Yksinkertaistaa murto-ilmaisuja. Kuinka yksinkertaistaa matemaattista ilmaisua

Tehtävät vaativat usein yksinkertaistetun vastauksen. Vaikka yksinkertaistettu ja kannattamattomia vastauksia ovat uskollisia, opettaja voi vähentää arviointia, jos et yksinkertaista vastausta. Lisäksi yksinkertaistetulla matemaattisella ilmaisulla on paljon helpompi työskennellä. Siksi on erittäin tärkeää oppia yksinkertaistamaan ilmaisuja.

Askeleet

Oikea menettely matemaattisten toimintojen suorittamiseksi

1. Muista oikea menettely matemaattisten toimintojen suorittamiseksi. Matemaattisen ilmaisun yksinkertaistamisessa on tarpeen noudattaa tiettyä menettelyä, koska jotkin matemaattiset toiminnot ovat etusijalla toisten yli, ja ne on tehtävä ensin (itse asiassa oikean toiminnan noudattamatta jättäminen johtaa sinuun virheelliseen tulokseen) . Muistaa seuraavassa järjestyksessä Matemaattisten toimintojen suorittaminen: Ilmaisu suluissa, harjoittele tutkintoon, kertolasku, jako, lisäys, vähennys.

   • Huomioithan, että oikean toimintajärjestyksen tuntemus mahdollistaa suurimman osan yksinkertaisimmista lausekkeista, mutta yksinkertaistaa polynomia (muuttujan ilmaisuja) sinun täytyy tietää erikoistekniikat (katso seuraava osa).

2. Aloita ratkaisut kiinnikkeisiin suluissa. Matematiikassa kiinnikkeet osoittavat, että niihin liittyvä lauseke olisi täytettävä ensinnäkin. Siksi, kun yksinkertaistetaan matemaattista ilmentymää, aloita kiinnikkeeseen suljettu ilmentävä liuos (riippumatta siitä, mitä toimintoja on suoritettava kiinnikkeissä). Muista kuitenkin, että suluissa tehtyjen lausekkeiden kanssa olisi seurattava toimintojen suorittamista koskeva menettely, eli suluissa olevat jäsenet kerrotaan ensin, jaettu, lisäävät, vähennetään ja niin edelleen.

   • Esimerkiksi yksinkertaistamme ilmaisua 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Täällä aloitetaan lausekkeet suluissa: 5 + 2 \u003d 7 ja 3 + 4/2 \u003d 3 + 2 \u003d 5.
     • Toisen kiinnikeparin ilmaisua yksinkertaistetaan 5: een, koska sinun on ensin jaettava 4/2 (oikean toiminnan suorittamisen mukaan). Jos et tarkkaile tätä tilausta, saat väärän vastauksen: 3 + 4 \u003d 7 ja 7 ÷ 2 \u003d 7/2.
   • Jos suluissa on vielä yksi kiinnikkeitä, aloita yksinkertaistaa ilmentämistä sisäisissä kannuissa ja siirry sitten ilmentämisliuokseen ulkoisissa kiinnikkeissä.

3. Varhainen. Suluissa olevat lausekkeet, mene harjoitukseen siinä määrin (muista, että tutkinto on tutkinnon indikaattori ja tutkinto). Tee sopiva lauseke (tai numero) asteeseen ja korvaa tulos sinulle annetussa ilmaisussa.

   • Esimerkissämme ainoa ilmaisu (numero) on aste 3 2: 3 2 \u003d 9. Tässä kuvassa 3 2, korvike 9 ja saat: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. Kerro. Muista, että kertolasku voidaan merkitä seuraavilla symboleilla: "X", "∙" tai "*". Mutta jos numeron ja muuttujan välillä (esimerkiksi 2x) tai suluissa olevien lukumäärän ja numeron välillä (esimerkiksi 4 (7)) ei ole merkkejä, se on myös kertolasku.

   • Esimerkissämme on kaksi kertoimia: 2x (kaksi kertoo muuttujalle "X") ja 4 (7) (kertomalla seitsemän). Emme tiedä merkitystä X, joten ilmaisu 2x lähtee niin kuin se on. 4 (7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Nyt voit kirjoittaa sinulle annetun lausekkeen: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Jakaa. Muista, että jakotoiminta voidaan merkitä seuraavilla symboleilla: "/", "÷" tai "-" (voit täyttää viimeisen merkin petoksissa). Esimerkiksi 3/4 on kolme jaettuna neljällä.

   • Esimerkissämme jakautuminen ei enää, koska olet jo jakanut 4 - 2 (4/2), kun ratkaistaan \u200b\u200bilmentymistä suluissa. Siksi voit siirtyä seuraavaan vaiheeseen. Muista, että useimmissa ilmaisuissa ei ole matemaattisia toimintoja kerralla (vain osa niistä).

6. Taita. Lisätään ilmaisun jäseniä, voit aloittaa äärimmäisen (vasemman) jäsenen tai voit ensin taittaa ilmaisun jäsenet, jotka on helppo taittaa. Esimerkiksi ilmaisulla 49 + 29 + 51 +71 on ensin helpompi lisätä 49 + 51 \u003d 100, sitten 29 + 71 \u003d 100 ja lopuksi 100 + 100 \u003d 200. On paljon vaikeampaa taittaa tätä : 49 + 29 \u003d 78; 78 + 51 \u003d 129; 129 + 71 \u003d 200.

   • Esimerkissä 2x + 28 + 9 + 5 Lisäksi on kaksi lisäyksiä. Aloitamme äärimmäisen jäsenen: 2x + 28; Et voi taittaa 2x ja 28, koska et tiedä muuttujan "X" arvoja. Siksi taita 28 + 9 \u003d 37. Nyt ekspressio voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: 2x + 37 - 5.

7. Poista. Tämä on viimeinen toiminta oikea järjestys matemaattisten toimintojen suorittaminen. Tässä vaiheessa voit myös lisätä negatiivisia numeroita tai tehdä sen jäsenten lisäysvaiheessa - tämä ei vaikuta lopputulokseen.

   • Esimerkissämme 2x + 37 - 5 on vain yksi vähennysoperaatio: 37 - 5 \u003d 32.

8. Tässä vaiheessa tehdään kaikki matemaattiset toiminnot, saat yksinkertaistetun lausekkeen. Mutta jos ilmaisu, joka on annettu sinulle, sisältää yhden tai useamman muuttujan, muista, että jäsen muuttuja pysyy sellaisena kuin se on. Ilmaisun liuos (ja ei yksinkertaistaminen) muuttujan kanssa merkitsee tämän muuttujan arvoa. Joskus muuttujan ilmaisuja voidaan yksinkertaistaa käyttämällä erityisiä menetelmiä (katso seuraava osa).

   • Esimerkissämme lopullinen vastaus: 2x + 32. Et voi taittaa kaksi jäsentä ennen kuin tiedät muuttujan "X" arvon. Muuttujan merkitys, voit helposti yksinkertaistaa tätä kiertoa.

   Yksinkertaistaa monimutkaisia \u200b\u200blausekkeita

   1. Tällaisten jäsenten lisääminen. Muista, että on mahdollista vähentää ja taittaa vain tällaiset jäsenet, eli jäsenet, joilla on sama muuttuja ja sama indikaattori. Voit esimerkiksi lisätä 7x ja 5x, mutta on mahdotonta taittaa 7x ja 5x 2 (erilaisten asteen indikaattorina).

      • Tämä sääntö koskee jäseniä, joilla on useita muuttujia. Voit esimerkiksi taittaa 2xy 2 ja -3xy 2, mutta et voi taittaa 2xy 2 ja -3x 2 y tai 2xy 2 ja -3y 2.
      • Harkitse esimerkkiä: x 2 + 3x + 6 - 8x. Täällä 3x ja 8x ovat samankaltaisia \u200b\u200bjäseniä, joten ne voidaan taittaa. Yksinkertaistettu ilmaisu näyttää tältä: x 2 - 5x + 6.

   2. Yksinkertaista numeerista fraktiota. Tällaisessa fraktiossa ja numerossa ja nimittäjässä on numeroita (ilman muuttujaa). Numeerinen fraktio yksinkertaistetaan useilla eri tavoilla. Ensinnäkin, vain jakaa nimittäjä numerolle. Toiseksi levitä numerot ja nimittäjä kertojille ja vähentävät samoja kertojia (koska kun jakaminen itsessään, saat 1). Toisin sanoen, jos numerointi on, ja nimittäjällä on sama tekijä, se voidaan hävittää ja saada yksinkertaistettu fraktio.

      • Harkitse esimerkiksi fraktio 36/60. Laskimen avulla jaetaan 36 - 60 ja saat 0,6. Mutta voit yksinkertaistaa tätä fraktiota ja eri tavoin määräämällä numero- ja nimittäjä kertojille: 36/60 \u003d (6x6) / (6x10) \u003d (6/6) * (6/10). Koska 6/6 \u003d 1, yksinkertaistettu fraktio: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Mutta tätä fraktiota voidaan myös yksinkertaistaa: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Jos fraktio sisältää muuttujan, voit vähentää samoja kertojikkeita muuttujalla. Leviäminen ja numerointi ja nimellisaattori kertojille ja vähentävät samoja kertojia, vaikka ne sisältävät muuttujan (muista, että tässä samat kertojat voivat sisältää tai sisältää muuttujan).

      • Harkitse esimerkkiä: (3x 2 + 3x) / (- 3x 2 + 15x). Tämä ilmaisu voidaan kirjoittaa uudelleen (hajota kertoimet) muodossa: (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x). Koska 3X: n jäsen on sekä numeroimessa että nimittäjältä, sitä voidaan vähentää, ja saat yksinkertaistetun lausekkeen: (x + 1) / (5 - x). Harkitse toinen esimerkki: (2x 2 + 4x + 6) / 2 \u003d (2 (x 2 + 2x + 3) / 2 \u003d x 2 + 2x + 3.
      • Huomaa, että et voi vähentää jäseniä - vain samat kertojat vähenevät, jotka ovat läsnä sekä numerottimessa että nimittäjässä. Esimerkiksi ilmaisussa (x (x + 2)) / x, muuttuja (kerroin) "X" on sekä numerointimessa että nimittäjässä, niin "X" voidaan vähentää ja saada yksinkertaistettu lauseke: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Kuitenkin ekspressiossa (x + 2) / x -muuttujaa "X" ei voida pienentää (koska "X" -numero ei ole kertoimen).

   4. Avoimet sulkeet. Tee tämä, kerro jokaisen jäsenen kannattimen takana oleva jäsen. Joskus se auttaa yksinkertaistamaan monimutkainen ilme. Tämä koskee molempia jäseniä, jotka ovat yksinkertaisia \u200b\u200bnumeroita ja jäsenille, jotka sisältävät muuttujan.

      • Esimerkiksi 3 (x 2 + 8) \u003d 3x 2 + 24 ja 3x (x 2 + 8) \u003d 3x 3 + 24x.
      • Huomioithan, että fraktioiden ilmaisuissa kiinnikkeet eivät ole välttämättömiä, jos numeroissa ja nimittäjässä on sama kerroin. Esimerkiksi ekspressiossa (3 (x 2 + 8)) / 3x-kiinnikkeet, ei ole välttämätöntä paljastaa, koska tässä voit pienentää kerrannaispiiriä 3 ja saada yksinkertaistetun lausekkeen (x 2 + 8) / x. Tällä ilmaisulla on helpompi työskennellä; Jos olet paljastanut kiinnikkeet, saat seuraavan monimutkaisen lausekkeen: (3x 3 + 24x) / 3x.

   5. Levitä polynomien kertojille. Tällä menetelmällä voit yksinkertaistaa joitakin lausekkeita ja polynomeja. Kertomien hajoaminen on toimenpide vastakkaiseen suluissa, toisin sanoen ilmentymä tallennetaan kahden ilmaisun tuotteeksi, joista kukin on suljettu suluissa. Joissakin tapauksissa kertojien laajentaminen vähentää samaa lauseketta. Erityistapauksissa (pääsääntöisesti neliöyhtälöt) Kertomien hajoaminen antaa sinun ratkaista yhtälön.

      • Harkitse lauseketta X 2 - 5x + 6. Se hajoaa kertojiin: (X-3) (X - 2). Näin ollen, jos esimerkiksi ekspressio (x 2 - 5 x + 6) / (2 (x - 2)), voit kirjoittaa sen muotoiluun muodossa (X-3) (X - 2) / (2 (X - 2)), vähennä ekspressiota (X-2) ja saada yksinkertaistettu ilmentyminen (X-3) / 2.
      • Polynomien laajentamista tekijöille käytetään ratkaista (löytää juuret) yhtälöiden (yhtälö on polynomi, joka vastaa 0). Esimerkiksi pohtia yhtälö x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Pidä se kertojille, saat (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Koska mikä tahansa ilmentyminen kerrotaan 0: llä, yhtä suuri kuin 0, voimme sitten Kirjoita niin: X - 3 \u003d 0 ja X - 2 \u003d 0. Näin ollen x \u003d 3 ja x \u003d 2, toisin sanoen löysit kaksi juuria sinulle annetuista yhtälöistä.

Eri ilmaisuista, joita pidetään algebra, homoraalien määrä on tärkeä paikka. Annamme esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \\)
\\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\)

Homorien määrää kutsutaan polynomiksi. Polynomi-komponentteja kutsutaan polynomin jäseniksi. Meillä on myös tahattomasti viitata polynomille, laskeminen on tahattomasti polynomi, joka koostuu yhdestä jäsenestä.

Esimerkiksi polynomi
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ CDOT 7B ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25B \\ CDOT (-12) B + 16 \\)
Voit yksinkertaistaa.

Kuvittele kaikki homoraalien muodossa olevat ehdot standardinäkymä:
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25B \\ CDOT (-12) B + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \\)

Annamme tällaisia \u200b\u200bjäseniä tuloksena olevaan polynomiin:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16 \\)
Se osoittautui polynomin, kaikki jäsenet ovat yksipuolisia lajeja, eikä niillä ole samankaltaisia. Tällaisia \u200b\u200bpolynomeja kutsutaan vakiolajien polynomit.

Per polynomin aste Vakiolajit ovat suurimmat jäsentensä asteista. Näin ollen bicked \\ (12a ^ 2b - 7b \\) on kolmas aste ja kolme vaihetta \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - toinen.

Tyypillisesti yhden muuttujan sisältävien polynomien jäsenet sijoitetaan sen asteen vähenemiseen. Esimerkiksi:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) tavanomaisen lajin polynomille.

Joskus polynomin jäsenet on jaettava ryhmiin syöttämällä kunkin ryhmän suluissa. Suluissa tehdyt päätelmät ovat muutos, käänteisten käänteisten paljastuminen, se on helppo muotoilla sulujen luovuttamista koskevat säännöt:

Jos "+" -merkki asetetaan kiinnikkeiden eteen, kiinnikkeissä suljetut jäsenet tallennetaan samoilla merkkeillä.

Jos "-" -merkki on asennettu kiinnikkeiden eteen, kiinnikkeissä tehtävät jäsenet tallennetaan vastakkaisilla merkkeillä.

Yksittäisen ja polynomin teosten muutos (yksinkertaistaminen)

Moninkertaistumisen jakeluominaisuuksien avulla voit muuntaa (yksinkertaistaa) polynomille, tuote on unoblared ja polynomin. Esimerkiksi:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \\ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \\ CDOT (-4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63A ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)

Työ on unobed ja polynomi on sama kuin tämän yhden ja jokaisen polynomin jäsenen määrän.

Tämä tulos on yleensä muotoiltu yleensä.

Moninkertaistaa kerätä polynomia, sinun on kerrottava tämä, joka on tuntematon jokaiselle polynomin jäsenelle.

Olemme toistuvasti käyttäneet tätä sääntöä kertomaan määrän mukaan.

Polynomien tuote. Transformation (yksinkertaistaminen) kaksi polynomista

Yleensä kahden polynomin tuotteen on sama kuin yhden polynomin ja jokaisen toisen jäsenen jokaisen jäsenen määrän.

Yleensä nauttivat seuraavista sääntöistä.

Kerrotaan polynomin polynomiin, kunkin toisen polynomin jäsenen kerrotaan kukin toisen jäsenen ja taitettu saadut teokset.

Lyhennettyjen kertolaskujen kaavat. Neliöt summaa, ero ja ero neliöiden

Joillakin ilmaisuilla algebraalisissa muutoksissa on tarpeen käsitellä useammin kuin muiden kanssa. Ehkä yleisimmät ilmaisut \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) ja \\ (a ^ 2 - b ^ 2 \\) eli summan summa, neliö ero ja neliöerot. Huomasit, että määritettyjen lausekkeiden nimet eivät ole ohi, joten esimerkiksi \\ ((a + b) ^ 2 \\) ei tietenkään ole vain summan neliö ja summan a neliö A ja B. Määrän A ja B neliö ei kuitenkaan ole niin usein, eikä kirjain A ja B sen sijaan, että se osoittautuu erilaisiksi, joskus melko monimutkaisiksi ilmaisuiksi.

Ilmaisut \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) Ei ole vaikea muuntaa (yksinkertaistaa) vakiolajien polynomille, itse asiassa olet jo tavannut tällaisen tehtävän, kun Moninkertaistaa polynomi:
\\ ((a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \\)

Saadut identiteettiset ovat hyödyllisiä muistaa ja soveltaa ilman välityslaskelmia. Lyhyt sanallinen sanamuoto auttaa tätä.

\\ (a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \\) - summan summa on yhtä suuri kuin neliöiden summa ja kaksinkertainen työ.

\\ (a - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \\) - Ero neliö on yhtä suuri kuin neliöiden summa ilman kaksinkertaista tuotetta.

\\ (a ^ 2 - b ^ 2 \u003d (a - b) (a + b) \\) - neliöiden ero on yhtä suuri kuin määrän eron tuote.

Nämä kolme identiteettiä mahdollistavat muutokset korvaamaan vasen osat oikealla ja takana - oikeat osat vasemmalle. Vaikeinta samanaikaisesti - katso asianmukaiset lausekkeet ja ymmärrä, miten muuttujat A ja B korvataan. Harkitse useita esimerkkejä käyttämästä lyhennettyjen kertojien kaavoja.

I. Ilmaisuja, joissa sekä kirjaimia sekä numeroita, aritmeettisen toiminnan ja kiinnikkeiden merkkejä voidaan käyttää, kutsutaan algebrakiksi ilmaisuiksi.

Esimerkkejä algebraalisista ilmaisuista:

2m-n; 3. · (2A + B); 0,24x; 0,3a -b. · (4a + 2b); A 2 - 2aB;

Koska algebrallisen ilmaisun kirje voidaan korvata joidenkin erilaisia \u200b\u200bnumeroita, niin kirje kutsutaan muuttujiksi ja itse algebrallinen ilmaisu - Ilmaisu muuttujalla.

II. Jos algebraaliset lausekkeet (muuttujat) vaihda ne arvot ja suorita nämä toimet, tuloksena oleva numero kutsutaan algebrallisen lausekkeen arvoksi.

Esimerkkejä. Etsi lausekkeen arvo:

1) A + 2B-C a \u003d -2; b \u003d 10; C \u003d -3,5.

2) | X | + | Y | - | Z | x \u003d -8; Y \u003d -5; z \u003d 6.

Päätös.

1) A + 2B-C a \u003d -2; b \u003d 10; C \u003d -3,5. Muuttujien sijaan korvaamme niiden arvot. Saamme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | X | + | Y | - | Z | x \u003d -8; Y \u003d -5; z \u003d 6. Korvaa määritetyt arvot. Muista, että moduuli negatiivinen numero Se on yhtä kuin vastakkaista numeroa ja positiivisen määrän moduuli on yhtä suuri kuin numero. Saamme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Kirjeen (muuttujan) arvot, joiden alla on merkitystä, kutsutaan kirjaimen sallitut arvot (muuttuja).

Esimerkkejä. Mitä muuttujan ilmaisun arvoja ei ole järkevää?

Päätös. Tiedämme, että on mahdotonta jakaa nolla, siksi jokainen näistä ilmaisuista ei ole järkevää kirjaimen arvo (muuttuja), joka vetää murto-osuuden nolla!

Esimerkissä 1) Tämä arvo on \u003d 0. Itse asiassa ja korvaa 0, sinun on jaettava numero 6 - 0, eikä sitä voi tehdä. Vastaus: Ilmaisu 1) ei ole järkeä a \u003d 0.

Esimerkissä 2) nimittäjä X - 4 \u003d 0 X \u003d 4, joten tämä arvo x \u003d 4 ei voida ottaa. Vastaus: Ilmaisu 2) ei ole järkevää x \u003d 4.

Esimerkissä 3) nimittäjä x + 2 \u003d 0 x \u003d -2. Vastaus: Expression 3) ei ole järkevää x \u003d -2.

Esimerkissä 4) nimittäjä 5 - | x | \u003d 0 | x | \u003d 5. Ja koska | 5 | \u003d 5 ja | -5 | \u003d 5, sitten on mahdotonta ottaa x \u003d 5 ja x \u003d -5. Vastaus: Ilmaisu 4) ei ole järkevää x \u003d -5 ja x \u003d 5.
IV. Kaksi ilmaisua ovat identtisesti yhtä suuret, jos muuttujien millä tahansa kelvollisilla arvoilla näiden lausekkeiden vastaavat arvot ovat yhtä suuret.

Esimerkki: 5 (a - b) ja 5a - 5b ovat shadely sama, koska tasa-5 (a - b) \u003d 5a - 5b uskollisia tahansa A: n arvot ja b. Tasa-arvo 5 (a - b) \u003d 5a - 5b On identiteetti.

Identiteetti - Tämä on tasa-arvo, vain kaikki siihen sisältyvien muuttujien sallitut arvot. Esimerkkejä, jotka ovat jo tiedossa, ovat esimerkiksi lisäyksen ja lisääntymisen ominaisuudet, jakelu ominaisuus.

Yhden lausekkeen korvaaminen toiseen, joka vastaa sitä ekspressiolla, kutsutaan identtiseksi muuntamiseksi tai yksinkertaisesti ekspression transformoimalla. Identtiset muutokset Muuttujien laajennukset suoritetaan numeroiden yläpuolella olevien toimien ominaisuuksien perusteella.

Esimerkkejä.

a) Muunna lauseke identtisesti yhtä suureksi, käyttämällä kertolaskua:

1) 10 · (1.2x + 2.3,); 2) 1,5 · (A -2B + 4C); 3) A · (6m -2n + k).

Päätös. Muistuta jakelu ominaisuus (laki) kertolasku:

(A + B) · C \u003d A · C + B · C (Jakelu laki suhteessa lisäykseen: kerrotaan kahden numeron määrä kolmanteen numeroon, voit moninkertaistaa jokaisen komponentin tähän numeroon ja taittaa tulokset).
(A-B) · C \u003d A · C-B · C (Jakelu laki suhteessa vähennyksestä: Moninkertaistaa kahden numeron ero kertomalla kolmannella numerolla, voit moninkertaistaa tämän numeron pienentämällä ja vähentämällä erikseen ja ensimmäisestä tuloksesta toisen toisen tulosta).

1) 10 · (1,2x + 2,31) \u003d 10 · 1,2x + 10 · 2.3u \u003d 12x + 23W.

2) 1,5 · (A -2B + 4C) \u003d 1,5A -3B + 6C.

3) A · (6m -2n + k) \u003d 6AM -2AN + AK.

b) Muunna ilmaisu identtisesti yhtä suureksi, käyttämällä lisäys- ja muoti-ominaisuuksia (lakeja):

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3A + 2,1) + 7,8; 6) 5.4C -3 -2,5 -2.3C.

Päätös. Levitä lisäyslainsäädäntöä (ominaisuudet):

a + B \u003d B + A (Liike: määrä ei muutu termien uudelleenjärjestelystä).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (Yhdistäminen: Jos haluat lisätä kolmannen numeron kahden komponentin summaan, voit lisätä toisen ja kolmannen määrän ensimmäiseen numeroon).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 \u003d (x + 2x) + (4.5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3A + 2,1) + 7,8 \u003d 3A + (2.1 + 7,8) \u003d 3A + 9,9.

6) 6) 5.4C -3 -2,5 -2.3C \u003d (5.4C -2.3C) + (-3 -2,5) \u003d 3.1С -5.5.

sisään) Muunna lauseke identtisesti yhtä suureksi, käyttämällä kertolasku: kertolasku:

7) 4 · H. · (-2,5); 8) -3,5 · 2 · (-yksi); 9) 3a. · (-3) · 2c.

Päätös. Levitä kertolasku (ominaisuudet):

a · b \u003d b · a (Liike: Kerrojien permutaatiosta työ ei muutu).
(A · b) · c \u003d a · (b · c) (Yhdistäminen: Kerro kaksi numeroa kolmannelle numerolle, voit moninkertaistaa ensimmäisen numeron toisen ja kolmannen työhön).

7) 4 · H. · (-2,5) = -4 · 2,5 · X \u003d -10x.

8) -3,5 · 2 · (-1) \u003d 7U.

9) 3a. · (-3) · 2c \u003d -18as.

Jos algebrallinen ilmentyminen annetaan alennetun fraktion muodossa, sitten käyttämällä murskaussääntöä, sitä voidaan yksinkertaistaa, ts. Vaihda identtisesti sama kuin yksinkertaisempi lauseke.

Esimerkkejä. Yksinkertaista fraktioiden vähentämistä.

Päätös. Vähennä fraktiota - Tämä tarkoittaa sen numeron ja nimittäjän jakamista samaan numeroon (ilmaisu), joka eroaa nollasta. Fraktio 10) vähentää 3b.; Fraktio 11) vähentää mutta ja fraktio 12) vähentää 7n.. Saamme:

Algebrallisia ilmaisuja käytetään kaavojen muodostamiseen.

Kaava on algebrallinen ilmentymä, joka on tallennettu tasa-arvon muodossa ja ilmaiseva suhde kahden tai useamman muuttujan välillä. Esimerkki: Kaavan kaavan tiedät s \u003d v · t (S on polku, V on nopeus, t - aika). Muista, mitä muut formulas tiedät.

Sivu 1/1 1

Käyttämällä millä tahansa kielellä voit ilmaista samat tiedot. eri sanoja ja kääntyy. Ei poikkeus ja matemaattinen kieli. Mutta sama ilmaus voidaan tallentaa vastaavasti eri tavoin. Ja joissakin tilanteissa yksi tietueista on yksinkertaisempi. Puhumme yksinkertaistavien ilmaisujen yksinkertaistamisesta tässä oppitunnissa.

Ihmiset kommunikoivat eri kieliä. Meille tärkeä vertailu on pari "venäjän kieli - matemaattinen kieli". Samat tiedot voidaan raportoida eri kielillä. Mutta lisäksi se voi myös sanoa yhdellä kielellä eri tavoin.

Esimerkiksi: "Petya on ystäviä Vasyan kanssa", "Vasya on ystäviä Petya", "Pete VAY-ystävien kanssa." Sanoi eri tavalla, mutta sama asia. Joka näistä lauseista ymmärrämme, mitä puhumme.

Katsotaanpa tätä lause: "Petyan poika ja poika Vasya ovat ystäviä." Ymmärsimme mitä tämä on puhe. Tästä huolimatta emme pidä siitä, miten tämä lauseke kuulostaa. Voimmeko yksinkertaistaa sitä, sano sama, mutta helpompi? "Poika ja poika" - voit sanoa jälleen kerran: "Petya ja Vasya Boys ovat ystäviä."

"Pojat" ... ei ole nimiä, joita he eivät ole tyttöjä. Poistamme "pojat": "Petya ja Vasya ovat ystäviä." Ja sana "ystävät" voidaan korvata "Ystävät": "Peter ja Vasya - ystävät." Tämän seurauksena ensimmäinen, pitkä ruma ilmaus korvattiin vastaavalla lausumilla, joka on helpompi sanoa ja helpompi ymmärtää. Yksinkertaistamme tätä lausetta. Yksinkertaista - se tarkoittaa, että se on helpompaa, mutta ei menetä, älä vääristä merkitystä.

Matemaattisessa kielessä suunnilleen sama asia tapahtuu. Yksi asia voidaan sanoa kirjoittamaan eri tavalla. Mitä tarkoittaa ilmaisun yksinkertaistamista? Tämä tarkoittaa, että alkuperäisestä ilmaisusta on monia vastaavia ilmaisuja, eli ne, jotka tarkoittavat samaa asiaa. Ja kaikesta tästä setistä meidän on valittava yksinkertaisin mielestämme tai sopivimmiksi tuleville tavoitteillemme.

Harkitse esimerkiksi numeerista ilmaisua. Se vastaa.

Se vastaa myös kaksi ensimmäistä: .

On osoittautunut, että olemme yksinkertaistaneet ilmaisumme ja löysimme lyhyen vastaavan ilmaisun.

Varten numeeriset ilmaisut Sinun on aina tehtävä kaikki toimet ja saada vastaava lauseke yhden numeron muodossa.

Harkitse esimerkkiä aakkosellisesta ilmaisusta. . On selvää, se on yksinkertaisempi.

Yksinkertaistamalla aakkosellisia ilmaisuja sinun on suoritettava kaikki mahdolliset toimet.

Tarvitsetko aina yksinkertaistaa ilmaisua? Ei, joskus se on helpompaa meille vastaavaa, mutta pidempi tallennus.

Esimerkki: Numerosta sinun on otettava pois numero.

On mahdollista laskea, mutta jos ensimmäinen numero oli edustettuna vastaava ennätys :, sitten laskelmat olisivat hetkellisiä :.

Toisin sanoen yksinkertaistettu ilmaus ei ole aina kannattavaa lisätietojärjestelmästä.

Kuitenkin hyvin usein kohtaamme tehtävän, jonka se kuulostaa "yksinkertaistamaan ilmaisua".

Yksinkertaista ilmaisua :.

Päätös

1) Suorita toimet ensimmäisessä ja toisessa kannattimessa :.

2) Laske teokset: .

On selvää, että viimeinen ilmaisu on yksinkertaisempi näkemys kuin alkuperäinen. Yksinkertaistuimme sitä.

Ilmaisun yksinkertaistamiseksi se on korvattava vastaavalla (sama).

Vastaavan ilmaisun määrittäminen on tarpeen:

1) Suorita kaikki mahdolliset toimet

2) Käytä lisäyksen, vähennys-, kertolaskujen ja divisioonien ominaisuuksia yksinkertaistaa laskelmia.

Lisäyksen ja vähennysominaisuudet:

1. Siirrä lisäysominaisuus: määrä ei muutu ehtojen uudelleenjärjestelystä.

2. Lisäyksen yhdistelmäominaisuus: lisätä kolmas numero kahden numeron summaksi, voit lisätä toisen ja kolmannen numeron summan ensimmäiseen numeroon.

3. Summan vähentämisominaisuus keskuudesta: vähennä määrä numerosta, voit vähentää jokaisen termin erikseen.

Moninkertaistumisen ja divisioonan ominaisuudet

1. Monikerroksen liikeomaisuus: Tuote ei muutu kertojien permutaatiosta.

2. Muodikas omaisuus: Kerrotaan numeron kahden numeron työstä, voit ensin kertoa se ensimmäiselle tekijälle ja sitten tuloksena oleva työ kerrotaan toisella tekijällä.

3. Kertomuksen jakelu ominaisuus: Kerrotaan numero määrään, sinun on kerrottava se jokaiselle yksin erikseen.

Katsotaanpa, kuinka todella teemme laskelmia mielessä.

Laskea:

Päätös

1) Kuvittele, miten

2) Kuvittele ensimmäinen tekijä vastuuvapauden ehtojen summana ja suorittaa kertolasku:

3) Voit kuvitella moninkertaistumisen suorittamista:

4) Vaihda vastaavan määrän ensimmäinen tekijä:

Jakeluoikeutta voidaan käyttää kääntöpuoli: .

Suorita seuraavat:

1) 2)

Päätös

1) Mukavuutta varten voit käyttää jakeluoikeutta vain käyttää sitä vastakkaiseen suuntaan - tehdä yleinen tekijä suluissa.

2) Tuotan yleisen kerrannaispiirin.

On tarpeen ostaa linoleumi keittiössä ja sisääntuloaulassa. Square Kitchen -, Hallway -. Linoleum-tyyppejä on kolme: ohjelmisto ja ruplat. Kuinka paljon jokainen kolme lajia Linoleum? (Kuva 1)

Kuva. 1. Kuva ongelman edellytykseen

Päätös

Menetelmä 1. Voit yksilöllisesti löytää kuinka paljon rahaa tarvitsee ostaa linoleumin keittiöön ja lisää sitten käytävälle ja saaduille teoksille.

Jotkut algebralliset esimerkit voivat tuoda kauhua koululaisille. Pitkät ilmaisut eivät ole pelkästään peloissaan, vaan myös vaikeuttavat laskemista. Yrittää saada mahdollisuuden ymmärtää, mitä ja mitä pitäisi sekoittaa lyhyeksi ajaksi. Tästä syystä matematiikka pyrkii aina yksinkertaistamaan "kauheaa" tehtävää niin paljon kuin mahdollista ja sitten sitten jatkaa päätöksensä. Kummallinen, tällainen temppu nopeuttaa merkittävästi työprosessia.

Yksinkertaistaminen on yksi Algebran perusviihdeistä. Jos yksinkertaisissa tehtävissä ilman sitä voit silti tehdä, sitten vaikeampaa esimerkkien laskemiseen voi olla "ei hampaissa". Tässä nämä taidot tulevat kätevästi! Erityisesti, koska monimutkaista matemaattista tietämystä ei tarvita: riittää vain muistaa ja oppia soveltamaan useita perustekniikoita käytännössä ja kaavoissa.

Riippumatta laskelmien monimutkaisuudesta ilmentymisen ratkaisemisessa, on tärkeää noudata toimintojen suorittamismenettelyä numeroiden kanssa:

1. kiinnikkeet;
2. harjoittele;
3. kertominen;
4. jako;
5. lisäys;
6. vähennyslasku.

Viimeiset kaksi pistettä voidaan turvallisesti vaihtaa paikoissa ja se ei vaikuta tulokseen. Mutta taita kaksi vierekkäistä numeroa, kun kertolasku on kategorisesti mahdotonta vieressä yksi niistä! Vastaus on, jos se osoittautuu, sitten virheellinen. Siksi sinun on muistettava sekvenssi.

Samankaltaisten

Tällaisia \u200b\u200belementtejä ovat numerot yhdestä järjestyksestä tai samasta asteesta. On niin sanottuja ilmaisia \u200b\u200bjäseniä, joilla ei ole aakkosellinen nimitys tuntematon.

Pohjimmiltaan on se, että suluissa ei ole voit yksinkertaistaa samankaltaisia \u200b\u200bilmaisua, taittamista tai vähentämistä.

Useita visuaalisia esimerkkejä:

• 8x 2 ja 3x 2 - molemmilla numerolla on sama toisen tilausmuuttuja, joten ne ovat samankaltaisia \u200b\u200bja kun lisäys yksinkertaistetaan (8 + 3) x 2 \u003d 11x 2, kun taas vähennyksessä se muuttuu (8-3) x 2 \u003d 5x 2;
• 4x 3 ja 6x - ja täällä "X" on erilainen;
• 2Y 7 ja 33X 7 - Sisältää erilaisia \u200b\u200bmuuttujia, kuten edellisessä tapauksessa, älä liity vastaaviin.

Kerroin hajoaminen

Tämä pieni matemaattinen temppu, jos opit käyttää sitä oikein, tulevaisuudessa se ei pysty selviytymään hankalasta tehtävästä. Kyllä, ja ymmärrä, miten "järjestelmä" toimii, se on helppoa: hajoaminen viittaa useiden elementtien tuotteeseen, jonka laskenta antaa alkuperäisen arvon. Siten 20 voidaan esittää 20 × 1, 2 × 10, 5 × 4, 2 × 5 × 2 tai toisella tavalla.

HUOMAUTUS: Kertokset ovat aina samat kuin jakajat. Joten etsiä työtä "pari" hajoamiseen, on välttämätöntä numeroita, joihin alkuperäinen on jaettu ilman jäännöstä.

Voit tehdä tällaisen toiminnan kuin vapaat jäsenet ja numerot muuttujalla. Tärkein asia ei menetä jälkimmäistä tietojenkäsittelyn aikana - edes hajoamisen jälkeen tuntematon ei voi ottaa ja "mennä mihinkään". Se pysyy yhdellä kerroksella:

• 15x \u003d 3 (5x);
• 60U 2 \u003d (15Y 2) 4.

Yksinkertaiset numerot, jotka voidaan jakaa vain itseään tai 1, ei koskaan aseteta - tämä ei ole mitään järkeä.

Tärkeimmät tavat yksinkertaistamista

Ensimmäinen, jonka ulkoasu on kiinni:

• sulujen läsnäolo;
• fraktiot;
• juuret.

Algebralliset esimerkit B. kouluohjelma Usein kootaan ottaen huomioon se, että ne voidaan yksinkertaistaa kauniisti.

Laskelmat suluissa

Seuraa varovasti merkkiä! Kertominen tai jakautuminen koskee kuhunkin elementtiin sisälle ja miinus - muuttaa olemassa olevia merkkejä "+" tai "-" päinvastoin.

Kiinnikkeet lasketaan sääntöjen mukaan joko lyhennettyjen kertolasku-kaavojen mukaan, minkä jälkeen tykkää annetaan.

Jakeiden vähentäminen

Kutistua Myös helppoa. He itse "mielellään juoksevat", kannattaa toteuttaa toimintoja tällaisten jäsenten kanssa. Mutta voit yksinkertaistaa esimerkkiä ennen: kiinnitä huomiota numero- ja nimittäjälle. Ne sisältävät usein selkeitä tai piilotettuja elementtejä, joita voidaan vastata keskenään. Totta, jos ensimmäisessä tapauksessa sinun tarvitsee vain löytää tarpeettoman, toisessa sinun on ajateltava, johtava osa ilmaisusta lomakkeeseen yksinkertaistamiseksi. Käytetyt menetelmät:

• haku ja lähettäminen suurimman yhteisen jakajan vanhemmille numeron ja nimittäjä;
• jokaisen jako yläosa Nimittäjältä.

Kun ilmaus tai osa siitä on juuren allaYksinkertaistamisen ensisijainen tehtävä on lähes samanlainen kuin fraktiot. On välttämätöntä etsiä tapoja päästä eroon siitä kokonaan tai, jos on mahdotonta vähentää laskentamerkkiä mahdollisimman paljon. Esimerkiksi huomaamattomalla √ (3) tai √ (7).

Todellinen tapa Yksinkertaista menneisyyttä ilmaisua - yritä hajottaa se kertojilleJonka osa on varustettu merkin yli. Visuaalinen esimerkki: √ (90) \u003d √ (9 × 10) \u003d √ (9) × √ (10) \u003d 3√ (10).

Muut pienet temppuja ja vivahteita:

• tämä yksinkertaistamistoiminta voidaan toteuttaa fraktioilla, joten se on merkki niin kokonaan ja erikseen numero- tai nimittäjä;
• aseta ja lopeta summan tai eron juuresta;
• kun työskentelet muuttujien kanssa, muista ottaa huomioon sen tutkinto, sen on oltava yhtä suuri tai moninkertainen juurtaja mahdollisuus tehdä: √ (x 2 y) \u003d x√ (y), √ (x 3) \u003d √ (x 2 × x) \u003d x√ (x);
• joskus on sallittua päästä eroon paistetusta muuttujasta erektiolla murto-asteella: √ (Y 3) \u003d Y 3/2.

Tehon ilmaisun yksinkertaistaminen

Jos miinus- tai plus esimerkkejä yksinkertaistetuista yksinkertaisista laskelmista yksinkertaistetaan, koska tykkäävät, miten moninkertaistetaan tai jakamalla muuttujat eri asteilla? Niitä voidaan helposti yksinkertaistaa, muistaa kaksi pääpistettä:

1. Jos muuttujien välillä on merkki kertolaskuista.
2. Kun ne on jaettu toisiinsa - se vähennetään numeron asteesta.

Ainoa edellytys tällaiselle yksinkertaistamiselle - sama pohja Molemmissa jäsenissä. Esimerkkejä selkeästä:

• 5x 2 × 4x 7 + (Y 13 / Y 11) \u003d (5 × 4) x 2 + 7 + Y 13- 11 \u003d 20x 9 + Y2;
• 2Z 3 + z × Z2 - (3 × Z 8 / z 5) \u003d 2Z 3 + Z 1 + 2 - (3 × Z 8-5) \u003d 2Z 3 + Z 3 -3Z 3 \u003d 3Z 3 -3Z 3 \u003d 0.

Huomaa, että toimet numeeriset arvotMuuttujien kohdalla tapahtuvat tavalliset matemaattiset säännöt. Ja jos katsottiin, on selvää, että ilmaisun "työn" voimansiirrot ovat samankaltaisia:

• jäsenen pystytys asteittain viittaa sen kertomukseen itsessään tiettyyn määrään, eli x 2 \u003d x × x;
• divisioona on samanlainen: Jos hajotat numeron ja nimittäjän aste, sitten osa muuttujista vähenee, kun taas jäljellä oleva "kerätty", joka vastaa vähennystä.

Kuten joka tapauksessa yksinkertaistamalla algebrallisia ilmaisuja ei ainoastaan \u200b\u200bperusasiat ovat välttämättömiä, vaan myös käytäntö. Jo useissa ammatissa, esimerkkejä, joskus tuntuva vaikeaa, vähennetään ilman paljon vaikeuksia, kääntyy lyhyt ja helposti ratkaistu.

Video

Tämä video auttaa sinua selvittämään ja muistavat, miten ilmaisuja yksinkertaistetaan.

Ei saanut vastausta kysymykseesi? Tarjoa tekijöille aihe.