osan materiaalin muodonmuutoksen tietyn poikkileikkauksen alkuainetilavuuksien muodonmuutosten yhteensopivuusolosuhteiden perusteella;
3) ratkaisemme muodonmuutosten tasapaino- ja yhteensopivuusyhtälöt.

Palkin katkaisuosan tasapainotilasta (kuva 3.5, b)

saamme sen sisäisten voimien hetken M z yhtä suuri kuin ulkoisten voimien momentti t: M = t.

Riisi. 3.5.

Sisäisten voimien momentti syntyy x-akselia pitkin suuntautuvista normaaleista jännityksistä o v. Puhtaalla taivutuksella ei ole ulkoisia voimia, joten minkä tahansa koordinaattiakselin sisäisten voimien projektioiden summa on nolla. Tämän perusteella kirjoitamme tasapainoehdot yhtäläisyyksien muodossa

missä A- palkin (tangon) poikkileikkauspinta-ala.

Puhtaassa taivutuksessa, ulkoiset voimat F x, F, F v sekä ulkoisten voimien hetket t x, t y ovat yhtä suuret kuin nolla. Siksi loput tasapainoyhtälöt ovat identtisesti yhtä suuria kuin nolla.

Tasapainotilasta jos o> 0, se seuraa sitä

normaali stressi x:n kanssa poikkileikkauksessa otetaan sekä positiiviset että negatiiviset arvot. (Kokemus osoittaa, että taivutettaessa kuvan 3.5 tangon alapuolen materiaali, a venytetty ja ylempi puristettu.) Näin ollen poikkileikkauksessa taivutuksen aikana on sellaisia alkuperäisiä tilavuuksia (siirtymäkerroksen puristamisesta jännitykseen), joissa ei ole venymistä tai puristusta. Se - neutraali kerros. Neutraalin kerroksen leikkausviivaa poikkileikkaustason kanssa kutsutaan neutraali viiva.

Taivutuksen aikana tapahtuvien alkuainetilavuuksien muodonmuutosten yhteensopivuusehdot muodostuvat tasomaisten osien hypoteesin perusteella: palkin poikkileikkaukset ovat tasaiset ennen taivutusta (ks. kuva 3.5, b) pysyvät tasaisena myös taivutuksen jälkeen (kuva 3.6).

Ulkoisen momentin vaikutuksesta palkki taipuu ja osien I-I ja II-II tasot kiertyvät kulmassa toisiinsa nähden dy(kuva 3.6, b). Puhtaalla taivutuksella kaikkien osien muodonmuutos palkin akselilla on sama, joten säde p palkin neutraalin kerroksen kaarevuuteen x-akselilla on sama. Koska dx= s K dippi, silloin neutraalin kerroksen kaarevuus on 1 / p k = dip / dx ja on vakio säteen pituudella.

Neutraali kerros ei muutu, sen pituus ennen ja jälkeen muodonmuutoksen on yhtä suuri dx. Tämän kerroksen alapuolella materiaalia venytetään, yläpuolella puristetaan.

Riisi. 3.6.

Etäisyydellä y neutraalista venytetyn kerroksen venymäarvo on ydq. Tämän kerroksen pidennys:

Siten hyväksytyssä mallissa saatiin lineaarinen muodonmuutosjakauma riippuen tietyn alkuainetilavuuden etäisyydestä neutraaliin kerrokseen, ts. pitkin palkin osan korkeutta. Olettaen, että samansuuntaisten materiaalikerrosten keskinäistä painetta ei ole (noin y = 0, a, = 0), kirjoitetaan Hooken laki lineaarisen jännityksen osalta:

(3.13) mukaan normaalijännitykset palkin poikkileikkauksessa jakautuvat lineaarisesti. Neutraalikerroksesta kauimpana olevan materiaalin alkutilavuuden jännitys (kuva 3.6, v), suurin ja yhtä suuri kuin

? Tehtävä 3.6

Määritä teräksen kimmoraja, jonka paksuus on / = 4 mm ja pituus / = 80 cm, jos sen taivutus puoliympyrään ei aiheuta pysyvää muodonmuutosta.

Ratkaisu

Taivutusjännitys o v = Ey/ p k. Otetaan y max = t/ 2 ja p k = / / Vastaanottaja.

Kimmorajan tulee vastata ehtoa, jossa yn> c v = 1/2 kE t / 1.

Vastaus: oh = ] / 2-2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; tämän teräksen myötöraja on > 1800 MPa, mikä on korkeampi kuin kestävimmillä jousiteräksillä. ?

? Ongelma 3.7

Määritä rummun vähimmäissäde nauhalle, jonka paksuus on / = 0,1 mm nikkeliseoksesta valmistetusta lämmityselementistä, jossa nauhamateriaali ei plastisesti väänny. Moduuli E = 1,6 10 5 MPa, kimmoraja o yn = 200 MPa.

Vastaus: pienin säde р = V 2? ir / a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.?

1. Ensimmäisen tasapainoyhtälön (3.12) ja muodonmuutosyhtälön (3.13) yhteisratkaisulla saadaan

Merkitys E/ p k φ 0 ja on sama kaikille elementeille dA integraatioalue. Siksi tämä tasa-arvo täyttyy vain sillä ehdolla

Tätä integraalia kutsutaan poikkileikkausalueen staattinen momentti akselin ympäriz? Mikä on tämän integraalin fyysinen merkitys?

Otetaan vakiopaksuinen / mutta mielivaltaisen profiilin levy (kuva 3.7). Riputetaan tämä levy siihen pisteeseen KANSSA niin, että se on vaaka-asennossa. Merkitään symbolilla y m levymateriaalin ominaispaino, sitten alkeistilavuuden paino, jonka pinta-ala dA on yhtä suuri kuin dq= y JdA. Koska levy on tasapainotilassa, niin akselin voimien projektioiden yhtälöstä nollaan klo saada

missä G= y M tA on levyn paino.

Riisi. 3.7.

Kaikkien akselin ympärillä olevien voimien momenttien summa z ohittaminen missä tahansa levyn osassa on myös nolla:

Ottaen huomioon Y c = G, Kirjoita ylös

Jos siis integraali muotoa J xdA alueen mukaan A on yhtä suuri kuin

nolla sitten x c = 0. Tämä tarkoittaa, että piste C on sama kuin levyn painopiste. Siis tasa-arvosta S z = J ydA = 0 eräpäivänä

taivutuksesta seuraa, että palkin poikkileikkauksen painopiste on neutraalilla linjalla.

Siksi arvo kanssa palkin poikkileikkaus on nolla.

1. Taivutusneutraali viiva kulkee palkin poikkileikkauksen painopisteen läpi.
2. Poikkileikkauksen painopiste on ulkoisten ja sisäisten voimien momenttien pienennyskeskus.

Tavoite 3.8

Tehtävä 3.9

2. Toisen tasapainoyhtälön (3.12) ja muodonmuutosyhtälön (3.13) yhteisratkaisulla saadaan

Integraali J z= J y 2 dA nimeltään poikkisuuntaisen hitausmomentti

palkin (tangon) leikkaus suhteessa z-akseliin, kulkee poikkileikkauksen painopisteen läpi.

Täten, M z = Е J z / p k. Ottaen huomioon sen c x = Hänen x = Ey/ p ja E/ p k = x / y, saamme normaalijännitysten riippuvuuden vai niin taivutettaessa:

1. Taivutusjännitys tietyssä leikkauspisteessä ei riipu normaalikimmomoduulista E, mutta riippuu poikkileikkauksen geometrisesta parametrista J z ja etäisyys klo tästä pisteestä poikkileikkauksen painopisteeseen.

2. Suurin taivutusjännitys esiintyy kauimpana neutraalista linjasta olevissa alkuainetilavuuksissa (katso kuva 3.6, v):

missä W z- poikkileikkauksen vastusmomentti suhteessa akseliin Z-

Puhtaan taivutuslujuuden ehto on samanlainen kuin lineaarisen vetolujuuden ehto:

missä [a m | - sallittu taivutusjännitys.

On selvää, että materiaalin sisäiset tilavuudet, etenkin lähellä neutraalia akselia, ovat käytännössä kuormitettuja (ks. kuva 3.6, v). Tämä on ristiriidassa vaatimuksen kanssa minimoida rakenteen materiaalinkulutus. Joitakin tapoja voittaa tämä ristiriita esitetään alla.