Etsi ilmaisun merkitys missä ilmaisuissa. Lausekkeiden muuntaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Algebran oppimisen lapset alkavat pääsääntöisesti jo ala-asteella. Opiskeltuaan numeroiden kanssa työskentelyn perusperiaatteet he ratkaisevat esimerkkejä yhdellä tai useammalla tuntemattomalla muuttujalla. Tällaisen ilmaisun merkityksen löytäminen voi olla melko vaikeaa, mutta jos yksinkertaistaa sitä peruskoulun tietämyksellä, kaikki selviää nopeasti ja helposti.

Mikä on ilmaisun merkitys

Numeerista lauseketta kutsutaan algebrallinen merkintä, joka koostuu numeroista, hakasulkeista ja merkeistä, jos se on järkevää.

Toisin sanoen, jos ilmaisun merkitys on mahdollista löytää, tietue ei ole merkityksetön ja päinvastoin.

Esimerkit seuraavista merkinnöistä ovat kelvollisia numeerisia rakenteita:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

Yksittäinen luku olisi myös numeerinen lauseke, kuten 18 yllä olevasta esimerkistä.
Esimerkkejä virheellisistä numeerisista rakenteista, joissa ei ole järkeä:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

Väärät numeeriset esimerkit ovat vain joukko matemaattisia symboleja, eikä niissä ole mitään järkeä.

Kuinka löytää ilmaisun merkitys

Koska tällaiset esimerkit sisältävät aritmeettisia merkkejä, voimme päätellä, että niiden avulla voit suorittaa aritmeettisia laskutoimituksia. Etumerkkien laskemiseksi tai toisin sanoen lausekkeen arvon löytämiseksi on suoritettava vastaavat aritmeettiset manipulaatiot.

Harkitse esimerkkiä seuraavaa rakennetta: (120-30) / 3 = 30. Numero 30 on numeerisen lausekkeen arvo (120-30) / 3.

Ohjeet:

Numeerinen tasa-arvon käsite

Numeerinen yhtäläisyys on tilanne, jossa esimerkin kaksi osaa erotetaan toisistaan "="-merkillä. Toisin sanoen yksi osa on täysin samanlainen (identtinen) toisen kanssa, vaikka se näytetään muiden symbolien ja numeroiden yhdistelminä.
Esimerkiksi mitä tahansa konstruktiota, kuten 2 + 2 = 4, voidaan kutsua numeeriseksi yhtälöksi, koska vaikka osat olisivat käänteisiä, merkitys ei muutu: 4 = 2 + 2. Sama koskee monimutkaisempia rakenteita, kuten sulkeita, jako-, kerto-, murto- ja niin edelleen.

Kuinka löytää ilmaisun merkitys oikein

Lausekkeen arvon löytämiseksi oikein on suoritettava laskelmia tietyn toimintojärjestyksen mukaan. Tätä järjestystä opetetaan jopa matematiikan tunneilla ja myöhemmin algebran tunneilla ala-aste... Se tunnetaan myös aritmeettisten operaatioiden portaina.

Aritmeettiset askeleet:

Ensimmäinen vaihe on lukujen yhteen- ja vähennyslasku.
Toinen vaihe on jako ja kertolasku.
Kolmas vaihe - numerot ovat neliöity tai kuutio.

Seuraavia sääntöjä noudattamalla voit aina määrittää oikein lausekkeen merkityksen:

Jatka vaiheesta 3 vaiheeseen 1, jos esimerkissä ei ole sulkeita. Eli ensin neliö tai kuutio, sitten jakaminen tai kertominen ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku.
Suluissa olevissa rakenteissa suorita ensin suluissa olevat toimet ja noudata sitten yllä kuvattua järjestystä. Jos sulkuja on useampi kuin yksi, käytä myös ensimmäisen kappaleen menettelyä.
Esimerkeissä murto-osion muodossa selvitä ensin tulos osoittajasta, sitten nimittäjästä ja jaa sitten ensimmäinen toisella.

Ilmaisun merkityksen löytäminen ei ole vaikeaa, jos hallitset algebran ja matematiikan alkukurssien perustiedot. Yllä kuvattujen tietojen ohjaamana voit ratkaista minkä tahansa ongelman, jopa monimutkaisemmankin.

Selvitä salasana VK:sta, tietäen kirjautumisen

(34 ∙ 10 + (489-296) ∙ 8): 4-410. Määritä toimintatapa. Suorita ensimmäinen vaihe sisäsuluissa 489-296 = 193. Kerro sitten 193 ∙ 8 = 1544 ja 34 ∙ 10 = 340. Seuraava toiminto: 340 + 1544 = 1884. Tee seuraavaksi jako 1884: 4 = 461 ja vähennä sitten 461-410 = 60. Olet löytänyt tämän ilmaisun merkityksen.

Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo 2sin 30º ∙ cos 30º ∙ tg 30º ∙ ctg 30º. Yksinkertaista tätä ilmaisua. Käytä tätä varten kaavaa tg α ∙ ctg α = 1. Hanki: 2sin 30º ∙ cos 30º ∙ 1 = 2sin 30º ∙ cos 30º. Tiedetään, että sin 30º = 1/2 ja cos 30º = √3 / 2. Siksi 2sin 30º ∙ cos 30º = 2 ∙ 1/2 ∙ √3 / 2 = √3 / 2. Olet löytänyt tämän ilmaisun merkityksen.

Algebrallisen lausekkeen arvo alkaen. Voit löytää algebrallisen lausekkeen arvon annetuille muuttujille yksinkertaistamalla lauseketta. Korvaa muuttujat tietyillä arvoilla. Ota tarvittavat toimenpiteet. Tuloksena saat luvun, joka on annettujen muuttujien algebrallisen lausekkeen arvo.

Esimerkki. Etsi lausekkeen 7 (a + y) –3 (2a + 3y) arvo, kun a = 21 ja y = 10. Yksinkertaista tätä lauseketta, niin saat: a – 2v. Liitä muuttujien vastaavat arvot ja laske: a – 2y = 21-2 ∙ 10 = 1. Tämä on lausekkeen 7 (a + y) –3 (2a + 3y) merkitys, kun a = 21 ja y = 10.

merkintä

On algebrallisia lausekkeita, joissa ei ole järkeä joillekin muuttujien arvoille. Esimerkiksi lauseke x / (7 – a) on merkityksetön, jos a = 7, koska tässä tapauksessa murto-osan nimittäjä häviää.

Lähteet:

löytö pienin arvo ilmaisuja
Etsi c 14:n lausekkeiden arvot

Matematiikan lausekkeiden yksinkertaistamisen oppiminen on yksinkertaisesti välttämätöntä ongelmien, erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi oikein ja nopeasti. Lausekkeen yksinkertaistaminen tarkoittaa vähemmän vaiheita, mikä helpottaa laskelmia ja säästää aikaa.

Ohjeet

Opi laskemaan asteet. Kun potenssit kerrotaan, saadaan lukuja, joiden kanta on sama, ja eksponentit lasketaan yhteen b ^ m + b ^ n = b ^ (m + n). Kun jaat valtuudet kanssa samoilla perusteilla saadaan luvun potenssi, jonka kanta pysyy samana, ja eksponentit vähennetään ja jakajan eksponentti b ^ m vähennetään osingon indeksistä: b ^ n = b ^ (m-n). Kun potenssi nostetaan potenssiin, saadaan luvun potenssi, jonka kanta pysyy samana, ja eksponentit kerrotaan (b ^ m) ^ n = b ^ (mn) Potenssiin nostettaessa jokainen tekijä nostetaan tähän potenssiin. (Abc) ^ m = a ^ m * b ^ m * c ^ m

Kerroinpolynomit, ts. ajattele niitä useiden tekijöiden - ja monomiaalien - tuloina. Ota yhteinen tekijä pois. Opi lyhennettyjen kertolaskujen peruskaavat: neliöiden erotus, erotuksen neliö, summa, kuutioiden erotus, summan ja erotuksen kuutio. Esimerkiksi m ^ 8 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + n ^ 8 = (m ^ 4) ^ 2 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + (n ^ 4) ^ 2. Nämä kaavat ovat tärkeimmät yksinkertaistamisessa. Käytä tapaa valita täydellinen neliö trinomissa, jonka muoto on ax ^ 2 + bx + c.

Pienennä murtolukuja niin usein kuin mahdollista. Esimerkiksi (2 * a ^ 2 * b) / (a ^ 2 * b * c) = 2 / (a * c). Mutta muista, että vain tekijät voidaan peruuttaa. Jos algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu. On kaksi tapaa muuttaa ilmaisuja: ketju ja toiminta. Toinen menetelmä on parempi, koska helpompi tarkistaa välitoimien tulokset.

Usein on tarpeen poimia juuria lausekkeista. Jopa juuret erotetaan vain ei-negatiivisista lausekkeista tai luvuista. Parittomat juuret erotetaan mistä tahansa lausekkeesta.

Lähteet:

tehoilmaisujen yksinkertaistaminen

Trigonometriset funktiot ilmestyivät ensin työkaluina terävien kulmien arvojen riippuvuuksien abstrakteihin matemaattisiin laskelmiin. suorakulmainen kolmio sen sivujen pituuksista. Nyt niitä käytetään erittäin laajasti sekä tieteellisessä että tekniset alueet ihmisen toiminta. Käytännön laskelmia varten trigonometriset funktiot annetuista argumenteista, joita voit käyttää erilaisia työkaluja- Alla on joitain helpoimpia.

Ohjeet

Käytä esimerkiksi oletusarvoisesti asennettua käyttöjärjestelmä laskin ohjelma. Se avautuu valitsemalla "Laskin"-kohdan "Järjestelmätyökalut"-kansiosta "Kaikki ohjelmat" -osion "Standard"-alaosiosta. Tämä osio voidaan avata napsauttamalla "Käynnistä" -painiketta leikkaussalin päävalikosta. Jos käytät Windows 7:ää, voit kirjoittaa päävalikon Etsi ohjelmia ja tiedostoja -kenttään "Laskin" ja napsauttaa sitten vastaavaa linkkiä hakutuloksissa.

Laske numero Tarvittavat toimet ja mieti, missä järjestyksessä ne tulisi suorittaa. Jos se tekee sinusta vaikeaa Tämä kysymys, huomaa, että suluissa olevat toiminnot suoritetaan ensin, sitten jako ja kertolasku; ja vähennys tehdään viimeisenä. Jotta suoritettujen toimintojen algoritmi olisi helpompi muistaa, kirjoita toimintojen suoritusta vastaavat numerot muistiin ohuella kynällä jokaisen operaattorin yläpuolella olevassa lausekkeessa toimintojen merkki (+, -, *, :).

Jatka ensimmäisestä vaiheesta noudattaen vakiintunutta järjestystä. Laske päässäsi, ovatko vaiheet helppo tehdä suullisesti. Jos laskutoimituksia vaaditaan (sarakkeessa), kirjoita ne lausekkeen alle osoittaen sarjanumero Toiminnot.

Seuraa selkeästi suoritettujen toimien järjestystä, arvioi mitä vähennetään mistä, mitä jaetaan mihin jne. Hyvin usein vastaus lausekkeessa osoittautuu virheelliseksi tässä vaiheessa tehtyjen virheiden vuoksi.

Erottuva ominaisuus lauseke on matemaattisten operaatioiden läsnäolo. Se on nimetty tiettyjä merkkejä(kerto-, jakolasku-, vähennys- tai yhteenlasku). Matemaattisten toimien suoritusjärjestys korjataan tarvittaessa suluilla. Matematiikan tekeminen on löytämistä.

Mikä ei ole ilmaisua

Kaikkia matemaattisia merkintöjä ei voida lukea lausekkeiden lukumäärän ansioksi.

Yhtäläiset eivät ole ilmaisuja. Sillä, ovatko matemaattiset operaatiot läsnä tasa-arvossa, ei ole väliä. Esimerkiksi a = 5 on yhtälö, ei lauseke, mutta 8 + 6 * 2 = 20 ei myöskään voi olla lauseke, vaikka se sisältää kertolaskua. Tämä esimerkki kuuluu myös tasa-arvoluokkaan.

Ilmaisu ja tasa-arvo eivät sulje toisiaan pois, edellinen on osa jälkimmäistä. Tasa-arvomerkki yhdistää kaksi lauseketta:
5+7=24:2

Voit yksinkertaistaa tätä tasa-arvoa:
5+7=12

Lauseke olettaa aina, että siinä esitetyt matemaattiset operaatiot voidaan suorittaa. 9 +: - 7 ei ole ilmaus, vaikka matemaattisista toimista on merkkejä, koska näitä toimintoja on mahdotonta suorittaa.

On myös joitain matemaattisia lausekkeita, jotka ovat muodollisesti lausekkeita, mutta joilla ei ole järkeä. Esimerkki tällaisesta ilmaisusta:
46:(5-2-3)

Luku 46 on jaettava suluissa olevien toimintojen tuloksella, ja se on yhtä suuri kuin nolla. Et voi jakaa nollalla, toimintoa pidetään kiellettynä.

Numeeriset ja algebralliset lausekkeet

Matemaattisia lausekkeita on kahdenlaisia.

Jos lauseke sisältää vain lukuja ja matemaattisten operaatioiden etumerkkejä, lauseketta kutsutaan numeeriseksi. Jos lausekkeessa on numeroiden ohella muuttujia, jotka on merkitty kirjaimilla tai numeroita ei ole ollenkaan, lauseke koostuu vain matemaattisten operaatioiden muuttujista ja merkeistä, sitä kutsutaan algebraksi.

Perustava ero numeerinen arvo algebrasta on, että numeerisella lausekkeella on vain yksi merkitys. Esimerkiksi numeerisen lausekkeen 56-2 * 3 arvo on aina 50, mitään ei voi muuttaa. Algebrallisella lausekkeella voi olla monia merkityksiä, koska sen sijaan voit korvata minkä tahansa luvun. Joten jos lausekkeessa b - 7 korvaa b 9:n sijasta, lausekkeen arvo on 2 ja jos 200 - se on 193.

Lähteet:

Numeeriset ja algebralliset lausekkeet

Merkintä, joka koostuu numeroista, merkeistä ja hakasulkeista ja on myös järkevä, kutsutaan numeeriseksi lausekkeeksi.

Esimerkiksi seuraavat merkinnät:

(100-32)/17,
2*4+7,
4*0.7 -3/5,
1/3 +5/7

tulee olemaan numeerisia lausekkeita. On ymmärrettävä, että yksittäinen luku on myös numeerinen lauseke. Esimerkissämme tämä luku on 13.

Ja esimerkiksi seuraavat merkinnät

100 - *9,
/32)343

eivät ole numeerisia lausekkeita, koska ne ovat merkityksettömiä ja ovat vain kokoelma numeroita ja merkkejä.

Numeerisen lausekkeen arvo

Koska aritmeettisten operaatioiden etumerkit sisältyvät numeeristen lausekkeiden etumerkkeihin, voimme laskea numeerisen lausekkeen arvon. Tätä varten sinun on suoritettava ilmoitetut toimet.

Esimerkiksi,

(100-32) / 17 = 4, eli lausekkeessa (100-32) / 17 tämän numeerisen lausekkeen arvo on numero 4.

2 * 4 + 7 = 15, numero 15 on numeerisen lausekkeen 2 * 4 + 7 arvo.

Usein lyhyyden vuoksi he eivät kirjoita numeerisen lausekkeen täyttä arvoa, vaan yksinkertaisesti kirjoittavat "lausekkeen arvon", jättäen pois sanan "numeerinen".

Numeerinen tasa-arvo

Jos kaksi numeerista lauseketta kirjoitetaan yhtäläisyysmerkillä, nämä lausekkeet muodostavat numeerisen yhtälön. Esimerkiksi lauseke 2 * 4 + 7 = 15 on numeerinen yhtälö.

Kuten edellä todettiin, sulkuja voidaan käyttää numeerisissa lausekkeissa. Kuten jo tiedät, sulkeet vaikuttavat toimintojen järjestykseen.

Yleensä kaikki toimet on jaettu useisiin vaiheisiin.

Ensimmäisen vaiheen toiminnot: yhteen- ja vähennyslasku.
Toisen vaiheen toimet: kerto- ja jakolasku.
Kolmannen vaiheen toimet ovat neliöinti ja kuutioiminen.

Säännöt numeeristen lausekkeiden arvojen arvioimiseksi

Numeeristen lausekkeiden arvoja laskettaessa tulee noudattaa seuraavia sääntöjä.

1. Jos lausekkeessa ei ole sulkeita, on suoritettava toiminnot alkaen korkeimmista tasoista: kolmas vaihe, toinen vaihe ja ensimmäinen askel. Jos yhden vaiheen toimintoja on useita, ne suoritetaan siinä järjestyksessä, jossa ne kirjoitetaan, eli vasemmalta oikealle.
2. Jos lauseke sisältää hakasulkeet, suoritetaan ensin suluissa olevat toiminnot ja vasta sitten kaikki terästoiminnot tavallisessa järjestyksessä. Suorittaessasi toimintoja suluissa, jos niitä on useita, tulee käyttää kohdassa 1 kuvattua järjestystä.
3. Jos lauseke on murto-osa, lasketaan ensin osoittajan ja nimittäjän arvot ja sitten osoittaja jaetaan nimittäjällä.
4. Jos lauseke sisältää sisäkkäisiä sulkeita, toiminnot tulee suorittaa sisäsuluista.

Joten jos numeerinen lauseke koostuu numeroista ja merkeistä +, -, · ja:, järjestyksessä vasemmalta oikealle, sinun on ensin suoritettava kerto- ja jakolasku ja sitten yhteen- ja vähennyslasku, jonka avulla voit löytää haluamasi lausekkeen arvo.

Annetaan esimerkkiratkaisu selvennykseksi.

Esimerkki.

Arvioi lausekkeen 14−2 · 15: 6−3 arvo.

Ratkaisu.

Lausekkeen arvon löytämiseksi sinun on suoritettava kaikki siinä ilmoitetut toiminnot hyväksytyn suoritusjärjestyksen mukaisesti. Ensin, järjestyksessä vasemmalta oikealle, suoritamme kerto- ja jakolaskun, saamme 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... Nyt myös, järjestyksessä vasemmalta oikealle, suoritamme loput toiminnot: 14−5−3 = 9−3 = 6. Joten löysimme alkuperäisen lausekkeen arvon, se on 6.

Vastaus:

14-215: 6-3 = 6.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys.

Ratkaisu.

V tämä esimerkki meidän täytyy ensin tehdä kertolasku 2 · (−7) sekä jako ja kertominen lausekkeessa. Muistamalla kuinka se tehdään, löydämme 2 (−7) = -14. Ja ensin suorittaa toimintoja lausekkeessa , sitten , ja suorita: .

Korvaa saadut arvot alkuperäiseen lausekkeeseen:.

Mutta entä jos juurimerkin alla on numeerinen lauseke? Saadaksesi tällaisen juuren arvon, sinun on ensin löydettävä radikaalin lausekkeen arvo noudattaen hyväksyttyä toimintojen suoritusjärjestystä. Esimerkiksi, .

Numeerisissa lausekkeissa juuret tulisi nähdä joinakin numeroina, ja on suositeltavaa korvata juuret välittömästi niiden arvoilla ja löytää sitten tuloksena olevan lausekkeen arvo ilman juuria suorittamalla toimia hyväksytyssä järjestyksessä.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys juurilla.

Ratkaisu.

Ensin löydämme juuren arvon ... Tätä varten laskemme ensin olemassa olevan radikaalilausekkeen arvon −2 3−1 + 60: 4 = −6−1 + 15 = 8... Ja toiseksi löydämme juuren arvon.

Lasketaan nyt toisen juuren arvo alkuperäisestä lausekkeesta:.

Lopuksi voimme löytää alkuperäisen lausekkeen arvon korvaamalla juuret niiden arvoilla:.

Vastaus:

Melko usein, jotta voit löytää lausekkeen arvon juurineen, sinun on ensin muutettava se. Esitetään esimerkin ratkaisu.

Esimerkki.

Mikä on ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Emme voi korvata kolmen juuria sen tarkalla arvolla, mikä ei salli tämän lausekkeen arvon laskemista yllä kuvatulla tavalla. Voimme kuitenkin laskea tämän lausekkeen arvon suorittamalla yksinkertaisia muunnoksia. Sovellettava neliöiden erotuskaava:. Ottaen huomioon, saamme ... Näin ollen alkuperäisen lausekkeen arvo on 1.

Vastaus:

Astinten kanssa

Jos kanta ja eksponentti ovat lukuja, niin niiden arvo lasketaan eksponentin määritelmän mukaan, esim. 3 2 = 3 · 3 = 9 tai 8 −1 = 1/8. On myös tietueita, joissa kanta ja/tai eksponentti ovat joitain lausekkeita. Näissä tapauksissa sinun on löydettävä lausekkeen arvo kannasta, lausekkeen arvo eksponenteista ja laskettava sitten itse asteen arvo.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo muodon potenssien avulla 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4.

Ratkaisu.

Alkuperäisessä lausekkeessa kaksi astetta ovat 2 3 4-10 ja (1-1 / 2) 3,5-2 1/4. Niiden arvot on laskettava ennen muiden vaiheiden suorittamista.

Aloitetaan potenssilla 2 3 4−10. Sen indikaattorissa on numeerinen lauseke, laskemme sen arvon: 3 4-10 = 12-10 = 2. Nyt löydät itse asteen arvon: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

Pohjassa ja eksponentti (1-1 / 2) 3.5-2 Meillä on (1-1 / 2) 3,5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.

Nyt palaamme alkuperäiseen lausekkeeseen, korvaamme siinä olevat voimat niiden arvoilla ja löydämme tarvitsemamme lausekkeen arvon: 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3,5-2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

Vastaus:

2 3 4–10 + 16 (1–1 / 2) 3,5–2 1/4 = 6.

On syytä huomata, että on yleisempiä tapauksia, joissa on suositeltavaa tehdä esiselvitys ilmaisun yksinkertaistaminen valtuuksilla pohjalla.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Tämän lausekkeen eksponenteista päätellen eksponentien tarkkoja arvoja ei voida saada. Yritetään yksinkertaistaa alkuperäistä ilmaisua, ehkä tämä auttaa löytämään sen merkityksen. Meillä on

Vastaus:

Lausekkeiden asteet kulkevat usein käsi kädessä logaritmien kanssa, mutta puhumme lausekkeiden arvojen löytämisestä logaritmeilla yhdessä niistä.

Murtolukuja sisältävän lausekkeen arvon löytäminen

Numeeriset lausekkeet merkinnöissään voivat sisältää murtolukuja. Kun sinun on löydettävä tällaisen lausekkeen merkitys, muut kuin tavalliset murtoluvut tulee korvata niiden arvoilla ennen muiden vaiheiden suorittamista.

Murtolukujen osoittaja ja nimittäjä (jotka eroavat tavallisista murtoluvuista) voivat sisältää sekä joitain lukuja että lausekkeita. Tällaisen murtoluvun arvon laskemiseksi sinun on laskettava lausekkeen arvo osoittajassa, laskettava lausekkeen arvo nimittäjässä ja laskettava sitten itse murto-osan arvo. Tämä järjestys selittyy sillä, että murto-osa a / b, jossa a ja b ovat joitain lausekkeita, on olennaisesti muodon (a) :(b) osamäärä, koska.

Tarkastellaan esimerkin ratkaisua.

Esimerkki.

Selvitä lausekkeen merkitys murtoluvuilla .

Ratkaisu.

Alkuperäisessä numeerisessa lausekkeessa kolme murtolukua ja . Löytääksemme alkuperäisen lausekkeen arvon tarvitsemme ensin nämä murtoluvut, korvaamme ne arvoilla. Tehdään se.

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät numeroita. Jos haluat selvittää tällaisen murtoluvun arvon, korvaa murto-osiopalkki jakomerkillä ja suorita seuraava toiminto: .

Murtoluvun osoittaja sisältää lausekkeen 7−2 · 3, jonka arvo on helppo löytää: 7−2 · 3 = 7−6 = 1. Tällä tavalla, . Voit siirtyä etsimään kolmannen murtoluvun arvoa.

Kolmas murto-osa osoittajassa ja nimittäjässä sisältää numeerisia lausekkeita, joten sinun on ensin laskettava niiden arvot, ja tämän avulla voit löytää itse murto-osan arvon. Meillä on .

On vielä korvattava löydetyt arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava loput toiminnot:.

Vastaus:

Usein sinun on tehtävä, kun etsit fraktioiden arvoja yksinkertaistaminen murtolausekkeita perustuu toimintojen suorittamiseen murtoluvuilla ja murtolukujen pienentämiseen.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Viiden juuria ei ole kokonaan purettu, joten alkuperäisen lausekkeen arvon löytämiseksi yksinkertaistetaan sitä ensin. Tätä varten päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä ensimmäinen murto: ... Tämän jälkeen alkuperäinen lauseke saa muodon ... Murtolukujen vähentämisen jälkeen juuret katoavat, mikä antaa meille mahdollisuuden löytää alun perin määritetyn lausekkeen arvon:.

Vastaus:

Logaritmeilla

Jos numeerinen lauseke sisältää ja jos niistä on mahdollista päästä eroon, tämä tehdään ennen muiden toimintojen suorittamista. Esimerkiksi kun löydät lausekkeen arvon log 2 4 + 2 + 6 = 8.

Kun logaritmin etumerkin alla ja/tai sen pohjalla on numeerisia lausekkeita, niiden arvot löydetään ensin, minkä jälkeen logaritmin arvo lasketaan. Harkitse esimerkiksi lauseketta, jolla on muodon logaritmi ... Logaritmin pohjassa ja sen etumerkin alla on numeerisia lausekkeita, löydämme niiden arvot:. Nyt löydämme logaritmin, jonka jälkeen suoritamme laskelmat:.

Jos logaritmeja ei lasketa tarkasti, alkulausekkeen yksinkertaistaminen sen avulla voi auttaa löytämään alkuperäisen lausekkeen arvon. Samalla sinun tulee hallita artikkelimateriaalia hyvin. logaritmisen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo logaritmeilla .

Ratkaisu.

Aloitetaan laskemalla log 2 (log 2 256). Koska 256 = 2 8, sitten log 2 256 = 8, siis log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Log 6 2 ja log 6 3 logaritmit voidaan ryhmitellä. Log 6 2 + log 6 3 logaritmien summa on yhtä suuri kuin tulo logaritmi log 6 (2 3), joten log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Käsitellään nyt murto-osaa. Aluksi kirjoitetaan uudelleen logaritmin kanta nimittäjään murtoluku 1/5, jonka jälkeen käytämme logaritmien ominaisuuksia, joiden avulla voimme saada murto-osan arvon:
.

On vain korvattava saadut tulokset alkuperäisellä lausekkeella ja lopetettava sen arvon löytäminen:

Vastaus:

Kuinka löydän trigonometrisen lausekkeen arvon?

Kun numeerinen lauseke sisältää tai jne., niiden arvot lasketaan ennen muiden toimien suorittamista. Jos trigonometristen funktioiden merkin alla on numeerisia lausekkeita, lasketaan ensin niiden arvot, minkä jälkeen löydetään trigonometristen funktioiden arvot.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Artikkeliin viitaten saamme ja cosπ = −1. Korvaamme nämä arvot alkuperäiseen lausekkeeseen, se ottaa muodon ... Löytääksesi sen arvon, sinun on ensin suoritettava eksponentio ja suoritettava sitten laskelmat:.

Vastaus:

On huomattava, että lausekkeiden arvojen laskeminen sinillä, kosinilla jne. vaatii usein etukäteen trigonometrisen lausekkeen muuntaminen.

Esimerkki.

Mikä on trigonometrisen lausekkeen arvo .

Ratkaisu.

Muunnamme alkuperäisen lausekkeen käyttämällä, tässä tapauksessa tarvitsemme kaavan kaksoiskulman kosinille ja kaavan summan kosinille:

Suoritetut muunnokset auttoivat meitä löytämään ilmaisun merkityksen.

Vastaus:

Yleinen tapaus

V yleinen tapaus numeerinen lauseke voi sisältää juuria, potteja, murtolukuja, funktioita ja hakasulkeita. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytäminen tapahtuu seuraavasti:

ensimmäiset juuret, potenssit, murtoluvut jne. korvataan niiden arvoilla,
muut toimet suluissa,
ja järjestyksessä vasemmalta oikealle, loput operaatiot suoritetaan - kerto- ja jakolasku, jota seuraa yhteen- ja vähennyslasku.

Luettelotoimenpiteet suoritetaan, kunnes saadaan lopullinen tulos.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Tämän ilmaisun muoto on melko monimutkainen. Tässä lausekkeessa näemme murto-osan, juuret, asteet, sinin ja logaritmin. Miten löydät sen merkityksen?

Liikkuessamme tietueessa vasemmalta oikealle törmäämme lomakkeen murto-osaan ... Tiedämme sen, kun työskentelemme murtolukujen kanssa monimutkainen laji, meidän on laskettava erikseen osoittajan arvo, erikseen - nimittäjä ja lopuksi löydettävä murto-osan arvo.

Osoittimessa on lomakkeen juuri ... Sen arvon määrittämiseksi sinun on ensin laskettava radikaalilausekkeen arvo ... Tässä on sini. Voimme löytää sen arvon vasta lausekkeen arvon laskemisen jälkeen ... Pystymme tähän:. Siis mistä ja .

Nimittäjä on yksinkertainen:.

Tällä tavalla, .

Kun tämä tulos on korvattu alkuperäisellä lausekkeella, se saa muodon. Tuloksena oleva lauseke sisältää asteen. Löytääksesi sen arvon, sinun on ensin löydettävä indikaattorin arvo, meillä on .

Joten,.

Vastaus:

Jos ei ole mahdollista laskea juurien, asteiden jne. tarkkoja arvoja, voit yrittää päästä eroon niistä käyttämällä joitain muunnoksia ja palata sitten arvon laskemiseen esitetyn kaavion mukaisesti.

Rationaalisia tapoja laskea lausekkeiden arvot

Numeeristen lausekkeiden arvojen laskeminen vaatii johdonmukaisuutta ja huolellisuutta. Kyllä, sinun on noudatettava edellisissä kappaleissa kirjoitettua toimintosarjaa, mutta sinun ei tarvitse tehdä sitä sokeasti ja mekaanisesti. Tällä tarkoitamme, että ilmaisun merkityksen löytämisprosessia on usein mahdollista järkeistää. Esimerkiksi jotkin toimintojen ominaisuudet numeroilla voivat nopeuttaa ja yksinkertaistaa huomattavasti lausekkeen arvon löytämistä.

Tunnemme esimerkiksi tämän kertolaskuominaisuuden: jos tuotteen yksi tekijöistä on nolla, niin tuotteen arvo on nolla. Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme heti sanoa, että lausekkeen arvo 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2,2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) on yhtä suuri kuin nolla. Jos noudattaisimme toimintojen suoritusjärjestystä, meidän olisi ensin laskettava suluissa olevien bulkkilausekkeiden arvot, ja tämä veisi paljon aikaa, ja tulos olisi silti nolla.

On myös kätevää käyttää vähennysominaisuutta yhtä suuret luvut: jos vähennät yhtä suuren luvun luvusta, tulos on nolla. Tätä ominaisuutta voidaan tarkastella laajemmin: ero kahden identtisen numeerisen lausekkeen välillä on nolla. Esimerkiksi arvioimatta sulkeissa olevien lausekkeiden arvoja, voit löytää lausekkeen arvon (54 6-12 47362: 3) - (54 6-12 47362: 3), se on yhtä suuri kuin nolla, koska alkuperäinen lauseke on samojen lausekkeiden erotus.

Identtiset muunnokset voivat myötävaikuttaa lausekkeiden arvojen järkevään laskemiseen. Esimerkiksi termien ja tekijöiden ryhmittely voi olla hyödyllistä, ja usein käytetään myös hakasulkuja. Lausekkeen 53 5 + 53 7−53 11 + 5 arvo on siis erittäin helppo löytää, kun kerroin 53 on asetettu hakasulkeiden ulkopuolelle: 53 (5 + 7–11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... Suora laskeminen kestäisi paljon kauemmin.

Tämän kappaleen lopuksi kiinnitetään huomiota rationaaliseen lähestymistapaan fraktioiden arvojen laskemiseen - samat tekijät murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä peruutetaan. Esimerkiksi murto-osan osoittajassa ja nimittäjässä olevien samojen lausekkeiden peruuttaminen voit löytää välittömästi sen arvon, joka on 1/2.

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvon löytäminen

Aakkosellisen lausekkeen ja muuttujia sisältävän lausekkeen merkitys löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille. Tuo on, se tulee kirjaimellisen lausekkeen arvon löytämisestä annetuille kirjainarvoille tai lausekkeen arvon löytämisestä muuttujilla valituille muuttujien arvoille.

Sääntö Kirjaimellisen lausekkeen tai muuttujia sisältävän lausekkeen arvon löytäminen annetuille kirjainten arvoille tai valituille muuttujien arvoille on seuraava: sinun on korvattava nämä kirjainten tai muuttujien arvot alkuperäisellä lausekkeella ja laskettava tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvo, se on haluttu arvo.

Esimerkki.

Arvioi lauseke 0,5 x − y, kun x = 2,4 ja y = 5.

Ratkaisu.

Löytääksesi lausekkeen vaaditun arvon, sinun on ensin korvattava nämä muuttujien arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava sitten seuraavat vaiheet: 0,5 · 2,4-5 = 1,2-5 = -3,8.

Vastaus:

−3,8 .

Lopuksi huomaa, että joskus muutos kirjainilmaisuja ja muuttujalausekkeiden avulla voit saada niiden arvot kirjainten ja muuttujien arvoista riippumatta. Esimerkiksi lauseketta x + 3 − x voidaan yksinkertaistaa, minkä jälkeen siitä tulee 3. Tästä voidaan päätellä, että lausekkeen x + 3 − x arvo on yhtä suuri kuin 3 mille tahansa muuttujan x arvolle sen sallittujen arvojen alueelta (ODV). Toinen esimerkki: lausekkeen arvo on 1 kaikille positiiviset arvot x, joten muuttujan x sallittujen arvojen alue alkuperäisessä lausekkeessa on positiivisten lukujen joukko, ja tasa-arvo tapahtuu tällä alueella.

Bibliografia.

Matematiikka: oppikirja. 5 cl:lle. Yleissivistävä koulutus. instituutiot / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, Poistettu. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematiikka. luokka 6: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten. laitokset / [N. Ya. Vilenkin ja muut]. - 22. painos, Rev. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 s.: Ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: opiskella. 7 cl:lle. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M.: Koulutus, 2008 .-- 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: opiskella. 8 cl:lle. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2008 .-- 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: Luokka 9: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten. laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2009 .-- 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. Yleissivistävä koulutus. instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. painos - M .: Koulutus, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Nyt kun olemme oppineet lisäämään ja kertomaan yksittäisiä murtolukuja, voimme harkita enemmän monimutkaiset rakenteet... Entä jos sama tehtävä sisältää esimerkiksi murtolukujen yhteen-, vähennys- ja kertolaskutoimituksen?

Ensinnäkin sinun on käännettävä kaikki murtoluvut vääriksi. Sitten suoritamme vaaditut toiminnot peräkkäin - samassa järjestyksessä kuin tavallisille numeroille. Nimittäin:

Eksponentointi suoritetaan ensin - päästä eroon kaikista ilmaisuista, jotka sisältävät indikaattoreita;
Sitten - jako ja kertolasku;
Viimeinen vaihe on yhteen- ja vähennyslasku.

Tietenkin, jos lausekkeessa on hakasulkeet, toimintojen järjestys muuttuu - kaikki suluissa oleva on laskettava ensin. Ja muista virheelliset murtoluvut: sinun on valittava koko osa vasta, kun kaikki muut toiminnot on jo suoritettu.

Käännetään kaikki ensimmäisen lausekkeen murtoluvut vääriksi ja suoritetaan sitten seuraavat toimet:

Etsitään nyt toisen lausekkeen arvo. Tässä murto-osat koko osa ei, mutta sulkuja on, joten teemme ensin yhteenlaskua ja vasta sitten jakoa. Huomaa, että 14 = 7 2. Sitten:

Harkitse lopuksi kolmatta esimerkkiä. Täällä on hakasulkeet ja tutkinto - on parempi laskea ne erikseen. Kun otetaan huomioon, että 9 = 3 3, meillä on:

Katso viimeinen esimerkki. Nostaaksesi murto-osan potenssiin, sinun on erikseen nostettava osoittaja tähän potenssiin ja erikseen - nimittäjä.

Voit päättää eri tavalla. Jos muistamme tutkinnon määritelmän, ongelma pienenee tavallinen kertolasku murtoluvut:

Monikerroksiset jakeet

Tähän asti olemme huomioineet vain "puhtaita" murtolukuja, kun osoittaja ja nimittäjä ovat tavallisia lukuja. Tämä on täysin yhdenmukainen ensimmäisellä oppitunnilla annetun numeerisen murtoluvun määritelmän kanssa.

Mutta entä jos osoittajaan tai nimittäjään sijoitetaan monimutkaisempi objekti? Esimerkiksi toinen luvun murto-osa? Tällaisia rakenteita esiintyy melko usein, varsinkin kun työskentelet pitkien ilmaisujen kanssa. Tässä pari esimerkkiä:

Monikerroksisten jakeiden kanssa työskentelemiseen on vain yksi sääntö: sinun on heti päästävä eroon niistä. "Ylimääräisten" lattioiden poistaminen on melko yksinkertaista, jos muistat, että murtopalkki tarkoittaa vakiojakotoimintoa. Siksi mikä tahansa murto-osa voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Käyttämällä tätä tosiasiaa ja tarkkailemalla toimintojen järjestystä voimme helposti pienentää minkä tahansa monitasoisen murtoluvun tavalliseksi. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Muunna monikerroksiset murtoluvut tavallisiksi:

Kussakin tapauksessa kirjoitamme päämurtoluvun uudelleen korvaamalla jakoviivan jakomerkillä. Muista myös, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Saamme:

Viimeisessä esimerkissä murtoluvut peruutettiin ennen lopullista kertolaskua.

Monitasoisten murtolukujen kanssa työskentelyn erityispiirteet

Monikerroksisissa murtoluvuissa on yksi hienous, joka on aina muistettava, muuten voit saada väärän vastauksen, vaikka kaikki laskelmat olisivat oikein. Katso:

Osoittaja sisältää yhden luvun 7 ja nimittäjä murto-osan 12/5;
Osoittaja sisältää murto-osan 7/12 ja nimittäjä yksittäinen luku 5.

Joten yhdelle tallenteelle saimme kaksi täysin erilaista tulkintaa. Jos lasket, vastaukset ovat myös erilaisia:

Jos haluat lukea merkinnän aina yksiselitteisesti, käytä yksinkertaista sääntöä: päämurtoluvun erotinviivan on oltava pidempi kuin sisäkkäinen rivi. On toivottavaa - useita kertoja.

Jos noudatat tätä sääntöä, yllä olevat murtoluvut tulee kirjoittaa seuraavasti:

Kyllä, se voi olla ruma ja viedä liikaa tilaa. Mutta lasket oikein. Lopuksi pari esimerkkiä, joissa monikerroksisia murtolukuja todella syntyy:

Tehtävä. Etsi lausekkeiden arvot:

Joten työskentelemme ensimmäisen esimerkin kanssa. Muunnetaan kaikki murtoluvut epäsäännöllisiksi ja suoritetaan sitten yhteen- ja jakooperaatiot:

Tehdään sama toisen esimerkin kanssa. Muunnetaan kaikki murtoluvut epäsäännöllisiksi ja suoritetaan tarvittavat toiminnot. Jotta lukija ei väsytä, jätän pois joitakin ilmeisiä laskelmia. Meillä on:

Koska päämurtolukujen osoittajassa ja nimittäjässä on summia, monikerroksisten murtolukujen kirjoittamissääntöä noudatetaan automaattisesti. Lisäksi viimeisessä esimerkissä jätimme tarkoituksella 46/1 murto-osaan tehdäksemme jaon.

Huomaa myös, että molemmissa esimerkeissä murtopalkki itse asiassa korvaa sulut: ensinnäkin löysimme summan ja vasta sitten - osamäärän.

Jotkut väittävät, että siirtyminen vääriin murtolukuihin toisessa esimerkissä oli selvästi tarpeeton. Ehkä se on niin. Mutta tällä vakuutamme itsemme virheiltä, koska seuraavalla kerralla esimerkki voi osoittautua paljon monimutkaisemmaksi. Valitse itse kumpi on tärkeämpää: nopeus vai luotettavuus.