Trigonometriset yhtälöt tuodaan. Miten kaavat työskentelevät ongelmassa B11

Teeman opetus

Sinus, kosini ja tangentti muuttuu kulman kasvuun.

Tavoitteet

Tutustu uusiin määritelmiin ja muista joitakin jo tutkittuja.
Se tutustuu kosinan ja tangentin arvojen muutosten malliin kulman kasvuna.
Kehittäminen - kehittää opiskelijoiden huomion, sitkeyttä, sitkeyttä, loogista ajattelua, matemaattista puhetta.
Koulutus - oppitunnin kouluttaa huomaavaan asenteen toisiaan kohti, kykenee kuuntelemaan tovereita, keskinäistä toteutusta, riippumattomuutta.

Tehtävät oppitunti

Tarkista opiskelijoiden tieto.

Tuntisuunnitelma

Aiemmin tutkittujen materiaalien toistaminen.
Tehtävät toistoa varten.
Sinus, kosini ja tangentti muuttuu kulman kasvuun.
Käytännön käyttö.

Aiemmin tutkittujen materiaalien toistaminen

Aloitetaan alusta alkaen ja muista, mikä on hyödyllistä päivittää muistiin. Mikä on sinus, kosini ja tangentti ja johon geometrian osa sisältää nämä käsitteet.

Trigonometria- Tämä on niin monimutkainen kreikkalainen sana: Trigonon - kolmio, metroasema. Se tuli Kreikan keinoin: ne mitataan kolmioilla.

Aihe\u003e Matematiikka\u003e Matematiikan luokka 8

Kuinka muistaa kaavat tuomaan trigonometriset toiminnot? On helppoa, jos käytät yhdistystä. Yhdistelmää ei ole keksi minulle. Kuten jo mainittiin, hyvä yhdistys "ketju", eli aiheuttaa kirkkaita tunteita. En voi nimetä tämän yhdistyksen aiheuttamia tunteita. Mutta se antaa tuloksen - voit tallentaa tuodaan, ja siksi sillä on oikeus olemassa. Loppujen lopuksi, jos et pidä siitä, et voi käyttää sitä, eikö?

Saadut kaavat ovat: synti (πn / 2 ± α), cos (πn / 2 ± α), Tg (πn / 2 ± α), CTG (πn / 2 ± α). Muistamme, että + a antaa liikkeen vastapäivään, α on liike myötäpäivään.

Voit työskennellä kahden kohteen tuomien kaavojen kanssa:

1) Laita merkki, jolla on alkukirjallisuus (he kirjoittavat oppikirjoissa: ajetaan, mutta, jotta se olisi hämmentynyt, on parempi soittaa ensin), jos pidät ensimmäisen vuosineljänneksen kulmaa, eli pieni .

2) Horisontaalinen halkaisija - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - Yleensä, kun fraktiota ei ole - toiminnon nimi ei muutu. Pystysuora π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - kun on fraktio - toiminnon muutokset: Sinus - Cosine, Cosine - Sinus, tangentti - Kotagenes ja Kotagenes - Tangente.

Nyt, itse asiassa yhdistys:

pystysuuntainen halkaisija (syöjäfraktio) -

humalassa seisoo. Mitä hänelle tapahtuu aikaisin

tai myöhään? Oikea, syksy.

Toiminnon nimi muuttuu.

Jos halkaisija on horisontaalinen - humalassa on jo valehteleva. Sleep, luultavasti. Hänen kanssa ei tapahdu, hän on jo ottanut horisontaalisen aseman. Näin ollen toiminnon nimi ei muutu.

Eli synti (π / 2 ±), synti (3π / 2 ± α), synti (5π / 2 ± α) jne. anna ± cosα

ja synti (π ± α), synti (2π ± α), synti (3π ± α), ... - ± sinα.

Kuten tiedämme jo.

Kuinka se toimii? Tarkastelemme esimerkkejä.

1) cos (π / 2 + α) \u003d?

Tullut π / 2. Koska + α tarkoittaa, menemme eteenpäin, vastapäivään. Me putoamme II-neljänneksellä, jossa kosini on merkki "-". Toiminnan nimi muuttuu ("humalassa se on", mikä tarkoittaa - laskee). Niin,

cos (π / 2 + α) \u003d - SIN α.

Meistä tulee 2π. Koska -α - palaa, se on myötäpäivään. Suunnittelemme IV-vuosineljännekseen, jossa tangentti on merkki "-". Toiminnon nimi ei muutu (halkaisija on horisontaalinen, "humalassa on jo valehteleva"). Siten Tg (2π-α) \u003d - TGa.

3) CTG² (3π / 2-α) \u003d?

Esimerkkejä, joissa funktio pystytään tasaiseen tutkintoon, on vielä helpompaa. Tasainen tutkinto "-" poistaa, eli se on tarpeen vain selvittää, onko toiminnon nimi muuttuu tai pysyy. Halkaisija on pystysuora (murto-osa "," humalassa, "putoaa), toiminnon nimi muuttuu. Saamme: CTG² (3π / 2-α) \u003d Tg²a.

Kaavojen käyttöä on kaksi sääntöä.

1. Jos kulma voidaan esittää muodossa (π / 2 ± A) tai (3 * π / 2 ± A), sitten toiminnon nimi muuttuu Sin on COS, COS SIN, TG CTG, CTG TG. Jos kulma voidaan esittää muodossa (π ± A) tai (2 * π ± A), sitten toiminnan nimi pysyy muuttumattomana.

Katso alla oleva piirustus, se on kaavamaisesti osoitettu, kun merkkiä tulisi vaihtaa ja milloin ei.

2. Sääntö "Miten olit, niin pysyt."

Määritetyn toiminnon merkki pysyy samana. Jos lähdetoiminnolla oli plus-merkki, annetulla toiminnolla on plusmerkki. Jos lähdetoiminnossa oli miinusmerkki, alennetussa toiminnossa on "miinus" -merkki.

Alla oleva kuva esittää tärkeimpien trigonometristen toimintojen merkkejä riippuen neljänneksestä.

Laske synti (150˚)

Käytämme kaavoja:

Sin (150˚) on toisella neljänneksellä piirustuksessa näemme, että synti allekirjoitus tällä neljänneksellä on +. Joten edellä mainittu tehtävä on myös merkki "plus". Tämä leviimme toista sääntöä.

Nyt 150˚ \u003d 90 ° + 60˚. 90˚ Tämä on π / 2. Toisin sanoen käsittelemme asiasta π / 2 + 60: n, siksi ensimmäisen säännön mukaan vaihda toiminnon synnin kanssa COS. Tämän seurauksena saamme syntiä (150 °) \u003d cos (60˚) \u003d ½.

Haluttaessa kaikki kaavat voidaan pienentää yhteen taulukkoon. Mutta on vielä helpompi muistaa nämä kaksi sääntöä ja käyttää niitä.

Tarvitsetko apua opiskelussa?

Aiempi aihe:

Määritelmä. Kaavoja kutsutaan kaavoiksi, joiden avulla voit siirtyä muodon trigonometrisista toiminnoista argumentin toimintoihin. Niiden apuvälineiden kanssa, sinus, kosini, tangentti ja mielivaltainen kulma voidaan tuoda sinus, kosini, tangentti ja opengentti kulma välillä 0 - 90 astetta (0 - radian). Näin ollen tuodaan aikaansaamisen, jotta voimme siirtyä työskentelemään kulmien kanssa 90 asteen sisällä, mikä on epäilemättä erittäin kätevä.

Vaatimus kaavoja:

Kaavojen käyttöä on kaksi sääntöä.

1. Jos kulma voi olla muodossa (π / 2 ± a) tai (3 * π / 2 ± A), sitten toiminnon nimi muuttuusin on COS, COS SIN, TG CTG, CTG TG. Jos kulma voidaan esittää muodossa (π ± A) tai (2 * π ± A), sitten toiminnan nimi pysyy muuttumattomana.

Katso alla oleva piirustus, se on kaavamaisesti esitetty, kun merkkiä tulisi vaihtaa ja milloin ei

2. Suositeltuun toimintoon merkki Se on edelleen sama. Jos lähdetoiminnolla oli plus-merkki, annetulla toiminnolla on plusmerkki. Jos lähdetoiminnossa oli miinusmerkki, alennetussa toiminnossa on "miinus" -merkki.

Alla oleva kuva esittää tärkeimpien trigonometristen toimintojen merkkejä riippuen neljänneksestä.

Esimerkki:

Laskea

Käytämme kaavoja:

Sin (150˚) on toisella neljänneksellä piirustuksessa näemme, että synti merkki tällä neljänneksellä on "+". Joten edellä mainittu toiminto on myös "+" -merkki. Tämä leviimme toista sääntöä.

Ja toinen tehtävä B11 samaan aiheeseen - matematiikan todellisesta EGE: stä.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Tässä lyhyessä video-opetusohjelmassa opimme hakemaan valettujen kaavat Voit ratkaista todelliset ongelmat B11 matematiikan EGE: sta. Kuten näet, ennen meitä - kaksi trigonometrista ilmaisua, joista kukin sisältää sinisiä ja kosineita sekä melko julmia numeerisia argumentteja.

Ennen näiden tehtävien ratkaisemista muistetaan, että tällainen kaaula tuo. Joten, jos meillä on lomakkeen ilmaisut:

Sitten voimme päästä eroon ensimmäisestä toimikaudesta (lajit k · π / 2) erityissäännöillä. Piirrä trigonometrinen ympyrä, huomaamme tärkeimmät kohdat: 0, π / 2; π; 3π / 2 ja 2π. Sitten tarkastelemme ensimmäistä termiä trigonometrisen toiminnan merkin alla. Meillä on:

Jos termi, joka kiinnostaa meitä trigonometrisen ympyrän pystysuorassa akselilla (esimerkiksi 3π / 2; π / 2 jne.), Alkufunktio korvataan yhteistyöllä: sinea korvataan kosinilla ja Cosine - päinvastoin, sinus.
Jos termi on horisontaalisessa akselilla, alkuperäinen toiminto ei muutu. Puhdista ensimmäinen termi ilmaisussa - ja se on se.

Siksi saamme trigonometrisen toiminnon, joka ei sisällä lajeja k · π / 2. Tällä työllä ei kuitenkaan lopeta, ei pääty. Tosiasia on, että ensimmäisen toimikauden "hylkäämisen" jälkeen saadun uuden ominaisuuden edessä voi olla plus- tai miinusmerkki. Kuinka määrittää tämä merkki? Nyt selvitän.

Kuvittele, että kulma α jäljellä trigonometrisen toiminnan sisällä muunnoksilla, on hyvin pieni aste. Mutta mitä "pieni mitta" tarkoittaa? Oletetaan, että α ∈ (0; 30 °) on tarpeeksi melko. Harkitse toimintoa:

Tämän jälkeen olettamuksemme jälkeen α ∈ (0; 30 °) päätämme, että 3π / 2 - α kulma on kolmannella koordinaattijonolla, toisin sanoen ts. 3π / 2 - α ∈ (π; 3π / 2). Muista alkuperäisen toiminnon merkki, ts. Y \u003d SIN X tällä aikavälillä. On selvää, että kolmannen koordinaattijonon sinus on negatiivinen, koska sinus on määritelmän mukaan irtaimen säteen lopussa (lyhyempi sinus on Y-koordinaatti). No, koordinaatti y alemmassa puolitasolla ottaa aina negatiivisia arvoja. Se tarkoittaa, että kolmannella neljänneksellä Y on myös negatiivinen.

Näiden heijastusten perusteella voimme kirjoittaa lopullisen ilmaisun:

Tehtävä B11 - 1 vaihtoehto

Tässä ovat samat tekniikat sopivia ongelman ratkaisemiseen Matematiikan tentistä. Ainoa ero on se, että monissa todellisissa ongelmissa B11 säteilevän toimenpiteen sijasta (ts. Numerot π, π / 2, 2π jne.) Käytä tutkintoa (eli 90 °, 180 °, 270 ° ja jne.) Katsotaanpa ensimmäistä tehtävää:

Ensin käsitellään numeroita. COS 41 ° ei ole vapaata arvoa, joten emme voi tehdä mitään sen kanssa. Toistaiseksi ja lähteä.

Nyt katsomme nimittäjä:

sIN 131 ° \u003d SIN (90 ° + 41 °) \u003d COS 41 °

Ilmeisesti ennen meitä kaavaa, joten sinus korvasi kosinin. Lisäksi 41 ° kulma sijaitsee segmentillä (0 °, 90 °), ts. Ensimmäisessä koordinaattivuorossa - täsmälleen sellaisena kuin se on tarpeen, jotta voidaan soveltaa. Mutta sitten 90 ° + 41 ° on toinen koordinaattijono. Alkuperäinen toiminto y \u003d sin x on positiivinen siellä, joten laitamme kosinin edessä viimeisessä vaiheessa "plus" merkki (toisin sanoen en ole laittanut mitään).

Viimeisimmän elementin käsitteleminen on edelleen:

cOS 240 ° \u003d COS (180 ° + 60 °) \u003d -COS 60 ° \u003d -0,5

Täällä näemme, että 180 ° on horisontaalinen akseli. Näin ollen toiminto ei muutu: oli kosini - ja kosini pysyy myös. Mutta kysymys syntyy: plus tai miinus seisoo ennen saatua ilmaisua Cos 60 °? Huomaa, että 180 ° on kolmas koordinaattijono. Kostin on negatiivinen, joten ennen kuin lopulta kosoa seisoisi "miinus" -merkin. Yhteensä, saamme -CO: n 60 ° \u003d -0.5-muotoilu on taulukkoarvo, joten kaikki on helppo harkita.

Nyt korvaamme alkuperäiseen kaavan mukaiset numerot ja saat:

Kuten näemme, COS 41 °: n lukumäärä 41 ° ja fraktion nimeäjä ja fraktiota voidaan helposti pienentää, ja tavallinen ilmentyminen säilyy, mikä on -10. Samanaikaisesti miinus voidaan joko ottaa pois ja laittaa fraktiot ennen merkkiä tai "pidä" toisen tekijän vieressä, kunnes viimeinen laskelmien viimeinen vaihe. Vastaus joka tapauksessa on -10. Kaikki, tehtävä B11 on ratkaistu!

Tehtävä B14 - 2 vaihtoehto

Siirry toiseen tehtävään. Ennen meitä jälleen, murto:

No, 27 ° meillä on ensimmäisessä koordinaattingnaalissa, joten emme muuta mitään täällä. Mutta synti 117 ° on maalattava (toistaiseksi ilman neliötä):

sIN 117 ° \u003d SIN (90 ° + 27 °) \u003d COS 27 °

On selvää, että olemme taas valetun kaavan: 90 ° on pystysuora akseli, joten sinus muuttuu kosiniin. Lisäksi kulma α \u003d 117 ° \u003d 90 ° + 27 ° sijaitsee toisessa koordinaattivuorossa. Alkuperäinen toiminto Y \u003d SIN X on positiivinen siis, ennen kuin kosinaa, kun kaikki muunnokset ovat edelleen merkki "plus". Toisin sanoen ei ole lisätty mitään - ja lähteä: COS 27 °.

Palaan alkuperäiseen ilmaisuun, jonka haluat laskea:

Kuten näemme nimittäjältä muutoksen jälkeen, tärkein trigonometrinen identiteetti tapahtui: SIN 2 27 ° + COS 2 27 ° \u003d 1. Yhteensä -4: 1 \u003d -4 - Löysimme vastauksen toiseen tehtävään B11.

Kuten näette, käyttäen kaavaa, joka tuo tällaisia \u200b\u200btehtäviä matematiikan matematiikasta, ratkaistaan \u200b\u200bkirjaimellisesti pari riviä. Mikään määrästä ja kosinieroista ei. Kaikki mitä meidän on muistettava, on vain trigonometrinen ympyrä.